Pelajari persentasenya. Mempelajari topik “Persentase” di sekolah modern. Persentase dalam matematika. Masalah persentase

Persentase dalam matematika. Masalah yang melibatkan persentase.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Persentase dalam matematika.

Apa yang terjadi persentase dalam matematika? Bagaimana cara memutuskan persen masalah? Pertanyaan-pertanyaan ini muncul, sayangnya, tiba-tiba... Ketika seorang lulusan membaca tugas Ujian Negara Bersatu. Dan mereka menempatkannya di jalan buntu. Namun sia-sia. Ini adalah konsep yang sangat sederhana.

Satu-satunya hal yang perlu Anda ingat adalah apa itu satu persen . Konsep ini adalah kunci utama untuk memecahkan masalah yang melibatkan persentase, dan untuk bekerja dengan persentase secara umum.

Satu persen adalah seperseratus dari suatu angka . Itu saja. Tidak ada lagi kebijaksanaan.

Sebuah pertanyaan yang masuk akal - bagaimana dengan seperseratusnya? tanggal berapa ? Melainkan nomor yang dibahas dalam tugas. Kalau bicara harga, satu persen adalah seperseratus harga. Jika kita berbicara tentang kecepatan, satu persen adalah seperseratus kecepatan. Dan seterusnya. Yang jelas angka yang dimaksud selalu 100%. Dan jika tidak ada angka itu sendiri, maka persentase tidak ada artinya...

Hal lain adalah itu di tugas yang kompleks oh, nomornya sendiri akan disembunyikan sedemikian rupa sehingga Anda tidak akan menemukannya. Namun kami belum menargetkan hal yang rumit. Mari kita tangani persentase dalam matematika.

Bukan tanpa alasan saya menekankan kata-kata satu persen, seperseratus. Mengingat apa itu satu persen, Anda dapat dengan mudah menemukan dua persen, dan tiga puluh empat, dan tujuh belas, dan seratus dua puluh enam! Anda akan menemukan sebanyak yang Anda butuhkan.

Dan ini adalah keterampilan utama untuk memecahkan masalah yang melibatkan persentase.

Bisakah kita mencobanya?

Mari kita cari 3% dari 400. Pertama mari kita cari satu persen. Ini akan menjadi seperseratus, mis. 400/100 = 4. Satu persen sama dengan 4. Berapa persen yang kita perlukan? Tiga. Jadi kita mengalikan 4 dengan tiga. Kami mendapat 12. Itu saja. Tiga persen dari 400 adalah 12.

5% dari 20 adalah 20 dibagi 100 (seratus adalah 1%) dan dikalikan lima (5%):

5% dari 20 akan menjadi 1. Itu saja.

Ini sangat sederhana. Ayo cepat berlatih sebelum lupa!

Temukan berapa jumlahnya:
5% dari 200 rubel.
8% dari 350 kilometer.
120% dari 10 liter.
15% dari 60 derajat.
4% siswa berprestasi dari 25 siswa.
10% siswa miskin dari 20 orang.

Jawaban (dalam kekacauan total): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Angka-angka ini adalah jumlah rubel, gelar, pelajar, dll. Saya tidak menulis berapa banyak, agar lebih menarik untuk diputuskan...

Bagaimana jika kita perlu menuliskannya X% dari suatu angka, misalnya dari 50? Ya, semuanya sama. Satu persen dari 50 – berapa banyak? Benar, 50/100 = 0,5. Dan kami memiliki persentase ini - X. Baiklah, kalikan 0,5 dengan X! Kami mengerti X% dari 50 ini adalah – 0,5x.

Saya harap begitu persentase dalam matematika kamu mengerti. Dan Anda dapat dengan mudah menemukan persentase berapa pun. Itu mudah. Anda sekarang dapat menangani sekitar 60% dari semua persentase masalah! Sudah lebih dari setengahnya. Baiklah, mari kita selesaikan sisanya? Oke, apa pun yang Anda katakan!

Dalam permasalahan yang melibatkan persentase, situasi sebaliknya sering terjadi. Mereka memberi kita jumlah (apapun), tapi kita perlu menemukannya minat . Mari kuasai proses sederhana ini.

3 orang dari 120 – berapa persentasenya? Tidak tahu? Kalau begitu, biarkan saja X persen.

Mari kita hitung X% dari 120 orang. Pada orang. Inilah yang bisa kami lakukan. Bagilah 120 dengan 100 (hitung 1%) dan kalikan dengan X(kami menghitung X%). Kami mendapatkan 1,2 X.

Mari kita pahami hasilnya.

X persen dari 120 orang, ini 1,2 X Manusia . Dan kami memiliki tiga orang seperti itu. Masih menyamakan:

Kita ingat bahwa untuk X kita mengambil jumlah persen. Artinya 3 orang dari 120 orang adalah 2,5%.

Itu saja.

Hal ini dapat dilakukan secara berbeda. Anda bisa melakukannya dengan kecerdikan sederhana, tanpa persamaan apa pun. Mari kita berpikir , berapa kali 3 orang kurang dari 120? Bagilah 120 dengan 3 dan dapatkan 40. Artinya 3 adalah 40 kali lebih kecil dari 120.

Jumlah orang yang dibutuhkan dalam persentase adalah jumlah yang sama kurang dari 100%. Bagaimanapun, 120 orang adalah 100%. Bagilah 100 dengan 40, 100/40 = 2,5

Itu saja. Kami menerima 2,5%.

Ada juga metode proporsi, tetapi pada dasarnya sama dalam versi singkatnya. Semua metode ini benar. Apa pun yang lebih nyaman, familier, dan dapat Anda pahami – anggap saja seperti itu.

Kami berlatih lagi.

Hitung persentasenya:
3 orang dari 12.
10 rubel dari 800.
4 buku teks dari 160 buku.
24 jawaban yang benar untuk 32 pertanyaan.
2 jawaban tebakan untuk 32 pertanyaan.
9 pukulan dari 10 tembakan.

Jawaban (berurutan): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

Dalam proses perhitungan, Anda mungkin menemukan pecahan. Termasuk yang merepotkan, seperti 1.333333... Siapa yang menyuruhmu menggunakan kalkulator? Dirimu sendiri? Tidak dibutuhkan. Menghitung tanpa kalkulator , seperti yang tertulis pada topik “Pecahan”. Ada berbagai macam persentase...

Jadi kita telah menguasai transisi dari kuantitas ke persentase dan sebaliknya. Anda dapat mengambil tugas.

Masalah yang melibatkan persentase.

DI DALAM Tugas Ujian Negara Bersatu berdasarkan minat sangat populer. Dari yang paling sederhana hingga yang paling rumit. Di bagian ini kami mengerjakan tugas-tugas sederhana. DI DALAM tugas-tugas sederhana, sebagai aturan, Anda perlu beralih dari persentase ke jumlah yang dibahas dalam soal. Ke rubel, kilogram, detik, meter, dan seterusnya. Atau sebaliknya. Kami sudah tahu cara melakukan ini. Setelah itu permasalahan menjadi jelas dan mudah untuk diselesaikan. Tidak percaya padaku? Lihat diri mu sendiri.
Mari kita menghadapi masalah seperti itu.

“Naik bus biayanya 14 rubel. Dalam beberapa hari liburan sekolah Diskon 25% telah diperkenalkan untuk pelajar. Berapa biaya perjalanan dengan bus selama liburan sekolah?

Bagaimana cara memutuskan? Jika kita mengetahui berapa 25% dalam rubel– maka tidak ada yang perlu diputuskan. Mari kita kurangi diskon dari harga aslinya - dan selesai!

Tapi kita sudah tahu bagaimana mengenalinya! Berapa banyak yang akan terjadi satu persen dari 14 rubel? Bagian seperseratus. Artinya, 14/100 = 0,14 rubel. Dan kita mempunyai 25 persentase tersebut. Jadi mari kita kalikan 0,14 rubel dengan 25. Kita mendapatkan 3,5 rubel. Itu saja. Kami telah menetapkan jumlah diskon dalam rubel, yang tersisa hanyalah mengetahui tarif baru:

14 – 3,5 = 10,5.

Sepuluh setengah rubel. Inilah jawabannya.

Segera setelah kami beralih dari bunga ke rubel, semuanya menjadi sederhana dan jelas. Ini adalah pendekatan umum untuk memecahkan masalah persentase.

Jelas bahwa tidak semua tugas memiliki dasar yang sama. Ada yang lebih rumit. Coba pikirkan! Kami akan menyelesaikannya sekarang juga. Kesulitannya adalah sebaliknya. Kita diberi sejumlah besaran, tetapi kita perlu mencari persentasenya. Misalnya, tugas ini:

“Sebelumnya, Vasya memecahkan dua dari dua puluh masalah dengan benar. Setelah mempelajari topik tersebut di satu situs yang bermanfaat, Vasya mulai menyelesaikan 16 dari 20 soal dengan benar.Berapa persentase Vasya menjadi lebih bijaksana? Kami menganggap 20 masalah yang terselesaikan adalah 100% cerdas.”

Karena pertanyaannya adalah tentang persentase (dan bukan rubel, kilogram, detik, dll.), maka kita beralih ke persentase. Mari kita cari tahu berapa persentase yang dipecahkan Vasya sebelum pemahaman, berapa persentasenya setelah – dan itu ada di dalam tas!

Kita menghitung. Dua dari 20 masalah – berapa persentasenya? 2 adalah 10 kali lebih kecil dari 20, bukan? Artinya banyaknya masalah dalam persentase akan menjadi 10 kali lebih kecil dari 100%. Artinya, 100/10 = 10.

10%. Ya, Vasya memutuskan sedikit... Tidak ada yang bisa dilakukan di Ujian Negara Bersatu. Tapi sekarang dia menjadi lebih bijaksana, dan memecahkan 16 dari 20 masalah. Mari kita hitung berapa persentasenya? Berapa kali 16 kurang dari 20? Anda tidak bisa mengatakannya begitu saja... Anda harus membaginya.

5/4 kali. Nah, sekarang kita bagi 100 dengan 5/4:

Di Sini. 80% sudah solid. Dan yang paling penting – langit adalah batasnya!

Tapi ini belum menjadi jawabannya! Kita membaca kembali soal tersebut agar tidak membuat kesalahan secara tiba-tiba. Ya, mereka bertanya kepada kami untuk berapa lama Apakah Vasya menjadi satu persen lebih bijaksana? Ya, itu sederhana. 80% - 10% = 70%. Sebesar 70%.

70% adalah jawaban yang benar.

Seperti yang Anda lihat, dalam soal sederhana, cukup mengubah nilai tertentu menjadi persentase, atau persentase tertentu menjadi nilai, dan semuanya menjadi lebih jelas. Jelas bahwa permasalahan ini mungkin mengandung fitur-fitur tambahan. Yang seringkali tidak ada hubungannya dengan persentase sama sekali. Hal utama di sini adalah membaca kondisi dengan cermat dan perlahan-lahan mengungkap masalahnya selangkah demi selangkah. Kita akan membicarakan hal ini di topik berikutnya.

Namun ada satu penyergapan serius dalam masalah yang melibatkan persentase! Banyak orang yang terjerumus ke dalamnya, ya... Penyergapan ini terlihat cukup polos. Misalnya, inilah masalahnya.

“Buku catatan cantik berharga 40 rubel di musim panas. Sebelum memulai tahun ajaran, penjual menaikkan harga sebesar 25%. Namun, penjualan notebook mulai sangat buruk sehingga ia menurunkan harganya sebesar 10%. Mereka masih tidak menerimanya! Dia harus menurunkan harga sebesar 15%. Di sinilah perdagangan dimulai! Berapa harga akhir buku catatan itu?”

Nah, bagaimana caranya? Dasar?

Jika Anda dengan cepat dan gembira menjawab “40 rubel!”, maka Anda disergap...

Caranya adalah bunga selalu dihitung dari sesuatu .

Jadi kami menghitung. Berapa lama rubel apakah penjual menaikkan harga? 25% dari 40 rubel - itu 10 rubel. Artinya, notebook yang menjadi lebih mahal kini berharga 50 rubel. Ini bisa dimengerti, bukan?

Dan sekarang kita perlu menurunkan harga sebesar 10% dari 50 rubel. Dari 50, bukan 40! 10% dari 50 rubel adalah 5 rubel. Akibatnya, setelah penurunan harga pertama, harga notebook mulai 45 rubel.

Kami mempertimbangkan penurunan harga yang kedua. 15% dari 45 rubel ( dari 45, bukan 40, atau 50! ) adalah 6,75 rubel. Oleh karena itu, harga akhir notebook tersebut adalah:

45 – 6,75 = 38,25 rubel.

Seperti yang Anda lihat, keuntungannya adalah bunga dihitung setiap kali dari harga baru. Dari yang terakhir. Hal ini hampir selalu terjadi. Jika dalam soal kenaikan-penurunan suatu nilai secara berurutan tidak dinyatakan dalam teks biasa, dari apa Untuk menghitung persentase, Anda perlu menghitungnya dari nilai terakhir. Dan itu benar. Bagaimana penjual mengetahui berapa kali harga notebook ini naik turun dan berapa harganya di awal...

Ngomong-ngomong, sekarang kamu mungkin berpikir, kenapa kalimat terakhir tertulis di soal tentang Vasya yang pintar? Yang ini: " Apakah kami menganggap 20 masalah yang terselesaikan sebagai 100% cerdas? Sepertinya semuanya sudah jelas... Uh-uh... Bagaimana mengatakannya. Jika frasa ini tidak ada, Vasya mungkin menghitung keberhasilan awalnya sebagai 100%. Artinya, dua masalah terpecahkan. Dan 16 tugas delapan kali lebih banyak. Itu. 800%! Vasya akan dapat berbicara secara wajar tentang kebijaksanaannya sendiri sebanyak 700%!

Anda juga dapat mengambil 16 tugas untuk 100%. Dan dapatkan jawaban baru. Juga benar...

Oleh karena itu kesimpulannya: Hal terpenting dalam soal yang melibatkan persentase adalah menentukan dengan jelas dari berapa persentase tertentu yang harus dihitung.

Ngomong-ngomong, ini juga penting dalam hidup. Dimana persentase digunakan. Di toko, bank, di segala macam promosi. Jika tidak, Anda mengharapkan diskon 70%, tetapi Anda mendapat 7%. Dan bukan diskon, tapi kenaikan harga... Dan semuanya adil, saya sendiri salah perhitungan.

Nah, Anda mendapat gambaran tentang persentase dalam matematika. Mari kita perhatikan hal yang paling penting.

Saran praktis:

1. Dalam soal yang melibatkan persentase, kita beralih dari persentase ke besaran tertentu. Atau, jika perlu, dari nilai tertentu ke persentase. Baca tugas dengan cermat!

2. Kami belajar dengan sangat cermat, dari apa bunga harus dihitung. Jika hal ini tidak dinyatakan secara langsung, maka hal ini tersirat. Saat mengubah nilai secara berurutan, persentase diasumsikan dari nilai terakhir. Bacalah tugas tersebut dengan cermat!

3. Setelah selesai menyelesaikan soal, bacalah kembali. Sangat mungkin Anda telah menemukan jawaban perantara, bukan jawaban akhir. Bacalah tugas tersebut dengan cermat!

Selesaikan beberapa masalah yang melibatkan persentase. Untuk mengkonsolidasikan, boleh dikatakan begitu. Dalam teka-teki ini saya mencoba mengumpulkan semua kesulitan utama yang menunggu para pemecahnya. Penggaruk itulah yang paling sering diinjak. Di sini mereka:

1. Logika dasar dalam analisis permasalahan sederhana.

2. Pilihan tepat jumlah persentase yang harus dihitung. Berapa banyak orang yang tersandung dalam hal ini! Tapi ada aturan yang sangat sederhana...

3. Bunga demi bunga. Memang hal kecil tapi sangat mengganggu..

4. Dan satu lagi garpu rumput. Hubungan antara persentase dan pecahan dan bagian. Menerjemahkannya satu sama lain.

“50 orang mengikuti olimpiade matematika. 68% siswa memecahkan sedikit masalah. 75% dari sisanya memecahkan masalah-masalah sedang, dan sisanya memecahkan banyak masalah. Berapa banyak orang yang berhasil memecahkan banyak masalah?

Petunjuk. Jika Anda mendapatkan siswa pecahan, ini salah. Bacalah soal dengan seksama, ada satu kata penting disana... Masalah lainnya:

“Vasya (ya, sama!) sangat suka donat dengan selai. Yang dipanggang di toko roti, satu perhentian dari rumah. Donat berharga 15 rubel masing-masing. Memiliki 43 rubel, Vasya pergi ke toko roti dengan bus seharga 13 rubel. Dan di toko roti ada promosi “Diskon semuanya - 30%!!!”. Pertanyaan: berapa banyak lagi donat yang Vasya tidak mampu beli karena kemalasannya (dia bisa saja jalan-jalan kan?)”

Masalah singkat.

Berapa persen 4 kurang dari 5?

Berapa persentase 5 lebih besar dari 4?

Tugas yang panjang...

Kolya mendapat pekerjaan sederhana yang melibatkan perhitungan bunga. Saat wawancara, bos dengan senyum licik menawarkan Kolya dua pilihan remunerasi. Menurut opsi pertama, Kolya segera diberi tarif 15.000 rubel per bulan. Menurut Kolya kedua, jika setuju, untuk 2 bulan pertama gajinya akan dikurangi 50%. Mirip seperti seorang pemula. Tapi kemudian mereka akan meningkatkan pengurangan gajinya sebanyak 80%!

Kolya mengunjungi situs bermanfaat di Internet... Oleh karena itu, setelah berpikir selama enam detik, dia memilih opsi pertama dengan sedikit senyuman. Bos tersenyum kembali dan memberi Kolya gaji tetap sebesar 17.000 rubel.

Pertanyaan: Berapa banyak uang per tahun (dalam ribuan rubel) yang dimenangkan Kolya dalam wawancara ini? Dibandingkan dengan pilihan terburuk? Dan satu hal lagi: kenapa mereka selalu tersenyum!?)

Masalah singkat lainnya.

Temukan 20% dari 50%.

Dan lagi panjang.)

Kereta cepat No. 205 "Krasnoyarsk - Anapa" berhenti di stasiun "Syzran-Gorod". Vasily dan Kirill pergi ke toko stasiun untuk membeli es krim untuk Lena dan hamburger untuk diri mereka sendiri. Ketika mereka membeli semua yang mereka butuhkan, petugas kebersihan toko mengatakan bahwa kereta mereka telah berangkat... Vasily dan Kirill dengan cepat berlari dan berhasil melompat ke dalam gerbong. Pertanyaan: apakah pelari juara dunia punya waktu untuk naik kereta dalam kondisi seperti ini?
Kami percaya bahwa dalam kondisi normal, juara dunia berlari 30% lebih cepat dari Vasily dan Kirill. Namun, keinginan untuk mengejar kereta (itu yang terakhir), mentraktir Lena es krim dan makan hamburger, meningkatkan kecepatan mereka sebesar 20%. Dan es krim dengan hamburger di tangan sang juara dan sandal jepit di kakinya akan mengurangi kecepatannya sebesar 10%...

Tapi ini soal tanpa persentase... Saya bertanya-tanya mengapa ini ada di sini?)

Tentukan berapa berat 3/4 buah apel jika berat seluruh apel adalah 200 gram?

Dan yang terakhir.

Di kereta cepat No. 205 "Krasnoyarsk - Anapa", sesama pelancong sedang memecahkan teka-teki silang. Lena menebak 2/5 dari semua kata, dan Vasily menebak sepertiga sisanya. Kemudian Kirill bergabung dan memecahkan 30% dari seluruh teka-teki silang! Seryozha menebak 5 kata terakhir. Berapa banyak kata yang ada di scanword? Benarkah Lena yang paling banyak menebak kata?

Jawabannya ada dalam susunan tradisional dan tanpa nama satuan. Di mana donatnya, di mana siswanya, di mana rubel dengan bunganya - itu Anda...

10; 50; Ya; 4; 20; TIDAK; 54; 2; 25; 150.

Jadi gimana? Jika semuanya menyatu - selamat! Minat bukanlah masalah Anda. Anda dapat dengan aman pergi bekerja di bank.)

Apakah ada yang salah? Tidak bekerja? Tidak tahu cara menghitung persentase suatu angka dengan cepat? Tidak tahu aturan yang sangat sederhana dan jelas? Dari apa menghitung bunga, misalnya? Atau bagaimana cara mengubah pecahan menjadi persentase?

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Uang telah menjadi begitu kuat dalam kehidupan kita sehingga kita semua, tanpa memandang usia, jenis kelamin, dan metode memperoleh pendapatan, dari waktu ke waktu menemukan diri kita dalam situasi di mana kita terpaksa mengambil keputusan yang memerlukan perhitungan keuangan. Dan tergantung pada kemampuan kita untuk beroperasi dengan kategori keuangan tertentu, seberapa menguntungkan opsi yang kita pilih nantinya. Pada artikel ini kita akan melihat kategori utama matematika keuangan dan menunjukkan bagaimana menggunakannya untuk membuat keputusan yang tepat dalam berbagai situasi.

Minat. Bunga majemuk. Kapitalisasi bunga (Compounding)

Bunga adalah pendapatan yang diterima sebagai pembayaran atas peminjaman uang dalam bentuk apapun. Persentase dapat dinyatakan dalam bentuk absolut atau relatif. Bentuk absolutnya adalah jumlah tertentu untuk jangka waktu tertentu. Relatif - berupa tingkat bunga yang terikat pada jangka waktu tertentu (tahun, bulan atau hari). Untuk menghitung jumlah akumulasi (S), yang kami maksud adalah jumlah pokok ditambah akumulasi bunga, Anda perlu menggunakan rumus berikut:

(1) S = P * (1 + saya * n),
dimana P adalah jumlah bunga yang dihitung, i adalah tingkat bunga, N adalah jumlah periode akrual.

Contoh
Anda memberikan pinjaman kepada seorang teman sebesar $10.000 selama 3 bulan, dengan syarat dia berjanji akan membayar Anda 2% per bulan. Anda perlu menghitung jumlah yang akan Anda terima di akhir jangka waktu pinjaman. Kita mendapatkan 10.000 * (1 + 2% * 3) = $10.600.

Seringkali Anda dapat menghadapi situasi di mana bunga tidak dibayarkan, tetapi ditambahkan ke jumlah yang diinvestasikan, dan mulai periode baru, jumlah tersebut dihitung berdasarkan bunga yang ditambahkan sebelumnya. Bunga tersebut disebut bunga majemuk, dan proses penghitungan bunga atas bunga disebut kapitalisasi bunga. Dalam hal bunga majemuk, jumlah yang masih harus dibayar dihitung secara berbeda:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
dimana arti hurufnya sama seperti pada rumus di atas, dan tanda “^” berarti eksponensial.

Apa perbedaan antara bunga majemuk dan bunga sederhana? Jika bunga sederhana tumbuh secara linier (dengan jumlah yang sama setiap periode), maka bunga majemuk tumbuh secara eksponensial (setiap periode berikutnya jumlah bunganya lebih besar dibandingkan periode sebelumnya). Berkat efek ini, jumlah yang ditempatkan pada bunga majemuk untuk jangka waktu lama jauh lebih besar daripada pertumbuhan jumlah yang ditempatkan pada bunga sederhana. Di bawah ini adalah hasil pertumbuhan simpanan (6% per tahun) dengan bunga sederhana dan bunga majemuk. Jika pada awalnya perbedaannya tetap kecil, maka kemudian mencapai nilai kritis. Jadi, pada tahun 80, simpanan dengan bunga sederhana akan mencapai $58.000, sedangkan simpanan dengan bunga kompleks akan mencapai $1.057.960.

Dalam praktiknya, sering kali terdapat praktik yang periode perhitungan bunganya berbeda dengan bilangan bulat. Dalam situasi seperti ini, rumus untuk menghitung jumlah yang masih harus dibayar dengan bunga sederhana berbentuk:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
dimana d adalah periode bunga yang dinyatakan dalam hari.

Ada juga situasi ketika tingkat bunga dinyatakan dalam satuan tahunan, tetapi bunga dihitung setiap bulan. Dalam kasus seperti itu, rumus untuk menghitung jumlah yang masih harus dibayar (sebagai aturan, bunga majemuk digunakan dalam kasus ini) akan terlihat seperti:

(4) S = P * (1 + saya/m) ^ (n*m),
dimana m adalah jumlah periode perhitungan bunga dalam periode tersebut (biasanya digunakan 12 sesuai jumlah bulan dalam setahun).

Dan terakhir, perhatikan bahwa, apa pun jenis bunganya, semua rumus untuk menghitung jumlah yang masih harus dibayar dapat direduksi menjadi bentuk umum:

(5) S = P * k,
dimana k adalah koefisien akumulasi, yang dihitung dengan berbagai cara tergantung pada jenis bunga yang digunakan. Kesimpulan ini akan sangat memudahkan pemahaman kita terhadap operasi matematika selanjutnya.

Diskon dan esensinya

Konsep bunga yang kita bahas di atas mencerminkan nilai waktu dari uang. Dengan kata lain, karena uang yang kita miliki saat ini dapat memberi kita pendapatan di masa depan dengan menginvestasikannya pada tingkat bunga tertentu, penerimaan kas di masa depan memiliki nilai sekarang yang lebih rendah. Prinsip ini merupakan dasar dari operasi matematika yang disebut pendiskontoan. Mendiskontokan berarti membawa pembayaran di masa depan ke nilai saat ini dan, dalam maknanya, merupakan kebalikan dari peningkatan bunga. Artinya, pendiskontoan menganggap pembayaran di masa depan sebagai jumlah yang masih harus dibayar (S) dan tugas investor adalah menghitung nilainya saat ini (P) berdasarkan tingkat bunga yang tersedia baginya (i). Tergantung pada jenis bunganya, rumus diskonnya adalah sebagai berikut: atau

(6) P = S/(1+i*n)

(7) P = S/(1+i)^n

Tujuan dari diskon adalah untuk menunjukkan kepada kita seberapa besar nilai uang yang akan kita terima di masa depan saat ini, agar tidak membayar lebih untuk pembayaran di masa depan sehubungan dengan alternatif investasi yang tersedia bagi kita. Mari kita lihat beberapa operasi umum yang menggunakan diskon.

Membeli aliran pembayaran di masa depan (transaksi akuntansi)
Obligasi dengan nilai nominal $1.000 dan tingkat bunga 6% per tahun ditawarkan untuk dibeli, dengan pembayaran bunga dilakukan setiap triwulan dan ditebus pada akhir tahun. Tugasnya adalah menghitung nilai kewajiban saat ini berdasarkan tingkat diskonto 15% setiap tahun.

Larutan
Mari kita hitung pendapatan bunga triwulanan dan bangundalam suatu program Unggul tabel arus kas. Mari cari nilai saat ini menggunakan rumus NPV bawaan. Jadi, pada tingkat diskonto 15% per tahun, nilai kini liabilitas keuangan ini adalah $916,22

Catatan

2) Dalam rumus NPV, sebagai pengganti tingkat bunga, kami menempatkan persentase tahunan dibagi 12

Kesetaraan finansial
Para pihak menyepakati syarat pembayaran ruang kantor. Harga tempat tersebut adalah $24,000. Penjual menyetujui pembayaran cicilan dengan ketentuan sebagai berikut: 8.000$ segera, sisanya di bagian yang sama dalam waktu 4 bulan. Namun, ia siap mempertimbangkan jangka waktu cicilan yang lebih lama jika penjual menawarkan jumlah yang lebih besar untuk tempat yang dijual.

Larutan
Mari kita refleksikan persyaratan awal rencana cicilan dalam bentuk tabel di Excel. Mari kita contohkan dalam tabel yang sama sebuah penawaran dengan pembayaran bulanan yang meningkat, sebagai akibatnya harga tempat akan meningkat menjadi $24.400. Mari kita hitung nilai saat ini dari setiap opsi untuk membandingkan kesetaraannya berdasarkan tingkat bunga 10% per tahun. Perhitungan menunjukkan bahwa opsi kedua, meski dengan harga beli lebih tinggi, lebih menguntungkan pembeli dibandingkan opsi pertama

Konsolidasi pembayaran
Konsolidasi pembayaran adalah kegiatan menggabungkan beberapa kewajiban pembayaran menjadi satu pembayaran (S0) dalam jangka waktu tertentu (T0). Keunikan dari operasi ini adalah bahwa semua pembayaran yang diharapkan diterima sebelum tanggal ini dihitung dengan akrual, dan pembayaran yang diharapkan setelahnya dihitung dengan diskon. Tergantung pada jenis persentase yang digunakan, rumus konsolidasinya adalah sebagai berikut:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (T0 - Tn))

(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (T0 - Ta))

Contoh
Anda telah membuka deposit bank sebesar $10.000 selama 12 bulan dengan bunga 10% per tahun. Berapa banyak uang yang perlu Anda setorkan ke rekening Anda untuk bulan ke-14 agar setelah 3 tahun Anda memiliki $15.000 di rekening Anda?

Larutan
Bayangkan permasalahan berupa konsolidasi pembayaran, dimana kontribusi yang ada akan dinyatakan sebagai angka positif, dan jumlah yang diharapkan di masa depan akan dinyatakan sebagai angka negatif. Mengingat bunga dihitung pada tingkat bunga majemuk, maka diperoleh perhitungan sebagai berikut: 10.000*(1+10%/12)^(14-0) - 15.000*(1+10%/12)^(14-36) = 11.232 - 12.496 = -$1.264.

Menentukan tingkat pengembalian internal

Dalam bisnis dan investasi, sering kali terdapat situasi ketika seorang investor mengetahui pembayaran di masa depan dan jumlah investasinya, dan dia perlu menghitung tingkat pertumbuhan di mana jumlah pembayaran di masa depan dikurangi ke nilai saat ini secara numerik akan sama dengan jumlah investasi. . Faktor kenaikan yang dilakukannya keadaan ini, disebut tingkat pengembalian internal (IRR, dalam bahasa Inggris - IRR, pengembalian internal). Untuk menghitung tingkat pengembalian internal, fungsi bawaan program Excel - IRR - digunakan.

Contoh
Seorang investor sedang mempertimbangkan proposal investasi, yang merupakan penyertaan modal dalam pembukaan restoran pizza (lihat di sini). Kita mengetahui: a) jumlah investasi yang diminta; b) rencana keuangan (perkiraan arus kas); c) skema distribusi arus kas. Ringkasan proposal investasi (lihat tabel) berisi 6 opsi profitabilitas. Penting untuk menentukan total profitabilitas dari proposal investasiperbandingan dengan pilihan investasi lainnya.

Larutan
Mari kita buat tabel di Excel tentang arus kas yang akan diterima investor sesuai dengan rencana keuangan (lihat tabel). Mari kita hitung tingkat pengembalian internal menggunakan rumus IRR bawaan, di mana kita menunjukkan semua nilai pembayaran, termasuk investasi awal, sebagai rentang nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) yang dihasilkan = 38,47%. Dengan demikian, total pengembalian yang diharapkan atas usulan investasi yang dipertimbangkan adalah 38,47% per tahun.

Catatan
1) Selama periode ketika tidak ada pembayaran, tetapkan “0”.
2) Untuk mendapatkan tarif VSD tahunan, kalikan nilai yang dihasilkan dengan 12.

Anuitas (sewa keuangan)
Aliran pembayaran, yang semua komponennya positif dan interval waktu antar pembayarannya sama, disebut anuitas atau sewa finansial. Misalnya, anuitas adalah urutan penerimaan bunga obligasi, pembayaran pinjaman konsumen, kontribusi rutin berdasarkan kontrak asuransi akumulatif, dan pembayaran pensiun. Anuitas dicirikan oleh parameter berikut: 1) jumlah setiap pembayaran individu; 2) interval antar pembayaran; 3) durasi pembayaran (ada anuitas abadi); 4) tingkat bunga. Karena rumitnya rumus perhitungan, yang terbaik adalah menggunakan rumus bawaan Excel untuk menghitung berbagai komponen anuitas. Mari kita lihat yang utama.

Saat menghitung pinjaman, digunakan rumus sebagai berikut: PLT (menghitung jumlah pembayaran bulanan), OSPLT (menghitung jumlah pelunasan pokok utang sebagai bagian dari pembayaran bulanan tertentu), PRPLT (menghitung jumlah bunga sebagai bagian dari pembayaran bulanan tertentu).

Contoh
Penting untuk menghitung pembayaran bulanan dan menyusun jadwal pembayaran pinjaman, jumlahnya $10.000, tingkat bunga 20%, jangka waktu 20 bulan.

Larutan
Untuk menghitung pembayaran kami menggunakan rumus PMT. Sebagai pengganti tingkat bunga, kami mengganti nilai bulanan (nilai tahunan dibagi 12), sebagai nilai sekarang kami menunjukkan jumlah pinjaman, nilai masa depan - kami menunjukkan 0. Kami menggunakan nilai yang sama untuk rumus OSPLT dan PRPLT , di mana hanya nomor seri periode. Kami menyajikan nilai yang diperoleh dalam bentuk tabel:

Rumus PMT yang sama dapat digunakan untuk menghitung iuran bulanan untuk mengumpulkan jumlahnya momen tertentu waktu. Untuk melakukan ini, kami menempatkan jumlah uang muka sebagai nilai sekarang, dan jumlah yang diperlukan sebagai nilai masa depan.

Contoh
Anda berusia 25 tahun. Anda membuka rekening tabungan pensiun dengan tingkat bunga 6% per tahun dan menyetor $10.000 dari tabungan Anda ke dalamnya. Mari kita hitung pembayaran bulanan yang harus Anda masukkan ke akun Anda untuk mencapai $100.000 pada usia 45 tahun.

Larutan
Kami menggunakan fungsi PMT. Tingkat bunga 6% / 12, jumlah periode 20 * 12, nilai sekarang $10,000, nilai masa depan $100,000. Dalam hal ini, rumus yang telah selesai akan terlihat seperti ini =PLT(6%/12;20*12;10000;100,000). Kami menerima jumlah pembayaran bulanan sebesar $288.

Seperti yang Anda perhatikan, dalam contoh di atas kami menghitung jumlah pembayaran bulanan, parameter anuitas lainnya diketahui oleh kami. Excel memungkinkan kita menghitung parameter anuitas lainnya - nilai sekarang, nilai masa depan, jumlah pembayaran berkala. Mari kita lihat contoh cara kerja rumus ini.

Contoh perhitungan nilai sekarang
Untuk ulang tahun putra Anda yang ke 10, Anda memutuskan untuk membuka rekening tabungan sehingga dia dapat menabung $10.000 pada ulang tahunnya yang ke 18. Berapa uang muka yang perlu Anda bayarkan ke rekening ini jika rencana kontribusi bulanan Anda adalah $50?

Larutan
Kami menggunakan fungsi PS. Tingkat bunga 6% / 12, jumlah pembayaran 8 * 12, pembayaran berkala $50, nilai masa depan dikurangi $10,000. Dalam hal ini, rumus yang telah selesai akan terlihat seperti ini =PS(6%/12;8*12;50;-10000). Nilai uang muka yang dihasilkan adalah $2390.

Catatan
Nilai negatif pada rumus PS dan BS berarti “Saya akan menerima”, nilai positif berarti “Saya membayar”.

Contoh penghitungan nilai masa depan dan jumlah pembayaran
Dua orang teman memutuskan untuk mendapatkan uang pensiun tambahan untuk diri mereka sendiri. Untuk melakukan hal ini, masing-masing dari mereka membuka rekening tabungan dengan imbal hasil 6% per tahun, satu memberikan kontribusi awal sebesar $3.000, dan yang kedua - $5.000. Yang pertama berusia 25 tahun, yang kedua 30 tahun, keduanya ingin pensiun pada usia 45 tahun. Keduanya bersedia menyumbang $50 setiap bulan. Penting untuk menghitung jumlah tabungan pensiun mereka dan jumlah bulan akrual pensiun dari akumulasi dana, jika pembayaran pensiun direncanakan sebesar $150.

Larutan
Pertama, mari kita hitung jumlah tabungan pensiun. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus BS. Dalam kasus pertama, jumlah pembayaran akan sama dengan 20 * 12, dalam kasus kedua - 15 * 12, nilai sekarang dalam kasus pertama adalah $3000, dalam kasus kedua - $5000, tingkat bunga dalam kedua kasus akan sama menjadi 6% / 12, dan pembayaran berkalanya adalah $50 . Rumus yang dirangkai dalam kasus pertama akan terlihat seperti = BS(6%/12;20*12;50;3000), dalam kasus kedua = BS(6%/12;15*12;50;5000). Dalam kasus pertama, tabungan pensiun akan berjumlah $33.032, dalam kasus kedua - $26.811. Sekarang mari kita hitung periode di mana jumlah akumulasi dapat memberikan pembayaran pensiun di atas. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan fungsi NPER, di mana kita menunjukkan 6%/12 sebagai tingkat bunga, menetapkan $150 sebagai jumlah pembayaran, dan mengganti nilai yang dihasilkan sebagai nilai sekarang. Kami mendapatkan jumlahnya dalam beberapa bulan - 149 untuk bulan pertama dan 128 untuk bulan kedua.

Catatan
Nilai negatif pada rumus menunjukkan bahwa kita menerima pembayaran, jika rumus tersebut diterapkan untuk menghitung pembayaran yang harus dibayar maka nilai yang dihasilkan akan positif.

Anuitas abadi (perpetuity) dan model Gordon

Kasus khusus dari anuitas adalah urutan pembayaran, yang durasinya tidak ditentukan secara kondisional, dan oleh karena itu anuitas ini dianggap abadi. Contoh anuitas abadi adalah konsol, sejenis sekuritas (obligasi) yang bunganya dibebankan tanpa batas waktu, namun nilai nominalnya tidak dikembalikan. Dalam praktiknya, seperti itu sekuritas cukup langka. Contoh yang lebih umum dari anuitas abadi adalah pembayaran dividen jangka panjang yang dilakukan beberapa perusahaan kepada pemegang sahamnya. Untuk menghitung biaya anuitas abadi, model Gordon digunakan:

(10) S = P * (1+g) / (r - g) , dimana S adalah biaya anuitas, P adalah pembayaran saat ini, g adalah tingkat pertumbuhan pembayaran saat ini, r adalah tingkat pengembalian.

Rumus di atas adalah daftar utama alat untuk berbagai jenis perhitungan dan memungkinkan Anda membuat perhitungan sehubungan dengan situasi apa pun. Dalam komentar artikel ini, Anda dapat menjelaskan situasi yang memerlukan perhitungan finansial, dan saya akan mencoba menunjukkan bagaimana peralatan matematika di atas akan membantu Anda dalam menyelesaikannya.

Dalam penyusunan artikel, bahan dari alat bantu mengajar“Matematika Keuangan” Shirshova E.V., N.I. Petrika, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moskow, ed. "Knorus", 2010

Mari kita lihat sebuah contoh:

Harga lemari es di toko naik sebesar. Berapa harga kulkas awalnya seharga RUR?

Larutan:

Pertama, mari kita tentukan berapa rubel biaya lemari es yang berubah (dalam hal ini, meningkat).

Sesuai dengan kondisi - aktif.

Tapi dari apa?

Tentu saja, dari biaya awal kulkas - gosok.

Ternyata kita perlu mencari dari rubel:

Sekarang kita tahu bahwa harga telah naik sebesar RUB.

Yang tersisa hanyalah, menurut aturan, menambahkan jumlah uang kembalian ke biaya awal:

Harga baru dalam rubel.

Contoh lain(coba putuskan sendiri):

Buku “Mathematics for Dummies” berharga RUR di toko. Selama promosi, semua buku dijual dengan harga diskon

Berapa yang harus Anda bayar untuk buku ini sekarang?

Larutan:

Apa itu diskon, mungkin Anda tahu? Diskon berarti harga produk telah dikurangi sebesar

Berapa penurunan harga buku (dalam rubel)?

Anda perlu mencari dari biaya awalnya dalam rubel:

Harganya mengalami penurunan, artinya Anda perlu mengurangi berapa penurunannya dari biaya awal:

Harga baru dalam rubel.

Sederhana bukan?

Namun ada cara untuk membuat keputusan ini lebih mudah dan singkat!

Mari kita lihat sebuah contoh:

Tingkatkan jumlahnya sebesar.

Apa yang setara dengan dari?

Seperti yang kita ketahui sebelumnya, itu akan terjadi.

Sekarang mari kita tambah bilangan x itu sendiri dengan jumlah ini:

Ternyata hasilnya kita menjumlahkan notasi desimal dan mengalikannya dengan angka.

Mari kita rangkum aturan ini:

Katakanlah kita perlu menambah jumlahnya sebesar.

dari nomor - ini.

Maka bilangan barunya akan sama dengan: .

Misalnya, mari kita tambah jumlahnya dengan:

Sekarang coba sendiri:

1. Tingkatkan jumlahnya sebesar
2. Tingkatkan jumlahnya sebesar
3. Berapa persen angkanya lebih besar dari angkanya?

Solusi:

3) Biarkan jumlah yang dibutuhkan persen sama.

Artinya jika jumlahnya ditambah maka akan menjadi :

Jawaban untuk.

Jika bilangan x perlu dikurangi, semuanya sama:

Jadi, aturannya:

Contoh:

1) Kurangi jumlahnya sebanyak.

2) Aktif persentase apa apakah angkanya lebih kecil dari angkanya?

3) Harga suatu produk yang didiskon sama dengan p. Berapa harga tanpa diskon?

Solusi:

2) Jumlahnya berkurang x persen dan mendapatkan:

Jawaban untuk.

3) Biarkan harga tanpa diskon sama. Ternyata x dikurangi dan didapat:

Terakhir, mari kita lihat jenis masalah lain yang sering menimbulkan kebingungan.

Memecahkan masalah kompleks yang melibatkan persentase

Jumlahnya lebih besar dari jumlah by. Pada persentase apa apakah angkanya lebih kecil dari angkanya?

Pertanyaan yang aneh: tentu saja tidak!

Benar?

Tapi tidak.

Misalkan massa sebuah lemari adalah 25 kg lebih banyak massa yang lain, maka tidak diragukan lagi massa kabinet kedua lebih kecil 25 kg dari massa kabinet pertama.

Hidung persen Itu tidak akan berhasil!

Memang benar, dalam kasus pertama, ketika kita mengatakan bahwa suatu bilangan lebih besar dari suatu bilangan, kita menghitung dari bilangan tersebut; dan dalam kasus kedua, ketika kita mengatakan bahwa suatu bilangan lebih kecil dari suatu bilangan, kita menghitung dari bilangan tersebut. Dan karena angkanya berbeda, maka angkanya juga akan berbeda!

Untuk menyelesaikan soal ini dengan benar, mari kita tuliskan kondisinya sebagai persamaan:

Jumlahnya lebih besar dari jumlah by. Artinya jika bilangan tersebut ditambah maka diperoleh bilangan:

Sekarang mari kita tuliskan pertanyaannya dalam bentuk yang sama: jika bilangan a dikurangi persen, kami mendapatkan nomornya:

Mari kita nyatakan bilangan dari persamaan (1):

Dan gantikan (2):

Oleh karena itu:

Jadi, kita mendapatkan bahwa angka tersebut lebih kecil dari angka tersebut!

Masalah serupa sering ditemui dalam Ujian Negara Bersatu.

Misalnya:

Pada hari Senin, harga saham perusahaan naik dalam jumlah tertentu persen, dan pada hari Selasa harganya turun dengan jumlah yang sama persen. Akibatnya, harganya menjadi lebih murah dibandingkan saat perdagangan dibuka pada hari Senin. Pada persentase apa apakah harga saham perusahaan naik pada hari Senin?

Larutan:

Biarkan harga saham pada hari Senin sama, dan jumlah yang dibutuhkan persen, ditulis sebagai pecahan desimal (yaitu sudah dibagi), sama dengan.

Mari kita tuliskan rumus berapa nilai saham setelah kenaikan harga:

Diketahui harga akhir ini lebih rendah dari harga awal. Artinya, jika kita menguranginya, kita mendapatkan:

Mari kita gantikan apa yang diungkapkan sebelumnya:

Berdasarkan kewajaran Hanya solusi positif yang cocok:

Mari kita ingat bahwa ini masih hanya notasi desimal dari kuantitas yang dibutuhkan persen, yaitu kuantitas ini persen, dibagi dengan. Untuk mengkonversi ke minat, Anda perlu mengalikannya dengan 100%:

Di mana kita menggunakan persentase dalam hidup?

Nah, misalnya pada produk perbankan: deposito, pinjaman, KPR, dll.

Jika Anda memahami dengan baik apa itu bunga dan mengetahui cara menyelesaikan persamaan, maka Anda dapat dengan mudah menghitung, misalnya, besarnya pembayaran pinjaman bulanan.

Atau berapa banyak Anda harus membayar lebih dengan mengambil hipotek. Ada tugas seperti itu di Unified State Examination nomor 17.

Minat. Secara singkat tentang hal utama

Satu persen dari angka berapa pun adalah seperseratus dari angka tersebut.

1. Persen dan desimal

2. Ubah angkanya dengan persentase tertentu

Katakanlah kita perlu menambah jumlahnya sebesar.

dari nomor - ini.

Maka bilangan barunya akan sama dengan: .

Untuk menambah suatu angka, Anda perlu mengalikannya dengan.

Jika jumlahnya perlu dikurangi, maka:

Mengurangi suatu angka dengan jumlah tertentu berarti mengurangi nilai ini darinya:

Untuk mengurangi suatu angka, Anda perlu mengalikannya dengan.

, serangkaian artikel tentang keuangan pribadi.

Hari ini kita akan berbicara tentang minat.

Tidak mungkin berinvestasi tanpa memahami apa itu bunga dan bagaimana profitabilitas dihitung.

Sebagai aturan, tidak ada masalah dengan bunga sederhana, siapa pun yang pernah menyimpan uang di bank memahami bahwa, misalnya, tingkat bunga adalah 10% per tahun pada deposito 50.000 rubel. akan memberikan 5000 pendapatan per tahun.

Lebih sulit untuk memahami pengaruh bunga majemuk, tetapi ini sangat penting dalam investasi jangka panjang, yaitu. ketika investasi dilakukan dengan tujuan mencapai kebebasan finansial.

Intinya, dengan bunga majemuk, pendapatan bunga diinvestasikan kembali, sehingga meningkatkan jumlah simpanan. Berikut ini contohnya, misalkan Anda memiliki 100.000 rubel. dan dari mereka Anda menerima 10% dari pendapatan, mis. 10.000 gosok. di tahun.

Pada tahun pertama Anda menerima 10.000 rubel. dan kontribusi Anda meningkat sebesar 10.000 ini, berjumlah 110.000 rubel.

Pada tahun kedua, penghasilan Anda sudah menjadi 10% dari 110.000 rubel, mis. 11.000 rubel, yang juga Anda tambahkan ke deposit, menjadi 110.000 + 11.000 = 121.000 rubel.

Tahun ketiga: 121 ribu rubel Anda kembali menghasilkan 10%, yaitu 12.100 rubel dalam rubel, dan kontribusi Anda pada akhir tahun ketiga akan menjadi 121.000 + 12.100 = 133.100 rubel.

Dll.

Dalam bentuk formalnya, bunga majemuk ditulis sebagai berikut:

FV = PV (1 + r)^n

Di mana F.V.– nilai simpanan di masa depan;PV– biaya awal deposit;R– tingkat pengembalian (profitabilitas);N– jumlah periode.

Nah, periksa rumusnya menggunakan contoh kita FV = 10.000 (1 + 0,1)^3 = 133.100 rubel. Seperti yang Anda lihat, semuanya datang bersamaan :)

Ketika Anda berinvestasi untuk jangka panjang, pentingnya bunga majemuk akan meningkat pesat.

Bayangkan contoh ini: jika harga susu naik 10% per tahun, berapa harganya dalam 20 tahun? Jika saat ini susu berharga 30 rubel per liter, maka jika harga susu meningkat 10% per tahun, dalam 20 tahun susu akan berharga FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 rubel 82 kopeck!

Contoh ini, dengan sangat baik menunjukkan perlunya berinvestasi dan melestarikan modal seseorang, karena modal tersebut juga terdepresiasi sesuai dengan rumus bunga majemuk.

Rumus ini juga disebut “rumus Rothschild”, “rumus setan”, dan dalam bahasa Inggris dan kalangan keuangan disebut “peracikan”.

Segala sesuatu di bumi berubah sesuai dengan rumus bunga majemuk: inflasi, peningkatan konsumsi minyak atau gandum, perubahan populasi bumi, dll.

Saat Anda berinvestasi, persentasenya sesuai untuk Anda, berikut adalah contohnyaSaya sebutkan sebelumnya tentang pensiun:

Berapa banyak uang yang dapat dihemat rata-rata orang Rusia jika ia berinvestasi 3.000 rubel? per bulan selama 30 tahun? Misalkan pertumbuhan investasinya adalah 5% per tahun, dan laba atas investasinya adalah 17% per tahun.

Setelah 30 tahun, 32.022.812 rubel akan terakumulasi. Inilah cara bunga majemuk bekerja untuk Anda, bertindak sebagai pengungkit yang meningkatkan kontribusi Anda.

Namun hal ini juga merugikan ketika Anda mengambil pinjaman, misalnya.

Pada prinsipnya, ada program yang memungkinkan Anda menghitung bunga majemuk dan rumus anuitas yang terkait dengannya (anuitas dianggap sebagai serangkaian pembayaran yang sama (atau berubah menurut pola) dan diberi jarak satu sama lain untuk hal yang sama. jangka waktu tertentu; contoh dengan akumulasi 3.000 rubel dalam sebulan juga dianggap sebagai anuitas.bulan lebih tinggi dan sama dengan pembayaran pinjaman bulanan dari waktu ke waktu).

Anda bisa mencobanya sendiri, saya menggunakannyaseperti program ini untuk iPad , gratis, dan mereka juga memiliki opsi untuk Android.

Gambar tersebut menunjukkan contoh penghitungan jumlah pembayaran pinjaman menggunakan program ini.

Di sana Anda juga bisa mencoba perhitungan keuangan lainnya, misalnya menghitung bunga majemuk dan anuitas.

Cobalah, yang utama adalah memahami prinsip itu sendiri.

Kami terus mempelajari masalah dasar dalam matematika. Pelajaran ini tentang soal persentase. Kami akan melihat beberapa masalah, dan juga menyentuh poin-poin yang tidak kami sebutkan sebelumnya ketika mempelajari persentase, mengingat pada awalnya menimbulkan kesulitan dalam belajar.

Kebanyakan soal yang melibatkan persentase adalah mencari persentase suatu bilangan, mencari bilangan dengan persentase, menyatakan suatu bagian sebagai persentase, atau menyatakan hubungan antara beberapa benda, bilangan, besaran dalam persentase.

Keterampilan Awal Isi pelajaran

Metode untuk mencari persentase

Persentase dapat ditemukan dengan berbagai cara. Cara paling populer adalah dengan membagi angka tersebut dengan 100 dan mengalikan hasilnya dengan persentase yang diinginkan.

Misalnya, untuk mencari 60% dari 200 rubel, Anda harus membagi 200 rubel ini menjadi seratus bagian yang sama terlebih dahulu:

200 rubel: 100 = 2 rubel.

Saat kita membagi suatu bilangan dengan 100, kita mendapatkan satu persen dari bilangan tersebut. Jadi, dengan membagi 200 rubel menjadi 100 bagian, kami secara otomatis menemukan 1% dari dua ratus rubel, yaitu, kami mengetahui berapa rubel per bagian. Seperti dapat dilihat dari contoh, satu bagian (satu persen) berjumlah 2 rubel.

1% dari 200 rubel - 2 rubel

Mengetahui berapa banyak rubel dalam satu bagian (1%), Anda dapat mengetahui berapa banyak rubel dalam dua bagian, tiga, empat, lima, dll. Artinya, Anda dapat menemukan sejumlah persentase. Untuk melakukan ini, kalikan saja 2 rubel ini dengan jumlah bagian (persen) yang diperlukan. Mari kita temukan enam puluh buah (60%)

2 rubel × 60 = 120 rubel.

2 rubel × 5 = 10 rubel.

Ayo temukan 90%

2 rubel × 90 = 180 rubel.

Kami akan menemukan 100%

2 rubel × 100 = 200 rubel.

100% semuanya seratus bagian dan semuanya berjumlah 200 rubel.

Cara kedua adalah dengan merepresentasikan persentase sebagai pecahan biasa dan temukan pecahan ini dari angka yang ingin Anda cari persentasenya.

Misalnya, cari 60% yang sama dari 200 rubel. Pertama, mari kita nyatakan 60% sebagai pecahan. 60% adalah enam puluh bagian dari seratus, yaitu enam puluh perseratus:

Sekarang tugasnya dapat dipahami sebagai « temukan dari 200rubel " . Inilah yang kita pelajari sebelumnya. Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa untuk mencari pecahan suatu bilangan, Anda perlu membagi bilangan tersebut dengan penyebut pecahan tersebut dan mengalikan hasilnya dengan pembilang pecahan tersebut.

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Atau kalikan angka tersebut dengan pecahan ():

Cara ketiga adalah dengan menyatakan persentase sebagai desimal dan mengalikan angka tersebut dengan desimal.

Misalnya, cari 60% yang sama dari 200 rubel. Untuk memulai, nyatakan 60% sebagai pecahan. 60% persen adalah enam puluh bagian dari seratus

Mari kita lakukan pembagian pada pecahan ini. Mari kita pindahkan koma desimal pada angka 60 dua digit ke kiri:

Sekarang kami menemukan 0,60 dari 200 rubel. Untuk mencari pecahan desimal suatu bilangan, Anda perlu mengalikan bilangan tersebut dengan pecahan desimal:

200 × 0,60 = 120 gosok.

Cara mencari persentase di atas adalah yang paling mudah, terutama jika seseorang terbiasa menggunakan kalkulator. Metode ini memungkinkan Anda menemukan persentase dalam satu langkah.

Biasanya, menyatakan persentase sebagai pecahan desimal tidaklah demikian tenaga kerja khusus. Cukup menambahkan “nol bilangan bulat” sebelum persentase jika persentase mewakili nomor dua digit, atau tambahkan “nol bilangan bulat” dan nol lainnya jika persentasenya berupa angka satu digit. Contoh:

60% = 0,60 - menambahkan nol bilangan bulat sebelum angka 60, karena angka 60 adalah dua digit

6% = 0,06 - menambahkan nol bilangan bulat dan satu lagi nol sebelum angka 6, karena angka 6 adalah satu digit.

Saat membagi dengan 100, kami menggunakan metode memindahkan koma desimal dua digit ke kiri. Pada jawaban 0.60, angka nol setelah angka 6 dipertahankan. Tetapi jika Anda melakukan pembagian ini dengan sudut, angka nolnya hilang - Anda mendapatkan jawabannya 0,6

Kita harus ingat bahwa pecahan desimal 0,60 dan 0,6 sama dengan nilai yang sama:

0,60 = 0,6

Di “sudut” yang sama, Anda dapat melanjutkan pembagian tanpa batas waktu, setiap kali menambahkan nol ke sisanya, tetapi ini akan menjadi tindakan yang tidak berarti:

Anda dapat menyatakan persentase sebagai pecahan desimal tidak hanya dengan membaginya dengan 100, tetapi juga dengan mengalikannya. Simbol persentase (%) sendiri menggantikan pengali 0,01. Dan jika kita memperhitungkan bahwa bilangan persen dan tanda persen ditulis bersama, maka di antara keduanya terdapat tanda perkalian yang “tidak terlihat” (×).

Jadi, entri 45% sebenarnya terlihat seperti ini:

Gantikan tanda persen dengan faktor 0,01

Perkalian dengan 0,01 ini dilakukan dengan memindahkan koma desimal dua digit ke kiri:

Masalah 1. Anggaran keluarga adalah 75 ribu rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, 70% adalah uang yang diperoleh ayah. Berapa penghasilan ibu?

Larutan

Totalnya 100 persen. Jika ayah mendapat 70% uang, maka ibu mendapat 30% sisanya.

Masalah 2. Anggaran keluarga adalah 75 ribu rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, 70% adalah uang yang diperoleh ayah, dan 30% adalah uang yang diperoleh ibu. Berapa banyak uang yang dihasilkan setiap orang?

Larutan

Kami akan menemukan 70 dan 30 persen dari 75 ribu rubel. Dengan cara ini kita akan menentukan berapa banyak uang yang diperoleh setiap orang. Untuk memudahkan, kami menulis 70% dan 30% sebagai pecahan desimal:

75 × 0,70 = 52,5 (seribu rubel yang diperoleh ayah)

75 × 0,30 = 22,5 (ribu rubel diperoleh ibu)

Penyelidikan

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Menjawab: 52,5 ribu rubel. Ayah mendapat 22,5 rubel. Ibu menghasilkan uang.

Masalah 3. Saat didinginkan, roti kehilangan hingga 4% massanya akibat penguapan air. Berapa kilogram yang akan menguap jika 12 ton roti mendingin?

Larutan

Mari kita ubah 12 ton menjadi kilogram. Satu ton berisi seribu kilogram, dan 12 ton berisi 12 kali lebih banyak:

1000×12 = 12.000kg

Sekarang cari 4% dari 12000. Hasil yang didapat adalah jawaban dari soal:

12.000 × 0,04 = 480kg

Menjawab: Saat 12 ton roti mendingin, 480 kilogram roti akan menguap.

Masalah 4. Saat dikeringkan, apel kehilangan 84% massanya. Berapa banyak apel kering yang diperoleh dari 300 kg apel segar?

Mari kita cari 84% dari 300 kg

300: 100×84 = 252kg

300 kg apel segar akan kehilangan 252 kg massanya akibat pengeringan. Untuk menjawab pertanyaan berapa banyak apel kering yang Anda dapatkan, Anda perlu mengurangi 252 dari 300

300 − 252 = 48kg

Menjawab: dari 300 kg apel segar diperoleh 48 kg apel kering.

Masalah 5. Biji kedelai mengandung 20% ​​minyak. Berapa banyak minyak yang terkandung dalam 700 kg kedelai?

Larutan

Mari kita cari 20% dari 700 kg

700 × 0,20 = 140kg

Menjawab: 700 kg kedelai mengandung 140 kg minyak

Masalah 6. Soba mengandung 10% protein, 2,5% lemak, dan 60% karbohidrat. Berapa banyak produk ini yang terkandung dalam 14,4 kg soba?

Larutan

Mari kita ubah 14,4 sen menjadi kilogram. Ada 100 kilogram dalam satu sen, 14,4 kali lebih banyak dalam 14,4 sen

100×14,4 = 1440kg

Tentukan 10%, 2,5%, dan 60% dari 1440 kg

1440 × 0,10 = 144 (kg protein)

1440 × 0,025 = 36 (kg lemak)

1440 × 0,60 = 864 (kg karbohidrat)

Menjawab: 14,4 kg soba mengandung 144 kg protein, 36 kg lemak, 864 kg karbohidrat.

Masalah 7. Anak-anak sekolah mengumpulkan 60 kg benih pohon ek, akasia, linden dan maple untuk pembibitan pohon. Biji ek merupakan 60%, biji maple 15%, biji linden 20% dari seluruh biji, dan sisanya adalah biji akasia. Berapa kilogram bibit akasia yang dikumpulkan anak sekolah?

Larutan

Mari kita ambil biji ek, akasia, linden, dan maple sebagai 100%. Mari kita kurangi 100% persentase yang menyatakan biji pohon ek, linden, dan maple. Berikut cara mengetahui berapa persentase benih akasia:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Sekarang kami menemukan benih akasia:

60 × 0,05 = 3kg

Menjawab: Anak sekolah mengumpulkan 3 kg bibit akasia.

Penyelidikan:

60 × 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 × 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

Masalah 8. Seorang pria membeli bahan makanan. Susu berharga 60 rubel, yaitu 48% dari biaya semua pembelian. Tentukan jumlah total uang yang dibelanjakan untuk belanjaan.

Larutan

Ini adalah tugas untuk menemukan suatu bilangan berdasarkan persentasenya, yaitu berdasarkan bagiannya yang diketahui. Masalah ini dapat diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama adalah menyatakan sejumlah persen yang diketahui sebagai pecahan desimal dan mencari bilangan yang tidak diketahui dari pecahan tersebut

Nyatakan 48% sebagai desimal

48% : 100 = 0,48

Mengetahui bahwa 0,48 adalah 60 rubel, kita dapat menentukan jumlah semua pembelian. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari bilangan yang tidak diketahui dengan pecahan desimal:

60: 0,48 = 125 rubel

Ini berarti jumlah total uang yang dibelanjakan untuk bahan makanan adalah 125 rubel.

Cara kedua, cari dulu berapa uang per satu persennya, lalu kalikan hasilnya dengan 100

48% adalah 60 rubel. Jika kita membagi 60 rubel dengan 48, kita akan mengetahui berapa banyak rubel yang menyumbang 1%

60: 48% = 1,25 rubel

1% menyumbang 1,25 rubel. Totalnya 100 persen. Jika kita mengalikan 1,25 rubel dengan 100, kita mendapatkan jumlah total uang yang dibelanjakan untuk produk

1,25 × 100 = 125 rubel

Masalah 9. Plum segar menghasilkan 35% plum kering. Berapa banyak buah plum segar yang diperlukan untuk mendapatkan 140 kg buah plum kering? Berapa buah plum kering yang diperoleh dari 600 kg buah plum segar?

Larutan

Mari kita nyatakan 35% sebagai pecahan desimal dan temukan bilangan yang tidak diketahui menggunakan pecahan ini:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400kg

Untuk mendapatkan 140 kg buah plum kering, Anda perlu mengambil 400 kg buah plum segar.

Mari kita jawab pertanyaan kedua dari soal - berapa banyak buah plum kering yang akan Anda dapatkan dari 600 kg buah plum segar? Jika 35% buah plum kering dihasilkan dari buah plum segar, maka cukup untuk mendapatkan 35% dari 600 kg buah plum segar tersebut.

600 × 0,35 = 210kg

Menjawab: untuk mendapatkan 140 kg buah plum kering, perlu mengambil 400 kg buah plum segar. Dari 600 kg buah plum segar Anda akan mendapatkan 210 kg buah plum kering.

Masalah 10. Penyerapan lemak oleh tubuh manusia adalah 95%. Selama sebulan, siswa tersebut mengonsumsi 1,2 kg lemak. Berapa banyak lemak yang bisa diserap tubuhnya?

Larutan

Ubah 1,2 kg menjadi gram

1,2 × 1000 = 1200 gram

Mari kita cari 95% dari 1200 g

1200 × 0,95 = 1140 gram

Menjawab: 1140 g lemak dapat diserap tubuh siswa.

Mengekspresikan angka sebagai persentase

Persentase, seperti disebutkan sebelumnya, dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal. Caranya, cukup bagi jumlah persentase tersebut dengan 100. Misalnya, bayangkan 12% sebagai pecahan desimal:

Komentar. Kami sekarang tidak mencari persentase sesuatu, tetapi cukup menuliskannya sebagai pecahan desimal.

Namun proses sebaliknya juga mungkin terjadi. Pecahan desimal dapat direpresentasikan sebagai persentase. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan pecahan ini dengan 100 dan memberi tanda persen (%)

Mari kita nyatakan pecahan desimal 0,12 sebagai persen

0,12 × 100 = 12%

Tindakan ini disebut menyatakan suatu angka dalam persentase atau menyatakan angka dalam seperseratus.

Perkalian dan pembagian adalah operasi invers. Misalnya 2×5 = 10, maka 10:5 = 2

Dengan cara yang sama, pembagian dapat ditulis dalam urutan terbalik. Jika 10:5 = 2, maka 2×5 = 10:

Hal yang sama terjadi ketika kita menyatakan desimal sebagai persentase. Jadi, 12% dinyatakan dalam desimal sebagai berikut: 12: 100 = 0,12 tetapi kemudian 12% yang sama “dikembalikan” menggunakan perkalian, menulis ekspresi 0,12 × 100 = 12%.

Demikian pula, Anda dapat menyatakan angka lainnya, termasuk bilangan bulat, sebagai persentase. Sebagai contoh, mari kita nyatakan angka 3 dalam persentase. Kalikan nomor yang diberikan dengan 100 dan tambahkan tanda persen pada hasilnya:

3 × 100 = 300%

Persentase yang besar seperti 300% pada awalnya bisa membingungkan karena orang terbiasa menganggap 100% sebagai persentase maksimal. Dari informasi tambahan tentang pecahan, kita mengetahui bahwa satu benda utuh dapat dilambangkan dengan satu. Misal ada kue utuh yang belum dipotong, maka bisa diberi tanda 1

Kue yang sama dapat ditetapkan sebagai kue 100%. Dalam hal ini, satu dan 100% berarti keseluruhan kue yang sama:

Mari kita potong kuenya menjadi dua. Dalam hal ini, satu akan menjadi angka desimal 0,5 (karena merupakan setengah dari satuan), dan 100% akan menjadi 50% (karena 50 adalah setengah dari seratus)

Kami akan mengembalikan seluruh kue, satu unit dan 100%

Mari kita gambarkan dua kue lagi dengan notasi yang sama:

Jika satu kue adalah satu unit, maka tiga kue adalah tiga unit. Setiap kue 100% utuh. Jika Anda menjumlahkan tiga ratus ini, Anda mendapatkan 300%.

Oleh karena itu, saat mengubah bilangan bulat menjadi persentase, kita mengalikan bilangan tersebut dengan 100.

Masalah 2. Nyatakan angka 5 sebagai persentase

5 × 100 = 500%

Masalah 3. Nyatakan angka 7 sebagai persentase

7 × 100 = 700%

Masalah 4. Nyatakan angka 7,5 sebagai persentase

7,5 × 100 = 750%

Masalah 5. Nyatakan angka 0,5 sebagai persentase

0,5 × 100 = 50%

Masalah 6. Nyatakan angka 0,9 sebagai persentase

0,9 × 100 = 90%

Contoh 7. Nyatakan angka 1,5 sebagai persentase

1,5 × 100 = 150%

Contoh 8. Nyatakan angka 2,8 sebagai persentase

2,8 × 100 = 280%

Masalah 9. George sedang berjalan pulang dari sekolah. Dalam lima belas menit pertama dia berjalan 0,75 meter. Sisa waktunya dia berjalan dengan sisa 0,25 perjalanan. Nyatakan persentase jarak yang ditempuh George.

Larutan

0,75 × 100 = 75%

0,25 × 100 = 25%

Masalah 10. John disuguhi setengah apel. Nyatakan setengahnya sebagai persentase.

Larutan

Setengah buah apel ditulis sebagai pecahan 0,5. Untuk menyatakan pecahan ini sebagai persentase, kalikan dengan 100 dan tambahkan tanda persen pada hasilnya.

0,5 × 100 = 50%

Analoginya berupa pecahan

Nilai yang dinyatakan dalam persentase memiliki padanannya dalam bentuk pecahan biasa. Jadi analogi 50% adalah pecahan. Lima puluh persen juga bisa disebut "setengah".

Setara dengan 25% adalah pecahan. Dua puluh lima persen juga bisa disebut seperempat.

Setara dengan 20% adalah pecahan. Dua puluh persen juga bisa disebut sebagai seperlima.

Analogi 40% adalah pecahan.

Analoginya untuk 60% adalah pecahan

Contoh 1. Lima sentimeter sama dengan 50% desimeter, atau hanya setengahnya. Dalam semua kasus, kita berbicara tentang nilai yang sama - lima sentimeter dari sepuluh

Contoh 2. Dua setengah sentimeter sama dengan 25% desimeter atau hanya seperempat

Contoh 3. Dua sentimeter sama dengan 20% desimeter atau

Contoh 4. Empat sentimeter sama dengan 40% desimeter atau

Contoh 5. Enam sentimeter sama dengan 60% desimeter atau

Penurunan dan peningkatan minat

Saat menambah atau mengurangi nilai yang dinyatakan dalam persentase, kata depan “ke” digunakan.

Contoh:

• Peningkatan sebesar 50% berarti peningkatan nilainya sebesar 1,5 kali lipat;
• Meningkat 100% berarti meningkatkan nilainya sebanyak 2 kali lipat;
• Kenaikan 200% berarti kenaikan 3 kali lipat;
• Mengurangi 50% berarti mengurangi nilainya sebanyak 2 kali;
• Mengurangi 80% berarti mengurangi 5 kali lipat.

Contoh 1. Sepuluh sentimeter meningkat 50%. Berapa sentimeter yang Anda dapatkan?

Untuk mengatasi masalah seperti itu, Anda perlu mengambil nilai awal 100%. Nilai aslinya 10 cm, 50%nya 5 cm

Yang semula 10 cm bertambah 50% (5 cm), artinya menjadi 10+5 cm, yaitu 15 cm

Setara dengan peningkatan sepuluh sentimeter sebesar 50% adalah pengali 1,5. Jika dikalikan 10 cm dengan hasilnya 15 cm

10 × 1,5 = 15 cm

Oleh karena itu, ungkapan “meningkat 50%” dan “meningkat 1,5 kali lipat” memiliki arti yang sama.

Contoh 2. Lima sentimeter meningkat 100%. Berapa sentimeter yang Anda dapatkan?

Mari kita ambil lima sentimeter asli sebagai 100%. Seratus persen dari lima sentimeter ini akan menjadi 5 cm, jika Anda menambah 5 cm dengan 5 cm yang sama, Anda akan mendapatkan 10 cm

Analogi pertambahan lima sentimeter sebesar 100% adalah faktor 2. Jika dikalikan 5 cm, diperoleh 10 cm

5×2 = 10cm

Oleh karena itu, ungkapan “meningkat 100%” dan “meningkat 2 kali lipat” memiliki arti yang sama.

Contoh 3. Lima sentimeter meningkat 200%. Berapa sentimeter yang Anda dapatkan?

Mari kita ambil lima sentimeter asli sebagai 100%. Dua ratus persen adalah dua kali seratus persen. Artinya, 200% dari 5 cm akan menjadi 10 cm (5 cm untuk setiap 100%). Jika Anda menambah 5 cm kali 10 cm ini, Anda mendapatkan 15 cm

Pertambahan lima sentimeter sebesar 200% setara dengan faktor 3. Jika dikalikan 5 cm, hasilnya adalah 15 cm

5 × 3 = 15cm

Oleh karena itu, ungkapan “meningkat 200%” dan “meningkat 3 kali lipat” memiliki arti yang sama.

Contoh 4. Sepuluh sentimeter berkurang 50%. Berapa sentimeter yang tersisa?

Mari kita ambil 10 cm yang asli sebagai 100%. Lima puluh persen dari 10 cm adalah 5 cm. Jika 10 cm dikurangi dengan 5 cm ini, maka tersisa 5 cm

Analogi pengurangan sepuluh sentimeter sebesar 50% adalah pembagi 2. Jika kita membagi 10 cm dengan pembagi tersebut, kita mendapatkan 5 cm

10 : 2 = 5cm

Oleh karena itu, ungkapan “kurangi 50%” dan “kurangi 2 kali lipat” memiliki arti yang sama.

Contoh 5. Sepuluh sentimeter berkurang 80%. Berapa sentimeter yang tersisa?

Mari kita ambil 10 cm yang asli sebagai 100%. Delapan puluh persen dari 10 cm adalah 8 cm, jika 10 cm dikurangi dengan 8 cm ini, tersisa 2 cm

Analogi pengurangan sepuluh sentimeter sebesar 80% adalah pembagi 5. Jika kita membagi 10 cm dengan pembagi tersebut, kita mendapat 2 cm

10:5 = 2cm

Oleh karena itu, ungkapan “kurangi 80%” dan “kurangi 5 kali lipat” memiliki arti yang sama.

Saat menyelesaikan soal yang melibatkan penurunan dan peningkatan persentase, Anda dapat mengalikan/membagi nilainya dengan faktor yang ditentukan dalam soal.

Masalah 1. Berapa persentase perubahan nilainya jika meningkat 1,5 kali lipat?

Nilai yang dimaksud dalam soal dapat ditetapkan 100%. Selanjutnya, kalikan 100% ini dengan faktor 1,5

100% × 1,5 = 150%

Sekarang dari 150% yang diterima kita kurangi 100% asli dan dapatkan jawaban dari soal:

150% − 100% = 50%

Masalah 2. Berapa persentase perubahan nilainya jika diturunkan 4 kali lipat?

Kali ini nilainya akan berkurang, jadi kita akan melakukan pembagian. Mari kita nyatakan nilai yang disebutkan dalam soal sebagai 100%. Selanjutnya, bagi 100% ini dengan pembagi 4

Dari 100% awal, kurangi 25% yang dihasilkan dan dapatkan jawaban soal:

100% − 25% = 75%

Artinya bila nilainya turun 4 kali lipat, maka turun sebesar 75%.

Masalah 3. Berapa persentase perubahan nilainya jika diturunkan 5 kali lipat?

Mari kita nyatakan nilai yang disebutkan dalam soal sebagai 100%. Selanjutnya, bagi 100% ini dengan pembagi 5

Dari 100% awal, kurangi 20% yang dihasilkan dan dapatkan jawaban soal:

100% − 20% = 80%

Artinya bila nilainya turun 5 kali lipat, maka turun sebesar 80%.

Masalah 4. Berapa persentase perubahan nilainya jika diturunkan 10 kali lipat?

Mari kita nyatakan nilai yang disebutkan dalam soal sebagai 100%. Selanjutnya, bagi 100% ini dengan pembagi 10

Dari 100% awal, kurangi 10% yang dihasilkan dan dapatkan jawaban soal:

100% − 10% = 90%

Artinya bila nilainya turun 10 kali lipat, maka turun sebesar 90%.

Masalah menemukan persentase

Untuk menyatakan sesuatu sebagai persentase, pertama-tama Anda perlu menuliskan pecahan yang menunjukkan bagian bilangan pertama dari bilangan kedua, kemudian membaginya dalam pecahan tersebut dan menyatakan hasilnya sebagai persentase.

Misalnya, ada lima buah apel. Dalam hal ini, dua apel berwarna merah, tiga berwarna hijau. Mari kita nyatakan apel merah dan hijau sebagai persentase.

Pertama, Anda perlu mencari tahu bagian mana yang merupakan apel merah. Total ada lima apel, dan dua apel merah. Artinya, dua dari lima atau dua perlimanya adalah apel merah:

Ada tiga apel hijau. Artinya tiga dari lima atau tiga perlimanya adalah apel hijau:

Kami memiliki dua pecahan dan . Mari kita lakukan pembagian pada pecahan-pecahan ini

Kami menerima pecahan desimal 0,4 dan 0,6. Sekarang mari kita nyatakan pecahan desimal ini sebagai persentase:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Artinya 40% apel merah, 60% apel hijau.

Dan kelima apel tersebut menghasilkan 40%+60%, yaitu 100%

Masalah 2. Ibu saya memberi kedua putra saya 200 rubel. Ibu saya memberi adik laki-laki saya 80 rubel, dan kakak laki-laki saya 120 rubel. Nyatakan dalam persentase uang yang diberikan kepada setiap saudara.

Larutan

Adik laki-lakinya menerima 80 rubel dari 200 rubel. Kami menulis pecahan delapan puluh dua perseratus:

Kakak laki-lakinya menerima 120 rubel dari 200 rubel. Kami menulis pecahan seratus dua puluh dua perseratus:

Kami memiliki pecahan dan . Mari kita lakukan pembagian pada pecahan-pecahan ini

Mari kita nyatakan hasil yang diperoleh dalam persentase:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Artinya adik laki-laki mendapat 40% uang, dan kakak laki-laki mendapat 60%.

Beberapa pecahan yang menunjukkan bagian bilangan pertama dari bilangan kedua dapat dikurangi.

Ini adalah bagaimana pecahan dapat dikurangi. Ini tidak akan mengubah jawaban terhadap masalah:

Masalah 3. Anggaran keluarga adalah 75 ribu rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, 52,5 ribu rubel. - uang yang diperoleh ayah. 22,5 ribu rubel. - uang yang diperoleh ibu. Nyatakan dalam persentase uang yang diperoleh ibu dan ayah.

Larutan

Tugas ini, seperti tugas sebelumnya, adalah tugas mencari persentase.

Mari kita nyatakan uang yang diperoleh ayah sebagai persentase. Dia memperoleh 52,5 ribu rubel dari 75 ribu rubel

Mari kita lakukan pembagian pada pecahan ini:

0,7 × 100 = 70%

Ini berarti ayah mendapat 70% dari uang tersebut. Selain itu, tidak sulit untuk menebak bahwa 30% sisa uang tersebut diperoleh oleh ibu saya. Bagaimanapun, 75 ribu rubel adalah 100% uang. Mari kita periksa untuk memastikannya. Ibu mendapat 22,5 ribu rubel. dari 75 ribu rubel. Kami menuliskan pecahan, melakukan pembagian dan menyatakan hasilnya sebagai persentase:

Masalah 4. Seorang anak sekolah sedang berlatih melakukan pull-up di bar. Bulan lalu dia bisa melakukan 8 pull-up per set. Bulan ini dia bisa melakukan 10 pull-up per set. Berapa persentase dia meningkatkan jumlah pull-up?

Larutan

Mari kita cari tahu berapa banyak lagi pull-up yang dilakukan siswa pada bulan ini dibandingkan bulan sebelumnya

Mari kita cari tahu bagian mana yang terdiri dari dua pull-up dari delapan pull-up. Untuk melakukan ini, temukan rasio 2 banding 8

Mari kita lakukan pembagian pada pecahan ini

Mari kita nyatakan hasilnya sebagai persentase:

0,25 × 100 = 25%

Artinya siswa tersebut meningkatkan jumlah pull-up sebesar 25%.

Masalah ini dapat diselesaikan dalam hitungan detik atau lebih metode cepat— cari tahu berapa kali 10 pull-up lebih besar dari 8 pull-up dan nyatakan hasilnya dalam persentase.

Untuk mengetahui berapa kali sepuluh pull-up lebih besar dari delapan pull-up, Anda perlu mencari perbandingan 10 banding 8

Mari kita bagi pecahan yang dihasilkan

Mari kita nyatakan hasilnya sebagai persentase:

1,25 × 100 = 125%

Tingkat pull-up untuk bulan ini adalah 125%. Pernyataan ini harus dipahami persis seperti itu "adalah 125%", bukan bagaimana “indikatornya meningkat 125%”. Ini adalah dua pernyataan berbeda yang menyatakan besaran berbeda.

Pernyataan “adalah 125%” harus dipahami sebagai “delapan pull-up yang menghasilkan 100% ditambah dua pull-up yang membentuk 25% dari delapan pull-up.” Secara grafis terlihat seperti ini:

Dan pernyataan “meningkat sebesar 125%” harus dipahami sebagai “dari delapan pull-up saat ini, yaitu 100%, 100% lainnya (8 pull-up lagi) ditambah 25% lagi (2 pull-up) ditambahkan. ” Itu total 18 pull-up.

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 pull-up

Secara grafis pernyataan ini terlihat seperti ini:

Totalnya ternyata 225%. Jika kita menemukan 225% dari delapan pull-up, kita mendapatkan 18 pull-up

8 × 2,25 = 18

Masalah 5. Bulan lalu gajinya 19,2 ribu rubel. Bulan ini berjumlah 20,16 ribu rubel. Berapa persen kenaikan gajinya?

Masalah ini, seperti masalah sebelumnya, dapat diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama adalah mencari tahu terlebih dahulu berapa rubel gajinya meningkat. Selanjutnya, cari tahu berapa bagian kenaikan ini dari gaji bulan lalu

Mari kita cari tahu berapa rubel kenaikan gaji:

20,16 − 19,2 = 0,96 ribu rubel.

Mari kita cari tahu berapa bagian dari 0,96 ribu rubel. berkisar antara 19,2. Untuk melakukan ini, kami menemukan rasio 0,96 hingga 19,2

Mari kita lakukan pembagian pada pecahan yang dihasilkan. Sepanjang jalan, mari kita ingat:

Mari kita nyatakan hasilnya sebagai persentase:

0,05 × 100 = 5%

Artinya gajinya naik 5%.

Mari kita selesaikan masalahnya dengan cara kedua. Mari kita cari tahu berapa kali 20,16 ribu rubel. lebih dari 19,2 ribu rubel. Untuk melakukan ini, kita menemukan rasio 20,16 berbanding 19,2

Mari kita bagi pecahan yang dihasilkan:

Mari kita nyatakan hasilnya sebagai persentase:

1,05 × 100 = 105%

Gajinya 105%. Artinya, ini termasuk 100%, yaitu sebesar 19,2 ribu rubel, ditambah 5%, yaitu sebesar 0,96 ribu rubel.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Masalah 6. Harga laptop naik 5% bulan ini. Berapa harganya jika bulan lalu harganya 18,3 ribu rubel?

Larutan

Mari kita cari 5% dari 18,3:

18,3 × 0,05 = 0,915

Mari tambahkan 5% ini menjadi 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 ribu rubel.

Menjawab: harga laptop 19.215 ribu rubel.

Masalah 7. Harga laptop turun 10% di bulan ini. Berapa harganya jika bulan lalu harganya 16,3 ribu rubel?

Larutan

Mari kita cari 10% dari 16,3:

16,3 × 0,10 = 1,63

Kurangi 10% ini dari 16,3:

16,3 − 1,63 = 14,67 (ribu rubel)

Tugas-tugas tersebut dapat ditulis secara singkat:

16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (ribu rubel)

Menjawab: Harga laptop 14,67 ribu rubel.

Masalah 8. Bulan lalu harga laptop adalah 21 ribu rubel. Bulan ini harganya naik menjadi 22,05 ribu rubel. Berapa persentase kenaikan harga tersebut?

Larutan

Mari kita tentukan berapa rubel harga yang naik

22,05 − 21 = 1,05 (ribu rubel)

Mari kita cari tahu berapa bagian dari 1,05 ribu rubel. adalah dari 21 ribu rubel.

Mari kita nyatakan hasilnya sebagai persentase

0,05 × 100 = 5%

Menjawab: harga laptop naik 5%

Masalah 8. Pekerja tersebut seharusnya memproduksi 600 suku cadang sesuai rencana, namun ia memproduksi 900 suku cadang. Berapa persentase dia memenuhi rencana tersebut?

Larutan

Mari kita cari tahu berapa kali lebih banyak 900 bagian daripada 600 bagian. Untuk melakukan ini, carilah rasio 900 banding 600

Nilai pecahan ini adalah 1,5. Mari kita nyatakan nilai ini sebagai persentase:

1,5 × 100 = 150%

Artinya pekerja memenuhi rencana sebesar 150%. Artinya, dia menyelesaikannya 100%, menghasilkan 600 bagian. Kemudian dia membuat 300 bagian lagi, yaitu 50% dari rencana awal.

Menjawab: pekerja menyelesaikan rencananya sebesar 150%.

Perbandingan nilai persentase

Kami telah membandingkan kuantitas berkali-kali dengan berbagai cara. Alat pertama kami adalah perbedaan. Jadi, misalnya, untuk membandingkan 5 rubel dan 3 rubel, kami menuliskan selisihnya 5−3. Setelah menerima jawaban 2, kita dapat mengatakan bahwa “lima rubel adalah dua rubel lebih dari tiga rubel.”

Jawaban yang diperoleh dari hasil pengurangan adalah Kehidupan sehari-hari disebut bukan “perbedaan”, tetapi “perbedaan”.

Jadi, selisih antara lima dan tiga rubel adalah dua rubel.

Alat selanjutnya yang kami gunakan untuk membandingkan nilai adalah rasio. Rasio tersebut memungkinkan kita mengetahui berapa kali bilangan pertama lebih dari yang kedua(atau berapa kali angka pertama berisi angka kedua).

Jadi, misalnya, sepuluh apel lima kali lebih banyak dari dua apel. Atau dengan kata lain, sepuluh apel mengandung dua apel lima kali lipat. Perbandingan ini dapat ditulis dengan menggunakan relasi

Namun nilainya juga bisa dibandingkan dalam bentuk persentase. Misalnya, bandingkan harga dua barang bukan dalam rubel, tetapi evaluasi berapa harga satu produk lebih atau kurang dari harga produk lainnya dalam persentase.

Untuk membandingkan nilai persentase, salah satunya harus ditetapkan 100%, dan yang kedua berdasarkan kondisi permasalahan.

Misalnya, mari kita cari tahu berapa persentase sepuluh apel lebih banyak dari delapan apel.

100% adalah nilai yang kita gunakan untuk membandingkan sesuatu. Kami membandingkan 10 apel dengan 8 apel. Jadi, untuk 100% kami menyatakan 8 apel:

Sekarang tugas kita adalah membandingkan berapa persentase 10 apel lebih besar dari 8 apel tersebut. 10 apel sama dengan 8+2 apel. Artinya dengan menambahkan dua apel lagi ke delapan apel, kita akan meningkatkan 100% dengan persentase yang lain. Untuk mengetahui yang mana, mari kita tentukan berapa persentase delapan apel yang merupakan dua apel

Menambahkan 25% ini ke delapan apel menghasilkan 10 apel. Dan 10 apel adalah 8+2, yaitu 100% dan 25% lainnya. Total kami mendapat 125%

Artinya sepuluh apel 25% lebih besar dari delapan apel.

Sekarang mari kita selesaikan masalah kebalikannya. Mari kita cari tahu berapa persen delapan apel kurang dari sepuluh apel. Jawabannya langsung muncul: delapan apel 25% lebih kecil. Namun ternyata tidak.

Kami membandingkan delapan apel dengan sepuluh apel. Kami sepakat bahwa kami akan mengambil 100% apa yang kami bandingkan. Oleh karena itu, kali ini kita ambil 10 buah apel 100%:

Delapan apel sama dengan 10−2, yaitu dengan mengurangi 10 apel sebanyak 2 apel, kita akan menguranginya dengan persentase tertentu. Untuk mengetahui yang mana, mari kita tentukan berapa persentase sepuluh apel yang merupakan dua apel

Kurangi 20% ini dari sepuluh apel, kita mendapatkan 8 apel. Dan 8 apel adalah 10−2, yaitu 100% dan minus 20%. Total kami mendapat 80%

Artinya delapan apel 20% lebih kecil dari sepuluh apel.

Masalah 2. Berapa persentase 5.000 rubel lebih dari 4.000 rubel?

Larutan

Mari kita ambil 4000 rubel untuk 100%. 5 ribu lebih dari 4 ribu kali 1 ribu. Artinya dengan menambah empat ribu kali seribu, kita akan menambah empat ribu dengan jumlah tertentu. Mari kita cari tahu yang mana. Untuk melakukan ini, kita tentukan bagian mana yang seribu dari empat ribu:

Mari kita nyatakan hasilnya sebagai persentase:

0,25 × 100 = 25%

1000 rubel dari 4000 rubel adalah 25%. Jika Anda menambahkan 25% ini menjadi 4000, Anda mendapatkan 5000 rubel. Ini berarti 5.000 rubel 25% lebih banyak dari 4.000 rubel

Masalah 3. Berapa persentase 4000 rubel kurang dari 5000 rubel?

Kali ini kita bandingkan 4000 dengan 5000. Anggaplah 5000 sebagai 100%. Lima ribu lebih dari empat ribu kali seribu rubel. Cari tahu berapa bagian seribu dari lima ribu

Seribu dari lima ribu adalah 20%. Jika kita mengurangi 20% ini dari 5.000 rubel, kita mendapatkan 4.000 rubel.

Ini berarti 4000 rubel kurang dari 5000 rubel sebesar 20%

Masalah pada konsentrasi, paduan dan campuran

Katakanlah Anda ingin membuat jus. Kami memiliki air dan sirup raspberry.

Tuang 200 ml air ke dalam gelas:

Tambahkan 50 ml sirup raspberry dan aduk cairan yang dihasilkan. Hasilnya, kita akan mendapatkan 250 ml jus raspberry (200 ml air + 50 ml sirup = 250 ml jus)

Bagian mana dari jus yang dihasilkan yang merupakan sirup raspberry?

Sirup raspberry membuat jus. Mari kita hitung rasio ini dan dapatkan angka 0,20. Angka ini menunjukkan banyaknya sirup terlarut dalam jus yang dihasilkan. Ayo hubungi nomor ini konsentrasi sirup.

Konsentrasi suatu zat terlarut adalah perbandingan jumlah zat terlarut atau massanya terhadap volume suatu larutan.

Konsentrasi biasanya dinyatakan dalam persentase. Mari kita nyatakan konsentrasi sirup dalam persentase:

0,20 × 100 = 20%

Jadi, konsentrasi sirup dalam jus raspberry adalah 20%.

Zat dalam larutan mungkin heterogen. Misalnya campurkan 3 liter air dan 200 g garam.

Massa 1 liter air sama dengan 1 kg. Maka massa 3 liter air adalah 3 kg. Mari kita ubah 3 kg ke gram, kita dapatkan 3 kg = 3000 g.

Sekarang tambahkan 200 g garam ke dalam 3000 g air dan campur cairan yang dihasilkan. Hasilnya adalah larutan garam yang massa totalnya adalah 3000 + 200, yaitu 3200 g Mari kita cari konsentrasi garam dalam larutan yang dihasilkan. Caranya, carilah perbandingan massa garam terlarut dengan massa larutan

Artinya bila mencampurkan 3 liter air dan 200 g garam akan diperoleh larutan garam 6,25%.

Demikian pula, jumlah suatu zat dalam suatu paduan atau campuran dapat ditentukan. Misalnya suatu paduan mengandung timah seberat 210 g dan perak seberat 90 g, maka massa paduan tersebut adalah 210 + 90, yaitu 300 g, maka paduan tersebut mengandung timah dan perak. Persentase timah akan menjadi 70% dan perak 30%

Apabila dua larutan dicampurkan maka diperoleh larutan baru yang terdiri dari larutan pertama dan kedua. Larutan baru mungkin memiliki konsentrasi zat yang berbeda. Keterampilan yang berguna adalah kemampuan untuk memecahkan masalah yang melibatkan konsentrasi, paduan dan campuran. Secara umum, tujuan dari tugas tersebut adalah untuk memantau perubahan yang terjadi ketika larutan dengan konsentrasi berbeda dicampur.

Campurkan dua jus raspberry. Jus 250 ml pertama mengandung 12,8% sirup raspberry. Dan jus kedua, 300 ml, mengandung 15% sirup raspberry. Tuang kedua jus ini ke dalam gelas besar dan aduk. Hasilnya adalah jus baru dengan volume 550 ml.

Sekarang mari kita tentukan konsentrasi sirup dalam jus yang dihasilkan. 250 ml jus pertama yang ditiriskan mengandung 12,8% sirup. Dan 12,8% dari 250 ml adalah 32 ml. Artinya jus pertama mengandung 32 ml sirup.

Jus yang ditiriskan kedua sebanyak 300 ml mengandung 15% sirup. Dan 15% dari 300 ml adalah 45 ml. Artinya jus kedua mengandung 45 ml sirup.

Mari kita jumlahkan jumlah sirupnya:

32ml + 45ml = 77ml

Sirup 77 ml ini terkandung dalam sari buah baru yang memiliki volume 550 ml. Mari kita tentukan konsentrasi sirup dalam jus ini. Untuk melakukannya, carilah perbandingan 77 ml sirup terlarut dengan volume jus 550 ml:

Artinya jika dicampurkan 12,8% jus raspberry dengan volume 250 ml dan 15% jus raspberry dengan volume 300 ml, hasilnya adalah 14% jus raspberry dengan volume 550 ml.

Masalah 1. Ada 3 larutan garam laut dalam air: larutan pertama mengandung 10% garam, larutan kedua mengandung 15% garam, dan larutan ketiga mengandung 20% ​​garam. Campurkan 130 ml larutan pertama, 200 ml larutan kedua, dan 170 ml larutan ketiga. Tentukan berapa persentase garam laut dalam larutan yang dihasilkan.

Larutan

Mari kita tentukan volume larutan yang dihasilkan:

130ml + 200ml + 170ml = 500ml

Karena larutan pertama mengandung 130 × 0,10 = 13 ml garam laut, larutan kedua mengandung 200 × 0,15 = 30 ml garam laut, dan larutan ketiga mengandung 170 × 0,20 = 34 ml garam laut, maka larutan yang dihasilkan mengandung 13 + 30 + 34 = 77 ml garam laut.

Mari kita tentukan konsentrasi garam laut dalam larutan yang dihasilkan. Caranya, carilah perbandingan 77 ml garam laut dengan volume larutan 500 ml

Artinya larutan yang dihasilkan mengandung 15,4% garam laut.

Masalah 2. Berapa gram air yang harus ditambahkan ke dalam 50 g larutan yang mengandung garam 8% untuk memperoleh larutan 5%?

Larutan

Perhatikan bahwa jika air ditambahkan ke larutan yang ada, jumlah garam di dalamnya tidak akan berubah. Hanya persentasenya yang akan berubah, karena penambahan air ke dalam larutan akan menyebabkan perubahan massa.

Kita perlu menambahkan air secukupnya sehingga delapan persen garam menjadi lima persen.

Mari kita tentukan berapa gram garam yang terkandung dalam 50 g larutan. Untuk melakukan ini, temukan 8% dari 50

50 gram × 0,08 = 4 gram

8% dari 50 gram sama dengan 4 gram, artinya delapan bagian dari seratus sama dengan 4 gram garam. Mari kita pastikan 4 gram ini bukan dari delapan bagian, melainkan dari lima bagian, yaitu 5%

4 gram - 5%

Sekarang dengan mengetahui bahwa terdapat 4 gram per larutan 5%, kita dapat mencari massa seluruh larutan. Untuk melakukan ini, Anda perlu:

4 gram: 5 = 0,8 gram
0,8 gram × 100 = 80 gram

80 gram larutan adalah massa yang mengandung 4 gram garam untuk setiap larutan 5%. Dan untuk mendapatkan 80 gram tersebut, Anda perlu menambahkan 30 gram air ke dalam 50 gram aslinya.

Artinya untuk mendapatkan larutan garam 5%, Anda perlu menambahkan 30 g air ke dalam larutan yang ada.

Masalah 2. Anggur mengandung 91% kelembapan, dan kismis - 7%. Berapa kilogram buah anggur yang dibutuhkan untuk menghasilkan 21 kilogram kismis?

Larutan

Anggur terdiri dari kelembapan dan bahan murni. Jika buah anggur segar mengandung 91% kelembapan, maka 9% sisanya adalah bahan murni dari buah anggur ini:

Kismis mengandung 93% zat murni dan 7% kelembapan:

Perhatikan bahwa dalam proses mengubah buah anggur menjadi kismis, hanya kelembapan buah anggur tersebut yang hilang. Zat murninya tetap tidak berubah. Setelah buah anggur berubah menjadi kismis, kismis yang dihasilkan akan memiliki kadar air 7% dan bahan murni 93%.

Mari kita tentukan berapa banyak zat murni yang terkandung dalam 21 kg kismis. Untuk melakukan ini, kita akan menemukan 93% dari 21 kg

21kg × 0,93 = 19,53kg

Sekarang mari kita kembali ke gambar pertama. Tugas kami adalah menentukan berapa banyak buah anggur yang dibutuhkan untuk mendapatkan 21 kg kismis. Zat murni dengan berat 19,53 kg akan menyumbang 9% dari buah anggur:

Sekarang mengetahui bahwa zat murni 9% adalah 19,53 kg, kita dapat menentukan berapa banyak buah anggur yang dibutuhkan untuk menghasilkan 21 kg kismis. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari angka berdasarkan persentasenya:

19,53kg: 9 = 2,17kg
2,17kg × 100 = 217kg

Artinya untuk mendapatkan 21 kg kismis Anda perlu mengonsumsi 217 kg buah anggur.

Masalah 3. Dalam paduan timah dan tembaga, komposisi tembaga mencapai 85%. Berapa banyak paduan yang harus diambil agar dapat memuat 4,5 kg timah?

Larutan

Jika 85% paduannya terdiri dari tembaga, maka 15% sisanya adalah timah:

Pertanyaannya berapa banyak paduan yang harus diambil agar dapat mengandung 4,5 timah. Karena paduannya mengandung 15% timah, maka 4,5 kg timah akan mencapai 15%.

Dan mengetahui bahwa 4,5 kg paduan merupakan 15%, kita dapat menentukan massa keseluruhan paduan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari angka berdasarkan persentasenya:

4,5kg: 15 = 0,3kg
0,3kg × 100 = 30kg

Artinya perlu mengambil 30 kg paduan agar dapat menampung 4,5 kg timah.

Masalah 4. Mencampur sejumlah larutan 12%. dari asam klorida dengan jumlah yang sama dari larutan 20% dari asam yang sama. Temukan konsentrasi asam klorida yang dihasilkan.

Larutan

Mari kita gambarkan solusi pertama pada gambar sebagai garis lurus dan sorot 12% di atasnya.

Karena jumlah larutannya sama, maka gambar yang sama dapat dibuat bersebelahan, yang menggambarkan larutan kedua dengan kandungan asam klorida 20%.

Kami memiliki dua ratus bagian larutan (100% + 100%), tiga puluh dua bagian di antaranya adalah asam klorida (12% + 20%)

Mari kita tentukan bagian mana yang terdiri dari 32 bagian dari 200 bagian

Artinya bila larutan asam klorida 12% dicampur dengan larutan asam yang sama 20% dalam jumlah yang sama, hasilnya adalah larutan asam klorida 16%.

Untuk memeriksanya, bayangkan massa larutan pertama adalah 2 kg. Massa larutan kedua juga akan menjadi 2 kg. Kemudian, ketika larutan tersebut dicampur, diperoleh 4 kg larutan. Dalam larutan asam klorida pertama terdapat 2 × 0,12 = 0,24 kg, dan pada larutan kedua - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Maka dalam larutan asam klorida yang baru terdapat 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Konsentrasi asam klorida akan menjadi 16%

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

pada , kita akan menemukan 60% dari jumlah tersebut

Sekarang mari kita tingkatkan jumlahnya sebesar 60% yang ditemukan, yaitu. per nomor

Menjawab: nilai barunya adalah

Tugas 12. Jawablah pertanyaan berikut:

1) Menghabiskan 80% dari jumlah tersebut. Berapa persen dari jumlah ini yang tersisa?
2) Laki-laki merupakan 75% dari seluruh pekerja pabrik. Berapa persentase karyawan pabrik yang perempuan?
3) Anak perempuan merupakan 40% dari seluruh kelas. Berapa persentase kelas yang laki-laki?

A Larutan

Mari kita gunakan variabel. Membiarkan P ini adalah nomor asli yang dimaksud dalam soal. Mari kita ambil nomor awal ini P untuk 100%

Mari kita kurangi angka aslinya P sebesar 50%

Sekarang angka barunya adalah 50% dari angka aslinya. Cari tahu berapa kali bilangan aslinya P lebih dari nomor baru. Untuk melakukan ini, temukan rasio 100% hingga 50%

Nomor aslinya dua kali lipat dari nomor baru. Hal ini terlihat bahkan dari gambarnya. Dan untuk membuat bilangan baru sama dengan bilangan asli, maka perlu digandakan. Dan menggandakan suatu angka berarti meningkatkannya sebesar 100%.

Artinya angka baru yang separuh dari angka aslinya perlu dinaikkan 100%.

Saat mempertimbangkan angka baru, angka tersebut juga dianggap 100%. Jadi, pada gambar di atas, bilangan baru tersebut adalah setengah dari bilangan aslinya dan diberi label 50%. Sehubungan dengan bilangan asli, bilangan baru adalah setengahnya. Namun jika kita anggap terpisah dari aslinya, maka harus diambil 100%.

Oleh karena itu, pada gambar tersebut, bilangan baru yang diwakili oleh garis pertama kali ditetapkan sebagai 50%. Tapi kemudian kami menetapkan angka ini sebagai 100%.

Menjawab: Untuk mendapatkan nomor aslinya, nomor baru harus dinaikkan 100%.

Soal 16. Bulan lalu terjadi 15 kecelakaan di kota tersebut.
Bulan ini angkanya turun menjadi 6. Berapa persentase penurunan jumlah kecelakaan?

Larutan

Bulan lalu terjadi 15 kecelakaan. Bulan ini ada 6. Artinya jumlah kecelakaan berkurang 9.
Mari kita ambil 15 kecelakaan sebagai 100%. Dengan mengurangi 15 kecelakaan di jalan sebanyak 9, kita akan menguranginya dengan persentase tertentu. Untuk mengetahui yang mana, kita akan mengetahui bagian mana dari 9 kecelakaan dari 15 kecelakaan

Menjawab: konsentrasi larutan yang dihasilkan adalah 12%.

Soal 18. Kita mencampurkan larutan 11% zat tertentu dalam jumlah tertentu dengan larutan 19% zat yang sama dalam jumlah yang sama. Temukan konsentrasi larutan yang dihasilkan.

Larutan

Massa kedua larutan adalah sama. Setiap solusi dapat diambil 100%. Setelah menambahkan solusi, Anda mendapatkan solusi 200%. Larutan pertama mengandung 11% zat, dan larutan kedua mengandung 19% zat. Maka larutan 200% yang dihasilkan akan mengandung 11% + 19% = 30% zat.

Mari kita tentukan konsentrasi larutan yang dihasilkan. Untuk melakukan ini, kita mencari tahu berapa bagian tiga puluh bagian suatu zat yang membentuk dua ratus bagian suatu zat:

1,10. Artinya harga bulan pertama adalah 1,10.

Di bulan kedua harganya juga naik 10%. Tambahkan sepuluh persen dari harga ini ke harga saat ini 1,10, kita mendapatkan 1,10 + 0,10 × 1,10. Jumlah ini sama dengan ekspresi 1,21 . Artinya harga bulan kedua menjadi 1,21.

Di bulan ketiga harganya juga naik 10%. Tambahkan sepuluh persen dari harga ini ke harga saat ini 1,21, kita mendapatkan 1,21 + 0,10 × 1,21. Jumlah ini sama dengan ekspresi 1,331 . Maka harga bulan ketiga menjadi 1.331.

Mari kita hitung selisih harga baru dan lama. Jika harga awal sama dengan 1, maka naik sebesar 1,331 − 1 = 0,331. Mari kita nyatakan hasil ini dalam persentase, kita mendapatkan 0,331 × 100 = 33,1%

Menjawab: selama 3 bulan, harga pangan meningkat sebesar 33,1%.

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup VKontakte baru kami dan mulailah menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru