Bagian: Matematika

Kelas: 11

Pelajaran 1

Subjek: kelas 11 (persiapan Ujian Negara Bersatu)

Menyederhanakan ekspresi trigonometri.

Solusi paling sederhana persamaan trigonometri. (2 jam)

Sasaran:

  • Mensistematisasikan, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan rumus trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

Perlengkapan untuk pelajaran:

Struktur pelajaran:

  1. Momen organisasi
  2. Pengujian pada laptop. Pembahasan hasilnya.
  3. Menyederhanakan ekspresi trigonometri
  4. Memecahkan persamaan trigonometri sederhana
  5. Pekerjaan mandiri.
  6. Ringkasan pelajaran. Penjelasan tugas pekerjaan rumah.

1. Momen organisasi. (2 menit.)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran, mengingatkan bahwa sebelumnya mereka diberi tugas mengulangi rumus trigonometri, dan mempersiapkan siswa untuk ujian.

2. Pengujian. (15 menit + 3 menit diskusi)

Tujuannya adalah untuk menguji pengetahuan rumus trigonometri dan kemampuan untuk menerapkannya. Setiap siswa memiliki laptop di meja mereka dengan versi tes.

Ada sejumlah opsi, saya akan memberikan contoh salah satunya:

saya pilihan.

Sederhanakan ekspresi:

a) identitas trigonometri dasar

1. dosa 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) rumus penjumlahan

3. dosa5x - dosa3x;

c) mengubah suatu produk menjadi suatu jumlah

6. 2sin8y cos3y;

d) rumus sudut ganda

7. 2sin5x cos5x;

e) rumus setengah sudut

f) rumus sudut rangkap tiga

g) substitusi universal

h) penurunan derajat

16. cos 2 (3x/7);

Siswa melihat jawabannya di laptop di samping setiap rumus.

Pekerjaan langsung diperiksa oleh komputer. Hasilnya ditampilkan di layar besar agar semua orang dapat melihatnya.

Selain itu, setelah pekerjaan selesai, jawaban yang benar akan ditampilkan di laptop siswa. Setiap siswa melihat di mana kesalahannya dilakukan dan rumus apa yang perlu dia ulangi.

3. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. (25 menit)

Tujuannya adalah untuk mengulang, melatih dan memantapkan penggunaan rumus dasar trigonometri. Menyelesaikan soal B7 dari Unified State Exam.

Pada tahap ini, disarankan untuk membagi kelas menjadi kelompok siswa yang kuat (bekerja secara mandiri dengan pengujian selanjutnya) dan siswa lemah yang bekerja sama dengan guru.

Tugas untuk siswa yang kuat (dipersiapkan terlebih dahulu dalam bentuk cetakan). Penekanan utama adalah pada rumus reduksi dan sudut rangkap menurut UN Unified State 2011.

Sederhanakan ekspresi (untuk siswa yang kuat):

Pada saat yang sama, guru bekerja dengan siswa yang lemah, berdiskusi dan menyelesaikan tugas di layar di bawah perintah siswa.

Menghitung:

5) dosa(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Menyederhanakan:

Saatnya mendiskusikan hasil kerja kelompok kuat.

Jawaban muncul di layar, dan juga, menggunakan kamera video, hasil pekerjaan 5 siswa yang berbeda(satu tugas untuk masing-masing).

Kelompok lemah melihat kondisi dan cara penyelesaiannya. Diskusi dan analisis sedang berlangsung. Dengan penggunaan sarana teknis hal ini terjadi dengan cepat.

4. Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana. (30 menit.)

Tujuannya adalah untuk mengulang, mensistematisasikan dan menggeneralisasi penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana dan menuliskan akar-akarnya. Penyelesaian masalah B3.

Persamaan trigonometri apa pun, tidak peduli bagaimana kita menyelesaikannya, akan menghasilkan persamaan yang paling sederhana.

Saat menyelesaikan tugas, siswa hendaknya memperhatikan penulisan akar-akar persamaan kasus khusus dan pandangan umum dan pada pemilihan akar pada persamaan terakhir.

Selesaikan persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil sebagai jawabanmu.

5. Kerja mandiri (10 menit)

Tujuannya adalah untuk menguji keterampilan yang diperoleh, mengidentifikasi masalah, kesalahan dan cara menghilangkannya.

Pekerjaan multi-level ditawarkan sesuai pilihan siswa.

Opsi "3"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Sederhanakan persamaan 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Selesaikan persamaannya

Opsi untuk "4"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Selesaikan persamaannya Tuliskan akar positif terkecil dalam jawaban Anda.

Opsi "5"

1) Temukan tanα jika

2) Temukan akar persamaannya Tuliskan akar positif terkecil sebagai jawabanmu.

6. Ringkasan pelajaran (5 menit)

Guru menyimpulkan fakta bahwa selama pelajaran mereka mengulangi dan memperkuat rumus trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

Pekerjaan rumah diberikan (dipersiapkan berdasarkan cetakan terlebih dahulu) dengan pemeriksaan acak pada pelajaran berikutnya.

Selesaikan persamaan:

9)

10) Dalam jawaban Anda, tunjukkan akar positif terkecil.

Pelajaran 2

Subjek: kelas 11 (persiapan Ujian Negara Bersatu)

Metode penyelesaian persamaan trigonometri. Seleksi akar. (2 jam)

Sasaran:

  • Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang penyelesaian berbagai jenis persamaan trigonometri.
  • Mempromosikan pembangunan pemikiran matematis siswa, kemampuan mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, mengklasifikasikan.
  • Mendorong siswa untuk mengatasi kesulitan dalam proses aktivitas mental, melakukan pengendalian diri, dan introspeksi aktivitasnya.

Perlengkapan untuk pelajaran: KRMu, laptop untuk setiap siswa.

Struktur pelajaran:

  1. Momen organisasi
  2. Diskusi d/z dan diri. pekerjaan dari pelajaran terakhir
  3. Tinjauan metode penyelesaian persamaan trigonometri.
  4. Memecahkan persamaan trigonometri
  5. Pemilihan akar dalam persamaan trigonometri.
  6. Pekerjaan mandiri.
  7. Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah.

1. Momen organisasi (2 menit)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran dan rencana kerja.

2. a) Analisis pekerjaan rumah(5 menit.)

Tujuannya adalah untuk memeriksa eksekusi. Satu karya ditampilkan di layar menggunakan kamera video, sisanya dikumpulkan secara selektif untuk diperiksa guru.

b) Analisis pekerjaan mandiri(3 menit)

Tujuannya adalah untuk menganalisis kesalahan dan menunjukkan cara untuk mengatasinya.

Jawaban dan solusi ada di layar; pekerjaan siswa diberikan terlebih dahulu. Analisis berlangsung dengan cepat.

3. Tinjauan metode penyelesaian persamaan trigonometri (5 menit)

Tujuannya adalah untuk mengingat metode penyelesaian persamaan trigonometri.

Tanyakan kepada siswa metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang mereka ketahui. Tekankan bahwa ada yang disebut metode dasar (sering digunakan):

dan ada metode yang diterapkan:

  • menggunakan rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah,
  • sesuai dengan rumus pengurangan derajat,
  • substitusi trigonometri universal
  • pengenalan sudut bantu,
  • perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri.

Perlu juga diingat bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Menyelesaikan persamaan trigonometri (30 menit)

Tujuannya adalah untuk menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan tentang topik ini, untuk mempersiapkan solusi C1 dari Unified State Examination.

Saya menganggap disarankan untuk menyelesaikan persamaan untuk setiap metode bersama-sama dengan siswa.

Siswa menentukan solusinya, guru menuliskannya di tablet, dan seluruh proses ditampilkan di layar. Ini akan memungkinkan Anda mengingat materi yang telah dibahas sebelumnya dengan cepat dan efektif.

Selesaikan persamaan:

1) mengganti variabel 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisasi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogen persamaan dosa 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) mengubah jumlah tersebut menjadi hasil kali cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) mengubah hasil kali menjadi jumlah 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) pengurangan derajat sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substitusi trigonometri universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Saat menyelesaikan persamaan ini, perlu diperhatikan bahwa menggunakan metode ini menyebabkan penyempitan rentang definisi, karena sinus dan kosinus digantikan oleh tg(x/2). Oleh karena itu, sebelum menuliskan jawabannya, Anda perlu memeriksa apakah bilangan-bilangan dari himpunan π + 2πn, n Z merupakan kuda-kuda dari persamaan ini.

8) pengenalan sudut bantu √3sinx + cosx - √2 = 0

9) perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pemilihan akar persamaan trigonometri (20 menit)

Karena dalam kondisi persaingan yang ketat ketika memasuki perguruan tinggi, menyelesaikan ujian bagian pertama saja tidak cukup, sebagian besar siswa harus memperhatikan tugas-tugas bagian kedua (C1, C2, C3).

Oleh karena itu, tujuan pembelajaran tahap ini adalah untuk mengingat materi yang telah dipelajari sebelumnya dan mempersiapkan diri untuk menyelesaikan soal C1 dari Unified State Exam 2011.

Ada persamaan trigonometri yang mengharuskan Anda memilih akar-akarnya saat menuliskan jawabannya. Hal ini disebabkan oleh beberapa batasan, misalnya: penyebut pecahan tidak sama dengan nol, ekspresi di bawah akar genap adalah non-negatif, ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif, dll.

Persamaan seperti itu dianggap sebagai persamaan dengan kompleksitas yang meningkat dan seterusnya versi Ujian Negara Bersatu berada pada bagian kedua yaitu C1.

Selesaikan persamaan:

Pecahan sama dengan nol jika maka dengan menggunakan lingkaran satuan mari kita pilih akarnya (lihat Gambar 1)

Gambar 1.

kita mendapatkan x = π + 2πn, n Z

Jawaban: π + 2πn, n Z

Di layar, pemilihan akar ditampilkan pada lingkaran dalam gambar berwarna.

Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan busur tidak kehilangan maknanya. Kemudian

Dengan menggunakan lingkaran satuan, kita memilih akar-akarnya (lihat Gambar 2)

Gambar 2.

5)

Mari masuk ke sistem:

Pada persamaan pertama sistem kita membuat penggantian log 2 (sinx) = y, kemudian diperoleh persamaannya , mari kembali ke sistem

menggunakan lingkaran satuan kita memilih akarnya (lihat Gambar 5),

Gambar 5.

6. Kerja mandiri (15 menit)

Tujuannya adalah untuk mengkonsolidasikan dan memeriksa asimilasi materi, mengidentifikasi kesalahan, dan menguraikan cara untuk memperbaikinya.

Karya ini ditawarkan dalam tiga versi, disiapkan sebelumnya dalam bentuk cetakan, untuk dipilih oleh siswa.

Anda dapat menyelesaikan persamaan dengan cara apa pun.

Opsi "3"

Selesaikan persamaan:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opsi untuk "4"

Selesaikan persamaan:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opsi "5"

Selesaikan persamaan:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Ringkasan pelajaran, pekerjaan rumah (5 menit)

Guru merangkum pelajaran dan sekali lagi menarik perhatian pada fakta bahwa persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Paling Jalan terbaik untuk mencapai hasil yang cepat, itu adalah salah satu yang paling baik dipelajari oleh siswa tertentu.

Saat mempersiapkan ujian, Anda perlu mengulangi rumus dan metode penyelesaian persamaan secara sistematis.

Pekerjaan rumah (dipersiapkan sebelumnya dalam bentuk cetakan) didistribusikan dan metode untuk menyelesaikan beberapa persamaan dikomentari.

Selesaikan persamaan:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) dosa 2 x + dosa 2 2x - dosa 2 3x - dosa 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

DI DALAM transformasi identitas ekspresi trigonometri teknik aljabar berikut dapat digunakan: penjumlahan dan pengurangan suku-suku identik; mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung; perkalian dan pembagian dengan besaran yang sama; penerapan rumus perkalian yang disingkat; alokasi persegi penuh; penguraian trinomial kuadrat berdasarkan pengganda; pengenalan variabel baru untuk menyederhanakan transformasi.

Saat mengonversi ekspresi trigonometri yang mengandung pecahan, Anda dapat menggunakan sifat proporsi, mereduksi pecahan, atau mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama. Selain itu, Anda dapat mengisolasi seluruh bagian pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ukuran yang sama, dan juga, jika memungkinkan, memperhitungkan homogenitas pembilang atau penyebutnya. Jika perlu, Anda dapat menyatakan pecahan sebagai jumlah atau selisih beberapa pecahan yang lebih sederhana.

Selain itu, ketika menerapkan semua metode yang diperlukan untuk mengonversi ekspresi trigonometri, perlu untuk selalu memperhitungkan kisaran nilai yang diizinkan dari ekspresi yang dikonversi.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1.

Hitung A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2)+
+ dosa (3π/2 – x) dosa (2x –5π/2)) 2

Larutan.

Dari rumus reduksinya sebagai berikut:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

dosa (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = dosa x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

dosa (3π/2 – x) = -cos x; dosa (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Oleh karena itu, berdasarkan rumus penjumlahan argumen dan identitas trigonometri utama, kita peroleh

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= dosa 2 3x + cos 2 3x = 1

Jawaban 1.

Contoh 2.

Ubahlah persamaan M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ menjadi suatu hasil kali.

Larutan.

Dari rumus penjumlahan argumen dan rumus konversi penjumlahan fungsi trigonometri ke dalam produk setelah pengelompokan sesuai yang kita miliki

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Jawaban: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Contoh 3.

Tunjukkan bahwa persamaan A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) mengambil satu untuk semua x dari R dan arti yang sama. Temukan nilai ini.

Larutan.

Berikut dua cara untuk mengatasi masalah ini. Menerapkan metode pertama, dengan mengisolasi persegi lengkap dan menggunakan rumus dasar trigonometri yang sesuai, kita memperoleh

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Menyelesaikan soal dengan cara kedua, anggap A sebagai fungsi x dari R dan hitung turunannya. Setelah transformasi kita dapatkan

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Dosa 2(x + π/6) + dosa ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Dosa 2x – (dosa (2x + π/3) + dosa (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Oleh karena itu, berdasarkan kriteria keteguhan suatu fungsi yang terdiferensiasi pada suatu interval, kami menyimpulkan bahwa

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Jawaban: A = 3/4 untuk x € R.

Teknik utama untuk membuktikan identitas trigonometri adalah:

A) mereduksi sisi kiri identitas ke kanan melalui transformasi yang tepat;
B) mengurangi sisi kanan identitas ke kiri;
V) mereduksi sisi kanan dan kiri identitas menjadi bentuk yang sama;
G) mengurangi menjadi nol selisih antara sisi kiri dan kanan identitas yang dibuktikan.

Contoh 4.

Periksa apakah cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Larutan.

Mengubah ruas kanan identitas ini menggunakan rumus trigonometri yang sesuai, yang kita miliki

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Sisi kanan identitas direduksi menjadi kiri.

Contoh 5.

Buktikan bahwa sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 jika α, β, γ adalah sudut dalam suatu segitiga.

Larutan.

Mengingat α, β, γ adalah sudut dalam suatu segitiga, kita memperolehnya

α + β + γ = π dan oleh karena itu, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Kesetaraan aslinya telah terbukti.

Contoh 6.

Buktikan bahwa agar salah satu sudut α, β, γ segitiga sama dengan 60°, perlu dan cukup bahwa sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Larutan.

Kondisi masalah ini melibatkan pembuktian kebutuhan dan kecukupan.

Pertama mari kita buktikan kebutuhan.

Hal ini dapat ditunjukkan bahwa

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Jadi, dengan memperhitungkan cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, kita peroleh bahwa jika salah satu sudut α, β atau γ sama dengan 60°, maka

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 dan oleh karena itu, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ayo buktikan sekarang kecukupan kondisi yang ditentukan.

Jika sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, maka cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, maka

cos (3α/2) = 0, atau cos (3β/2) = 0, atau cos (3γ/2) = 0.

Karena itu,

atau 3α/2 = π/2 + πk, yaitu α = π/3 + 2πk/3,

atau 3β/2 = π/2 + πk, yaitu = π/3 + 2πk/3,

atau 3γ/2 = π/2 + πk,

itu. γ = π/3 + 2πk/3, dimana k ϵ Z.

Berdasarkan fakta bahwa α, β, γ adalah sudut-sudut suatu segitiga, kita peroleh

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Oleh karena itu, untuk α = π/3 + 2πk/3 atau β = π/3 + 2πk/3 atau

γ = π/3 + 2πk/3 dari semua kϵZ hanya k = 0 yang cocok.

Oleh karena itu, α = π/3 = 60°, atau β = π/3 = 60°, atau γ = π/3 = 60°.

Pernyataan itu terbukti.

Masih ada pertanyaan? Tidak yakin bagaimana cara menyederhanakan ekspresi trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Bagian: Matematika

Kelas: 11

Pelajaran 1

Subjek: kelas 11 (persiapan Ujian Negara Bersatu)

Menyederhanakan ekspresi trigonometri.

Memecahkan persamaan trigonometri sederhana. (2 jam)

Sasaran:

  • Mensistematisasikan, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan rumus trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

Perlengkapan untuk pelajaran:

Struktur pelajaran:

  1. Momen organisasi
  2. Pengujian pada laptop. Pembahasan hasilnya.
  3. Menyederhanakan ekspresi trigonometri
  4. Memecahkan persamaan trigonometri sederhana
  5. Pekerjaan mandiri.
  6. Ringkasan pelajaran. Penjelasan tugas pekerjaan rumah.

1. Momen organisasi. (2 menit.)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran, mengingatkan bahwa sebelumnya mereka diberi tugas mengulangi rumus trigonometri, dan mempersiapkan siswa untuk ujian.

2. Pengujian. (15 menit + 3 menit diskusi)

Tujuannya untuk menguji pengetahuan tentang rumus-rumus trigonometri dan kemampuan menerapkannya. Setiap siswa memiliki laptop di meja mereka dengan versi tes.

Ada sejumlah opsi, saya akan memberikan contoh salah satunya:

saya pilihan.

Sederhanakan ekspresi:

a) identitas trigonometri dasar

1. dosa 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) rumus penjumlahan

3. dosa5x - dosa3x;

c) mengubah suatu produk menjadi suatu jumlah

6. 2sin8y cos3y;

d) rumus sudut ganda

7. 2sin5x cos5x;

e) rumus setengah sudut

f) rumus sudut rangkap tiga

g) substitusi universal

h) penurunan derajat

16. cos 2 (3x/7);

Siswa melihat jawabannya di laptop di samping setiap rumus.

Pekerjaan langsung diperiksa oleh komputer. Hasilnya ditampilkan di layar besar agar semua orang dapat melihatnya.

Selain itu, setelah pekerjaan selesai, jawaban yang benar akan ditampilkan di laptop siswa. Setiap siswa melihat di mana kesalahannya dilakukan dan rumus apa yang perlu dia ulangi.

3. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. (25 menit)

Tujuannya adalah untuk mengulang, melatih dan memantapkan penggunaan rumus dasar trigonometri. Menyelesaikan soal B7 dari Unified State Exam.

Pada tahap ini, disarankan untuk membagi kelas menjadi kelompok siswa yang kuat (bekerja secara mandiri dengan pengujian selanjutnya) dan siswa lemah yang bekerja sama dengan guru.

Tugas untuk siswa yang kuat (dipersiapkan terlebih dahulu dalam bentuk cetakan). Penekanan utama adalah pada rumus reduksi dan sudut rangkap menurut UN Unified State 2011.

Sederhanakan ekspresi (untuk siswa yang kuat):

Pada saat yang sama, guru bekerja dengan siswa yang lemah, berdiskusi dan menyelesaikan tugas di layar di bawah perintah siswa.

Menghitung:

5) dosa(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Menyederhanakan:

Saatnya mendiskusikan hasil kerja kelompok kuat.

Jawabannya muncul di layar, dan juga dengan menggunakan kamera video, ditampilkan hasil karya 5 siswa yang berbeda (masing-masing satu tugas).

Kelompok lemah melihat kondisi dan cara penyelesaiannya. Diskusi dan analisis sedang berlangsung. Dengan penggunaan sarana teknis hal ini terjadi dengan cepat.

4. Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana. (30 menit.)

Tujuannya adalah untuk mengulang, mensistematisasikan dan menggeneralisasi penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana dan menuliskan akar-akarnya. Penyelesaian masalah B3.

Persamaan trigonometri apa pun, tidak peduli bagaimana kita menyelesaikannya, akan menghasilkan persamaan yang paling sederhana.

Dalam menyelesaikan tugas, siswa hendaknya memperhatikan penulisan akar-akar persamaan kasus khusus dan bentuk umum serta pemilihan akar-akar persamaan terakhir.

Selesaikan persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil sebagai jawabanmu.

5. Kerja mandiri (10 menit)

Tujuannya adalah untuk menguji keterampilan yang diperoleh, mengidentifikasi masalah, kesalahan dan cara menghilangkannya.

Pekerjaan multi-level ditawarkan sesuai pilihan siswa.

Opsi "3"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Sederhanakan persamaan 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Selesaikan persamaannya

Opsi untuk "4"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Selesaikan persamaannya Tuliskan akar positif terkecil dalam jawaban Anda.

Opsi "5"

1) Temukan tanα jika

2) Temukan akar persamaannya Tuliskan akar positif terkecil sebagai jawabanmu.

6. Ringkasan pelajaran (5 menit)

Guru menyimpulkan fakta bahwa selama pelajaran mereka mengulangi dan memperkuat rumus trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

Pekerjaan rumah diberikan (dipersiapkan berdasarkan cetakan terlebih dahulu) dengan pemeriksaan acak pada pelajaran berikutnya.

Selesaikan persamaan:

9)

10) Dalam jawaban Anda, tunjukkan akar positif terkecil.

Pelajaran 2

Subjek: kelas 11 (persiapan Ujian Negara Bersatu)

Metode penyelesaian persamaan trigonometri. Seleksi akar. (2 jam)

Sasaran:

  • Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang penyelesaian berbagai jenis persamaan trigonometri.
  • Untuk mendorong pengembangan pemikiran matematis siswa, kemampuan mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, dan mengklasifikasikan.
  • Mendorong siswa untuk mengatasi kesulitan dalam proses aktivitas mental, melakukan pengendalian diri, dan introspeksi aktivitasnya.

Perlengkapan untuk pelajaran: KRMu, laptop untuk setiap siswa.

Struktur pelajaran:

  1. Momen organisasi
  2. Diskusi d/z dan diri. pekerjaan dari pelajaran terakhir
  3. Tinjauan metode penyelesaian persamaan trigonometri.
  4. Memecahkan persamaan trigonometri
  5. Pemilihan akar dalam persamaan trigonometri.
  6. Pekerjaan mandiri.
  7. Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah.

1. Momen organisasi (2 menit)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran dan rencana kerja.

2. a) Analisis pekerjaan rumah (5 menit)

Tujuannya adalah untuk memeriksa eksekusi. Satu karya ditampilkan di layar menggunakan kamera video, sisanya dikumpulkan secara selektif untuk diperiksa guru.

b) Analisis karya mandiri (3 menit)

Tujuannya adalah untuk menganalisis kesalahan dan menunjukkan cara untuk mengatasinya.

Jawaban dan solusi ada di layar; pekerjaan siswa diberikan terlebih dahulu. Analisis berlangsung dengan cepat.

3. Tinjauan metode penyelesaian persamaan trigonometri (5 menit)

Tujuannya adalah untuk mengingat metode penyelesaian persamaan trigonometri.

Tanyakan kepada siswa metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang mereka ketahui. Tekankan bahwa ada yang disebut metode dasar (sering digunakan):

  • penggantian variabel,
  • faktorisasi,
  • persamaan homogen,

dan ada metode yang diterapkan:

  • menggunakan rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah,
  • sesuai dengan rumus pengurangan derajat,
  • substitusi trigonometri universal
  • pengenalan sudut bantu,
  • perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri.

Perlu juga diingat bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Menyelesaikan persamaan trigonometri (30 menit)

Tujuannya adalah untuk menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan tentang topik ini, untuk mempersiapkan solusi C1 dari Unified State Examination.

Saya menganggap disarankan untuk menyelesaikan persamaan untuk setiap metode bersama-sama dengan siswa.

Siswa menentukan solusinya, guru menuliskannya di tablet, dan seluruh proses ditampilkan di layar. Ini akan memungkinkan Anda mengingat materi yang telah dibahas sebelumnya dengan cepat dan efektif.

Selesaikan persamaan:

1) mengganti variabel 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisasi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) persamaan homogen sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) mengubah jumlah tersebut menjadi hasil kali cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) mengubah hasil kali menjadi jumlah 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) pengurangan derajat sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substitusi trigonometri universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Saat menyelesaikan persamaan ini, perlu dicatat bahwa penggunaan metode ini menyebabkan penyempitan rentang definisi, karena sinus dan kosinus digantikan oleh tg(x/2). Oleh karena itu, sebelum menuliskan jawabannya, Anda perlu memeriksa apakah bilangan-bilangan dari himpunan π + 2πn, n Z merupakan kuda-kuda dari persamaan ini.

8) pengenalan sudut bantu √3sinx + cosx - √2 = 0

9) perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pemilihan akar persamaan trigonometri (20 menit)

Karena dalam kondisi persaingan yang ketat ketika memasuki perguruan tinggi, menyelesaikan ujian bagian pertama saja tidak cukup, sebagian besar siswa harus memperhatikan tugas-tugas bagian kedua (C1, C2, C3).

Oleh karena itu, tujuan pembelajaran tahap ini adalah untuk mengingat materi yang telah dipelajari sebelumnya dan mempersiapkan diri untuk menyelesaikan soal C1 dari Unified State Exam 2011.

Ada persamaan trigonometri yang mengharuskan Anda memilih akar-akarnya saat menuliskan jawabannya. Hal ini disebabkan oleh beberapa batasan, misalnya: penyebut pecahan tidak sama dengan nol, ekspresi di bawah akar genap adalah non-negatif, ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif, dll.

Persamaan tersebut dianggap sebagai persamaan yang kompleksitasnya meningkat dan pada versi Unified State Exam terdapat pada bagian kedua yaitu C1.

Selesaikan persamaan:

Pecahan sama dengan nol jika maka menggunakan lingkaran satuan kita akan memilih akarnya (lihat Gambar 1)

Gambar 1.

kita mendapatkan x = π + 2πn, n Z

Jawaban: π + 2πn, n Z

Di layar, pemilihan akar ditampilkan pada lingkaran dalam gambar berwarna.

Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan busur tidak kehilangan maknanya. Kemudian

Dengan menggunakan lingkaran satuan, kita memilih akar-akarnya (lihat Gambar 2)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Sekolah Menengah"

Nomor 18"

Engels, wilayah Saratov.

Guru matematika.

« Ekspresi trigonometri dan transformasi mereka"

Pendahuluan…………………………………………………………………………………......3

Bab 1 Klasifikasi tugas penggunaan transformasi ekspresi trigonometri ……………………….…………………...5

1.1. Tugas perhitungan nilai ekspresi trigonometri……….5

1.2.Tugas menyederhanakan ekspresi trigonometri.... 7

1.3. Tugas untuk mengubah ekspresi trigonometri numerik.....7

1.4 Tugas tipe campuran………………………………………………….....9

Bab 2. Aspek metodologis pengorganisasian pengulangan akhir topik “Transformasi ekspresi trigonometri”……………………………11

2.1 Pengulangan tematik di kelas 10…………………………………………………...11

Tes 1…………………………………………………………………………………..12

Tes 2…………………………………………………………………………………..13

Tes 3………………………………………………………………………..14

2.2 Pengulangan akhir di kelas 11…………………………………………………...15

Tes 1…………………………………………………………………………………..17

Tes 2…………………………………………………………………………………..17

Tes 3………………………………………………………………………..18

Kesimpulan.................................................................................................................................19

Daftar referensi…………………………………………………..…….20

Perkenalan.

Dalam kondisi saat ini, pertanyaan yang paling penting adalah: “Bagaimana kami dapat membantu menghilangkan beberapa kesenjangan dalam pengetahuan siswa dan memperingatkan mereka terhadap kemungkinan kesalahan dalam Ujian Negara Bersatu?” Untuk mengatasi masalah ini, siswa perlu mencapai bukan asimilasi formal materi program, tetapi pemahaman yang mendalam dan sadar, pengembangan kecepatan perhitungan dan transformasi lisan, serta pengembangan keterampilan dalam memecahkan masalah sederhana “di pikiran." Penting untuk meyakinkan siswa bahwa hanya jika mereka memiliki posisi aktif, ketika mempelajari matematika, asalkan mereka memperoleh keterampilan dan kemampuan praktis serta penerapannya, mereka dapat mengandalkan kesuksesan yang sebenarnya. Setiap kesempatan yang ada perlu dimanfaatkan untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu, termasuk mata pelajaran pilihan di kelas 10-11, dan melakukan review secara berkala. tugas-tugas sulit dengan siswa, memilih cara yang paling rasional untuk memecahkan masalah dalam pelajaran dan kelas tambahan.Hasil positif dibidang pemecahan masalah standar dapat dicapai jika guru matematika, dengan menciptapelatihan dasar siswa yang baik, mencari cara baru untuk memecahkan masalah yang terbuka bagi kita, aktif bereksperimen, menerapkan modern teknologi pendidikan, metode, teknik yang menciptakan kondisi yang menguntungkan bagi realisasi diri yang efektif dan penentuan nasib sendiri siswa dalam kondisi sosial baru.

Trigonometri – komponen kursus matematika sekolah. Pengetahuan yang baik dan keterampilan yang kuat dalam trigonometri merupakan bukti tingkat budaya matematika yang memadai, suatu kondisi yang sangat diperlukan untuk berhasil mempelajari matematika, fisika, dan sejumlah bidang teknis di sebuah universitas. disiplin ilmu.

Relevansi pekerjaan. Sebagian besar lulusan sekolah menunjukkan persiapan yang sangat buruk dari tahun ke tahun pada bagian penting matematika ini, terbukti dari hasil tahun-tahun sebelumnya (persentase penyelesaian tahun 2011 - 48,41%, 2012 - 51,05%), sejak analisis kelulusan ujian negara terpadu menunjukkan bahwa siswa melakukan banyak kesalahan ketika menyelesaikan tugas di bagian tertentu atau tidak mengerjakan tugas tersebut sama sekali. Jadi satu ujian negara Soal trigonometri ditemukan di hampir tiga jenis tugas. Ini termasuk penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana pada tugas B5, dan mengerjakan ekspresi trigonometri pada tugas B7, dan mempelajari fungsi trigonometri pada tugas B14, serta tugas B12, yang di dalamnya terdapat rumus-rumus yang menjelaskan fenomena fisik dan mengandung fungsi trigonometri. Dan ini hanya sebagian dari tugas B! Namun ada juga persamaan trigonometri favorit dengan pemilihan akar C1, dan “tidak begitu favorit” tugas geometris C2 dan C4.

Tujuan pekerjaan. Menganalisa Materi Ujian Negara Bersatu tugas B7, dikhususkan untuk transformasi ekspresi trigonometri dan mengklasifikasikan tugas menurut bentuk penyajiannya dalam tes.

Karya ini terdiri dari dua bab, pendahuluan dan kesimpulan. Pendahuluan menekankan relevansi karya. Bab pertama memberikan klasifikasi tugas untuk menggunakan transformasi ekspresi trigonometri menjadi tugas tes Ujian Negara Bersatu (2012).

Bab kedua membahas pengorganisasian pengulangan topik “Transformasi ekspresi trigonometri” di kelas 10 dan 11 dan tes pada topik ini dikembangkan.

Daftar referensi mencakup 17 sumber.

Bab 1. Klasifikasi tugas menggunakan transformasi ekspresi trigonometri.

Sesuai dengan standar pendidikan menengah (lengkap) dan persyaratan tingkat persiapan peserta didik, kodifier persyaratan mencakup tugas-tugas pengetahuan dasar-dasar trigonometri.

Mempelajari dasar-dasar trigonometri akan paling efektif jika:

    motivasi positif akan diberikan kepada siswa untuk mengulang materi yang telah dipelajari sebelumnya;

    V proses pendidikan pendekatan yang berpusat pada manusia akan diterapkan;

    sistem tugas akan digunakan yang membantu memperluas, memperdalam, dan mensistematisasikan pengetahuan siswa;

    Teknologi pedagogis tingkat lanjut akan digunakan.

Setelah menganalisis literatur dan sumber daya Internet tentang persiapan Ujian Negara Bersatu, kami telah mengusulkan salah satu kemungkinan klasifikasi tugas B7 (KIM Unified State Exam 2012-trigonometri): tugas perhitungannilai ekspresi trigonometri; tugas untukmengkonversi ekspresi trigonometri numerik; tugas untuk mengubah ekspresi trigonometri literal; tugas tipe campuran.

1.1. Tugas perhitungan arti ekspresi trigonometri.

Salah satu jenis soal trigonometri sederhana yang paling umum adalah menghitung nilai fungsi trigonometri dari nilai salah satunya:

a) Penggunaan identitas dasar trigonometri dan konsekuensinya.

Contoh 1 . Temukan jika
Dan
.

Larutan.
,
,

Karena , Itu
.

Menjawab.

Contoh 2 . Menemukan
, Jika
Dan .

Larutan.
,
,
.

Karena , Itu
.

Menjawab. .

b) Menggunakan rumus sudut ganda.

Contoh 3 . Menemukan
, Jika
.

Larutan. , .

Menjawab.
.

Contoh 4 . Temukan arti dari ekspresi tersebut
.

Larutan. .

Menjawab.
.

1. Menemukan , Jika
Dan
. Menjawab. -0,2

2. Menemukan , Jika
Dan
. Menjawab. 0,4

3. Menemukan
, Jika . Menjawab. -12.884. Menemukan
, Jika
. Menjawab. -0,845. Temukan arti dari ungkapan:
. Menjawab. 66. Temukan arti dari ekspresi tersebut
.Menjawab. -19

1.2.Tugas menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus reduksi harus dipahami dengan baik oleh siswa, karena rumus tersebut akan diterapkan lebih lanjut dalam geometri, fisika, dan disiplin ilmu terkait lainnya.

Contoh 5 . Sederhanakan Ekspresi
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Tugas untuk solusi mandiri:

1. Sederhanakan ekspresi tersebut
. Menjawab. 0,62. Menemukan
, Jika
Dan. Menjawab. 10.563. Temukan arti dari ekspresi tersebut
, Jika
. Menjawab. 2

1.3. Tugas untuk mengubah ekspresi trigonometri numerik.

Saat melatih keterampilan tugas-tugas mengkonversi ekspresi trigonometri numerik, Anda harus memperhatikan pengetahuan tentang tabel nilai fungsi trigonometri, sifat-sifat paritas dan periodisitas fungsi trigonometri.

a) Menggunakan nilai eksak fungsi trigonometri untuk beberapa sudut.

Contoh 6 . Menghitung
.

Larutan.
.

Menjawab.
.

b) Menggunakan properti paritas fungsi trigonometri.

Contoh 7 . Menghitung
.

Larutan. .

Menjawab.

V) Menggunakan properti periodisitasfungsi trigonometri.

Contoh 8 . Temukan arti dari ekspresi tersebut
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Tugas untuk solusi mandiri:

1. Temukan arti dari ekspresi tersebut
. Menjawab. -40.52. Temukan arti dari ungkapan tersebut
. Menjawab. 17

3. Temukan arti dari ekspresi tersebut
. Menjawab. 6


. Menjawab. -24
Menjawab. -64

1.4 Tugas tipe campuran.

Bentuk tes sertifikasi mempunyai ciri-ciri yang sangat signifikan, sehingga penting untuk memperhatikan tugas-tugas yang berkaitan dengan penggunaan beberapa rumus trigonometri secara bersamaan.

Contoh 9. Menemukan
, Jika
.

Larutan.
.

Menjawab.
.

Contoh 10 . Menemukan
, Jika
Dan
.

Larutan. .

Karena , Itu
.

Menjawab.
.

Contoh 11. Menemukan
, Jika .

Larutan. , ,
,
,
,
,
.

Menjawab.

Contoh 12. Menghitung
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Contoh 13. Temukan arti dari ekspresi tersebut
, Jika
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Tugas untuk solusi mandiri:

1. Menemukan
, Jika
. Menjawab. -1,75
2. Menemukan
, Jika
. Menjawab. 33. Temukan
, Jika .Menjawab. 0,254. Temukan arti dari ungkapan tersebut
, Jika
. Menjawab. 0,35. Temukan arti dari ungkapan tersebut
, Jika
. Menjawab. 5

Bab 2. Aspek metodologis pengorganisasian pengulangan akhir topik “Transformasi ekspresi trigonometri.”

Salah satu masalah terpenting yang berkontribusi pada peningkatan lebih lanjut prestasi akademik dan pencapaian pengetahuan yang mendalam dan bertahan lama di kalangan siswa adalah masalah pengulangan materi yang telah dibahas sebelumnya. Praktek menunjukkan bahwa di kelas 10 lebih tepat untuk mengatur pengulangan tematik; di kelas 11 - pengulangan terakhir.

2.1. Revisi tematik di kelas 10.

Sedang dalam proses pengerjaan materi matematika khususnya sangat penting memperoleh pengulangan setiap topik yang diselesaikan atau seluruh bagian kursus.

Dengan pengulangan tematik, pengetahuan siswa terhadap suatu topik disistematisasikan pada tahap akhir penyelesaiannya atau setelah jeda tertentu.

Untuk pengulangan tematik, pelajaran khusus dialokasikan, di mana materi satu topik tertentu dikonsentrasikan dan digeneralisasikan.

Pengulangan dalam pembelajaran dilakukan melalui percakapan dengan keterlibatan siswa secara luas dalam percakapan tersebut. Setelah itu, siswa diberi tugas untuk mengulang topik tertentu dan diperingatkan bahwa akan dilakukan tes.

Tes tentang suatu topik harus mencakup semua pertanyaan utamanya. Setelah menyelesaikan pekerjaan, kesalahan karakteristik dianalisis dan pengulangan diatur untuk menghilangkannya.

Untuk pelajaran pengulangan tematik, kami menawarkan pengembangan pekerjaan penilaian dalam bentuk tes pada topik "Transformasi ekspresi trigonometri."

Tes No.1

Tes No.2

Tes No.3

tabel jawaban

Tes

2.2. Ulasan akhir di kelas 11.

Pengulangan akhir dilakukan pada tahap akhir pembelajaran pokok bahasan mata kuliah matematika dan dilakukan dalam hubungan logis dengan pembelajaran. materi pendidikan untuk bagian ini atau kursus secara keseluruhan.

Pengulangan akhir materi pendidikan memiliki tujuan sebagai berikut:

1. Aktivasi seluruh materi kursus pelatihan untuk memperjelas struktur logisnya dan membangun sistem dalam hubungan mata pelajaran dan antar mata pelajaran.

2. Memperdalam dan, jika mungkin, memperluas pengetahuan siswa tentang pokok-pokok mata kuliah dalam proses pengulangan.

Dalam konteks ujian matematika wajib bagi semua lulusan, penerapan UN Unified State secara bertahap memaksa guru untuk mengambil pendekatan baru dalam mempersiapkan dan melaksanakan pembelajaran, dengan mempertimbangkan kebutuhan untuk memastikan bahwa semua anak sekolah menguasai materi pendidikan pada tingkat dasar. tingkat, serta kesempatan bagi siswa yang termotivasi yang tertarik untuk memperoleh nilai tinggi untuk masuk ke universitas, kemajuan dinamis dalam penguasaan materi pada tingkat lanjutan dan tinggi.

Selama pelajaran revisi akhir, Anda dapat mempertimbangkan tugas-tugas berikut:

Contoh 1 . Hitung nilai ekspresi.Larutan. =
= =
=
=
=
=0,5. Menjawab. 0,5. Contoh 2. Tentukan nilai bilangan bulat terbesar yang dapat diterima ekspresi
.

Larutan. Karena
dapat mengambil nilai apa pun, milik segmen tersebut[-1; 1], lalu
mengambil nilai segmen apa pun [–0,4; 0,4], oleh karena itu. Ekspresi tersebut memiliki satu nilai integer – angka 4.

Jawaban: 4 Contoh 3 . Sederhanakan ekspresi tersebut
.

Solusi: Mari kita gunakan rumus memfaktorkan jumlah kubus: . Kita punya

Kita punya:
.

Jawaban 1

Contoh 4. Menghitung
.

Larutan. .

Jawaban: 0,28

Untuk pelajaran revisi akhir, kami menawarkan tes yang dikembangkan dengan topik “Transformasi ekspresi trigonometri.”

Masukkan bilangan bulat terbesar tidak melebihi 1

Kesimpulan.

Setelah mengerjakan yang sesuai literatur metodologis pada topik ini dapat kita simpulkan bahwa kemampuan dan keterampilan dalam memecahkan masalah berkaitan dengan transformasi trigonometri V kursus sekolah matematika sangatlah penting.

Selama pekerjaan yang dilakukan, klasifikasi tugas B7 dilakukan. Rumus trigonometri yang paling sering digunakan dalam CMM pada tahun 2012 dipertimbangkan. Contoh tugas dengan solusi diberikan. Tes yang dibedakan telah dikembangkan untuk mengatur pengulangan dan mensistematisasikan pengetahuan dalam persiapan Ujian Negara Bersatu.

Dianjurkan untuk melanjutkan pekerjaan yang dimulai dengan mempertimbangkan menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana pada tugas B5, mempelajari fungsi trigonometri pada tugas B14, tugas B12 yang berisi rumus-rumus yang menggambarkan fenomena fisis dan memuat fungsi trigonometri.

Sebagai kesimpulan, saya ingin mencatat efektivitasnya lulus Ujian Negara Bersatu sangat ditentukan oleh seberapa efektif proses pelatihan diselenggarakan pada semua jenjang pendidikan, dengan semua kategori siswa. Dan jika kita mampu menanamkan kemandirian, tanggung jawab dan kesiapan siswa untuk terus belajar sepanjang hayatnya, maka kita tidak hanya akan memenuhi ketertiban negara dan masyarakat, tetapi juga meningkatkan harga diri kita sendiri.

Pengulangan materi pendidikan memerlukan guru karya kreatif. Ia harus memberikan hubungan yang jelas antara jenis pengulangan dan menerapkan sistem pengulangan yang dipikirkan secara mendalam. Menguasai seni mengatur pengulangan adalah tugas guru. Kekuatan pengetahuan siswa sangat bergantung pada solusinya.

Literatur.

    Vygodsky Ya.Ya., Buku Pegangan matematika dasar. -M.: Nauka, 1970.

    Soal peningkatan kesulitan aljabar dan analisis dasar: Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah atas/ B.M. Ivlev, SAYA. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwartzburd. – M.: Pendidikan, 1990.

    Penerapan rumus dasar trigonometri untuk mentransformasikan ekspresi (kelas 10) //Festival ide-ide pedagogis. 2012-2013.

    Koryanov A.G. , Prokofiev A.A. Kami mempersiapkan siswa yang baik dan berprestasi untuk Ujian Negara Bersatu. - M.: Universitas Pedagogis“Pertama September”, 2012.- 103 hal.

    Kuznetsova E.N. Menyederhanakan ekspresi trigonometri. Penyelesaian persamaan trigonometri menggunakan berbagai metode (persiapan Ujian Negara Bersatu). kelas 11. 2012-2013.

    Kulanin E. D. 3000 soal kompetitif dalam matematika. Edisi ke-4, benar. dan tambahan – M.: Rolf, 2000.

    Mordkovich A.G. Masalah metodologis mempelajari trigonometri di sekolah Menengah// Matematika di sekolah. 2002. Nomor 6.

    Pichurin L.F. Tentang trigonometri dan bukan hanya tentangnya: -M. Pencerahan, 1985

    Reshetnikov N.N. Trigonometri di sekolah: -M. : Universitas Pedagogis “Pertama September”, 2006, lx 1.

    Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematika. Aljabar. Awal mula analisis matematis Tingkat profil: buku teks untuk kelas 10 - M.: BINOM. Laboratorium Pengetahuan, 2007.

    Portal pendidikan untuk persiapan Ujian Negara Bersatu.

    Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika “Oh, ini trigonometri! http://festival.1september.ru/articles/621971/

    Proyek "Matematika? Mudah!!!" http://www.resolventa.ru/

Video pembelajaran “Menyederhanakan Ekspresi Trigonometri” dirancang untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam menyelesaikan masalah trigonometri dengan menggunakan identitas trigonometri dasar. Pada video pembelajaran dibahas jenis-jenis identitas trigonometri dan contoh penyelesaian masalah dengan menggunakannya. Dengan menggunakan alat peraga, guru lebih mudah mencapai tujuan pembelajaran. Penyajian materi yang jelas membantu mengingat poin-poin penting. Penggunaan efek animasi dan voice-over memungkinkan Anda menggantikan guru sepenuhnya pada tahap penjelasan materi. Dengan demikian, dengan menggunakan alat peraga ini dalam pembelajaran matematika, guru dapat meningkatkan efektivitas pengajaran.

Di awal video pelajaran, topiknya diumumkan. Kemudian kita mengingat kembali identitas trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya. Layar menampilkan persamaan sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, dimana t≠π/2+πk untuk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, benar untuk t≠πk, dimana kϵZ, tg t· ctg t=1, untuk t≠πk/2, dimana kϵZ, disebut identitas trigonometri dasar. Perlu dicatat bahwa identitas ini sering digunakan dalam memecahkan masalah yang memerlukan pembuktian persamaan atau penyederhanaan suatu ekspresi.

Di bawah ini kami mempertimbangkan contoh penerapan identitas ini dalam memecahkan masalah. Pertama, diusulkan untuk mempertimbangkan pemecahan masalah penyederhanaan ekspresi. Dalam Contoh 1, perlu untuk menyederhanakan ekspresi cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Untuk menyelesaikan contoh ini, pertama-tama keluarkan faktor persekutuan cos 2 t dari tanda kurung. Hasil transformasi dalam tanda kurung ini diperoleh ekspresi 1- cos 2 t yang nilainya dari identitas pokok trigonometri sama dengan sin 2 t. Setelah mentransformasikan ekspresi, jelaslah bahwa satu lagi faktor persekutuan sin 2 t dapat dikeluarkan dari tanda kurung, setelah itu ekspresi tersebut berbentuk sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Dari identitas dasar yang sama kita memperoleh nilai ekspresi dalam tanda kurung sama dengan 1. Sebagai hasil penyederhanaan, kita memperoleh cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Dalam contoh 2, ekspresi cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) perlu disederhanakan. Karena pembilang kedua pecahan mengandung ekspresi biaya, maka dapat dikeluarkan dari tanda kurung sebagai faktor persekutuan. Kemudian pecahan dalam tanda kurung direduksi menjadi penyebut yang sama dengan cara mengalikan (1- sint)(1+ sint). Setelah membawa suku-suku serupa, pembilangnya tetap 2, dan penyebutnya 1 - sin 2 t. Di sisi kanan layar, identitas trigonometri dasar sin 2 t+cos 2 t=1 ditampilkan kembali. Dengan menggunakannya, kita menemukan penyebut pecahan cos 2 t. Setelah mengurangi pecahan, kita memperoleh bentuk sederhana dari ekspresi biaya/(1- sint)+ biaya/(1+ sint)=2/biaya.

Selanjutnya kita perhatikan contoh pembuktian identitas yang menggunakan pengetahuan yang diperoleh tentang identitas dasar trigonometri. Pada contoh 3, perlu dibuktikan identitasnya (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Sisi kanan layar menampilkan tiga identitas yang diperlukan untuk pembuktian - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t dan tg t=sin t/cos t dengan batasan. Untuk membuktikan identitasnya, tanda kurung dibuka terlebih dahulu, setelah itu dibentuk produk yang mencerminkan ekspresi identitas trigonometri utama tg t·ctg t=1. Kemudian menurut identitas dari definisi kotangen, ctg 2 t ditransformasikan. Sebagai hasil transformasi, diperoleh ekspresi 1-cos 2 t. Dengan menggunakan identitas utama, kita menemukan arti dari ungkapan tersebut. Dengan demikian terbukti (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dalam contoh 4, Anda perlu mencari nilai ekspresi tg 2 t+ctg 2 t jika tg t+ctg t=6. Untuk menghitung persamaannya, pertama-tama kuadratkan ruas kanan dan kiri persamaan (tg t+ctg t) 2 =6 2. Rumus perkalian yang disingkat ditampilkan di sisi kanan layar. Setelah membuka tanda kurung di sisi kiri ekspresi, jumlah tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t terbentuk, untuk mentransformasikannya Anda dapat menerapkan salah satu identitas trigonometri tg t·ctg t=1 , yang bentuknya ditampilkan di sisi kanan layar. Setelah transformasi, diperoleh persamaan tg 2 t+ctg 2 t=34. Ruas kiri persamaan tersebut bertepatan dengan kondisi soal, jadi jawabannya adalah 34. Soal terselesaikan.

Video pelajaran “Penyederhanaan ekspresi trigonometri” direkomendasikan untuk digunakan dalam pelajaran matematika sekolah tradisional. Materi tersebut juga akan bermanfaat bagi guru pelaksana pembelajaran jarak jauh. Untuk mengembangkan keterampilan dalam memecahkan masalah trigonometri.

DEKODE TEKS:

"Penyederhanaan ekspresi trigonometri."

Kesetaraan

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kuadrat te ditambah cosinus kuadrat te sama dengan satu)

2)tgt =, untuk t ≠ + πk, kϵZ (tangen te sama dengan perbandingan sinus te terhadap cosinus te dengan te tidak sama dengan pi sebanyak dua ditambah pi ka, ka termasuk dalam zet)

3)ctgt = , untuk t ≠ πk, kϵZ (kotangen te sama dengan perbandingan kosinus te ke sinus te dengan te tidak sama dengan pi ka, ka termasuk dalam zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 untuk t ≠ , kϵZ (hasil kali tangen te dengan kotangen te sama dengan satu jika te tidak sama dengan puncak ka, dibagi dua, ka termasuk zet)

disebut identitas trigonometri dasar.

Mereka sering digunakan dalam menyederhanakan dan membuktikan ekspresi trigonometri.

Mari kita lihat contoh penggunaan rumus ini untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri.

CONTOH 1. Sederhanakan persamaan: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ekspresi a kosinus kuadrat te dikurangi kosinus derajat keempat te ditambah sinus derajat keempat te).

Larutan. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = dosa 2 t 1= dosa 2 t

(kita keluarkan faktor persekutuan cosinus kuadrat te, dalam tanda kurung kita mendapatkan selisih antara kesatuan dan kosinus kuadrat te, yang sama dengan sinus kuadrat te dengan identitas pertama. Kita mendapatkan jumlah pangkat keempat sinus te dari hasil kali cosinus kuadrat te dan sinus kuadrat te. Kita keluarkan faktor persekutuan sinus kuadrat te di luar tanda kurung, dalam tanda kurung kita mendapatkan jumlah kuadrat kosinus dan sinus, yang pada dasarnya adalah identitas trigonometri sama dengan satu. Hasilnya, kita mendapatkan kuadrat sinus te).

CONTOH 2. Sederhanakan ekspresi: + .

(pernyataan adalah jumlah dua pecahan pada pembilang kosinus te pertama pada penyebut satu dikurangi sinus te, pada pembilang kosinus kedua te pada penyebut kedua ditambah sinus te).

(Mari kita keluarkan faktor persekutuan cosinus te dari tanda kurung, dan dalam tanda kurung kita bawa ke penyebut yang sama, yaitu hasil kali satu dikurangi sinus te dengan satu ditambah sinus te.

Pada pembilangnya kita peroleh: satu ditambah sinus te ditambah satu dikurangi sinus te, kita beri bilangan yang sejenis, pembilangnya sama dengan dua setelah dipangkatkan yang sejenis.

Pada penyebut, Anda dapat menerapkan rumus perkalian yang disingkat (selisih kuadrat) dan mendapatkan selisih antara kesatuan dan kuadrat sinus te, yang sesuai dengan identitas trigonometri dasar

sama dengan kuadrat cosinus te. Setelah dikurangi dengan cosinus te kita mendapatkan jawaban akhir: dua dibagi cosinus te).

Mari kita lihat contoh penggunaan rumus ini saat membuktikan ekspresi trigonometri.

CONTOH 3. Buktikan identitas (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (hasil kali selisih kuadrat tangen te dan sinus te dengan kuadrat kotangen te sama dengan kuadrat sinus te).

Bukti.

Mari kita ubah ruas kiri persamaan:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = dosa 2 t

(Mari kita buka tanda kurung; dari hubungan yang diperoleh sebelumnya diketahui bahwa hasil kali kuadrat tangen te dengan kotangen te sama dengan satu. Ingatlah bahwa kotangen te sama dengan rasionya cosinus te dengan sinus te, artinya kuadrat kotangen adalah perbandingan kuadrat cosinus te dengan kuadrat sinus te.

Setelah direduksi dengan sinus kuadrat te kita memperoleh selisih antara kesatuan dan cosinus kuadrat te, yaitu sama dengan sinus kuadrat te). Q.E.D.

CONTOH 4. Tentukan nilai ekspresi tg 2 t + ctg 2 t jika tgt + ctgt = 6.

(jumlah kuadrat garis singgung te dan kotangen te, jika jumlah garis singgung dan kotangennya enam).

Larutan. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan awal:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kuadrat jumlah tangen te dan kotangen te sama dengan enam kuadrat). Mari kita mengingat kembali rumus perkalian yang disingkat: Kuadrat jumlah dua besaran sama dengan kuadrat bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Kita peroleh tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangen kuadrat te ditambah dua kali lipat hasil kali tangen te dengan kotangen te ditambah kotangen kuadrat te sama dengan tiga puluh enam) .

Karena hasil kali tangen te dan kotangen te sama dengan satu, maka tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (jumlah kuadrat tangen te dan kotangen te dan dua sama dengan tiga puluh enam),