Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

  • Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

  • Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
  • Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
  • Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
  • Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

  • Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
  • Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Membiarkan
(1)
adalah fungsi terdiferensiasi dari variabel x. Pertama kita akan melihatnya untuk himpunan nilai x yang diambil y nilai-nilai positif: . Berikut ini kami akan menunjukkan bahwa semua hasil yang diperoleh juga berlaku untuk nilai negatif .

Dalam beberapa kasus, untuk mencari turunan dari fungsi (1), akan lebih mudah untuk melakukan pra-logaritma terlebih dahulu
,
lalu hitung turunannya. Kemudian, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks,
.
Dari sini
(2) .

Turunan logaritma suatu fungsi disebut turunan logaritma:
.

Turunan logaritma dari fungsi y = f(x) adalah turunan logaritma natural fungsi ini: (dalam f(x))′.

Kasus nilai y negatif

Sekarang perhatikan kasus ketika suatu variabel dapat mengambil nilai positif dan negatif. Dalam hal ini, ambil logaritma modulus dan temukan turunannya:
.
Dari sini
(3) .
Artinya, secara umum, Anda perlu mencari turunan logaritma modulus fungsi.

Membandingkan (2) dan (3) kita memiliki:
.
Artinya, hasil formal penghitungan turunan logaritma tidak bergantung pada apakah kita mengambil modulo atau tidak. Oleh karena itu, saat menghitung turunan logaritma, kita tidak perlu mengkhawatirkan tanda apa yang dimiliki fungsi tersebut.

Situasi ini dapat diperjelas dengan menggunakan bilangan kompleks. Misalkan, untuk beberapa nilai x, bernilai negatif: . Jika kita hanya mempertimbangkan bilangan real, maka fungsinya tidak ditentukan. Namun, jika kita mempertimbangkannya bilangan kompleks, maka kita mendapatkan yang berikut:
.
Artinya, fungsi dan berbeda dengan konstanta kompleks:
.
Karena turunan suatu konstanta adalah nol, maka
.

Properti turunan logaritma

Dari pertimbangan seperti itu maka berikut ini turunan logaritmik tidak akan berubah jika fungsi tersebut dikalikan dengan konstanta sembarang :
.
Memang menggunakan sifat-sifat logaritma, rumus jumlah turunan Dan turunan dari suatu konstanta, kita punya:

.

Penerapan turunan logaritmik

Turunan logaritma akan lebih mudah digunakan jika fungsi aslinya terdiri dari produk pangkat atau fungsi eksponensial. Dalam hal ini, operasi logaritma mengubah hasil kali fungsi menjadi jumlah fungsi tersebut. Ini menyederhanakan penghitungan turunannya.

Contoh 1

Temukan turunan dari fungsi tersebut:
.

Larutan

Mari kita logaritma fungsi aslinya:
.

Mari kita bedakan terhadap variabel x.
Dalam tabel turunan kita menemukan:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
;
;
;
;
(A1.1) .
Kalikan dengan:

.

Jadi, kami menemukan turunan logaritma:
.
Dari sini kita mencari turunan dari fungsi aslinya:
.

Catatan

Jika kita hanya ingin menggunakan bilangan real, maka kita harus mengambil logaritma modulus fungsi aslinya:
.
Kemudian
;
.
Dan kami mendapat rumus (A1.1). Oleh karena itu hasilnya tidak berubah.

Menjawab

Contoh 2

Dengan menggunakan turunan logaritma, carilah turunan fungsi tersebut
.

Larutan

Mari kita ambil logaritma:
(A2.1) .
Diferensialkan terhadap variabel x:
;
;

;
;
;
.

Kalikan dengan:
.
Dari sini kita mendapatkan turunan logaritma:
.

Turunan dari fungsi aslinya:
.

Catatan

Di sini fungsi aslinya adalah non-negatif: . Hal ini didefinisikan pada . Jika kita tidak berasumsi bahwa logaritma dapat didefinisikan untuk nilai argumen negatif, maka rumus (A2.1) harus ditulis sebagai berikut:
.
Karena

Dan
,
ini tidak akan mempengaruhi hasil akhir.

Menjawab

Contoh 3

Temukan turunannya
.

Larutan

Kami melakukan diferensiasi menggunakan turunan logaritmik. Mari kita ambil logaritma, dengan mempertimbangkan bahwa:
(A3.1) .

Dengan melakukan diferensiasi, kita memperoleh turunan logaritmik.
;
;
;
(A3.2) .

Dari dulu

.

Catatan

Mari kita melakukan perhitungan tanpa asumsi bahwa logaritma dapat didefinisikan untuk nilai argumen negatif. Untuk melakukan ini, ambil logaritma modulus fungsi asli:
.
Maka alih-alih (A3.1) kita memiliki:
;

.
Dibandingkan dengan (A3.2) kita melihat bahwa hasilnya tidak berubah.


Saat membedakan, itu bersifat indikatif fungsi daya atau ekspresi pecahan yang rumit, akan lebih mudah jika menggunakan turunan logaritmik. Pada artikel ini kita akan melihat contoh penerapannya dengan solusi mendetail.

Pemaparan lebih lanjut mengasumsikan kemampuan menggunakan tabel turunan, aturan diferensiasi dan pengetahuan tentang rumus turunan fungsi kompleks.


Penurunan rumus turunan logaritma.

Pertama, kita ambil logaritma ke basis e, sederhanakan bentuk fungsinya menggunakan sifat-sifat logaritma, lalu cari turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit:

Misalnya, cari turunan fungsi pangkat eksponensial x pangkat x.

Mengambil logaritma memberi. Menurut sifat-sifat logaritma. Membedakan kedua sisi persamaan menghasilkan hasil:

Menjawab: .

Contoh yang sama dapat diselesaikan tanpa menggunakan turunan logaritma. Anda dapat melakukan beberapa transformasi dan beralih dari mendiferensiasikan fungsi pangkat eksponensial ke mencari turunan fungsi kompleks:

Contoh.

Temukan turunan suatu fungsi .

Larutan.

Dalam contoh ini fungsinya adalah pecahan dan turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan diferensiasi. Namun karena ekspresi yang rumit, hal ini memerlukan banyak transformasi. Dalam kasus seperti itu, lebih masuk akal untuk menggunakan rumus turunan logaritma . Mengapa? Anda akan mengerti sekarang.

Ayo kita temukan dulu. Dalam transformasi kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma (logaritma suatu pecahan sama dengan selisih logaritma, dan logaritma suatu hasil kali sama dengan jumlah logaritma, dan derajat ekspresi di bawah tanda logaritma dapat berupa diambil sebagai koefisien di depan logaritma):

Transformasi ini telah membawa kita pada keadaan yang tenang ekspresi sederhana, turunannya dapat dengan mudah ditemukan:

Hasil yang diperoleh kita substitusikan ke dalam rumus turunan logaritma dan dapatkan jawabannya:

Untuk memantapkan materi, kami akan memberikan beberapa contoh lagi tanpa penjelasan detail.


Contoh.

Temukan turunan fungsi pangkat eksponensial

Apakah Anda merasa masih banyak waktu sebelum ujian? Apakah ini sebulan? Dua? Tahun? Latihan menunjukkan bahwa seorang siswa dapat menghadapi ujian dengan baik jika dia mulai mempersiapkannya terlebih dahulu. Ada banyak tugas-tugas sulit, yang menghalangi anak sekolah dan pelamar masa depan untuk mendapatkan nilai tertinggi. Anda perlu belajar untuk mengatasi kendala-kendala tersebut, dan selain itu, hal tersebut tidak sulit untuk dilakukan. Anda perlu memahami prinsip bekerja dengan berbagai tugas dari tiket. Maka tidak akan ada masalah dengan yang baru.

Logaritma pada pandangan pertama tampak sangat rumit, tetapi dengan analisis mendetail situasinya menjadi lebih sederhana. Jika Anda ingin mengikuti Ujian Negara Bersatu nilai tertinggi, Anda harus memahami konsep yang dimaksud, itulah yang kami usulkan untuk dilakukan dalam artikel ini.

Pertama, mari kita pisahkan definisi-definisi ini. Apa itu logaritma (log)? Ini adalah indikator kekuatan yang harus dinaikkan basisnya untuk mendapatkan angka yang ditentukan. Jika belum jelas, mari kita lihat contoh dasar.

Dalam hal ini alas yang paling bawah harus dipangkatkan dua untuk mendapatkan angka 4.

Sekarang mari kita lihat konsep kedua. Turunan suatu fungsi dalam bentuk apapun adalah suatu konsep yang mencirikan perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Namun, ini program sekolah, dan jika Anda memiliki masalah dengan konsep-konsep ini secara individual, ada baiknya mengulangi topik tersebut.

Turunan dari logaritma

DI DALAM Tugas Ujian Negara Bersatu Pada topik ini, beberapa masalah dapat diberikan sebagai contoh. Pertama, turunan logaritma paling sederhana. Kita perlu mencari turunan dari fungsi berikut.

Kita perlu mencari turunan selanjutnya

Ada rumus khusus.

Dalam hal ini x=u, log3x=v. Kami mengganti nilai dari fungsi kami ke dalam rumus.

Turunan dari x akan sama dengan satu. Logaritmanya sedikit lebih sulit. Namun Anda akan memahami prinsipnya jika Anda hanya mengganti nilainya. Ingatlah bahwa turunan dari lg x adalah turunannya logaritma desimal, dan turunan ln x adalah turunan dari logaritma natural (berbasis e).

Sekarang masukkan saja nilai yang dihasilkan ke dalam rumus. Coba sendiri, nanti kita cek jawabannya.

Apa yang mungkin menjadi masalah bagi sebagian orang di sini? Kami memperkenalkan konsep logaritma natural. Mari kita membicarakannya, dan pada saat yang sama mencari cara untuk menyelesaikan masalah dengannya. Anda tidak akan melihat sesuatu yang rumit, terutama jika Anda memahami prinsip pengoperasiannya. Anda harus membiasakannya, karena ini sering digunakan dalam matematika (di tingkat yang lebih tinggi lembaga pendidikan khususnya).

Turunan dari logaritma natural

Pada intinya, ini adalah turunan dari logaritma ke basis e (ini adalah bilangan irasional, yaitu sekitar 2,7). Sebenarnya ln sangat sederhana sehingga sering digunakan dalam matematika pada umumnya. Sebenarnya menyelesaikan masalah dengan itu juga tidak akan menjadi masalah. Perlu diingat bahwa turunan logaritma natural ke basis e akan sama dengan satu dibagi x. Solusi dari contoh berikut akan menjadi solusi yang paling mengungkap.

Mari kita bayangkan sebagai fungsi yang kompleks, terdiri dari dua yang sederhana.

Cukup untuk mengkonversi

Kita mencari turunan u terhadap x