Sistem eksponensial. persamaan eksponensial. Kasus yang lebih kompleks. Apa itu fungsi eksponensial

Banyak orang berpikir bahwa ketidaksetaraan eksponensial sangat kompleks dan tidak dapat dipahami. Dan belajar bagaimana menyelesaikannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Terpilih ...

Omong kosong lengkap! Ketidaksetaraan teladan itu mudah. Dan mereka selalu diselesaikan dengan sederhana. Yah, hampir selalu. :)

Hari ini kita akan menganalisis topik ini di dalam dan di luar. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahami bagian matematika sekolah ini. Mari kita mulai dengan tugas sederhana dan kita akan beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tidak akan ada kekecilan hari ini, tetapi apa yang Anda baca sekarang akan cukup untuk menyelesaikan sebagian besar ketidaksetaraan pada kontrol apa pun dan kerja mandiri... Dan pada ujian ini juga.

Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang memiliki fungsi eksponensial. Dengan kata lain, itu selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk

\ [((a) ^ (x)) \ gt b \]

Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin sesuatu yang lebih sulit. Contohnya? Ya silahkan:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ segi empat ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Saya pikir artinya jelas: ada fungsi eksponensial $ ((a) ^ (x)) $, dibandingkan dengan sesuatu, dan kemudian diminta untuk menemukan $ x $. Dalam kasus klinis khususnya, alih-alih variabel $ x $, mereka dapat mendorong beberapa fungsi $ f \ kiri (x \ kanan) $ dan dengan demikian sedikit memperumit ketidaksetaraan. :)

Tentu saja, dalam beberapa kasus, ketidaksetaraan bisa terlihat lebih parah. Sebagai contoh:

\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]

Atau bahkan ini:

Secara umum, kompleksitas ketidaksetaraan tersebut bisa sangat berbeda, tetapi pada akhirnya tetap direduksi menjadi konstruksi sederhana $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. Dan entah bagaimana kita akan mengetahuinya dengan konstruksi seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kita). Karena itu, sekarang kami akan mengajari Anda cara menyelesaikan konstruksi sederhana seperti itu.

Memecahkan Pertidaksamaan Eksponensial Tersederhana

Mari kita pertimbangkan sesuatu yang cukup sederhana. Misalnya, ini:

\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]

Jelas, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai kekuatan dua: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. Dengan demikian, ketidaksetaraan asli dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sangat nyaman:

\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]

Dan sekarang tangan gatal untuk "mencoret" dua di pangkalan derajat untuk mendapatkan jawaban $ x \ gt 2 $. Tapi sebelum mencoret apa pun di sana, mari kita ingat kekuatan dua:

\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]

Seperti yang Anda lihat, apa? lagi berdiri di eksponen, semakin besar nomor outputnya. "Terima kasih, Cap!" - salah satu siswa akan berseru. Apakah ada yang berbeda? Sayangnya, itu terjadi. Sebagai contoh:

\ [((\ kiri (\ frac (1) (2) \ kanan)) ^ (1)) = \ frac (1) (2); \ quad ((\ kiri (\ frac (1) (2) \ kanan)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ left (\ frac (1) (2) \ kanan)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ); ... \]

Di sini juga, semuanya logis: semakin besar derajatnya, semakin sering angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu dibagi dua). Dengan demikian, urutan angka yang dihasilkan berkurang, dan perbedaan antara urutan pertama dan kedua hanya ada di pangkalan:

Jika basis derajat adalah $a \ gt 1 $, maka dengan bertambahnya pangkat $ n $, angka $ ((a) ^ (n)) $ juga akan bertambah;
Sebaliknya, jika $ 0 \ lt a \ lt 1 $, maka dengan bertambahnya pangkat $ n $, jumlah $ ((a) ^ (n)) $ akan berkurang.

Meringkas fakta-fakta ini, kita mendapatkan pernyataan paling penting yang menjadi dasar seluruh solusi pertidaksamaan eksponensial:

Jika $ a \ gt 1 $, maka pertidaksamaan $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ sama dengan pertidaksamaan $ x \ gt n $. Jika $ 0 \ lt a \ lt 1 $, maka pertidaksamaan $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ sama dengan pertidaksamaan $ x \ lt n $.

Dengan kata lain, jika basis lebih besar dari satu, Anda dapat menghapusnya tanpa mengubah tanda pertidaksamaan. Dan jika basisnya kurang dari satu, maka itu juga dapat dihilangkan, tetapi dalam hal ini tanda pertidaksamaan juga harus diubah.

Harap dicatat: kami belum mempertimbangkan opsi $ a = 1 $ dan $ a \ le 0 $. Karena dalam kasus ini, ketidakpastian muncul. Katakanlah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan seperti $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Satu sampai tingkat apa pun akan kembali memberikan satu - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.

Bahkan lebih menarik dengan alasan negatif. Pertimbangkan, misalnya, ketidaksetaraan ini:

\ [((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (x)) \ gt 4 \]

Sekilas, semuanya sederhana:

Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti $ x $ beberapa bilangan genap dan beberapa bilangan ganjil untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:

\ [\ begin (align) & x = 4 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Panah kanan ((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Panah kanan ((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Panah kanan ((\ kiri (-2 \ kanan)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi masih ada pecahan derajat dan timah lainnya. Bagaimana, misalnya, Anda memesan untuk membaca $ ((\ left (-2 \ right)) ^ (\ sqrt (7))) $ (dikurangi dua pangkat tujuh)? Tidak mungkin!

Oleh karena itu, untuk kepastian, diasumsikan bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaan) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:

\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Panah kanan \ kiri [\ mulai (sejajarkan) & x \ gt n \ quad \ kiri (a \ gt 1 \ kanan), \\ & x \ lt n \ quad \ kiri (0 \ lt a \ lt 1 \ kanan). \\\ akhir (sejajarkan) \ kanan. \]

Secara umum, sekali lagi ingat aturan utama: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghapusnya; dan jika alasnya kurang dari satu, bisa juga dihilangkan, tetapi tanda pertidaksamaannya akan berubah.

Contoh solusi

Jadi, pertimbangkan beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Tugas utama dalam semua kasus adalah sama: untuk mengurangi ketidaksetaraan ke bentuk paling sederhana $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Inilah yang akan kita lakukan sekarang dengan setiap pertidaksamaan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat derajat dan fungsi eksponensial. Jadi ayo pergi!

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]

Apa yang bisa dilakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi yang mengungkapkan - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar di penyebutnya!

Namun, mari kita ingat aturan untuk bekerja dengan pecahan dan pangkat:

\ [\ begin (align) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ kuadrat [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Apa artinya? Pertama, kita dapat dengan mudah menghilangkan pecahan dengan mengubahnya menjadi pangkat dengan eksponen negatif. Dan kedua, karena penyebut memiliki akar, akan lebih baik untuk mengubahnya menjadi kekuatan juga - kali ini dengan eksponen pecahan.

Kami menerapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan ketidaksetaraan dan melihat apa yang terjadi:

\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ left (\ sqrt (2) \ right)) ^ (- 1)) = (\ left (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ kanan)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ kiri (-1 \ kanan))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Jangan lupa bahwa ketika menaikkan derajat ke derajat, indikator derajat ini ditambahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan ketidaksetaraan eksponensial, Anda harus mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan derajat:

\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ kiri (((a) ^ (x)) \ kanan)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Sebenarnya, kami baru saja menerapkan aturan terakhir. Oleh karena itu, ketidaksetaraan asli kami akan ditulis ulang sebagai berikut:

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Panah kanan ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Sekarang kita singkirkan keduanya di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan tetap sama:

\ [\ begin (align) & x-1 \ le - \ frac (1) (3) \ Rightarrow x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ di \ kiri (- \ infty; \ frac (2) (3) \ kanan]. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Itulah seluruh solusi! Kesulitan utama sama sekali bukan dalam fungsi eksponensial, tetapi dalam transformasi kompeten dari ekspresi asli: Anda harus dengan hati-hati dan secepat mungkin membawanya ke bentuknya yang paling sederhana.

Perhatikan pertidaksamaan kedua:

\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]

Begitu-begitu. Di sini pecahan desimal menunggu kita. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan kekuatan, Anda harus menyingkirkan pecahan desimal - seringkali ini adalah satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan mudah. Jadi kita akan menyingkirkan:

\ [\ begin (align) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ left (\ frac (1) (10) \) \ kanan)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Panah kanan ((\ kiri (\ frac (1) (10) \ kanan)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ kiri (\ frac (1) (10) \ kanan)) ^ (2)). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Kami memiliki lagi ketidaksetaraan paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kami menghapus pangkalan, sepanjang jalan mengubah tanda dari "kurang" menjadi "lebih", dan kami mendapatkan:

\ [\ mulai (sejajarkan) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Kami mendapat jawaban akhir: $ x \ di \ kiri (- \ infty; -1 \ kanan) $. Harap dicatat: jawabannya persis himpunan, dan tidak berarti konstruksi seperti $ x \ lt -1 $. Karena secara formal konstruksi seperti itu bukanlah suatu himpunan sama sekali, melainkan suatu pertidaksamaan terhadap variabel $ x $. Ya, ini sangat sederhana, tetapi bukan itu jawabannya!

Catatan penting... Ketidaksetaraan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mengurangi kedua bagian ke tingkat dengan basis lebih besar dari satu. Lihatlah:

\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Panah kanan ((\ kiri (((10) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (1-x)) \ lt ((\ kiri (((10) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (2)) \ Panah kanan ((10) ^ (- 1 \ cdot \ kiri (1-x \ kanan))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]

Setelah transformasi seperti itu, kita kembali mendapatkan pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10> 1. Ini berarti Anda cukup mencoret sepuluh besar - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:

\ [\ begin (sejajarkan) & -1 \ cdot \ kiri (1-x \ kanan) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari kebutuhan untuk mengubah tanda dan umumnya mengingat beberapa aturan di sana. :)

\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]

Namun, jangan terintimidasi oleh ini. Apapun indikatornya, teknologi untuk mengatasi ketimpangan itu sendiri tetap sama. Oleh karena itu, perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4. Mari kita tulis ulang ketidaksetaraan asli dengan mengingat fakta ini:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Hore! Kami punya yang biasa pertidaksamaan kuadrat! Tanda tidak berubah di mana pun, karena ada dua di pangkalan - angka yang lebih besar dari satu.

Fungsi nol pada garis bilangan

Kami menempatkan tanda-tanda fungsi $ f \ kiri (x \ kanan) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - jelas grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, sehingga akan ada "plus " di samping. Kami tertarik pada wilayah di mana fungsinya kurang dari nol, yaitu. $ x \ di \ kiri (2; 5 \ kanan) $ - ini adalah jawaban untuk masalah awal.

Akhirnya, pertimbangkan ketidaksetaraan lain:

\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]

Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di basis. Kami menerjemahkan pecahan ini menjadi pecahan biasa:

\ [\ begin (align) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ kiri (((5) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ kiri (1 + ((x) ^ (2)) \ kanan))) \ akhir (sejajarkan) \]

Dalam hal ini, kami menggunakan pernyataan yang diberikan sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5> 1 untuk menyederhanakan keputusan kami selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:

\ [\ frac (1) (25) = ((\ kiri (\ frac (1) (5) \ kanan)) ^ (2)) = ((\ kiri (((5) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]

Mari kita tulis ulang pertidaksamaan asli dengan mempertimbangkan kedua transformasi:

\ [(((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Panah kanan ((5) ^ (- 1 \ cdot \ kiri (1+ ((x) ^ (2)) \ kanan))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]

Basis di kedua sisi adalah sama dan melebihi satu. Tidak ada istilah lain di kanan dan kiri, jadi kami hanya "mencoret" lima dan mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:

\ [\ begin (align) & -1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right) \ ge -2; \\ & -1 - ((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Di sini Anda harus berhati-hati. Banyak siswa suka mengekstrak Akar pangkat dua kedua sisi pertidaksamaan dan tulis sesuatu seperti $ x \ le 1 \ Rightarrow x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right] $. Ini tidak boleh dilakukan, karena akar kuadrat eksak adalah modul, dan tidak berarti variabel asli:

\ [\ kuadrat (((x) ^ (2))) = \ kiri | x \ kanan | \]

Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kita tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kami hanya memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:

$ \ mulai (sejajarkan) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 1 \ kanan) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ akhir (sejajarkan) $

Tandai lagi poin yang diperoleh pada garis bilangan dan lihat tanda-tandanya:

Harap dicatat: titik-titik diisi

Karena kami menyelesaikan pertidaksamaan tak tegas, semua titik pada grafik terisi. Oleh karena itu, jawabannya akan seperti ini: $ x \ in \ left [-1; 1 \ right] $ bukan interval, tetapi segmen.

Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam pertidaksamaan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini bermuara pada algoritma sederhana:

Temukan basis di mana kita akan mengurangi semua derajat;
Lakukan transformasi dengan cermat untuk mendapatkan pertidaksamaan seperti $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Tentu saja, selain variabel $ x $ dan $ n $, ada lebih banyak lagi fungsi kompleks, tetapi artinya tidak akan berubah dari ini;
Coret dasar derajat. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika alasnya adalah $ a \ lt 1 $.

Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua yang masih akan memberi tahu Anda tentang topik ini hanyalah teknik dan trik khusus untuk menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Sekarang kita akan berbicara tentang salah satu teknik ini. :)

Metode rasionalisasi

Pertimbangkan satu kelompok ketidaksetaraan lagi:

\ [\ begin (align) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ teks ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ kiri (2 \ sqrt (3) -3 \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ kiri (\ frac (1) (3) \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ kiri (\ frac (1) (9) \ kanan)) ^ (16-x)); \\ & ((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ end (align) \]

Jadi apa yang istimewa dari mereka? Mereka ringan. Meskipun, berhenti! Apakah dinaikkan sampai tingkat tertentu? Apa omong kosong ini?

Bagaimana cara menaikkan angka $2 \ sqrt (3) -3 $ menjadi pangkat? Atau $3-2 \ sqrt (2) $? Penulis masalah jelas mabuk Hawthorn sebelum mulai bekerja. :)

Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Biarkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi dari bentuk $ ((a) ^ (x)) $, di mana basis $ a $ adalah bilangan positif apa pun, dengan pengecualian satu. Angka positif - kita sudah tahu ini. Angka $2 \ sqrt (3) -3 $ dan $3-2 \ sqrt (2) $ juga positif - Anda dapat dengan mudah melihat ini jika Anda membandingkannya dengan nol.

Ternyata semua ketidaksetaraan yang "menakutkan" ini tidak berbeda dengan yang sederhana yang dibahas di atas? Dan apakah mereka diselesaikan dengan cara yang sama? Ya itu betul. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan satu teknik yang menghemat banyak waktu untuk pekerjaan mandiri dan ujian. Ini akan fokus pada metode rasionalisasi. Jadi, perhatian:

Setiap pertidaksamaan eksponensial dalam bentuk $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ setara dengan pertidaksamaan $ \ kiri (xn \ kanan) \ cdot \ kiri (a-1 \ kanan) \ gt 0 $.

Itulah seluruh metode. :) Apakah Anda berpikir bahwa akan ada beberapa pertandingan berikutnya? Tidak ada yang seperti ini! Tetapi fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:

\ [\ begin (matriks) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ teks ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Bawah \\ \ kiri (x + 7- \ kiri (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ kanan) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ teks () \! \! \ Pi \! \! \ Teks () -1 \ kanan) \ gt 0 \\\ end (matriks) \]

Tidak ada lagi fungsi indikatif! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Tetapi masalah baru muncul: apa yang harus dilakukan dengan pengganda sialan \ [\ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \]? Kita tidak tahu berapa nilai pasti dari . Namun, kapten tampaknya mengisyaratkan kejelasan:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ kira-kira 3,14 ... \ gt 3 \ Rightarrow \ text () \! \! \ pi \! \! \ text ( ) - 1 \ gt 3-1 = 2 \]

Secara umum, nilai pasti tidak terlalu mengganggu kita - penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $, yaitu. ini adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan itu:

\ [\ begin (align) & \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ teks () -1 \ kanan) \ gt 0 \\ & x + 7- \ kiri (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ kanan) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \ lt 0; \\ & \ kiri (x-5 \ kanan) \ kiri (x + 1 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Seperti yang Anda lihat, pada saat tertentu saya harus membagi dengan minus satu - dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat sesuai dengan teorema Vieta - jelas bahwa akarnya sama dengan $ ((x) _ (1)) = 5 $ dan $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Kemudian semuanya diselesaikan dengan metode interval klasik:

Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval

Semua poin tertusuk karena ketidaksetaraan asli ketat. Kami tertarik pada daerah dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $ x \ di \ kiri (-1; 5 \ kanan) $. Itulah seluruh solusi. :)

Mari kita beralih ke tugas berikutnya:

\ [((\ kiri (2 \ persegi (3) -3 \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]

Secara umum, semuanya sederhana di sini, karena ada satu di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satu adalah bilangan apa saja hingga derajat nol. Bahkan jika nomor ini adalah ekspresi irasional, berdiri di pangkalan di sebelah kiri:

\ [\ begin (align) & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ kanan)) ^ (0)); \\ & ((\ kiri (2 \ persegi (3) -3 \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt ((\ kiri (2 \ persegi (3) -3 \ kanan)) ^ (0)); \\\ akhir (sejajarkan) \]

Baiklah, mari kita rasionalkan:

\ [\ begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ kiri (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ kanan) \ cdot \ kiri (2 \ sqrt (3) -4 \ kanan) \ lt 0; \\ & \ kiri (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ kanan) \ cdot 2 \ kiri (\ sqrt (3) -2 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \ ]

Tetap hanya berurusan dengan tanda-tanda. Faktor $ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ tidak mengandung variabel $ x $ - itu hanya konstanta, dan kita perlu mencari tahu tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:

\ [\ begin (matriks) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \\ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ kiri (2 -2 \ kanan) = 0 \\\ akhir (matriks) \]

Ternyata faktor kedua bukan hanya konstanta, tetapi konstanta negatif! Dan ketika membaginya, tanda pertidaksamaan asli akan berubah menjadi sebaliknya:

\ [\ begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \ gt 0; \\ & x \ kiri (x-2 \ kanan) \ gt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Sekarang semuanya menjadi sangat jelas. Akar-akar trinomial kuadrat di sebelah kanan adalah: $ ((x) _ (1)) = 0 $ dan $ ((x) _ (2)) = 2 $. Kami menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $ f \ kiri (x \ kanan) = x \ kiri (x-2 \ kanan) $:

Kasus di mana kita tertarik pada interval sisi

Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda plus. Tetap hanya untuk menuliskan jawabannya:

Pindah ke contoh berikutnya:

\ [((\ kiri (\ frac (1) (3) \ kanan)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ kiri (\ frac (1) (9) \ kanan)) ^ (16-x)) \]

Nah, semuanya cukup jelas di sini: di pangkalan ada kekuatan dengan nomor yang sama. Oleh karena itu, saya akan menuliskan semuanya secara singkat:

\ [\ begin (matriks) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Panah bawah \\ ((\ kiri (((3) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ kiri (((3) ^ (- 2)) \ kanan)) ^ (16-x)) \\\ akhir (matriks) \]

\ [\ begin (align) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x \ right))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ kiri (16-x \ kanan))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ kiri (- ((x) ^ (2)) - 2x- \ kiri (-32 + 2x \ kanan) \ kanan) \ cdot \ kiri (3-1 \ kanan) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ kiri (x + 8 \ kanan) \ kiri (x-4 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Seperti yang Anda lihat, selama proses transformasi, kami harus mengalikannya dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaan berubah. Di bagian paling akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial persegi. Akibatnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $ x \ di \ kiri (-8; 4 \ kanan) $ - mereka yang ingin dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik dan menghitung tanda. Sementara itu, kita akan beralih ke pertidaksamaan terakhir dari "set" kita:

\ [((\ kiri (3-2 \ sqrt (2) \ kanan)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]

Seperti yang Anda lihat, di pangkalan ada lagi bilangan irasional, dan di sebelah kanan ada lagi satu. Oleh karena itu, kami menulis ulang ketidaksetaraan eksponensial kami sebagai berikut:

\ [((\ kiri (3-2 \ persegi (2) \ kanan)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt ((\ kiri (3-2 \ persegi (2) \ kanan)) ^ (0)) \]

Kami menerapkan rasionalisasi:

\ [\ begin (align) & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (3-2 \ sqrt (2) -1 \ right) \ lt 0; \\ & \ kiri (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ kanan) \ cdot \ kiri (2-2 \ sqrt (2) \ kanan) \ lt 0; \\ & \ kiri (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ kanan) \ cdot 2 \ kiri (1- \ sqrt (2) \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \ ]

Namun, cukup jelas bahwa $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $, karena $ \ sqrt (2) \ kira-kira 1,4 ... \ gt 1 $. Oleh karena itu, faktor kedua lagi-lagi merupakan konstanta negatif, yang dengannya kedua sisi pertidaksamaan dapat dibagi:

\ [\ begin (matrix) \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Downarrow \ \\ akhir (matriks) \]

\ [\ mulai (sejajarkan) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ kiri | \ cdot \ kiri (-1 \ kanan) \ kanan. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ kiri (x-3 \ kanan) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Pindah ke pangkalan lain

Masalah terpisah dalam memecahkan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian dasar yang "benar". Sayangnya, pada pandangan pertama pada suatu tugas, tidak selalu jelas apa yang harus diambil sebagai dasar, dan apa yang harus dilakukan dengan tingkat dasar ini.

Tapi jangan khawatir: tidak ada teknologi ajaib atau "rahasia" di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritme dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini, Anda harus memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan yang berbeda. Misalnya, ini adalah:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ kiri (\ frac (1) (3) \ kanan)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ kiri (0,16 \ kanan)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ kiri (6,25 \ kanan)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ kiri (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ kanan)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Keras? Takut? Ini lebih mudah daripada ayam di aspal! Mari mencoba. Ketimpangan pertama:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]

Yah, saya pikir semuanya jelas di sini dan landak:

Kami menulis ulang ketidaksetaraan asli, mengurangi semuanya menjadi basis "dua":

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Panah kanan \ kiri (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ kanan) \ cdot \ kiri (2-1 \ kanan) \ lt 0 \]

Ya, ya, Anda benar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita memiliki ketidaksetaraan fraksional-rasional (ini adalah satu dengan variabel dalam penyebut), oleh karena itu, sebelum menyamakan sesuatu dengan nol, perlu untuk membawa semuanya ke penyebut yang sama dan menyingkirkan konstanta faktor.

\ [\ begin (sejajarkan) & \ kiri (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ kanan) \ cdot \ kiri (2-1 \ kanan) \ lt 0; \\ & \ kiri (\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ kanan) \ cdot 1 \ lt 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Sekarang kita menggunakan metode spasi standar. Pembilang nol: $x = \pm 4 $. Penyebut hilang hanya ketika $ x = 0 $. Secara total, ada tiga titik yang harus ditandai pada garis bilangan (semua titik tertusuk, karena tanda pertidaksamaan ketat). Kita mendapatkan:

Lagi kasus yang sulit: tiga akar

Seperti yang Anda duga, penetasan menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri berlangsung nilai negatif... Oleh karena itu, dua interval akan masuk ke jawaban akhir sekaligus:

Ujung interval tidak termasuk dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya ketat. Tidak diperlukan pemeriksaan lebih lanjut pada jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada ODV, tidak ada batasan, dll.

Mari kita beralih ke tugas berikutnya:

\ [((\ kiri (\ frac (1) (3) \ kanan)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]

Di sini juga tidak ada masalah, karena kita telah mengetahui bahwa $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, sehingga seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((3) ^ (- 1)) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Panah kanan ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ kiri (- \ frac (3) (x) - \ kiri (2 + x \ kanan) \ kanan) \ cdot \ kiri (3-1 \ kanan) \ ge 0; \\ & \ kiri (- \ frac (3) (x) -2-x \ kanan) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ kiri | : \ kiri (-2 \ kanan) \ kanan. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ end (align) \]

Harap dicatat: di baris ketiga, saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya menjadi (−2). Lulus masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan keduanya dibatalkan dengan pengganda konstan. Inilah tepatnya yang harus Anda lakukan ketika membuat perhitungan nyata pada independen dan kontrol bekerja- tidak perlu melukis langsung setiap tindakan dan transformasi.

Selanjutnya, metode spasi yang sudah dikenal ikut bermain. Numerator nol: tetapi sebenarnya tidak. Karena diskriminan akan negatif. Pada gilirannya, penyebut dinolkan hanya pada $ x = 0 $ - seperti terakhir kali. Nah, jelas bahwa di sebelah kanan $ x = 0 $ pecahan akan diambil nilai positif dan yang negatif di sebelah kiri. Karena kita tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah $ x \ di \ kiri (- \ infty; 0 \ kanan) $.

\ [((\ kiri (0,16 \ kanan)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ kiri (6,25 \ kanan)) ^ (x)) \ ge 1 \]

Tapi apa yang harus Anda lakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Itu benar: singkirkan mereka, terjemahkan menjadi yang biasa. Jadi kami akan menerjemahkan:

\ [\ begin (align) & 0,16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightarrow ((\ left (0,16 \ right)) ^ (1 + 2x)) = ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6,25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Panah kanan ((\ kiri (6,25 \ kanan)) ^ (x)) = ((\ kiri (\ frac (25) (4) \ kanan)) ^ (x)). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Jadi apa yang kita dapatkan di dasar-dasar fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling terbalik:

\ [\ frac (25) (4) = ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (- 1)) \ Panah kanan ((\ kiri (\ frac (25) (4) \ kanan)) ^ (x)) = ((\ kiri (((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan))) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (x)) = ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (- x)) \]

Dengan demikian, pertidaksamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\ [\ begin (align) & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (\ frac (4) (25) \ right) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (1 + 2x + \ kiri (-x \ kanan))) \ ge ((\ kiri (\ frac (4) (25 ) \ kanan)) ^ (0)); \\ & ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (0) ). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Tentu saja, ketika derajat dengan basis yang sama dikalikan, indikatornya bertambah, yang terjadi pada baris kedua. Selain itu, kami menyajikan satuan di sebelah kanan, juga dalam bentuk gelar dengan basis 4/25. Tetap hanya untuk melakukan rasionalisasi:

\ [((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ kiri (\ frac (4) (25) \ kanan)) ^ (0)) \ Panah kanan \ kiri (x + 1-0 \ kanan) \ cdot \ kiri (\ frac (4) (25) -1 \ kanan) \ ge 0 \]

Perhatikan bahwa $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, mis. faktor kedua adalah konstanta negatif, dan ketika dibagi dengannya, tanda pertidaksamaan akan berubah:

\ [\ begin (align) & x + 1-0 \ le 0 \ Rightarrow x \ le -1; \\ & x \ di \ kiri (- \ infty; -1 \ kanan]. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Akhirnya, ketidaksetaraan terakhir dari "set" saat ini:

\ [((\ kiri (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ kanan)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]

Pada prinsipnya, ide penyelesaiannya juga jelas di sini: semua fungsi eksponensial yang termasuk dalam pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis "3". Tetapi untuk ini, Anda harus sedikit mengotak-atik akar dan derajat:

\ [\ begin (align) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini, ketidaksetaraan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((\ left (((3)) ^ (2)) \ kanan)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Perhatikan perhitungan baris ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan apa pun dengan ketidaksetaraan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang kita bicarakan sejak awal pelajaran: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. Selama Anda memiliki beberapa faktor kiri, konstanta tambahan, dll. di kiri atau kanan Anda, tidak ada rasionalisasi dan "mencoret" alasan dapat dilakukan! Tugas yang tak terhitung jumlahnya telah salah karena kesalahpahaman fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini di antara siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik.

Tapi kembali ke masalah kita. Mari kita coba lakukan tanpa rasionalisasi kali ini. Ingat: basis derajat lebih besar dari satu, sehingga tiga kali lipat dapat dengan mudah dicoret - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah dalam kasus ini. Kita mendapatkan:

\ [\ begin (sejajarkan) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Itu saja. Jawaban terakhir adalah $ x \ di \ kiri (- \ infty; 3 \ kanan) $.

Menyoroti ekspresi stabil dan mengganti variabel

Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk memecahkan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak terlatih. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan gelar. Secara khusus, menghilangkan faktor umum dari tanda kurung.

Tetapi yang paling penting adalah belajar memahami apa sebenarnya yang bisa dikeluarkan dari kurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - dapat ditunjuk dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugasnya:

\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500; \\ & ((\ kiri (0,5 \ kanan)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Mari kita mulai dengan baris pertama. Mari kita tulis pertidaksamaan ini secara terpisah:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]

Perhatikan bahwa $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, jadi tangan kanan sisi dapat menulis ulang:

Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain, kecuali $ ((5) ^ (x + 1)) $, dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $ x $ tidak ditemukan di tempat lain, jadi kami memperkenalkan variabel baru: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. Kami mendapatkan konstruksi berikut:

\ [\ mulai (sejajarkan) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Kami kembali ke variabel asli ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $), dan pada saat yang sama ingat bahwa 1 = 5 0. Kita punya:

\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Itulah seluruh solusi! Jawaban: $ x \ di \ kiri [-1; + \ infty \ kanan) $. Kami lolos ke ketidaksetaraan kedua:

\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]

Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $ . .. Kemudian sisi kiri dapat ditulis ulang:

\ [\ begin (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ kanan. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Panah kanan ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Panah kanan ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Panah kanan x \ di \ kiri [2; + \ infty \ kanan). \\\ akhir (sejajarkan) \]

Ini kira-kira bagaimana Anda perlu membuat keputusan tentang kontrol nyata dan pekerjaan mandiri.

Nah, mari kita coba sesuatu yang lebih rumit. Misalnya, inilah ketidaksetaraan:

\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]

Apa masalahnya di sini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 = 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((25) ^ (x + 1,5)) = ((\ kiri (((5) ^ (2)) \ kanan)) ^ (x + 1,5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (sejajarkan ) \]

Seperti yang Anda lihat, pada awalnya kami mengarahkan semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami perhatikan bahwa suku pertama dapat dengan mudah dikurangi menjadi yang kedua - cukup dengan memperluas indikator. Sekarang Anda dapat dengan aman memasukkan variabel baru: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $, dan seluruh pertidaksamaan akan ditulis ulang sebagai berikut:

\ [\ mulai (sejajarkan) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Sekali lagi, tidak ada kesulitan! Jawaban terakhir adalah $x\in\left[1; +\infty\right) $. Pindah ke ketidaksetaraan terakhir dalam pelajaran hari ini:

\ [((\ kiri (0,5 \ kanan)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768 \]

Hal pertama yang harus diperhatikan adalah, tentu saja, desimal di dasar derajat pertama. Hal ini diperlukan untuk menyingkirkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":

\ [\ begin (align) & 0.5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (0.5 \ right)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ kiri (((2) ^ (- 1)) \ kanan)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Panah kanan ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ kiri (((2) ^ (4)) \ kanan)) ^ ( x + 1.5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Hebat, kami mengambil langkah pertama - semuanya mengarah ke fondasi yang sama. Sekarang kita perlu memilih ekspresi yang stabil. Perhatikan bahwa $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Jika kita memasukkan variabel baru $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, maka pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\ [\ mulai (sejajarkan) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Secara alami, pertanyaan mungkin muncul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui kekuatan dua (dan pada saat yang sama kekuatan tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (bisa dibagi, karena 256 adalah bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:

\ [\ begin (align) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). ) \]

Itu sama dengan tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah kekuatannya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, lima besar ini juga punya gelar "cantik" yang perlu kamu ketahui:

\ [\ mulai (sejajarkan) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ akhir (sejajarkan) \]

Tentu saja, semua angka ini, jika diinginkan, dapat direkonstruksi dalam pikiran, hanya dengan mengalikannya satu sama lain secara berurutan. Namun, ketika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan setiap pertidaksamaan berikutnya lebih rumit dari yang sebelumnya, maka hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah derajat beberapa bilangan di sana. Dan dalam pengertian ini, masalah ini lebih kompleks daripada ketidaksetaraan "klasik", yang diselesaikan dengan metode interval.

Saya harap tutorial ini telah membantu Anda dalam menguasai topik ini. Jika ada yang tidak jelas - tanyakan di komentar. Dan sampai jumpa di pelajaran selanjutnya. :)

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan solusi persamaan eksponensial yang lebih kompleks, mengingat ketentuan teoritis utama mengenai fungsi eksponensial.

1. Definisi dan sifat-sifat fungsi eksponensial, teknik untuk menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana

Mari kita ingat kembali definisi dan sifat dasar dari fungsi eksponensial. Pada sifat-sifat inilah solusi dari semua persamaan dan pertidaksamaan eksponensial didasarkan.

Fungsi eksponensial - adalah fungsi dari bentuk, di mana basis derajat dan Di sini x adalah variabel independen, argumen; y - variabel dependen, fungsi.

Beras. 1. Grafik fungsi eksponensial

Grafik menunjukkan kenaikan dan penurunan eksponen, menggambarkan fungsi eksponensial ketika basis lebih besar dari satu dan kurang dari satu, tetapi lebih besar dari nol, masing-masing.

Kedua kurva melewati titik (0; 1)

Sifat fungsi eksponensial:

Domain: ;

Jarak nilai:;

Fungsinya monoton, karena meningkat, karena menurun.

Fungsi monoton mengambil masing-masing nilainya untuk nilai argumen tunggal.

Ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi meningkat dari nol tidak inklusif menjadi plus tak terhingga. Sebaliknya, ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi menurun dari tak terhingga ke nol, tidak inklusif.

2. Solusi persamaan eksponensial tipikal

Mari kita ingat bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana. Solusi mereka didasarkan pada monotonisitas fungsi eksponensial. Hampir semua persamaan eksponensial kompleks direduksi menjadi persamaan tersebut.

Persamaan eksponen dengan basis yang sama disebabkan oleh sifat fungsi eksponensial, yaitu, monotonisitasnya.

Metode solusi:

Menyamakan basis derajat;

Persamaan eksponen.

Mari kita beralih ke mempertimbangkan persamaan eksponensial yang lebih kompleks, tujuan kami adalah untuk mengurangi masing-masing menjadi yang paling sederhana.

Mari singkirkan akar di sisi kiri dan bawa derajat ke dasar yang sama:

Untuk mereduksi persamaan eksponensial kompleks menjadi yang paling sederhana, perubahan variabel sering digunakan.

Mari kita gunakan properti derajat:

Kami memperkenalkan pengganti. Biarkan, lalu

Kami mengalikan persamaan yang dihasilkan dengan dua dan mentransfer semua istilah ke sisi kiri:

Akar pertama tidak memenuhi kisaran nilai y, kami membuangnya. Kita mendapatkan:

Mari kita bawa derajat ke indikator yang sama:

Kami memperkenalkan pengganti:

Biarkan, lalu ... Dengan penggantian seperti itu, jelas bahwa y mengambil nilai positif yang ketat. Kita mendapatkan:

Kami tahu bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat seperti itu, kami akan menulis jawabannya:

Untuk memastikan bahwa akar ditemukan dengan benar, Anda dapat memeriksa dengan teorema Vieta, yaitu, menemukan jumlah akar dan produknya dan memeriksa dengan koefisien persamaan yang sesuai.

Kita mendapatkan:

3. Metodologi untuk menyelesaikan persamaan eksponensial homogen derajat kedua

Mari kita periksa jenis penting persamaan eksponensial berikut:

Persamaan jenis ini disebut homogen derajat kedua terhadap fungsi f dan g. Di sisi kiri ada trinomial persegi sehubungan dengan f dengan parameter g atau trinomial persegi sehubungan dengan g dengan parameter f.

Metode solusi:

Persamaan ini dapat diselesaikan sebagai kuadrat, tetapi lebih mudah untuk melakukannya secara berbeda. Ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan:

Dalam kasus pertama, kita mendapatkan

Dalam kasus kedua, kami memiliki hak untuk membagi dengan tingkat tertinggi dan kami mendapatkan:

Perubahan variabel harus diperkenalkan, kita dapatkan persamaan kuadrat dengan hormat:

Perhatikan bahwa fungsi f dan g dapat berupa apa saja, tetapi kami tertarik pada kasus ketika ini adalah fungsi eksponensial.

4. Contoh penyelesaian persamaan homogen

Pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan:

Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai yang benar-benar positif, kami memiliki hak untuk segera membagi persamaan dengan, tanpa mempertimbangkan kasus ketika:

Kita mendapatkan:

Kami memperkenalkan pengganti: (sesuai dengan sifat-sifat fungsi eksponensial)

Kami mendapat persamaan kuadrat:

Tentukan akar-akarnya dengan teorema Vieta:

Akar pertama tidak memenuhi kisaran nilai y, kami membuangnya, kami mendapatkan:

Kami akan menggunakan properti derajat dan mengurangi semua derajat ke basis sederhana:

Sangat mudah untuk melihat fungsi f dan g:

Metode untuk memecahkan sistem persamaan

Untuk memulainya, mari kita ingat secara singkat metode penyelesaian sistem persamaan apa yang ada secara umum.

Ada empat cara utama solusi sistem persamaan:

Metode substitusi: salah satu persamaan ini diambil dan $ y $ dinyatakan melalui $ x $, kemudian $ y $ disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, dari mana variabel $ x ditemukan. $ Setelah itu kita dapat dengan mudah menghitung variabel $ y. $

Metode lipat: dalam cara ini perlu untuk mengalikan satu atau kedua persamaan dengan angka sedemikian rupa sehingga ketika keduanya dijumlahkan, salah satu variabel "menghilang".

Cara grafis: kedua persamaan sistem digambarkan pada bidang koordinat dan titik persimpangan mereka ditemukan.

Metode pengenalan variabel baru: dalam metode ini kami mengganti ekspresi apa pun untuk menyederhanakan sistem, dan kemudian menerapkan salah satu metode di atas.