Apa yang dimaksud dengan pembagian dengan sisa? Pengertian umum pembagian bilangan asli dengan sisa. Pembagian tertulis dua angka

Sebelum kami menjelaskan secara rinci semua langkah algoritma pembagian bilangan asli dengan sisanya, kami akan menjawab tiga pertanyaan: apa yang awalnya kita ketahui, apa yang perlu kita temukan, dan berdasarkan pertimbangan apa kita akan melakukan ini? Awalnya kita mengetahui pembagian a dan pembagi b. Kita perlu mencari hasil bagi parsial c dan sisanya d. Persamaan a=b·c+d mendefinisikan hubungan antara pembagian, pembagi, hasil bagi parsial, dan sisanya. Dari persamaan tertulis tersebut dapat disimpulkan bahwa jika kita menyajikan dividen a sebagai jumlah b·c+d, dimana d lebih kecil dari b (karena sisanya selalu lebih kecil dari pembaginya), maka kita akan melihat hasil bagi tidak lengkap c dan sisanya d.

Yang tersisa hanyalah mencari cara untuk merepresentasikan dividen a sebagai jumlah b·c+d. Algoritma untuk melakukan hal ini sangat mirip dengan algoritma pembagian bilangan asli tanpa sisa. Kami akan menjelaskan semua langkah, dan pada saat yang sama kami akan menyelesaikan contoh agar lebih jelas. Bagilah 899 dengan 47.

Lima poin pertama dari algoritme akan memungkinkan Anda untuk merepresentasikan dividen sebagai jumlah dari beberapa suku. Perlu dicatat bahwa tindakan dari poin-poin ini diulangi secara siklis lagi dan lagi sampai semua suku yang menambah dividen ditemukan. Pada poin keenam terakhir, jumlah yang dihasilkan diubah ke bentuk b·c+d (jika jumlah yang dihasilkan tidak lagi memiliki bentuk ini), dari mana hasil bagi dan sisa yang diperlukan menjadi terlihat.

Jadi, mari kita mulai menyatakan dividen 899 sebagai jumlah dari beberapa suku.

Pertama, kita hitung berapa banyak angka pada pembagi yang lebih besar dari jumlah angka pada pembagi, dan ingat angka ini.

Dalam contoh kita, notasi dividen memiliki 3 digit (899 – nomor tiga digit), dan pada notasi pembagi terdapat dua tanda (47 adalah bilangan dua angka), oleh karena itu pada notasi pembagi terdapat satu tanda lagi, dan kita ingat bilangan 1.

Sekarang pada entri pembagi di sebelah kanan kita tambahkan angka 0 dengan jumlah yang ditentukan oleh angka yang diperoleh pada paragraf sebelumnya. Apalagi jika angka yang tertulis lebih besar dari angka pembagian, maka angka yang diingat pada paragraf sebelumnya perlu dikurangi 1.

Mari kita kembali ke contoh kita. Pada notasi pembagi 47, kita tambahkan satu angka 0 ke kanan, dan kita mendapatkan angka 470. Sejak tahun 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Setelah itu, pada angka 1 sebelah kanan kita beri angka 0 dengan jumlah yang ditentukan oleh angka yang dihafal pada paragraf sebelumnya. Dalam hal ini, kita mendapatkan satuan digit, yang akan kita kerjakan lebih lanjut.

Dalam contoh kita, kita menetapkan 1 digit 0 ke angka 1, dan kita mendapatkan angka 10, yaitu, kita akan bekerja dengan tempat puluhan.

Sekarang kita kalikan pembagi secara berturut-turut dengan 1, 2, 3, ... satuan angka kerja sampai kita mendapatkan angka yang lebih besar atau sama dengan pembagian.

Kita menemukan bahwa dalam contoh kita, digit kerjanya adalah digit puluhan. Jadi, kita kalikan dulu pembaginya dengan satu satuan di tempat puluhan, yaitu kalikan 47 dengan 10, kita mendapatkan 47 · 10 = 470. Angka yang dihasilkan 470 lebih kecil dari angka pembagian 899, jadi kita lanjutkan mengalikan pembaginya dengan dua satuan di tempat puluhan, yaitu kita mengalikan 47 dengan 20. Kami memiliki 47·20=940. Kami mendapat angka yang lebih besar dari 899.

Bilangan yang diperoleh pada langkah kedua dari belakang pada perkalian berurutan adalah suku pertama yang disyaratkan.

Dalam contoh yang dianalisis, suku yang diperlukan adalah bilangan 470 (bilangan ini sama dengan hasil kali 47·100, persamaan ini akan kita gunakan nanti).

Setelah ini, kita mencari selisih antara dividen dan suku pertama yang ditemukan. Jika bilangan yang dihasilkan lebih besar dari pembaginya, maka kita lanjutkan mencari suku kedua. Untuk melakukan ini, kami mengulangi semua langkah algoritma yang dijelaskan, tetapi sekarang kami mengambil angka yang diperoleh di sini sebagai dividen. Jika pada titik ini kita kembali memperoleh bilangan yang lebih besar dari pembaginya, maka kita lanjutkan mencari suku ketiga, sekali lagi mengulangi langkah-langkah algoritma, mengambil bilangan yang dihasilkan sebagai pembagi. Maka kita lanjutkan lebih jauh, mencari suku keempat, kelima, dan selanjutnya hingga bilangan yang diperoleh pada titik ini lebih kecil dari pembaginya. Segera setelah hal ini terjadi, kita ambil angka yang diperoleh di sini sebagai suku terakhir yang kita cari (ke depan, katakanlah sama dengan sisanya), dan lanjutkan ke tahap akhir.

Mari kita kembali ke contoh kita. Pada langkah ini kita memiliki 899−470=429. Karena 429>47, kami mengambil angka ini sebagai dividen dan mengulangi semua tahapan algoritme dengannya.

Angka 429 mempunyai angka satu lebih banyak dibandingkan angka 47, jadi ingatlah angka 1.

Sekarang dalam notasi pembagian di sebelah kanan kita tambahkan satu angka 0, kita mendapatkan angka 470, yaitu nomor lebih banyak 429. Oleh karena itu, dari angka 1 yang diingat pada paragraf sebelumnya, kita kurangi 1, kita mendapatkan angka 0 yang kita ingat.

Karena pada paragraf sebelumnya kita mengingat angka 0, maka pada angka 1 tidak perlu diberi satu angka pun 0 di sebelah kanan. Dalam hal ini kita mempunyai angka 1, yaitu angka kerja adalah angka satuan.

Sekarang kita kalikan pembagi 47 secara berurutan dengan 1, 2, 3, ... Kami tidak akan membahasnya secara detail. Anggap saja 47·9=423<429 , а 47·10=470>429. Suku kedua yang kita cari adalah bilangan 423 (sama dengan 47 9, yang akan kita gunakan lebih lanjut).

Selisih antara 429 dan 423 adalah 6. Angka ini lebih kecil dari pembagi 47, sehingga merupakan suku ketiga (dan terakhir) yang kita cari. Sekarang kita bisa melanjutkan ke tahap akhir.

Nah, kita sudah sampai pada tahap akhir. Semua tindakan sebelumnya ditujukan untuk menyajikan dividen sebagai jumlah dari beberapa periode. Sekarang jumlah yang dihasilkan masih harus diubah ke bentuk b·c+d. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan akan membantu kita mengatasi tugas ini. Setelah ini, hasil bagi dan sisa tidak lengkap yang diperlukan akan terlihat.

Dalam contoh kita, dividen 899 sama dengan jumlah tiga suku 470, 423, dan 6. Jumlah 470+423+6 dapat ditulis ulang menjadi 47·10+47·9+6 (ingat, kita memperhatikan persamaan 470=47·10 dan 423=47·9). Sekarang kita terapkan sifat mengalikan bilangan asli dengan penjumlahan, dan kita mendapatkan 47·10+47·9+6= 47·(10+9)+6= 47·19+6. Jadi, pembagiannya diubah menjadi bentuk yang kita perlukan 899=47·19+6, sehingga hasil bagi tidak lengkap 19 dan sisanya 6 dapat dengan mudah dicari.

Jadi, 899:47=19 (istirahat 6).

Tentu saja, saat menyelesaikan contoh, Anda tidak akan menjelaskan secara detail proses pembagian dengan sisanya.

Artikel ini membahas tentang konsep pembagian bilangan bulat dengan sisanya. Mari kita buktikan teorema pembagian bilangan bulat dengan sisa dan melihat hubungan antara pembagi dan pembagi, hasil bagi tidak lengkap, dan sisa. Mari kita lihat aturan pembagian bilangan bulat dengan sisa, lihat secara detail menggunakan contoh. Di akhir solusi kami akan melakukan pemeriksaan.

Pengertian umum pembagian bilangan bulat dengan sisa

Pembagian bilangan bulat dengan sisa dianggap sebagai pembagian umum dengan sisa bilangan asli. Ini benar karena bilangan asli memang demikian komponen utuh.

Pembagian dengan sisa suatu bilangan sembarang menyatakan bahwa bilangan bulat a habis dibagi dengan bilangan b selain nol. Jika b = 0, maka jangan dibagi dengan sisanya.

Sama seperti membagi bilangan asli dengan sisa, bilangan bulat a dan b dibagi, dengan b bukan nol, oleh c dan d. Dalam hal ini, a dan b disebut pembagian dan pembagi, dan d adalah sisa pembagian, c adalah hasil bagi bilangan bulat atau tidak lengkap.

Jika kita berasumsi bahwa sisanya adalah bilangan bulat non-negatif, maka nilainya tidak lebih besar dari modulus bilangan b. Mari kita tuliskan seperti ini: 0 ≤ d ≤ b. Rantai pertidaksamaan ini digunakan ketika membandingkan 3 bilangan atau lebih.

Jika c adalah hasil bagi tidak lengkap, maka d adalah sisa pembagian bilangan bulat a dengan b, yang secara singkat dapat dinyatakan: a: b = c (sisa d).

Sisa pembagian bilangan a dengan b bisa sama dengan nol, maka dikatakan a habis dibagi b, yaitu tanpa sisa. Pembagian tanpa sisa dianggap sebagai kasus khusus pembagian.

Jika kita membagi nol dengan suatu bilangan, maka hasilnya adalah nol. Sisa pembagiannya juga akan menjadi nol. Hal ini dapat ditelusuri dari teori pembagian nol dengan bilangan bulat.

Sekarang mari kita lihat pengertian membagi bilangan bulat dengan sisanya.

Diketahui bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka bila dibagi dengan sisa akan diperoleh arti yang sama seperti bila membagi bilangan asli dengan sisa.

Membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b masuk akal. Mari kita lihat sebuah contoh. Bayangkan sebuah situasi di mana kita mempunyai hutang barang sebesar a yang harus dilunasi oleh b orang. Untuk mencapai hal ini, setiap orang perlu memberikan kontribusi yang setara. Untuk menentukan besarnya utang masing-masing, Anda perlu memperhatikan nilai privatnya. Sisa d menunjukkan bahwa jumlah barang setelah pelunasan utang diketahui.

Mari kita lihat contoh apel. Jika 2 orang berhutang 7 buah apel. Jika kita hitung setiap orang harus mengembalikan 4 buah apel, setelah perhitungan penuh mereka akan mempunyai sisa 1 buah apel. Mari kita tuliskan ini sebagai persamaan: (− 7) : 2 = − 4 (dari t. 1) .

Membagi bilangan apa pun a dengan bilangan bulat tidak masuk akal, tetapi hal ini dapat dilakukan sebagai opsi.

Teorema pembagian bilangan bulat dengan sisa

Kita telah mengetahui bahwa a adalah pembagian, kemudian b adalah pembagi, c adalah hasil bagi parsial, dan d adalah sisanya. Mereka terhubung satu sama lain. Kita akan menunjukkan hubungan ini menggunakan persamaan a = b · c + d. Hubungan antara keduanya dicirikan oleh teorema pembagian dengan sisa.

Dalil

Setiap bilangan bulat hanya dapat direpresentasikan melalui bilangan bulat dan bukan nol b dengan cara ini: a = b · q + r, dimana q dan r adalah beberapa bilangan bulat. Di sini kita punya 0 ≤ r ≤ b.

Mari kita buktikan kemungkinan adanya a = b · q + r.

Bukti

Jika ada dua bilangan a dan b, dan a habis dibagi b tanpa sisa, maka dari definisi tersebut terdapat bilangan q, dan persamaan a = b · q benar. Maka persamaan tersebut dapat dianggap benar: a = b · q + r untuk r = 0.

Maka perlu untuk mengambil q sedemikian rupa sehingga diberikan oleh pertidaksamaan b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Kita mempunyai nilai ekspresi a − b · q lebih besar dari nol dan tidak lebih besar dari nilai bilangan b, maka r = a − b · q. Kita menemukan bahwa bilangan a dapat direpresentasikan dalam bentuk a = b · q + r.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan kemungkinan merepresentasikan a = b q + r untuk nilai-nilai negatif B.

Modulus bilangan tersebut ternyata positif, maka diperoleh a = b · q 1 + r, dimana nilai q 1 adalah suatu bilangan bulat, r adalah bilangan bulat yang memenuhi syarat 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Bukti keunikan

Misalkan a = b q + r, q dan r adalah bilangan bulat dengan syarat 0 ≤ r benar< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где pertanyaan 1 Dan r 1 adalah beberapa nomor di mana q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Jika pertidaksamaan tersebut dikurangkan pada ruas kiri dan kanan, diperoleh 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, yang setara dengan r - r 1 = b · q 1 - q. Karena modul yang digunakan maka diperoleh persamaan r - r 1 = b · q 1 - q.

Kondisi yang diberikan mengatakan bahwa 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q Dan pertanyaan 1- utuh, dan q ≠ q 1, lalu q 1 - q ≥ 1. Dari sini kita mendapatkan b · q 1 - q ≥ b. Pertidaksamaan yang dihasilkan r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Oleh karena itu bilangan a tidak dapat direpresentasikan dengan cara lain kecuali dengan menulis a = b · q + r.

Hubungan antara dividen, pembagi, hasil bagi sebagian dan sisa

Dengan menggunakan persamaan a = b · c + d, Anda dapat mencari pembagian a yang tidak diketahui jika pembagi b dengan hasil bagi tidak lengkap c dan sisa d diketahui.

Contoh 1

Tentukan pembagiannya jika, setelah dibagi, kita mendapatkan - 21, hasil bagi parsial adalah 5 dan sisanya adalah 12.

Larutan

Dividen a harus dihitung dengan pembagi b = − 21 yang diketahui, hasil bagi tidak lengkap c = 5 dan sisa d = 12. Kita perlu beralih ke persamaan a = b · c + d, dari sini kita mendapatkan a = (− 21) · 5 + 12. Jika kita mengikuti urutan tindakannya, kita mengalikan - 21 dengan 5, setelah itu kita mendapatkan (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.

Menjawab: - 93 .

Hubungan antara pembagi dan hasil bagi parsial serta sisa dapat dinyatakan dengan menggunakan persamaan: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b dan d = a − b · c . Dengan bantuan mereka, kita dapat menghitung pembagi, hasil bagi parsial, dan sisanya. Hal ini dilakukan dengan mencari sisa secara konstan ketika membagi bilangan bulat a dengan b dengan pembagian, pembagi, dan hasil bagi parsial yang diketahui. Rumus d = a − b · c diterapkan. Mari kita pertimbangkan solusinya secara detail.

Contoh 2

Temukan sisanya ketika membagi bilangan bulat - 19 dengan bilangan bulat 3 dengan hasil bagi tidak lengkap yang diketahui sama dengan - 7.

Larutan

Untuk menghitung sisa pembagian, kita menerapkan rumus berbentuk d = a − b · c. Dengan syarat, semua data tersedia: a = − 19, b = 3, c = − 7. Dari sini kita peroleh d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (selisih − 19 − (− 21) . Contoh ini dihitung menggunakan aturan pengurangan bilangan bulat negatif.

Menjawab: 2 .

Semua bilangan bulat positif adalah bilangan asli. Oleh karena itu pembagian dilakukan menurut semua aturan pembagian dengan sisa bilangan asli. Kecepatan pembagian dengan sisa bilangan asli adalah penting, karena tidak hanya pembagian bilangan positif, tetapi juga aturan pembagian bilangan bulat sembarang didasarkan padanya.

Metode pembagian yang paling mudah adalah dengan kolom, karena lebih mudah dan cepat untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap atau sekadar hasil bagi dengan sisa. Mari kita lihat solusinya lebih detail.

Contoh 3

Bagilah 14671 dengan 54.

Larutan

Pembagian ini harus dilakukan dalam satu kolom:

Artinya, hasil bagi parsial sama dengan 271, dan sisanya adalah 37.

Menjawab: 14.671 : 54 = 271. (istirahat 37)

Aturan pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif dengan sisa, contohnya

Untuk melakukan pembagian sisa bilangan positif dengan bilangan bulat negatif, perlu dirumuskan suatu aturan.

Definisi 1

Hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat positif a dengan bilangan bulat negatif b menghasilkan bilangan yang berlawanan dengan hasil bagi tidak lengkap dari pembagian modulus bilangan a dengan b. Maka sisanya sama dengan sisa bila a dibagi b.

Oleh karena itu, kita mengetahui bahwa hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif dianggap sebagai bilangan bulat non-positif.

Kami mendapatkan algoritmanya:

• membagi modulus pembagi dengan modulus pembagi, maka kita mendapatkan hasil bagi tidak lengkap dan
• sisa;
• Mari kita tuliskan kebalikan dari bilangan yang kita peroleh.

Mari kita lihat contoh algoritma pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif.

Contoh 4

Bagilah dengan sisa 17 dengan - 5.

Larutan

Mari kita terapkan algoritma untuk membagi bilangan bulat positif dengan sisa bilangan bulat negatif. Anda perlu membagi 17 dengan - 5 modulo. Dari sini kita memperoleh bahwa hasil bagi parsial sama dengan 3, dan sisanya sama dengan 2.

Kita mendapatkan bilangan yang diperlukan dari membagi 17 dengan - 5 = - 3 dengan sisa sama dengan 2.

Menjawab: 17: (− 5) = − 3 (sisa 2).

Contoh 5

Anda perlu membagi 45 dengan - 15.

Larutan

Hal ini diperlukan untuk membagi angka modulo. Bagilah angka 45 dengan 15, kita mendapatkan hasil bagi 3 tanpa sisa. Artinya bilangan 45 habis dibagi 15 tanpa sisa. Jawabannya - 3, karena pembagiannya dilakukan secara modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Menjawab: 45: (− 15) = − 3 .

Rumusan aturan pembagian dengan sisa adalah sebagai berikut.

Definisi 2

Untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap c ketika membagi bilangan bulat negatif a dengan b positif, Anda perlu menerapkan kebalikan dari bilangan tertentu dan mengurangkannya 1, maka sisanya d akan dihitung dengan rumus: d = a − b · c.

Berdasarkan aturan tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa ketika membagi kita mendapatkan bilangan bulat non-negatif. Untuk memastikan keakuratan solusi, gunakan algoritma pembagian a dengan b dengan sisanya:

• temukan modul pembagi dan pembagi;
• membagi modulo;
• tuliskan sebaliknya nomor yang diberikan dan kurangi 1 ;
• gunakan rumus sisanya d = a − b · c.

Mari kita lihat contoh solusi yang menggunakan algoritma ini.

Contoh 6

Temukan hasil bagi parsial dan sisa pembagian - 17 dengan 5.

Larutan

Kami membagi angka yang diberikan modulo. Diketahui bahwa ketika membagi, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 2. Karena kita mendapat 3, kebalikannya adalah 3. Anda perlu mengurangi 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Nilai yang diinginkan sama dengan - 4.

Untuk menghitung sisanya, Anda memerlukan a = − 17, b = 5, c = − 4, lalu d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.

Artinya hasil bagi pembagian yang tidak lengkap adalah bilangan - 4 dengan sisa sama dengan 3.

Menjawab:(− 17) : 5 = − 4 (sisa 3).

Contoh 7

Bagilah bilangan bulat negatif - 1404 dengan bilangan positif 26.

Larutan

Hal ini diperlukan untuk membagi berdasarkan kolom dan modul.

Kami mendapat pembagian modul angka tanpa sisa. Artinya pembagian dilakukan tanpa sisa, dan hasil bagi yang diinginkan = - 54.

Menjawab: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif, contoh

Perlu dirumuskan aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat angka negatif.

Definisi 3

Untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap c dari membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat negatif b, maka perlu dilakukan perhitungan modulo, kemudian dijumlahkan 1, selanjutnya kita dapat melakukan perhitungan dengan menggunakan rumus d = a − b · c.

Oleh karena itu, hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat negatif akan menjadi bilangan positif.

Mari kita rumuskan aturan ini dalam bentuk algoritma:

• temukan modul pembagi dan pembagi;
• bagi modulus pembagi dengan modulus pembagi untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap dengan
• sisa;
• menambahkan 1 pada hasil bagi tidak lengkap;
• perhitungan sisanya berdasarkan rumus d = a − b · c.

Mari kita lihat algoritma ini menggunakan sebuah contoh.

Contoh 8

Tentukan hasil bagi parsial dan sisa pembagian - 17 dengan - 5.

Larutan

Untuk kebenaran solusi, kami menerapkan algoritma pembagian dengan sisa. Pertama, bagi bilangan modulo. Dari sini kita peroleh hasil bagi tidak lengkap = 3 dan sisanya adalah 2. Menurut aturan, Anda perlu menambahkan hasil bagi tidak lengkap dan 1. Kita mendapatkan bahwa 3 + 1 = 4. Dari sini kita memperoleh bahwa hasil bagi parsial pembagian bilangan-bilangan tertentu adalah 4.

Untuk menghitung sisanya kita akan menggunakan rumus. Dengan syarat a = − 17, b = − 5, c = 4, maka dengan menggunakan rumus tersebut kita peroleh d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Jawaban yang diminta, yaitu sisanya, sama dengan 3, dan hasil bagi parsial sama dengan 4.

Menjawab:(− 17) : (− 5) = 4 (sisa 3).

Mengecek hasil pembagian bilangan bulat dengan sisanya

Setelah membagi angka dengan sisanya, Anda harus melakukan pengecekan. Pemeriksaan ini melibatkan 2 tahap. Pertama, sisa d diperiksa non-negatifnya, kondisi 0 ≤ d terpenuhi< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh 9

Pembagiannya dilakukan - 521 kali - 12. Hasil bagi adalah 44, sisanya 7. Lakukan pemeriksaan.

Larutan

Karena sisanya adalah bilangan positif, maka nilainya lebih kecil dari modulus pembaginya. Pembaginya adalah - 12, artinya modulusnya adalah 12. Anda dapat melanjutkan ke titik pemeriksaan berikutnya.

Dengan syarat, kita mendapatkan a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Dari sini kita menghitung b · c + d, dimana b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Oleh karena itu, persamaan itu benar. Verifikasi berhasil.

Contoh 10

Lakukan pengecekan pembagian (− 17): 5 = − 3 (sisa − 2). Apakah kesetaraan itu benar?

Larutan

Maksud dari tahap pertama adalah perlunya memeriksa pembagian bilangan bulat dengan sisanya. Dari sini jelas bahwa tindakan tersebut dilakukan secara tidak benar, karena diberikan sisa sama dengan - 2. Sisanya bukanlah angka negatif.

Kami mendapati kondisi kedua terpenuhi, namun tidak cukup untuk kasus ini.

Menjawab: TIDAK.

Contoh 11

Angka - 19 dibagi - 3. Hasil bagi parsial adalah 7 dan sisanya adalah 1. Periksa apakah perhitungan ini dilakukan dengan benar.

Larutan

Diberikan sisa sama dengan 1. Dia positif. Nilainya lebih kecil dari modul pembagi, artinya tahap pertama sudah selesai. Mari kita lanjutkan ke tahap kedua.

Mari kita hitung nilai ekspresi b · c + d. Dengan syarat, kita mendapatkan b = − 3, c = 7, d = 1, yang berarti, dengan mensubstitusi nilai numeriknya, kita mendapatkan b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Oleh karena itu a = b · c + d persamaan tersebut tidak berlaku, karena kondisinya menghasilkan a = - 19.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa pembagian itu dilakukan dengan suatu kesalahan.

Menjawab: TIDAK.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Bacalah topik pelajaran: “Pembagian dengan sisa”. Apa yang sudah Anda ketahui tentang topik ini?

Bisakah Anda membagikan 8 buah plum secara merata pada dua piring (Gbr. 1)?

Beras. 1. Ilustrasi misalnya

Anda bisa menaruh 4 buah plum di setiap piring (Gbr. 2).

Beras. 2. Ilustrasi misalnya

Tindakan yang kami lakukan dapat ditulis seperti ini.

8: 2 = 4

Menurut Anda, apakah mungkin untuk membagi 8 buah plum secara merata menjadi 3 piring (Gbr. 3)?

Beras. 3. Ilustrasi misalnya

Ayo bertindak seperti ini. Pertama, taruh satu buah plum di setiap piring, lalu buah plum kedua. Kami akan memiliki 2 buah plum tersisa, tetapi 3 piring. Artinya, kita tidak bisa mendistribusikannya secara merata. Kami menaruh 2 buah plum di setiap piring, dan kami memiliki sisa 2 buah plum (Gbr. 4).

Beras. 4. Ilustrasi misalnya

Mari kita terus mengamati.

Baca angkanya. Di antara bilangan-bilangan yang diberikan, carilah bilangan-bilangan yang habis dibagi 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Uji dirimu.

Bilangan-bilangan sisanya (11, 13, 14, 16, 17, 19) tidak habis dibagi 3, atau disebut "dibagi dengan sisanya."

Mari kita cari nilai hasil bagi.

Mari kita cari tahu berapa kali 3 terdapat pada angka 17 (Gbr. 5).

Beras. 5. Ilustrasi misalnya

Kita melihat bahwa 3 oval dipasang 5 kali dan tersisa 2 oval.

Tindakan yang telah selesai dapat ditulis seperti ini.

17: 3 = 5 (sisa 2)

Anda juga dapat menuliskannya dalam kolom (Gbr. 6)

Beras. 6. Ilustrasi misalnya

Lihatlah gambar-gambarnya. Jelaskan keterangan gambar-gambar ini (Gbr. 7).

Beras. 7. Ilustrasi misalnya

Mari kita lihat gambar pertama (Gbr. 8).

Beras. 8. Ilustrasi misalnya

Kita melihat 15 oval dibagi menjadi 2. 2 diulang sebanyak 7 kali, dan sisanya menjadi 1 oval.

Mari kita lihat gambar kedua (Gbr. 9).

Beras. 9. Ilustrasi misalnya

Pada gambar ini, 15 kotak dibagi menjadi 4. 4 diulang sebanyak 3 kali, dan sisanya menjadi 3 kotak.

Mari kita lihat gambar ketiga (Gbr. 10).

Beras. 10. Ilustrasi misalnya

Kita dapat mengatakan bahwa 15 oval dibagi 3. 3 diulangi sebanyak 5 kali secara merata. Dalam kasus seperti ini, sisanya dikatakan 0.

Mari kita lakukan pembagiannya.

Kami membagi tujuh kotak menjadi tiga. Kami mendapatkan dua kelompok, dan satu kotak tersisa. Mari kita tuliskan solusinya (Gbr. 11).

Beras. 11. Ilustrasi misalnya

Mari kita lakukan pembagiannya.

Mari kita cari tahu berapa kali empat terdapat pada angka 10. Kita melihat bahwa angka 10 berisi empat kali 2 kali dan tersisa 2 kotak. Mari kita tuliskan solusinya (Gbr. 12).

Beras. 12. Ilustrasi misalnya

Mari kita lakukan pembagiannya.

Mari kita cari tahu berapa kali dua terdapat pada angka 11. Kita lihat bahwa pada angka 11 dua terdapat 5 kali dan tersisa 1 kotak. Mari kita tuliskan solusinya (Gbr. 13).

Beras. 13. Ilustrasi misalnya

Mari kita menarik kesimpulan. Membagi dengan sisa berarti mengetahui berapa kali pembagi tersebut terdapat dalam dividen dan berapa satuan yang tersisa.

Pembagian dengan sisa juga dapat dilakukan pada garis bilangan.

Pada garis bilangan kita menandai ruas-ruas dari 3 pembagian dan melihat ada tiga pembagian tiga kali dan tersisa satu pembagian (Gbr. 14).

Beras. 14. Ilustrasi misalnya

Mari kita tuliskan solusinya.

10: 3 = 3 (sisa 1)

Mari kita lakukan pembagiannya.

Pada garis bilangan kita menandai ruas-ruas dari 3 pembagian dan melihat bahwa ada tiga pembagian tiga kali dan tersisa dua pembagian (Gbr. 15).

Beras. 15. Ilustrasi misalnya

Mari kita tuliskan solusinya.

11: 3 = 3 (sisa 2)

Mari kita lakukan pembagiannya.

Pada garis bilangan kita tandai ruas 3 pembagian dan lihat bahwa kita mendapat tepat 4 kali, tidak ada sisa (Gbr. 16).

Beras. 16. Ilustrasi misalnya

Mari kita tuliskan solusinya.

12: 3 = 4

Hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan pembagian dengan sisanya, mempelajari cara melakukan tindakan bernama menggunakan gambar dan garis bilangan, dan berlatih memecahkan contoh tentang topik pelajaran.

Bibliografi

1. M.I. Moreau, MA Bantova dan lain-lain Matematika: Buku Ajar. Kelas 3: dalam 2 bagian, bagian 1. - M.: “Pencerahan”, 2012.
2. M.I. Moreau, MA Bantova dan lain-lain Matematika: Buku Ajar. Kelas 3: dalam 2 bagian, bagian 2. - M.: “Pencerahan”, 2012.
3. M.I. orang bodoh. Pelajaran matematika: Pedoman untuk guru. kelas 3. - M.: Pendidikan, 2012.
4. Dokumen peraturan. Pemantauan dan evaluasi hasil pembelajaran. - M.: “Pencerahan”, 2011.
5. "Sekolah Rusia": Program untuk sekolah dasar. - M.: “Pencerahan”, 2011.
6. S.I. Volkova. Matematika: Uji kerja. kelas 3. - M.: Pendidikan, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tes. - M.: “Ujian”, 2012.

1. Nsportal.ru().
2. Prosv.ru().
3. Do.gendocs.ru().

Pekerjaan rumah

1. Tuliskan bilangan-bilangan yang habis dibagi 2 tanpa sisa.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Lakukan pembagian dengan sisanya menggunakan gambar.

3. Lakukan pembagian dengan sisa menggunakan garis bilangan.

4. Buatlah tugas untuk temanmu tentang topik pelajaran.

Cara termudah untuk membagi angka multi-digit adalah dengan kolom. Pembagian kolom disebut juga pembagian sudut.

Sebelum kita mulai melakukan pembagian dengan kolom, kita akan membahas secara detail bentuk pencatatan pembagian dengan kolom. Pertama, tuliskan dividennya dan beri garis vertikal di sebelah kanannya:

Di belakang garis vertikal, di seberang pembagi, tulis pembaginya dan gambar garis horizontal di bawahnya:

Di bawah garis horizontal, hasil bagi yang dihasilkan akan ditulis langkah demi langkah:

Perhitungan antara akan ditulis di bawah dividen:

Bentuk lengkap penulisan pembagian per kolom adalah sebagai berikut:

Cara membagi berdasarkan kolom

Katakanlah kita perlu membagi 780 dengan 12, tulis tindakannya dalam kolom dan lanjutkan ke pembagian:

Pembagian kolom dilakukan secara bertahap. Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menentukan dividen yang tidak lengkap. Kami melihat digit pertama dari dividen:

bilangan ini 7, karena lebih kecil dari pembaginya maka kita tidak bisa memulai pembagian darinya, artinya kita perlu mengambil satu digit lagi dari pembaginya, bilangan 78 lebih besar dari pembaginya, jadi kita mulai membaginya:

Dalam kasus kami, angkanya adalah 78 habis dibagi, disebut tidak lengkap karena hanya sebagian saja yang habis dibagi.

Setelah menentukan pembagian yang tidak lengkap, kita dapat mengetahui berapa banyak digit yang akan menjadi hasil bagi, untuk ini kita perlu menghitung berapa banyak digit yang tersisa dalam dividen setelah pembagian yang tidak lengkap, dalam kasus kita hanya ada satu digit - 0, ini berarti hasil bagi terdiri dari 2 angka.

Setelah mengetahui banyaknya angka yang seharusnya ada dalam hasil bagi, Anda dapat meletakkan titik pada tempatnya. Jika, saat menyelesaikan pembagian, jumlah digit ternyata lebih atau kurang dari poin yang ditunjukkan, maka terjadi kesalahan di suatu tempat:

Mari kita mulai membagi. Kita perlu menentukan berapa kali 12 terdapat pada bilangan 78. Caranya, kita mengalikan pembaginya secara berurutan dengan bilangan asli 1, 2, 3, ... hingga kita mendapatkan bilangan yang sedekat mungkin dengan pembagi tidak lengkap. atau sama dengan itu, tetapi tidak melebihinya. Jadi, kita mendapatkan angka 6, menuliskannya di bawah pembagi, dan dari 78 (menurut aturan pengurangan kolom) kita mengurangi 72 (12 6 = 72). Setelah kita kurangi 72 dari 78, sisanya adalah 6:

Harap dicatat bahwa sisa pembagian menunjukkan kepada kita apakah kita telah memilih nomor tersebut dengan benar. Jika sisanya sama dengan atau lebih besar dari pembaginya, maka kita tidak memilih bilangan tersebut dengan benar dan kita perlu mengambil bilangan yang lebih besar.

Untuk sisa yang dihasilkan - 6, tambahkan digit berikutnya dari dividen - 0. Hasilnya, kita mendapatkan dividen yang tidak lengkap - 60. Tentukan berapa kali 12 terkandung dalam angka 60. Kita mendapatkan angka 5, tuliskan dalam hasil bagi setelah angka 6, dan kurangi 60 dari 60 ( 12 5 = 60). Sisanya nol:

Karena tidak ada lagi angka yang tersisa pada pembagian, berarti 780 habis dibagi 12. Sebagai hasil dari melakukan pembagian panjang, kami menemukan hasil bagi - tertulis di bawah pembagi:

Mari kita perhatikan sebuah contoh ketika hasil bagi menghasilkan nol. Katakanlah kita perlu membagi 9027 dengan 9.

Kami menentukan pembagian yang tidak lengkap - ini adalah angka 9. Kami menulis 1 ke dalam hasil bagi dan mengurangi 9 dari 9. Sisanya adalah nol. Biasanya, jika dalam perhitungan antara sisanya nol, maka tidak dituliskan:

Kita turunkan digit dividen berikutnya - 0. Kita ingat bahwa membagi nol dengan bilangan apa pun akan menghasilkan nol. Kami menulis nol ke dalam hasil bagi (0: 9 = 0) dan mengurangi 0 dari 0 dalam perhitungan perantara.Biasanya, agar tidak mengacaukan perhitungan perantara, perhitungan dengan nol tidak ditulis:

Kami mencatat digit dividen berikutnya - 2. Dalam perhitungan antara, ternyata dividen yang tidak lengkap (2) lebih kecil dari pembagi (9). Dalam hal ini, tuliskan nol pada hasil bagi dan hilangkan digit pembagian berikutnya:

Kita tentukan berapa kali 9 terdapat pada bilangan 27. Kita peroleh bilangan 3, tuliskan sebagai hasil bagi, dan kurangi 27 dari 27. Sisanya nol:

Karena tidak ada lagi angka yang tersisa pada pembagian, berarti bilangan 9027 habis dibagi 9:

Mari kita perhatikan contoh ketika dividen berakhir dengan nol. Katakanlah kita perlu membagi 3000 dengan 6.

Kami menentukan pembagian yang tidak lengkap - ini adalah angka 30. Kami menulis 5 ke dalam hasil bagi dan mengurangi 30 dari 30. Sisanya adalah nol. Seperti yang telah disebutkan, tidak perlu menulis nol pada sisanya dalam perhitungan perantara:

Kita turunkan digit dividen berikutnya - 0. Karena membagi nol dengan bilangan apa pun akan menghasilkan nol, kita menulis nol pada hasil bagi dan mengurangi 0 dari 0 dalam perhitungan perantara:

Kita turunkan digit dividen berikutnya - 0. Kita tuliskan nol lagi ke dalam hasil bagi dan kurangi 0 dari 0 dalam perhitungan perantara.Karena dalam perhitungan perantara perhitungan dengan nol biasanya tidak ditulis, entri dapat dipersingkat, hanya menyisakan sisanya - 0. Nol sisa di pada akhir perhitungan biasanya ditulis untuk menunjukkan bahwa pembagian telah selesai:

Karena tidak ada lagi angka yang tersisa pada pembagian, berarti 3000 habis dibagi 6:

Pembagian kolom dengan sisa

Katakanlah kita perlu membagi 1340 dengan 23.

Kami menentukan dividen yang tidak lengkap - ini adalah angka 134. Kami menulis 5 ke dalam hasil bagi dan mengurangi 115 dari 134. Sisanya adalah 19:

Kita turunkan digit pembagi berikutnya - 0. Kita tentukan berapa kali 23 terdapat pada bilangan 190. Kita peroleh bilangan 8, tuliskan ke dalam hasil bagi, dan kurangi 184 dari 190. Kita peroleh sisanya 6:

Karena tidak ada lagi angka yang tersisa pada dividen, maka pembagiannya selesai. Hasilnya adalah hasil bagi tidak lengkap dari 58 dan sisa 6:

1340 : 23 = 58 (sisa 6)

Tetap memperhatikan contoh pembagian dengan sisa, ketika dividen lebih kecil dari pembaginya. Mari kita membagi 3 dengan 10. Kita melihat bahwa 10 tidak pernah terkandung dalam angka 3, jadi kita tuliskan 0 sebagai hasil bagi dan kurangi 0 dari 3 (10 · 0 = 0). Gambarlah garis horizontal dan tuliskan sisanya - 3:

3: 10 = 0 (sisa 3)

Kalkulator pembagian panjang

Kalkulator ini akan membantu Anda melakukan pembagian panjang. Cukup masukkan dividen dan pembagi dan klik tombol Hitung.

Apa yang dilakukan kelas 3 dalam matematika? Pembagian dengan sisa, contoh dan soal - inilah yang dipelajari dalam pelajaran. Pembagian dengan sisa dan algoritma perhitungan tersebut akan dibahas dalam artikel.

Keunikan

Mari kita lihat topik-topik yang termasuk dalam program yang dipelajari kelas 3 SD. Pembagian dengan sisa termasuk dalam bagian khusus matematika. Tentang apa ini? Jika pembagiannya tidak habis dibagi oleh pembaginya, maka masih ada sisanya. Misalnya kita membagi 21 dengan 6. Ternyata 3, tapi sisanya tetap 3.

Apabila pada pembagian bilangan asli sisa adalah nol, maka dikatakan telah dilakukan pembagian sempurna. Misalnya 25 dibagi 5 maka hasilnya 5. Sisanya nol.

Contoh Penyelesaian

Untuk melakukan pembagian dengan sisa, digunakan notasi tertentu.

Mari kita beri contoh dalam matematika (kelas 3). Pembagian dengan sisa tidak perlu ditulis dalam kolom. Cukup ditulis pada baris: 13:4=3 (sisa 1) atau 17:5=3 (sisa 2).

Mari kita lihat semuanya lebih detail. Misalnya, membagi 17 dengan tiga menghasilkan bilangan bulat lima dan juga menyisakan dua. Bagaimana prosedur penyelesaian contoh pembagian dengan sisa ini? Pertama, Anda perlu mencari angka maksimal hingga 17, yang dapat dibagi tiga tanpa sisa. Yang terbesar adalah 15.

Selanjutnya bagi 15 dengan angka tiga, hasil tindakannya adalah angka lima. Sekarang kita kurangi bilangan yang kita peroleh dari pembagiannya, yaitu dari 17 kita kurangi 15, kita mendapat dua. Tindakan wajib adalah merekonsiliasi pembagi dan sisanya. Setelah verifikasi, respons dari tindakan yang telah selesai harus dicatat. 17:3=15 (sisa 2).

Jika sisanya lebih besar dari pembagi, maka tindakan yang dilakukan salah. Ini adalah algoritma yang digunakan untuk melakukan pembagian kelas 3 dengan sisa. Contoh-contoh tersebut dianalisis terlebih dahulu oleh guru di papan tulis, kemudian anak diminta menguji pengetahuannya dengan melakukan pekerjaan mandiri.

Contoh dengan perkalian

Salah satu topik tersulit yang dihadapi kelas 3 SD adalah pembagian dengan sisa. Contohnya bisa jadi rumit, terutama bila diperlukan perhitungan tambahan, yang dicatat dalam kolom.

Katakanlah Anda perlu membagi angka 190 dengan 27 untuk mendapatkan sisa minimum. Mari kita coba menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan perkalian.

Mari kita pilih suatu bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan yang sedekat mungkin dengan bilangan 190. Jika kita mengalikan 27 dengan 6, kita mendapatkan bilangan 162. Kurangi bilangan 162 dari 190, maka sisanya adalah 28. Ternyata menjadi lebih besar dari pembagi aslinya. Oleh karena itu, angka enam tidak cocok sebagai pengganda pada contoh kita. Mari kita lanjutkan menyelesaikan contoh, mengambil angka 7 untuk perkalian.

Mengalikan 27 dengan 7, kita mendapatkan hasil kali 189. Selanjutnya kita periksa kebenaran penyelesaiannya, caranya kurangi hasil yang didapat dari 190, yaitu kurangi angka 189. Sisanya menjadi 1, yang jelas kurang dari 27. Beginilah cara penyelesaiannya ekspresi kompleks di sekolah (kelas 3, pembagian dengan sisa). Contohnya selalu mencakup pencatatan tanggapan. Seluruh ekspresi matematika dapat ditulis sebagai berikut: 190:27 = 7 (sisa 1). Perhitungan serupa dapat dilakukan dalam kolom.

Beginilah cara siswa kelas 3 membagi dengan sisanya. Contoh yang diberikan di atas akan membantu Anda memahami algoritma untuk memecahkan masalah tersebut.

Kesimpulan

Agar siswa kelas dasar Jika keterampilan komputasi yang benar telah dikembangkan, guru, selama kelas matematika, harus memperhatikan penjelasan algoritma tindakan anak ketika memecahkan masalah yang melibatkan pembagian dengan sisa.

Menurut negara federal yang baru standar pendidikan perhatian khusus diberikan pada pendekatan individual untuk belajar. Guru harus memilih tugas untuk setiap anak dengan mempertimbangkan kemampuan individunya. Pada setiap tahapan pembelajaran kaidah pembagian dengan sisanya, guru harus melakukan pengendalian perantara. Hal ini memungkinkan dia untuk mengidentifikasi masalah utama yang muncul dengan asimilasi materi untuk setiap siswa, memperbaiki pengetahuan dan keterampilan secara tepat waktu, menghilangkan masalah yang muncul, dan memperoleh hasil yang diinginkan.