Representasi geometris ekspresif dari sistem bilangan rasional dapat diperoleh sebagai berikut.
Pada garis lurus tertentu, “sumbu numerik”, kita menandai segmen dari O ke 1 (Gbr. 8). Ini menetapkan panjang segmen satuan, yang secara umum dapat dipilih secara sewenang-wenang. Bilangan bulat positif dan negatif kemudian direpresentasikan dengan himpunan titik-titik yang berjarak sama pada sumbu bilangan, yaitu bilangan positif diberi tanda di sebelah kanan, dan bilangan negatif di sebelah kiri titik 0. Untuk menggambarkan bilangan yang berpenyebut n, bagilah masing-masing bilangan tersebut. segmen yang dihasilkan dengan satuan panjang sebesar n bagian yang sama; Titik pembagian akan mewakili pecahan dengan penyebut n. Jika kita melakukan ini untuk nilai n yang sesuai dengan semua bilangan asli, maka setiap bilangan rasional akan digambarkan oleh suatu titik pada sumbu bilangan. Kami setuju untuk menyebut poin-poin ini “rasional”; Secara umum, kita akan menggunakan istilah “bilangan rasional” dan “titik rasional” sebagai sinonim.
Dalam Bab I, § 1, hubungan pertidaksamaan A didefinisikan untuk setiap pasangan titik rasional, maka wajar jika mencoba menggeneralisasi hubungan pertidaksamaan aritmatika sedemikian rupa untuk mempertahankan tatanan geometrik untuk titik-titik yang dipertimbangkan. Hal ini dimungkinkan jika kita menerima definisi berikut: mereka mengatakan bahwa bilangan rasional A lebih sedikit dari bilangan rasional B (A lebih besar dari bilangan A (B>A), jika perbedaan VA positif. Hal ini berarti (untuk A antara A dan B adalah yang >A dan suatu segmen (atau segmen) dan dilambangkan dengan [A, B] (dan himpunan titik tengahnya saja adalah selang(atau diantara), dilambangkan (A, B)).
Jarak suatu titik sembarang A dari titik asal 0, yang dianggap sebagai bilangan positif, disebut nilai mutlak A dan ditunjukkan dengan simbol
Konsep " nilai mutlak" didefinisikan sebagai berikut: jika A≥0, maka |A| = A; jika A
|A+B|≤|A| + |B|,
yang benar terlepas dari tanda A dan B.
Fakta yang sangat penting diungkapkan dalam kalimat berikut: titik-titik rasional terletak rapat di mana-mana pada garis bilangan. Arti dari pernyataan ini adalah bahwa setiap interval, sekecil apa pun, mengandung titik-titik rasional. Untuk memverifikasi keabsahan pernyataan di atas, cukup dengan mengambil bilangan n sedemikian besar sehingga intervalnya lebih kecil dari interval yang diberikan (A, B); maka setidaknya salah satu titik pandang akan berada dalam interval ini. Jadi, tidak ada interval pada garis bilangan (bahkan interval terkecil sekalipun) yang di dalamnya tidak terdapat titik-titik rasional. Hal ini mengarah pada konsekuensi lebih lanjut: setiap interval berisi himpunan titik rasional yang tak terhingga. Memang kalau dalam interval tertentu hanya berisi saja nomor akhir titik-titik rasional, maka di dalam interval yang dibentuk oleh dua titik yang bertetangga tersebut, tidak akan ada lagi titik-titik rasional, dan hal ini bertentangan dengan apa yang baru saja dibuktikan.
TIKET 1
Rasional bilangan – bilangan yang ditulis dalam bentuk p/q, dimana q adalah bilangan asli. bilangan, dan p adalah bilangan bulat.
Dua bilangan a=p1/q1 dan b=p2/q2 disebut sama jika p1q2=p2q1, dan p2q1 dan a>b jika p1q2
TIKET 2
Bilangan kompleks. Bilangan kompleks
Persamaan aljabar adalah persamaan yang bentuknya: P n ( X) = 0, dimana P n ( X) - polinomial N- oh gelar. Beberapa bilangan real X Dan pada Sebut saja terurut jika disebutkan mana yang dianggap pertama dan mana yang dianggap kedua. Notasi pasangan terurut: ( X, kamu). Bilangan kompleks adalah pasangan bilangan real yang terurut secara sembarang. z = (X, kamu)-bilangan kompleks.
X-bagian nyata z, kamu-bagian imajiner z. Jika X= 0 dan kamu= 0, maka z= 0. Misalkan z 1 = (x 1 , y 1) dan z 2 = (x 2 , y 2).
Definisi 1. z 1 = z 2 jika x 1 = x 2 dan y 1 = y 2.
Konsep > dan< для комплексных чисел не вводятся.
Representasi geometris dan bentuk trigonometri bilangan kompleks.
M( X, kamu) « z = X + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(gambar)
r disebut modulus bilangan kompleks z.
j disebut argumen bilangan kompleks z. Ditentukan dengan akurasi ± 2p N.
X= rcosj, kamu= rsinj.
z= X+ iy= r(karenaj + Saya sinj) adalah bentuk trigonometri bilangan kompleks.
Pernyataan 3.
= (karena + Saya dosa),
= (karena + Saya dosa), lalu
= (karena(+ ) + Saya dosa(+ )),
= (karena(- )+ Saya sin( - )) pada ¹0.
Pernyataan 4.
Jika z=r(karenaj+ Saya sinj), lalu "alami N:
= (karena nj + Saya dosa nj),
TIKET 3
Membiarkan X- himpunan numerik yang berisi setidaknya satu angka (himpunan tidak kosong).
XÎ X- X terkandung di dalamnya X. ; XÏ X- X bukan milik X.
Definisi: Sekelompok X disebut dibatasi di atas (di bawah) jika ada bilangan M(M) sedemikian rupa sehingga untuk apa pun X Î X ketimpangan tetap terjadi X £ M (X ³ M), sedangkan nomornya M disebut batas atas (bawah) himpunan X. Sekelompok X dikatakan dibatasi di atas jika $ M, " X Î X: X £ M. Definisi set tak terbatas dari atas. Sekelompok X dikatakan tidak terbatas dari atas jika " M $ X Î X: X> M.Definisi sekelompok X disebut dibatasi jika dibatasi atas dan bawah, yaitu $ M, M seperti yang " X Î X: M £ X £ M. Definisi setara dari ogre mn-va: Set X disebut dibatasi jika $ A > 0, " X Î X: ½ X½£ A. Definisi: Batas atas terkecil suatu himpunan yang dibatasi di atasnya X disebut supremumnya, dan dilambangkan dengan Sup X
(tertinggi). =Sup X. Demikian pula, seseorang dapat menentukan secara pasti
tepi bawah. Setara definisi batas atas yang tepat:
Bilangan tersebut disebut supremum himpunan X, Jika: 1) " X Î X: X£ (kondisi ini menunjukkan bahwa itu adalah salah satu batas atas). 2) " < $ x Î X: X> (kondisi ini menunjukkan bahwa -
yang terkecil dari sisi atas).
Sup X= :
1. " XÎ X: X £ .
2. " < $ XÎ X: X> .
inf X(infimum) adalah infimum yang tepat. Mari kita ajukan pertanyaan: apakah setiap himpunan berbatas mempunyai rusuk eksak?
Contoh: X= {X: X>0) tidak mempunyai angka terkecil.
Teorema keberadaan permukaan atas (bawah) yang tepat. Setiap batas atas (bawah) yang tidak kosong xÎR mempunyai sisi atas (bawah) yang tepat.
Teorema keterpisahan bilangan numerik:▀▀▄
TIKET 4
Jika setiap bilangan asli n (n=1,2,3..) diberi bilangan Xn yang bersesuaian, maka bilangan tersebut dikatakan terdefinisi dan diberikan selanjutnya x1, x2..., tulis (Xn), (Xn) Contoh: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Nama limitnya. dari atas (dari bawah) jika himpunan titik x=x1,x2,…xn yang terletak pada sumbu bilangan dibatasi dari atas (dari bawah), yaitu. $C:Xn$C" Batas urutan: bilangan a disebut limit barisan jika untuk sembarang ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N pertidaksamaan |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
pada n>N.
Keunikan batasnya barisan berbatas dan konvergen
Sifat 1: Barisan konvergen hanya mempunyai satu limit.
Bukti: dengan kontradiksi biarkan A Dan B limit barisan konvergen (x n), dan a tidak sama dengan b. pertimbangkan barisan yang sangat kecil (α n )=(x n -a) dan (β n )=(x n -b). Karena semua elemen bm barisan (α n -β n ) mempunyai nilai yang sama b-a, maka berdasarkan sifat b.m. barisan b-a=0 yaitu b=a dan kita sampai pada kontradiksi.
Properti2: Barisan konvergen dibatasi.
Bukti: Misalkan a adalah limit barisan konvergen (x n), maka α n =x n -a adalah salah satu anggota barisan b.m. urutan. Mari kita ambil ε>0 mana pun dan menggunakannya untuk mencari N ε: / x n -a/< ε при n>tidak ε . Mari kita nyatakan dengan b bilangan terbesar ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε. Jelas sekali bahwa /xn/
Catatan: barisan berbatas tidak boleh konvergen.
TIKET 6
Barisan a n disebut sangat kecil, artinya limit barisan setelahnya adalah 0.
a n – sangat kecil Û lim(n ® + ¥)a n =0 yaitu, untuk sembarang ε>0 terdapat N sehingga untuk sembarang n>N |a n |<ε
Dalil. Jumlah dari suatu yang sangat kecil adalah suatu yang sangat kecil.
a n b n ®sangat kecil Þ a n +b n – sangat kecil.
Bukti.
a n - sangat kecil Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - sangat kecil Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Mari kita atur N=max(N 1 ,N 2 ), lalu untuk sembarang n>N Þ kedua pertidaksamaan terpenuhi secara bersamaan:
|dan |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Mari kita atur "ε 1 >0, set ε=ε 1 /2. Lalu untuk sembarang ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
adalah a n + b n – sangat kecil.
Dalil Hasil kali dari suatu yang sangat kecil adalah suatu yang sangat kecil.
a n ,b n – sangat kecil Þ a n b n – sangat kecil.
Bukti:
Mari kita himpunan "ε 1 >0, masukkan ε=Öε 1, karena a n dan b n sangat kecil untuk ini ε>0, maka ada N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Mari kita ambil N=max (N 1 ;N 2 ), lalu "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – sangat kecil, yang perlu dibuktikan.
Dalil Hasil kali barisan berbatas dan barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil
dan n adalah barisan berbatas
a n – barisan yang sangat kecil Þ a n a n – barisan yang sangat kecil.
Bukti: Karena n dibatasi Û $С>0: "nО NÞ |dan |£C
Mari kita himpunan "ε 1 >0; himpunan ε=ε 1 /C; karena a n sangat kecil, maka ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – sangat kecil Urutannya disebut BBP(secara berurutan) jika mereka menulis. Tentu saja, BBP tidak terbatas. Pernyataan sebaliknya umumnya salah (contoh). Kalau untuk yang besar N anggota, lalu tuliskan ini artinya secepatnya. Arti dari entri tersebut ditentukan dengan cara yang sama Urutan yang sangat besar sebuah =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Definisi(urutan yang sangat besar) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, jika "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε dengan ε kecil. 2) lim(n ® ¥)an =-¥, jika "ε>0 $N:"n>N Þ an n<-ε 3) lim(n ® ¥)an =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |an |>ε TIKET 7 Teorema “Tentang konvergensi nada monoton. terakhir" Setiap barisan monotonik adalah konvergen, mis. memiliki batasan. Dokumen Misalkan barisan (xn) bertambah secara monoton. dan dibatasi dari atas. X – seluruh himpunan bilangan yang menerima elemen barisan ini sesuai dengan konvensi. Oleh karena itu, teorema-teorema tersebut terbatas jumlahnya, menurut Teorema mempunyai batas atas eksak berhingga. wajah supX xn®supX (kami menyatakan supX dengan x*). Karena x* tepat di atas. wajah, lalu xn£x* " n. " e >0 saraf keluar $ xm (biarkan m menjadi n dengan penutup): xm>x*-e dengan " n>m => dari 2 pertidaksamaan yang ditunjukkan kita peroleh pertidaksamaan kedua x*-e£xn£x*+e untuk n>m setara dengan ½xn-x*1 TIKET 8 Eksponen atau bilangan e Nomor R-Romawi barisan dengan suku umum xn=(1+1/n)^n (pangkat n)(1) . Ternyata barisan (1) bertambah monoton, dibatasi dari atas dan konvergen; limit barisan tersebut disebut eksponensial dan dilambangkan dengan simbol e»2.7128... Nomor e TIKET 9 Prinsip segmen bersarang Misalkan garis bilangan diberi barisan ruas-ruas ,,...,,... Selain itu, segmen-segmen ini memenuhi hal-hal berikut. kondisi: 1) setiap yang berikutnya disarangkan ke yang sebelumnya, mis. saya, "n=1,2,…; 2) Panjang segmen ®0 seiring bertambahnya n, mis. lim(n®¥)(bn-an)=0. Urutan dengan orang-orang kudus tertentu disebut bersarang. Dalil Setiap rangkaian segmen bersarang berisi satu t-ku yang dimiliki oleh semua segmen rangkaian secara bersamaan, dengan poin umum dari seluruh segmen dimana mereka dikontrak. Dokumen(an) - urutan ujung kiri segmen fenomena. monoton tidak berkurang dan dibatasi di atasnya oleh bilangan b1. (bn) - barisan ujung kanan tidak bertambah secara monoton, oleh karena itu barisan fenomena ini. konvergen, yaitu ada bilangan c1=lim(n®¥)an dan c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - bilangannya arti umum. Memang, ia memiliki batas lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) karena kondisi 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с Jelas bahwa t.c adalah umum untuk semua segmen, karena "n an£c£bn. Sekarang kita akan membuktikan bahwa itu adalah satu. Mari kita asumsikan bahwa $ adalah c' lain yang menjadi tempat semua segmen dikontrak. Jika kita mengambil sembarang ruas c dan c' yang tidak berpotongan, maka pada salah satu sisi seluruh “ekor” barisan (an), (bn) harus terletak di sekitar titik c'' (karena an dan bn konvergen ke c dan c' secara bersamaan). Kontradiksinya memang benar. TIKET 10 Teorema Bolzano-Weierstrass
Dari potongan apa pun. Setelah itu Anda dapat memilih pertemuannya. Subsilabus 1. Karena barisan tersebut terbatas, maka $m dan M, sehingga " m£xn£M, " n. D1= – segmen di mana semua barisan t-ki berada. Mari kita bagi menjadi dua. Setidaknya salah satu bagiannya akan berisi tak terhingga nomor tk setelah. D2 adalah bagian di mana barisan tk yang jumlahnya tak terhingga berada. Kami membaginya menjadi dua. Setidaknya di salah satu bagian negatif. D2 memiliki jumlah barisan yang tak terhingga. Separuh ini adalah D3. Bagilah segmen D3... dst. kita memperoleh urutan segmen bersarang, yang panjangnya cenderung 0. Menurut aturan tentang segmen bersarang, $ unit. t-ka S, kucing. termasuk semua segmen D1, semua t-tu Dn1. Pada segmen D2 saya pilih titik xn2, sehingga n2>n1. Di segmen D3... dst. Hasilnya, kata terakhirnya adalah xnkÎDk. TIKET 11 TIKET 12 mendasar Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan pertanyaan tentang kriteria konvergensi barisan numerik. Misalkan: Kami mendapat pernyataan berikut: Jika barisan tersebut konvergen, maka kondisinya terpenuhi Cauchy: Barisan bilangan yang memenuhi syarat Cauchy disebut mendasar. Dapat dibuktikan bahwa hal sebaliknya juga benar. Jadi, kita memiliki kriteria (kondisi perlu dan cukup) untuk konvergensi barisan tersebut. Kriteria Cauchy. Agar suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut perlu dan cukup menjadi fundamental. Arti kedua dari kriteria Cauchy. Anggota urutan dan di mana N Dan M– setiap pendekatan tanpa batas pada . TIKET 13 Batasan sepihak. Definisi 13.11. Nomor A disebut limit fungsi kamu = f(x) pada X, berjuang untuk x 0 kiri (kanan), jika sedemikian rupa sehingga | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Sebutan: Teorema 13.1 (definisi limit kedua). Fungsi kamu=f(x) memiliki di X, berjuang untuk X 0, batas sama dengan A, jika dan hanya jika kedua batas satu sisinya pada titik ini ada dan sama A. Bukti. 1) Jika , maka dan untuk x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - SEBUAH|<ε, то есть 1) Jika , maka ada δ 1: | f(x) - SEBUAH| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - SEBUAH| < ε при x - x 0<
δ2. Memilih yang lebih kecil dari bilangan δ 1 dan δ 2 dan menganggapnya sebagai δ, kita peroleh bahwa untuk | x - x 0| < δ |f(x) - SEBUAH| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentar. Karena persamaan syarat-syarat yang terdapat dalam definisi batas 13.7 dan syarat-syarat keberadaan dan persamaan batas satu sisi telah terbukti, maka syarat-syarat tersebut dapat dianggap sebagai definisi batas yang kedua. Definisi 4 (menurut Heine) Nomor A disebut limit suatu fungsi jika ada BBP nilai argumen, barisan nilai fungsi yang bersesuaian konvergen A. Definisi 4 (menurut Cauchy). Nomor A dipanggil jika . Terbukti bahwa definisi-definisi ini setara. TIKET 14 dan 15 Sifat-sifat limit fungsi pada suatu titik 1) Jika ada batasan, maka itu satu-satunya 2) Jika dalam tka x0 limit fungsi f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> maka dalam hal ini $ adalah limit dari jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi. Pemisahan 2 fungsi ini. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Teorema 3. Jika ( tanggapan A ) lalu $ lingkungan tempat terjadinya pertidaksamaan >B (res Dengan asumsi dalam Teorema 3 B=0, kita mendapatkan: jika ( jawab), lalu $ , di semua titik, yang mana akan terjadi >0 (jawaban<0),
itu. fungsi tersebut mempertahankan tanda limitnya. Teorema 4(dalam perjalanan menuju batas ketimpangan). Jika di suatu lingkungan suatu titik (kecuali mungkin titik ini sendiri) kondisi terpenuhi dan fungsi-fungsi ini mempunyai batas pada titik tersebut, maka . Dalam bahasa dan. Mari kita perkenalkan fungsinya. Jelas bahwa di sekitar t. . Kemudian, berdasarkan teorema kekekalan suatu fungsi, kita mempunyai nilai limitnya, tetapi Teorema 5.(pada batas fungsi perantara). (1) Jika TIKET 16 Definisi 14.1. Fungsi kamu=α(x) disebut sangat kecil di x→x 0, Jika Sifat-sifat yang sangat kecil. 1. Jumlah dua bilangan yang sangat kecil adalah bilangan yang sangat kecil. Bukti. Jika (x) Dan (x) – sangat kecil di x→x 0, maka terdapat δ 1 dan δ 2 sehingga | (x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Komentar. Oleh karena itu, jumlah dari bilangan berhingga yang sangat kecil adalah sangat kecil. 2. Jika α( X) – sangat kecil di x→x 0, A f(x) – suatu fungsi yang dibatasi pada lingkungan tertentu x 0, Itu α(x)f(x) – sangat kecil di x→x 0. Bukti. Ayo pilih nomor M sedemikian rupa sehingga | f(x)| Akibat wajar 1. Hasil kali suatu bilangan yang sangat kecil dengan suatu bilangan yang berhingga adalah suatu bilangan yang sangat kecil. Akibat wajar 2. Hasil kali dua atau lebih bilangan yang sangat kecil adalah suatu bilangan yang sangat kecil. Akibat wajar 3. Kombinasi linier dari bilangan yang sangat kecil adalah yang sangat kecil. 3. (Definisi limit yang ketiga). Jika , maka syarat perlu dan cukup untuk ini adalah fungsi tersebut f(x) dapat direpresentasikan dalam bentuk f(x)=SEBUAH+α(x), Di mana (x) – sangat kecil di x→x 0. Bukti. 1)
Biarkan Lalu | f(x)-A|<ε при x→x 0, itu adalah α(x)=f(x)-A– sangat kecil di x→x 0 . Karena itu , f(x)=SEBUAH+α(x). 2) Biarkan f(x)=SEBUAH+α(x). Kemudian Komentar. Dengan demikian, diperoleh definisi limit lain yang setara dengan dua definisi sebelumnya. Fungsi yang sangat besar. Definisi 15.1. Fungsi f(x) dikatakan sangat besar untuk x x 0 jika Untuk yang sangat besar, Anda dapat memperkenalkan sistem klasifikasi yang sama dengan yang sangat kecil, yaitu: 1. F(x) dan g(x) yang besarnya tak terhingga dianggap besaran berorde sama jika 2. Jika , maka f(x) dianggap besar tak terhingga dengan orde lebih tinggi daripada g(x). 3. F(x) yang besarnya tak terhingga disebut besaran orde ke-k relatif terhadap g(x) yang besarnya tak terhingga jika . Komentar. Perhatikan bahwa a x sangat besar (untuk a>1 dan x) dengan orde lebih tinggi daripada x k untuk k apa pun, dan log a x sangat besar dengan orde lebih rendah daripada pangkat x k apa pun. Teorema 15.1. Jika α(x) sangat kecil pada x→x 0, maka 1/α(x) sangat besar pada x→x 0. Bukti. Mari kita buktikan untuk |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Artinya, 1/α(x) sangat besar jika x→x 0. TIKET 17 Teorema 14.7 (batas luar biasa pertama). . Bukti. Perhatikan sebuah lingkaran berjari-jari satuan yang berpusat di titik asal dan asumsikan sudut AOB sama dengan x (radian). Mari kita bandingkan luas segitiga AOB, sektor AOB dan segitiga AOC, dimana garis lurus OS bersinggungan dengan lingkaran yang melalui titik (1;0). Sudah jelas bahwa. Dengan menggunakan rumus geometri yang sesuai untuk luas bangun, kita peroleh bahwa ANGKA NYATA II § 37 Representasi geometris bilangan rasional Membiarkan Δ
adalah segmen yang diambil sebagai satuan panjang, dan aku
- garis lurus sembarang (Gbr. 51). Mari kita ambil beberapa poin dan beri tanda dengan huruf O. Setiap bilangan rasional positif M /
N
mari kita cocokkan titik tersebut dengan garis lurus aku
, terletak di sebelah kanan C pada jarak M /
N
satuan panjang. Misalnya, angka 2 akan bersesuaian dengan titik A, yang terletak di sebelah kanan O pada jarak 2 satuan panjang, dan angka 5/4 akan bersesuaian dengan titik B, yang terletak di sebelah kanan O pada jarak 5. /4 satuan panjang. Setiap bilangan rasional negatif k /
aku
mari kita kaitkan suatu titik dengan garis lurus yang terletak di sebelah kiri O pada jarak | k /
aku
| satuan panjang. Jadi, angka - 3 akan bersesuaian dengan titik C yang terletak di sebelah kiri O pada jarak 3 satuan panjang, dan angka - 3/2 akan bersesuaian dengan titik D yang terletak di sebelah kiri O pada jarak 3/ 2 satuan panjang. Terakhir, kita mengasosiasikan bilangan rasional “nol” dengan titik O. Jelasnya, dengan korespondensi yang dipilih, bilangan rasional yang sama (misalnya, 1/2 dan 2/4) akan bersesuaian dengan titik yang sama, dan titik-titik garis yang berbeda tidak akan bersesuaian dengan bilangan yang sama. Anggap saja nomor tersebut M /
N
titik P sesuai, dan nomornya k /
aku
poin Q. Lalu jika M /
N
> k /
aku
, maka titik P terletak di sebelah kanan titik Q (Gbr. 52, a); jika M /
N
< k /
aku
, maka titik P terletak di sebelah kiri titik Q (Gbr. 52, b). Jadi, bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan secara geometris sebagai titik tertentu pada suatu garis. Apakah pernyataan sebaliknya benar? Dapatkah setiap titik pada suatu garis dianggap sebagai bayangan geometri suatu bilangan rasional? Kami akan menunda penyelesaian masalah ini hingga § 44. Latihan
296. Gambarlah bilangan rasional berikut sebagai titik-titik pada suatu garis: 3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6. 297. Diketahui titik A (Gbr. 53) merupakan bayangan geometri bilangan rasional 1/3. Angka manakah yang mewakili titik B, C dan D? 298. Diberikan dua titik pada sebuah garis, yang berfungsi sebagai representasi geometri bilangan rasional A
Dan B
a + b
Dan a - b
. 299. Diberikan dua titik pada sebuah garis, yang berfungsi sebagai representasi geometri bilangan rasional a + b
Dan a - b
. Temukan titik-titik yang mewakili angka-angka pada garis ini A
Dan B
. Representasi geometris ekspresif dari sistem bilangan rasional dapat diperoleh sebagai berikut. Beras. 8. Sumbu bilangan Pada garis lurus tertentu, “sumbu bilangan”, kita menandai segmen dari 0 hingga 1 (Gbr. 8). Ini menetapkan panjang segmen satuan, yang secara umum dapat dipilih secara sewenang-wenang. Bilangan bulat positif dan negatif kemudian digambarkan dengan himpunan titik-titik yang berjarak sama pada sumbu bilangan, yaitu bilangan positif diberi tanda di sebelah kanan, dan bilangan negatif di sebelah kiri titik 0. Untuk menggambarkan bilangan yang mempunyai penyebut, kita membagi masing-masing bilangan tersebut. segmen yang dihasilkan dari satuan panjang menjadi bagian yang sama; titik pembagian akan mewakili pecahan yang memiliki penyebut.Jika kita melakukan ini untuk nilai-nilai yang sesuai dengan semua bilangan asli, maka setiap bilangan rasional akan digambarkan oleh beberapa titik pada sumbu bilangan. Kami setuju untuk menyebut poin-poin ini “rasional”; Secara umum, kita akan menggunakan istilah “bilangan rasional” dan “titik rasional” sebagai sinonim. Dalam Bab I, § 1, hubungan pertidaksamaan bilangan asli telah didefinisikan. Pada sumbu bilangan, hubungan ini tercermin sebagai berikut: jika bilangan asli A lebih kecil dari bilangan asli B, maka titik A terletak di sebelah kiri titik B. Karena hubungan geometri yang ditunjukkan dibuat untuk setiap pasangan titik rasional, maka wajar jika mencoba menggeneralisasi hubungan pertidaksamaan aritmatika dengan cara ini, untuk mempertahankan tatanan geometrik untuk titik-titik yang dimaksud. Hal ini dimungkinkan jika kita menerima definisi berikut: kita mengatakan bahwa bilangan rasional A lebih kecil dari bilangan rasional atau bilangan B lebih besar dari suatu bilangan jika selisihnya positif. Oleh karena itu (pada ) titik-titik (angka) di antara adalah titik-titik itu secara bersamaan Setiap pasangan titik tersebut, bersama dengan semua titik di antara keduanya, disebut segmen (atau segmen) dan dilambangkan (dan himpunan titik perantara saja disebut interval (atau interval), dilambangkan Jarak suatu titik sembarang A dari titik asal 0, yang dianggap bilangan positif, disebut nilai absolut A dan dilambangkan dengan simbol Konsep “nilai absolut” didefinisikan sebagai berikut: jika , maka jika maka Jelaslah bahwa jika bilangan-bilangan tersebut mempunyai tanda yang sama, maka persamaannya benar; jika bilangan-bilangan tersebut mempunyai tanda yang berbeda, maka . Dengan menggabungkan kedua hasil ini, kita sampai pada ketimpangan umum yang benar terlepas dari tanda-tandanya Fakta yang sangat penting diungkapkan dalam kalimat berikut: titik-titik rasional terletak rapat di mana-mana pada garis bilangan. Arti dari pernyataan ini adalah bahwa setiap interval, sekecil apa pun, mengandung titik-titik rasional. Untuk memverifikasi keabsahan pernyataan yang disebutkan, cukup dengan mengambil bilangan yang begitu besar sehingga intervalnya ( akan lebih kecil dari interval yang diberikan; maka paling sedikit salah satu titik formulir akan berada di dalam interval yang diberikan. Jadi, disana tidak ada interval pada sumbu bilangan (bahkan yang terkecil sekalipun, yang dapat dibayangkan), yang di dalamnya tidak terdapat titik-titik rasional. Dari sini berikut konsekuensi selanjutnya: setiap interval berisi titik-titik rasional yang jumlahnya tak terhingga. Tentu saja, jika suatu interval berisi hanya sejumlah titik rasional yang terbatas, maka di dalam interval yang dibentuk oleh dua titik yang bertetangga tersebut, tidak akan ada lagi titik rasional, dan hal ini bertentangan dengan apa yang baru saja dibuktikan. Ada bentuk-bentuk bilangan kompleks berikut ini: aljabar(x+iy), trigonometri(r(cos+isin Bilangan kompleks apa pun z=x+iy dapat direpresentasikan pada bidang XOU sebagai titik A(x,y). Bidang yang menggambarkan bilangan kompleks disebut bidang variabel kompleks z (kita letakkan simbol z pada bidang tersebut). Sumbu OX adalah sumbu nyata, mis. itu berisi bilangan real. OU adalah sumbu imajiner dengan bilangan imajiner. x+iy- bentuk aljabar penulisan bilangan kompleks. Mari kita turunkan bentuk trigonometri dari penulisan bilangan kompleks. Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam bentuk awal: , yaitu. r(kos Bentuk penulisan bilangan kompleks secara eksponensial mengikuti rumus Euler: z= ulang Saya 1.
tambahan. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2); 2
. pengurangan. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2); 3.
perkalian. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1); 4
. divisi. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= Dua bilangan kompleks yang hanya berbeda tanda satuan imajinernya, yaitu. z=x+iy (z=x-iy) disebut konjugat. Bekerja. z1=r(kos Hasil kali z1*z2 dari bilangan kompleks ditemukan: , yaitu. modulus hasil kali sama dengan hasil kali moduli, dan argumen hasil kali sama dengan jumlah argumen faktor-faktornya. Pribadi. Jika bilangan kompleks diberikan dalam bentuk trigonometri. Jika bilangan kompleks diberikan dalam bentuk eksponensial. Eksponensial. 1.
Bilangan kompleks diberikan dalam aljabar
membentuk. z=x+iy, maka z n ditemukan oleh Rumus binomial Newton: Terapkan untuk bilangan kompleks. Dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda perlu mengganti pangkat i dengan nilainya: i 0 =1 Oleh karena itu, dalam kasus umum kita memperoleh: i 4k =1 saya 1 =saya saya 4k+1 =saya saya 2 =-1 saya 4k+2 =-1 saya 3 =-saya saya 4k+3 =-saya Contoh. saya 31 = saya 28 saya 3 =-i saya 1063 = saya 1062 saya=saya 2.
trigonometri
membentuk. z=r(kos -
rumus Moivre. Di sini n dapat berupa “+” atau “-” (integer). 3.
Jika bilangan kompleks diberikan indikatif
membentuk: Ekstraksi akar. Perhatikan persamaannya: Solusinya adalah akar ke-n dari bilangan kompleks z: Akar ke-n dari bilangan kompleks z mempunyai tepat n solusi (nilai). Akar ke-n suatu bilangan real hanya mempunyai satu solusi. Dalam penyelesaian yang kompleks terdapat n penyelesaian. Jika bilangan kompleks diberikan trigonometri
membentuk: z=r(kos Misalkan variabel a mengambil nilai a 1, a 2, a 3,…, a n secara berurutan. Kumpulan angka-angka yang dinomori ulang disebut barisan. Itu tidak ada habisnya. Deret bilangan adalah ekspresi a 1 + a 2 + a 3 +…+an +…= Misalnya. dan 1 adalah suku pertama deret tersebut. dan n adalah suku ke-n atau suku umum deret tersebut. Suatu deret dianggap diberikan jika ke-n (suku persekutuan deret tersebut) diketahui. Deret bilangan mempunyai jumlah suku yang tak terhingga. Pembilang – perkembangan aritmatika
(1,3,5,7…). Suku ke-n dicari dengan rumus a n =a 1 +d(n-1); d=an -an-1 . Penyebut – perkembangan geometri. b n =b 1 q n-1 ; Misalkan jumlah n suku pertama deret tersebut dan dilambangkan dengan Sn. Sn=a1+a2+…+an. Sn adalah jumlah parsial deret ke-n. Pertimbangkan batasnya: S adalah jumlah deret tersebut. Baris konvergen
, jika batas ini terbatas (ada batas terbatas S). Baris berbeda
, jika batas ini tidak terbatas. Ke depan, tugas kita adalah menentukan baris yang mana. Salah satu deret yang paling sederhana namun paling umum adalah deret geometri. Kemajuan geometris adalahkonvergen
di dekat, Jika Juga ditemukan deret harmonik(baris 
Selain bilangan asli, kita juga bisa mensubstitusikan pertidaksamaan lain ke dalam pertidaksamaan terakhir bilangan asli 
,Kemudian
dan di beberapa lingkungan titik (kecuali mungkin titik itu sendiri) kondisi (2) terpenuhi, maka fungsi tersebut mempunyai limit pada titik tersebut dan limit tersebut sama dengan A. dengan syarat (1) $ for (ini adalah lingkungan terkecil dari titik tersebut ). Namun karena kondisi (2), nilainya juga akan terletak di sekitar titik tersebut A, itu. .
, itu adalah α(x)+β(x) – sangat kecil.
berarti | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, atau sinx 
)),
indikatif(apakah saya 
).
+isin
)
- bentuk trigonometri penulisan bilangan kompleks.
,Kemudian 
- bentuk eksponensial penulisan bilangan kompleks.Operasi pada bilangan kompleks.
+isin 
); z2=r(kos 
+isin 
).
;
;
- banyaknya kombinasi n elemen dari m (banyaknya cara pengambilan n elemen dari m).
; n!=1*2*…*n; 0!=1; 
.
+isin 
), Itu
.
.
+isin 
), maka akar ke-n dari z dicari dengan rumus:
, dimana k=0,1…n-1.Baris. Seri angka.
. Bilangan a 1, a 2, a 3,..., dan n merupakan anggota deret tersebut.
.
, C=konstan.
, dan divergen jika 
.
). Baris ini berbeda
.
