Seringkali ketika berbicara dengan siswa sekolah menengah tentang pekerjaan penelitian dalam matematika, saya mendengar yang berikut: “Hal baru apa yang dapat ditemukan dalam matematika?” Tapi sungguh: mungkinkah semua penemuan besar telah dibuat dan teoremanya terbukti?

Pada tanggal 8 Agustus 1900, di Kongres Internasional Matematika di Paris, matematikawan David Hilbert menguraikan daftar masalah yang dia yakini harus diselesaikan pada abad kedua puluh. Ada 23 item dalam daftar. Dua puluh satu di antaranya saat ini terselesaikan. Masalah terakhir dalam daftar Hilbert yang harus dipecahkan adalah teorema Fermat yang terkenal, yang tidak dapat dipecahkan oleh para ilmuwan selama 358 tahun. Pada tahun 1994, warga Inggris Andrew Wiles mengusulkan solusinya. Ternyata itu benar.

Mengikuti contoh Gilbert, di penghujung abad lalu, banyak ahli matematika yang mencoba merumuskan tugas strategis serupa untuk abad ke-21. Salah satu daftar ini dikenal luas berkat miliarder Boston Landon T. Clay. Pada tahun 1998, dengan dananya, Universitas Cambridge (Massachusetts, AS) didirikan Institut Matematika Clay Mathematics Institute dan memberikan penghargaan untuk memecahkan sejumlah masalah penting matematika modern. Pada tanggal 24 Mei 2000, para ahli institut memilih tujuh soal - sesuai dengan jumlah jutaan dolar yang dialokasikan untuk hadiah tersebut. Daftar ini disebut Masalah Hadiah Milenium:

1. Masalah Cook (dirumuskan tahun 1971)

Katakanlah Anda, yang berada di sebuah perusahaan besar, ingin memastikan bahwa teman Anda juga ada di sana. Jika mereka memberi tahu Anda bahwa dia sedang duduk di sudut, maka sepersekian detik saja sudah cukup bagi Anda untuk melihat sekilas dan yakin akan kebenaran informasi tersebut. Tanpa informasi ini, Anda akan terpaksa berjalan mengelilingi seluruh ruangan sambil memandangi para tamu. Hal ini menunjukkan bahwa penyelesaian suatu masalah seringkali membutuhkan waktu lebih lama daripada memeriksa kebenaran solusinya.

Stephen Cook merumuskan masalahnya: mungkin diperlukan waktu lebih lama untuk memeriksa kebenaran solusi suatu masalah daripada mendapatkan solusi itu sendiri, apa pun algoritma verifikasinya. Permasalahan ini juga merupakan salah satu permasalahan yang belum terpecahkan dalam bidang logika dan ilmu komputer. Keputusannya bisa dengan cara yang revolusioner mengubah dasar-dasar kriptografi yang digunakan dalam transmisi dan penyimpanan data.

2. Hipotesis Riemann (dirumuskan pada tahun 1859)

Beberapa bilangan bulat tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua bilangan bulat yang lebih kecil, seperti 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Bilangan seperti ini disebut bilangan prima dan mempunyai peranan penting dalam matematika murni dan penerapannya. Distribusi bilangan prima di antara serangkaian semua bilangan asli tidak mengikuti pola apa pun. Namun, matematikawan Jerman Riemann membuat dugaan mengenai sifat-sifat barisan bilangan prima. Jika Hipotesis Riemann terbukti, hal ini akan membawa perubahan revolusioner dalam pengetahuan kita tentang enkripsi dan terobosan yang belum pernah terjadi sebelumnya dalam keamanan Internet.

3. Hipotesis Birch dan Swinnerton-Dyer (dirumuskan pada tahun 1960)

Terkait dengan deskripsi banyak solusi untuk beberapa persamaan aljabar dari beberapa variabel dengan koefisien bilangan bulat. Contoh persamaan tersebut adalah ekspresi x2 + y2 = z2. Euclid memberi Deskripsi lengkap solusi untuk persamaan ini, tetapi lebih dari itu persamaan kompleks menemukan solusi menjadi sangat sulit.

4. Hipotesis Hodge (dirumuskan pada tahun 1941)

Pada abad ke-20, ahli matematika menemukan metode ampuh untuk mempelajari bentuk benda kompleks. Ide utamanya adalah menggunakan “batu bata” sederhana sebagai pengganti objek itu sendiri, yang direkatkan dan dibentuk serupa. Hipotesis Hodge dikaitkan dengan beberapa asumsi mengenai sifat-sifat “blok penyusun” dan objek tersebut.

5. Persamaan Navier - Stokes (diformulasikan pada tahun 1822)

Jika Anda berlayar dengan perahu di danau, akan timbul gelombang, dan jika Anda terbang dengan pesawat, akan timbul arus turbulen di udara. Diasumsikan bahwa fenomena ini dan fenomena lainnya dijelaskan oleh persamaan yang dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes. Solusi terhadap persamaan ini tidak diketahui, dan bahkan tidak diketahui cara menyelesaikannya. Penting untuk menunjukkan bahwa suatu solusi ada dan merupakan fungsi yang cukup mulus. Pemecahan masalah ini akan secara signifikan mengubah metode pelaksanaan perhitungan hidro dan aerodinamis.

6. Masalah Poincaré (diformulasikan pada tahun 1904)

Jika Anda menarik karet gelang di atas apel, Anda dapat, dengan menggerakkan karet secara perlahan tanpa mengangkatnya dari permukaan, menekannya hingga titik tertentu. Di sisi lain, jika karet gelang yang sama direntangkan dengan tepat di sekitar donat, tidak ada cara untuk menekan karet gelang tersebut sampai titik tertentu tanpa merobek pita atau merusak donat. Mereka bilang permukaan apel hanya terhubung, tapi permukaan donat tidak. Ternyata sangat sulit untuk membuktikan bahwa hanya bola yang terhubung secara sederhana sehingga para ahli matematika masih mencari jawaban yang benar.

7. Persamaan Yang-Mills (diformulasikan pada tahun 1954)

Persamaan fisika kuantum menggambarkan dunia partikel elementer. Fisikawan Young dan Mills, setelah menemukan hubungan antara geometri dan fisika partikel, menulis persamaan mereka. Dengan demikian, mereka menemukan cara untuk menyatukan teori interaksi elektromagnetik, interaksi lemah dan kuat. Persamaan Yang-Mills menyiratkan keberadaan partikel yang benar-benar diamati di laboratorium di seluruh dunia, sehingga teori Yang-Mills diterima oleh sebagian besar fisikawan meskipun faktanya dalam kerangka teori ini masih belum mungkin untuk memprediksi massa partikel elementer.


Menurut saya materi yang dimuat di blog ini menarik tidak hanya bagi siswa, tetapi juga bagi anak sekolah yang serius mempelajari matematika. Ada banyak hal yang perlu dipikirkan ketika memilih topik dan bidang penelitian.

Masalah yang tidak dapat dipecahkan adalah 7 masalah matematika yang menarik. Masing-masing diajukan pada suatu waktu oleh ilmuwan terkenal, biasanya dalam bentuk hipotesis. Selama beberapa dekade, ahli matematika di seluruh dunia telah memutar otak untuk menyelesaikannya. Mereka yang berhasil akan menerima hadiah sebesar satu juta dolar AS, yang ditawarkan oleh Clay Institute.

Institut Tanah Liat

Ini adalah nama yang diberikan kepada organisasi nirlaba swasta yang berkantor pusat di Cambridge, Massachusetts. Didirikan pada tahun 1998 oleh ahli matematika Harvard A. Jaffee dan pengusaha L. Clay. Tujuan dari lembaga ini adalah untuk mempopulerkan dan mengembangkan pengetahuan matematika. Untuk mencapai hal ini, organisasi memberikan penghargaan kepada ilmuwan dan mensponsori penelitian yang menjanjikan.

Pada awal abad ke-21, Clay Mathematics Institute menawarkan hadiah kepada mereka yang memecahkan masalah yang dikenal sebagai masalah tersulit yang tidak dapat dipecahkan, dan menamakan daftarnya sebagai Masalah Hadiah Milenium. Dari Daftar Hilbert, hanya hipotesis Riemann yang masuk di dalamnya.

Tantangan Milenium

Daftar Clay Institute awalnya mencakup:

  • Hipotesis siklus Hodge;
  • persamaan teori kuantum Pabrik Muda;
  • dugaan Poincaré;
  • masalah kesetaraan kelas P dan NP;
  • hipotesis Riemann;
  • tentang keberadaan dan kelancaran penyelesaiannya;
  • Masalah Birch-Swinnerton-Dyer.

Permasalahan matematika terbuka ini sangat menarik karena mempunyai banyak implementasi praktis.

Apa yang dibuktikan Grigory Perelman

Pada tahun 1900, ilmuwan-filsuf terkenal Henri Poincaré mengusulkan bahwa setiap manifold 3 dimensi kompak yang terhubung tanpa batas bersifat homeomorfik terhadap bola 3 dimensi. Buktinya dalam kasus umum tidak ditemukan selama satu abad. Baru pada tahun 2002-2003, ahli matematika St. Petersburg G. Perelman menerbitkan sejumlah artikel yang memecahkan masalah Poincaré. Mereka menghasilkan efek ledakan bom. Pada tahun 2010, hipotesis Poincaré dikeluarkan dari daftar “Masalah yang Belum Terpecahkan” di Clay Institute, dan Perelman sendiri ditawari untuk menerima hadiah yang cukup besar, yang ditolak oleh Perelman tanpa menjelaskan alasan keputusannya.

Penjelasan paling mudah dipahami tentang apa yang mampu dibuktikan oleh ahli matematika Rusia dapat diberikan dengan membayangkan mereka merentangkan piringan karet di atas donat (torus), dan kemudian mencoba menarik tepi lingkarannya ke satu titik. Jelas hal ini mustahil. Lain halnya jika Anda melakukan percobaan ini dengan bola. Dalam hal ini, tampaknya bola tiga dimensi yang dihasilkan dari piringan, yang kelilingnya ditarik ke suatu titik oleh tali hipotetis, dalam pengertiannya akan menjadi tiga dimensi. orang biasa, tetapi dua dimensi dari sudut pandang matematika.

Poincaré menyatakan bahwa bola tiga dimensi adalah satu-satunya “objek” tiga dimensi yang permukaannya dapat dikontraksi menjadi satu titik, dan Perelman mampu membuktikannya. Dengan demikian, daftar “Masalah yang Tidak Dapat Dipecahkan” hari ini terdiri dari 6 masalah.

Teori Yang-Mills

Ini masalah matematika diusulkan oleh penulisnya pada tahun 1954. Rumusan ilmiah dari teori ini adalah sebagai berikut: untuk setiap kelompok pengukur kompak sederhana, teori spasial kuantum yang dibuat oleh Yang dan Mills ada, dan pada saat yang sama tidak memiliki cacat massa.

Berbicara dalam bahasa yang dapat dimengerti oleh rata-rata orang, interaksi antar keduanya benda-benda alam(partikel, benda, gelombang, dll) dibagi menjadi 4 jenis: elektromagnetik, gravitasi, lemah dan kuat. Selama bertahun-tahun, fisikawan telah mencoba menciptakan teori umum bidang. Ini harus menjadi alat untuk menjelaskan semua interaksi ini. Teori Yang-Mills adalah bahasa matematika, dengan bantuan yang memungkinkan untuk menggambarkan 3 dari 4 kekuatan utama alam. Itu tidak berlaku untuk gravitasi. Oleh karena itu, Young dan Mills tidak dapat dianggap berhasil menciptakan teori medan.

Selain itu, ketidaklinieran persamaan yang diusulkan membuat persamaan tersebut sangat sulit diselesaikan. Untuk konstanta kopling kecil, konstanta tersebut dapat diselesaikan dalam bentuk rangkaian teori perturbasi. Namun, masih belum jelas bagaimana persamaan ini dapat diselesaikan dengan kopling kuat.

Persamaan Navier-Stokes

Ekspresi ini menggambarkan proses seperti arus udara, aliran fluida, dan turbulensi. Untuk beberapa kasus khusus, solusi analitis persamaan Navier-Stokes telah ditemukan, namun belum ada yang berhasil melakukannya untuk kasus umum. Pada saat yang sama, pemodelan numerik untuk nilai tertentu seperti kecepatan, kepadatan, tekanan, waktu, dan sebagainya memungkinkan seseorang mencapai hasil yang sangat baik. Kami hanya bisa berharap seseorang dapat menerapkan persamaan Navier-Stokes arah sebaliknya, yaitu menghitung parameter dengan menggunakannya, atau membuktikan bahwa tidak ada metode solusi.

Masalah Birch-Swinnerton-Dyer

Kategori “Masalah yang Belum Terpecahkan” juga mencakup hipotesis yang diajukan oleh ilmuwan Inggris dari Universitas Cambridge. Bahkan 2300 tahun yang lalu, ilmuwan Yunani kuno Euclid memberikan gambaran lengkap tentang solusi persamaan x2 + y2 = z2.

Jika untuk setiap bilangan prima kita menghitung jumlah titik pada kurva modulonya, kita memperoleh himpunan bilangan bulat tak terhingga. Jika Anda secara khusus “merekatkannya” ke dalam 1 fungsi variabel kompleks, maka Anda mendapatkan fungsi Hasse-Weil zeta untuk kurva orde ketiga, dilambangkan dengan huruf L. Ini berisi informasi tentang perilaku modulo semua bilangan prima sekaligus. .

Brian Birch dan Peter Swinnerton-Dyer mengajukan dugaan mengenai kurva elips. Menurutnya, struktur dan kuantitas himpunan solusi rasionalnya berkaitan dengan perilaku fungsi-L dalam satuan tersebut. Dugaan Birch-Swinnerton-Dyer yang saat ini belum terbukti bergantung pada deskripsi persamaan aljabar derajat 3 dan merupakan satu-satunya cara umum yang relatif sederhana untuk menghitung pangkat kurva elips.

Untuk memahami pentingnya praktis masalah ini, cukup dikatakan bahwa dalam kriptografi kurva elips modern, seluruh kelas sistem asimetris didasarkan, dan penerapannya digunakan. standar dalam negeri tanda tangan digital.

Kesetaraan kelas p dan np

Jika Masalah Milenium lainnya murni matematis, maka masalah ini terkait dengan teori algoritma saat ini. Masalah persamaan kelas p dan np yang disebut juga dengan masalah Cook-Lewin dapat dirumuskan secara jelas sebagai berikut. Misalkan jawaban positif terhadap suatu pertanyaan tertentu dapat diperiksa dengan cukup cepat, yaitu dalam waktu polinomial (PT). Lalu benarkah jika dikatakan bahwa jawabannya dapat ditemukan dengan cukup cepat? Kedengarannya lebih sederhana: apakah memeriksa solusi suatu masalah tidak lebih sulit daripada menemukannya? Jika persamaan kelas p dan np terbukti, maka semua permasalahan seleksi dapat diselesaikan dengan PV. Saat ini banyak ahli yang meragukan kebenaran pernyataan tersebut, meski tidak bisa membuktikan sebaliknya.

Hipotesis Riemann

Hingga tahun 1859, belum ada pola yang teridentifikasi yang dapat menggambarkan bagaimana bilangan prima didistribusikan di antara bilangan asli. Mungkin ini disebabkan oleh fakta bahwa sains sedang menangani masalah lain. Namun, pada pertengahan abad ke-19, situasinya berubah, dan mereka menjadi salah satu topik paling relevan yang mulai dipelajari matematika.

Hipotesis Riemann yang muncul pada periode ini adalah asumsi adanya pola tertentu dalam sebaran bilangan prima.

Saat ini, banyak ilmuwan modern percaya bahwa jika hal ini terbukti, banyak prinsip dasar kriptografi modern, yang menjadi dasar sebagian besar mekanisme perdagangan elektronik, harus dipertimbangkan kembali.

Menurut hipotesis Riemann, sifat distribusi bilangan prima mungkin berbeda secara signifikan dari asumsi saat ini. Faktanya sejauh ini belum ditemukan sistem distribusi bilangan prima. Misalnya ada soal "kembar" yang selisihnya adalah 2. Bilangan-bilangan tersebut adalah 11 dan 13, 29. Bilangan prima lainnya membentuk cluster. Ini adalah 101, 103, 107, dst. Para ilmuwan telah lama menduga bahwa cluster seperti itu ada di antara bilangan prima yang sangat besar. Jika ditemukan, kekuatan cryptokey modern akan dipertanyakan.

Dugaan siklus Hodge

Masalah yang masih belum terpecahkan ini dirumuskan pada tahun 1941. Hipotesis Hodge menunjukkan kemungkinan untuk memperkirakan bentuk suatu benda dengan “merekatkan” benda-benda sederhana berdimensi lebih tinggi. Cara ini sudah dikenal dan berhasil digunakan sejak lama. Namun belum diketahui sejauh mana penyederhanaan tersebut bisa dilakukan.

Sekarang Anda tahu masalah apa yang belum terselesaikan yang ada saat ini. Mereka adalah subjek penelitian ribuan ilmuwan di seluruh dunia. Kami hanya bisa berharap masalah-masalah tersebut akan terselesaikan dalam waktu dekat, dan masalah-masalah tersebut akan segera teratasi penggunaan praktis akan membantu umat manusia memasuki tahap baru perkembangan teknologi.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, sifatnya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n = c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir biasa berjuang mencari solusi selama lebih dari tiga setengah abad.


Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mencari tahu...



Apakah ada banyak teorema yang terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Intinya di sini adalah Teorema Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat merupakan soal yang luar biasa sulit, namun rumusannya dapat dipahami oleh siapa saja yang tingkat kelas 5 SD. sekolah menengah atas, namun buktinya tidak dimiliki oleh semua matematikawan profesional. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, namun tetap tidak terpecahkan begitu lama. 2. Terdiri dari apa?

Mari kita mulai dengan celana Pythagoras, kata-katanya sangat sederhana - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui sejak kecil, “Celana Pythagoras sama di semua sisi.” Soalnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam bentuk apa pun segitiga siku-siku persegi yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun pada kaki-kakinya.

Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Penganut Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat kembar tiga yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa ada banyak sekali tripel Pythagoras dan memperoleh rumus umum untuk mencarinya. Mereka mungkin mencoba mencari bertiga atau lebih derajat tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, kaum Pythagoras meninggalkan upaya sia-sia mereka. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.


Artinya, mudah untuk memilih sekumpulan bilangan yang memenuhi persamaan x²+y²=z² secara sempurna

Mulai dari 3, 4, 5 – memang seorang siswa SMP paham bahwa 9 + 16 = 25.

Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.

Dan seterusnya. Bagaimana jika kita mengambil persamaan serupa x³+y³=z³? Mungkin ada angka seperti itu juga?




Dan seterusnya (Gbr. 1).

Jadi, ternyata TIDAK. Di sinilah triknya dimulai. Kesederhanaan tampak jelas, karena sulit untuk membuktikan bukan keberadaan sesuatu, melainkan ketidakhadirannya. Ketika Anda perlu membuktikan bahwa ada solusi, Anda dapat dan harus menyajikan solusi tersebut.

Membuktikan ketidakhadiran lebih sulit: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Taruh dia di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan itu saja, lawannya dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?

Katakan: “Saya belum menemukan solusi seperti itu”? Atau mungkin kamu sedang tidak dalam keadaan sehat? Bagaimana jika mereka ada, hanya sangat besar, sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun masih belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.

Hal ini dapat ditunjukkan secara visual seperti ini: jika Anda mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka dari kumpulan kotak satuan ini Anda mendapatkan kotak ketiga (Gbr. 2):


Tapi mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) – ini tidak berhasil. Kubusnya tidak cukup, atau masih ada kubus tambahan yang tersisa:





Namun matematikawan Prancis abad ke-17, Pierre de Fermat, dengan antusias melakukan eksplorasi persamaan umum X n +y n =zn . Dan akhirnya saya menyimpulkan: untuk n>2 tidak ada solusi bilangan bulat. Bukti Fermat hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi. Naskahnya terbakar! Yang tersisa hanyalah pernyataannya dalam Aritmatika Diophantus: “Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan dari proposisi ini, namun margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya.”

Sebenarnya teorema tanpa pembuktian disebut hipotesis. Namun Fermat memiliki reputasi tidak pernah melakukan kesalahan. Meski dia tidak meninggalkan bukti pernyataannya, hal itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Dengan demikian, hipotesis ahli matematika Perancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.

Setelah Fermat, pemikir besar seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3),

Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 1980-an, hal itu menjadi jelas dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam menemukan bukti teorema terakhir Fermat secara praktis telah berakhir.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk n sederhana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga...

Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre secara independen membuktikan teorema n=5. Pada tahun 1839, dengan menggunakan metode yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema untuk n=7. Lambat laun teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.


Akhirnya, ahli matematika Jerman Ernst Kummer, dalam sebuah penelitian yang brilian, menunjukkan bahwa, dengan menggunakan metode matematika abad ke-19, teorema dalam pandangan umum tidak dapat dibuktikan. Hadiah Akademi Perancis Ilmu pengetahuan, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, masih belum mendapat penghargaan.

Pada tahun 1907, industrialis kaya Jerman Paul Wolfskehl memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Layaknya orang Jerman sejati, ia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabatnya. Segalanya berakhir sebelum tengah malam. Harus dikatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak punya pekerjaan lain, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa Kummer telah melakukan kesalahan dalam penalarannya. Wolfskel mulai menganalisis bagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan untuk bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahannya dan menulis ulang surat wasiatnya.

Dia segera meninggal karena sebab alamiah. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskehl. 100.000 nilai diberikan kepada orang yang membuktikan teorema Fermat. Tidak ada pfennig yang diberikan karena menyangkal teorema tersebut...

Kebanyakan matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang tidak berguna tersebut. Tapi para amatir bersenang-senang. Beberapa minggu setelah pengumuman tersebut, banyak “bukti” melanda Universitas Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggung jawab menganalisis bukti yang dikirimkan, membagikan kartu kepada murid-muridnya:


Sayang. . . . . . . .

Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman...sebaris... . Oleh karena itu, seluruh bukti kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau











Pada tahun 1963, Paul Cohen, dengan mengandalkan temuan Gödel, membuktikan tidak terpecahkannya salah satu dari dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorema Terakhir Fermat juga tidak dapat diputuskan?! Namun para fanatik Teorema Besar sejati tidak kecewa sama sekali. Munculnya komputer tiba-tiba memberi semangat bagi para ahli matematika metode baru bukti. Setelah Perang Dunia II, tim pemrogram dan matematikawan membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua nilai n hingga 500, lalu hingga 1.000, dan kemudian hingga 10.000.

Pada tahun 1980an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 1990an, ahli matematika menyatakan bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Namun jika Anda mengurangi satu triliun triliun pun dari tak terhingga, jumlahnya tidak akan menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Besar berarti membuktikannya untuk SEMUA n yang menuju tak terhingga.




Pada tahun 1954, dua teman matematikawan muda Jepang mulai meneliti bentuk modular. Bentuk-bentuk ini menghasilkan rangkaian angka, masing-masing dengan rangkaiannya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan deret tersebut dengan deret yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka cocok! Tapi bentuk modular adalah objek geometris, dan persamaan elips adalah aljabar. Tidak ada hubungan yang pernah ditemukan antara objek-objek berbeda tersebut.

Namun, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan elips memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi landasan seluruh arah matematika, namun hingga hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan bisa runtuh kapan saja.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan ke dalam persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak ada tandingannya di dunia modular. Mulai sekarang, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan dugaan Taniyama – Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan elips dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Namun selama tiga puluh tahun hipotesis Taniyama-Shimura tidak dapat dibuktikan, dan harapan untuk berhasil pun semakin berkurang.

Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. Ketika dia mempelajari Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak bisa menyerah begitu saja. Sebagai anak sekolah, pelajar, dan mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.

Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles langsung membuktikan dugaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. “Saya menyadari bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat menimbulkan terlalu banyak minat... Terlalu banyak penonton jelas mengganggu pencapaian tujuan.” Kerja keras selama tujuh tahun membuahkan hasil; Wiles akhirnya menyelesaikan pembuktian dugaan Taniyama – Shimura.

Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca makalah sensasionalnya di sebuah konferensi di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), yang pengerjaannya berlangsung lebih dari tujuh tahun.







Sementara hype terus berlanjut di media, upaya serius mulai memverifikasi bukti. Setiap bukti harus diperiksa secara cermat sebelum bukti tersebut dapat dianggap teliti dan akurat. Wiles menghabiskan musim panas yang gelisah menunggu masukan dari pengulas, berharap dia bisa mendapatkan persetujuan mereka. Pada akhir bulan Agustus, para ahli menemukan bahwa putusan tersebut tidak memiliki dasar yang cukup.

Ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.

“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam di hari ulang tahunnya, saya memberikan Nadya naskah bukti lengkapnya” (Andrew Wales). Bukankah saya sudah mengatakan bahwa matematikawan adalah orang yang aneh?






Kali ini buktinya tidak diragukan lagi. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling cermat dan diterbitkan pada Mei 1995 di Annals of Mathematics.

Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada anggapan di masyarakat bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang puas bahwa Teorema Besar memerlukan solusi sepanjang 130 halaman!

Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...

Lev Valentinovich Rudy, penulis artikel “Pierre Fermat dan teoremanya yang “tidak dapat dibuktikan”, setelah membaca publikasi tentang salah satu dari 100 jenius matematika modern, yang disebut jenius berkat solusinya terhadap teorema Fermat, mengusulkan untuk menerbitkan karyanya pendapat alternatif tentang tema ini. Yang kami tanggapi dengan mudah dan menerbitkan artikelnya tanpa singkatan.

Pierre Fermat dan teoremanya yang “tidak dapat dibuktikan”.

Tahun ini menandai peringatan 410 tahun kelahiran matematikawan besar Perancis, Pierre Fermat. Akademisi V.M. Tikhomirov menulis tentang P. Fermat: “Hanya satu ahli matematika yang pantas namanya menjadi nama rumah tangga. Jika mereka mengatakan “farmatis”, itu berarti kita berbicara tentang seseorang yang terobsesi sampai gila dengan suatu ide yang tidak dapat direalisasikan. Namun kata ini tidak dapat dikaitkan dengan Pierre Fermat sendiri (1601-1665), salah satu pemikir paling cerdas di Prancis.

P. Fermat adalah orang dengan takdir yang luar biasa: salah satu ahli matematika terhebat di dunia, dia bukanlah ahli matematika “profesional”. Fermat berprofesi sebagai pengacara. Ia menerima pendidikan yang sangat baik dan merupakan ahli seni dan sastra yang luar biasa. Sepanjang hidupnya dia bekerja pelayanan publik, telah menjadi penasihat parlemen di Toulouse selama 17 tahun terakhir. Dia tertarik pada matematika karena cintanya yang tanpa pamrih dan luhur, dan ilmu inilah yang memberinya segala yang bisa diberikan cinta kepada seseorang: keracunan keindahan, kesenangan, dan kebahagiaan.

Dalam makalah dan korespondensinya, Fermat merumuskan banyak pernyataan indah, yang ia tulis dan ia punya buktinya. Dan lambat laun pernyataan-pernyataan yang tidak terbukti seperti itu menjadi semakin sedikit dan, akhirnya, hanya satu yang tersisa - Teorema Besarnya yang misterius!

Namun, bagi mereka yang tertarik pada matematika, nama Fermat berbicara banyak terlepas dari Teorema Terakhirnya. Dia adalah salah satu pemikir paling berwawasan luas pada masanya, dia dianggap sebagai pendiri teori bilangan, dia memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan geometri analitik dan analisis matematika. Kami berterima kasih kepada Fermat karena telah membukakan bagi kami dunia yang penuh keindahan dan misteri” (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).

Anehnya, “terima kasih”!? Dunia matematika dan umat manusia yang tercerahkan mengabaikan peringatan 410 tahun Fermat. Semuanya, seperti biasa, tenang, damai, setiap hari... Tidak ada keriuhan, pidato pujian, atau bersulang yang terdengar. Dari semua ahli matematika di dunia, hanya Fermat yang “dianugerahi” penghargaan yang sedemikian tinggi sehingga ketika dia mendengar kata “Fermatis”, semua orang mengerti bahwa yang dia maksud adalah seorang idiot yang “terobsesi dengan ide yang tidak dapat diwujudkan” untuk menemukan matematika. kehilangan bukti teorema Fermat!

Dalam sambutannya di pinggir buku Diophantus, Fermat menulis: "Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan atas pernyataan saya, tetapi margin buku ini terlalu sempit untuk memuatnya." Jadi inilah “momen kelemahan kejeniusan matematika abad ke-17”. Orang bodoh ini tidak mengerti bahwa dia “salah”, dan, kemungkinan besar, dia hanya “berbohong”, “menyembunyikan”.

Jika Fermat mengaku, maka dia punya bukti!? Tingkat pengetahuannya tidak lebih tinggi dari siswa kelas sepuluh modern, tetapi jika seorang insinyur mencoba menemukan bukti ini, dia akan diejek dan dinyatakan gila. Dan itu adalah masalah yang sama sekali berbeda jika anak laki-laki Amerika berusia 10 tahun E. Wiles “menerima hipotesis awal bahwa Fermat tidak dapat mengetahui lebih banyak matematika daripada dirinya,” dan mulai “membuktikan” hal ini “ teorema yang tidak dapat dibuktikan" Tentu saja, hanya seorang “jenius” yang mampu melakukan hal ini.

Secara kebetulan saya menemukan situs web (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), di mana seorang mahasiswa Universitas Teknik Negeri Chita Kushenko V.V. menulis tentang Fermat: “...Kota kecil Beaumont dan lima ribu penduduknya tidak dapat menyadari bahwa dia dilahirkan di sini pertanian yang bagus, ahli matematika-alkemis terakhir yang memecahkan masalah-masalah menganggur di abad-abad mendatang, hakim yang paling pendiam, sphinx licik yang menyiksa umat manusia dengan teka-tekinya, seorang birokrat yang berhati-hati dan berperilaku baik, seorang raksasa, seorang intrik, seorang rumahan, seorang yang iri orang, penyusun yang brilian, salah satu dari empat raksasa matematika... Farm hampir tidak meninggalkan Toulouse, tempat ia menetap setelah menikahi Louise de Long, putri seorang anggota dewan parlemen. Berkat ayah mertuanya, ia naik pangkat menjadi penasihat dan memperoleh awalan “de” yang didambakan. Putra dari keluarga ketiga, keturunan praktis dari penyamak kulit kaya, yang dipenuhi dengan kesalehan Latin dan Fransiskan, dia tidak menetapkan tugas besar apa pun dalam kehidupan nyata...

Dia menjalani kehidupannya yang penuh gejolak secara menyeluruh dan tenang. Ia tidak menulis risalah filosofis, seperti Descartes, tidak menjadi orang kepercayaan raja-raja Perancis, seperti Viete, tidak berperang, tidak bepergian, tidak membuat lingkaran matematika, tidak mempunyai murid dan tidak dipublikasikan semasa hidupnya... Tanpa mengungkapkan klaim sadar apa pun atas suatu tempat dalam sejarah, Peternakan itu mati pada 12 Januari 1665."

Saya kaget, kaget... Dan siapakah “ahli matematika-alkemis” pertama!? Apa sajakah “tugas-tugas sia-sia di abad-abad mendatang” ini!? “Seorang birokrat, penipu, pembuat intrik, orang rumahan, orang yang iri hati”... Di mana para pemuda dan pemuda hijau ini begitu meremehkan, meremehkan, dan sinis terhadap seseorang yang hidup 400 tahun sebelum mereka!? Penghujatan apa, ketidakadilan yang mencolok!? Tapi bukan anak-anak muda itu sendiri yang membuat semua ini!? Mereka dinasihati oleh para ahli matematika, "raja ilmu pengetahuan", "kemanusiaan" yang sama yang "disiksa oleh" Sphinx yang licik "Fermat dengan teka-tekinya".

Namun, Fermat tidak dapat memikul tanggung jawab apa pun atas fakta bahwa keturunan arogan tetapi biasa-biasa saja selama lebih dari tiga ratus tahun telah melanggar teorema sekolahnya. Dengan mempermalukan dan meludahi Fermat, para matematikawan mencoba menyelamatkan kehormatan seragam mereka!? Tapi tidak ada “kehormatan” untuk waktu yang lama, bahkan “seragam” pun tidak!? Masalah anak-anak Fermat telah menjadi aib terbesar bagi pasukan matematikawan yang “terpilih dan gagah berani” di dunia!?

Para “raja ilmu pengetahuan” dipermalukan oleh fakta bahwa tujuh generasi “tokoh” matematika tidak pernah mampu membuktikan teorema sekolah, yang dibuktikan oleh P. Fermat dan ahli matematika Arab al-Khujandi 700 tahun sebelum Fermat!? Mereka juga mempermalukan diri mereka sendiri dengan fakta bahwa alih-alih mengakui kesalahan mereka, mereka malah mencela P. Fermat sebagai penipu dan mulai membesar-besarkan mitos “tidak dapat dibuktikan” teoremanya!? Para matematikawan juga telah mempermalukan diri mereka sendiri dengan fakta bahwa selama satu abad penuh mereka telah dengan panik menganiaya para matematikawan amatir, “memukul kepala adik-adik mereka”. Penganiayaan ini menjadi tindakan paling memalukan para matematikawan sepanjang sejarah, setelah Hippasus ditenggelamkan oleh Pythagoras. pemikiran ilmiah! Mereka juga mempermalukan diri mereka sendiri dengan fakta bahwa, dengan kedok “bukti” teorema Fermat, mereka menyerahkan kepada umat manusia yang tercerahkan “ciptaan” E. Wiles yang meragukan, yang bahkan “tidak dipahami” oleh tokoh-tokoh matematika yang paling cemerlang sekalipun! ?

Peringatan 410 tahun kelahiran P. Fermat, tidak diragukan lagi, merupakan argumen yang cukup kuat bagi para ahli matematika untuk akhirnya sadar dan berhenti membayangi pagar dan memulihkan nama baik dan jujur ​​dari ahli matematika hebat tersebut. P. Fermat “tidak menemukan klaim sadar apa pun atas suatu tempat dalam sejarah,” tetapi Wanita yang berubah-ubah dan berubah-ubah ini sendiri yang membawanya ke dalam sejarahnya dengan tangannya, tetapi dia meludahkan banyak “pesaing” yang bersemangat dan bersemangat seperti permen karet. Dan tidak ada yang bisa dilakukan mengenai hal ini; hanya satu dari sekian banyak teorema indahnya yang selamanya menorehkan nama P. Fermat dalam sejarah.

Namun ciptaan unik Fermat ini sendiri telah didorong “bawah tanah” selama satu abad penuh, dinyatakan sebagai “penjahat”, dan telah menjadi masalah yang paling tercela dan dibenci sepanjang sejarah matematika. Namun waktunya telah tiba bagi “itik jelek” matematika ini untuk berubah menjadi angsa yang cantik! Teka-teki Fermat yang menakjubkan telah mendapatkan haknya untuk mengambil tempat yang selayaknya dalam perbendaharaan pengetahuan matematika dan di setiap sekolah di dunia selain saudara perempuannya - teorema Pythagoras.

Masalah yang begitu unik dan elegan pasti mempunyai solusi yang indah dan elegan. Jika teorema Pythagoras mempunyai 400 pembuktian, maka teorema Fermat hanya mempunyai 4 pembuktian pada awalnya bukti sederhana. Mereka ada, lambat laun akan ada lebih banyak lagi!? Saya percaya bahwa peringatan 410 tahun P. Fermat adalah alasan atau kesempatan yang paling tepat bagi para matematikawan profesional untuk sadar dan akhirnya menghentikan “blokade” amatir yang tidak masuk akal, absurd, menyusahkan, dan sama sekali tidak berguna ini!?