Sasaran:

  1. Pendidikan umum: mensistematisasikan, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan metode untuk menyelesaikan kesenjangan.
  2. Perkembangan: mengembangkan kemampuan siswa dalam mendengarkan ceramah dengan menuliskannya di buku catatan.
  3. Edukasi: membentuk motivasi kognitif dalam belajar matematika.

Selama kelas

I. Percakapan perkenalan:

Kita telah menyelesaikan topik “Menyelesaikan persamaan irasional” dan hari ini kita mulai mempelajari cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional.

Pertama, mari kita ingat jenis kesenjangan apa saja yang bisa diselesaikan dan dengan metode apa?

Menjawab: Linier, kuadrat, rasional, trigonometri. Kita menyelesaikan pertidaksamaan linier berdasarkan sifat-sifat pertidaksamaan; kita mereduksi pertidaksamaan trigonometri menjadi pertidaksamaan paling sederhana, yang dapat diselesaikan dengan menggunakan lingkaran trigonometri, dan sisanya, terutama dengan metode interval.

Pertanyaan: Pernyataan apa yang mendasari metode interval?

Menjawab: Pada teorema yang menyatakan bahwa fungsi berkelanjutan, yang tidak hilang pada selang waktu tertentu, tetap mempertahankan tandanya pada selang waktu tersebut.

II. Mari kita lihat ketimpangan irasional seperti >

Pertanyaan: Apakah mungkin menggunakan metode interval untuk menyelesaikannya?

Menjawab: Ya, karena fungsinya kamu =– terus menerus untuk D(kamu).

Mengatasi ketimpangan ini metode interval .

Kesimpulan: kita cukup mudah menyelesaikan pertidaksamaan irasional ini dengan menggunakan metode interval, bahkan mereduksinya menjadi penyelesaian persamaan irasional.

Mari kita coba menyelesaikan pertidaksamaan lainnya menggunakan metode ini.

3)f(x) terus menerus menyala D(f)

4) Fungsi nol:

  • Butuh waktu lama untuk mencarinya D(f).
  • Sulit untuk menghitung titik kontrol.

Timbul pertanyaan: “Apakah ada cara lain untuk mengatasi ketimpangan ini?”

Jelas sekali ada, dan sekarang kita akan mengenalnya.

AKU AKU AKU. Jadi, subjek Hari ini pelajaran: “Metode untuk menyelesaikan kesenjangan yang tidak rasional.”

Pembelajaran akan dilaksanakan dalam bentuk ceramah, karena buku teks tidak memuat analisis rinci tentang semua metode. Oleh karena itu, tugas penting kita adalah menyusun ringkasan rinci dari kuliah ini.

IV. Kita telah membicarakan metode pertama untuk menyelesaikan kesenjangan irasional.

Ini - metode interval , metode universal untuk menyelesaikan semua jenis kesenjangan. Namun tidak selalu mencapai tujuan dengan cara yang singkat dan sederhana.

V. Saat menyelesaikan pertidaksamaan irasional, Anda dapat menggunakan ide yang sama seperti saat menyelesaikan persamaan irasional, tetapi karena verifikasi solusi sederhana tidak mungkin dilakukan (bagaimanapun, solusi pertidaksamaan paling sering berupa interval numerik bilangan bulat), maka perlu menggunakan kesetaraan.

Kami menyajikan skema untuk menyelesaikan jenis utama ketidaksetaraan irasional metode transisi yang setara dari satu ketimpangan menjadi sistem ketimpangan.

2. Demikian pula terbukti bahwa

Mari kita tuliskan diagram ini di papan pendukung. Coba pikirkan pembuktian tipe 3 dan 4 di rumah, kita akan membahasnya pada pelajaran selanjutnya.

VI. Mari selesaikan ketimpangan dengan cara baru.

Ketimpangan asal setara dengan kumpulan sistem.

VII. Dan ada metode ketiga yang sering kali membantu menyelesaikan kesenjangan irasional yang kompleks. Kami telah membicarakannya sehubungan dengan ketidaksetaraan dengan modulus. Ini metode penggantian fungsi (penggantian faktor). Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa inti dari metode penggantian adalah perbedaan nilai fungsi monotonik dapat diganti dengan perbedaan nilai argumennya.

Pertimbangkan ketidaksetaraan bentuk yang tidak rasional<,

itu adalah -< 0.

Menurut teorema, jika hal(x) meningkat pada interval tertentu di mana mereka berada A Dan B, Dan A>B, maka ketidaksetaraan p(a) – p(b) > 0 dan a–b> 0 setara dengan D(p), itu adalah

VIII. Mari kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengganti faktor-faktornya.

Artinya ketimpangan ini ekuivalen dengan sistem

Jadi, kita telah melihat bahwa penggunaan metode penggantian faktor untuk mengurangi penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval secara signifikan mengurangi jumlah pekerjaan.

IX. Sekarang kita telah membahas tiga metode utama untuk menyelesaikan persamaan, mari kita lakukan pekerjaan mandiri dengan tes mandiri.

Angka-angka berikut harus diselesaikan (menurut buku teks oleh A.M. Mordkovich): 1790 (a) - selesaikan dengan metode transisi ekuivalen, 1791 (a) - selesaikan dengan metode penggantian faktor. diusulkan untuk menggunakan metode yang telah dibahas sebelumnya ketika menyelesaikan persamaan irasional:

  • mengganti variabel;
  • penggunaan ODZ;
  • menggunakan sifat monotonisitas fungsi.

Penyelesaian pembelajaran suatu topik adalah sebuah ujian.

Analisis pekerjaan tes menunjukkan:

  • kesalahan khas siswa yang lemah, selain aritmatika dan aljabar, adalah transisi ekuivalen yang salah ke sistem pertidaksamaan;
  • Metode penggantian faktor hanya berhasil digunakan oleh siswa yang kuat.

Sasaran:

  1. Pendidikan umum: mensistematisasikan, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan metode untuk menyelesaikan kesenjangan.
  2. Perkembangan: mengembangkan kemampuan siswa dalam mendengarkan ceramah dengan menuliskannya di buku catatan.
  3. Edukasi: membentuk motivasi kognitif dalam belajar matematika.

Selama kelas

I. Percakapan perkenalan:

Kita telah menyelesaikan topik “Menyelesaikan persamaan irasional” dan hari ini kita mulai mempelajari cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional.

Pertama, mari kita ingat jenis kesenjangan apa saja yang bisa diselesaikan dan dengan metode apa?

Menjawab: Linier, kuadrat, rasional, trigonometri. Kami menyelesaikan pertidaksamaan linier berdasarkan sifat-sifat pertidaksamaan, kami mereduksi pertidaksamaan trigonometri menjadi trigonometri paling sederhana, menyelesaikannya menggunakan lingkaran trigonometri, dan selebihnya, terutama menggunakan metode interval.

Pertanyaan: Pernyataan apa yang mendasari metode interval?

Menjawab: Pada teorema yang menyatakan bahwa fungsi kontinu yang tidak hilang pada interval tertentu tetap mempunyai tanda pada interval tersebut.

II. Mari kita lihat ketimpangan irasional seperti >

Pertanyaan: Apakah mungkin menggunakan metode interval untuk menyelesaikannya?

Menjawab: Ya, karena fungsinya kamu =– terus menerus untuk D(kamu).

Mengatasi ketimpangan ini metode interval .

Kesimpulan: kita cukup mudah menyelesaikan pertidaksamaan irasional ini dengan menggunakan metode interval, bahkan mereduksinya menjadi penyelesaian persamaan irasional.

Mari kita coba menyelesaikan pertidaksamaan lainnya menggunakan metode ini.

3)f(x) terus menerus menyala D(f)

4) Fungsi nol:

  • Butuh waktu lama untuk mencarinya D(f).
  • Sulit untuk menghitung titik kontrol.

Timbul pertanyaan: “Apakah ada cara lain untuk mengatasi ketimpangan ini?”

Jelas sekali ada, dan sekarang kita akan mengenalnya.

AKU AKU AKU. Jadi, subjek Hari ini pelajaran: “Metode untuk menyelesaikan kesenjangan yang tidak rasional.”

Pembelajaran akan dilaksanakan dalam bentuk ceramah, karena buku teks tidak memuat analisis rinci tentang semua metode. Oleh karena itu, tugas penting kita adalah menyusun ringkasan rinci dari kuliah ini.

IV. Kita telah membicarakan metode pertama untuk menyelesaikan kesenjangan irasional.

Ini - metode interval , metode universal untuk menyelesaikan semua jenis kesenjangan. Namun tidak selalu mencapai tujuan dengan cara yang singkat dan sederhana.

V. Saat menyelesaikan pertidaksamaan irasional, Anda dapat menggunakan ide yang sama seperti saat menyelesaikan persamaan irasional, tetapi karena verifikasi solusi sederhana tidak mungkin dilakukan (bagaimanapun, solusi pertidaksamaan paling sering berupa interval numerik bilangan bulat), maka perlu menggunakan kesetaraan.

Kami menyajikan skema untuk menyelesaikan jenis utama ketidaksetaraan irasional metode transisi yang setara dari satu ketimpangan menjadi sistem ketimpangan.

2. Demikian pula terbukti bahwa

Mari kita tuliskan diagram ini di papan pendukung. Coba pikirkan pembuktian tipe 3 dan 4 di rumah, kita akan membahasnya pada pelajaran selanjutnya.

VI. Mari selesaikan ketimpangan dengan cara baru.

Ketimpangan asal setara dengan kumpulan sistem.

VII. Dan ada metode ketiga yang sering kali membantu menyelesaikan kesenjangan irasional yang kompleks. Kami telah membicarakannya sehubungan dengan ketidaksetaraan dengan modulus. Ini metode penggantian fungsi (penggantian faktor). Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa inti dari metode penggantian adalah perbedaan nilai fungsi monotonik dapat diganti dengan perbedaan nilai argumennya.

Pertimbangkan ketidaksetaraan bentuk yang tidak rasional<,

itu adalah -< 0.

Menurut teorema, jika hal(x) meningkat pada interval tertentu di mana mereka berada A Dan B, Dan A>B, maka ketidaksetaraan p(a) – p(b) > 0 dan a–b> 0 setara dengan D(p), itu adalah

VIII. Mari kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengganti faktor-faktornya.

Artinya ketimpangan ini ekuivalen dengan sistem

Jadi, kita telah melihat bahwa penggunaan metode penggantian faktor untuk mengurangi penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval secara signifikan mengurangi jumlah pekerjaan.

IX. Sekarang kita telah membahas tiga metode utama untuk menyelesaikan persamaan, mari kita lakukan pekerjaan mandiri dengan tes mandiri.

Angka-angka berikut harus diselesaikan (menurut buku teks oleh A.M. Mordkovich): 1790 (a) - selesaikan dengan metode transisi ekuivalen, 1791 (a) - selesaikan dengan metode penggantian faktor. diusulkan untuk menggunakan metode yang telah dibahas sebelumnya ketika menyelesaikan persamaan irasional:

  • mengganti variabel;
  • penggunaan ODZ;
  • menggunakan sifat monotonisitas fungsi.

Penyelesaian pembelajaran suatu topik adalah sebuah ujian.

Analisis hasil tes menunjukkan:

  • kesalahan khas siswa yang lemah, selain aritmatika dan aljabar, adalah transisi ekuivalen yang salah ke sistem pertidaksamaan;
  • Metode penggantian faktor hanya berhasil digunakan oleh siswa yang kuat.

TD Ivanova

METODE PENYELESAIAN KETIMPANGAN irasional

CDO dan NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22.1Y72

Disusun oleh T.D. Ivanova

Pengulas: Baisheva M.I.– Kandidat Ilmu Pedagogis, Associate Professor Departemen

analisis matematis Fakultas Matematika

Institut Matematika dan Informatika Yakutsk

Universitas Negeri

Metode untuk mengatasi ketidaksetaraan irasional: Panduan metodologis

M 34 untuk siswa kelas 9-11 / comp. Ivanova T.D. dari ulus Suntar Suntarsky

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 hal.

Manual ini ditujukan kepada siswa sekolah menengah atas, serta mereka yang memasuki universitas sebagai panduan metodologis untuk memecahkan kesenjangan yang tidak rasional. Manual ini membahas secara rinci metode utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional, memberikan contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan parameter, dan juga menawarkan contoh untuk menyelesaikannya sendiri. Guru dapat menggunakan panduan ini sebagai materi didaktik untuk pekerjaan mandiri, dengan review review dengan topik “Ketimpangan Irasional”.

Manual ini mencerminkan pengalaman guru dalam mempelajari topik “Ketidaksetaraan irasional” dengan siswa.

Permasalahan diambil dari materi tes masuk, surat kabar dan majalah metodologis, alat bantu pengajaran, daftarnya diberikan di akhir manual

UDC 511 (O75.3)

BBK 22.1Y72

 T.D. Ivanova, kompilasi, 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Kata Pengantar 5

Pendahuluan 6

Bagian I. Contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional paling sederhana 7

Bagian II Ketimpangan bentuk
>g(x), g(x), g(x) 9

Bagian III. Ketimpangan bentuk
;
;

;
13

Bagian IV. Pertidaksamaan yang mengandung beberapa akar derajat genap 16

Bagian V. Metode penggantian (pengenalan variabel baru) 20

Bagian VI. Pertidaksamaan bentuk f(x)
0; f(x)0;

Bagian VII. Ketimpangan bentuk
25

Bagian VIII. Menggunakan transformasi ekspresi radikal

dalam ketidaksetaraan irasional 26

Bagian IX. Solusi grafis dari ketidaksetaraan irasional 27

Bagian X. Pertidaksamaan tipe campuran 31

Bagian XI. Menggunakan sifat monotonisitas suatu fungsi 41

Bagian XII. Metode Penggantian Fungsi 43

Bagian XIII. Contoh penyelesaian pertidaksamaan secara langsung

metode interval 45

Bagian XIV. Contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan parameter 46

Sastra 56

TINJAUAN

Alat peraga ini ditujukan untuk siswa kelas 10-11. Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, siswa sekolah dan pelamar mengalami kesulitan khusus dalam menyelesaikan kesenjangan yang tidak rasional. Hal ini disebabkan karena dalam matematika sekolah bagian ini kurang diperhatikan, berbagai metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut tidak dibahas secara lebih rinci. Selain itu, guru sekolah juga merasakan kurangnya literatur metodologis, yang diwujudkan dalam terbatasnya jumlah materi masalah yang menunjukkan berbagai pendekatan dan metode penyelesaian.

Manual ini membahas metode untuk menyelesaikan ketidaksetaraan yang irasional. Ivanova T.D. di awal setiap bagian, memperkenalkan siswa pada gagasan pokok metode, kemudian menunjukkan contoh-contoh beserta penjelasannya, dan juga menawarkan masalah-masalah untuk penyelesaian mandiri.

Penyusunnya menggunakan metode paling “spektakuler” untuk menyelesaikan kesenjangan irasional yang terjadi saat memasuki pendidikan tinggi lembaga pendidikan dengan meningkatnya tuntutan terhadap pengetahuan siswa.

Siswa, setelah membaca manual ini, dapat memperoleh pengalaman dan keterampilan yang sangat berharga dalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional yang kompleks. Saya percaya bahwa manual ini juga akan berguna bagi guru matematika yang bekerja di kelas khusus, serta pengembang mata kuliah pilihan.

Kandidat Ilmu Pedagogi, Associate Professor Departemen Analisis Matematika, Fakultas Matematika, Institut Matematika dan Informatika, Universitas Negeri Yakut

Baisheva M.I.

KATA PENGANTAR

Manual ini ditujukan kepada siswa sekolah menengah atas, serta mereka yang memasuki universitas sebagai panduan metodologis untuk memecahkan kesenjangan yang tidak rasional. Manual ini membahas secara rinci metode utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional, memberikan contoh perkiraan tentang cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional, memberikan contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan parameter, dan juga menawarkan contoh untuk menyelesaikannya sendiri; untuk beberapa di antaranya, jawaban singkat dan instruksi diberikan.

Ketika menganalisis contoh dan menyelesaikan pertidaksamaan secara mandiri, diasumsikan bahwa siswa mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan linier, kuadrat, dan lainnya, serta mengetahui berbagai metode penyelesaian pertidaksamaan, khususnya metode interval. Diusulkan untuk mengatasi ketimpangan dengan beberapa cara.

Guru dapat menggunakan manual ini sebagai bahan didaktik untuk kerja mandiri sambil meninjau topik “Ketidaksetaraan irasional.”

Manual ini mencerminkan pengalaman guru dalam mempelajari topik “Ketidaksetaraan irasional” dengan siswa.

Soal-soal dipilih dari materi ujian masuk ke lembaga pendidikan tinggi, surat kabar metodologis dan majalah matematika "Pertama September", "Matematika di Sekolah", "Quantum", buku teks, daftarnya diberikan di akhir manual .

PERKENALAN

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang variabel atau fungsi suatu variabel berada di bawah tanda akar.

Metode standar utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah dengan menaikkan kedua sisi pertidaksamaan secara berturut-turut untuk menghilangkan akarnya. Namun operasi ini sering kali menyebabkan munculnya akar asing atau bahkan hilangnya akar, mis. menyebabkan ketimpangan yang tidak sama dengan aslinya. Oleh karena itu, kita harus memantau dengan cermat kesetaraan transformasi dan hanya mempertimbangkan nilai-nilai variabel yang pertidaksamaannya masuk akal:

    jika akarnya berpangkat genap, maka ekspresi akarnya harus non-negatif dan nilai akarnya juga harus berupa bilangan non-negatif.

    jika akar derajatnya adalah angka ganjil, maka ekspresi radikal dapat mengambil bilangan real apa pun dan tanda akarnya bertepatan dengan tanda ekspresi radikal.

    adalah mungkin untuk menaikkan kedua sisi ketidaksetaraan menjadi pangkat genap hanya setelah terlebih dahulu memastikan bahwa keduanya non-negatif;

    Menaikkan kedua ruas pertidaksamaan ke pangkat ganjil yang sama selalu merupakan transformasi ekuivalen.

BabSAYA. Contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional sederhana

Contoh 1- 6:


Larutan:

1.a)
.

B)
.

2.a)

B)

3.a)
.

B)
.

4.a)

B)

5.a)
.

B)

6.a)
.

B)
.

7.

8.a)
.

B)

9.a)
.

B)

11.

12. Temukan bilangan bulat terkecil nilai positif x memenuhi pertidaksamaan

13. a) Temukan titik tengah interval penyelesaian pertidaksamaan

b) Temukan mean aritmatika dari semua nilai integer x yang pertidaksamaannya mempunyai solusi 4

14. Temukan solusi negatif terkecil dari pertidaksamaan tersebut

15.a)
;

B)

Bagian II. Pertidaksamaan bentuk >g(x), g(x),g(x)

Dengan cara yang sama seperti saat menyelesaikan contoh 1-4, kita bernalar saat menyelesaikan pertidaksamaan jenis yang ditunjukkan.

Contoh 7 : Selesaikan ketimpangan
> X + 1

Larutan: Ketimpangan DZ: X-3. Untuk sisi kanan ada dua kemungkinan kasus:

A) X+ 10 (sisi kanan non-negatif) atau b) X + 1

Pertimbangkan a) Jika X+10, yaitu X- 1, maka kedua ruas pertidaksamaan tersebut non-negatif. Kami mengkuadratkan kedua sisi: X + 3 >X+ 2X+ 1. Kami mengerti pertidaksamaan kuadrat X+ X – 2 X x - 1, kita mendapatkan -1

Pertimbangkan b) Jika X+1xx-3

Menggabungkan solusi untuk kasus a) -1 dan b) X-3, ayo tuliskan jawabannya: X
.

Semua argumen saat menyelesaikan Contoh 7 akan lebih mudah ditulis sebagai berikut:

Ketimpangan asal setara dengan serangkaian sistem ketimpangan
.





X

Menjawab: .

Alasan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk

1.> G(X); 2. G(X); 3. G(X); 4. G(X) secara singkat dapat ditulis dalam bentuk diagram berikut:

SAYA. > G(X)

2. G(X)

3. G(X)

4. G(X)
.

Contoh 8 :
X.

Larutan: Pertidaksamaan asal ekuivalen dengan sistem


x>0

Menjawab: X
.

    Tugas untuk solusi mandiri:


B)


B)
.


B)


B)

20.a)
X

B)

21.a)

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

  • Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

  • Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
  • Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
  • Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
  • Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

  • Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
  • Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.