Penentuan perpotongan garis dan bidang. Perpustakaan elektronik ilmiah. Kasus khusus saling paralelisme dan tegak lurus suatu garis dan bidang. kasus khusus saling tegak lurus antara dua bidang

Garis perpotongan dua bidang merupakan garis lurus. Pertama-tama mari kita perhatikan kasus khusus (Gbr. 3.9), ketika salah satu bidang yang berpotongan sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (α π 1, f 0 α X). Dalam hal ini, garis perpotongan a, milik pesawatα, juga akan sejajar dengan bidang π 1, (Gbr. 3.9.a), yaitu akan berimpit dengan horizontal bidang yang berpotongan (a ≡ h).

Jika salah satu bidang sejajar dengan bidang proyeksi bagian depan (Gbr. 3.9.b), maka garis potong a yang termasuk dalam bidang tersebut akan sejajar dengan bidang π 2 dan akan berimpit dengan bagian depan bidang yang berpotongan (a ≡f).

.

.

Beras. 3.9. Kasus spesial perpotongan bidang posisi umum dengan bidang-bidang: a - tingkat horizontal; b - tingkat depan

Contoh pembuatan titik potong (K) garis lurus a (AB) dengan bidang α (DEF) ditunjukkan pada Gambar. 3.10. Untuk melakukan ini, garis lurus a ditutup pada bidang sembarang β dan garis perpotongan bidang α dan β ditentukan.

Dalam contoh yang dibahas, garis lurus AB dan MN berada pada bidang yang sama dan berpotongan di titik K, dan karena garis lurus MN termasuk dalam bidang tertentu α (DEF), titik K juga merupakan titik potong garis lurus a (AB) dengan bidang α. (Gbr. 3.11).

.

Beras. 3.10. Membangun titik potong garis dan bidang

Untuk menyelesaikan soal seperti itu pada gambar kompleks, Anda harus dapat menemukan titik potong garis lurus pada posisi umum dengan bidang pada posisi umum.

Mari kita perhatikan contoh mencari titik potong garis lurus AB dengan bidang segitiga DEF yang ditunjukkan pada Gambar. 3.11.

Untuk mencari titik potong proyeksi frontal garis lurus A 2 B 2, dibuat bidang proyeksi frontal β yang memotong segitiga di titik M dan N. Pada bidang proyeksi frontal (π 2), titik-titik tersebut dinyatakan dengan proyeksi M 2, N 2. Dari kondisi milik bidang lurus pada bidang proyeksi horizontal (π 1), ditemukan proyeksi horizontal dari titik-titik yang dihasilkan M 1 N 1. Pada perpotongan proyeksi mendatar garis A 1 B 1 dan M 1 N 1 terbentuk proyeksi mendatar titik potongnya (K 1). Menurut jalur komunikasi dan syarat keanggotaan pada bidang proyeksi frontal, terdapat proyeksi frontal titik potong (K 2).

.

Beras. 3.11. Contoh penentuan titik potong garis dan bidang

Visibilitas segmen AB relatif terhadap segitiga DEF ditentukan dengan metode titik bersaing.

Pada bidang π 2 dua titik NEF dan 1AB dipertimbangkan. Dari proyeksi horizontal titik-titik tersebut dapat diketahui bahwa titik N letaknya lebih dekat dengan pengamat (Y N >Y 1) dibandingkan titik 1 (arah garis pandang sejajar S). Akibatnya garis lurus AB yaitu bagian dari garis lurus AB (K 1) ditutupi oleh bidang DEF pada bidang π 2 (proyeksinya K 2 1 2 ditunjukkan oleh garis putus-putus). Visibilitas pada bidang π 1 diatur dengan cara yang sama.

Pertanyaan untuk pengendalian diri

1) Apa inti dari metode poin bersaing?

2) Sifat-sifat garis lurus apa yang kamu ketahui?

3) Bagaimana algoritma menentukan titik potong garis dan bidang?

4) Tugas apa yang disebut posisional?

5) Merumuskan syarat-syarat untuk tergolong pada bidang lurus.

Kami menyampaikan kepada Anda majalah-majalah yang diterbitkan oleh penerbit "Academy of Natural Sciences"

Diketahui suatu garis lurus memotong suatu bidang jika garis tersebut tidak termasuk dalam bidang tersebut dan tidak sejajar dengannya. Mengikuti algoritma di bawah ini, kita mencari titik potong garis A dengan bidang generik α yang ditentukan oleh jejak h 0α , f 0α .

Algoritma

1. Melalui langsung A kita menggambar bidang bantu yang memproyeksikan ke depan γ. Gambar tersebut menunjukkan jejaknya h 0γ, f 0γ.
2. Kami membuat proyeksi garis lurus AB sepanjang bidang α dan γ berpotongan. Pada soal ini, titik B" = h 0α ∩ h 0γ, A"" = f 0α ∩ f 0γ. Titik A" dan B"" terletak pada sumbu x, posisinya ditentukan oleh jalur komunikasi.
3. Langsung A dan AB berpotongan di titik yang diinginkan K. Proyeksi horizontalnya K" = a" ∩ A"B". Proyeksi frontal K"" terletak pada garis lurus a"".

Algoritma solusi akan tetap sama jika pl. α akan diberikan oleh garis sejajar, bersilangan, bagian dari suatu gambar, atau cara lain yang memungkinkan.

Visibilitas garis a relatif terhadap bidang α. Metode Poin Bersaing

1. Mari kita tandai titik A dan C yang bersaing secara frontal pada gambar (Gbr. di bawah). Kita asumsikan bahwa titik A termasuk dalam daerah tersebut. α, dan C terletak pada garis a. Proyeksi frontal A"" dan C"" bertepatan, tetapi pada saat yang sama titik A dan C dikeluarkan dari bidang proyeksi P 2 pada jarak yang berbeda.
2. Mari kita cari proyeksi horizontal A" dan C". Seperti terlihat pada gambar, titik C" dipindahkan dari bidang P 2 pada jarak yang lebih jauh dari titik A", yang termasuk dalam persegi. α. Akibatnya, bagian garis lurus a"", yang terletak di sebelah kiri titik K"", akan terlihat. Bagian a"" di sebelah kanan K"" tidak terlihat. Kami menandainya dengan garis putus-putus.
3. Mari kita tandai pada gambar titik D dan E yang bersaing secara horizontal.Kita asumsikan bahwa titik D termasuk dalam persegi. α, dan E terletak pada garis a. Proyeksi horizontal D" dan E" bertepatan, tetapi pada saat yang sama titik D dan E dikeluarkan dari bidang P 1 pada jarak yang berbeda.
4. Mari kita tentukan posisi proyeksi frontal D"" dan E"". Seperti terlihat pada gambar, titik D"", terletak di bujur sangkar. α, dikeluarkan dari bidang P 1 pada jarak yang lebih jauh dari titik E "", yang termasuk dalam garis lurus a. Akibatnya, bagian a" yang terletak di sebelah kanan titik K" tidak akan terlihat. Kami menandainya dengan garis putus-putus. Bagian a" di sebelah kiri K" terlihat.

Diberikan sebuah garis lurus: (1) dan sebuah bidang: Ax + By + Cz + D = 0 (2).

Mari kita cari koordinat titik potong garis dan bidang. Jika garis lurus (1) dan bidang (2) berpotongan, maka koordinat titik potongnya memenuhi persamaan (1) dan (2):

, .

Substitusikan nilai t yang ditemukan ke (1), kita peroleh koordinat titik potongnya.

1) Jika Am + Bn + Cp = 0, dan Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, maka t tidak ada, mis. garis lurus dan bidang tidak mempunyai satu titik persekutuan. Mereka paralel.

2) Am + Bn + Cp = 0 dan Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. Dalam hal ini, t dapat mengambil nilai apa pun dan , mis. sebuah garis lurus sejajar dengan bidang dan mempunyai poin umum, yaitu itu terletak di pesawat.

Contoh 1. Temukan titik potong suatu garis dengan bidang 3x – 3y + 2z – 5 = 0.

3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2 3t – 5 = 0 => -17=0, yang tidak mungkin untuk t apa pun, yaitu garis lurus dan bidang tidak berpotongan.

Contoh 2. Temukan titik potong suatu garis dan bidang: x + 2y – 4z + 1 = 0.

8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Hal ini berlaku untuk setiap nilai t, yaitu garis lurus terletak pada bidang.

Contoh 3. Temukan titik potong suatu garis dan bidang 3x – y + 2z – 5 = 0.

3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – titik potong garis dan bidang.

Sudut antara garis lurus dan bidang. Syarat-syarat kesejajaran dan tegak lurus suatu garis lurus dan bidang.

Sudut antara garis lurus dan bidang disebut sudut tajam q antara garis lurus dan proyeksinya pada bidang.

Misalkan diberikan garis lurus dan bidang:

Dan .

Biarkan garis lurus memotong bidang dan membentuk sudut μ () dengannya. Maka b = 90 0 – q atau b = 90 0 + q adalah sudut antara vektor normal bidang dan vektor pengarah garis lurus. Tetapi . Cara

(3).

a) Jika LP, maka - syarat tegak lurus garis lurus dan bidang.

b) Jika L||P, maka syarat sejajar garis dan bidang.

c) Jika garis tersebut adalah L||P dan sekaligus titik M0(x0, y0, z0) P, maka garis tersebut terletak pada bidang tersebut. Secara analitis:

- syarat-syarat termasuk dalam garis lurus dan bidang.

Contoh. Diberikan garis lurus dan titik M 0 (1, 0, –2). Melalui titik M 0 gambarlah sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis tersebut. Kita mencari persamaan bidang yang diinginkan dalam bentuk: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. Dalam hal ini , ,

5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.

Sekelompok pesawat.

Balok bidang adalah himpunan semua bidang yang melalui suatu garis lurus tertentu—sumbu balok.

Untuk menentukan sekumpulan bidang, cukup dengan menentukan sumbunya. Biarkan persamaan garis ini diberikan dalam bentuk umum:

.

Menyusun persamaan sinar berarti menyusun persamaan yang dapat diperoleh kondisi tambahan persamaan bidang balok mana pun, kecuali, b.m. satu. Kalikan persamaan II dengan l dan tambahkan ke persamaan I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) atau

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l – parameter – bilangan yang dapat mengambil nilai nyata. Untuk setiap nilai l yang dipilih, persamaan (1) dan (2) adalah linier, yaitu ini adalah persamaan bidang tertentu.

1. Mari kita tunjukkan bahwa bidang ini melewati sumbu balok L. Ambil titik sembarang M 0 (x 0, y 0, z 0) L. Akibatnya, M 0 P 1 dan M 0 P 2. Cara:

3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0.

Contoh 3 (E). Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu garis tegak lurus bidang x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + aku(x – 2z) = 0; (3 + aku)x – 2y + (1 – 2 aku)z – 3 = 0; ; ; aku = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0.

77*. Temukan titik potong garis lurus AB dengan bidang yang dibatasi oleh segitiga CDE (Gbr. 75, a).

Larutan. Sebagaimana diketahui, untuk mencari titik potong garis lurus dengan bidang umum, harus ditarik bidang bantu (R) melalui garis lurus tersebut, buatlah garis perpotongan bidang tersebut dengan bidang tertentu (1-2) dan menemukan

titik potong (K) dari garis yang diberikan dan yang dibangun. Titik K adalah titik perpotongan garis dengan bidang yang diinginkan (Gbr. 75, b). Bidang proyeksi horizontal atau frontal biasanya digunakan sebagai bidang bantu.

Pada Gambar. 75, di c, sebuah bidang yang menonjol ke depan R ditarik melalui garis lurus AB, jejaknya R ϑ berimpit dengan "c". cakrawala. Jejak pesawat tidak diperlukan dalam soal ini dan oleh karena itu tidak ditampilkan.

Kita buat garis perpotongan bidang R dan bidang yang dibatasi oleh segitiga CDE (untuk contoh konstruksi seperti itu, lihat Soal 67). Setelah membuat garis 1-2 (Gbr. 75, c), kita cari titik potongnya dengan garis lurus AB - titik K (k, k").

Untuk menentukan bagian garis AB yang akan ditutupi oleh segitiga, sebaiknya menggunakan analisis kedudukan titik-titik pada garis yang berpotongan.

Misalnya titik 1 dan 3 berada pada garis potong (masing-masing) ED dan AB. Proyeksi frontal titik-titik ini bertepatan, yaitu titik 1 dan 3 berjarak sama dari persegi. N. Tapi jarak mereka dari alun-alun. V berbeda: titik 3 lebih jauh dari persegi. V dari poin 1. Oleh karena itu, sehubungan dengan pl. V titik 3 meliputi titik 1 (arah pandang ditunjukkan dengan tanda panah S). Akibatnya garis lurus AB lewat di depan segitiga CDE sampai ke titik K. Mulai dari titik K ke kiri, garis lurus AB ditutupi oleh segitiga, sehingga bagian garis lurus tersebut ditunjukkan oleh garis putus-putus.

Untuk mengidentifikasi area yang tidak terlihat di cakrawala. proyeksi garis AB, perhatikan titik 4 dan 5 yang masing-masing terletak pada garis AB dan CD.

Jika kita melihat titik-titik tersebut pada arah s 1, pertama kita melihat titik 5. Titik 4 ditutupi oleh titik 5. Akibatnya, garis AB di tempat ini ditutupi oleh segitiga CDE, dan bagian proyeksinya dari titik k ke titik 4 harus ditunjukkan dengan garis putus-putus. Dalam hal ini titik K berada di dalam kontur segitiga CDE.

Jika kedudukan relatif unsur-unsur yang berpotongan berbeda, kemungkinan titik K berada di luar segitiga (Gbr. 75, d). Artinya garis AB memotong bidang yang dibatasi oleh segitiga CDE di luar kontur segitiga tersebut. AB menjadi tidak terlihat di belakang titik K (ke kiri).

78. Temukan titik potong garis lurus AB dengan permukaan limas (Gbr. 76). Muka-muka piramida harus dianggap sebagai bidang-bidang yang dibatasi oleh segitiga.

79. Temukan titik potong garis lurus AB dengan permukaan prisma (Gbr. 77). Muka prisma harus dianggap sebagai bidang yang dibatasi oleh garis lurus sejajar.

80*. Temukan titik potong garis lurus AB dengan bidang P (Gbr. 78, a).

Larutan. Kita menggambar bidang R yang menonjol ke depan melalui garis lurus AB (Gbr. 78, b) (jejaknya R ϑ bertepatan dengan "b") dan membuat garis MN dari perpotongan kedua bidang - diberikan dan ditarik melalui AB ( konstruksinya mirip dengan yang dilakukan pada soal 70). Titik potong K(k, k") yang diperlukan dari garis lurus AB dengan bidang P terletak di titik potong MN dengan AB.

Dalam soal ini, visibilitas bagian lurus dari titik A ke K terlihat jelas; Namun, lebih dari itu kasus-kasus sulit bagian garis lurus yang terlihat harus ditentukan berdasarkan

analisis posisi titik. Misalnya mengambil titik 1 (pada garis AB) dan titik N (pada jejak P ϑ). kita melihat bahwa titik 1 terletak lebih jauh dari persegi. V dibandingkan titik N. Oleh karena itu, terlihat garis lurus AB sampai titik K. Di luar titik K, garis lurus ditampilkan sebagai garis putus-putus dan tidak terlihat. Visibilitas ke cakrawala ditentukan dengan cara yang sama. proyeksi.

81. Temukan titik potong garis lurus AB dengan bidang P (Gbr. 79).

82*. Temukan titik potong garis lurus AB dengan bidang P (Gbr. 80, a).

Larutan. Melalui garis lurus AB kita menggambar bidang R yang menonjol secara horizontal (jejak R h berimpit dengan ab) dan membuat garis perpotongan bidang P dan R,

menggunakan titik M dan N dari perpotongan lintasannya yang bernama sama (Gbr. 80, b dan c). Titik yang diinginkan (k", k) terletak pada titik potong MN dengan AB Pada Gambar 80 d, titik K dibangun menggunakan plot W. Karena plot P adalah proyeksi profil (Gbr. 80, b).

maka proyeksi profil k" terletak pada titik potong jejak P ω dengan a"b". Mengetahui k", kita buat k" pada a"b" dan k pada ab. Ruas garis lurus AB yang terlihat adalah ditentukan dengan cara yang sama seperti pada soal 77 dan 80.

83. Temukan titik potong garis lurus AB dengan bidang P (Gbr. 81).

84*. Temukan titik potong garis lurus AB dengan bidang yang dibatasi oleh segitiga CDE (Gbr. 82, a).

Larutan. Melalui garis lurus AB kita menggambar (Gbr. 82, b dan c) persegi. R, sejajar dengan persegi W. Dia menyeberang pesawat yang diberikan sepanjang garis lurus MN (titik m", n", m dan n terletak pada perpotongan jejak R ϑ dan R h dengan proyeksi yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian

segitiga CDE). Karena garis AB dan MN merupakan profil, maka untuk mencari titik (K) perpotongannya kita buat proyeksi profil a"b" dan m"n". Proyeksi k" terletak di perpotongan a"b" dan m"m". Dengan menggunakan k" kita membuat k" pada a"b" dan k pada ab.

85. Temukan titik potong garis lurus EF dengan bidang yang dibatasi oleh segi empat ABCD (Gbr. 83).