Operasi aljabar pada logaritma. Logaritma natural, fungsi ln x. Contoh logaritma

Rentang nilai yang dapat diterima (APV) dari logaritma

Sekarang mari kita bicara tentang batasan (ODZ - kisaran nilai variabel yang diizinkan).

Kita ingat bahwa, misalnya, Akar pangkat dua tidak dapat diambil dari bilangan negatif; atau jika kita mempunyai pecahan, maka penyebutnya tidak boleh sama dengan nol. Logaritma memiliki batasan serupa:

Artinya, baik argumen maupun basisnya harus lebih besar dari nol, namun basisnya belum bisa sama.

Mengapa demikian?

Mari kita mulai dengan hal yang sederhana: katakanlah demikian. Lalu misalnya bilangan itu tidak ada, karena berapa pun pangkat yang kita naikkan, bilangan itu selalu muncul. Terlebih lagi, itu tidak ada untuk siapa pun. Tetapi pada saat yang sama, itu bisa sama dengan apa pun (untuk alasan yang sama - sama dengan derajat apa pun). Oleh karena itu, objek tersebut tidak menarik, dan dibuang begitu saja dari matematika.

Kami memiliki masalah serupa dalam kasus ini: dalam hal apa pun derajat positif- memang demikian, tetapi tidak dapat dinaikkan ke negatif sama sekali, karena ini akan menghasilkan pembagian dengan nol (izinkan saya mengingatkan Anda akan hal itu).

Ketika kita dihadapkan pada masalah menaikkan pangkat pecahan (yang direpresentasikan sebagai akar: . Misalnya, (yaitu), tetapi tidak ada.

Oleh karena itu, lebih mudah membuang alasan negatif daripada mengotak-atiknya.

Nah, karena basis kita a hanya bisa positif, maka berapapun pangkatnya kita naikkan, kita akan selalu mendapatkan bilangan yang benar-benar positif. Jadi argumennya harus positif. Misalnya, tidak ada, karena tidak akan ada angka negatif(dan bahkan nol, oleh karena itu juga tidak ada).

Dalam soal logaritma, hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan ODZ. Izinkan saya memberi Anda sebuah contoh:

Mari kita selesaikan persamaannya.

Mari kita ingat definisinya: logaritma adalah pangkat yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan argumen. Dan menurut syaratnya, derajat ini sama dengan: .

Kami mendapatkan yang biasa persamaan kuadrat: . Mari kita selesaikan menggunakan teorema Vieta: jumlah akar-akarnya sama, dan hasil kali. Mudah diambil, ini adalah angka dan.

Namun jika Anda segera mengambil dan menuliskan kedua angka tersebut pada jawabannya, Anda bisa mendapatkan 0 poin untuk soal tersebut. Mengapa? Mari kita pikirkan apa yang terjadi jika kita mensubstitusikan akar-akar ini ke dalam persamaan awal?

Ini jelas tidak benar, karena basisnya tidak boleh negatif, yaitu akarnya adalah “pihak ketiga”.

Untuk menghindari kesalahan yang tidak menyenangkan seperti itu, Anda perlu menuliskan ODZ bahkan sebelum mulai menyelesaikan persamaan:

Kemudian, setelah mendapat akar-akarnya dan, kita segera membuang akar-akarnya dan menulis jawaban yang benar.

Contoh 1(coba selesaikan sendiri) :

Temukan akar persamaannya. Jika ada beberapa akar, sebutkan akar terkecil dalam jawabanmu.

Larutan:

Pertama-tama, mari kita tulis ODZ-nya:

Sekarang mari kita ingat apa itu logaritma: pangkat berapa yang perlu dipangkatkan untuk mendapatkan argumen? Untuk yang kedua. Itu adalah:

Tampaknya akar yang lebih kecil adalah sama. Namun tidak demikian: menurut ODZ, akarnya adalah asing, artinya bukan akar persamaan ini sama sekali. Jadi, persamaan tersebut hanya memiliki satu akar: .

Menjawab: .

Identitas logaritma dasar

Mari kita mengingat kembali definisi logaritma dalam bentuk umum:

Mari kita substitusikan logaritma ke persamaan kedua:

Kesetaraan ini disebut identitas logaritmik dasar. Meskipun pada dasarnya ini adalah kesetaraan - hanya ditulis berbeda definisi logaritma:

Inilah kekuatan yang harus Anda tingkatkan untuk mendapatkannya.

Misalnya:

Selesaikan contoh berikut:

Contoh 2.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Mari kita ingat aturan dari bagian ini: yaitu, ketika suatu pangkat dipangkatkan, eksponennya dikalikan. Mari kita terapkan:

Contoh 3.

Buktikan itu.

Larutan:

Sifat-sifat logaritma

Sayangnya, tugasnya tidak selalu sesederhana itu - sering kali Anda perlu menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu, membawanya ke bentuk biasanya, dan baru setelah itu nilainya dapat dihitung. Ini paling mudah dilakukan jika Anda mengetahuinya sifat-sifat logaritma. Jadi mari kita pelajari sifat dasar logaritma. Saya akan membuktikannya masing-masing, karena aturan apa pun lebih mudah diingat jika Anda tahu dari mana asalnya.

Semua properti ini harus diingat; tanpanya, sebagian besar masalah logaritma tidak dapat diselesaikan.

Dan sekarang tentang semua sifat logaritma lebih terinci.

Properti 1:

Bukti:

Biarkan saja.

Kami memiliki: , dll.

Properti 2: Jumlah logaritma

Jumlah logaritma dengan basis yang sama sama dengan logaritma hasil kali: .

Bukti:

Biarkan saja. Biarkan saja.

Contoh: Temukan arti dari ungkapan: .

Solusi: .

Rumus yang baru dipelajari membantu menyederhanakan jumlah logaritma, bukan selisihnya, sehingga logaritma tersebut tidak bisa langsung digabungkan. Namun Anda dapat melakukan yang sebaliknya - “membagi” logaritma pertama menjadi dua: Dan inilah penyederhanaan yang dijanjikan:
.
Mengapa hal ini perlu? Misalnya: apa artinya?

Sekarang sudah jelas bahwa.

Sekarang sederhanakan sendiri:

Tugas:

Jawaban:

Properti 3: Perbedaan logaritma:

Bukti:

Semuanya sama persis seperti pada poin 2:

Biarkan saja.

Biarkan saja. Kita punya:

Contoh dari paragraf sebelumnya kini menjadi lebih sederhana:

Contoh yang lebih rumit: . Bisakah Anda mengetahui cara menyelesaikannya sendiri?

Di sini perlu dicatat bahwa kita tidak memiliki rumus tunggal tentang logaritma kuadrat. Ini mirip dengan ekspresi - tidak bisa langsung disederhanakan.

Oleh karena itu, mari kita istirahat sejenak dari rumus tentang logaritma dan memikirkan rumus apa yang paling sering kita gunakan dalam matematika? Sejak kelas 7!

Ini - . Anda harus terbiasa dengan kenyataan bahwa mereka ada dimana-mana! Dan secara eksponensial, dan dalam trigonometri, dan dalam masalah yang tidak rasional Mereka bertemu. Oleh karena itu, mereka harus diingat.

Jika Anda mencermati dua istilah pertama, menjadi jelas bahwa ini perbedaan persegi:

Jawaban untuk memeriksa:

Sederhanakan sendiri.

Contoh

Jawaban.

Properti 4: Mengeluarkan eksponen dari argumen logaritma:

Bukti: Dan disini kita juga menggunakan definisi logaritma: biarkan, lalu. Kami memiliki: , dll.

Aturan ini dapat dipahami sebagai berikut:

Artinya, derajat argumen dimajukan ke depan logaritma sebagai koefisien.

Contoh: Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan: .

Putuskan sendiri:

Contoh:

Jawaban:

Properti 5: Mengambil eksponen dari basis logaritma:

Bukti: Biarkan saja.

Kami memiliki: , dll.
Ingat: dari alasan derajatnya dinyatakan sebagai sebaliknya nomor, tidak seperti kasus sebelumnya!

Properti 6: Menghapus eksponen dari basis dan argumen logaritma:

Atau jika derajatnya sama : .

Properti 7: Transisi ke basis baru:

Bukti: Biarkan saja.

Kami memiliki: , dll.

Properti 8: Tukar basis dan argumen logaritma:

Bukti: Ini kasus spesial rumus 7: jika kita substitusikan, kita peroleh: , dst.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 4.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Kami menggunakan properti logaritma No. 2 - jumlah logaritma dengan dasar yang sama sama dengan logaritma produk:

Contoh 5.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Kami menggunakan properti logaritma No. 3 dan No. 4:

Contoh 6.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Mari kita gunakan properti No. 7 - beralih ke basis 2:

Contoh 7.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Bagaimana Anda menyukai artikelnya?

Jika Anda membaca baris-baris ini, berarti Anda telah membaca keseluruhan artikel.

Dan itu keren!

Sekarang beri tahu kami bagaimana Anda menyukai artikel tersebut?

Sudahkah Anda mempelajari cara menyelesaikan logaritma? Jika tidak, apa masalahnya?

Tulis kepada kami di komentar di bawah.

Dan ya, semoga sukses dalam ujianmu.

Tentang Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara Bersatu dan dalam kehidupan pada umumnya

properti utama.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

alasan yang identik

Log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Transisi ke fondasi baru

Biarkan itu diberikan catatan logaritma kapak. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Lihat juga:

Sifat dasar logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen sama dengan 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy.

Sifat dasar logaritma

Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai pasti eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy.

Contoh logaritma

Ekspresi logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan properti 3.5 kami menghitung

Contoh 2. Temukan x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap diperhatikan: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagiannya tidak dihitung (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log2 48 − log2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak yang dibangun berdasarkan fakta ini kertas ujian. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log7 496.

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kita mempunyai:

menurutku contoh terakhir diperlukan klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya.

Rumus logaritma. Contoh penyelesaian logaritma.

Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke fondasi baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma ke basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .

Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

logaa = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
loga 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena a0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Lihat juga:

Logaritma dari b ke basis a menunjukkan ekspresi. Menghitung logaritma berarti mencari pangkat x () yang memenuhi persamaan

Sifat dasar logaritma

Sifat-sifat di atas perlu diketahui, karena hampir semua masalah dan contoh yang berkaitan dengan logaritma diselesaikan berdasarkan sifat-sifat tersebut. Sifat eksotik lainnya dapat diperoleh melalui manipulasi matematis dengan rumus ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Saat menghitung rumus jumlah dan selisih logaritma (3.4) cukup sering Anda jumpai. Sisanya agak rumit, namun dalam sejumlah tugas mereka sangat diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan menghitung nilainya.

Kasus umum logaritma

Beberapa logaritma yang umum adalah logaritma yang basisnya genap sepuluh, eksponensial atau dua.
Logaritma ke basis sepuluh biasanya disebut logaritma desimal dan dilambangkan dengan lg(x).

Dari rekaman terlihat jelas bahwa dasar-dasarnya tidak tertulis dalam rekaman. Misalnya

Logaritma natural adalah logaritma dengan eksponen sebagai basisnya (dilambangkan dengan ln(x)).

Eksponennya adalah 2.718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen sama dengan 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy. Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai pasti eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy.

Dan logaritma penting lainnya ke basis dua dilambangkan dengan

Turunan logaritma suatu fungsi sama dengan satu dibagi variabelnya

Logaritma integral atau antiturunan ditentukan oleh hubungan

Materi yang diberikan cukup bagi Anda untuk menyelesaikan berbagai macam soal yang berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk membantu Anda memahami materi, saya akan memberikan beberapa contoh umum saja kurikulum sekolah dan universitas.

Contoh logaritma

Ekspresi logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan properti 3.5 kami menghitung

2.
Berdasarkan sifat perbedaan logaritma yang kita miliki

3.
Menggunakan properti 3.5 kami temukan

Dari tampilannya ekspresi yang kompleks menggunakan sejumlah aturan disederhanakan menjadi bentuk

Menemukan nilai logaritma

Contoh 2. Temukan x jika

Larutan. Untuk perhitungannya, kami menerapkan properti suku 5 dan 13 terakhir

Kami mencatatnya dan berduka

Karena basisnya sama, kita menyamakan persamaannya

Logaritma. Tingkat pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Solusi: Mari kita ambil logaritma variabel untuk menuliskan logaritma melalui jumlah suku-sukunya

Ini hanyalah awal dari perkenalan kita dengan logaritma dan sifat-sifatnya. Latih perhitungan, perkaya keterampilan praktis Anda - Anda akan segera membutuhkan pengetahuan yang Anda peroleh untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Setelah mempelajari metode dasar untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan memperluas pengetahuan Anda ke persamaan lain topik penting- pertidaksamaan logaritma...

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log6 4 + log6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log2 48 − log2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Cara menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log7 496.

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kita mempunyai:

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Transisi ke fondasi baru

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma ke basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

logaa = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
loga 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena a0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log A X dan mencatat A kamu. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

catatan A X+ catatan A kamu=log A (X · kamu);
catatan A X− catatan A kamu=log A (X : kamu).

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Catatan 6 4 + catatan 6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma dipatuhi: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, yaitu. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
[Keterangan untuk gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kita punya:

[Keterangan untuk gambar]

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke fondasi baru

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan log logaritma diberikan A X. Lalu untuk nomor berapa pun C seperti yang C> 0 dan C≠ 1, persamaannya benar:
[Keterangan untuk gambar]
Khususnya, jika kita menempatkan C = X, kita mendapatkan:
[Keterangan untuk gambar]

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

[Keterangan untuk gambar]

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

[Keterangan untuk gambar]

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

[Keterangan untuk gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma ke basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, nomornya N menjadi indikator derajat kedudukan dalam argumen tersebut. Nomor N bisa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: identitas logaritmik dasar.

Sebenarnya apa yang akan terjadi jika jumlahnya B naikkan pangkat sedemikian rupa sehingga bilangan tersebut B untuk kekuatan ini memberikan nomornya A? Benar: Anda mendapatkan nomor yang sama A. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
[Keterangan untuk gambar]

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

[Keterangan untuk gambar]

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas sebenarnya dari Unified State Exam :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

catatan A A= 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma ke basis apa pun A dari titik dasar ini sama dengan satu.
catatan A 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis A bisa apa saja, tapi jika argumennya berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena A 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Logaritma suatu bilangan N berdasarkan A disebut eksponen X , yang perlu Anda bangun A untuk mendapatkan nomornya N

Dengan ketentuan
,
,

Dari definisi logaritma berikut ini
, yaitu
- persamaan ini adalah identitas logaritma dasar.

Logaritma dengan basis 10 disebut logaritma desimal. Alih-alih
menulis
.

Logaritma ke basis e disebut alami dan ditunjuk
.

Sifat dasar logaritma.

Logaritma satu sama dengan nol untuk basis apa pun.

Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

3) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma

Faktor
disebut modulus transisi dari logaritma ke basis A ke logaritma di pangkalan B .

Dengan menggunakan properti 2-5, seringkali dimungkinkan untuk mereduksi logaritma dari ekspresi kompleks menjadi hasil operasi aritmatika sederhana pada logaritma.

Misalnya,

Transformasi logaritma seperti ini disebut logaritma. Transformasi yang berbanding terbalik dengan logaritma disebut potensiasi.

Bab 2. Unsur matematika tingkat tinggi.

1. Batasan

Batasan fungsinya
adalah bilangan berhingga A jika, sebagai xx 0 untuk setiap yang telah ditentukan
, ada nomor seperti itu
itu secepatnya
, Itu
.

Suatu fungsi yang mempunyai limit berbeda dengan suatu jumlah yang sangat kecil:
, dimana- b.m.v., mis.
.

Contoh. Pertimbangkan fungsinya
.

Saat berusaha
, fungsi kamu cenderung nol:

1.1. Teorema dasar tentang limit.

Batas suatu nilai konstanta sama dengan nilai konstanta tersebut

Batas jumlah (selisih). nomor terbatas fungsi sama dengan jumlah (selisih) limit fungsi tersebut.

Limit hasil kali sejumlah fungsi berhingga sama dengan hasil kali limit fungsi-fungsi tersebut.

Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi tersebut jika limit penyebutnya tidak nol.

Batasan yang Luar Biasa

,
, Di mana

1.2. Contoh Perhitungan Batas

Namun, tidak semua batasan dihitung dengan mudah. Seringkali, penghitungan batas dilakukan untuk mengungkap jenis ketidakpastian: atau .

2. Turunan suatu fungsi

Mari kita punya fungsi
, kontinu pada segmen tersebut
.

Argumen mendapat sedikit peningkatan
. Kemudian fungsi tersebut akan menerima kenaikan
.

Nilai argumen sesuai dengan nilai fungsi
.

Nilai argumen
sesuai dengan nilai fungsi.

Karena itu, .

Mari kita cari batas rasio ini di
. Jika limit ini ada, maka disebut turunan dari fungsi tersebut.

Definisi 3 Turunan dari suatu fungsi tertentu
dengan argumen disebut limit rasio pertambahan suatu fungsi terhadap pertambahan argumen, bila pertambahan argumen cenderung nol.

Turunan dari suatu fungsi
dapat ditetapkan sebagai berikut:

; ; ; .

Definisi 4Operasi mencari turunan suatu fungsi disebut diferensiasi.

2.1. Arti mekanis dari turunan.

Mari kita perhatikan gerak lurus suatu benda tegar atau titik material.

Biarkan suatu saat nanti titik bergerak
berada di kejauhan dari posisi awal
.

Setelah beberapa waktu
dia bergerak agak jauh
. Sikap =- kecepatan rata-rata suatu titik material
. Mari kita cari limit rasio ini, dengan mempertimbangkan hal itu
.

Oleh karena itu, menentukan kecepatan sesaat pergerakan suatu titik material direduksi menjadi mencari turunan jalur terhadap waktu.

2.2. Nilai geometris turunannya

Mari kita memiliki fungsi yang didefinisikan secara grafis
.

Beras. 1. Arti geometris turunan

Jika
, lalu tunjuk
, akan bergerak sepanjang kurva, mendekati titik
.

Karena itu
, yaitu nilai turunan untuk nilai argumen tertentu secara numerik sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung pada suatu titik tertentu dengan arah sumbu positif
.

2.3. Tabel rumus dasar diferensiasi.

Fungsi daya

Fungsi eksponensial

Fungsi logaritma

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri terbalik

2.4. Aturan diferensiasi.

Turunan dari

Turunan dari jumlah (selisih) fungsi

Turunan dari hasil kali dua fungsi

Turunan dari hasil bagi dua fungsi

2.5. Turunan dari fungsi yang kompleks.

Biarkan fungsinya diberikan
sedemikian rupa sehingga dapat direpresentasikan dalam bentuk

Dan
, dimana variabelnya adalah argumen perantara

Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tertentu terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap x.

Contoh 1.

Contoh 2.

3. Fungsi diferensial.

Biarkan disana ada
, terdiferensiasi pada interval tertentu
biarkan saja pada fungsi ini mempunyai turunan

barulah kita bisa menulis

(1),

Di mana - jumlah yang sangat kecil,

sejak kapan

Mengalikan semua suku persamaan (1) dengan
kita punya:

Di mana
- bmv tatanan yang lebih tinggi.

Besarnya
disebut diferensial fungsi
dan ditunjuk

3.1. Nilai geometris dari diferensial.

Biarkan fungsinya diberikan
.

Gambar.2. Arti geometris dari diferensial.

Jelas sekali, perbedaan fungsinya
sama dengan pertambahan ordinat garis singgung pada suatu titik tertentu.

3.2. Derivatif dan diferensial dari berbagai ordo.

Jika ada
, Kemudian
disebut turunan pertama.

Turunan dari turunan pertama disebut turunan orde kedua dan dituliskan
.

Turunan dari fungsi orde ke-n
disebut turunan orde (n-1) dan ditulis:

Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua.

.

.

3.3 Memecahkan masalah biologis dengan menggunakan diferensiasi.

Tugas 1. Penelitian telah menunjukkan bahwa pertumbuhan koloni mikroorganisme mematuhi hukum
, Di mana N – jumlah mikroorganisme (dalam ribuan), T – waktu (hari).

b) Akankah populasi koloni bertambah atau berkurang selama periode ini?

Menjawab. Ukuran koloni akan bertambah.

Tugas 2. Air di danau diuji secara berkala untuk memantau kandungan bakteri patogen. Melalui T hari setelah pengujian, konsentrasi bakteri ditentukan dengan perbandingan

Kapan danau akan memiliki konsentrasi bakteri minimum dan apakah mungkin untuk berenang di dalamnya?

Solusi: Suatu fungsi mencapai max atau min ketika turunannya nol.

Mari kita tentukan maks atau min dalam 6 hari. Untuk melakukan ini, mari kita ambil turunan kedua.

Menjawab: Setelah 6 hari akan ada konsentrasi minimum bakteri.

Jadi, kita punya kekuatan dua. Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang sebenarnya definisi logaritma:

Basis logaritma dari x adalah pangkat yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan x.

Notasi: log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumen, b adalah logaritma sebenarnya.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama, log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
catatan 2 2 = 1	catatan 2 4 = 2	catatan 2 8 = 3	catatan 2 16 = 4	catatan 2 32 = 5	catatan 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada interval tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Banyak orang yang awalnya bingung mana dasarnya dan mana dalilnya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu siswa saya aturan luar biasa ini pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan yang timbul.

Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:

Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat indikator rasional, yang menjadi dasar definisi logaritma.
Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetap satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti ini disebut rentang nilai yang dapat diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma). Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.

Namun, saat ini kami hanya mempertimbangkannya ekspresi numerik, dimana tidak perlu mengetahui logaritma CVD. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis masalah. Tapi saat mereka pergi persamaan logaritma dan kesenjangan, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang mari kita pertimbangkan skema umum menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
Selesaikan persamaan variabel b: x = a b ;
Angka b yang dihasilkan akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama dengan desimal: jika Anda segera mengonversinya ke yang biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 5 25

Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Kami menerima jawabannya: 2.

Tugas. Hitung logaritmanya:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 4 64

Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Kami menerima jawabannya: 3.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 16 1

Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Kami menerima jawabannya: 0.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 7 14

Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Ini sangat sederhana - cukup bagi menjadi faktor utama. Dan jika faktor-faktor tersebut tidak dapat dipangkatkan dengan eksponen yang sama, maka bilangan aslinya bukanlah pangkat pasti.

Tugas. Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;

Mari kita perhatikan juga bahwa kita sendiri bilangan prima selalu merupakan derajat yang tepat dari diri mereka sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga mempunyai nama dan simbol khusus.

Logaritma desimal x adalah logaritma basis 10, yaitu. Pangkat bilangan 10 yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: lg x.

Misalnya log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.

Logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Kita berbicara tentang logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat berapa bilangan e harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: berapakah angka e? Ini adalah bilangan irasional; nilai pastinya tidak dapat ditemukan atau dituliskan. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459...

Kami tidak akan menjelaskan secara detail tentang apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1; dalam e 2 = 2; dalam e 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural apa pun bilangan rasional irasional. Kecuali, tentu saja, untuk satu hal: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.