VIII . Kelompok tugas konstruksi.

    Menyelesaikan kelompok masalah dengan menggunakan segitiga bantu.

Inti dari metode ini adalah konstruksi segitiga bantu dan penggunaan sifat-sifatnya serta elemen-elemen yang baru diperoleh untuk akhirnya menyelesaikan masalah.

Analisis konstruksi terdiri dari langkah-langkah berikut:

    Carilah segitiga bantu dalam analisis Anda.

    Jika muncul unsur-unsur baru dengan bantuan segitiga ABC yang dapat dibangun, maka tujuannya telah tercapai.

    Jika hal ini tidak terjadi, mungkin segitiga bantu lain dapat dibuat untuk menyediakan elemen-elemen yang hilang.

Mari kita lihat inti dari metode ini dengan menggunakan contoh.

Tugas 1. Membangun segitiga sama kaki ABC ( B= C) Oleh A, H B .

Kami mencari segitiga bantu. Jelasnya, akan lebih mudah untuk menganggap segitiga CDB sebagai segitiga seperti itu.

Ini akan menghasilkan sudut C, maka sudut ABC. Jadi ada sudut B, sudut C, artinya kita dapat membuat segitiga ABC. Kami akan menulisnya secara skematis seperti ini:

    (a, h b) → Δ CDB →< C.

    (A,< B, < C) → Δ ABC.

Tugas untuk keputusan independen:

Dengan menggunakan alasan yang mirip dengan di atas, kami merekomendasikan pembuatan segitiga sama kaki (b=c) menggunakan data berikut:

A)< А, h b ;

B)< В, h с;

G)< В, h b ;

e)< С, h b .

Tugas 2. Buatlah sebuah segitiga menggunakan jari-jari r lingkaran yang tertulis, sudut A dan sudut B.

Misalkan saya adalah pusat lingkaran pada segitiga ABC.

    (r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

    (r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

    (|IKLAN| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.

Tugas untuk solusi mandiri:

    Buatlah segitiga menggunakan elemen-elemen berikut:

a) a, hc, hb; b) a, ha, h b; c) a, m a, m b;

G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b, m b (di mana m adalah median, l adalah garis bagi, h adalah tinggi).

Sendiri:

    buatlah belah ketupat ABCD dengan menggunakan diagonal BD dan tinggi BM. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

    buatlah trapesium pada keempat sisinya.

    1. Memecahkan kelompok masalah berdasarkan masalah utama.

      1. Tugas utama:

Buatlah sebuah segitiga dengan menggunakan dua sisi dan sudut di antara keduanya.

    Buatlah segitiga siku-siku di kedua sisinya.

    Buatlah belah ketupat sepanjang dua diagonal.

    Buatlah persegi panjang dengan dua sisi yang tidak sama panjang.

    Buatlah jajar genjang menggunakan dua diagonal dan sudut di antara keduanya.

    Buatlah persegi panjang menggunakan diagonal dan sudut di antara keduanya.

    1. Tugas utama:

Buatlah segitiga dengan menggunakan satu sisi dan dua sudut yang berdekatan.

Tugas untuk solusi mandiri:

    Buatlah segitiga sama kaki menggunakan alas dan sudut yang berdekatan.

    Buatlah segitiga siku-siku menggunakan kaki dan sudut lancip yang berdekatan.

    Buatlah belah ketupat menggunakan sudut dan diagonal yang melalui titik sudut tersebut.

    Buatlah segitiga sama kaki berdasarkan tinggi dan sudut titik sudutnya.

    Buatlah sebuah persegi di sepanjang diagonal yang diberikan.

    1. Tugas utama:

Buatlah segitiga siku-siku menggunakan sisi miring dan sudut lancip.

Tugas untuk solusi mandiri:

    Buatlah segitiga sama kaki di sepanjang sisi dan sudut alasnya.

    Buatlah segitiga sama kaki dengan menggunakan sisi dan sudut titik sudutnya.

    1. Tugas utama:

Buatlah segitiga dengan menggunakan tiga sisi.

Tugas untuk solusi mandiri:

    Buatlah segitiga sama kaki menggunakan alas dan sisi-sisinya.

    Buatlah belah ketupat di sepanjang sisi dan diagonalnya.

    Buatlah jajar genjang menggunakan dua sisi yang tidak sama dan sebuah diagonal.

    Buatlah jajar genjang menggunakan satu sisi dan dua diagonal.

    1. Tugas utama:

Buatlah segitiga siku-siku menggunakan kaki dan sisi miring.

Tugas untuk solusi mandiri:

    Buatlah segitiga sama kaki sepanjang tinggi dan sisinya.

    Buatlah segitiga sama kaki dengan menggunakan alas dan garis tegak lurus dari ujung alas ke samping.

    Buatlah jajar genjang menggunakan alas, tinggi, dan diagonalnya.

    Buatlah belah ketupat sepanjang tinggi dan diagonalnya.

    Buatlah segitiga sama kaki dengan menggunakan sisi dan tinggi yang diturunkan darinya.

    Buatlah sebuah segitiga berdasarkan alas, tinggi dan sisinya.

Literatur:

    B. I. Argunov, M. B. Balk “Konstruksi geometris di pesawat”, M, “Prosveshchenie” 1955.

    Glazer G.I. “Sejarah matematika di sekolah” kelas IV – VI, M, “Pencerahan”, 1981

    I. Goldenblant “Pengalaman memecahkan masalah konstruksi geometri” “Matematika di sekolah” No. 3, 1946

    I. A. Kushnir “Dalam Satu Cara Memecahkan Masalah Konstruksi” “Matematika di Sekolah” No. 2, 1984

    A. I. Mostovoy “Menerapkan berbagai metode untuk memecahkan masalah konstruksi” “Matematika di sekolah” No. 5, 1983

    Buku Teks “Matematika” A. A. Popova. “Negara Bagian Chelyabinsk Universitas Pedagogis”, 2005

    E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova “Konstruksi geometris di kelas I – V sekolah menengah atas“Perkembangan metodologis. Sverdlovsk, 1974

Sama kaki adalah seperti ini segi tiga, yang panjang kedua sisinya sama besar.

Saat memecahkan masalah pada topik tersebut "Segitiga sama kaki" perlu menggunakan yang diketahui berikut ini properti:

1. Sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi yang sama besar adalah sama besar.
2. Garis bagi, median, dan ketinggian diambil dari sudut yang sama, sama satu sama lain.
3. Garis bagi, median, dan tinggi yang ditarik ke alas segitiga sama kaki berhimpitan satu sama lain.
4. Pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran terletak pada ketinggian, dan oleh karena itu pada median dan garis bagi yang ditarik ke alas.
5. Sudut-sudut yang besarnya sama besar pada segitiga sama kaki selalu lancip.

Suatu segitiga dikatakan sama kaki jika mempunyai segitiga berikut ini tanda-tanda:

1. Dua sudut suatu segitiga sama besar.
2. Ketinggiannya bertepatan dengan median.
3. Garis bagi bertepatan dengan median.
4. Tingginya bertepatan dengan garis bagi.
5. Kedua tinggi suatu segitiga sama besar.
6. Kedua garis bagi suatu segitiga sama besar.
7. Kedua median suatu segitiga sama besar.

Mari kita pertimbangkan beberapa masalah pada topik tersebut "Segitiga sama kaki" dan memberikan solusi rinci mereka.

Tugas 1.

Dalam segitiga sama kaki, tinggi alasnya adalah 8, dan alas ke sisinya adalah 6: 5. Tentukan jarak titik sudut segitiga ke titik potong garis bagi segitiga tersebut.

Larutan.

Misalkan diberikan segitiga sama kaki ABC (Gbr. 1).

1) Karena AC:BC = 6:5, maka AC = 6x dan BC = 5x. VN – ketinggian yang ditarik ke dasar speaker segitiga ABC.

Karena titik H berada di tengah AC (menurut sifat segitiga sama kaki), maka HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = VN 2 + NS 2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;

x = 2, maka

AC = 6x = 6 2 = 12 dan

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) Karena titik potong garis bagi suatu segitiga adalah pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya, maka
OH = r. Jari-jari lingkaran pada segitiga ABC dicari dengan menggunakan rumus

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, maka OH = r = 48/16 = 3.

Oleh karena itu VO = VN – OH; V O = 8 – 3 = 5.

Jawaban: 5.

Tugas 2.

Pada segitiga sama kaki ABC, digambarkan garis bagi AD. Luas segitiga ABD dan ADC adalah 10 dan 12. Tentukan luas tiga kali lipat persegi yang dibangun pada ketinggian segitiga yang ditarik ke alas AC.

Larutan.

Perhatikan segitiga ABC - sama kaki, AD - garis bagi sudut A (Gbr. 2).

1) Mari kita tuliskan luas segitiga BAD dan DAC:

S BURUK = 1/2 · AB · IKLAN · sin α; S DAC = 1/2 · AC · IKLAN · sin α.

2) Temukan perbandingan luasnya:

S BURUK /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.

Karena S BAD = 10, S DAC = 12, maka 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, misalkan AB = 5x dan AC = 6x.

AN = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) Dari segitiga ABN - persegi panjang menurut teorema Pythagoras AB 2 = AN 2 + BH 2;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .

Karena S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, maka 22 = 12x 2 ;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Luas persegi sama dengan VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

Jawaban: 88.

Tugas 3.

Dalam segitiga sama kaki, alasnya adalah 4 dan sisinya adalah 8. Tentukan kuadrat tinggi yang dijatuhkan ke samping.

Larutan.

Pada segitiga ABC - sama kaki BC = 8, AC = 4 (Gbr. 3).

1) ВН – tinggi yang ditarik ke alas AC segitiga ABC.

Karena titik H berada di tengah AC (menurut sifat segitiga sama kaki), maka HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) Dari segitiga VNS - persegi panjang menurut teorema Pythagoras BC 2 = VN 2 + NS 2;

64 = VN 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), serta S ABC = 1/2 · (AM · BC), maka kita samakan ruas kanan rumus tersebut, kita peroleh

1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.

Jawaban: 15.

Tugas 4.

Pada segitiga sama kaki, alas dan tinggi yang diturunkan ke segitiga tersebut adalah 16. Tentukan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga tersebut.

Larutan.

Pada segitiga ABC – alas sama kaki AC = 16, ВН = 16 – tinggi ditarik ke alas AC (Gbr. 4).

1) AN = NS = 8 (menurut sifat segitiga sama kaki).

2) Dari segitiga VNS - persegi panjang menurut teorema Pythagoras

BC 2 = VN 2 + NS 2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Perhatikan segitiga ABC: dengan teorema sinus 2R = AB/sin C, dimana R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi pada segitiga ABC.

sin C = BH/BC (dari segitiga VNS menurut definisi sinus).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, maka 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.

Jawaban: 10.

Tugas 5.

Panjang tinggi yang ditarik ke alas segitiga sama kaki adalah 36, dan jari-jari lingkaran yang tertulis adalah 10. Tentukan luas segitiga tersebut.

Larutan.

Misalkan diberikan segitiga sama kaki ABC.

1) Karena pusat lingkaran pada segitiga adalah titik potong garis-baginya, maka O ϵ VN dan AO adalah garis bagi sudut A, dan juga OH = r = 10 (Gbr. 5).

2) V O = VN – OH; V O = 36 – 10 = 26.

3) Perhatikan segitiga ABN. Berdasarkan teorema garis bagi sudut suatu segitiga

AB/AN = V O/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, misalkan AB = 13x dan AN = 5x.

Menurut teorema Pythagoras, AB 2 = AN 2 + VN 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 · 3) 2 ;

144x2 = 144 9;

x = 3, maka AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;

Jawaban: 540.

Tugas 6.

Pada segitiga sama kaki, kedua sisinya sama dengan 5 dan 20. Tentukan garis bagi sudut pada alas segitiga.

Larutan.

1) Misalkan sisi-sisi segitiga adalah 5 dan alasnya adalah 20.

Lalu 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Gbr. 6).

2) Misalkan LC = x, maka BL = 20 – x. Berdasarkan teorema garis bagi sudut suatu segitiga

AB/AC = BL/LC;

20/5 = (20 – x)/x,

maka 4x = 20 – x;

Jadi LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.

3) Mari kita gunakan rumus garis bagi sudut segitiga:

AL 2 = AB AC – BL LC,

maka AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;

Jawaban: 6.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan soal geometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Bagaimana cara membuat segitiga sama kaki? Ini mudah dilakukan dengan sel penggaris, pensil, dan buku catatan.

Kami memulai konstruksi segitiga sama kaki dari alasnya. Untuk membuat polanya genap, jumlah sel pada alasnya harus genap.

Bagilah segmen - alas segitiga - menjadi dua.

Titik sudut segitiga dapat dipilih pada ketinggian berapa pun dari alasnya, tetapi selalu tepat di atas titik tengah.

Bagaimana cara membuat segitiga sama kaki lancip?

Sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki hanya bisa lancip. Agar segitiga sama kaki menjadi lancip, sudut pada titik sudutnya juga harus lancip.

Untuk melakukan ini, pilih titik sudut segitiga yang lebih tinggi, jauh dari alasnya.

Semakin tinggi puncaknya, semakin kecil sudut puncaknya. Sudut-sudut di pangkalan bertambah.

Bagaimana cara membuat segitiga sama kaki tumpul?

Ketika titik sudut segitiga sama kaki mendekati alasnya ukuran derajat sudut puncak bertambah.

Jadi, untuk membangun sebuah sama kaki segitiga tumpul, pilih titik yang lebih rendah.

Bagaimana cara membuat segitiga siku-siku sama kaki?

Untuk membuat segitiga siku-siku sama kaki, Anda perlu memilih titik sudut pada jarak yang sama dengan setengah alasnya (hal ini disebabkan oleh sifat-sifat segitiga sama kaki. segitiga siku-siku).

Misalnya panjang alasnya 6 sel, maka kita letakkan titik sudut segitiga pada ketinggian 3 sel di atas titik tengah alasnya. Harap diperhatikan: dalam hal ini, setiap sel di sudut alas dibagi secara diagonal.

Pembuatan segitiga siku-siku sama kaki dapat dimulai dari titik sudutnya.

Kami memilih sebuah titik, dan dari sana di sudut kanan kami meletakkan segmen yang sama ke atas dan ke kanan. Ini adalah sisi-sisi segitiga.

Mari kita hubungkan keduanya dan dapatkan segitiga siku-siku sama kaki.

Konstruksi segitiga sama kaki menggunakan kompas dan penggaris tanpa pembagian akan kita bahas pada topik lain.