Geometri sebagai mata pelajaran tersendiri dimulai untuk anak sekolah di kelas 7 SD. Sampai saat itu mereka bersentuhan masalah geometri bentuk yang cukup ringan dan pada dasarnya dapat dilihat dengan menggunakan contoh visual: luas ruangan, sebidang tanah, panjang dan tinggi dinding ruangan, benda datar, dll. Pada awal mempelajari geometri sendiri, kesulitan pertama muncul, seperti misalnya konsep garis lurus, karena garis lurus tersebut tidak dapat disentuh dengan tangan. Sedangkan untuk segitiga, ini adalah jenis poligon paling sederhana, hanya memiliki tiga sudut dan tiga sisi.

Dalam kontak dengan

Teman sekelas

Tema segitiga adalah salah satu yang utama penting dan topik besar kurikulum sekolah dalam geometri kelas 7-9. Setelah menguasainya dengan baik, Anda dapat memutuskan dengan sangat baik tugas yang kompleks. Dalam hal ini, Anda awalnya dapat mempertimbangkan sosok geometris yang sama sekali berbeda, dan kemudian membaginya untuk kenyamanan menjadi bagian-bagian segitiga yang sesuai.

Untuk mengerjakan bukti kesetaraan ∆ ABC Dan ∆A1B1C1 Anda perlu memahami secara menyeluruh tanda-tanda persamaan angka dan dapat menggunakannya. Sebelum mempelajari tanda-tandanya, Anda perlu mempelajarinya menentukan kesetaraan sisi dan sudut poligon paling sederhana.

Untuk membuktikan bahwa sudut-sudut segitiga sama besar, pilihan berikut akan membantu:

  1. ∠ α = ∠ β berdasarkan konstruksi gambar.
  2. Diberikan dalam kondisi tugas.
  3. Dengan dua garis sejajar dan adanya garis potong, baik garis lintang internal maupun garis potong yang bersesuaian dapat dibentuk ∠ α = ∠ β.
  4. Menambah (mengurangi) ke (dari) ∠ α = ∠ β sudut yang sama.
  5. Vertikal ∠ α dan ∠ β selalu serupa
  6. Umum ∠ α, milik secara bersamaan ∆MNK Dan ∆MNH .
  7. Garis bagi membagi ∠ α menjadi dua bagian yang sama besar.
  8. Berdekatan dengan ∠ 90°- sudut sama dengan sudut semula.
  9. Sudut-sudut yang berdekatan adalah sama besar.
  10. Ketinggiannya membentuk dua yang berdekatan ∠ 90° .
  11. Sama kaki ∆MNK di pangkalan ∠ α = ∠ β.
  12. Setara ∆MNK Dan ∆SDH sesuai ∠ α = ∠ β.
  13. Kesetaraan yang telah terbukti sebelumnya ∆MNK Dan ∆SDH .

Ini menarik: Cara mencari keliling segitiga.

3 tanda bahwa segitiga-segitiga itu sama besar

Bukti kesetaraan ∆ ABC Dan ∆A1B1C1 sangat nyaman untuk diproduksi, berdasarkan dasar tanda-tanda identitas poligon paling sederhana ini. Ada tiga tanda seperti itu. Mereka sangat penting dalam memecahkan banyak masalah geometri. Masing-masing patut dipertimbangkan.

Ciri-ciri yang tercantum di atas merupakan teorema dan dibuktikan dengan cara menumpangkan satu gambar ke gambar lain, menghubungkan simpul-simpul sudut yang sesuai dan permulaan sinar. Pembuktian persamaan segitiga di kelas 7 dijelaskan dalam bentuk yang sangat mudah dipahami, namun sulit dipelajari secara praktik oleh anak sekolah, karena mengandung sejumlah besar elemen yang ditunjuk dengan huruf latin kapital. Hal ini tidak sepenuhnya familiar bagi banyak siswa ketika mereka mulai mempelajari mata pelajaran tersebut. Remaja sering kebingungan dalam menyebutkan nama sisi, sinar, dan sudut.

Beberapa saat kemudian muncul yang lain topik penting"Kesamaan segitiga". Definisi “kesamaan” dalam geometri berarti kesamaan bentuk dengan ukuran berbeda. Misalnya, Anda dapat mengambil dua persegi, yang pertama dengan sisi 4 cm, dan yang kedua 10 cm.Jenis segi empat ini akan serupa dan, pada saat yang sama, memiliki perbedaan, karena yang kedua akan lebih besar, dengan masing-masing sisi meningkat dengan jumlah yang sama.

Dalam memperhatikan topik persamaan juga diberikan 3 tanda:

  • Yang pertama adalah tentang dua sudut yang sama besar dari dua bangun segitiga yang dimaksud.
  • Yang kedua tentang sudut dan sisi-sisi yang membentuknya ∆MNK, yang sama dengan elemen-elemen yang bersesuaian ∆SDH .
  • Yang ketiga menunjukkan proporsionalitas semua sisi yang bersesuaian dari dua angka yang diinginkan.

Bagaimana cara membuktikan segitiga-segitiga tersebut sebangun? Cukup menggunakan salah satu tanda di atas dan menjelaskan dengan benar seluruh proses pembuktian tugas. Tema kesamaan ∆MNK Dan ∆SDH lebih mudah dipahami oleh anak sekolah karena pada saat mempelajarinya, siswa sudah leluasa menggunakan sebutan unsur-unsur dalam konstruksi geometris, tidak bingung dengan banyak nama dan tahu cara membaca gambar.

Mengakhiri bagian dari topik luas tentang segitiga bentuk geometris, siswa seharusnya sudah tahu betul bagaimana membuktikan kesetaraan ∆MNK = ∆SDH pada dua sisi, atur kedua segitiga tersebut sama besar atau tidak. Mengingat poligon dengan tepat tiga sudut adalah salah satu bangun geometri yang paling penting, materi harus ditanggapi dengan serius, memberikan perhatian khusus bahkan pada fakta terkecil dalam teori.

Dua segitiga dikatakan kongruen jika kedua segitiga tersebut dapat disatukan dengan cara tumpang tindih. Gambar 1 menunjukkan persamaan segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 . Masing-masing segitiga ini dapat ditumpangkan satu sama lain sehingga benar-benar serasi, yaitu simpul dan sisinya serasi berpasangan. Jelas bahwa sudut-sudut segitiga ini juga akan berpasangan.

Jadi, jika dua segitiga kongruen, maka unsur-unsur (yaitu sisi dan sudut) suatu segitiga masing-masing sama dengan unsur-unsur segitiga lainnya. Perhatikan itu pada segitiga sama kaki terhadap sisi-sisi yang sama panjang(yaitu, tumpang tindih ketika ditumpangkan) sudut-sudut yang sama besar terletak dan kembali: Sisi-sisi yang sama besar terletak berhadapan, masing-masing sudutnya sama besar.

Jadi, misalnya, pada segitiga sama kaki ABC dan A 1 B 1 C 1, ditunjukkan pada Gambar 1, berhadapan dengan sisi-sisi yang sama besar AB dan A 1 B 1, masing-masing terletak pada sudut yang sama besar C dan C 1. Persamaan segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 akan kita nyatakan sebagai berikut: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ternyata persamaan dua segitiga dapat diketahui dengan membandingkan beberapa unsurnya.

Teorema 1. Tanda pertama persamaan segitiga. Jika dua sisi dan sudut antara kedua segitiga sama dengan dua sisi dan sudut antara segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen (Gbr. 2).

Bukti. Perhatikan segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1, dimana AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (lihat Gambar 2). Mari kita buktikan bahwa Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Karena ∠ A = ∠ A 1, maka segitiga ABC dapat ditumpangkan pada segitiga A 1 B 1 C 1 sehingga titik sudut A sejajar dengan titik sudut A 1, dan sisi AB dan AC berturut-turut ditumpangkan pada sinar A 1 B 1 dan A 1 C 1 . Karena AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, maka sisi AB sejajar dengan sisi A 1 B 1 dan sisi AC sejajar dengan sisi A 1 C 1; khususnya, titik B dan B 1, C dan C 1 akan berimpit. Akibatnya, sisi BC dan B 1 C 1 akan sejajar. Jadi segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 sebangun sempurna, artinya keduanya sama besar.

Teorema 2 dibuktikan dengan cara yang sama dengan menggunakan metode superposisi.

Teorema 2. Tanda kedua persamaan segitiga. Jika sebuah sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan pada segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen (Gbr. 34).

Komentar. Berdasarkan Teorema 2, Teorema 3 ditetapkan.

Teorema 3. Jumlah dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180°.

Teorema 4 mengikuti dari teorema terakhir.

Teorema 4. Sudut luar suatu segitiga lebih besar dari sudut dalam mana pun yang tidak berdekatan dengannya.

Teorema 5. Tanda ketiga persamaan segitiga. Jika tiga sisi suatu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen ().

Contoh 1. Pada segitiga ABC dan DEF (Gbr. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Bandingkan segitiga ABC dan DEF. Berapa sudut pada segitiga DEF yang sama dengan sudut B?

Larutan. Segitiga-segitiga ini sama besar menurut tanda pertama. Sudut F segitiga DEF sama dengan sudut B segitiga ABC, karena sudut-sudut ini berhadapan masing-masing dengan sisi yang sama DE dan AC.

Contoh 2. Ruas AB dan CD (Gbr. 5) berpotongan di titik O yang merupakan titik tengah masing-masing ruas tersebut. Berapa panjang ruas BD jika ruas AC 6 m?

Larutan. Segitiga AOC dan BOD sama besar (menurut kriteria pertama): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikal), AO = OB, CO = OD (sesuai syarat).
Dari persamaan segitiga-segitiga tersebut maka sisi-sisinya sama besar, yaitu AC = BD. Tetapi karena menurut kondisi AC = 6 m, maka BD = 6 m.

Sejak zaman dahulu hingga saat ini, pencarian tanda-tanda persamaan bangun dianggap sebagai tugas pokok yang menjadi dasar landasan geometri; ratusan teorema dibuktikan menggunakan uji kesetaraan. Kemampuan untuk membuktikan kesetaraan dan kesamaan angka merupakan tugas penting di semua bidang konstruksi.

Dalam kontak dengan

Mempraktikkan keterampilan tersebut

Misalkan kita mempunyai gambar yang digambar pada selembar kertas. Pada saat yang sama, kita memiliki penggaris dan busur derajat yang dapat digunakan untuk mengukur panjang segmen dan sudut di antara keduanya. Cara memindahkan gambar dengan ukuran yang sama ke lembar kertas kedua atau menggandakan skalanya.

Kita tahu bahwa segitiga adalah bangun datar yang terdiri dari tiga ruas yang disebut sisi-sisi yang membentuk sudut. Jadi, ada enam parameter - tiga sisi dan tiga sudut - yang menentukan gambar ini.

Namun, setelah mengukur ukuran ketiga sisi dan sudutnya, memindahkan angka ini ke permukaan lain akan menjadi tugas yang sulit. Selain itu, masuk akal untuk mengajukan pertanyaan: bukankah cukup mengetahui parameter dua sisi dan satu sudut, atau hanya tiga sisi saja?

Setelah mengukur panjang kedua sisi dan jarak antara keduanya, kita kemudian akan meletakkan sudut ini pada selembar kertas baru, sehingga kita dapat membuat ulang segitiga tersebut sepenuhnya. Mari kita cari tahu cara melakukannya, pelajari cara membuktikan tanda-tanda yang dapat dianggap sama, dan tentukan jumlah minimum parameter yang cukup untuk diketahui agar yakin bahwa segitiga-segitiga itu sama.

Penting! Suatu bangun dikatakan identik jika ruas-ruas yang membentuk sisi dan sudutnya sama besar. Bangun datar adalah bangun datar yang sisi dan sudutnya sebanding. Jadi, persamaan adalah persamaan dengan koefisien proporsionalitas sebesar 1.

Apa saja tanda-tanda persamaan segitiga?Berikan definisinya:

  • tanda persamaan pertama: dua segitiga dapat dianggap identik jika dua sisinya sama besar, begitu pula sudut di antara keduanya.
  • tanda persamaan segitiga yang kedua: dua segitiga akan sama jika dua sudutnya sama, serta sisi-sisi yang bersesuaian di antara keduanya.
  • tanda ketiga persamaan segitiga : Segitiga dapat dianggap identik jika semua sisinya sama panjang.

Cara membuktikan segitiga-segitiga itu kongruen. Mari kita berikan bukti persamaan segitiga.

Bukti 1 tanda

Untuk waktu yang lama, di antara ahli matematika pertama, tanda ini dianggap sebagai aksioma, namun ternyata dapat dibuktikan secara geometris berdasarkan aksioma yang lebih mendasar.

Perhatikan dua segitiga - KMN dan K 1 M 1 N 1 . Sisi KM sama panjang dengan K 1 M 1, dan KN = K 1 N 1. Dan sudut MKN sama dengan sudut KMN dan M 1 K 1 N 1.

Jika kita menganggap KM dan K 1 M 1, KN dan K 1 N 1 sebagai dua sinar yang keluar dari titik yang sama, maka kita dapat mengatakan bahwa sudut antara pasangan sinar tersebut adalah sama (ditentukan oleh kondisi teorema). Mari kita lakukan perpindahan paralel sinar K 1 M 1 dan K 1 N 1 dari titik K 1 ke titik K. Akibat perpindahan ini, sinar K 1 M 1 dan K 1 N 1 akan berimpit sempurna. Mari kita gambarkan pada sinar K 1 M 1 sebuah ruas dengan panjang KM, yang berasal dari titik K. Karena dengan syarat ruas yang dihasilkan sama dengan ruas K 1 M 1, maka titik M dan M 1 berimpit. Begitu pula dengan ruas KN dan K 1 N 1. Jadi, dengan memindahkan K 1 M 1 N 1 sehingga titik K 1 dan K berimpit, dan kedua sisinya saling bertumpang tindih, kita memperoleh angka-angka itu sendiri yang benar-benar kebetulan.

Penting! Di Internet terdapat bukti persamaan segitiga berdasarkan dua sisi dan sudut menggunakan aljabar dan identitas trigonometri dengan nilai numerik sisi dan sudut. Namun secara historis dan matematis teorema ini dirumuskan jauh sebelum aljabar dan sebelum trigonometri. Untuk membuktikan ciri teorema ini, penggunaan apa pun selain aksioma dasar adalah salah.

Bukti 2 tanda

Mari kita buktikan tanda persamaan kedua pada dua sudut dan satu sisi, berdasarkan tanda pertama.

Bukti 2 tanda

Mari kita pertimbangkan KMN dan PRS. K sama dengan P, N sama dengan S. Sisi KN sama panjang dengan PS. Perlu dibuktikan bahwa KMN dan PRS itu sama.

Mari kita refleksikan titik M terhadap sinar KN. Sebut saja titik hasil L. Dalam hal ini, panjang sisi KM = KL. NKL sama dengan PRS. KNL sama dengan RSP.

Karena jumlah sudutnya sama dengan 180 derajat, maka KLN sama dengan PRS, artinya PRS dan KLN sama (sebangun) pada kedua sisi dan sudutnya, sesuai tanda pertama.

Namun karena KNL sama dengan KMN, maka KMN dan PRS adalah dua sosok yang identik.

Bukti 3 tanda

Cara menentukan segitiga-segitiga itu kongruen. Ini mengikuti langsung dari bukti fitur kedua.

Panjang KN = PS. Karena K = P, N = S, KL=KM, dan KN = KS, MN=ML, maka:

Artinya kedua figur tersebut mirip satu sama lain. Tetapi karena sisi-sisinya sama, maka keduanya juga sama.

Banyak akibat yang timbul dari tanda-tanda persamaan dan persamaan. Salah satunya adalah untuk menentukan apakah dua segitiga sama besar atau tidak, perlu diketahui sifat-sifatnya apakah sama:

  • ketiga sisi;
  • kedua sisi dan sudut di antara keduanya;
  • kedua sudut dan sisi di antara keduanya.

Menggunakan tes persamaan segitiga untuk menyelesaikan masalah

Konsekuensi dari tanda pertama

Melalui pembuktiannya, seseorang dapat memperoleh sejumlah konsekuensi yang menarik dan berguna.

  1. . Fakta bahwa titik potong diagonal-diagonal jajar genjang membaginya menjadi dua bagian yang identik merupakan konsekuensi dari tanda-tanda persamaan dan cukup dapat dibuktikan. Sisi-sisi segitiga tambahan (dengan konstruksi cermin, seperti pada pembuktian yang kita lakukan) adalah sisi-sisi utama (sisi-sisi jajar genjang).
  2. Jika ada dua segitiga siku-siku yang mempunyai segitiga siku-siku yang sama sudut tajam, maka keduanya serupa. Jika kaki pertama sama dengan kaki kedua, maka keduanya sama. Ini cukup mudah untuk dipahami - semua segitiga siku-siku memiliki sudut siku-siku. Oleh karena itu, tanda-tanda kesetaraan lebih sederhana bagi mereka.
  3. Dua segitiga siku-siku yang kedua kakinya sama panjang dapat dianggap identik. Hal ini disebabkan karena sudut antara kedua kaki selalu 90 derajat. Oleh karena itu, menurut kriteria pertama (dengan dua sisi dan sudut di antara keduanya), semua segitiga dengan sudut siku-siku dan kaki-kaki yang identik adalah sama besar.
  4. Jika ada dua segitiga siku-siku, dan salah satu kaki serta sisi miringnya sama besar, maka segitiga-segitiga tersebut sama.

Mari kita buktikan teorema sederhana ini.

Ada dua segitiga siku-siku. Seseorang mempunyai sisi a, b, c, di mana c adalah sisi miring; a, b - kaki. Yang kedua memiliki sisi n, m, l, di mana l adalah sisi miring; m, n - kaki.

Menurut teorema Pythagoras, salah satu kakinya sama dengan:

;

.

Jadi, jika n = a, l = c (persamaan kaki dan sisi miring), maka kaki kedua akan sama. Oleh karena itu, angka-angka tersebut akan sama menurut ciri ketiga (pada tiga sisi).

Mari kita perhatikan satu lagi konsekuensi penting. Jika terdapat dua buah segitiga yang sama besar, dan kedua segitiga tersebut sebangun dengan koefisien kemiripan k, yaitu perbandingan berpasangan semua sisinya sama dengan k, maka perbandingan luas kedua segitiga tersebut sama dengan k2.

Tanda pertama persamaan segitiga. Video pelajaran geometri kelas 7

Geometri 7 Tanda pertama persamaan segitiga

Kesimpulan

Topik yang telah kita diskusikan akan membantu siswa mana pun untuk lebih memahami dasar-dasarnya konsep geometris dan tingkatkan keterampilan Anda dalam dunia yang paling menarik matematika.

Dari kursus sekolah Dalam geometri dikenal tanda bahwa segitiga sama panjang pada kedua sisinya dan besar sudut di antara keduanya, yaitu:

Jika dua sisi dan sudut antara kedua segitiga sama dengan dua sisi dan sudut antara kedua segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen (Gbr. 1).

Wajar jika timbul pertanyaan apakah suatu segitiga akan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga-segitiga tersebut tidak terdapat di antara sisi-sisi yang sama besar. Benarkah jika dua sisi dan sudut suatu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Ternyata hal tersebut tidak benar. Mari kita beri contoh. Perhatikan sebuah lingkaran dan tali busurnya AB (Gbr. 2). Dengan pusat di titik A, kita menggambar lingkaran lain yang memotong lingkaran pertama di beberapa titik C dan C 1. Maka pada segitiga ABC dan ABC 1 AB adalah sisi persekutuan, AC = AC 1,C = Karena 1, namun segitiga ABC dan ABC 1 tidak kongruen.

Dalam rumusan tanda-tanda persamaan segitiga, tidak hanya sisi dan sudut yang dapat dimasukkan, tetapi juga unsur-unsur segitiga lainnya. Mari kita simak beberapa rumusan kriteria persamaan segitiga oleh tiga unsur, antara lain sisi, sudut, tinggi, garis bagi, dan median segitiga. Mari kita cari tahu keabsahan tanda-tanda yang bersangkutan.

Jika sudut, sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut, dan tinggi yang jatuh ke sisi lain suatu segitiga masing-masing sama dengan sudut, sisi, dan tinggi segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Biarkan dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 DENGAN = DENGAN 1 , AB = A 1 B 1, tinggi AH. sama dengan tinggi badan A 1 H 1 (Gbr. 3). Mari kita buktikan bahwa segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama.

Segitiga Siku-siku ABH Dan A 1 B 1 H 1 sama kaki dan sisi miringnya. Cara, B = B 1 . Mengingat bahwa DENGAN = DENGAN 1, kita memiliki kesetaraan A = A 1 . Jadi, dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1

AB= A 1 B 1 , A = A 1 , B = B 1 .

Oleh karena itu, segitiga-segitiga ini mempunyai sisi yang sama dan dua sudut yang berdekatan.

Misalkan sudut, sisi yang berdekatan dengan sudut ini, dan tinggi yang diturunkan ke sisi lain yang berdekatan dengan sudut tertentu dari satu segitiga, masing-masing sama dengan sudut, sisi, dan tinggi segitiga lainnya (Gbr. 4).

Mari kita berikan contoh yang menunjukkan bahwa persamaan unsur-unsur segitiga yang ditunjukkan tidak cukup untuk persamaan segitiga itu sendiri.

Mari kita pertimbangkan segitiga siku-siku ABH Dan A 1 B 1 H 1 (H = H 1 = 90 Hai), di mana

AB = A 1 B 1 , B = B 1 , AH. = A 1 H 1

(Gbr. 5). Pada kelanjutan dari sisi B.H. Dan B 1 H 1 sisihkan segmen yang tidak sama HC Dan H 1 C 1 . Kemudian dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1

AB = A 1 B 1 , B = B 1 ,

ketinggian AH. Dan A 1 H 1 sama besar, tetapi segitiga-segitiga itu sendiri tidak sama besar.

Jika dua sisi dan median suatu segitiga di antara keduanya sama dengan dua sisi dan median segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Biarkan dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1

AC= A 1 C 1 , SM = B 1 C 1 ,

median SM sama dengan median C1 M 1 (Gbr. 6). Mari kita buktikan bahwa segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama.

Mari kita lanjutkan mediannya dan sisihkan segmennya MD = CM Dan M 1 D 1 = C 1 M 1 (Gbr. 6).

Segiempat ACBD Dan A 1 DENGAN 1 B 1 D 1 - jajaran genjang. segitiga ACD Dan A 1 C 1 D

ACD = A 1 C 1 D 1 .

Demikian pula segitiga BCD Dan B 1 C 1 D 1 sama pada tiga sisi. Karena itu,

BCD = B 1 C 1 D 1 .

Cara, DENGAN = DENGAN 1 dan segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama besar pada kedua sisi dan sudut di antara keduanya.


Misalkan sudut, sisi yang berdekatan dengan sudut ini, dan median yang ditarik ke sisi suatu segitiga ini masing-masing sama dengan sudut, sisi, dan median segitiga lainnya (Gbr. 7).


Misalkan sebuah lingkaran berpusat di suatu titik M(Gbr. 8). Mari menggambar dua diameter AB Dan A 1 B 1 . Melalui titik-titik A, A 1 , M gambar lingkaran lain dan pilih satu titik di atasnya C, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C

AB = A 1 B 1 , A = A 1 ,

median C M ABC Dan A 1 B 1 C tidak sama.

Jika sebuah sisi dan dua median yang ditarik ke dua sisi lain suatu segitiga sama besar dengan satu sisi dan dua median segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Biarkan dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, median SAYA. sama dengan mediannya A 1 M 1, median BK sama dengan mediannya B 1 K 1 (Gbr. 9). Mari kita buktikan bahwa segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama.

Poin HAI Dan HAI 1, perpotongan median segitiga-segitiga ini membagi mediannya dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut. Jadi segitiga HAI Dan A 1 B 1 HAI 1 sama pada tiga sisi. Karena itu,

BAO = B 1 A 1 HAI 1 ,

itu artinya segitiga A.B.M. Dan A 1 B 1 M 1 sama besar pada kedua sisi dan sudut di antara keduanya. Itu sebabnya

ABC = A 1 B 1 C 1 .

Demikian pula terbukti

BAC = B 1 A 1 C 1 .

Jadi segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama sisi dan dua sudut berdekatan.


Misalkan sudut dan dua median yang ditarik ke sisi-sisinya pada suatu segitiga masing-masing sama dengan sudut dan dua median segitiga lainnya (Gbr. 10).


Mari kita berikan contoh yang menunjukkan bahwa persamaan unsur-unsur yang ditunjukkan tidak cukup untuk persamaan segitiga itu sendiri.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua lingkaran yang sama dengan pusat di titik-titik HAI 1 dan HAI 2 saling bersentuhan pada suatu titik M(Gbr. 11).

Mari kita menggambar akord di salah satunya AB dan langsung SAYA., memotong lingkaran kedua di beberapa titik C. Mari kita menggambar sebuah segmen SM. Kami mendapatkan segitiga ABC. Mari menggambar median di dalamnya CK dan menunjukkan HAI titik yang membaginya dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut C. Mari kita menggambar sebuah lingkaran dengan pusat di titik tersebut HAI, radius O.C., memotong lingkaran kedua di titik tersebut C 1 . Ayo buat langsung C 1 M dan menunjukkan A 1 titik potongnya dengan lingkaran pertama. Mari kita tunjukkan K 1 titik potong tali busur A 1 B dan lurus C 1 HAI. Dalam segitiga ABC Dan A 1 SM 1 A = A 1, median CK Dan C 1 K 1 sama, median B.M.- umum. Namun, segitiga ABC Dan A 1 SM 1 tidak sama.

Jika dua sisi dan garis bagi suatu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan garis bagi segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Biarkan dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1

AC= A 1 C 1 , SM = B 1 C 1 ,

bisektris CD sama dengan garis bagi DENGAN 1 D 1 . Mari kita buktikan bahwa segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama.

Mari kita lanjutkan bagian sampingnya AC Dan A 1 C 1 dan plot segmen tersebut pada kelanjutannya M.E. = SM Dan C 1 E 1 = B 1 C 1 (Gbr. 12). Kemudian

segitiga SM. Dan B 1 C 1 E 1 sama pada tiga sisi. Cara, E = E 1 dan MENJADI = B 1 E 1 . segitiga ABE Dan A 1 B 1 E 1 sama besar pada kedua sisi dan sudut di antara keduanya. Cara, AB = A 1 B 1 . Jadi segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama pada tiga sisi.


Misalkan sudut, sisi yang berdekatan dengan sudut ini, dan garis bagi yang ditarik ke sisi lain yang berdekatan dengan sudut tertentu dari suatu segitiga, masing-masing sama dengan sudut, sisi, dan garis bagi segitiga lainnya (Gbr. 13).


Contoh segitiga ABC Dan ABC 1, ditunjukkan pada Gambar 14, menunjukkan bahwa persamaan unsur-unsur yang ditunjukkan tidak cukup untuk persamaan segitiga itu sendiri.

Memang, dalam segitiga ABC Dan ABC 1 B- umum, AB- sisi yang sama, garis bagi IKLAN Dan IKLAN 1 sama. Namun, segitiga ABC Dan ABC 1 tidak sama.

Misalkan sisi, median, dan tinggi yang ditarik ke dua sisi lainnya dari satu segitiga sama dengan sisi, median, dan tinggi segitiga lainnya (Gbr. 15).


Mari kita berikan contoh yang menunjukkan bahwa persamaan unsur-unsur yang ditunjukkan tidak cukup untuk persamaan segitiga itu sendiri.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan sebuah lingkaran dan sudut dengan titik sudut di tengahnya A lingkaran ini (Gbr. 16). Mari kita letakkan segmen pada sisinya AB, diameternya lebih besar, dan menembus bagian tengahnya K tariklah garis lurus sejajar dengan sisi lain sudut dan memotong lingkaran di beberapa titik M Dan M 1 . Mari menggambar garis lurus B.M., B.M. 1 dan titik potongnya dengan sisi sudut kita nyatakan sesuai C Dan C 1 . Kemudian dalam segitiga ABC Dan ABC 1 sisi AB- jumlah, tinggi B.H.- total, median SAYA. Dan SAYA. 1 sama besar, tetapi segitiga ABC Dan ABC 1 tidak sama.

Dua segitiga dikatakan kongruen jika sisi, median, dan tinggi yang ditarik ke sisi lain suatu segitiga sama dengan sisi, median, dan tinggi segitiga lainnya.

Biarkan dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1, median CM Dan C 1 M 1 sama, tinggi CH Dan C 1 H 1 sama (Gbr. 17). Mari kita buktikan bahwa segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama.

Memang benar segitiga siku-siku ACH Dan A 1 C 1 H 1 sama pada sisi miring dan kaki. Oleh karena itu F A=F A 1 dan AH. = A 1 H 1 . Segitiga Siku-siku CMH Dan C 1 M 1 H 1 sama pada sisi miring dan kaki. Karena itu, M.H. = M 1 H 1, dari mana SAYA. = A 1 M 1 berarti AB = A 1 B 1 . Jadi segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama besar pada kedua sisi dan sudut di antara keduanya.


Dua segitiga dikatakan sama jika ketiga median suatu segitiga sama dengan tiga median segitiga lainnya.

Biarkan dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 masing-masing sama dengan median AK. Dan A 1 K 1 , B.L. Dan B 1 L 1 , CM Dan C 1 M 1 (Gbr. 18). Mari kita buktikan bahwa segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama.

Membiarkan HAI Dan HAI 1 - titik potong median segitiga-segitiga ini. Perhatikan bahwa median OM Dan HAI 1 M 1 segitiga HAI Dan A 1 B 1 HAI 1 adalah sama, karena keduanya merupakan sepertiga median segitiga-segitiga tersebut.

Menurut kriteria persamaan segitiga yang telah kita buktikan pada nomor 3, segitiga HAI Dan A 1 B 1 HAI 1 sama, artinya AB = A 1 B 1 .

Demikian pula terbukti SM = B 1 C 1 dan AC = A 1 C 1 . Jadi segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama pada tiga sisi.


Dua segitiga dikatakan sama jika ketiga tinggi segitiga yang satu sama dengan tiga tinggi segitiga yang lain.

Biarkan dalam segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 masing-masing sama dengan tingginya AH. Dan A 1 H 1 , BG Dan B 1 G 1 , CF Dan C 1 F 1 (Gbr. 19). Mari kita buktikan bahwa segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 sama.

Mari kita nyatakan masing-masing sisi segitiga A, B, C Dan A 1 , B 1 , C 1, dan ketinggian yang sesuai ha, bb, jam c Dan H 1A , H 1B , H 1C. Ada persamaan ah a = bh b = bab c Dan A 1 H 1A = B 1 H 1B = C 1 H 1C. Dengan membagi suku persamaan pertama dengan suku kedua, kita memperoleh persamaan yang kemudian menjadi segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 serupa. Karena tinggi-tinggi yang bersesuaian dari segitiga-segitiga ini adalah sama, maka kedua segitiga tersebut tidak hanya sebangun, tetapi juga sama besar.