Bentuk kuadrat f(x 1, x 2,...,x n) dari n variabel adalah penjumlahan yang masing-masing sukunya merupakan kuadrat salah satu variabel, atau hasil kali dua variabel berbeda, diambil dengan koefisien tertentu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Matriks A yang tersusun dari koefisien-koefisien ini disebut matriks berbentuk kuadrat. Selalu simetris matriks (yaitu matriks yang simetris terhadap diagonal utama, a ij =a ji).

Dalam notasi matriks, bentuk kuadratnya adalah f(X) = X T AX, dimana

Memang

Misalnya kita menulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kita menemukan matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien variabel kuadrat, dan elemen sisanya sama dengan setengah koefisien bentuk kuadrat yang bersesuaian. Itu sebabnya

Misalkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, dimana C adalah matriks nonsingular orde ke-n. Maka bentuk kuadratnya f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Jadi, dengan transformasi linier tak berdegenerasi C, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A * =C T AC.

Misalnya, cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2), yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 melalui transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(Memiliki pandangan kanonik), jika semua koefisiennyasa ij = 0 untuk i≠j, yaitu f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matriksnya berbentuk diagonal.

Dalil(bukti tidak diberikan di sini). Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier tak merosot.

Sebagai contoh, mari kita bawa ke bentuk kanonik bentuk kuadrat f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama kita pilih persegi sempurna dengan variabel x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sekarang kita pilih persegi lengkap dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Kemudian transformasi linier tak berdegenerasi y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 dan y 3 = x 3 membawa bentuk kuadrat ini ke bentuk kanonik f(y 1,y 2, kamu 3) = 2kamu 1 2 - 5kamu 2 2 - (1/20)kamu 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat ditentukan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang berbeda 1). Namun, bentuk kanonik yang diperoleh dengan berbagai metode memiliki sejumlah sifat yang sama. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada metode pengurangan bentuk menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Properti ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan membawa bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasinya dengan variabel x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , dimana y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dan kamu 3 = x 1 . Di sini terdapat koefisien positif 2 untuk y 3 dan dua koefisien negatif (-3) untuk y 1 dan y 2 (dan dengan menggunakan metode lain, kita mendapatkan koefisien positif 2 untuk y 1 dan dua koefisien negatif - (-5) untuk y 2 dan (-1/20) untuk y 3 ).

Perlu juga diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat disebut peringkat bentuk kuadrat, sama dengan jumlah koefisien bukan nol dalam bentuk kanonik dan tidak berubah pada transformasi linier.

Bentuk kuadrat f(X) disebut secara positif(negatif)yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak sekaligus nol bernilai positif yaitu f(X) > 0 (negatif yaitu f(X)< 0).

Misalnya bentuk kuadrat f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 adalah pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 adalah pasti negatif, karena direpresentasikan dapat direpresentasikan dalam bentukf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dalam sebagian besar situasi praktis, agak lebih sulit untuk menetapkan tanda pasti suatu bentuk kuadrat, jadi untuk ini kami menggunakan salah satu teorema berikut (kami akan merumuskannya tanpa bukti).

Dalil. Suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Teorema (kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Utama (sudut) minor Matriks orde ke-k dari orde ke-An disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama matriks A().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, mari kita periksa bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk mengetahui kepastian tanda.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Metode 2. Minor utama matriks orde pertama A  1 =a 11 = 2 > 0. Minor utama orde kedua  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, kuadrat bentuknya pasti positif.

Kita periksa bentuk kuadrat lain untuk kepastian tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif.

Metode 2. Minor utama matriks orde pertama A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif (tanda-tanda minor utama bergantian, dimulai dengan minus).

Dan sebagai contoh lain, kita periksa bentuk kuadrat bertanda f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Salah satu dari angka-angka ini negatif dan yang lainnya positif. Tanda nilai eigennya berbeda-beda. Oleh karena itu, bentuk kuadrat tidak dapat berdefinisi negatif maupun positif, yaitu. bentuk kuadrat ini tidak pasti tanda (dapat mengambil nilai tanda apa pun).

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A  1 =a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Metode yang dipertimbangkan untuk mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik mudah digunakan ketika koefisien bukan nol ditemukan pada kuadrat variabel. Jika tidak ada, konversi masih dapat dilakukan, tetapi Anda harus menggunakan beberapa teknik lain. Misalnya, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, dimana y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Perkenalan…………………………………………………………….......................... ........ ................3

1 Informasi teoritis tentang bentuk kuadrat……………………………4

1.1 Pengertian Bentuk Kuadrat……………………………………….…4

1.2 Mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik………………...6

1.3 Hukum inersia…………………………………………………………….….11

1.4 Bentuk pasti positif……………………………………...18

2 Penggunaan praktis bentuk kuadrat…………………………22

2.1 Memecahkan masalah umum…………………………………………………………22

2.2 Tugas untuk penyelesaian mandiri………………………….………...26

2.3 Tugas tes...................................................................................................27

Kesimpulan................................................................................................29

Daftar literatur bekas…………………………………………………...30

PERKENALAN

Awalnya, teori bentuk kuadrat digunakan untuk mempelajari kurva dan permukaan yang ditentukan oleh persamaan orde kedua yang mengandung dua atau tiga variabel. Belakangan, teori ini menemukan penerapan lain. Khususnya dalam pemodelan matematika proses ekonomi fungsi tujuan mungkin mengandung suku kuadrat. Banyak penerapan bentuk kuadrat memerlukan konstruksi teori umum, ketika jumlah variabel sama dengan sembarang

, dan koefisien bentuk kuadrat tidak selalu berupa bilangan real.

Teori bentuk kuadrat pertama kali dikembangkan oleh matematikawan Perancis Lagrange, yang memiliki banyak gagasan dalam teori ini; khususnya, ia memperkenalkan konsep penting bentuk tereduksi, yang dengannya ia membuktikan keterbatasan jumlah kelas. bentuk kuadrat biner dari diskriminan tertentu. Kemudian teori ini diperluas secara signifikan oleh Gauss, yang memperkenalkan banyak konsep baru, yang atas dasar itu ia dapat memperoleh bukti teorema teori bilangan yang sulit dan mendalam yang luput dari perhatian para pendahulunya di bidang ini.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari jenis-jenis bentuk kuadrat dan cara mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik.

Pekerjaan ini menetapkan tugas-tugas berikut: memilih literatur yang diperlukan, mempertimbangkan definisi, memecahkan sejumlah masalah dan menyiapkan tes.

1 INFORMASI TEORITIS TENTANG BENTUK KUADRAT

1.1 DEFINISI BENTUK KUADRAT

Bentuk kuadrat

dari yang tidak diketahui adalah suatu penjumlahan, yang masing-masing sukunya merupakan kuadrat dari salah satu dari yang tidak diketahui tersebut, atau hasil kali dari dua variabel yang tidak diketahui. Bentuk kuadrat ada dalam dua bentuk: nyata dan kompleks, bergantung pada apakah koefisiennya bilangan real atau kompleks.

Menunjukkan koefisien di

melalui, dan saat memproduksi , melalui , bentuk kuadrat dapat direpresentasikan sebagai: .

Dari koefisien

dimungkinkan untuk membuat matriks orde persegi; disebut matriks berbentuk kuadrat, dan pangkatnya disebut pangkat berbentuk kuadrat. Jika, khususnya, , di mana , yaitu matriksnya non-degenerasi, maka bentuk kuadratnya disebut non-degenerasi. Untuk setiap matriks simetris berorde satu dapat ditentukan dalam bentuk kuadrat terdefinisi penuh: (1.1) - tidak diketahui, memiliki elemen matriks dengan koefisiennya.

Sekarang mari kita tunjukkan dengan

kolom yang terdiri dari hal-hal yang tidak diketahui: . adalah matriks yang mempunyai baris dan satu kolom. Transposisi matriks ini, kita memperoleh matriks: , terdiri dari satu baris.

Bentuk kuadrat (1.1) dengan matriks

sekarang dapat ditulis sebagai produk :.

1.2 REDUKSI KE BENTUK KUADRATIS

KE PANDANGAN KANONIS

Misalkan berbentuk kuadrat

dari yang tidak diketahui telah direduksi dengan transformasi linier non-degenerasi ke bentuk kanonik, di mana terdapat hal-hal baru yang tidak diketahui. Beberapa koefisien mungkin nol. Mari kita buktikan bahwa banyaknya koefisien bukan nol harus sama dengan pangkat bentuk. Matriks bentuk kuadrat ini mempunyai bentuk diagonal ,

dan persyaratan bahwa matriks ini memiliki peringkat

, setara dengan asumsi bahwa diagonal utamanya mengandung tepat unsur-unsur bukan nol.

Dalil. Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik melalui transformasi linier yang tidak merosot. Jika bentuk kuadrat nyata dipertimbangkan, maka semua koefisien transformasi linier yang diberikan dapat dianggap nyata.

Bukti. Teorema ini berlaku untuk kasus bentuk kuadrat dalam satu hal yang tidak diketahui, karena setiap bentuk tersebut mempunyai bentuk

, yang bersifat kanonik. Mari kita perkenalkan pembuktian dengan induksi, yaitu membuktikan teorema bentuk kuadrat yang tidak diketahui, mengingat teorema tersebut telah dibuktikan untuk bentuk dengan jumlah yang tidak diketahui lebih sedikit.

Biarkan bentuk kuadrat (1.1) dari

Bentuk L kuadrat dari N variabel adalah penjumlahan, yang setiap sukunya merupakan kuadrat salah satu variabel tersebut, atau hasil kali dua variabel berbeda.

Dengan asumsi itu dalam bentuk kuadrat L Pengurangan suku-suku serupa telah dilakukan, mari kita perkenalkan notasi berikut untuk koefisien bentuk ini: koefisien untuk dilambangkan dengan , dan koefisien pada hasil kali untuk dilambangkan dengan . Karena , koefisien hasil kali ini juga dapat dilambangkan dengan , yaitu. Notasi yang kami perkenalkan mengasumsikan validitas persamaan. Istilah tersebut sekarang dapat ditulis dalam bentuk

dan seluruh bentuk kuadrat L– berupa jumlah semua suku yang mungkin, dimana Saya Dan J sudah mengambil nilai secara independen satu sama lain
dari 1 sampai N:

(6.13)

Koefisien dapat digunakan untuk membuat matriks persegi berorde n; itu disebut matriks bentuk kuadrat L, dan peringkatnya adalah pangkat bentuk kuadrat ini. Jika, khususnya, , yaitu. matriksnya tidak berdegenerasi, maka berbentuk kuadrat L ditelepon tidak merosot. Karena , maka elemen-elemen matriks A yang simetris terhadap diagonal utama adalah sama besar, yaitu. matriks A – simetris. Sebaliknya, untuk sembarang matriks simetris A N urutannya seseorang dapat menentukan bentuk kuadrat yang terdefinisi dengan baik (6.13) dari N variabel yang memiliki elemen matriks A beserta koefisiennya.

Bentuk kuadrat (6.13) dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks menggunakan perkalian matriks yang diperkenalkan pada Bagian 3.2. Mari kita nyatakan dengan X sebuah kolom yang terdiri dari variabel

X adalah matriks yang mempunyai n baris dan satu kolom. Transposisi matriks ini, kita memperoleh matriks , terdiri dari satu baris. Bentuk kuadrat (6.13) dengan matriks sekarang dapat ditulis sebagai hasil kali berikut:

Memang:

dan kesetaraan rumus (6.13) dan (6.14) ditetapkan.

Tuliskan dalam bentuk matriks.

○ Mari kita cari matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien variabel kuadrat, yaitu. 4, 1, –3, dan elemen lainnya – menjadi setengah dari koefisien bentuk kuadrat yang bersesuaian. Itu sebabnya

. ●

Mari kita cari tahu bagaimana bentuk kuadrat berubah pada transformasi variabel linier yang tidak merosot.

Perhatikan bahwa jika matriks A dan B sedemikian rupa sehingga hasil kali keduanya terdefinisi, maka persamaannya berlaku:

(6.15)

Memang jika hasil kali AB terdefinisi, maka hasil kali juga akan terdefinisi: jumlah kolom matriks sama dengan jumlah baris matriks. Elemen matriks berdiri di dalamnya Saya baris ke-dan J kolom ke-pada matriks AB terletak di J baris ke-dan Saya kolom ke-. Oleh karena itu, ini sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen yang bersesuaian J-baris ke-matriks A dan Saya kolom matriks B, mis. sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen garis yang bersesuaian J kolom matriks dan Saya baris ke-matriks. Ini membuktikan kesetaraan (6.15).


Biarkan variabel matriks-kolom Dan dihubungkan dengan relasi linier X = CY, dimana C = ( c ij) ada beberapa matriks non-tunggal N urutan -th. Kemudian bentuk kuadrat

atau , Di mana .

Matriksnya akan simetris, karena mengingat persamaan (6.15), yang jelas berlaku untuk sejumlah faktor, dan persamaan , yang ekuivalen dengan simetri matriks A, kita mempunyai:

Jadi, dengan transformasi linier tak berdegenerasi X=CY, matriks berbentuk kuadrat mengambil bentuk

Komentar. Pangkat suatu bentuk kuadrat tidak berubah ketika melakukan transformasi linier tak merosot.

Contoh. Diberikan bentuk kuadrat

Temukan bentuk kuadrat yang diperoleh dari transformasi linier yang diberikan

, .

○ Matriks bentuk kuadrat tertentu , dan matriks transformasi linier . Oleh karena itu, menurut (6.16), matriks berbentuk kuadrat yang diinginkan

dan bentuk kuadratnya berbentuk . ●

Dengan beberapa transformasi linier yang dipilih dengan baik, bentuk kuadrat dapat disederhanakan secara signifikan.

Bentuk kuadrat ditelepon resmi(atau punya pandangan kanonik), jika semua koefisiennya di Saya≠ J:

,

dan matriksnya diagonal.

Teorema berikut ini benar.

Teorema 6.1. Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi variabel linier yang tidak merosot.

Contoh. Ubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik

○ Pertama, kita pilih kuadrat lengkap dari variabel yang koefisien kuadratnya bukan nol:

.

Sekarang mari kita pilih kuadrat dari variabel yang koefisien kuadratnya berbeda dari nol:

Jadi, transformasi linier tak merosot

mereduksi bentuk kuadrat ini menjadi bentuk kanonik

.●

Bentuk kanonik dari suatu bentuk kuadrat tidak didefinisikan secara unik, karena bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan berbagai cara. Namun, ada beberapa bentuk kanonik yang diperoleh dengan berbagai metode properti Umum. Mari kita rumuskan salah satu sifat ini sebagai teorema.

Teorema 6.2.(hukum inersia bentuk kuadrat).

Banyaknya suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada cara mereduksi bentuk tersebut ke bentuk tersebut.

Misalnya saja bentuk kuadrat

yang pada contoh yang dibahas di halaman 131 kami bawa ke formulir

hal ini dimungkinkan dengan menerapkan transformasi linier non-degenerasi

mengingatkan

.

Seperti yang Anda lihat, jumlah koefisien positif dan negatif (masing-masing dua dan satu) telah dipertahankan.

Perhatikan bahwa pangkat suatu bentuk kuadrat sama dengan jumlah koefisien bukan nol dari bentuk kanonik.

Bentuk kuadrat disebut pasti positif (negatif) jika, untuk semua nilai variabel, paling sedikit salah satunya bukan nol,

().

Saat menyelesaikan berbagai masalah yang diterapkan Seringkali kita harus mempelajari bentuk kuadrat.

Definisi. Bentuk kuadrat L(, x 2, ..., x n) dari n variabel adalah penjumlahan, yang setiap sukunya merupakan kuadrat salah satu variabel atau hasil kali dua variabel berbeda yang diambil dengan koefisien tertentu:

L( ,x 2 ,...,x n) =

Kami berasumsi bahwa koefisien bentuk kuadrat adalah bilangan real, Dan

Matriks A = () (i, j = 1, 2, ..., n), yang tersusun dari koefisien-koefisien ini, disebut matriks berbentuk kuadrat.

Dalam notasi matriks, bentuk kuadratnya berbentuk: L = X"AX, dimana X = (x 1, x 2,..., x n)" - matriks-kolom variabel.

Contoh 8.1

Tuliskan bentuk kuadrat L( , x 2 , x 3) = dalam bentuk matriks.

Mari kita cari matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien variabel kuadrat, yaitu. 4, 1, -3, dan elemen lainnya - hingga setengah dari koefisien bentuk kuadrat yang bersesuaian. Itu sebabnya

L=( , x 2 , x 3) .

Dengan transformasi linier tak berdegenerasi X = CY, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A * = C "AC. (*)

Contoh 8.2

Diketahui bentuk kuadrat L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. Temukan bentuk kuadrat L(y 1 ,y 2) yang diperoleh dari transformasi linier = 2у 1 - 3y 2 , x 2 = kamu 1 + kamu 2.

Matriks berbentuk kuadrat tertentu adalah A= , dan matriks transformasi liniernya adalah

C = . Oleh karena itu, menurut (*) matriks bentuk kuadrat yang diperlukan

Dan seperti apa bentuk kuadratnya

L(kamu 1, kamu 2) = .

Perlu dicatat bahwa dengan beberapa transformasi linier yang dipilih dengan baik, bentuk kuadrat dapat disederhanakan secara signifikan.

Definisi. Bentuk kuadrat L(,x 2,...,x n) = disebut kanonik (atau mempunyai bentuk kanonik) jika semua koefisiennya = 0 untuk i¹j:

L= , dan matriksnya berbentuk diagonal.

Teorema berikut ini benar.

Dalil. Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi variabel linier yang tidak merosot.

Contoh 8.3

Ubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik

L( , x 2 , x 3) =

Pertama, kita memilih kuadrat lengkap dari variabel, yang koefisien kuadratnya berbeda dari nol:


Sekarang kita pilih kuadrat sempurna untuk variabel yang koefisiennya berbeda dari nol:

Jadi, transformasi linier tak merosot

mereduksi bentuk kuadrat ini menjadi bentuk kanonik:

Bentuk kanonik dari suatu bentuk kuadrat tidak didefinisikan secara unik, karena bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan berbagai cara. Namun, bentuk kanonik yang diperoleh dengan berbagai metode memiliki sejumlah sifat yang sama. Mari kita rumuskan salah satu sifat ini sebagai teorema.

Teorema (hukum inersia bentuk kuadrat). Banyaknya suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada cara mereduksi bentuk tersebut ke bentuk tersebut.

Perlu diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat sama dengan jumlah koefisien bukan nol dalam bentuk kanonik dan tidak berubah pada transformasi linier.

Definisi. Bentuk kuadrat L(, x 2, ..., x n) disebut pasti positif (negatif) jika, untuk semua nilai variabel, paling sedikit salah satunya bukan nol,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

Jadi, Misalnya, bentuk kuadrat adalah pasti positif, dan bentuknya pasti negatif.

Dalil. Agar bentuk kuadrat L = X"AX menjadi pasti positif (negatif), maka semua nilai eigen matriks A harus positif (negatif).