Temukan titik-titik pada lingkaran bilangan dengan absis yang diberikan. Koordinat. Properti koordinat titik. Pusat lingkaran bilangan. Dari lingkaran ke trigonometer. Temukan titik-titik pada lingkaran bilangan. Titik dengan absis. trigonometer. Tandai sebuah titik pada lingkaran bilangan. Lingkaran angka pada bidang koordinat. Lingkaran angka. Poin dengan ordinat. Berikan koordinat titik tersebut. Sebutkan garis dan koordinat titik tersebut.

""Derivatif" aljabar kelas 10" - Penerapan turunan untuk mempelajari fungsi. Turunannya adalah nol. Temukan poinnya. Mari kita rangkum informasinya. Sifat monotonisitas fungsi. Penerapan turunan untuk mempelajari fungsi. Pemanasan teoretis. Lengkapi pernyataannya. Pilihlah pernyataan yang benar. Dalil. Membandingkan. Turunannya positif. Bandingkan rumusan teorema. Fungsinya meningkat. Kondisi yang cukup untuk ekstrem.

""Persamaan trigonometri" kelas 10" - Nilai dari interval. X= tan x. Berikan akar. Apakah kesetaraan itu benar? Serangkaian akar. Persamaan cot t = a. Definisi. Karena 4x. Temukan akar persamaannya. Persamaan tg t = a. Dosa x. Apakah ungkapan tersebut masuk akal? Dosa x =1. Jangan pernah melakukan apa yang Anda tidak tahu. Lanjutkan kalimatnya. Mari kita ambil contoh akarnya. Selesaikan persamaannya. Ctg x = 1. Persamaan trigonometri. Persamaannya.

“Aljabar “Derivatif”” - Persamaan tangen. Asal usul istilah. Memecahkan masalah. Turunan. Poin materi. Rumus diferensiasi. Arti mekanis dari turunan. Kriteria evaluasi. Fungsi turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi. Definisi turunan. Persamaan garis singgung grafik suatu fungsi. Algoritma untuk mencari turunannya. Contoh mencari turunannya. Struktur topik kajian. Titik tersebut bergerak lurus.

“Jalur terpendek” - Jalur dalam digraf. Contoh dua grafik yang berbeda. Grafik terarah. Contoh grafik berarah. Keterjangkauan. Jalur terpendek dari simpul A ke simpul D. Deskripsi algoritma. Keuntungan dari daftar hierarki. Grafik berbobot. Jalur dalam grafik. program ProGraph. Simpul dan tepi yang berdekatan. Gelar tertinggi. Matriks ketetanggaan. Panjang jalur dalam grafik berbobot. Contoh matriks ketetanggaan. Menemukan jalur terpendek.

"Sejarah Trigonometri" - Jacob Bernoulli. Teknik pengoperasian dengan fungsi trigonometri. Doktrin pengukuran polihedra. Leonard Euler. Perkembangan trigonometri dari abad ke-16 hingga saat ini. Siswa harus bertemu trigonometri tiga kali. Hingga saat ini trigonometri telah terbentuk dan berkembang. Konstruksi sistem umum pengetahuan trigonometri dan terkait. Waktu berlalu, dan trigonometri kembali ke anak sekolah.

Digit-digit dalam bilangan multi-digit dibagi dari kanan ke kiri menjadi kelompok-kelompok yang masing-masing terdiri dari tiga digit. Kelompok-kelompok ini disebut kelas. Pada setiap kelas, angka dari kanan ke kiri menunjukkan satuan, puluhan, dan ratusan dari kelas tersebut:

Kelas pertama di sebelah kanan disebut kelas unit, Kedua - ribu, ketiga - jutaan, keempat - miliaran, kelima - triliun, keenam - milion lipat empat, ketujuh - triliunan, kedelapan - sextillions.

Untuk memudahkan membaca notasi bilangan multidigit, diberi spasi kecil di antara kelas. Misalnya untuk membaca angka 148951784296, kita soroti kelas-kelas di dalamnya:

dan bacalah banyaknya satuan tiap kelas dari kiri ke kanan:

148 miliar 951 juta 784 ribu 296.

Saat membaca kelas satuan, kata satuan biasanya tidak ditambahkan di akhir.

Setiap digit dalam notasi bilangan multi digit menempati tempat – posisi tertentu. Tempat (posisi) dalam pencatatan suatu bilangan di mana angka itu berdiri disebut memulangkan.

Penghitungan angka dimulai dari kanan ke kiri. Artinya, angka pertama di sebelah kanan suatu bilangan disebut angka pertama, angka kedua di sebelah kanan disebut angka kedua, dan seterusnya. Misalnya pada bilangan golongan pertama 148.951.784.296, angka 6 adalah angka pertama, 9 adalah angka kedua, 2 adalah angka ketiga:

Satuan, puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya disebut juga satuan bit:
satuan disebut satuan kategori 1 (atau satuan sederhana)
puluhan disebut satuan angka ke-2
ratusan disebut satuan angka ke-3, dst.

Semua satuan kecuali satuan sederhana disebut unit penyusun. Jadi, sepuluh, ratus, ribu, dan seterusnya adalah satuan gabungan. Setiap 10 unit pada peringkat mana pun merupakan satu unit pada peringkat berikutnya (yang lebih tinggi). Misalnya seratus berisi 10 puluhan, sepuluh berisi 10 satuan prima.

Setiap satuan gabungan yang dibandingkan dengan satuan lain yang lebih kecil darinya disebut satuan kategori tertinggi, dan dibandingkan dengan satuan yang lebih besar dari itu disebut satuan kategori terendah. Misalnya, seratus adalah satuan tingkat tinggi yang relatif terhadap sepuluh dan satuan tingkat rendah yang relatif terhadap seribu.

Untuk mengetahui berapa banyak satuan angka apa pun yang ada dalam suatu bilangan, Anda harus membuang semua angka yang menunjukkan satuan angka yang lebih rendah dan membaca angka yang dinyatakan oleh angka yang tersisa.

Misalnya, Anda perlu mencari tahu berapa ratus bilangan 6284, yaitu berapa ratus dalam ribuan dan ratusan bilangan tertentu jika digabungkan.

Pada bilangan 6284, bilangan 2 menempati urutan ketiga dalam golongan satuan, artinya bilangan tersebut terdapat dua ratus prima. Angka berikutnya di sebelah kiri adalah 6, artinya ribuan. Karena setiap seribu berisi 10 ratusan, maka 6 ribu berisi 60. Oleh karena itu, totalnya adalah in nomor yang diberikan berisi 62 ratusan.

Angka 0 pada sembarang digit berarti tidak adanya satuan pada digit tersebut. Misalnya, angka 0 di tempat puluhan berarti tidak adanya puluhan, di tempat ratusan berarti tidak adanya ratusan, dan seterusnya. Di tempat yang ada 0, tidak ada yang dikatakan saat membaca angka tersebut:

172 526 - seratus tujuh puluh dua ribu lima ratus dua puluh enam.
102 026 - seratus dua ribu dua puluh enam.


Dari berbagai macam jenis set Yang menarik adalah apa yang disebut kumpulan angka, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa bilangan. Jelas bahwa untuk dapat bekerja dengan nyaman dengan mereka, Anda harus bisa menuliskannya. Dari prinsip notasi dan pencatatan kumpulan angka kita akan memulai artikel ini. Selanjutnya, mari kita lihat bagaimana himpunan numerik digambarkan pada garis koordinat.

Navigasi halaman.

Menulis himpunan numerik

Mari kita mulai dengan notasi yang diterima. Seperti yang Anda ketahui, huruf kapital alfabet Latin digunakan untuk menunjukkan himpunan. Kumpulan angka seperti kasus spesial set juga dilambangkan. Misalnya kita berbicara tentang himpunan bilangan A, H, W, dan seterusnya. Himpunan bilangan natural, bilangan bulat, rasional, real, kompleks, dll. sangat penting, notasinya sendiri telah diadopsi untuknya:

  • N – himpunan semua bilangan asli;
  • Z – himpunan bilangan bulat;
  • Q – himpunan bilangan rasional;
  • J – himpunan bilangan irasional;
  • R – himpunan bilangan real;
  • C adalah himpunan bilangan kompleks.

Dari sini jelas bahwa Anda tidak boleh menyatakan suatu himpunan yang terdiri dari, misalnya, dua bilangan 5 dan −7 sebagai Q, sebutan ini akan menyesatkan, karena huruf Q biasanya melambangkan himpunan semua bilangan rasional. Untuk menunjukkan himpunan numerik yang ditentukan, lebih baik menggunakan huruf “netral” lainnya, misalnya A.

Karena kita berbicara tentang notasi, mari kita ingat juga di sini tentang notasi himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mengandung unsur. Dilambangkan dengan tanda ∅.

Mari kita ingat juga sebutan apakah suatu elemen termasuk atau tidak termasuk dalam suatu himpunan. Untuk melakukan ini, gunakan tanda ∈ - milik dan ∉ - bukan milik. Misalnya, notasi 5∈N berarti bilangan 5 termasuk dalam himpunan bilangan asli, dan 5.7∉Z - pecahan desimal 5.7 bukan termasuk dalam himpunan bilangan bulat.

Dan mari kita ingat juga notasi yang digunakan untuk memasukkan satu himpunan ke himpunan lain. Jelas bahwa semua anggota himpunan N termasuk dalam himpunan Z, sehingga himpunan bilangan N termasuk dalam Z, dilambangkan dengan N⊂Z. Anda juga dapat menggunakan notasi Z⊃N, yang berarti himpunan semua bilangan bulat Z mencakup himpunan N. Relasi yang tidak disertakan dan tidak disertakan masing-masing ditandai dengan ⊄ dan . Tanda penyertaan tidak ketat dalam bentuk ⊆ dan ⊇ juga digunakan, artinya masing-masing disertakan atau bertepatan dan termasuk atau bertepatan.

Kita telah membicarakan tentang notasi, mari beralih ke deskripsi himpunan numerik. Dalam hal ini, kami hanya akan menyentuh kasus-kasus utama yang paling sering digunakan dalam praktik.

Mari kita mulai dengan himpunan numerik yang berisi sejumlah elemen berhingga dan kecil. Lebih mudah untuk mendeskripsikan himpunan numerik yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga dengan membuat daftar semua elemennya. Semua unsur bilangan ditulis dipisahkan dengan koma dan diapit tanda , sesuai dengan ketentuan umum aturan untuk mendeskripsikan himpunan. Misalnya, himpunan yang terdiri dari tiga bilangan 0, −0.25 dan 4/7 dapat digambarkan sebagai (0, −0.25, 4/7).

Kadang-kadang, ketika jumlah elemen suatu himpunan numerik cukup besar, tetapi elemen-elemen tersebut mengikuti pola tertentu, elipsis digunakan untuk deskripsi. Misalnya, himpunan semua bilangan ganjil dari 3 sampai 99 inklusif dapat ditulis sebagai (3, 5, 7, ..., 99).

Jadi kita dengan lancar mendekati deskripsi himpunan numerik, yang jumlah elemennya tidak terbatas. Terkadang mereka dapat dijelaskan menggunakan elips yang sama. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan semua bilangan asli: N=(1, 2. 3, …) .

Mereka juga menggunakan deskripsi himpunan numerik dengan menunjukkan sifat-sifat elemennya. Dalam hal ini, notasi (x| properti) digunakan. Misalnya, notasi (n| 8·n+3, n∈N) menetapkan himpunan bilangan asli yang, jika dibagi 8, menyisakan sisa 3. Himpunan yang sama ini dapat digambarkan sebagai (11,19, 27, ...).

Dalam kasus khusus, himpunan numerik dengan jumlah elemen tak terhingga adalah himpunan yang diketahui N, Z, R, dst. atau interval angka. Pada dasarnya, himpunan numerik direpresentasikan sebagai Persatuan interval numerik individual penyusunnya dan himpunan numerik dengan jumlah elemen yang terbatas (yang telah kita bicarakan sedikit di atas).

Mari kita tunjukkan sebuah contoh. Misalkan himpunan bilangan tersebut terdiri dari bilangan −10, −9, −8.56, 0, semua bilangan pada ruas [−5, −1,3] dan bilangan pada garis bilangan terbuka (7, +∞). Karena definisi gabungan himpunan, himpunan numerik yang ditentukan dapat ditulis sebagai {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Notasi ini sebenarnya berarti himpunan yang memuat semua elemen himpunan (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] dan (7, +∞).

Demikian pula, dengan menggabungkan interval bilangan yang berbeda dan himpunan bilangan individual, himpunan bilangan apa pun (yang terdiri dari bilangan real) dapat dideskripsikan. Di sini menjadi jelas mengapa jenis interval numerik seperti interval, setengah interval, segmen, sinar numerik terbuka, dan sinar numerik diperkenalkan: semuanya, ditambah dengan notasi untuk himpunan bilangan individual, memungkinkan untuk mendeskripsikan himpunan numerik apa pun melalui persatuan mereka.

Harap dicatat bahwa saat menulis kumpulan angka, angka-angka penyusunnya dan interval numeriknya diurutkan dalam urutan menaik. Ini bukanlah kondisi yang perlu tetapi diinginkan, karena himpunan numerik terurut lebih mudah untuk dibayangkan dan digambarkan pada garis koordinat. Perhatikan juga bahwa catatan tersebut tidak menggunakan interval numerik dengan elemen umum, karena catatan tersebut dapat diganti dengan menggabungkan interval numerik tanpa elemen yang sama. Misalnya, gabungan himpunan numerik dengan elemen persekutuan [−10, 0] dan (−5, 3) adalah interval setengah [−10, 3) . Hal yang sama berlaku untuk gabungan interval bilangan dengan bilangan batas yang sama, misalnya gabungan (3, 5]∪(5, 7] adalah himpunan (3, 7] , kita akan membahasnya secara terpisah ketika kita belajar cara temukan perpotongan dan gabungan himpunan bilangan

Representasi himpunan bilangan pada garis koordinat

Dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk menggunakan gambar geometris dari himpunan numerik - gambarnya aktif. Misalnya kapan menyelesaikan kesenjangan, di mana ODZ perlu diperhitungkan, perlu untuk menggambarkan himpunan numerik untuk menemukan perpotongan dan/atau kesatuannya. Jadi akan berguna untuk memiliki pemahaman yang baik tentang semua nuansa penggambaran himpunan numerik pada garis koordinat.

Diketahui terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik garis koordinat dengan bilangan real, artinya garis koordinat itu sendiri merupakan model geometri himpunan semua bilangan real R. Jadi, untuk menggambarkan himpunan semua bilangan real, Anda perlu menggambar garis koordinat dengan bayangan sepanjang keseluruhannya:

Dan seringkali mereka bahkan tidak menunjukkan asal dan segmen unitnya:

Sekarang mari kita bicara tentang gambaran himpunan numerik yang mewakili suatu bilangan nomor akhir nomor individu. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan bilangan (−2, −0.5, 1.2) . Bayangan geometri himpunan ini, yang terdiri dari tiga bilangan −2, −0.5 dan 1.2, akan menjadi tiga titik pada garis koordinat dengan koordinat yang bersesuaian:

Perhatikan bahwa biasanya untuk tujuan praktis tidak perlu menggambar dengan tepat. Seringkali gambar skema sudah cukup, yang menyiratkan bahwa skala tidak perlu dipertahankan, yang penting hanya dipertahankan pengaturan bersama titik relatif satu sama lain: setiap titik dengan koordinat lebih kecil harus berada di sebelah kiri titik dengan koordinat lebih besar. Gambar sebelumnya secara skematis akan terlihat seperti ini:

Secara terpisah, dari semua jenis himpunan numerik, interval numerik (interval, setengah interval, sinar, dll.) dibedakan, yang mewakili gambar geometrisnya; kami memeriksanya secara rinci di bagian ini. Kami tidak akan mengulanginya di sini.

Dan yang tersisa hanyalah memikirkan gambaran himpunan numerik, yang merupakan gabungan dari beberapa interval numerik dan himpunan yang terdiri dari angka-angka individual. Tidak ada yang rumit di sini: menurut arti penyatuan dalam kasus ini, pada garis koordinat perlu untuk menggambarkan semua komponen himpunan dari himpunan numerik tertentu. Sebagai contoh, mari kita tampilkan gambar kumpulan angka (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Dan mari kita membahas kasus-kasus yang cukup umum ketika himpunan numerik yang digambarkan mewakili seluruh himpunan bilangan real, dengan pengecualian satu atau beberapa titik. Himpunan seperti itu sering kali ditentukan oleh kondisi seperti x≠5 atau x≠−1, x≠2, x≠3.7, dll. Dalam kasus ini, secara geometris mereka mewakili seluruh garis koordinat, dengan pengecualian titik-titik yang bersesuaian. Dengan kata lain, titik-titik tersebut perlu “dipetik” dari garis koordinat. Mereka digambarkan sebagai lingkaran dengan pusat kosong. Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan himpunan numerik yang sesuai dengan kondisi (kumpulan ini pada dasarnya ada):

Meringkaskan. Idealnya, informasi dari paragraf sebelumnya harus membentuk tampilan rekaman dan penggambaran himpunan numerik yang sama dengan tampilan interval numerik individual: rekaman himpunan numerik harus segera memberikan gambarannya pada garis koordinat, dan dari gambar pada garis koordinat kita harus siap untuk dengan mudah mendeskripsikan himpunan numerik yang bersesuaian melalui gabungan interval individual dan himpunan yang terdiri dari bilangan individual.

Bibliografi.

  • Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Pukul 14.00 Bagian 1. Buku Ajar untuk Siswa lembaga pendidikan/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.

Gagasan intuitif tentang angka tampaknya sama tuanya dengan umat manusia itu sendiri, meskipun dapat ditelusuri dengan andal tahap awal perkembangannya pada prinsipnya tidak mungkin. Sebelum manusia belajar berhitung atau menemukan kata-kata untuk menunjukkan angka, ia pasti memiliki gagasan visual dan intuitif tentang angka yang memungkinkannya membedakan antara satu orang dan dua orang, atau antara dua dan banyak orang. Bahwa orang-orang primitif pada mulanya hanya mengetahui “satu”, “dua”, dan “banyak” diperkuat oleh fakta bahwa dalam beberapa bahasa, misalnya Yunani, terdapat tiga kata. bentuk tata bahasa: tunggal, ganda dan jamak. Nanti kawan belajar membedakan antara dua dan tiga pohon dan antara tiga dan empat orang. Menghitung awalnya diasosiasikan dengan sekumpulan objek yang sangat spesifik, dan nama pertama angka adalah kata sifat. Misalnya, kata “tiga” hanya digunakan dalam kombinasi “tiga pohon” atau “tiga orang”; gagasan bahwa himpunan ini memiliki kesamaan - konsep trinitas - diperlukan tingkat tinggi abstraksi. Penghitungan yang muncul sebelum munculnya tingkat abstraksi ini dibuktikan dengan fakta bahwa kata “satu” dan “pertama”, serta “dua” dan “kedua”, dalam banyak bahasa tidak memiliki kesamaan satu sama lain. , meskipun berada di luar penghitungan primitif “satu”, “dua”, “banyak”, kata “tiga” dan “ketiga”, “empat” dan “keempat” dengan jelas menunjukkan hubungan antara bilangan pokok dan bilangan urut.

Nama-nama angka, yang mengungkapkan gagasan yang sangat abstrak, tidak diragukan lagi muncul lebih lambat dari simbol kasar pertama yang menunjukkan jumlah objek dalam koleksi tertentu. Pada zaman dahulu, pencatatan numerik primitif dibuat dalam bentuk takik pada tongkat, simpul pada tali, diletakkan dalam deretan kerikil, dan dipahami bahwa ada korespondensi satu-satu antara unsur-unsur tersebut. himpunan yang dihitung dan simbol-simbol pencatatan numerik. Namun nama-nama angka tidak secara langsung digunakan untuk membaca catatan numerik tersebut. Saat ini kita sekilas mengenali kumpulan dua, tiga, dan empat unsur; Himpunan yang terdiri dari lima, enam atau tujuh elemen agak lebih sulit dikenali pada pandangan pertama. Dan di luar batas ini hampir tidak mungkin untuk menentukan jumlahnya dengan mata, dan diperlukan analisis baik dalam bentuk penghitungan atau dalam penataan unsur-unsur tertentu. Menghitung surat suara tampaknya merupakan teknik pertama yang digunakan dalam kasus-kasus seperti ini: takik pada surat suara disusun dalam kelompok-kelompok tertentu, seperti halnya ketika menghitung surat suara, sering kali surat suara dikelompokkan dalam kemasan yang terdiri dari lima atau sepuluh lembar. Menghitung dengan jari sangat luas, dan sangat mungkin bahwa nama-nama beberapa angka justru berasal dari metode penghitungan ini.

Ciri penting penghitungan adalah keterkaitan nama-nama bilangan dengan skema penghitungan tertentu. Misalnya, kata “dua puluh tiga” bukan hanya sebuah istilah yang berarti sekelompok objek yang terdefinisi dengan baik (dalam hal jumlah elemen); ini adalah istilah majemuk yang berarti “dua kali sepuluh dan tiga.” Di sini peran angka sepuluh sebagai kesatuan atau landasan kolektif terlihat jelas; dan memang, banyak orang menghitung sepuluh, karena, seperti yang dikatakan Aristoteles, kita punya sepuluh jari tangan dan kaki. Basis lima atau dua puluh digunakan untuk alasan yang sama. Pada tahap awal perkembangan sejarah manusia, angka 2, 3 atau 4 diambil sebagai dasar sistem bilangan; terkadang basis 12 dan 60 digunakan untuk beberapa pengukuran atau perhitungan.

Manusia mulai berhitung jauh sebelum dia belajar menulis, jadi tidak ada dokumen tertulis yang bertahan yang membuktikan kata-kata yang digunakan untuk menunjukkan angka pada zaman dahulu. Suku-suku nomaden dicirikan oleh nama-nama lisan dari angka-angka, sedangkan untuk yang tertulis, kebutuhan akan angka-angka itu muncul hanya dengan transisi ke gaya hidup menetap dan pembentukan komunitas pertanian. Kebutuhan akan sistem pencatatan bilangan pun muncul, dan pada saat itulah diletakkan landasan bagi perkembangan matematika.

Jenis angka dasar

Berbeda dengan oktaf, sedenion S tidak memiliki sifat alternatif, tetapi tetap mempertahankan sifat asosiatif kekuasaan.

Untuk mewakili bilangan bulat positif x dalam memori komputer, bilangan tersebut diubah ke sistem bilangan biner. Angka yang dihasilkan masuk sistem biner radix x 2 adalah notasi mesin untuk bilangan desimal yang bersangkutan x 10. Untuk menulis bilangan negatif, disebut. kode tambahan suatu bilangan, yang diperoleh dengan menambahkan satu pada representasi terbalik dari modulus bilangan negatif tertentu dalam sistem bilangan biner.

Representasi bilangan real dalam memori komputer (in teknologi komputer istilah bilangan floating point digunakan untuk menunjukkannya) memiliki beberapa keterbatasan terkait dengan sistem bilangan yang digunakan, serta terbatasnya jumlah memori yang dialokasikan untuk bilangan. Dengan demikian, hanya sebagian bilangan real yang dapat direpresentasikan secara akurat dalam memori komputer tanpa kehilangan. Dalam skema yang paling umum, bilangan floating point ditulis sebagai blok bit, beberapa di antaranya mewakili mantissa suatu bilangan, sebagian lagi pangkat, dan satu bit dialokasikan untuk mewakili tanda bilangan tersebut (jika perlu, bit tanda mungkin tidak ada).

bilangan bulat- ini adalah angka-angka yang memulai semuanya. Dan hari ini angka-angka inilah yang pertama kali ditemui seseorang dalam hidupnya, ketika di masa kanak-kanak ia belajar berhitung dengan jari atau menghitung dengan tongkat.

Definisi: Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung benda (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Bilangan 0 bukan bilangan asli. Ia memiliki sejarah tersendiri dalam sejarah matematika dan muncul jauh lebih lambat daripada bilangan asli.]

Himpunan semua bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, ...) dilambangkan dengan huruf N.

Bilangan bulat

Setelah belajar berhitung, hal selanjutnya yang kita lakukan adalah belajar melakukan operasi hitung pada bilangan. Biasanya penjumlahan dan pengurangan diajarkan terlebih dahulu (menggunakan tongkat hitung).

Dengan penjumlahan, semuanya menjadi jelas: menjumlahkan dua bilangan asli apa pun, hasilnya akan selalu bilangan asli yang sama. Namun dalam pengurangan kita mengetahui bahwa kita tidak dapat mengurangkan bilangan yang lebih besar dari yang lebih kecil sehingga hasilnya adalah bilangan asli. (3 − 5 = apa?) Di sinilah gagasan tentang bilangan negatif berperan. (Bilangan negatif bukan lagi bilangan asli)

Pada tahap munculnya bilangan negatif (dan mereka muncul lebih lambat dari pecahan) ada juga lawannya yang menganggapnya omong kosong. (Tiga objek dapat ditampilkan dengan jari Anda, sepuluh dapat ditampilkan, seribu objek dapat direpresentasikan dengan analogi. Dan apa yang dimaksud dengan “minus tiga tas”? - Pada saat itu, angka sudah digunakan sendiri-sendiri, terpisah dari yang spesifik objek, jumlah yang dilambangkannya masih ada di benak orang-orang yang lebih dekat dengan objek spesifik ini dibandingkan saat ini.) Namun, seperti keberatannya, argumen utama yang mendukung angka negatif berasal dari praktik: angka negatif memungkinkan untuk dengan mudah melacak hutang. 3 − 5 = −2 - Saya punya 3 koin, saya belanjakan 5. Ini berarti saya tidak hanya kehabisan koin, tetapi saya juga berhutang 2 koin kepada seseorang. Jika saya mengembalikan satu, utangnya akan berubah −2+1=−1, tetapi bisa juga diwakili oleh angka negatif.

Akibatnya, bilangan negatif muncul dalam matematika, dan sekarang kita memiliki bilangan asli yang jumlahnya tak terhingga (1, 2, 3, 4, ...) dan lawannya juga sama banyaknya (−1, −2, − 3, −4 , ...). Mari kita tambahkan 0 lagi ke dalamnya, dan kita akan menyebut himpunan semua bilangan ini bilangan bulat.

Definisi: Bilangan asli, lawannya, dan nol membentuk himpunan bilangan bulat. Itu dilambangkan dengan huruf Z.

Dua bilangan bulat apa pun dapat dikurangkan satu sama lain atau dijumlahkan untuk membentuk bilangan bulat.

Gagasan menjumlahkan bilangan bulat sudah mengandaikan kemungkinan perkalian, seperti halnya lebih cara cepat melakukan penambahan. Jika kita mempunyai 7 kantong yang masing-masing berisi 6 kilogram, kita dapat menambahkan 6+6+6+6+6+6+6 (tambahkan 6 ke total tujuh kali lipat), atau kita dapat dengan mudah mengingat bahwa operasi seperti itu akan selalu menghasilkan 42. Sama seperti menjumlahkan enam angka tujuh, 7+7+7+7+7+7 juga akan selalu menghasilkan 42.

Hasil operasi penjumlahan yakin angka dengan dirimu sendiri yakin berapa kali semua pasangan angka dari 2 sampai 9 ditulis dan tabel perkalian dibuat. Untuk mengalikan bilangan bulat lebih besar dari 9, aturan perkalian kolom diciptakan. (Yang juga berlaku untuk pecahan desimal, dan akan dibahas di salah satu artikel berikut.) Saat mengalikan dua bilangan bulat, hasilnya akan selalu berupa bilangan bulat.

Angka rasional

Sekarang pembagian. Sama seperti pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan, kita sampai pada gagasan pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian.

Kalau kita punya 7 kantong isi 6 kilogram, dengan perkalian kita dengan mudah menghitung berat seluruh isi kantong itu adalah 42 kilogram. Bayangkan kita menuangkan seluruh isi kantong ke dalam satu tumpukan bersama seberat 42 kilogram. Lalu mereka berubah pikiran dan ingin membagikan isinya kembali ke dalam 7 kantong. Berapa kilogram yang akan ada dalam satu kantong jika kita membaginya secara merata? – Tentu saja, 6.

Bagaimana jika kita ingin membagi 42 kilogram menjadi 6 kantong? Di sini kita akan berpikir bahwa total 42 kilogram yang sama dapat diperoleh jika kita menuangkan 6 kantong berisi 7 kilogram ke dalam tumpukan. Artinya bila 42 kilogram dibagi menjadi 6 kantong sama rata, kita mendapat 7 kilogram dalam satu kantong.

Bagaimana jika 42 kilogram dibagi rata menjadi 3 kantong? Dan di sini juga, kita mulai memilih bilangan yang, jika dikalikan dengan 3, akan menghasilkan 42. Untuk nilai “tabel”, seperti dalam kasus 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, kita melakukan pembagian operasi hanya dengan mengingat tabel perkalian. Untuk lebih kasus yang kompleks Pembagian kolom digunakan, yang akan dibahas pada salah satu artikel berikut. Dalam kasus 3 dan 42, Anda dapat “memilih” untuk mengingat bahwa 3 · 14 = 42. Artinya 42:3 = 14. Setiap kantong akan berisi 14 kilogram.

Sekarang mari kita coba membagi 42 kilogram secara merata menjadi 5 kantong. 42:5=?
Kita perhatikan bahwa 5 · 8 = 40 (sedikit), dan 5 · 9 = 45 (banyak). Artinya, kita tidak akan mendapat 42 kilogram dari 5 kantong, tidak juga 8 kilogram di dalam kantong, atau 9 kilogram. Jelas bahwa pada kenyataannya, bagilah kuantitas apa pun (sereal, misalnya) dengan 5 bagian yang sama tidak ada yang mengganggu kami.

Operasi pembagian bilangan bulat satu sama lain tidak serta merta menghasilkan bilangan bulat. Dari sinilah kita sampai pada konsep pecahan. 42:5 = 42/5 = 8 bilangan bulat 2/5 (jika dihitung dalam pecahan) atau 42:5 = 8,4 (jika dihitung dalam desimal).

Pecahan biasa dan desimal

Kita dapat mengatakan bahwa pecahan biasa m/n (m adalah bilangan bulat apa pun, n adalah bilangan asli apa pun) hanyalah bentuk penulisan khusus hasil pembagian bilangan m dengan bilangan n. (m disebut pembilang pecahan, n adalah penyebut) Hasil pembagian, misalnya bilangan 25 dengan bilangan 5 dapat juga dituliskan sebagai pecahan biasa 25/5. Namun hal ini tidak perlu, karena hasil pembagian 25 dengan 5 cukup dituliskan sebagai bilangan bulat 5. (Dan 25/5 = 5). Namun hasil pembagian angka 25 dengan angka 3 sudah tidak bisa dinyatakan sebagai bilangan bulat, sehingga disini perlu menggunakan pecahan, 25:3 = 25/3. (Anda dapat membedakan seluruh bagian 25/3 = 8 bilangan bulat 1/3. Pecahan biasa dan operasi dengan pecahan biasa akan dibahas lebih detail pada artikel berikut ini.)

Hal yang baik tentang pecahan biasa adalah untuk menyatakan hasil pembagian dua bilangan bulat sebagai pecahan, Anda hanya perlu menuliskan pembagian pada pembilang pecahan dan pembagi pada penyebutnya. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Kemudian, jika memungkinkan, kurangi pecahan dan/atau pisahkan seluruh bagiannya (tindakan ini dengan pecahan biasa akan dibahas secara rinci pada artikel berikut). Masalahnya adalah melakukan operasi aritmatika (penjumlahan, pengurangan) dengan pecahan biasa tidak lagi senyaman dengan bilangan bulat.

Untuk kemudahan penulisan (dalam satu baris) dan untuk kemudahan perhitungan (dengan kemungkinan perhitungan dalam kolom, seperti untuk bilangan bulat biasa), selain pecahan biasa, pecahan desimal juga diciptakan. Pecahan desimal adalah pecahan biasa yang ditulis khusus dengan penyebut 10, 100, 1000, dst. Misalnya pecahan biasa 7/10 sama dengan pecahan desimal 0,7. (8/100 = 0,08; 2 bilangan bulat 3/10 = 2,3; 7 bilangan bulat 1/1000 = 7,001). Artikel terpisah akan dikhususkan untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya. Operasi dengan desimal– artikel lainnya.

Bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa dengan penyebut 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Definisi: Semua bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan disebut bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q.

Saat membagi dua bilangan bulat satu sama lain (kecuali jika dibagi dengan 0), hasilnya akan selalu berupa bilangan rasional. Untuk pecahan biasa, terdapat aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memungkinkan Anda melakukan operasi terkait dengan dua pecahan mana pun dan juga memperoleh bilangan rasional (pecahan atau bilangan bulat) sebagai hasilnya.

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan pertama yang telah kita bahas di mana Anda dapat menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi (kecuali pembagian dengan 0), tanpa pernah melampaui batas himpunan ini (yaitu, selalu mendapatkan bilangan rasional nomor sebagai hasilnya).

Tampaknya tidak ada bilangan lain; semua bilangan rasional. Namun hal ini juga tidak benar.

Bilangan nyata

Ada bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan m/n (dimana m adalah bilangan bulat, n adalah bilangan asli).

Berapa angka-angka ini? Kami belum mempertimbangkan operasi eksponensial. Misalnya, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Sama seperti perkalian yang merupakan bentuk penulisan dan perhitungan penjumlahan yang lebih mudah, maka eksponensial adalah suatu bentuk penulisan perkalian suatu bilangan yang sama dengan bilangan itu sendiri beberapa kali.

Namun sekarang mari kita lihat operasi kebalikan dari eksponensial—ekstraksi akar. Akar kuadrat dari 16 adalah bilangan yang dikuadratkan akan menghasilkan 16, yaitu bilangan 4. Akar kuadrat dari 9 adalah 3. Tapi Akar pangkat dua dari 5 atau 2, misalnya, tidak dapat diwakili oleh bilangan rasional. (Bukti pernyataan ini, contoh bilangan irasional lainnya dan sejarahnya dapat ditemukan, misalnya di Wikipedia)

Pada GIA kelas 9 terdapat tugas untuk menentukan apakah suatu bilangan yang mengandung akar dalam notasinya rasional atau irasional. Tugasnya adalah mencoba mengubah bilangan ini menjadi bentuk yang tidak mengandung akar (menggunakan sifat-sifat akar). Jika Anda tidak dapat menghilangkan akarnya, maka bilangan tersebut tidak rasional.

Contoh lain dari bilangan irasional adalah bilangan π, yang familiar bagi semua orang dari geometri dan trigonometri.

Definisi: Bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real (atau real). Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan huruf R.

Dalam bilangan real, berbeda dengan bilangan rasional, kita dapat menyatakan jarak antara dua titik pada suatu garis atau bidang.
Jika Anda menggambar garis lurus dan memilih dua titik sembarang di atasnya atau memilih dua titik sembarang pada sebuah bidang, jarak pasti antara titik-titik tersebut mungkin tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. (Contoh: sisi miring segitiga siku-siku dengan kaki 1 dan 1 menurut teorema Pythagoras akan sama dengan akar dua - yaitu bilangan irasional. Ini juga mencakup panjang pasti diagonal sel buku catatan (panjang diagonal persegi sempurna dengan seluruh sisinya).)
Dan dalam himpunan bilangan real, setiap jarak pada garis, bidang, atau ruang dapat dinyatakan dengan bilangan real yang bersesuaian.