Apa yang dimaksud dengan integrasi per bagian? Untuk menguasai jenis integrasi ini, mari kita ingat dulu turunan suatu produk:

$((\kiri(f\cdot g \kanan))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Timbul pertanyaan: apa hubungannya integral dengan itu? Sekarang mari kita integrasikan kedua sisi persamaan ini. Jadi mari kita tuliskan:

$\int(((\left(f\cdot g \kanan))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\teks(d)x))$

Tapi apa yang dimaksud dengan antiturunan dari stroke? Itu hanya fungsinya sendiri, yang ada di dalam stroke. Jadi mari kita tuliskan:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Dalam persamaan ini, saya mengusulkan untuk menyatakan istilah tersebut. Kita punya:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Begitulah adanya rumus integrasi per bagian. Jadi, pada dasarnya kita menukarkan turunan dan fungsinya. Jika awalnya kita memiliki integral guratan dikalikan dengan sesuatu, maka kita mendapatkan integral guratan baru dikalikan dengan guratan. Itu semua aturannya. Sekilas rumus ini mungkin tampak rumit dan tidak berarti, namun nyatanya rumus ini dapat sangat menyederhanakan penghitungan. Mari kita lihat.

Contoh perhitungan integral

Soal 1. Hitung:

\[\int(\ln x\,\teks(d)x)\]\[\]

Mari kita tulis ulang ekspresi tersebut dengan menambahkan 1 sebelum logaritma:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Kami berhak melakukan ini karena baik angka maupun fungsinya tidak akan berubah. Sekarang mari kita bandingkan ungkapan ini dengan apa yang tertulis dalam rumus kita. Peran $(f)"$ adalah 1, jadi kita menulis:

$\begin(align)& (f)"=1\Panah Kanan f=x \\& g=\ln x\Panah Kanan (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Semua fungsi ini ada di tabel. Sekarang kita telah menjelaskan semua elemen yang termasuk dalam ekspresi kita, kita akan menulis ulang integral ini menggunakan rumus integrasi per bagian:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\teks(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\kiri(\ln x-1 \kanan)+C \\\ akhir(sejajarkan)\]

Itu saja, integralnya telah ditemukan.

Soal 2. Hitung:

$\int(x((\teks(e))^(-x))\,\teks(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\teks(d )x))$

Jika kita mengambil $x$ sebagai turunan, yang sekarang kita perlu mencari antiturunannya, kita akan mendapatkan $((x)^(2))$, dan ekspresi akhirnya akan berisi $((x)^(2) )( (\teks(e))^(-x))$.

Jelasnya, masalahnya tidak disederhanakan, jadi kita menukar faktor-faktornya di bawah tanda integral:

$\int(x\cdot ((\teks(e))^(-x))\,\teks(d)x)=\int(((\teks(e))^(-x))\cdot x\,\teks(d)x)$

Sekarang mari kita perkenalkan notasinya:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Panah Kanan f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\teks(e))^(-x))$

Mari kita bedakan $((\text(e))^(-x))$:

$((\kiri(((\teks(e))^(-x)) \kanan))^(\prime ))=((\teks(e))^(-x))\cdot ((\ kiri(-x \kanan))^(\prime ))=-((\teks(e))^(-x))$

Dengan kata lain, minusnya dijumlahkan terlebih dahulu lalu kedua ruasnya diintegrasikan:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Panah Kanan ((\teks(e))^(-x))=-((\kiri(((\teks(e))^(-x)) \kanan))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \kanan))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Sekarang mari kita lihat fungsi $g$:

$g=x\Panah Kanan (g)"=1$

Kami menghitung integral:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e ))^(-x)) \kanan)-\int(\kiri(-((\teks(e))^(-x)) \kanan)\cdot 1\cdot \teks(d)x)= \ \& =-x((\teks(e))^(-x))+\int(((\teks(e))^(-x))\,\teks(d)x)=-x( (\teks(e))^(-x))-((\teks(e))^(-x))+C=-((\teks(e))^(-x))\kiri(x +1 \kanan)+C \\\end(sejajarkan)$

Jadi, kami telah melakukan integrasi kedua per bagian.

Soal 3. Hitung:

$\int(x\cos 3x\,\teks(d)x)$

Dalam hal ini, apa yang harus kita ambil untuk $(f)"$ dan apa untuk $g$? Jika $x$ bertindak sebagai turunan, maka selama integrasi kita akan mendapatkan $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, dan faktor pertama tidak akan hilang di mana pun - faktor tersebut akan menjadi $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Oleh karena itu, mari kita tukar faktornya lagi:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Panah Kanan f=\int(\cos 3x\,\teks(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Panah Kanan (g)"=1 \\\ akhir(sejajarkan)$

Kami menulis ulang ekspresi asli kami dan mengembangkannya sesuai dengan rumus integrasi per bagian:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\teks(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\teks(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja, masalah ketiga terpecahkan.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat lagi rumus integrasi per bagian. Bagaimana cara memilih faktor mana yang menjadi turunan dan mana yang menjadi fungsi riil? Hanya ada satu kriteria di sini: elemen yang akan kita bedakan harus memberikan ekspresi yang “indah”, yang kemudian akan direduksi, atau hilang sama sekali selama diferensiasi. Ini mengakhiri pelajaran.

Integrasi berdasarkan bagian. Contoh solusi

Halo lagi. Hari ini dalam pelajaran kita akan belajar bagaimana mengintegrasikan bagian-bagiannya. Metode integrasi bagian merupakan salah satu landasan kalkulus integral. Selama ulangan atau ujian, siswa hampir selalu diminta untuk menyelesaikan jenis integral berikut: integral paling sederhana (lihat artikel) atau integral dengan mengganti variabel (lihat artikel) atau integralnya baru saja aktif integrasi dengan metode bagian.

Seperti biasa, Anda harus menyiapkan: Tabel integral Dan Tabel derivatif. Jika Anda masih belum memilikinya, silakan kunjungi ruang penyimpanan website saya: Rumus dan tabel matematika. Saya tidak akan bosan mengulanginya – lebih baik mencetak semuanya. Saya akan mencoba menyajikan seluruh materi secara konsisten, sederhana dan jelas; tidak ada kesulitan khusus dalam mengintegrasikan bagian-bagiannya.

Masalah apa yang dipecahkan oleh metode integrasi per bagian? Metode integrasi per bagian memecahkan masalah yang sangat penting; ini memungkinkan Anda untuk mengintegrasikan beberapa fungsi yang tidak ada dalam tabel, bekerja fungsi, dan dalam beberapa kasus – bahkan hasil bagi. Seperti yang kita ingat, tidak ada rumus yang mudah: . Tapi ada yang ini: – rumus untuk integrasi bagian-bagian secara langsung. Saya tahu, saya tahu, Anda satu-satunya - kami akan bekerja dengannya sepanjang pelajaran (sekarang lebih mudah).

Dan segera daftar ke studio. Integral jenis berikut ini diambil bagiannya:

1) , , – logaritma, logaritma dikalikan dengan beberapa polinomial.

2) ,adalah fungsi eksponensial dikalikan dengan beberapa polinomial. Ini juga termasuk integral seperti - Fungsi eksponensial, dikalikan polinomial, tapi prakteknya persentasenya 97, ada huruf bagus “e” di bawah integralnya. ...artikelnya ternyata agak liris, oh ya...musim semi telah tiba.

3) , , adalah fungsi trigonometri dikalikan dengan beberapa polinomial.

4) , – fungsi trigonometri terbalik (“lengkungan”), “lengkungan” dikalikan dengan beberapa polinomial.

Beberapa pecahan juga diambil sebagian; kami juga akan mempertimbangkan contoh terkait secara rinci.

Integral logaritma

Contoh 1

Klasik. Dari waktu ke waktu integral ini dapat ditemukan dalam tabel, tetapi tidak disarankan untuk menggunakan jawaban yang sudah jadi, karena guru mengalami kekurangan vitamin dan akan bersumpah keras. Karena integral yang dipertimbangkan sama sekali bukan tabel - integral tersebut diambil sebagian. Kami memutuskan:

Kami menyela solusi untuk penjelasan perantara.

Kami menggunakan rumus integrasi per bagian:

Rumusnya diterapkan dari kiri ke kanan

Kami melihat sisi kiri: . Tentu saja, dalam contoh kita (dan contoh lain yang akan kita bahas), sesuatu perlu ditetapkan sebagai , dan sesuatu sebagai .

Dalam integral dari tipe yang dipertimbangkan, logaritma selalu dilambangkan.

Secara teknis, desain solusi yang diimplementasikan adalah sebagai berikut;

Artinya, kami menyatakan logaritma dengan, dan dengan - bagian yang tersisa ekspresi integran.

Tahap selanjutnya: temukan diferensialnya:

Diferensial hampir sama dengan turunan, cara mencarinya sudah kita bahas pada pelajaran sebelumnya.

Sekarang kita temukan fungsinya. Untuk menemukan fungsi yang perlu Anda integrasikan sisi kanan kesetaraan yang lebih rendah:

Sekarang kita buka solusinya dan buat sisi kanan rumusnya: .
Omong-omong, berikut adalah contoh solusi akhir dengan beberapa catatan:

Satu-satunya poin dalam pekerjaan ini adalah saya segera menukar dan , karena faktornya biasanya ditulis sebelum logaritma.

Seperti yang Anda lihat, menerapkan rumus integrasi per bagian pada dasarnya mengurangi solusi kita menjadi dua integral sederhana.

Harap dicatat bahwa dalam beberapa kasus tepat setelah penerapan rumus, penyederhanaan harus dilakukan pada integral yang tersisa - dalam contoh yang dipertimbangkan, kami mengurangi integral menjadi "x".

Mari kita periksa. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil turunan dari jawabannya:

Fungsi integral asli telah diperoleh yang berarti integral tersebut diselesaikan dengan benar.

Selama pengujian, kami menggunakan aturan diferensiasi produk: . Dan ini bukanlah suatu kebetulan.

Rumus integrasi per bagian dan rumus – ini adalah dua aturan yang saling bertolak belakang.

Contoh 2

Menemukan integral tak tentu.

Integran adalah hasil kali logaritma dan polinomial.
Mari kita putuskan.

Saya akan menjelaskan lagi secara rinci prosedur penerapan aturan di masa depan, contoh akan disajikan lebih singkat, dan jika Anda mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya sendiri, Anda perlu kembali ke dua contoh pertama dari pelajaran; .

Seperti yang telah disebutkan, logaritma perlu dilambangkan (fakta bahwa itu adalah pangkat tidak menjadi masalah). Kami menunjukkan dengan bagian yang tersisa ekspresi integran.

Kami menulis di kolom:

Pertama kita temukan perbedaannya:

Di sini kita menggunakan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks . Bukan suatu kebetulan bahwa pada pelajaran pertama topik tersebut Integral tak tentu. Contoh solusi Saya fokus pada fakta bahwa untuk menguasai integral, perlu “mendapatkan” turunan. Anda harus berurusan dengan derivatif lebih dari sekali.

Sekarang kita temukan fungsinya, untuk ini kita integrasikan sisi kanan kesetaraan yang lebih rendah:

Untuk integrasi kami menggunakan rumus tabel paling sederhana

Sekarang semuanya siap untuk menerapkan rumusnya . Buka dengan tanda bintang dan “buat” solusinya sesuai dengan sisi kanan:

Di bawah integral kita kembali mempunyai polinomial untuk logaritma! Oleh karena itu, penyelesaiannya kembali diinterupsi dan aturan integrasi bagian diterapkan untuk kedua kalinya. Jangan lupa bahwa dalam situasi seperti itu, logaritma selalu dilambangkan.

Akan lebih baik jika saat ini Anda dapat menemukan integral dan turunan paling sederhana secara lisan.

(1) Jangan bingung dengan tanda-tandanya! Seringkali minusnya hilang di sini, perhatikan juga apa yang dimaksud dengan minus untuk semua mengurung , dan tanda kurung ini perlu diperluas dengan benar.

(2) Buka tanda kurung. Kami menyederhanakan integral terakhir.

(3) Kita ambil integral terakhir.

(4) “Menyisir” jawabannya.

Kebutuhan untuk menerapkan aturan integrasi per bagian dua kali (atau bahkan tiga kali) tidak jarang muncul.

Dan sekarang beberapa contoh untuk keputusan independen:

Contoh 3

Temukan integral tak tentu.

Contoh ini diselesaikan dengan mengubah variabel (atau menggantinya di bawah tanda diferensial)! Mengapa tidak - Anda dapat mencoba mengambilnya sebagian, itu akan menjadi hal yang lucu.

Contoh 4

Temukan integral tak tentu.

Namun integral ini terintegrasi bagian-bagiannya (pecahan yang dijanjikan).

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Tampaknya pada contoh 3 dan 4 integrannya serupa, tetapi metode penyelesaiannya berbeda! Ini adalah kesulitan utama dalam menguasai integral - jika Anda memilih metode yang salah untuk menyelesaikan integral, maka Anda dapat mengotak-atiknya selama berjam-jam, seperti teka-teki sungguhan. Oleh karena itu, semakin banyak Anda menyelesaikan berbagai integral, semakin baik, semakin mudah ujian dan ujiannya. Apalagi di tahun kedua akan ada persamaan diferensial, dan tanpa pengalaman menyelesaikan integral dan turunan, tidak ada yang bisa dilakukan di sana.

Dari segi logaritma, ini mungkin lebih dari cukup. Selain itu, saya juga ingat bahwa mahasiswa teknik menggunakan logaritma untuk menyebut payudara wanita =). Omong-omong, berguna untuk hafal grafik fungsi dasar utama: sinus, kosinus, tangen busur, eksponen, polinomial derajat ketiga, keempat, dll. Tentu saja tidak ada kondom di dunia
Saya tidak akan memperluasnya, tetapi sekarang Anda akan mengingat banyak hal dari bagian tersebut Grafik dan fungsi =).

Integral eksponensial dikalikan polinomial

Peraturan umum:

Contoh 5

Temukan integral tak tentu.

Dengan menggunakan algoritme yang sudah dikenal, kami mengintegrasikan berdasarkan bagian:

Jika Anda mengalami kesulitan dengan integral, Anda harus kembali ke artikel Metode perubahan variabel dalam integral tak tentu.

Satu-satunya hal lain yang dapat Anda lakukan adalah mengubah jawabannya:

Namun jika teknik perhitungan Anda kurang bagus, maka pilihan yang paling menguntungkan adalah membiarkannya sebagai jawaban atau bahkan

Artinya, contoh tersebut dianggap terselesaikan ketika integral terakhir diambil. Ini bukan suatu kesalahan; itu adalah soal lain yang mungkin diminta oleh guru Anda untuk menyederhanakan jawabannya.

Contoh 6

Temukan integral tak tentu.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Integral ini diintegrasikan dua kali per bagian. Perhatian khusus harus diberikan pada tanda-tandanya - mudah untuk menjadi bingung, kita juga ingat bahwa ini adalah fungsi yang kompleks.

Tidak ada lagi yang bisa dikatakan tentang peserta pameran. Saya hanya dapat menambahkan bahwa peserta pameran dan logaritma natural fungsi timbal balik, ini saya tentang topik menghibur grafik matematika tingkat tinggi =) Berhenti, berhenti, jangan khawatir, dosennya sadar.

Integral fungsi trigonometri dikalikan polinomial

Peraturan umum: for selalu menunjukkan polinomial

Contoh 7

Temukan integral tak tentu.

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

Hmmm...dan tidak ada yang perlu dikomentari.

Contoh 8

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri

Contoh 9

Temukan integral tak tentu

Contoh lain dengan pecahan. Seperti pada dua contoh sebelumnya, for menunjukkan polinomial.

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

Jika Anda mengalami kesulitan atau kesalahpahaman dalam mencari integral, saya sarankan untuk mengikuti pelajaran Integral fungsi trigonometri.

Contoh 10

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Petunjuk: Sebelum menggunakan metode integrasi dengan bagian, Anda harus menerapkan beberapa rumus trigonometri, yang menghasilkan hasil kali dua fungsi trigonometri menjadi satu fungsi. Rumusnya juga dapat digunakan saat menerapkan metode integrasi per bagian, mana saja yang lebih nyaman bagi Anda.

Mungkin itu saja yang ada di paragraf ini. Entah kenapa saya teringat sebuah baris dari himne fisika dan matematika “Dan grafik sinus berjalan gelombang demi gelombang sepanjang sumbu absis”….

Integral fungsi trigonometri terbalik.
Integral fungsi trigonometri terbalik dikalikan polinomial

Peraturan umum: selalu menunjukkan fungsi trigonometri terbalik.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa invers fungsi trigonometri meliputi arcsinus, arccosine, arctangent, dan arccotangent. Demi singkatnya catatan saya akan menyebutnya "lengkungan"

Metode integrasi bagian digunakan terutama ketika integran terdiri dari produk dua faktor jenis tertentu. Rumus integrasi per bagian terlihat seperti:

Hal ini memungkinkan untuk mengurangi perhitungan integral tertentu
untuk perhitungan integral
, yang ternyata lebih sederhana dari yang ini.

Sebagian besar integral yang dihitung dengan metode integrasi per bagian dapat dibagi menjadi tiga kelompok:

1. Integral bentuk
,
,
, Di mana
– polinomial,
– angka yang tidak sama dengan nol

Dalam hal ini, melalui menunjukkan polinomial

.

2. Integral bentuk
,
,
,
,
, Di mana
– polinomial.

Dalam hal ini, melalui
menunjukkan
, dan sisa integran lainnya :

3. Integral bentuk
,
, Di mana
– angka.

Dalam hal ini, melalui menunjukkan
dan terapkan rumus integrasi per bagian sebanyak dua kali, sehingga hasilnya kembali ke integral asal, setelah itu integral asal dinyatakan dari persamaan.

Komentar: Dalam beberapa kasus, untuk mencari integral tertentu, rumus integrasi per bagian harus diterapkan beberapa kali. Selain itu, metode integrasi per bagian digabungkan dengan metode lain.

Contoh 26.

Temukan integral menggunakan metode bagian: a)
; B)
.

Larutan.

B)

3.1.4. Integrasi Fungsi Pecahan-Rasional

Fungsi rasional pecahan(pecahan rasional) adalah fungsi yang sama dengan perbandingan dua polinomial:
, Di mana
– polinomial derajat
,
– polinomial derajat .

Pecahan rasional disebut benar, jika derajat polinomial pada pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial pada penyebutnya, yaitu.
, sebaliknya (jika
) pecahan rasional disebut salah.

Pecahan rasional tak wajar apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah polinomial
dan benar pecahan rasional, membagi pembilang dengan penyebut sesuai aturan pembagian polinomial:

,

Di mana
– seluruh bagian dari divisi, – pecahan rasional yang tepat,
- sisa divisi.

Bentuk pecahan rasional biasa:

SAYA. ;

II.
;

AKU AKU AKU.
;

IV.
,

Di mana ,,
,
,,,
– bilangan real dan
(itu. trinomial kuadrat pada penyebut III dan IV pecahan tidak mempunyai akar - diskriminan negatif) disebut pecahan rasional sederhana I, II, III dan IV jenis.

Mengintegrasikan pecahan sederhana

Integral pecahan paling sederhana dari empat jenis dihitung sebagai berikut.

SAYA)
.

II),
.

III) Untuk integrasi pecahan paling sederhana Tipe III, pilih satu persegi penuh pada penyebutnya dan gantikan
. Setelah substitusi, integral tersebut terbagi menjadi dua integral. Integral pertama dihitung dengan mengisolasi turunan penyebut pada pembilangnya, yang menghasilkan integral tabel, dan integral kedua diubah ke bentuk
, Karena
, yang juga memberikan integral tabel.

;

IV) Untuk mengintegrasikan pecahan paling sederhana tipe IV, pilih kuadrat lengkap pada penyebutnya dan gantikan
. Setelah substitusi, integral tersebut terbagi menjadi dua integral. Integral pertama dihitung dengan substitusi
, dan yang kedua menggunakan relasi perulangan.

Contoh 27.

Temukan integral pecahan sederhana:

A)
; B)
; V)
.

Larutan.

A)
.

Pecahan rasional wajar apa pun yang penyebutnya dapat difaktorkan dapat dinyatakan sebagai penjumlahan pecahan sederhana. Penguraian menjadi jumlah pecahan sederhana dilakukan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. Ini adalah sebagai berikut:

sesuai dengan satu pecahan bentuk ;

– setiap faktor penyebutnya
sesuai dengan jumlahnya pecahan dari bentuknya

sesuai dengan sebagian kecil dari bentuk
;

– setiap faktor kuadrat penyebutnya
sesuai dengan jumlahnya pecahan dari bentuknya

di mana adalah koefisien yang belum ditentukan.

Untuk mencari koefisien tak tentu, ruas kanan yang berupa jumlah pecahan sederhana dibawa ke penyebut yang sama dan diubah. Hasilnya adalah pecahan yang penyebutnya sama dengan ruas kiri persamaan. Kemudian penyebutnya dibuang dan pembilangnya disamakan. Hasilnya adalah persamaan identik yang ruas kirinya adalah polinomial yang koefisiennya diketahui, dan ruas kanannya adalah polinomial yang koefisiennya tidak diketahui.

Ada dua cara untuk menentukan koefisien yang tidak diketahui: metode koefisien yang tidak diketahui dan metode nilai parsial.

Metode koefisien yang tidak dapat ditentukan.

Karena polinomial identik sama, maka koefisien pada pangkat yang sama juga sama . Menyamakan koefisien pada derajat yang sama dalam polinomial ruas kiri dan kanan, kita memperoleh sistemnya persamaan linear. Saat menyelesaikan sistem, kami menentukan koefisien tak tentu.

Metode nilai-nilai pribadi.

Karena polinomialnya identik sama, lalu disubstitusikan di sisi kiri dan kanan bilangan apa pun, kita memperoleh persamaan sejati, linier terhadap koefisien yang tidak diketahui. Mengganti begitu banyak nilai , berapa banyak koefisien yang tidak diketahui, kita memperoleh sistem persamaan linier. Alih-alih Anda dapat mengganti bilangan apa pun di ruas kiri dan kanan, tetapi akan lebih mudah jika mengganti akar penyebut pecahan.

Setelah mencari nilai koefisien yang tidak diketahui, pecahan asli dituliskan sebagai penjumlahan pecahan sederhana dalam integran dan integrasi yang telah dibahas sebelumnya dilakukan pada setiap pecahan sederhana.

Skema integrasi pecahan rasional:

1. Jika integran tidak wajar, maka integral tersebut harus direpresentasikan sebagai jumlah polinomial dan pecahan rasional wajar (yaitu membagi polinomial pembilang dengan polinomial penyebut dengan sisa). Jika integrannya benar, kita langsung beralih ke poin kedua diagram.

2. Faktorkan penyebut suatu pecahan rasional sejati, jika memungkinkan.

3. Perluas pecahan rasional biasa menjadi jumlah pecahan rasional sederhana dengan menggunakan metode koefisien tak tentu.

4. Integrasikan hasil penjumlahan pecahan polinomial dan pecahan sederhana.

Contoh 28.

Temukan integral pecahan rasional:

A)
; B)
; V)
.

Larutan.

A)
.

Karena integran adalah pecahan rasional tak wajar, lalu kita pilih seluruh bagiannya, mis. Mari kita bayangkan sebagai jumlah polinomial dan pecahan rasional sejati. Bagilah polinomial pada pembilangnya dengan polinomial pada penyebutnya dengan menggunakan sudut.

Integral asal akan berbentuk:
.

Mari kita menguraikan pecahan rasional menjadi jumlah pecahan sederhana menggunakan metode koefisien tak tentu:

, kita mendapatkan:

Memecahkan sistem persamaan linier, kita memperoleh nilai koefisien tak tentu: A = 1; DI DALAM = 3.

Maka pemuaian yang diperlukan berbentuk:
.

=
.

B)
.

.

Mari kita buang penyebutnya dan menyamakan ruas kiri dan kanan:

Menyamakan koefisien pada derajat yang sama , kami mendapatkan sistem:

Dengan menyelesaikan sistem lima persamaan linier, kita menemukan koefisien yang belum ditentukan:

.

Mari kita cari integral asal, dengan memperhitungkan pemuaian yang dihasilkan:

.

V)
.

Mari kita kembangkan integran (pecahan rasional sejati) menjadi jumlah pecahan sederhana menggunakan metode koefisien tak tentu. Kami mencari dekomposisi dalam bentuk:

.

Direduksi menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan:

Mari kita buang penyebutnya dan menyamakan ruas kiri dan kanan:

Untuk mencari koefisien tak tentu, kami menerapkan metode nilai parsial. Mari kita tambahkan nilai parsial di mana faktor-faktornya hilang, yaitu, kita mengganti nilai-nilai ini ke dalam ekspresi terakhir dan mendapatkan tiga persamaan:

;
;

;
;

;
.

Maka pemuaian yang diperlukan berbentuk:

Mari kita cari integral asal, dengan memperhitungkan pemuaian yang dihasilkan:

Kita tidak selalu dapat menghitung fungsi antiturunan, namun masalah diferensiasi dapat diselesaikan untuk fungsi apa pun. Itulah sebabnya tidak ada metode integrasi tunggal yang dapat digunakan untuk semua jenis perhitungan.

Pada materi ini, kita akan melihat contoh penyelesaian masalah yang berkaitan dengan pencarian integral tak tentu, dan melihat jenis integran apa yang cocok untuk setiap metode.

Metode integrasi langsung

Metode utama untuk menghitung fungsi antiturunan adalah integrasi langsung. Tindakan ini didasarkan pada sifat-sifat integral tak tentu, dan untuk perhitungannya kita memerlukan tabel antiturunan. Metode lain hanya dapat membantu membawa integral asli ke bentuk tabel.

Contoh 1

Hitung set fungsi antiturunan f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 .

Larutan

Pertama kita ubah bentuk fungsinya menjadi f(x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Kita mengetahui bahwa integral jumlah fungsi akan sama dengan jumlah integral tersebut, yang artinya:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Kami memperoleh koefisien numerik di belakang tanda integral:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Untuk mencari integral pertama, kita perlu mengacu pada tabel antiturunan. Kita ambil darinya nilai ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Untuk mencari integral kedua, Anda memerlukan tabel antiturunan fungsi daya∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , serta aturan ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Jadi, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x dalam 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Kami mendapatkan yang berikut ini:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x dalam 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

dengan C = C 1 + 3 2 C 2

Menjawab:∫ f(x) dx = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Kami mendedikasikan artikel terpisah untuk mengarahkan integrasi menggunakan tabel antiturunan. Kami menyarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Metode substitusi

Metode integrasi ini terdiri dari ekspresi integran melalui variabel baru yang diperkenalkan khusus untuk tujuan ini. Hasilnya, kita akan mendapatkan bentuk tabel dari integral tersebut atau integral yang tidak terlalu kompleks.

Cara ini sangat berguna ketika Anda perlu mengintegrasikan fungsi dengan fungsi radikal atau trigonometri.

Contoh 2

Evaluasi integral tak tentu ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Larutan

Mari tambahkan satu variabel lagi z = 2 x - 9 . Sekarang kita perlu menyatakan x dalam bentuk z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Kita ambil tabel antiturunan dan temukan bahwa 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Sekarang kita perlu kembali ke variabel x dan mendapatkan jawabannya:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Menjawab:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Jika kita harus mengintegrasikan fungsi dengan irasionalitas berbentuk x m (a + b x n) p, dimana nilai m, n, p adalah angka rasional, maka penting untuk menyusun ekspresi dengan benar untuk memasukkan variabel baru. Baca lebih lanjut tentang ini di artikel tentang mengintegrasikan fungsi irasional.

Seperti yang kami katakan di atas, metode substitusi mudah digunakan saat Anda perlu mengintegrasikan fungsi trigonometri. Misalnya, dengan menggunakan substitusi universal, Anda dapat mereduksi suatu ekspresi menjadi bentuk rasional pecahan.

Metode ini menjelaskan aturan integrasi ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Kita tambahkan variabel lain z = k x + b. Kami mendapatkan yang berikut:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Sekarang kita mengambil ekspresi yang dihasilkan dan menambahkannya ke integral yang ditentukan dalam kondisi:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Jika kita menerima C 1 k = C dan kembali ke variabel asal x, maka kita peroleh:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Metode berlangganan tanda diferensial

Metode ini didasarkan pada transformasi integran menjadi fungsi berbentuk f (g (x)) d (g (x)). Setelah itu, kita melakukan substitusi dengan memasukkan variabel baru z = g (x), mencari antiturunannya dan kembali ke variabel asal.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

Untuk menyelesaikan masalah dengan lebih cepat menggunakan metode ini, siapkan tabel turunan dalam bentuk diferensial dan tabel antiturunan untuk menemukan ekspresi yang perlu dikurangi integrannya.

Mari kita menganalisis masalah di mana kita perlu menghitung himpunan antiturunan dari fungsi kotangen.

Contoh 3

Hitung integral tak tentu ∫ c t g x d x .

Larutan

Mari kita ubah ekspresi asli menjadi integral menggunakan rumus dasar trigonometri.

c t g x d x = cos s d x dosa x

Kita lihat tabel turunannya dan lihat bahwa pembilangnya dapat dimasukkan ke dalam tanda diferensial cos x d x = d (sin x), yang artinya:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, yaitu ∫ c t g x d x = ∫ d dosa x dosa x .

Misalkan sin x = z, dalam hal ini ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Berdasarkan tabel antiturunan, ∫ d z z = ln z + C . Sekarang mari kita kembali ke variabel awal ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Semua solusi masuk secara singkat dapat ditulis seperti ini:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Jawaban: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Metode berlangganan tanda diferensial sangat sering digunakan dalam praktik, jadi kami menyarankan Anda untuk membaca artikel terpisah yang didedikasikan untuk itu.

Metode integrasi berdasarkan bagian

Metode ini didasarkan pada transformasi integran menjadi produk berbentuk f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), setelah itu rumus ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Ini adalah metode penyelesaian yang sangat mudah dan umum. Terkadang integrasi parsial dalam satu permasalahan harus diterapkan beberapa kali sebelum memperolehnya hasil yang diinginkan.

Mari kita menganalisis masalah di mana kita perlu menghitung himpunan antiturunan dari tangen busur.

Contoh 4

Hitung integral tak tentu ∫ a r c t g (2 x) d x .

Larutan

Misalkan u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, dalam hal ini:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Saat kita menghitung nilai fungsi v (x), kita tidak boleh menambahkan konstanta sembarang C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Kami menghitung integral yang dihasilkan menggunakan metode menjumlahkan tanda diferensial.

Karena ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , maka 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 dalam 1 + 4 x 2 + C

Menjawab:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Kesulitan utama dalam menggunakan metode ini adalah harus memilih bagian mana yang akan dijadikan diferensial dan bagian mana yang akan dijadikan fungsi u (x). Artikel tentang metode integrasi per bagian memberikan beberapa saran tentang masalah ini yang harus Anda pahami.

Jika kita perlu mencari himpunan antiturunan dari fungsi rasional pecahan, pertama-tama kita harus menyatakan integran sebagai jumlah pecahan sederhana, lalu mengintegrasikan pecahan yang dihasilkan. Untuk informasi lebih lanjut, lihat artikel tentang pengintegrasian pecahan sederhana.

Jika kita berintegrasi ekspresi kekuatan dari bentuk sin 7 x d x atau d x (x 2 + a 2) 8 , maka bermanfaat bagi kita rumus perulangan, yang secara bertahap dapat mengurangi derajatnya. Mereka diturunkan menggunakan integrasi berulang secara berurutan berdasarkan bagian-bagiannya. Kami merekomendasikan membaca artikel “Integrasi menggunakan rumus perulangan.

Mari kita rangkum. Untuk menyelesaikan masalah, sangat penting untuk mengetahui metode integrasi langsung. Metode lain (substitusi, substitusi, integrasi per bagian) juga memungkinkan Anda menyederhanakan integral dan membawanya ke bentuk tabel.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Misalkan U(x) dan V(x) merupakan fungsi terdiferensiasi. Maka d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . Oleh karena itu U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . Menghitung integral kedua ruas persamaan terakhir, dengan mempertimbangkan fakta bahwa ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, kita memperoleh relasi

Disebut rumus integrasi per bagian. Hal ini dipahami dalam arti bahwa himpunan antiturunan di sisi kiri bertepatan dengan himpunan antiturunan yang diperoleh dari sisi kanan.

Penerapan metode integrasi per bagian

Karena kekhasan mencari besaran tertentu, rumus integrasi per bagian sangat sering digunakan dalam soal-soal berikut:

1. Ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu. Rumus untuk menemukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak kontinu mencakup dua faktor: fungsi polinomial x dan kepadatan distribusi f(x) .
2. Ekspansi deret Fourier. Saat melakukan dekomposisi, perlu untuk menentukan koefisien, yang ditemukan dengan mengintegrasikan produk dari fungsi f(x) dan fungsi trigonometri cos(x) atau sin(x).

Dekomposisi tipikal menjadi beberapa bagian

Saat menggunakan rumus integrasi per bagian, Anda harus berhasil memilih U dan dV agar integral yang diperoleh di sisi kanan rumus lebih mudah dicari. Mari kita masukkan U=e x , dV=xdx pada contoh pertama. Maka dU=e x dx , dan Integral ∫ x 2 e x dx tidak mungkin dianggap lebih sederhana daripada integral aslinya.
Terkadang rumus integrasi per bagian perlu diterapkan beberapa kali, misalnya saat menghitung integral ∫ x 2 sin(x)dx.

Integral ∫ e ax cos(bx)dx dan ∫ e ax sin(bx)dx disebut berhubung dgn putaran dan dihitung menggunakan rumus integrasi per bagian sebanyak dua kali.

Contoh No.1. Hitung ∫ xe x dx .
Misalkan U=x, dV=e x dx. Maka dU=dx , V=e x . Oleh karena itu ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

Contoh No.2. Hitung ∫ xcos(x)dx .
Kita asumsikan U=x, dV=cos(x)dx. Maka dU=dx , V=sin(x) dan ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Contoh No.3. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Larutan:

Jawaban: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C