Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi y=sin(x). Definisi dan sifat"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas konstruksi interaktif untuk kelas 7-10
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:

  • Sifat-sifat fungsi Y=sin(X).
  • Grafik fungsi.
  • Cara membuat grafik dan skalanya.
  • Contoh.

Sifat-sifat sinus. Y=dosa(X)

Teman-teman, kita sudah mengenal fungsi trigonometri argumen numerik. Apakah Anda ingat mereka?

Mari kita lihat lebih dekat fungsi Y=sin(X)

Mari tuliskan beberapa properti dari fungsi ini:
1) Daerah definisinya adalah himpunan bilangan real.
2) Fungsinya ganjil. Mari kita ingat definisinya fungsi ganjil. Suatu fungsi disebut ganjil jika persamaannya memenuhi: y(-x)=-y(x). Seperti yang kita ingat dari rumus hantu: sin(-x)=-sin(x). Definisi tersebut terpenuhi, artinya Y=sin(X) merupakan fungsi ganjil.
3) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada ruas dan menurun pada ruas [π/2; π]. Saat kita bergerak sepanjang kuarter pertama (berlawanan arah jarum jam), ordinatnya bertambah, dan saat kita melewati kuarter kedua, ordinatnya berkurang.

4) Fungsi Y=sin(X) dibatasi dari bawah dan dari atas. Properti ini mengikuti fakta bahwa
-1 ≤ dosa(X) ≤ 1
5) Nilai fungsi terkecil adalah -1 (pada x = - π/2+ πk). Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 1 (pada x = π/2+ πk).

Mari gunakan properti 1-5 untuk memplot fungsi Y=sin(X). Kami akan membuat grafik kami secara berurutan, menerapkan properti kami. Mari kita mulai membuat grafik pada segmen tersebut.

Perhatian khusus harus diberikan pada skalanya. Pada sumbu ordinat akan lebih mudah untuk mengambil segmen satuan yang sama dengan 2 sel, dan pada sumbu absis akan lebih mudah untuk mengambil segmen satuan (dua sel) yang sama dengan π/3 (lihat gambar).


Merencanakan fungsi sinus x, y=sin(x)

Mari kita hitung nilai fungsi pada segmen kita:



Mari kita buat grafik menggunakan titik-titik kita, dengan mempertimbangkan properti ketiga.

Tabel konversi rumus hantu

Mari kita gunakan properti kedua, yang menyatakan bahwa fungsi kita ganjil, yang berarti dapat dicerminkan secara simetris terhadap titik asal:


Kita tahu bahwa sin(x+ 2π) = sin(x). Artinya pada interval [- π; π] grafiknya terlihat sama seperti pada segmen [π; 3π] atau atau [-3π; - π] dan seterusnya. Yang harus kita lakukan adalah menggambar ulang grafik pada gambar sebelumnya secara hati-hati di sepanjang sumbu x.



Grafik fungsi Y=sin(X) disebut sinusoidal.


Mari kita tulis beberapa properti lagi sesuai dengan grafik yang dibuat:
6) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada sembarang ruas bentuk: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k adalah bilangan bulat dan berkurang pada setiap segmen dengan bentuk: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – bilangan bulat.
7) Fungsi Y=dosa(X) – fungsi berkelanjutan. Mari kita lihat grafik fungsinya dan pastikan fungsi kita tidak ada jeda, artinya kontinuitas.
8) Rentang nilai: segmen [- 1; 1]. Hal ini juga terlihat jelas dari grafik fungsinya.
9) Fungsi Y=dosa(X) - fungsi periodik. Mari kita lihat kembali grafiknya dan lihat bahwa fungsi tersebut mengambil nilai yang sama pada interval tertentu.

Contoh soal sinus

1. Selesaikan persamaan sin(x)= x-π

Solusi: Mari kita buat 2 grafik fungsi: y=sin(x) dan y=x-π (lihat gambar).
Grafik kita berpotongan di satu titik A(π;0), ini jawabannya: x = π




2. Gambarkan fungsi y=sin(π/6+x)-1

Penyelesaian: Grafik yang diinginkan diperoleh dengan menggerakkan grafik fungsi y=sin(x) π/6 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah.




Solusi: Mari kita gambarkan fungsinya dan pertimbangkan segmen kita [π/2; 5π/4].
Grafik fungsi menunjukkan bahwa yang terbesar dan nilai terkecil dicapai di ujung segmen, masing-masing di titik π/2 dan 5π/4.
Jawaban: sin(π/2) = 1 – nilai terbesar, sin(5π/4) = nilai terkecil.



Masalah sinus untuk solusi independen


  • Selesaikan persamaan: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
  • Gambarkan fungsi y=sin(π/3+x)-2
  • Gambarkan fungsi y=sin(-2π/3+x)+1
  • Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada ruas tersebut
  • Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada interval [- π/3; 5π/6]

Kami menemukan perilaku fungsi trigonometri, dan fungsinya y = dosa x secara khusus, pada seluruh garis bilangan (atau untuk semua nilai argumen X) sepenuhnya ditentukan oleh perilakunya dalam interval tersebut 0 < X < π / 2 .

Oleh karena itu, pertama-tama, kita akan memplot fungsinya y = dosa x tepatnya pada interval ini.

Mari kita buat tabel nilai fungsi kita berikut ini;

Dengan menandai titik-titik yang bersesuaian pada bidang koordinat dan menghubungkannya dengan garis halus, kita memperoleh kurva yang ditunjukkan pada gambar

Kurva yang dihasilkan juga dapat dibuat secara geometris, tanpa menyusun tabel nilai fungsi y = dosa x .

1. Bagilah seperempat bagian pertama lingkaran yang berjari-jari 1 menjadi 8 bagian yang sama besar.Ordinat titik-titik pemisah lingkaran adalah sinus sudut-sudut yang bersesuaian.

2. Seperempat pertama lingkaran berhubungan dengan sudut dari 0 sampai π / 2 . Oleh karena itu, pada porosnya X Mari kita ambil satu segmen dan membaginya menjadi 8 bagian yang sama.

3. Mari kita menggambar garis lurus yang sejajar dengan sumbu X, dan dari titik pembagian kita buat garis tegak lurus sampai berpotongan dengan garis mendatar.

4. Hubungkan titik potong tersebut dengan garis halus.

Sekarang mari kita lihat intervalnya π / 2 < X < π .
Setiap nilai argumen X dari interval ini dapat direpresentasikan sebagai

X = π / 2 + φ

Di mana 0 < φ < π / 2 . Menurut rumus reduksi

dosa ( π / 2 + φ ) = karena φ = dosa( π / 2 - φ ).

Poin sumbu X dengan absis π / 2 + φ Dan π / 2 - φ simetris satu sama lain terhadap titik sumbu X dengan absis π / 2 , dan sinus pada titik-titik tersebut adalah sama. Hal ini memungkinkan kita memperoleh grafik fungsi y = dosa x dalam interval [ π / 2 , π ] hanya dengan menampilkan grafik fungsi ini secara simetris dalam interval relatif terhadap garis lurus X = π / 2 .

Sekarang menggunakan properti fungsi paritas ganjil y = dosa x,

dosa(- X) = - dosa X,

mudah untuk memplot fungsi ini dalam interval [- π , 0].

Fungsi y = sin x periodik dengan periode 2π ;. Oleh karena itu, untuk membuat grafik keseluruhan fungsi ini, cukup dengan melanjutkan kurva yang ditunjukkan pada gambar ke kiri dan ke kanan secara berkala dengan suatu periode. 2π .

Kurva yang dihasilkan disebut sinusoidal . Ini mewakili grafik fungsi y = dosa x.

Gambar tersebut menggambarkan dengan baik semua properti fungsi y = dosa x , yang telah kami buktikan sebelumnya. Mari kita mengingat kembali sifat-sifat ini.

1) Fungsi y = dosa x didefinisikan untuk semua nilai X , jadi domainnya adalah himpunan semua bilangan real.

2) Fungsi y = dosa x terbatas. Semua nilai yang diterimanya adalah antara -1 dan 1, termasuk kedua angka tersebut. Oleh karena itu, rentang variasi fungsi ini ditentukan oleh pertidaksamaan -1 < pada < 1. Kapan X = π / 2 + 2k π fungsi dibutuhkan nilai tertinggi, sama dengan 1, dan untuk x = - π / 2 + 2k π - nilai terkecil sama dengan - 1.

3) Fungsi y = dosa x ganjil (sinusoidalnya simetris terhadap titik asal).

4) Fungsi y = dosa x periodik dengan periode 2 π .

5) Dalam interval 2n π < X < π + 2n π (n adalah bilangan bulat apa pun) positif, dan dalam interval π + 2k π < X < 2π + 2k π (k adalah bilangan bulat apa pun) negatif. Pada x = k π fungsinya menjadi nol. Oleh karena itu, nilai argumen x (0; ± π ; ±2 π ; ...) disebut fungsi nol y = dosa x

6) Secara berkala - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π fungsi kamu = dosa X meningkat secara monoton, dan dalam interval π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π itu menurun secara monoton.

Anda harus memberi perhatian khusus pada perilaku fungsinya y = dosa x dekat titik tersebut X = 0 .

Misalnya dosa 0,012 ≈ 0,012; dosa(-0,05) ≈ -0,05;

dosa 2° = dosa π 2 / 180 = dosa π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Pada saat yang sama, perlu dicatat bahwa untuk setiap nilai x

| dosa X| < | x | . (1)

Memang benar, jari-jari lingkaran yang ditunjukkan pada gambar sama dengan 1,
A / AOB = X.

Lalu dosa X= AC. Tapi AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Panjang busur ini jelas sama dengan X, karena jari-jari lingkaran adalah 1. Jadi, di 0< X < π / 2

dosa x< х.

Oleh karena itu, karena keanehan fungsinya y = dosa x mudah untuk menunjukkan bahwa ketika - π / 2 < X < 0

| dosa X| < | x | .

Akhirnya kapan X = 0

| dosa x | = | x |.

Jadi, untuk | X | < π / 2 ketimpangan (1) telah terbukti. Faktanya, ketimpangan ini juga berlaku untuk | X | > π / 2 karena fakta bahwa | dosa X | < 1, sebuah π / 2 > 1

Latihan

1.Menurut grafik fungsinya y = dosa x tentukan: a) dosa 2; b) dosa 4; c) dosa (-3).

2.Menurut grafik fungsi y = dosa x tentukan bilangan mana dari interval tersebut
[ - π / 2 , π / 2 ] memiliki sinus sama dengan: a) 0,6; b) -0,8.

3. Menurut grafik fungsinya y = dosa x tentukan bilangan mana yang mempunyai sinus,
sama dengan 1/2.

4. Cari kira-kira (tanpa menggunakan tabel): a) sin 1°; b) dosa 0,03;
c) dosa (-0,015); d) dosa (-2°30").

"Sekolah Tinggi Teknologi Layanan Yoshkar-Ola"

Konstruksi dan studi grafik fungsi trigonometri y=sinx dalam spreadsheetMS Unggul

/pengembangan metodologis/

Yoshkar – Ola

Subjek. Konstruksi dan studi grafik fungsi trigonometrikamu = dosa dalam lembar kerja MS Excel

Jenis pelajaran– terintegrasi (mendapatkan pengetahuan baru)

Sasaran:

Tujuan didaktik - mengeksplorasi perilaku grafik fungsi trigonometrikamu= dosatergantung odds menggunakan komputer

Pendidikan:

1. Cari tahu perubahan grafik fungsi trigonometri kamu= dosa X tergantung pada peluang

2. Tunjukkan implementasinya teknologi komputer dalam pengajaran matematika, mengintegrasikan dua mata pelajaran: aljabar dan ilmu komputer.

3. Mengembangkan keterampilan penggunaan teknologi komputer dalam pembelajaran matematika

4. Memperkuat keterampilan mempelajari fungsi dan membuat grafiknya

Pendidikan:

1. Mengembangkan minat kognitif siswa terhadap disiplin akademik dan kemampuan menerapkan pengetahuannya dalam situasi praktis

2. Mengembangkan kemampuan menganalisis, membandingkan, menonjolkan hal yang pokok

3. Berkontribusi dalam meningkatkan tingkat perkembangan siswa secara keseluruhan

Mendidik :

1. Menumbuhkan kemandirian, ketelitian, dan kerja keras

2. Menumbuhkan budaya dialog

Bentuk pekerjaan dalam pelajaran - digabungkan

Fasilitas dan perlengkapan didaktik:

1. Komputer

2. Proyektor multimedia

4. Selebaran

5. Slide presentasi

Selama kelas

SAYA. Organisasi awal pelajaran

· Menyapa siswa dan tamu

· Suasana hati untuk pelajaran

II. Penetapan tujuan dan pembaruan topik

Dibutuhkan banyak waktu untuk mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya, Anda harus melakukan banyak perhitungan yang rumit, ini tidak nyaman, teknologi komputer datang untuk menyelamatkan.

Hari ini kita akan mempelajari cara membuat grafik fungsi trigonometri di lingkungan spreadsheet MS Excel 2007.

Topik pelajaran kita adalah “Membangun dan mempelajari grafik fungsi trigonometri kamu= dosa dalam prosesor tabel"

Dari mata kuliah aljabar kita mengetahui skema mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya. Mari kita ingat bagaimana melakukan ini.

Geser 2

Skema studi fungsi

1. Domain fungsi (D(f))

2. Rentang fungsi E(f)

3. Penentuan paritas

4. Frekuensi

5. Nol dari fungsi (y=0)

6. Interval tanda konstan (y>0, y<0)

7. Masa-masa monoton

8. Fungsi ekstrem

AKU AKU AKU. Asimilasi utama materi pendidikan baru

Buka MS Excel 2007.

Mari kita gambarkan fungsinya y=sin X

Membangun grafik dalam prosesor spreadsheetMS Unggul 2007

Kami akan memplot grafik fungsi ini pada segmen tersebut X[-2π; 2π]

Kami akan mengambil nilai-nilai argumen secara bertahap , untuk membuat grafik lebih akurat.

Karena editor bekerja dengan angka, mari kita ubah radian menjadi angka, dengan mengetahui hal itu P ≈ 3.14 . (tabel terjemahan di handout).

1. Temukan nilai fungsi pada titik tersebut x=-2P. Selebihnya, editor menghitung nilai fungsi terkait secara otomatis.

2. Sekarang kita memiliki tabel dengan nilai argumen dan fungsi. Dengan data ini, kita harus memplot fungsi ini menggunakan Chart Wizard.

3. Untuk membuat grafik, Anda perlu memilih rentang data yang diperlukan, garis dengan argumen dan nilai fungsi

4..jpg" lebar="667" tinggi="236 src=">

Kesimpulannya kami tuliskan di buku catatan (Slide 5)

Kesimpulan. Grafik fungsi berbentuk y=sinx+k diperoleh dari grafik fungsi y=sinx dengan translasi paralel sepanjang sumbu op-amp sebanyak k satuan

Jika k >0, maka grafiknya bergeser ke atas sebanyak k satuan

Jika k<0, то график смещается вниз на k единиц

Konstruksi dan studi tentang fungsi bentukkamu=k*sinx,k- konstanta

Tugas 2. Sedang bekerja Lembar2 menggambar grafik fungsi dalam satu sistem koordinat kamu= dosa kamu=2* dosa, kamu= * dosa, pada interval (-2π; 2π) dan perhatikan bagaimana tampilan grafiknya berubah.

(Agar tidak menyetel ulang nilai argumen, mari salin nilai yang ada. Sekarang Anda perlu menyetel rumus dan membuat grafik menggunakan tabel yang dihasilkan.)

Kami membandingkan grafik yang dihasilkan. Bersama siswa, kami menganalisis perilaku grafik fungsi trigonometri bergantung pada koefisiennya. (Geser 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , pada interval (-2π; 2π) dan perhatikan bagaimana tampilan grafiknya berubah.

Kami membandingkan grafik yang dihasilkan. Bersama siswa, kami menganalisis perilaku grafik fungsi trigonometri bergantung pada koefisiennya. (Geser 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Kesimpulannya kami tuliskan di buku catatan (Slide 11)

Kesimpulan. Grafik fungsi berbentuk y=sin(x+k) diperoleh dari grafik fungsi y=sinx dengan translasi paralel sepanjang sumbu OX sebanyak k satuan

Jika k >1, maka grafik bergeser ke kanan sepanjang sumbu OX

Jika 0

IV. Konsolidasi utama dari pengetahuan yang diperoleh

Kartu yang dibedakan dengan tugas membangun dan mempelajari suatu fungsi menggunakan grafik

kamu=6*dosa(x)

kamu=1-2 dosaX

kamu=- dosa(3x+)

1. Domain

2. Rentang nilai

3. Keseimbangan

4. Periodisitas

5. Interval keteguhan tanda

6. Kesenjangankesamaan

Fungsi meningkat

Fungsi

berkurang

7. Fungsi ekstrem

Minimum

Maksimum

V. Organisasi pekerjaan rumah

Plot grafik fungsi y=-2*sinх+1, periksa dan periksa kebenaran konstruksi dalam lingkungan spreadsheet Microsoft Excel. (Geser 12)

VI. Cerminan

Bagaimana cara membuat grafik fungsi y=sin x? Pertama, mari kita lihat grafik sinus pada interval tersebut.

Kami mengambil satu segmen sepanjang 2 sel di buku catatan. Pada sumbu Oy kami menandai satu.

Untuk memudahkan, kita membulatkan angka π/2 menjadi 1,5 (dan bukan menjadi 1,6, seperti yang disyaratkan oleh aturan pembulatan). Dalam hal ini, segmen dengan panjang π/2 setara dengan 3 sel.

Pada sumbu Ox kami menandai bukan segmen tunggal, tetapi segmen dengan panjang π/2 (setiap 3 sel). Oleh karena itu, segmen dengan panjang π sama dengan 6 sel, dan segmen dengan panjang π/6 sama dengan 1 sel.

Dengan pilihan segmen satuan ini, grafik yang digambarkan pada selembar buku catatan di dalam kotak sedapat mungkin sesuai dengan grafik fungsi y=sin x.

Mari kita buat tabel nilai sinus pada interval:

Kami menandai titik-titik yang dihasilkan pada bidang koordinat:

Karena y=sin x merupakan fungsi ganjil, grafik sinusnya simetris terhadap titik asal - titik O(0;0). Dengan mempertimbangkan fakta ini, mari kita lanjutkan menggambar grafik ke kiri, lalu titik -π:

Fungsi y=sin x periodik dengan periode T=2π. Oleh karena itu, grafik suatu fungsi yang diambil pada interval [-π;π] diulang berkali-kali ke kanan dan ke kiri.

Meregangkan grafik y=sinx sepanjang sumbu y. Diketahui fungsinya y=3sinx. Untuk membuat grafiknya, Anda perlu meregangkan grafik y=sinx sehingga E(y): (-3; 3).

Gambar 7 dari presentasi “Membuat grafik suatu fungsi” untuk pelajaran aljabar pada topik “Grafik suatu fungsi”

Dimensi: 960 x 720 piksel, format: jpg. Untuk mendownload gambar gratis untuk pelajaran aljabar, klik kanan pada gambar dan klik “Simpan gambar sebagai...”. Untuk menampilkan gambar dalam pelajaran, Anda juga dapat mengunduh secara gratis seluruh presentasi “Membangun grafik suatu fungsi.ppt” dengan semua gambar dalam arsip zip. Ukuran arsipnya adalah 327 KB.

Unduh presentasi

Grafik suatu fungsi

“Membangun grafik suatu fungsi” - Isi: Meregangkan grafik y=sinx sepanjang sumbu y. Diketahui fungsinya y=3sinx. Diketahui fungsi y=sinx+1. Fungsi y=3cosx diberikan. Buat grafik fungsinya. Grafik fungsi y= m*cos x. Diselesaikan oleh: Kelompok pelatihan Kadet 52 Alexei Levin. Grafik perpindahan y=cosx vertikal. Untuk menuju ke contoh soal, klik l. tombol tetikus.

"Sistem koordinat di ruang angkasa" - Bautnya tertutup. Tinggi lebar Kedalaman. Sistem koordinat persegi panjang di ruang angkasa. Koordinat suatu titik dalam ruang. Karya M. Escher mencerminkan gagasan untuk memperkenalkan sistem koordinat persegi panjang dalam ruang. Sapi – sumbu absis, Oy – sumbu ordinat, Oz – sumbu aplikasi. Bersama Pythagoras, dengarkan sonata bola, Hitung atom seperti Democritus.

“Bidang koordinat kelas 6” - U. Matematika kelas 6. 1. Cari dan tuliskan koordinat titik A, B, C, D: O. X. Bidang koordinat. -3. 1.

“Fungsi dan grafiknya” - Contoh fungsi ganjil: y = x3; kamu = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). 3. Jika k? 0 dan b? 0, maka y = kx + b. Fungsi tersebut didefinisikan pada himpunan semua bilangan real. Fungsi linier yang berbentuk y = kx disebut proporsionalitas langsung. Kuat. y = dosa x. Periodisitas.

"Penelitian Fungsi" - Fungsi. Dorokhova Yu.A. Mari kita ingat... Rencana pelajaran. Dengan menggunakan skema penelitian fungsi, selesaikan tugas: langkah 24; Nomor 296 (a; b), Nomor 299 (a; b). Tahukah anda bahwa... Tujuan Pembelajaran: Penerapan turunan. Latihan. Latihan soal: Lakukan secara lisan: Untuk fungsi f(x) = x3, tentukan D(f), paritas, kenaikan, penurunan.

“Menambah dan menurunkan fungsi” - Menambah dan menurunkan fungsi. Mari kita lihat contoh fungsi naik dan turun. Karena periodisitas fungsi sinus, cukup melakukan pembuktian pada segmen [-?/2; ?/2]. Mari kita lihat contoh lainnya. Jika -?/2 ? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

Ada total 25 presentasi dalam topik tersebut