Workshop "menyelesaikan persamaan trigonometri". Transformasi persamaan, transformasi ekuivalen Transformasi yang menyebabkan hilangnya akar

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan

Apa solusi dari suatu persamaan?

Transformasi identik. Dasar

jenis transformasi identitas.

Akar asing. Kehilangan akar.

Memecahkan persamaan adalah proses yang terutama terdiri dari penggantian persamaan yang diberikan persamaan lain yang setara dengannya . Penggantian ini disebuttransformasi yang identik . Dasar transformasi identitas pengikut:

1.

Mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengannya. Misalnya persamaan (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 dapat diganti dengan persamaan berikut:9 X 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Memindahkan suku-suku suatu persamaan dari satu ruas ke ruas lainnya dengan tanda terbalik. Jadi, pada persamaan sebelumnya kita dapat memindahkan semua sukunya dari ruas kanan ke kiri dengan tanda “-”: 9 X 2 + 12 x+ 4 – 15 X - 10 = 0, setelah itu kita mendapatkan:9 X 2 – 3 X - 6 = 0 .

3.

Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi (angka) yang sama selain nol. Ini sangat penting karenapersamaan baru mungkin tidak setara dengan persamaan sebelumnya jika persamaan yang kita kalikan atau bagi mungkin sama dengan nol.

CONTOH PersamaannyaX - 1 = 0 mempunyai akar tunggalx = 1.

Mengalikan kedua ruasnya denganX - 3 , kita mendapatkan persamaannya

( X - 1)( X - 3) = 0, yang memiliki dua akar:x = 1 danX = 3.

Nilai terakhir bukanlah akar persamaan yang diberikan

X - 1 = 0. Inilah yang disebutakar asing .

Sebaliknya, perpecahan dapat menyebabkankehilangan akar . Jadi

dalam kasus kami, jika (X - 1 )( X - 3 ) = 0 adalah aslinya

persamaan, lalu akarnyax = 3 akan hilang dalam pembagian

kedua sisi persamaan aktifX - 3 .

Pada persamaan terakhir (item 2), kita dapat membagi semua sukunya dengan 3 (bukan nol!) dan akhirnya mendapatkan:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Persamaan ini setara dengan persamaan aslinya:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Bisanaikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat ganjil atauekstrak akar ganjil dari kedua sisi persamaan . Harus diingat bahwa:

a) konstruksi digelar genap dapat menyebabkanuntuk akuisisi akar asing ;

B)salah ekstraksibahkan akar dapat mengarah kehilangnya akar .

CONTOH. Persamaan 7X = 35 mempunyai satu akarX = 5 .

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ini, kita peroleh

persamaan:

49 X 2 = 1225 .

memiliki dua akar:X = 5 DanX = – 5. Nilai terakhir

adalah akar asing.

Salah mengambil akar kuadrat dari keduanya

bagian persamaan 49X 2 = 1225 hasil dalam 7X = 35,

dan kita kehilangan akar kitaX = – 5.

Benar mengambil hasil akar kuadrat

persamaan: | 7X | = 35, A karenanya menjadi dua kasus:

1) 7 X = 35, KemudianX = 5 ; 2) – 7 X = 35, KemudianX = – 5 .

Oleh karena itu, kapanbenar mengekstraksi persegi

akar kita tidak kehilangan akar persamaannya.

Apa artinyaBenar ekstrak akarnya? Di sinilah kita bertemu

dengan konsep yang sangat pentingakar aritmatika

(cm. ).

Hilangnya akar dan akar asing saat menyelesaikan persamaan

Institusi Pendidikan Kota “Sekolah Menengah No.2 dengan studi mendalam item individu" dari kota Vsevolozhsk. Pekerjaan penelitian disiapkan oleh siswa kelas 11B: Vasily Vasiliev. Manajer proyek: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Persamaan Pertama, mari kita lihat berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan ini sinx+cosx =- 1

Penyelesaian No. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Jawaban: + 2

Penyelesaian No.2 sinx+cosx = - Jawaban ke-1: +2 y x 0 1 2 sincos+ - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tan =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Penyelesaian No.3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Jawaban:

sinx+cosx =-1 Penyelesaian No. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Jawaban: - + 2 n

Mari kita bandingkan solusi Solusi yang benar Mari kita cari tahu dalam kasus apa akar asing dapat muncul dan mengapa No. 2 Jawaban: +2 No. 3 Jawaban: No. 4 Jawaban: + 2 n No. 1 Jawaban: +2

Memeriksa solusinya Apakah perlu dilakukan pengecekan? Haruskah saya memeriksa akarnya untuk berjaga-jaga, agar aman? Hal ini tentu saja berguna jika mudah untuk diganti, namun ahli matematika adalah orang yang rasional dan tidak melakukan hal-hal yang tidak perlu. Mari kita lihat berbagai kasus dan ingat kapan verifikasi benar-benar diperlukan.

1. Rumus siap pakai yang paling sederhana c osx =a x=a =a s inx =at gx =a Jika akar-akarnya ditemukan menggunakan rumus yang paling sederhana dan sudah jadi, pemeriksaan tidak perlu dilakukan. Namun, saat menggunakan rumus tersebut, Anda harus mengingat kondisi di mana rumus tersebut dapat digunakan. Misalnya rumus = dapat digunakan pada kondisi a 0, -4ac 0 Dan jawaban x= arccos2+2 untuk persamaan cosx =2 dianggap kesalahan besar, karena rumus x= arccos a +2 hanya dapat digunakan untuk akar-akar persamaan cosx =a, dimana | sebuah | 1

2. Transformasi Seringkali, ketika menyelesaikan persamaan, Anda harus melakukan banyak transformasi. Jika suatu persamaan diganti dengan persamaan baru yang mempunyai semua akar-akar persamaan sebelumnya, dan ditransformasikan sedemikian rupa sehingga tidak terjadi kehilangan atau perolehan akar-akarnya, maka persamaan tersebut disebut ekuivalen. 1. Saat memindahkan komponen persamaan dari satu bagian ke bagian lainnya. 2. Saat menjumlahkan angka yang sama pada kedua sisi. 3. Ketika kedua ruas persamaan dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama. 4. Saat menerapkan identitas yang benar di lokasi syuting semua bilangan real. Namun, verifikasi tidak diperlukan!

Namun, tidak semua persamaan dapat diselesaikan dengan transformasi ekuivalen. Lebih sering perlu digunakan transformasi yang setara. Seringkali transformasi semacam itu didasarkan pada penggunaan rumus yang tidak berlaku untuk semua nilai riil. Dalam hal ini, khususnya, domain definisi persamaan berubah. Kesalahan ini ditemukan dalam solusi #4. Mari kita lihat kesalahannya, tapi pertama-tama mari kita lihat lagi solusi no.4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Kesalahannya terletak pada rumus sin2x= Rumus ini bisa digunakan, namun sebaiknya dicek juga apakah akar-akarnya berupa bilangan berbentuk + yang tgnya tidak terdefinisi. Sekarang jelas bahwa solusinya adalah hilangnya akar. Mari kita lihat sampai akhir.

Solusi No. 4 i y x 0 1 Mari kita periksa bilangan = + n dengan substitusi: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Jadi x= +2 n adalah akar persamaan Jawaban: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Kami melihat salah satu cara untuk kehilangan akar; ada banyak sekali cara dalam matematika, jadi Anda perlu menyelesaikannya dengan hati-hati, mengingat semua aturan. Sama seperti Anda bisa kehilangan akar persamaan, Anda juga bisa mendapatkan akar persamaan tambahan saat menyelesaikannya. Mari kita pertimbangkan solusi No. 3 di mana kesalahan seperti itu terjadi.

Solusi #3 I y x 0 1 2 2 dan akar tambahan! Akar asing dapat muncul jika kedua ruas persamaan dikuadratkan. Dalam hal ini, perlu dilakukan pemeriksaan. Untuk n=2k kita mempunyai sin k+cos k=-1; cos k=-1 untuk k=2m-1 , Maka n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Jawaban: +2 Untuk n=2k+1 kita mempunyai sin +cos =- 1 dosa(+ k)+ cos (+ k)=- 1 karena k-sin k=- 1 cos k=-1 pada k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x dosa2x=0 2x= x=

Jadi, kami melihat beberapa kemungkinan kasus, yang jumlahnya sangat banyak. Cobalah untuk tidak membuang waktu Anda dan membuat kesalahan bodoh.

Dapat menyebabkan munculnya apa yang disebut akar asing. Pada artikel ini, pertama-tama kita akan menganalisis secara detail apa itu akar asing. Kedua, mari kita bicara tentang alasan kemunculannya. Dan ketiga, dengan menggunakan contoh, kita akan mempertimbangkan metode utama untuk menyaring akar asing, yaitu memeriksa akar untuk mengetahui keberadaan akar asing di antara akar tersebut untuk mengecualikannya dari jawaban.

Akar asing dari persamaan, definisi, contoh

DI DALAM buku pelajaran sekolah aljabar tidak memberikan definisi akar asing. Di sana, gagasan tentang akar asing dibentuk dengan menggambarkan situasi berikut: dengan bantuan beberapa transformasi persamaan, transisi dilakukan dari persamaan asli ke persamaan akibat wajar, akar-akar persamaan akibat akibat yang dihasilkan ditemukan. , dan akar-akar yang ditemukan diperiksa dengan mensubstitusikan ke persamaan asli, yang menunjukkan bahwa beberapa akar yang ditemukan bukan akar-akar persamaan asli, akar-akar tersebut disebut akar-akar asing untuk persamaan asli.

Berdasarkan dasar ini, Anda dapat menerima sendiri definisi akar asing berikut ini:

Definisi

Akar asing- ini adalah akar-akar persamaan akibat yang diperoleh sebagai hasil transformasi, yang bukan merupakan akar-akar persamaan aslinya.

Mari kita beri contoh. Mari kita perhatikan persamaan dan konsekuensi dari persamaan ini x·(x−1)=0, yang diperoleh dengan mengganti ekspresi tersebut dengan ekspresi yang identik sama x·(x−1) . Persamaan aslinya memiliki akar tunggal 1. Persamaan yang diperoleh dari transformasi memiliki dua akar 0 dan 1. Ini berarti 0 adalah akar asing dari persamaan aslinya.

Alasan kemungkinan munculnya akar asing

Jika untuk memperoleh persamaan akibat wajar Anda tidak menggunakan transformasi “eksotis” apa pun, tetapi hanya menggunakan transformasi dasar persamaan, maka akar asing hanya dapat muncul karena dua alasan:

• karena perluasan ODZ dan
• karena menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap yang sama.

Perlu diingat di sini bahwa perluasan ODZ sebagai akibat dari transformasi persamaan terutama terjadi

• Saat mereduksi pecahan;
• Saat mengganti produk dengan satu atau lebih faktor nol dengan nol;
• Saat mengganti pecahan dengan pembilang nol dengan nol;
• Saat menggunakan beberapa properti pangkat, akar, logaritma;
• Saat menggunakan beberapa rumus trigonometri;
• Jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan persamaan yang sama, persamaan tersebut akan hilang dengan ODZ persamaan tersebut;
• Saat membebaskan dari tanda logaritma dalam proses penyelesaian.

Contoh dari paragraf artikel sebelumnya mengilustrasikan munculnya akar asing akibat pemuaian ODZ, yang terjadi ketika berpindah dari persamaan ke persamaan akibat wajar x·(x−1)=0. ODZ persamaan asal adalah himpunan semua bilangan real kecuali nol, ODZ persamaan hasil adalah himpunan R, yaitu ODZ diperluas dengan bilangan nol. Angka ini pada akhirnya menjadi akar asing.

Kami juga akan memberikan contoh munculnya akar asing karena menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap yang sama. Persamaan irasional memiliki akar tunggal 4, dan konsekuensi persamaan ini diperoleh dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, yaitu persamaan , memiliki dua akar 1 dan 4. Dari sini jelas bahwa mengkuadratkan kedua ruas persamaan menyebabkan munculnya akar asing untuk persamaan aslinya.

Perhatikan bahwa perluasan ODZ dan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap yang sama tidak selalu menyebabkan munculnya akar asing. Misalnya, ketika berpindah dari persamaan ke persamaan akibat wajar x=2, ODZ meluas dari himpunan semua bilangan non-negatif ke himpunan semua bilangan real, tetapi tidak ada akar asing yang muncul. 2 adalah satu-satunya akar persamaan pertama dan kedua. Selain itu, tidak ada akar asing yang muncul saat berpindah dari persamaan ke persamaan akibat wajar. Satu-satunya akar persamaan pertama dan kedua adalah x=16. Itulah sebabnya kita tidak berbicara tentang alasan munculnya akar asing, tetapi tentang alasan kemungkinan munculnya akar asing.

Apa yang dimaksud dengan menyaring akar asing?

Istilah “menyaring akar-akar asing” hanya dapat disebut mapan; istilah ini tidak ditemukan di semua buku teks aljabar, namun bersifat intuitif, itulah sebabnya istilah ini biasanya digunakan. Yang dimaksud dengan menyaring akar-akar asing menjadi jelas dari kalimat berikut: “... verifikasi adalah langkah wajib dalam menyelesaikan suatu persamaan, yang akan membantu mendeteksi akar-akar asing, jika ada, dan membuangnya (biasanya dikatakan “menyingkirkan ”).”

Dengan demikian,

Definisi

Menyaring akar asing- ini adalah pendeteksian dan pembuangan akar asing.

Sekarang Anda dapat beralih ke metode menyaring akar asing.

Metode untuk menyaring akar asing

Pemeriksaan substitusi

Cara utama untuk menyaring akar asing adalah dengan uji substitusi. Hal ini memungkinkan Anda untuk menyingkirkan akar-akar asing yang dapat muncul baik karena perluasan ODZ maupun karena menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap yang sama.

Uji substitusinya adalah sebagai berikut: akar-akar persamaan akibat yang ditemukan disubstitusikan secara bergantian ke dalam persamaan asal atau ke dalam persamaan apa pun yang setara dengannya, akar-akar yang memberikan persamaan numerik yang benar adalah akar-akar persamaan asli, dan akar-akar yang memberikan persamaan numerik persamaan atau ekspresi numerik yang salah adalah akar-akar persamaan awal, tidak berarti, merupakan akar-akar asing dari persamaan awal.

Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana menyaring akar-akar asing melalui substitusi ke persamaan awal.

Dalam beberapa kasus, lebih baik menyaring akar asing menggunakan metode lain. Hal ini berlaku terutama untuk kasus-kasus ketika pemeriksaan dengan substitusi dikaitkan dengan kesulitan komputasi yang signifikan atau ketika metode standar untuk menyelesaikan persamaan jenis tertentu memerlukan pemeriksaan lain (misalnya, menyaring akar-akar asing ketika menyelesaikan persamaan rasional pecahan dilakukan sesuai dengan syarat penyebut pecahan tidak sama dengan nol). Mari kita lihat cara alternatif untuk menyingkirkan akar asing.

Menurut DL

Berbeda dengan pengujian dengan substitusi, menyaring akar asing menggunakan ODZ tidak selalu tepat. Faktanya adalah bahwa metode ini memungkinkan Anda untuk menyaring hanya akar asing yang muncul karena perluasan ODZ, dan tidak menjamin penyaringan akar asing yang mungkin timbul karena alasan lain, misalnya, karena menaikkan kedua sisi. persamaan dengan pangkat genap yang sama. Selain itu, tidak selalu mudah untuk menemukan OD dari persamaan yang sedang diselesaikan. Namun demikian, metode menyaring akar asing menggunakan ODZ tetap layak untuk digunakan, karena penggunaannya sering kali memerlukan lebih sedikit pekerjaan komputasi dibandingkan penggunaan metode lain.

Menyingkirkan akar-akar asing menurut ODZ dilakukan sebagai berikut: semua akar persamaan akibat wajar yang ditemukan diperiksa untuk melihat apakah akar-akar tersebut termasuk dalam kisaran nilai variabel yang diizinkan untuk persamaan asli atau persamaan apa pun yang setara dengannya, yang termasuk dalam ODZ adalah akar-akar persamaan asli, dan yang termasuk dalam ODZ adalah akar-akar persamaan asli, dan yang tidak termasuk dalam ODZ adalah akar-akar asing dari persamaan asli.

Analisis informasi yang diberikan mengarah pada kesimpulan bahwa disarankan untuk menyaring akar asing menggunakan ODZ jika pada saat yang sama:

• mudah untuk menemukan ODZ untuk persamaan aslinya,
• akar asing hanya bisa muncul karena perluasan ODZ,
• Pengujian substitusi dikaitkan dengan kesulitan komputasi yang signifikan.

Kami akan menunjukkan bagaimana penyiangan akar asing dilakukan dalam praktiknya.

Menurut ketentuan DL

Seperti yang telah kami katakan di paragraf sebelumnya, jika akar-akar asing hanya dapat muncul karena pemuaian ODZ, maka akar-akar asing tersebut dapat dihilangkan dengan menggunakan ODZ untuk persamaan aslinya. Namun tidak selalu mudah untuk menemukan ODZ dalam bentuk kumpulan nomor. Dalam kasus seperti itu, dimungkinkan untuk menyaring akar asing bukan berdasarkan ODZ, tetapi berdasarkan kondisi yang menentukan ODZ. Mari kita jelaskan bagaimana penyiangan akar asing dilakukan dalam kondisi ODZ.

Akar-akar yang ditemukan selanjutnya disubstitusikan ke dalam kondisi yang menentukan ODZ untuk persamaan asli atau persamaan apa pun yang setara dengannya. Yang memenuhi semua kondisi adalah akar-akar persamaan. Dan akar-akar tersebut yang tidak memenuhi setidaknya satu kondisi atau memberikan ekspresi yang tidak masuk akal adalah akar-akar asing dari persamaan aslinya.

Mari kita beri contoh penyaringan akar asing sesuai dengan kondisi ODZ.

Menyingkirkan akar-akar asing yang timbul dari menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap

Jelas bahwa menghilangkan akar-akar asing yang timbul dari menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap yang sama dapat dilakukan dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan asli atau ke dalam persamaan apa pun yang setara dengannya. Namun pemeriksaan seperti itu mungkin melibatkan kesulitan komputasi yang signifikan. Dalam hal ini, ada baiknya mengetahui metode alternatif untuk menyaring akar asing, yang akan kita bicarakan sekarang.

Menyaring akar-akar asing yang mungkin timbul ketika menaikkan kedua ruas persamaan irasional ke pangkat genap yang sama , dimana n adalah beberapa bilangan genap, dapat dilakukan sesuai kondisi g(x)≥0. Berikut ini definisi akar pangkat genap: akar pangkat genap n adalah bilangan non-negatif, pangkat ke-n sama dengan bilangan akar, maka . Dengan demikian, pendekatan yang disuarakan merupakan semacam simbiosis antara metode menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sama dan metode penyelesaian persamaan irasional dengan menentukan akarnya. Yaitu persamaannya , dimana n adalah bilangan genap, diselesaikan dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap yang sama, dan menghilangkan akar-akar asing dilakukan sesuai dengan kondisi g(x)≥0, diambil dari metode penyelesaian persamaan irasional dengan menentukan akarnya.

§ 1. AKAR YANG HILANG DAN TEREKSTRASI SAAT MENYELESAIKAN PERSAMAAN (DENGAN CONTOH)

MATERI REFERENSI

1. Dalam dua teorema § 3 Bab VII telah dibahas tindakan apa pada persamaan yang tidak melanggar kesetaraannya.

2. Sekarang mari kita perhatikan operasi persamaan yang dapat menghasilkan persamaan baru yang tidak sama dengan persamaan aslinya. Daripada membahas secara umum, kami akan membatasi diri untuk hanya mempertimbangkan contoh-contoh spesifik saja.

3. Contoh 1. Diberikan sebuah persamaan Buka tanda kurung pada persamaan ini, pindahkan semua suku ke ruas kiri dan selesaikan persamaan kuadrat. Akarnya adalah

Jika kedua ruas persamaan direduksi dengan faktor persekutuan, maka diperoleh persamaan yang tidak sama dengan persamaan aslinya, karena persamaan tersebut hanya mempunyai satu akar.

Oleh karena itu, mereduksi kedua ruas persamaan dengan faktor yang tidak diketahui dapat mengakibatkan akar-akar persamaan tersebut hilang.

4. Contoh 2. Diberikan sebuah persamaan. Persamaan ini mempunyai satu akar. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan ini dan kita peroleh. Selesaikan persamaan ini, kita temukan dua akar:

Kita melihat bahwa persamaan baru tersebut tidak ekuivalen dengan persamaan awal, Akar adalah akar-akar persamaan yang kedua ruasnya setelah dikuadratkan akan menghasilkan persamaan

5. Akar asing juga dapat muncul jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan faktor yang mengandung faktor yang tidak diketahui, jika faktor tersebut hilang untuk nilai x yang sebenarnya.

Contoh 3. Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan maka kita memperoleh persamaan baru yang setelah suku tersebut dipindahkan dari ruas kanan ke kiri dan difaktorkan, diperoleh persamaan dari salah satu ruas tersebut.

Akar tidak memenuhi persamaan yang hanya mempunyai satu akar

Dari sini kita menyimpulkan: ketika mengkuadratkan kedua sisi persamaan (secara umum ke pangkat genap), serta ketika mengalikan dengan faktor yang mengandung faktor yang tidak diketahui dan menghilangkan nilai sebenarnya dari yang tidak diketahui, akar asing dapat muncul.

Semua pertimbangan yang dikemukakan di sini mengenai masalah hilangnya dan munculnya akar-akar asing suatu persamaan berlaku sama untuk persamaan apa pun (aljabar, trigonometri, dll.).

6. Suatu persamaan disebut aljabar jika hanya memenuhi persamaan yang tidak diketahui operasi aljabar- penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar dengan eksponen alami (dan jumlah operasi tersebut terbatas).

Jadi, misalnya persamaannya

bersifat aljabar, dan persamaannya

Dalam pelajaran terakhir, kita menggunakan tiga langkah untuk menyelesaikan persamaan.

Tahap pertama bersifat teknis. Dengan menggunakan rantai transformasi dari persamaan awal, kita sampai pada persamaan yang cukup sederhana, yang kita pecahkan dan temukan akar-akarnya.

Tahap kedua adalah analisis solusi. Kami menganalisis transformasi yang kami lakukan dan mencari tahu apakah transformasi tersebut setara.

Tahap ketiga adalah verifikasi. Memeriksa semua akar yang ditemukan dengan mensubstitusikannya ke persamaan asli adalah wajib ketika melakukan transformasi yang dapat menghasilkan persamaan akibat wajar

Apakah selalu perlu membedakan tiga tahap saat menyelesaikan suatu persamaan?

Tentu saja tidak. Seperti misalnya dalam menyelesaikan persamaan ini. DI DALAM Kehidupan sehari-hari mereka biasanya tidak terisolasi. Namun semua tahapan ini perlu “diingat” dan dilaksanakan dalam satu atau lain bentuk. Sangat penting untuk menganalisis kesetaraan transformasi. Dan jika analisa menunjukkan perlu dilakukan pemeriksaan, maka itu wajib. Jika tidak, persamaan tersebut tidak dapat dianggap terselesaikan dengan benar.

Apakah selalu mungkin untuk memeriksa akar-akar persamaan hanya dengan substitusi?

Jika transformasi ekuivalen digunakan saat menyelesaikan persamaan, maka verifikasi tidak diperlukan. Dalam pengecekan akar-akar suatu persamaan sangat sering digunakan ODZ (rentang nilai yang diijinkan), jika sulit untuk dilakukan pengecekan dengan menggunakan ODZ maka dilakukan dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan aslinya.

Latihan 1

Selesaikan persamaannya Akar pangkat dua dari dua x ditambah tiga sama dengan satu ditambah x.

Larutan

ODZ persamaan ditentukan oleh sistem dua pertidaksamaan: dua x ditambah tiga lebih besar atau sama dengan nol dan satu ditambah x lebih besar atau sama dengan nol. Solusinya adalah x lebih besar atau sama dengan minus satu.

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan, pindahkan suku-suku dari satu ruas persamaan ke ruas lainnya, tambahkan suku-suku yang sejenis, dan dapatkan persamaan kuadrat x kuadrat sama dengan dua. Akarnya adalah

x pertama, kedua sama dengan plus atau minus akar kuadrat dari dua.

Penyelidikan

Nilai x pertama sama dengan akar kuadrat dua merupakan akar persamaan, karena termasuk dalam ODZ.
Nilai x sekon sama dengan dikurangi akar kuadrat dua bukan merupakan akar persamaan, karena itu tidak termasuk dalam DZ.
Mari kita periksa akar x sama dengan akar kuadrat dari dua, substitusikan ke persamaan awal, kita dapatkan

persamaannya benar, artinya x sama dengan akar kuadrat dari dua yang merupakan akar persamaan.

Jawaban: akar kuadrat dari dua.

Tugas 2

Selesaikan persamaan akar kuadrat dari x dikurangi delapan sama dengan lima dikurangi x.

Larutan

ODZ suatu persamaan irasional ditentukan oleh sistem dua pertidaksamaan: x dikurangi delapan lebih besar atau sama dengan nol dan lima dikurangi x lebih besar atau sama dengan nol. Memecahkannya, kami menemukan bahwa sistem ini tidak memiliki solusi. Akar persamaan tidak boleh salah satu nilai variabel x.

Jawaban: tidak ada akar.

Tugas 3

Selesaikan persamaan akar kuadrat dari x pangkat tiga ditambah empat x dikurangi satu dikurangi delapan akar kuadrat x pangkat empat dikurangi x sama dengan akar kuadrat dari x pangkat tiga dikurangi satu ditambah dua akar kuadrat dari x.

Larutan

Menemukan ODZ dalam persamaan ini cukup sulit.

Mari kita lakukan transformasi: kuadratkan kedua ruas persamaan ini,

Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan dan bawa suku-suku sejenis, tuliskan dua akar di bawah satu, dapatkan akar-akar yang sejenis, bawa suku-suku sejenis, bagi dengan koefisien dikurangi 12, dan faktorkan persamaan radikalnya, kita mendapatkan persamaan di bentuk hasil kali dua faktor sama dengan nol. Setelah menyelesaikannya, kami menemukan akarnya:

x pertama sama dengan satu, x kedua sama dengan nol.

Karena kita menaikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat genap, pemeriksaan akar-akarnya wajib dilakukan.

Penyelidikan

Jika x sama dengan satu, maka

kita mendapatkan persamaan yang benar, artinya x sama dengan satu adalah akar persamaan.

Jika x adalah nol, maka akar kuadrat dari minus satu tidak terdefinisi.

Artinya x sama dengan nol adalah akar asing.

Jawaban: satu.

Tugas 4

Selesaikan persamaan logaritma dari ekspresi x kuadrat ditambah lima x ditambah dua basis dua sama dengan tiga.

Larutan

Mari kita cari persamaan ODZ. Untuk melakukannya, kita selesaikan pertidaksamaan x kuadrat ditambah lima x ditambah dua di atas nol.

Kami menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval. Untuk melakukan ini, kita memfaktorkan ruas kirinya, setelah sebelumnya menyelesaikan persamaan kuadrat, dan dengan mempertimbangkan tanda pertidaksamaan, kita menentukan ODZ. ODZ sama dengan gabungan sinar terbuka dari minus tak terhingga ke minus pecahan lima ditambah akar kuadrat tujuh belas dibagi dua, dan dari minus pecahan lima dikurangi akar kuadrat tujuh belas dibagi dua menjadi ditambah tak terhingga.

Sekarang mari kita mulai mencari akar persamaannya. Mengingat tiga sama dengan logaritma delapan pangkat dua, kita tulis persamaannya sebagai berikut: logaritma persamaan x kuadrat ditambah lima x ditambah dua pangkat dua sama dengan logaritma delapan pangkat dua. Mari kita mempotensiasi persamaan tersebut, memperoleh dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Diskriminannya adalah empat puluh sembilan.

Hitung akarnya:

x pertama sama dengan minus enam; x detik sama dengan satu.

Penyelidikan

Minus enam milik ODZ, satu milik ODZ, artinya kedua bilangan tersebut adalah akar persamaan.

Jawaban: dikurangi enam; satu.

Dalam pelajaran terakhir kita melihat masalah munculnya akar asing. Kami dapat mendeteksinya melalui verifikasi. Apakah mungkin kehilangan akar saat menyelesaikan persamaan dan bagaimana cara mencegahnya?

Saat melakukan tindakan seperti itu pada suatu persamaan, seperti, pertama, membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang sama ax dari x (kecuali jika diketahui dengan pasti bahwa ax dari x tidak sama dengan nol untuk setiap x dari domain definisi persamaan);

kedua, mempersempit OD persamaan selama proses penyelesaian dapat menyebabkan hilangnya akar-akar persamaan.

Ingat!

Persamaannya ditulis sebagai

ef dari x dikalikan abu dari x sama dengan zhe dari x dikalikan abu dari x diselesaikan dengan cara ini:

Anda perlu memfaktorkan dengan mengeluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung;

kemudian, samakan setiap faktor dengan nol, sehingga diperoleh dua persamaan.

Kami menghitung akarnya.

Latihan 1

Selesaikan persamaan x kubus sama dengan x.

Cara pertama

Bagilah kedua ruas persamaan ini dengan x, kita mendapatkan x kuadrat sama dengan satu, mempunyai akar-akar x pertama sama dengan satu,

x detik sama dengan minus satu.

Cara kedua

X kubus sama dengan X. Mari kita pindahkan x ke ruas kiri persamaan, keluarkan x dari tanda kurung, dan kita peroleh: x dikalikan x kuadrat dikurangi satu sama dengan nol.

Mari kita hitung akar-akarnya:

X pertama sama dengan nol, x kedua sama dengan satu, x ketiga sama dengan minus satu.

Persamaan tersebut memiliki tiga akar.

Saat menyelesaikan metode pertama, kita kehilangan satu akar - x sama dengan nol.

Jawaban: dikurangi satu; nol; satu.

Ingat! Mengurangi kedua ruas persamaan dengan faktor yang tidak diketahui dapat mengakibatkan hilangnya akar-akar persamaan.

Tugas 2

Selesaikan persamaan: logaritma desimal x kuadrat sama dengan dua.

Larutan

Cara pertama

Berdasarkan definisi logaritma, kita mendapatkan persamaan kuadrat x kuadrat sama dengan seratus.

Akar-akarnya: x pertama sama dengan sepuluh; X detik sama dengan minus sepuluh.

Cara kedua

Berdasarkan sifat logaritma, kita memiliki dua logaritma desimal x sama dengan dua.

Akarnya - x sama dengan sepuluh

Dengan metode kedua, akar x sama dengan minus sepuluh hilang. Dan alasannya adalah mereka menerapkan rumus yang salah, sehingga mempersempit cakupan persamaan. Ekspresi logaritma desimal x kuadrat didefinisikan untuk semua x kecuali x yang sama dengan nol. Ekspresi logaritma desimal x adalah untuk x lebih besar dari nol. Rumus yang Benar logaritma desimal x kuadrat sama dengan dua logaritma desimal modul x.

Ingat! Saat menyelesaikan persamaan, gunakan rumus yang tersedia dengan bijak.