Membiarkan X (\gaya tampilan X) adalah himpunan bilangan real R (\displaystyle \mathbb (R) ), atau satu set bilangan kompleks C (\displaystyle \mathbb (C) ). Lalu urutannya ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) elemen himpunan X (\gaya tampilan X) ditelepon urutan numerik.
Contoh
Operasi pada urutan
Selanjutnya
Selanjutnya urutan (x n) (\gaya tampilan (x_(n)))- ini adalah urutan (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), Di mana (nk) (\displaystyle (n_(k)))- barisan elemen himpunan bilangan asli yang meningkat.
Dengan kata lain, suatu barisan diperoleh dari suatu barisan dengan menghilangkan sejumlah elemen yang terbatas atau dapat dihitung.
Contoh
- Barisan bilangan prima adalah barisan bilangan asli.
- Barisan bilangan asli kelipatan , merupakan barisan bilangan asli genap.
Properti
Titik batas urutan adalah suatu titik di lingkungan mana pun yang terdapat banyak sekali elemen barisan ini. Untuk barisan bilangan konvergen, titik limitnya berimpit dengan limitnya.
Batas urutan
Batas urutan - ini adalah objek yang didekati oleh anggota barisan seiring bertambahnya jumlah. Jadi, dalam ruang topologi sembarang, limit suatu barisan adalah suatu elemen di lingkungan mana pun yang semua anggota barisan tersebut, mulai dari suatu titik tertentu, terletak. Khususnya, untuk barisan bilangan, limit adalah suatu bilangan di lingkungan mana pun yang semua suku barisan tersebut dimulai dari suatu titik tertentu.
Urutan Mendasar
Urutan Mendasar (barisan konvergen , Urutan Cauchy ) adalah barisan elemen ruang metrik yang menjadi tempat penyerangan apa pun jarak tertentu terdapat suatu elemen sedemikian rupa sehingga jarak dari elemen tersebut ke elemen mana pun yang mengikutinya tidak melebihi jarak yang ditentukan. Untuk barisan bilangan, konsep barisan fundamental dan barisan konvergen adalah ekuivalen, namun secara umum tidak demikian.
Urutan numerik adalah fungsi numerik yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli .
Jika fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan bilangan asli 
, maka himpunan nilai fungsi akan dapat dihitung dan setiap angkanya 
cocok dengan nomornya 
. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor. Nomor dipanggil elemen atau anggota suatu barisan, dan bilangan 
– umum atau 
-anggota barisan. Setiap elemen 
memiliki elemen selanjutnya 
. Hal ini menjelaskan penggunaan istilah "urutan".
Barisan tersebut biasanya ditentukan baik dengan mencantumkan unsur-unsurnya, atau dengan menunjukkan hukum yang digunakan untuk menghitung unsur dengan bilangan 
, yaitu menunjukkan rumusnya 
anggota ke-1 
.
Contoh.Selanjutnya
dapat diberikan dengan rumus:
.
Biasanya barisan dilambangkan sebagai berikut: dst, yang rumusnya ditunjukkan dalam tanda kurung 
anggota ke-th.
Contoh.Selanjutnya
‑ini adalah sebuah urutan
Himpunan semua elemen suatu barisan 
dilambangkan dengan 
.
Membiarkan 
Dan 
- dua urutan.
DENGAN ummah urutan 
Dan 
disebut urutan 
, Di mana 
, yaitu..
R perbedaan barisan tersebut disebut barisan 
, Di mana 
, yaitu..
Jika 
Dan
‑
konstanta, lalu barisan
,
ditelepon kombinasi linear
urutan 
Dan 
, yaitu
Pekerjaan urutan 
Dan 
disebut barisan dengan 
anggota -th 
, yaitu 
.
Jika 
, maka kita dapat menentukannya pribadi
.
Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi barisan 
Dan 
mereka disebut aljabarkomposisi.
Contoh.Pertimbangkan urutannya 
Dan 
, Di mana. Kemudian 
, yaitu selanjutnya 
memiliki semua elemen sama dengan nol.
,
, yaitu semua elemen hasil kali dan hasil bagi adalah sama 
.
Jika Anda mencoret beberapa elemen barisan 
agar jumlah elemen tetap tak terhingga, kita mendapatkan barisan lain yang disebut selanjutnya urutan 
. Jika Anda mencoret beberapa elemen pertama dari barisan tersebut 
, maka urutan baru dipanggil pengingat.
Selanjutnya 
terbatasdi atas(dari bawah), jika himpunan 
dibatasi dari atas (dari bawah). Urutannya disebut terbatas, jika dibatasi di atas dan di bawah. Suatu barisan dibatasi jika dan hanya jika ada sisa barisan tersebut yang dibatasi.
Urutan konvergen
Mereka mengatakan itu selanjutnya 
konvergen jika ada nomor 
sedemikian rupa bagi siapa pun 
ada hal seperti itu 
itu untuk siapa pun 
, pertidaksamaannya berlaku: 
.
Nomor 
ditelepon batas barisan tersebut
. Pada saat yang sama mereka menulis 
atau 
.
Contoh.
.
Mari kita tunjukkan itu 
. Mari kita tetapkan nomor berapa saja 
. Ketidaksamaan 
dilakukan untuk 
, seperti yang 
, bahwa definisi konvergensi dilakukan untuk bilangan tersebut 
. Cara, 
.
Dengan kata lain 
berarti semua anggota barisan 
dengan angka yang cukup besar berbeda sedikit dengan angkanya 
, yaitu dimulai dari nomor tertentu 
(jika) unsur-unsur barisan tersebut berada pada interval 
yang disebut 
–lingkungan dari titik tersebut 
.
Selanjutnya 
, yang limitnya nol ( 
, atau 
pada 
) disebut kecil sekali.
Sehubungan dengan sangat kecil, pernyataan berikut ini benar:
Jumlah dua bilangan yang sangat kecil adalah sangat kecil;
Hasil kali dari kuantitas yang sangat kecil dan kuantitas yang terbatas adalah sangat kecil.
Dalil
.Agar berurutan 
mempunyai batas, itu perlu dan cukup untuk 
, Di mana 
– konstan; 
– sangat kecil
.
Sifat dasar barisan konvergen:
Sifat 3. dan 4. digeneralisasikan untuk kasus sejumlah barisan konvergen.
Perhatikan bahwa ketika menghitung limit pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan kombinasi pangkat linier 
, limit pecahan sama dengan limit perbandingan suku-suku terdepan (yaitu suku-suku yang mengandung pangkat terbesar 
pembilang dan penyebut).
Selanjutnya 
ditelepon:
Semua barisan seperti itu disebut membosankan.
Dalil
.
Jika urutannya 
bertambah secara monoton dan dibatasi ke atas, kemudian konvergen dan limitnya sama dengan batas atasnya; jika barisan tersebut menurun dan dibatasi di bawahnya, maka barisan tersebut konvergen ke titik terkecilnya.
Matematika adalah ilmu yang membangun dunia. Baik ilmuwan maupun orang biasa - tidak ada yang bisa hidup tanpanya. Pertama, anak usia dini diajarkan berhitung, kemudian menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, hingga sekolah menengah atas ikut bermain sebutan surat, dan di usia yang lebih tua Anda tidak dapat hidup tanpanya.
Tapi hari ini kita akan berbicara tentang dasar semua matematika yang dikenal. Tentang komunitas angka yang disebut “batas urutan”.
Apa itu barisan dan dimana batasnya?
Arti kata “urutan” tidak sulit untuk ditafsirkan. Ini adalah susunan sesuatu di mana seseorang atau sesuatu ditempatkan dalam urutan atau antrian tertentu. Misalnya antrian tiket ke kebun binatang yang berurutan. Dan hanya ada satu! Jika misalnya Anda melihat antrian di toko, ini adalah satu urutan. Dan jika satu orang dari antrian ini tiba-tiba keluar, maka ini adalah antrian yang berbeda, urutan yang berbeda.
Kata "batas" juga mudah diartikan - ini adalah akhir dari sesuatu. Namun, dalam matematika, limit suatu barisan adalah nilai-nilai pada garis bilangan yang cenderung menjadi suatu barisan bilangan. Mengapa ia berjuang dan tidak berakhir? Sederhana saja, garis bilangan tidak memiliki akhir, dan sebagian besar barisan, seperti sinar, hanya memiliki permulaan dan terlihat seperti ini:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Oleh karena itu definisi barisan adalah fungsi dari argumen natural. Lagi dengan kata-kata sederhana adalah serangkaian anggota himpunan tertentu.
Bagaimana barisan bilangan dibangun?
Contoh sederhana barisan bilangan mungkin terlihat seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…
Dalam kebanyakan kasus, untuk tujuan praktis, barisan dibuat dari angka-angka, dan setiap anggota deret berikutnya, dinotasikan dengan X, memiliki namanya sendiri. Misalnya:
x 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;
x 2 adalah suku kedua barisan tersebut;
x 3 adalah suku ketiga;
x n adalah suku ke-n.
Dalam metode praktis, barisan diberikan oleh rumus umum yang didalamnya terdapat variabel tertentu. Misalnya:
X n =3n, maka rangkaian angkanya sendiri akan terlihat seperti ini:
Perlu diingat bahwa saat menulis barisan secara umum, Anda dapat menggunakan huruf latin apa saja, bukan hanya X. Misalnya: y, z, k, dst.
Perkembangan aritmatika sebagai bagian dari barisan
Sebelum mencari limit barisan, ada baiknya kita menyelami lebih dalam konsep barisan bilangan yang ditemui semua orang ketika masih duduk di bangku sekolah menengah pertama. Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih suku-suku yang berdekatan adalah tetap.
Soal: “Misalkan a 1 = 15, dan langkah perkembangan deret bilangan d = 4. Buatlah 4 suku pertama deret ini"
Penyelesaian: a 1 = 15 (dengan syarat) adalah suku pertama barisan (deret bilangan).
dan 2 = 15+4=19 adalah suku kedua barisan tersebut.
dan 3 =19+4=23 adalah suku ketiga.
dan 4 =23+4=27 adalah suku keempat.
Namun, dengan menggunakan metode ini sulit untuk mencapai nilai yang besar, misalnya hingga 125. . Khusus untuk kasus seperti itu, rumus yang mudah untuk latihan diturunkan: a n =a 1 +d(n-1). Dalam hal ini, 125 =15+4(125-1)=511.
Jenis urutan
Sebagian besar rangkaiannya tidak ada habisnya, perlu diingat seumur hidup Anda. Ada dua jenis deret angka yang menarik. Yang pertama diberikan oleh rumus a n =(-1) n. Matematikawan sering menyebut barisan ini sebagai flasher. Mengapa? Mari kita periksa seri nomornya.
1, 1, -1, 1, -1, 1, dst. Dengan contoh seperti ini, terlihat jelas bahwa bilangan yang berurutan dapat dengan mudah diulang.
Urutan faktorial. Mudah ditebak - rumus yang mendefinisikan barisan mengandung faktorial. Contoh: n = (n+1)!
Maka urutannya akan terlihat seperti ini:
a 2 = 1x2x3 = 6;
dan 3 = 1x2x3x4 = 24, dst.
Barisan yang didefinisikan oleh suatu barisan aritmatika disebut menurun tak terhingga jika pertidaksamaan -1 terpenuhi untuk semua sukunya dan 3 = - 1/8, dst. Bahkan ada barisan yang terdiri dari nomor yang sama. Jadi, n =6 terdiri dari angka enam yang jumlahnya tak terhingga. Batasan barisan telah lama ada dalam matematika. Tentu saja, mereka berhak mendapatkan desain yang kompeten. Jadi, saatnya mempelajari definisi limit barisan. Pertama, mari kita lihat limit fungsi linier secara detail: Mudah untuk dipahami bahwa definisi limit suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut: ini adalah bilangan tertentu yang didekati oleh semua anggota barisan secara tak terhingga. Contoh sederhana: ax = 4x+1. Maka urutannya sendiri akan terlihat seperti ini. 5, 9, 13, 17, 21…x… Jadi, barisan ini akan bertambah tanpa batas, artinya limitnya sama dengan tak terhingga sebagai x→∞, dan harus ditulis seperti ini: Jika kita mengambil barisan yang serupa, tetapi x cenderung 1, kita peroleh: Dan rangkaian angkanya akan seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dst. Setiap kali Anda perlu mengganti angka yang mendekati satu (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Dari deret ini terlihat limit fungsinya adalah lima. Dari bagian ini perlu diingat apa itu limit suatu barisan bilangan, pengertian dan cara penyelesaian masalah sederhana. Setelah mempertimbangkan limit suatu barisan bilangan, definisi dan contohnya, Anda dapat melanjutkan ke topik yang lebih kompleks. Tentu saja semua limit barisan dapat dirumuskan dengan satu rumus, yang biasanya dianalisis pada semester pertama. Lantas, apa maksud dari rangkaian huruf, modul, dan tanda pertidaksamaan tersebut? ∀ adalah bilangan universal, menggantikan frasa “untuk semua”, “untuk segalanya”, dll. ∃ merupakan bilangan eksistensial, dalam hal ini berarti ada suatu nilai N yang termasuk dalam himpunan bilangan asli. Tongkat vertikal panjang yang mengikuti N berarti himpunan N yang diberikan adalah “sehingga”. Dalam praktiknya, ini bisa berarti “sehingga”, “sehingga”, dll. Untuk memperkuat materi, bacalah rumusnya dengan lantang. Metode mencari limit barisan yang telah dibahas di atas, meskipun mudah digunakan, namun dalam praktiknya tidak begitu rasional. Coba cari limit fungsi ini: Jika kita mengganti nilai “x” yang berbeda (bertambah setiap kali: 10, 100, 1000, dst.), maka kita mendapatkan ∞ pada pembilangnya, tetapi juga ∞ pada penyebutnya. Ini menghasilkan pecahan yang agak aneh: Tapi benarkah demikian? Menghitung limit suatu barisan bilangan dalam hal ini sepertinya cukup mudah. Dimungkinkan untuk membiarkan semuanya apa adanya, karena jawabannya sudah siap, dan diterima dalam kondisi yang wajar, tetapi ada cara lain khusus untuk kasus seperti itu. Pertama, mari kita cari pangkat tertinggi pada pembilang pecahan - yaitu 1, karena x dapat direpresentasikan sebagai x 1. Sekarang mari kita cari pangkat tertinggi pada penyebutnya. Juga 1. Mari kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan variabel sampai pangkat tertinggi. Dalam hal ini, bagilah pecahan tersebut dengan x 1. Selanjutnya, kita akan mencari nilai yang cenderung dimiliki setiap suku yang mengandung suatu variabel. Dalam hal ini, pecahan dipertimbangkan. Karena x→∞, nilai setiap pecahan cenderung nol. Saat mengirimkan karya Anda secara tertulis, Anda harus membuat catatan kaki berikut: Ini menghasilkan ekspresi berikut: Tentu saja pecahan yang mengandung x tidak menjadi nol! Tetapi nilainya sangat kecil sehingga diperbolehkan untuk tidak memperhitungkannya dalam perhitungan. Faktanya, x tidak akan pernah sama dengan 0 dalam kasus ini, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Misalkan sang profesor mempunyai barisan kompleks, yang tentu saja diberikan oleh rumus yang sama rumitnya. Profesor sudah menemukan jawabannya, tapi benarkah? Bagaimanapun, semua orang melakukan kesalahan. Auguste Cauchy pernah menemukan cara terbaik untuk membuktikan batas barisan. Metodenya disebut manipulasi lingkungan. Misalkan ada suatu titik a, lingkungannya di kedua arah pada garis bilangan sama dengan ε (“epsilon”). Karena variabel terakhir adalah jarak, maka nilainya selalu positif. Sekarang mari kita definisikan suatu barisan x n dan asumsikan bahwa suku kesepuluh barisan tersebut (x 10) termasuk dalam lingkungan a. Bagaimana kita bisa menulis fakta ini dalam bahasa matematika? Misalkan x 10 berada di sebelah kanan titik a, maka jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Sekarang saatnya menjelaskan secara praktik rumus yang dibahas di atas. Boleh dikatakan suatu bilangan tertentu a sebagai titik akhir suatu barisan jika untuk salah satu limitnya pertidaksamaan ε>0 terpenuhi, dan seluruh lingkungan mempunyai bilangan asli N sendiri, sehingga semua anggota barisan dengan bilangan yang lebih tinggi akan berada di dalam barisan |x n - a|< ε. Dengan pengetahuan seperti itu, mudah untuk menyelesaikan limit barisan, membuktikan atau menyangkal jawaban yang sudah jadi. Teorema tentang limit barisan merupakan komponen penting dari teori, yang tanpanya praktik tidak mungkin dilakukan. Hanya ada empat teorema utama, mengingat teorema mana yang dapat membuat penyelesaian atau pembuktian menjadi lebih mudah: Terkadang Anda perlu menyelesaikan soal invers, untuk membuktikan limit barisan numerik tertentu. Mari kita lihat sebuah contoh. Buktikan bahwa limit barisan yang diberikan rumus tersebut adalah nol. Menurut aturan yang dibahas di atas, untuk barisan apa pun, pertidaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Mari kita nyatakan n melalui “epsilon” untuk menunjukkan keberadaan suatu bilangan tertentu dan membuktikan adanya limit barisan tersebut. Pada titik ini, penting untuk diingat bahwa “epsilon” dan “en” adalah bilangan positif dan tidak sama dengan nol. Kini transformasi lebih lanjut dapat dilanjutkan dengan menggunakan pengetahuan tentang kesenjangan yang diperoleh di sekolah menengah. Bagaimana hasilnya n > -3 + 1/ε. Karena perlu diingat bahwa kita berbicara tentang bilangan asli, hasilnya dapat dibulatkan dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung siku. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap nilai lingkungan “epsilon” dari titik a = 0, ditemukan suatu nilai yang memenuhi pertidaksamaan awal. Dari sini kita dapat dengan aman mengatakan bahwa bilangan a adalah limit suatu barisan tertentu. Q.E.D. Metode praktis ini dapat digunakan untuk membuktikan limit suatu barisan numerik, tidak peduli betapa rumitnya barisan tersebut pada pandangan pertama. Yang penting jangan panik saat melihat tugas. Adanya batas konsistensi tidak diperlukan dalam praktiknya. Anda dapat dengan mudah menemukan rangkaian angka yang benar-benar tidak ada habisnya. Misalnya, “lampu berkedip” yang sama x n = (-1) n. Jelaslah bahwa suatu barisan yang hanya terdiri dari dua angka, yang diulang secara siklis, tidak dapat mempunyai batas. Cerita yang sama diulangi dengan barisan yang terdiri dari satu bilangan, bilangan pecahan, yang memiliki ketidakpastian urutan apa pun selama perhitungan (0/0, ∞/∞, ∞/0, dll.). Namun perlu diingat bahwa perhitungan yang salah juga terjadi. Terkadang memeriksa ulang solusi Anda sendiri akan membantu Anda menemukan batas urutannya. Beberapa contoh barisan dan metode penyelesaiannya telah dibahas di atas, dan sekarang mari kita coba mengambil kasus yang lebih spesifik dan menyebutnya sebagai “deretan monotonik”. Definisi: barisan apa pun dapat disebut meningkat secara monoton jika terjadi pertidaksamaan tegas x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Selain kedua kondisi tersebut, terdapat pula ketimpangan non-ketat yang serupa. Dengan demikian, x n ≤ x n +1 (urutan tidak menurun) dan x n ≥ x n +1 (urutan tidak bertambah). Namun lebih mudah untuk memahami hal ini dengan contoh. Barisan yang diberikan oleh rumus x n = 2+n membentuk barisan bilangan berikut: 4, 5, 6, dst. Dan jika kita ambil x n =1/n, kita mendapatkan deretnya: 1/3, ¼, 1/5, dst. Ini adalah barisan menurun secara monoton. Barisan berbatas adalah barisan yang mempunyai limit. Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang mempunyai limit yang sangat kecil. Jadi, limit suatu barisan berbatas adalah sembarang bilangan real atau bilangan kompleks. Ingatlah bahwa hanya ada satu batasan. Limit suatu barisan konvergen adalah besaran yang sangat kecil (nyata atau kompleks). Jika digambarkan diagram barisan, maka pada titik tertentu akan tampak menyatu, cenderung berubah menjadi nilai tertentu. Oleh karena itu namanya barisan konvergen. Mungkin ada batasan atau tidak untuk urutan seperti itu. Pertama, penting untuk memahami keberadaannya; dari sini Anda bisa mulai membuktikan tidak adanya batas. Di antara barisan monotonik, dibedakan konvergen dan divergen. Konvergen adalah barisan yang dibentuk oleh himpunan x dan mempunyai limit nyata atau kompleks pada himpunan tersebut. Divergen adalah barisan yang tidak mempunyai limit pada himpunannya (baik real maupun kompleks). Selain itu, barisan tersebut konvergen jika, dalam representasi geometri, batas atas dan batas bawahnya bertemu. Dalam banyak kasus, limit suatu barisan konvergen bisa bernilai nol, karena setiap barisan yang sangat kecil mempunyai limit yang diketahui (nol). Apapun barisan konvergen yang Anda ambil, semuanya berbatas, tetapi tidak semua barisan berbatas konvergen. Jumlah, selisih, hasil kali dua barisan yang konvergen juga merupakan barisan yang konvergen. Namun, hasil bagi juga bisa konvergen jika terdefinisi! Batas barisan sama pentingnya (dalam banyak kasus) dengan angka dan angka: 1, 2, 15, 24, 362, dst. Ternyata beberapa operasi dapat dilakukan dengan batasan. Pertama, seperti angka dan angka, limit suatu barisan dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Berdasarkan teorema ketiga tentang limit barisan, persamaan berikut berlaku: limit jumlah barisan sama dengan jumlah limitnya. Kedua, berdasarkan teorema keempat tentang limit barisan, persamaan berikut ini benar: limit hasil kali banyaknya barisan ke-n sama dengan hasil kali limitnya. Hal yang sama berlaku untuk pembagian: limit hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi limitnya, asalkan limitnya tidak nol. Lagi pula, jika limit barisan sama dengan nol, maka pembagian dengan nol akan menghasilkan hasil yang tidak mungkin. Tampaknya limit barisan numerik telah dibahas secara rinci, tetapi frasa seperti bilangan “sangat kecil” dan “sangat besar” disebutkan lebih dari satu kali. Jelasnya, jika ada barisan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut sangat kecil, dan jika barisan tersebut sama, tetapi limitnya cenderung nol (x→0), maka pecahan tersebut menjadi nilai yang sangat besar. Dan besaran tersebut memiliki ciri khas tersendiri. Sifat-sifat limit suatu barisan yang bernilai kecil atau besar adalah sebagai berikut: Faktanya, menghitung limit suatu barisan bukanlah tugas yang sulit jika Anda mengetahui algoritma sederhananya. Namun batas konsistensi merupakan topik yang membutuhkan perhatian dan ketekunan yang maksimal. Tentu saja, cukup memahami esensi solusi dari ekspresi tersebut. Memulai dari yang kecil, Anda dapat mencapai pencapaian yang luar biasa seiring berjalannya waktu. Jika setiap bilangan asli n dikaitkan dengan suatu bilangan real x n, maka kita katakan diberikan urutan nomor X 1 , X 2 , … xn , … Nomor X 1 disebut anggota barisan dengan nomor 1
atau suku pertama barisan tersebut, nomor X 2 - anggota barisan dengan nomor 2
atau anggota kedua dari barisan, dll. Nomor x n dipanggil anggota barisan dengan nomor N. Ada dua cara untuk menentukan urutan angka - dengan dan dengan rumus berulang. Urutan menggunakan rumus suku umum suatu barisan– ini adalah tugas urutan X 1 , X 2 , … xn , … menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan suku x n pada bilangan nnya. Contoh 1. Urutan nomor 1, 4, 9, … N 2 , … diberikan dengan menggunakan rumus suku umum xn = N 2 , N = 1, 2, 3, … Menetapkan barisan dengan menggunakan rumus yang menyatakan anggota barisan x n melalui anggota barisan dengan bilangan sebelumnya disebut menentukan barisan menggunakan rumus berulang. X 1 , X 2 , … xn , … ditelepon dalam urutan yang meningkat, lagi anggota sebelumnya. Dengan kata lain, untuk semua orang N X N + 1 >X N Contoh 3. Barisan bilangan asli 1, 2, 3, … N, … adalah urutan menaik. Definisi 2. Urutan bilangan X 1 , X 2 , … xn , … ditelepon urutan menurun jika setiap anggota barisan ini lebih sedikit anggota sebelumnya. Dengan kata lain, untuk semua orang N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi X N + 1 < X N Contoh 4. Selanjutnya diberikan oleh rumus adalah urutan menurun. Contoh 5. Urutan nomor 1, - 1, 1, - 1, … diberikan oleh rumus xn = (- 1) N , N = 1, 2, 3, … tidak tidak bertambah dan tidak berkurang urutan. Definisi 3. Barisan bilangan yang bertambah dan berkurang disebut urutan monoton. Definisi 4. Urutan bilangan X 1 , X 2 , … xn , … ditelepon terbatas dari atas, jika ada bilangan M sedemikian rupa sehingga setiap anggota barisan ini lebih sedikit angka M. Dengan kata lain, untuk semua orang N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi Definisi 5. Urutan bilangan X 1 , X 2 , … xn , … ditelepon dibatasi di bawah, jika ada bilangan m sehingga setiap anggota barisan ini lagi angka m. Dengan kata lain, untuk semua orang N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi Definisi 6. Urutan bilangan X 1 , X 2 , … xn , … disebut terbatas jika itu terbatas baik di atas maupun di bawah. Dengan kata lain ada bilangan M dan m sedemikian sehingga untuk semua N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi M< x n < M Definisi 7. Barisan numerik itu tidak terbatas, ditelepon urutan yang tidak terbatas. Contoh 6. Urutan nomor 1, 4, 9, … N 2 , … diberikan oleh rumus xn = N 2 , N = 1, 2, 3, … , dibatasi di bawah, misalnya angka 0. Namun urutan ini tidak terbatas dari atas. Contoh 7. Selanjutnya Vida kamu= F(X), X TENTANG N,
Di mana N– himpunan bilangan asli (atau fungsi dari argumen alami), dilambangkan kamu=F(N)
atau kamu 1 ,kamu 2 ,…, kamu n,…. Nilai-nilai kamu 1 ,kamu 2 ,kamu 3 ,…
masing-masing disebut anggota barisan pertama, kedua, ketiga, .... Misalnya saja untuk fungsinya kamu= N 2 dapat ditulis: kamu 1 = 1 2 = 1; kamu 2 = 2 2 = 4; kamu 3 = 3 2 = 9;…kamu n = n 2 ;… Metode untuk menentukan urutan. Urutan dapat dispesifikasikan dengan berbagai cara, tiga di antaranya sangat penting: analitis, deskriptif, dan berulang.
1. Suatu barisan diberikan secara analitis jika rumusnya diberikan N anggota ke: kamu n=F(N). Contoh. kamu n= 2N - 1 –
barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, … 2. Deskriptif
Cara menentukan suatu barisan numerik adalah dengan menjelaskan dari elemen mana barisan tersebut dibangun. Contoh 1. “Semua suku barisan tersebut sama dengan 1.” Artinya kita berbicara tentang barisan stasioner 1, 1, 1,…, 1,…. Contoh 2: “Deret tersebut terdiri dari semua bilangan prima yang berurutan menaik.” Jadi barisan yang diberikan adalah 2, 3, 5, 7, 11,…. Dengan metode menentukan barisan dalam contoh ini, sulit untuk menjawab apa, katakanlah, elemen ke-1000 dari barisan tersebut. 3. Metode berulang untuk menentukan suatu barisan adalah dengan menentukan aturan yang memungkinkan Anda menghitung N-Anggota barisan jika anggota sebelumnya diketahui. Nama metode berulang berasal dari kata latin berulang- kembali. Paling sering, dalam kasus seperti itu, rumus ditunjukkan yang memungkinkan seseorang untuk berekspresi N anggota barisan melalui yang sebelumnya, dan tentukan 1–2 anggota awal barisan. Contoh 1. kamu 1 = 3; kamu n = kamu n–1 + 4 jika N = 2, 3, 4,…. Di Sini kamu 1 = 3; kamu 2 = 3 + 4 = 7;kamu 3 = 7 + 4 = 11; …. Anda dapat melihat bahwa barisan yang diperoleh dalam contoh ini juga dapat ditentukan secara analitis: kamu n= 4N - 1. Contoh 2. kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu n = kamu n –2 + kamu n–1 jika N = 3, 4,…. Di Sini: kamu 1 = 1; kamu 2 = 1; kamu 3 = 1 + 1 = 2; kamu 4 = 1 + 2 = 3; kamu 5 = 2 + 3 = 5; kamu 6 = 3 + 5 = 8; Barisan dalam contoh ini khususnya dipelajari dalam matematika karena mempunyai sejumlah sifat dan penerapan yang menarik. Deret ini disebut deret Fibonacci, diambil dari nama ahli matematika Italia abad ke-13. Sangat mudah untuk mendefinisikan deret Fibonacci secara berulang, namun sangat sulit secara analitis. N Bilangan Fibonacci ke-th dinyatakan melalui nomor urutnya dengan rumus berikut. Sekilas rumus untuk N Angka Fibonacci tampaknya tidak masuk akal, karena rumus yang menentukan barisan bilangan asli hanya berisi akar kuadrat, tetapi Anda dapat memeriksa validitas rumus ini secara “manual” untuk beberapa bilangan pertama. N. Barisan numerik adalah kasus khusus dari fungsi numerik, oleh karena itu sejumlah sifat fungsi juga dipertimbangkan untuk barisan. Definisi .
Selanjutnya ( kamu n}
disebut meningkat jika setiap sukunya (kecuali suku pertama) lebih besar dari suku sebelumnya: kamu 1 kamu 2 kamu 3 kamu n kamu n +1 Definisi.Urutan ( kamu n}
disebut menurun jika setiap sukunya (kecuali suku pertama) lebih kecil dari suku sebelumnya: kamu 1 > kamu 2 > kamu 3 > … > kamu n> kamu n +1 > …
. Barisan naik dan turun digabungkan dalam istilah umum - barisan monotonik. Contoh 1. kamu 1 = 1; kamu n= N 2 – urutan meningkat. Jadi, teorema berikut ini benar (sifat karakteristik barisan aritmatika). Suatu barisan bilangan dikatakan aritmatika jika dan hanya jika masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir dalam kasus barisan berhingga), sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya. Contoh. Berapa nilainya X nomor 3 X + 2, 5X– 4 dan 11 X+ 12 membentuk barisan aritmatika berhingga? Menurut sifat karakteristiknya, ekspresi yang diberikan harus memenuhi relasinya 5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2. Memecahkan persamaan ini memberi X= –5,5.
Pada nilai ini X ekspresi yang diberikan 3 X + 2, 5X– 4 dan 11 X+ 12 masing-masing mengambil nilai –14,5,
–31,5, –48,5.
Ini - perkembangan aritmatika, selisihnya adalah –17. Suatu barisan bilangan yang semua sukunya bukan nol dan masing-masing sukunya, dimulai dari suku kedua, diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara mengalikannya dengan bilangan yang sama. Q, ditelepon perkembangan geometri, dan nomornya Q- penyebut suatu barisan geometri. Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan ( bn), didefinisikan secara rekursif oleh relasi B 1 = B, bn = bn –1 Q (N = 2, 3, 4…). (B Dan Q - nomor yang diberikan, B ≠ 0, Q ≠ 0). Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... – barisan geometri bertambah B = 2, Q = 3. Contoh 2. 2, –2, 2, –2, … –
perkembangan geometri B= 2,Q= –1. Contoh 3. 8, 8, 8, 8, … –
perkembangan geometri B= 8, Q= 1. Perkembangan geometri adalah barisan yang meningkat jika B 1 > 0, Q> 1, dan menurun jika B 1 > 0, 0 q Salah satu sifat yang jelas dari barisan geometri adalah jika barisan tersebut merupakan barisan geometri, maka barisan persegi juga demikian, yaitu. B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, bn 2,... adalah suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan B 1 2 , dan penyebutnya adalah Q 2 . Rumus N- suku ke-th barisan geometri mempunyai bentuk bn= B 1 qn– 1 . Anda dapat memperoleh rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga. Biarkan perkembangan geometris yang terbatas diberikan B 1 ,B 2 ,B 3 , …, bn membiarkan S n – jumlah anggotanya, yaitu S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +bn. Hal ini diterima bahwa Q No 1. Untuk menentukan S n teknik buatan digunakan: beberapa transformasi geometris dari ekspresi dilakukan S n q. S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + bn –1 + bn)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ bn+ b n q = S n+ b n q– B 1 . Dengan demikian, S n q= S n +b n q – b 1 dan karena itu Ini rumusnya dengan umma n suku barisan geometri untuk kasus kapan Q≠ 1. Pada Q= 1 rumusnya tidak perlu diturunkan secara terpisah; jelas dalam kasus ini S n= A 1 N. Perkembangan tersebut disebut geometri karena setiap suku di dalamnya, kecuali suku pertama, sama dengan rata-rata geometri suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya. Memang sejak itu bn=bn- 1 Q; bn = bn+ 1 /Q, karena itu, bn 2=bn– 1 bn+ 1 dan teorema berikut ini benar (sifat karakteristik suatu barisan geometri): suatu barisan bilangan adalah barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat setiap sukunya, kecuali suku pertama (dan suku terakhir dalam barisan berhingga), sama dengan hasil kali suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya. Biarkan ada urutan ( c n} = {1/N}.
Barisan ini disebut harmonik, karena setiap sukunya, mulai dari suku kedua, merupakan mean harmonik antara suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya. Rata-rata angka geometris A Dan B ada nomor Jika tidak, barisan tersebut disebut divergen. Berdasarkan definisi ini, misalnya, seseorang dapat membuktikan adanya suatu limit SEBUAH=0 untuk barisan harmonik ( c n} =
{1/N). Misalkan ε adalah bilangan positif yang kecil. Perbedaannya dipertimbangkan Apakah hal seperti itu ada? N itu untuk semua orang n ≥ N pertidaksamaan 1 berlaku /N ? Jika kita menganggapnya sebagai N setiap bilangan asli, melebihi
1/ε
, lalu untuk semua orang n ≥ N pertidaksamaan 1 berlaku /n ≤
1/N ε ,
Q.E.D.
Membuktikan adanya limit untuk barisan tertentu terkadang sangat sulit. Urutan yang paling sering muncul telah dipelajari dengan baik dan tercantum dalam buku referensi. Ada teorema penting yang memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa suatu barisan tertentu memiliki limit (dan bahkan menghitungnya), berdasarkan barisan yang telah dipelajari. Teorema 1. Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dibatasi. Teorema 2. Jika suatu barisan monotonik dan berbatas, maka barisan tersebut mempunyai limit. Teorema 3. Jika barisan ( sebuah}
memiliki batas A, maka barisan ( Bisa}, {sebuah+ c)
dan (| sebuah|}
mempunyai batasan ca, A +C, |A| sesuai (di sini C– nomor sewenang-wenang). Teorema 4. Jika barisan ( sebuah}
Dan ( bn) memiliki batas yang sama dengan A Dan B panci + qbn) mempunyai batas hal+ qB. Teorema 5. Jika barisan ( sebuah) Dan ( bn)memiliki batas yang sama dengan A Dan B karenanya, maka urutannya ( a n b n) mempunyai batas AB. Teorema 6. Jika barisan ( sebuah}
Dan ( bn) memiliki batas yang sama dengan A Dan B karenanya, dan, sebagai tambahan, b n ≠ 0 dan B≠ 0, maka barisan ( sebuah n / b n) mempunyai batas A/B. Anna ChugainovaMenentukan Batas Urutan
Sebutan umum untuk limit barisan
Ketidakpastian dan kepastian batas
Apa itu lingkungan sekitar?
Teorema
Bukti urutan
Atau mungkin dia tidak ada di sana?
Urutan monotonik
Batas suatu barisan yang konvergen dan berbatas
Batas barisan monotonik
Berbagai tindakan dengan batasan
Sifat-sifat besaran barisan
Barisan Berbatas dan Tidak Berbatas
Sifat-sifat barisan bilangan.
Kemajuan geometris.
Batas konsistensi.
