Memungkinkan Anda berpindah dari persamaan yang sedang diselesaikan ke persamaan yang disebut persamaan yang setara Dan persamaan akibat wajar, dari solusinya dimungkinkan untuk menentukan solusi persamaan awal. Pada artikel ini kita akan menganalisis secara rinci persamaan mana yang disebut persamaan ekuivalen dan mana yang disebut persamaan akibat wajar, memberikan definisi yang sesuai, memberikan contoh penjelasan dan menjelaskan cara mencari akar-akar persamaan menggunakan akar-akar persamaan ekuivalen dan persamaan akibat yang diketahui. .
Persamaan setara, definisi, contoh
Mari kita definisikan persamaan ekuivalen.
Definisi
Persamaan yang setara - ini adalah persamaan yang mempunyai akar-akar yang sama atau tidak mempunyai akar-akar.
Definisi yang sama maknanya, tetapi sedikit berbeda susunan katanya, diberikan dalam berbagai buku teks matematika, misalnya,
Definisi
Dua persamaan f(x)=g(x) dan r(x)=s(x) disebut setara, jika keduanya mempunyai akar-akar yang sama (atau, khususnya, jika kedua persamaan tidak mempunyai akar-akar).
Definisi
Persamaan yang mempunyai akar-akar yang sama disebut persamaan yang setara. Persamaan yang tidak mempunyai akar juga dianggap setara.
Yang dimaksud dengan akar-akar yang sama adalah sebagai berikut: jika suatu bilangan merupakan akar dari salah satu persamaan ekuivalen, maka bilangan tersebut juga merupakan akar dari persamaan-persamaan lainnya, dan tidak ada satu pun persamaan ekuivalen yang mempunyai akar yang bukan akar persamaan tersebut. akar persamaan lainnya.
Mari kita berikan contoh persamaan ekuivalen. Misalnya, tiga persamaan 4 x = 8, 2 x = 4 dan x = 2 adalah ekuivalen. Memang, masing-masing dari mereka memiliki satu akar 2, sehingga menurut definisi mereka setara. Contoh lain: dua persamaan x·0=0 dan 2+x=x+2 adalah ekuivalen, himpunan penyelesaiannya sama: akar persamaan pertama dan kedua adalah bilangan apa pun. Kedua persamaan x=x+5 dan x 4 =−1 juga merupakan contoh persamaan ekuivalen; keduanya tidak mempunyai solusi real.
Untuk melengkapi gambarannya, ada baiknya memberikan contoh persamaan yang tidak setara. Misalnya, persamaan x=2 dan x 2 =4 tidak ekuivalen, karena persamaan kedua mempunyai akar −2, yang bukan merupakan akar persamaan pertama. Persamaan dan juga tidak ekuivalen, karena akar persamaan kedua adalah bilangan apa saja, dan bilangan nol bukanlah akar persamaan pertama.
Definisi persamaan ekuivalen yang disebutkan berlaku untuk persamaan dengan satu variabel dan persamaan dengan jumlah yang besar variabel. Namun, untuk persamaan dengan dua, tiga, dan seterusnya. variabel, kata “akar” dalam definisi tersebut harus diganti dengan kata “solusi”. Jadi,
Definisi
Persamaan yang setara- ini adalah persamaan yang memiliki solusi yang sama atau tidak.
Mari kita tunjukkan contoh persamaan ekuivalen dengan beberapa variabel. x 2 +y 2 +z 2 =0 dan 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - berikut contoh persamaan ekuivalen dengan tiga variabel x, y dan z, keduanya mempunyai satu-satunya keputusan(0, 0, 0) . Namun persamaan dengan dua variabel x+y=5 dan x·y=1 tidak ekuivalen, karena, misalnya, sepasang nilai x=2, y=3 adalah solusi persamaan pertama (saat mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam persamaan pertama kita mendapatkan persamaan yang benar 2+3=5), tetapi persamaan kedua bukan merupakan solusi (saat mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan kedua kita mendapatkan persamaan yang salah 2·3=1).
Persamaan konsekuensi
Berikut definisi persamaan akibat wajar dari buku pelajaran sekolah:
Definisi
Jika setiap akar persamaan f(x)=g(x) sekaligus merupakan akar persamaan p(x)=h(x), maka persamaan p(x)=h(x) disebut konsekuensi persamaan f(x)=g(x) .
Definisi
Jika semua akar-akar persamaan pertama merupakan akar-akar persamaan kedua, maka disebut persamaan kedua konsekuensi persamaan pertama.
Mari kita berikan beberapa contoh persamaan akibat wajar. Persamaan x 2 =3 2 merupakan konsekuensi dari persamaan x−3=0. Memang persamaan kedua memiliki akar tunggal x=3, akar ini juga merupakan akar persamaan x 2 =3 2, oleh karena itu, menurut definisi, persamaan x 2 =3 2 adalah konsekuensi dari persamaan x−3= 0. Contoh lain: persamaan (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 merupakan konsekuensi dari persamaan tersebut 
, karena semua akar persamaan kedua (ada dua, yaitu 2 dan 3) jelas merupakan akar persamaan pertama.
Dari definisi persamaan akibat wajar dapat disimpulkan bahwa persamaan apa pun adalah konsekuensi dari persamaan apa pun yang tidak memiliki akar.
Perlu disebutkan beberapa konsekuensi yang cukup jelas dari definisi persamaan ekuivalen dan definisi persamaan akibat wajar:
- Jika dua persamaan ekuivalen, maka masing-masing persamaan tersebut merupakan konsekuensi dari persamaan lainnya.
- Jika masing-masing dua persamaan merupakan konsekuensi dari persamaan lainnya, maka persamaan tersebut ekuivalen.
- Dua persamaan dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika masing-masing persamaan merupakan konsekuensi dari persamaan lainnya.
Definisi. Dua persamaan f 1 (x) = g 1 (x) dan f 2 (x) = g 2 (x) disebut ekuivalen jika himpunan akar-akarnya berimpit.
Misalnya persamaan x 2 - 9 = 0 dan (2 X + 6)(X- 3) = 0 ekuivalen karena keduanya mempunyai bilangan 3 dan -3 sebagai akar-akarnya. Persamaan (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 dan x 2+ 1 = 0, karena keduanya tidak mempunyai akar, mis. himpunan akar-akarnya berhimpitan.
Definisi. Mengganti persamaan dengan persamaan ekuivalen disebut transformasi ekuivalen.
Sekarang mari kita cari tahu transformasi apa yang memungkinkan kita memperoleh persamaan ekuivalen.
Teorema 1. Biarkan persamaannya f(x) dan g(x) didefinisikan pada himpunan dan H(X) adalah ekspresi yang didefinisikan pada himpunan yang sama. Lalu persamaannya f(x) = g(x)(1)dan f(x) + jam(X) =g(x) + jam(X) (2) setara.
Bukti. Mari kita nyatakan dengan T 1 - himpunan solusi persamaan (1), dan melalui T 2 - himpunan solusi persamaan (2). Maka persamaan (1) dan (2) akan ekuivalen jika T 1 = T 2. Untuk memverifikasi ini, perlu untuk menunjukkan bahwa setiap akar dari T 1 adalah akar persamaan (2) dan, sebaliknya, akar apa pun dari T 2 adalah akar persamaan (1).
Biarkan nomornya A- akar persamaan (1). Kemudian A? T1, dan ketika disubstitusikan ke persamaan (1) mengubahnya menjadi persamaan numerik yang sebenarnya f(a) = g(a), dan ekspresi h(x) berubah menjadi ekspresi numerik H(A), yang masuk akal di lokasi syuting X. Mari kita tambahkan kedua sisi persamaan yang sebenarnya f(a) = g(a) ekspresi numerik H(A). Kita memperoleh, berdasarkan sifat-sifat persamaan numerik yang sebenarnya, persamaan numerik yang benar f(a) + jam(A) =g(a) + jam(A), yang menunjukkan nomor tersebut A adalah akar persamaan (2).
Jadi, terbukti bahwa setiap akar persamaan (1) juga merupakan akar persamaan (2), yaitu. T 1 Dengan T 2.
Biarkan sekarang A - akar persamaan (2). Kemudian A? T 2 dan ketika disubstitusikan ke persamaan (2) mengubahnya menjadi persamaan numerik yang sebenarnya f(a) + jam(A) =g(a) + jam(A). Mari kita tambahkan ekspresi numerik ke kedua sisi persamaan ini - H(A), Kami memperoleh persamaan numerik yang benar f(x) = g(x), yang menunjukkan nomor itu A - akar persamaan (1).
Jadi terbukti bahwa setiap akar persamaan (2) juga merupakan akar persamaan (1), yaitu. T 2 Dengan T 1.
Karena T 1 Dengan T 2 Dan T 2 Dengan T1, kemudian menurut definisi himpunan yang sama T 1= T 2, artinya persamaan (1) dan (2) ekuivalen.
Teorema ini dapat dirumuskan secara berbeda: jika pada kedua ruas persamaan dengan domain definisi X tambahkan ekspresi yang sama dengan variabel yang didefinisikan pada himpunan yang sama, maka kita memperoleh persamaan baru yang setara dengan persamaan yang diberikan.
Dari teorema ini ikuti akibat wajar yang digunakan saat menyelesaikan persamaan:
1. Jika kita menjumlahkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan, kita memperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.
2. Jika suatu suku (ekspresi numerik atau ekspresi dengan variabel) dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian lain, mengubah tanda suku menjadi kebalikannya, maka kita memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan.
Teorema 2. Biarkan persamaannya f(x) = g(x) ditentukan di himpunan X Dan jam(x) - ekspresi yang didefinisikan pada himpunan yang sama dan tidak hilang untuk nilai apa pun X dari banyak X. Lalu persamaannya f(x) = g(x) Dan f(x) jam(X) =g(x) jam(X) setara.
Pembuktian teorema ini sama dengan pembuktian Teorema 1.
Teorema 2 dapat dirumuskan secara berbeda: jika kedua ruas persamaan mempunyai domain X dikalikan dengan ekspresi yang sama, yang terdefinisi pada himpunan yang sama dan tidak hilang pada himpunan tersebut, maka kita memperoleh persamaan baru yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.
Akibat wajar berikut dari teorema ini: Jika kedua ruas persamaan dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan yang sama selain nol, kita memperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.
Memecahkan persamaan dalam satu variabel
Mari kita selesaikan persamaan 1- X/3 = X/6, X ? R dan kami akan membenarkan semua transformasi yang akan kami lakukan dalam proses solusi.
| Transformasi | Alasan untuk transformasi |
| 1. Mari kita bawa persamaan di ruas kiri dan kanan persamaan menjadi penyebut yang sama: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Lengkap transformasi identitas ekspresi di sisi kiri persamaan. |
| 2. Mari kita buang penyebutnya: 6-2 X = X | Kami mengalikan kedua ruas persamaan dengan 6 (Teorema 2) dan memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini. |
| 3. Kita pindahkan ekspresi -2x ke ruas kanan persamaan dengan tanda berlawanan: 6 = X+2X. | Kami menggunakan akibat wajar dari Teorema 1 dan memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan sebelumnya dan, oleh karena itu, dengan persamaan yang diberikan. |
| 4. Mari kita sajikan suku-suku serupa di ruas kanan persamaan: 6 = 3 X. | Melakukan transformasi identitas ekspresi. |
| 5. Bagi kedua ruas persamaan dengan 3: X = 2. | Kami menggunakan akibat wajar dari Teorema 2 dan memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan sebelumnya, dan oleh karena itu juga dengan persamaan ini |
Karena semua transformasi yang kita lakukan saat menyelesaikan persamaan ini adalah ekuivalen, kita dapat mengatakan bahwa 2 adalah akar persamaan ini.
Jika dalam proses penyelesaian persamaan tidak terpenuhi syarat Teorema 1 dan 2, maka dapat terjadi kehilangan akar atau muncul akar asing. Oleh karena itu, ketika mentransformasikan suatu persamaan untuk mendapatkan persamaan yang lebih sederhana, penting untuk memastikan bahwa persamaan tersebut menghasilkan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.
Misalnya saja persamaannya x(x - 1) = 2x, x? R. Mari kita bagi kedua bagiannya X, kita mendapatkan persamaannya X - 1 = 2, dari mana X= 3, yaitu persamaan ini memiliki akar tunggal - angka 3. Tapi apakah ini benar? Sangat mudah untuk melihat bahwa jika dalam persamaan ini bukan variabel X substitusikan 0, maka persamaan tersebut berubah menjadi persamaan numerik yang sebenarnya 0·(0 - 1) = 2·0. Artinya 0 adalah akar persamaan ini, yang hilang saat kita melakukan transformasi. Mari kita menganalisisnya. Hal pertama yang kami lakukan adalah membagi kedua ruas persamaan tersebut X, itu. dikalikan dengan ekspresi1/ X, tapi di X= Oh itu tidak masuk akal. Akibatnya, kondisi Teorema 2 tidak terpenuhi, yang menyebabkan hilangnya akar.
Untuk memastikan himpunan akar persamaan ini terdiri dari dua bilangan 0 dan 3, kami berikan solusi lain. Mari kita pindahkan ekspresi 2 X dari kanan ke kiri: x(x- 1) - 2x = 0. Mari kita keluarkan dari tanda kurung di sisi kiri persamaan X dan berikan istilah serupa: x(x - 3) = 0. Hasil kali dua faktor sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol X= 0 atau X- 3 = 0. Dari sini kita melihat bahwa akar-akar persamaan ini adalah 0 dan 3.
DI DALAM kursus awal matematikawan landasan teori penyelesaian persamaan adalah hubungan antara komponen dan hasil tindakan. Misalnya, menyelesaikan persamaan ( X·9):24 = 3 dibenarkan sebagai berikut. Karena yang tidak diketahui ada dalam pembagian, untuk mencari pembagiannya, Anda perlu mengalikan pembaginya dengan hasil bagi: X·9 = 24·3, atau X·9 = 72.
Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui: x = 72:9, atau x = 8, oleh karena itu, akar persamaan ini adalah angka 8.
Latihan
1 . Tentukan entri berikut yang merupakan persamaan dalam satu variabel:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
B) ( X-3)·5 = 12; D) ( X-3)· kamu =12X;
V) ( X-3) 17+12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Persamaan 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 ditentukan di himpunan bilangan asli. Jelaskan mengapa angka 1 merupakan akar persamaan tersebut, sedangkan 2 dan -1 bukan akar persamaan tersebut.
3. Dalam persamaan ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 satu angka dihapus dan diganti titik. Temukan bilangan yang terhapus jika Anda mengetahui bahwa akar persamaan ini adalah bilangan 2.
4. Merumuskan kondisi di mana:
a) angka 5 adalah akar persamaan f(x) = g(x);
b) angka 7 bukan akar persamaan f(x) = g(x).
5. Tentukan pasangan persamaan berikut yang ekuivalen pada himpunan tersebut bilangan real:
a) 3 + 7 X= -4 dan 2(3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 dan 6 + 7 X = -1;
c)3 + 7 X= -4 dan aku X + 2 = 0.
6. Merumuskan sifat-sifat persamaan relasi ekivalensi. Manakah di antara mereka yang digunakan dalam proses penyelesaian persamaan?
7. Selesaikan persamaan (semuanya diberikan pada himpunan bilangan real) dan justifikasi semua transformasi yang dilakukan dalam proses penyederhanaan:
a)(7 X+4)/2 – X = (3X-5)/2;
B) X –(3X-2)/5 = 3 – (2X-5)/3;
pada 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Siswa menyelesaikan persamaan 5 X + 15 = 3 X+9 sebagai berikut: Saya keluarkan angka 5 dari tanda kurung di sebelah kiri dan angka 3 di sebelah kanan, dan saya mendapatkan persamaannya 5(x+ 3) = 3(X+ 3) dan kemudian membagi kedua sisi ke dalam ekspresi X+ 3. Saya memperoleh persamaan 5 = 3 dan menyimpulkan bahwa persamaan ini tidak mempunyai akar. Apakah siswa tersebut benar?
9. Selesaikan persamaan 2/(2- X) – ½ = 4/((2- X)X); X? R. Apakah angka 2 merupakan akar persamaan ini?
10. Selesaikan persamaan menggunakan hubungan antara komponen dan hasil tindakan:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Selesaikan masalah menggunakan metode aritmatika dan aljabar:
a) Ada 16 buku lebih banyak di rak pertama dibandingkan rak kedua. Jika Anda mengeluarkan 3 buku dari setiap rak, maka akan ada satu setengah kali lebih banyak buku di rak pertama daripada di rak kedua. Berapa banyak buku di setiap rak?
b) Pengendara sepeda menempuh seluruh jarak dari lokasi perkemahan ke stasiun, setara dengan 26 km, dalam waktu 1 jam 10 menit. Selama 40 menit pertama kali ini ia melaju dengan satu kecepatan, dan sisanya dengan kecepatan kurang dari 3 km/jam. Temukan kecepatan pengendara sepeda pada bagian pertama perjalanan.
1. Dua pemain yang setara memainkan permainan yang tidak ada hasil seri. Berapa peluang pemain pertama untuk memenangkan: a) satu dari dua permainan? b) dua dari empat? c) tiga dari enam?
Menjawab: A) ; B) ; V)
3. Segmen AB dipisahkan oleh sebuah titik DENGAN dengan perbandingan 2:1. Empat titik dilempar secara acak pada segmen ini. Tentukan peluang terambilnya dua titik di sebelah kiri titik C dan dua di sebelah kanan.
Menjawab:
4. Tentukan peluang terjadinya peristiwa A tepat 70 kali dalam 243 percobaan jika peluang terjadinya peristiwa A dalam setiap percobaan adalah 0,25.
Menjawab: .
5. Peluang mempunyai anak laki-laki adalah 0,515. Tentukan peluang bahwa di antara 100 bayi baru lahir terdapat jumlah bayi laki-laki dan perempuan yang sama.
Menjawab: 0,0782
6. Toko menerima 500 botol dalam wadah kaca. Peluang pecahnya botol apa pun selama pengangkutan adalah 0,003. Tentukan peluang toko tersebut menerima botol pecah: a) tepat dua; b) kurang dari dua; c) setidaknya dua; d) setidaknya satu.
Menjawab: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Sebuah pabrik mobil memproduksi 80% mobil tanpa cacat yang berarti. Berapa peluang di antara 600 mobil yang dikirim dari pabrik ke bursa mobil, paling sedikit terdapat 500 mobil tanpa cacat berarti?
Menjawab: 0,02.
8. Berapa kali sebuah uang logam harus dilempar sehingga dengan probabilitas 0,95 diharapkan frekuensi relatif kemunculan lambang akan menyimpang dari probabilitas? R=0,5 kemunculan lambang dengan satu kali pelemparan koin tidak lebih dari 0,02?
Jawaban: n ≥ 2401.
9. Peluang suatu kejadian terjadi pada masing-masing dari 100 kejadian independen adalah konstan dan sama dengan P=0,8. Tentukan peluang terjadinya peristiwa: a) paling sedikit 75 kali dan tidak lebih dari 90 kali; b) paling sedikit 75 kali; c) tidak lebih dari 74 kali.
Menjawab: a B C).
10. Peluang terjadinya suatu peristiwa pada masing-masing percobaan bebas adalah 0,2. Temukan berapa deviasi frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dari probabilitasnya yang dapat diharapkan dengan probabilitas 0,9128 dengan 5000 percobaan.
Menjawab:
11. Berapa kali sebuah uang logam harus dilempar sehingga dengan probabilitas 0,6 diharapkan terjadi penyimpangan frekuensi relatif kemunculan lambang dari probabilitas P=0,5 akan menjadi nilai mutlak tidak lebih dari 0,01.
Jawaban: n = 1764.
12. Peluang suatu peristiwa terjadi pada setiap 10.000 percobaan independen adalah 0,75. Temukan probabilitas bahwa frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa akan menyimpang dari probabilitasnya dalam nilai absolut tidak lebih dari 0,01.
Menjawab: .
13. Peluang terjadinya suatu peristiwa pada masing-masing percobaan bebas adalah 0,5. Temukan jumlah percobaan N, di mana dengan probabilitas 0,7698 kita dapat mengharapkan bahwa frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa akan menyimpang dari probabilitasnya dalam nilai absolut tidak lebih dari 0,02.
Definisi. Dua rumus aljabar logika A dan B disebut setara, jika mereka mengambil nilai logika yang sama pada himpunan nilai mana pun yang termasuk dalam rumus pernyataan dasar.
Kesetaraan rumus akan dilambangkan dengan tanda dan notasi A DI DALAM berarti rumusnya A dan B setara.
Misalnya, rumusnya setara:
Formula A disebut identik benar (atau tautologi), jika mengambil nilai 1 untuk seluruh nilai variabel yang ada didalamnya.
Misalnya rumusnya juga benar , .
Rumus A ditelepon sama salahnya, jika dibutuhkan nilai 0 untuk seluruh nilai variabel yang ada didalamnya.
Misalnya, rumusnya sama saja salah.
Jelas bahwa hubungan ekivalensi bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
Ada hubungan antara konsep kesetaraan dan kesetaraan sebagai berikut: jika rumusnya A Dan DI DALAM setara, maka rumusnya A DI DALAM- tautologi, dan sebaliknya jika rumusnya A DI DALAM- tautologi, lalu rumus A Dan DI DALAM setara.
Kesetaraan aljabar logika yang paling penting dapat dibagi menjadi tiga kelompok.
1. Kesetaraan dasar:
Mari kita buktikan salah satu hukum serapan. Pertimbangkan rumusnya . Jika dalam rumus ini A= 1 maka, tentu saja, dan kemudian sebagai gabungan dari dua pernyataan yang benar. Biarkan sekarang dalam rumusnya Sebuah x = 0. Namun, berdasarkan definisi operasi konjungsi, konjungsi tersebut juga salah . Jadi, dalam semua kasus, nilai rumusnya A cocok dengan nilainya A, dan maka dari itu A X.
2. Persamaan yang menyatakan beberapa operasi logis melalui yang lain:
Jelas bahwa persamaan 5 dan 6 masing-masing diperoleh dari persamaan 3 dan 4, jika kita mengambil negasi dari kedua bagian yang terakhir dan menggunakan hukum menghilangkan negasi ganda. Jadi, empat persamaan pertama memerlukan pembuktian. Mari kita buktikan dua di antaranya: yang pertama dan ketiga.
Karena dengan nilai logika yang sama X Dan pada jika rumus , , , benar, maka konjungsinya juga benar 
.
Oleh karena itu, dalam hal ini kedua sisi ekuivalen mempunyai nilai sebenarnya yang sama.
Biarkan sekarang X Dan pada mempunyai nilai logika yang berbeda. Maka kesetaraan dan salah satu dari dua implikasi tersebut atau akan salah. Pada saat yang sama
konjungsinya akan salah . Jadi, dalam hal ini kedua sisi kesetaraan mempunyai makna logis yang sama.
Pertimbangkan kesetaraan 3. Jika X Dan pada sekaligus mengambil nilai yang sebenarnya, maka konjungsinya akan benar x&y dan negasi palsu dari sebuah konjungsi. Pada saat yang sama, dan dan akan salah, dan oleh karena itu disjungsinya juga akan salah .
Biarkan sekarang setidaknya salah satu variabel X atau pada mengevaluasi ke salah. Maka konjungsinya akan salah x&y dan negasi sebenarnya. Pada saat yang sama, negasi dari setidaknya salah satu variabel akan benar, dan oleh karena itu disjungsinya juga akan benar. .
Oleh karena itu, dalam semua kasus, kedua sisi kesetaraan 3 mengambil nilai logika yang sama.
Kesetaraan 2 dan 4 dibuktikan dengan cara yang sama.
Dari persamaan kelompok ini dapat disimpulkan bahwa rumus apa pun dalam aljabar logika dapat diganti dengan rumus ekuivalen yang hanya berisi dua operasi logika: konjungsi dan negasi atau disjungsi dan negasi.
Pengecualian lebih lanjut operasi logis mustahil. Jadi, jika kita hanya menggunakan konjungsi, maka rumusnya seperti negasi X tidak dapat dinyatakan dengan menggunakan operator konjungsi.
Namun, ada operasi yang dapat diekspresikan dengan salah satu dari lima operasi logika yang kita gunakan. Operasi seperti itu, misalnya, adalah operasi “Scheffer’s stroke”. Operasi ini ditandai dengan simbol x|y dan ditentukan oleh tabel kebenaran berikut:
| X | kamu | x|y |
Jelas, ada persamaan:
2) x&y (x|kamu)|(x|kamu).
Dari kedua persamaan ini dapat disimpulkan bahwa rumus apa pun dalam aljabar logika dapat diganti dengan rumus ekuivalen yang hanya berisi operasi “Schaeffer stroke”.
Perhatikan itu.
Operasi dapat dilakukan dengan cara yang sama 
.
3. Persamaan yang menyatakan hukum dasar aljabar logika:
1. x&y kamu&x - komutatifitas konjungsi.
2. X pada kamu X- komutatifitas disjungsi.
3. x&(y&y) (x&y)&z- asosiatif konjungsi.
4. X(yz ) (X kamu) z adalah asosiatif disjungsi.
5. x&(kamu z) (x&y) (x&z)- distribusi konjungsi relatif terhadap disjungsi.
6. X (y&z) (X kamu) & (x z ) - distribusi disjungsi relatif terhadap konjungsi.
Mari kita buktikan hukum terakhir yang terdaftar. Jika X= 1, maka rumusnya benar X (kamu & z), X kamu, x z . Namun konjungsinya juga akan benar (X kamu) & (x z ). Jadi, kapan X= 1, kedua ruas ekuivalen 6 mempunyai nilai logika yang sama (benar).
Biarkan sekarang x = 0. Lalu X (y&z) y&z, x pada pada Dan X z z , dan karena itu konjungsinya X (y&z) kamu & z. Oleh karena itu, di sini kedua ruas ekuivalen 6 ekuivalen dengan rumus yang sama kamu & z, dan karena itu mengambil nilai logika yang sama.
§ 5. Transformasi formula yang setara
Dengan menggunakan persamaan golongan I, II dan III, Anda dapat mengganti sebagian rumus atau rumus dengan rumus yang setara. Transformasi rumus seperti itu disebut setara.
Transformasi ekuivalen digunakan untuk membuktikan kesetaraan, untuk mereduksi rumus menjadi tipe tertentu, untuk menyederhanakan rumus.
Rumus A dianggap lebih sederhana daripada rumus setaranya DI DALAM, jika berisi lebih sedikit huruf, lebih sedikit operasi logika. Dalam hal ini, operasi kesetaraan dan implikasi biasanya digantikan oleh operasi disjungsi dan konjungsi, dan negasi tergolong dalam pernyataan dasar. Mari kita lihat sejumlah contoh.
1. Buktikan kesetaraan 
.
Menggunakan persamaan kelompok I, II dan III
2.
Sederhanakan rumusnya 
.
Mari kita tulis rangkaian rumus yang setara:
3. Buktikan kebenaran rumus yang sama
Mari kita tulis rangkaian rumus yang setara:
aljabar Boolean
Persamaan golongan III menunjukkan bahwa aljabar logika mempunyai hukum komutatif dan asosiatif mengenai operasi konjungsi dan disjungsi serta hukum distributif konjungsi mengenai disjungsi; hukum yang sama juga berlaku dalam aljabar bilangan. Oleh karena itu, transformasi yang sama dapat dilakukan pada rumus aljabar logika yang dilakukan pada aljabar bilangan (membuka tanda kurung, memasukkannya ke dalam tanda kurung, mengeluarkan faktor persekutuan di luar tanda kurung).
Namun dalam aljabar logika, transformasi lain dimungkinkan berdasarkan penggunaan persamaan:
Fitur ini memungkinkan kita mencapai generalisasi yang luas.
Misalkan himpunan tak kosong M elemen alam apa pun ( x,y,z,...} , di mana relasi “=” (sama) dan tiga operasi didefinisikan: “+” (penjumlahan), “ ” (perkalian) dan “-” (negasi), tunduk pada aksioma berikut:
Hukum komutatif:
1a. x + kamu = kamu + x, 1b. X kamu = kamu X.
Hukum asosiasi:
2a. x + (kamu + z)= (x + kamu) + z, 2b. X (y z) = (x kamu) z.
Hukum distributif:
3a. (x + kamu) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (kamu + z).
Hukum idempotensi:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Hukum negasi ganda:
Hukum De Morgan:
6a. , 6b . .
Hukum penyerapan:
7a. x + (y X)= X, 7b. X (kamu + x) = x.
Sangat banyak M ditelepon Aljabar Boolean.
Jika di bawah elemen utama x, y, z, ... Jika yang dimaksud dengan pernyataan adalah operasi “+”, “”, “-”, disjungsi, konjungsi, negasi, dan tanda sama dengan dianggap sebagai tanda kesetaraan, maka sebagai berikut dari persamaan golongan I, II dan III , semua aksioma aljabar Boolean terpenuhi.
Dalam kasus ketika, untuk sistem aksioma tertentu, dimungkinkan untuk memilih objek tertentu dan hubungan khusus di antara mereka sehingga semua aksioma terpenuhi, mereka mengatakan bahwa aksioma tersebut telah ditemukan. penafsiran(atau model) dari sistem aksioma ini.
Artinya aljabar logika merupakan interpretasi dari aljabar Boolean. Aljabar Boole memiliki interpretasi lain. Misalnya jika di bawah elemen utama x, y, z, ... set M yang kami maksud adalah himpunan, dengan operasi “+”, “ ”, “-”, gabungan, perpotongan, penjumlahan, masing-masing, dan dengan tanda sama dengan - tanda sama dengan himpunan, maka kita sampai pada aljabar himpunan. Tidak sulit untuk memverifikasi bahwa dalam aljabar himpunan semua aksioma aljabar Boole terpenuhi.
Di antara berbagai interpretasi aljabar Boolean, terdapat interpretasi yang bersifat teknis. Salah satunya akan dibahas di bawah ini. Seperti yang akan ditunjukkan, ini memainkan peran penting dalam otomasi modern.
Fungsi aljabar logika
Seperti yang telah disebutkan, arti rumus aljabar logika sepenuhnya bergantung pada arti pernyataan-pernyataan yang termasuk dalam rumus tersebut. Oleh karena itu, rumus aljabar logika merupakan fungsi dari pernyataan-pernyataan dasar yang terdapat di dalamnya.
Misalnya rumusnya adalah fungsi
tiga variabel f(x,y,z). Keunikan fungsi ini adalah argumennya mengambil salah satu dari dua nilai: nol atau satu, dan pada saat yang sama fungsi tersebut juga mengambil salah satu dari dua nilai: nol atau satu.
Definisi. Fungsi aljabar logika hektar variabel (atau fungsi Boolean) disebut fungsi dari variabel ha, dimana setiap variabel mengambil dua nilai: 0 dan 1, dan fungsi tersebut hanya dapat mengambil salah satu dari dua nilai: 0 atau 1.
Jelas bahwa rumus identik benar dan rumus salah identik dalam aljabar logika mewakili fungsi konstan, dan dua rumus ekuivalen menyatakan fungsi yang sama.
Mari kita cari tahu berapa banyak fungsi dari n variabel. Jelasnya, setiap fungsi aljabar logika (serta rumus aljabar logika) dapat ditentukan menggunakan tabel kebenaran, yang akan berisi 2n baris. Oleh karena itu, setiap fungsi dari n variabel mengambil 2 n nilai yang terdiri dari nol dan satu. Jadi, suatu fungsi dari n variabel ditentukan seluruhnya oleh himpunan nilai nol dan satu yang panjangnya 2 n. (Jumlah total himpunan nol dan satu yang panjangnya 2 n sama dengan . Artinya banyaknya fungsi yang berbeda dari aljabar logika P variabel sama dengan .
Secara khusus, ada empat fungsi berbeda dari satu variabel, dan enam belas fungsi berbeda dari dua variabel. Mari kita tuliskan semua fungsi aljabar logika menjadi satu Dan dua variabel.
Perhatikan tabel kebenaran berbagai fungsi dari satu variabel. Ini jelas terlihat seperti:
| X | f 1 (x) | f2(x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Dari tabel ini dapat disimpulkan bahwa dua fungsi dari satu variabel akan konstan: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, sebuah f2(x) X, Dan f 3 (x) .
Tabel kebenaran semua kemungkinan fungsi dua variabel berbentuk:
f saya = f saya (x,y)
| X | kamu | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | f 8 | f 9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Jelas bahwa ekspresi analitik dari fungsi-fungsi tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
