Dari kursus sekolah ahli matematika tahu bahwa trinomial kuadrat dipahami sebagai ekspresi bentuk
kapak 2 + bx + c, dimana a ≠ 0.
Akar trinomial ini dihitung menggunakan rumus: X 1.2 = (-b ± √D) / (2a), dimana D = b 2 – 4ac.
D dipanggil diskriminan. Ini sangat penting untuk memecahkan masalah pada topik ini, karena menentukan jumlah akar trinomial.
Ada dua di antaranya - jika D > 0, satu - jika D = 0(terkadang dikatakan ada dua yang identik, yaitu x 1 = x 2 = -b/(2a)), dan jika D< 0, то действительных корней нет.
Suatu fungsi yang berbentuk (*) y = ax 2 + bx + c, dimana a ≠ 0 disebut kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas jika a > 0 dan ke bawah jika a< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Titik potong parabola dengan sumbu OU adalah c. Menentukan koordinat titik puncak parabola (m ;n) sangatlah mudah.
m = (x 1 + x 2)/2 atau (**) m = -b/(2a).
n dapat dihitung dengan mengganti nilai m dengan x ke dalam rumus
y = ax 2 + bx + c, atau gunakan rumus y = -D/(4a).
Jika dalam trinomial kuadrat kita isolasi persegi sempurna, maka m dan n akan muncul dalam record dalam bentuk eksplisit: (***) y = a(x – m) 2 + n.
Hampir semuanya tersaji di sini materi referensi diperlukan untuk memecahkan masalah pada topik yang disebutkan. Mari kita lihat beberapa contoh tugas.
Contoh 1.
Untuk nilai a berapakah titik puncak parabola y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 terletak pada kuarter kedua bidang koordinat?
Larutan.
Fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk kuadrat sempurna (***).
Maka jelas bahwa m = 13a dan n = -a 2 + 6a + 16. Agar sebuah titik dengan koordinat (m; n) terletak pada kuarter kedua maka m harus< 0, n >0. Kondisi harus dipenuhi secara bersamaan. Oleh karena itu, kami menyelesaikan sistem pertidaksamaan:
(13a< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0
Dari pertidaksamaan pertama kita mempunyai a< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).
Jawab: untuk semua Є(-2:0) atau untuk -2< a < 0.
Contoh 2.
Berapa nilai parameter a nilai tertinggi fungsi y = kapak 2 – 2x + 7a sama dengan 6?
Larutan.
Fungsi kuadrat akan mempunyai nilai terbesar hanya jika cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah (yaitu a< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем
m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .
Maka n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; atau 7a 2 – 1 = 6a.
Setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan a = 1 atau a = -1/7. Namun a = 1 tidak memenuhi syarat pertama.
Jawaban: pada a = -1/7.
Contoh 3.
Temukan banyak nilai bilangan bulat dari parameter a yang persamaannya
a) |x 2 – 8x + 7| = sebuah 2 ; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 mempunyai 4 akar.
Larutan.
a) Di sini cara terpendek untuk menyelesaikannya adalah secara grafis. Rencananya adalah:
1. Buatlah grafik fungsi y = x 2 – 8x + 7 (parabola).
2. Maka y = |x 2 – 8x + 7| (menampilkan bagian bawah grafik relatif terhadap OX).
Solusi selanjutnya terlihat jelas pada gambar. Garis lurus akan memotong grafik di empat titik jika 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.
Jawaban: 4.
b) Penyelesaian contoh ini dilakukan menurut skema yang sama. Perbedaannya hanya pada saat memplot fungsi y = |x 2 – 6|x| – 16| Anda harus membuat dua tampilan: relatif terhadap OX di bagian bawah grafik dan relatif terhadap OU - di sebelah kanan. Jika Anda memplot grafik dengan benar, Anda akan dengan mudah menemukan 7 solusi:
sebuah = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;
Contoh 4.
Untuk nilai a berapakah grafik trinomial kuadrat y = ax 2 + (a – 3)x + a terletak di atas sumbu x?
Larutan.
Mari kita lakukan alasan berikut. Grafik trinomial kuadrat akan terletak di atas sumbu OX hanya jika cabang-cabang parabola mengarah ke atas, yaitu.
a > 0 (*), dan parabola tidak memotong sumbu OX, yaitu D< 0 или
(a – 3) 2 – 4a 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → a (-∞; -3) atau (1; ∞). Dengan memperhatikan kondisi (*), diperoleh Є (1; ∞).
Jawaban: a (1; ∞).
Contoh 5.
Untuk nilai a berapakah grafik trinomial kuadrat y = ax 2 + (a – 3)x + a mempunyai dua titik persekutuan yang sumbu OX-nya positif?
Larutan.
Mari kita lihat kondisi koefisiennya: (lihat gambar di bawah)
1. Kita memperoleh dua titik perpotongan dengan sumbu OX jika
D > 0 → (sebuah – 3)2 – 4a2 > 0
2. Titik-titik tersebut akan berada pada sisi nol yang sama jika cabang-cabangnya mengarah ke atas dan f(0) = a > 0 atau jika cabang-cabangnya mengarah ke bawah dan f(0) = a< 0
3. Kedua akar akan positif jika koordinat x titik sudutnya positif, yaitu. m = -(sebuah – 3)/(2a) > 0.
Berdasarkan hal di atas, kondisi kita akan direduksi menjadi penyelesaian dua sistem:
Sistem pertama:
((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(sebuah > 0,
(-(sebuah – 3)/(2a) > 0
Menyederhanakan, kita mendapatkan:
((3a – 3)(a + 3)< 0,
(sebuah > 0,
((sebuah – 3)< 0
(a (-3; 1),
(a (0; ∞),
(a (-∞; 3)
dan solusi umum sistem sebuah (0; 1).
Sistem kedua:
((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(A< 0,
(-(sebuah – 3)/(2a) > 0
Menyederhanakan, kita mendapatkan:
((3a – 3)(a + 3)< 0,
(A< 0,
((Sebuah – 3) > 0
Solusi untuk setiap pertidaksamaan:
(a (-3; 1)
(a (-∞; 0)
(a (3; ∞)
dan sistem tidak memiliki solusi
Jadi milik kita parabola mempunyai dua titik persekutuan dengan arah sumbu OX positif jika parameternya a (0; 1).
Contoh 6.
Berapakah nilai a yang akar-akar persamaan 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2 = 0 lebih besar dari 3?
Perhatikan grafik trinomial kuadrat y = 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2.
Kami akan membuat rencana untuk menyelesaikan tugas ini berdasarkan contoh sebelumnya.
1. Kita peroleh dua titik potong dengan sumbu OX jika D > 0 dan a ≠ 0.
2. Cabang-cabang di sini selalu mengarah ke atas saja
(untuk a ≠ 0; 4a 2 > 0).
3. Titik-titik tersebut berada pada sisi yang sama dari 3 jika f(3) > 0.
(36a 2 – 24a + 4 – 9a 2 > 0).
4. Kedua akar akan lebih besar (ke kanan) dari tiga jika koordinat x dari titik sudut lebih besar (ke kanan) dari tiga, yaitu. m = 8a/(8a 2) > 3.
Jika Anda menggunakan kondisi ini dengan benar menjawab dapatkan ini: a (0;2/9). Coba lihat.
Saya harap sekarang menjadi jelas bagi pembaca betapa pentingnya dapat melihat dengan jelas sifat-sifat parabola ketika memecahkan masalah jenis ini.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Definisi
Parabola disebut grafik fungsi kuadrat$y = kapak^(2) + bx + c$, dimana $a \neq 0$.
Grafik fungsi $y = x^2$.
Untuk memplot secara skematis grafik fungsi $y = x^2$, kita akan menemukan beberapa titik yang memenuhi persamaan ini. Untuk memudahkan, kami menuliskan koordinat titik-titik tersebut dalam bentuk tabel:
Grafik fungsi $y = ax^2$.
Jika koefisien $a > 0$, maka graf $y = ax^2$ diperoleh dari graf $y = x^2$ baik dengan cara regangan vertikal (untuk $a > 1$) maupun kompresi ke $x$ sumbu (untuk $0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = 2x^2$ | $y = \dfrac(x^2)(2)$ |
|
|
Jika $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = -x^2$ | $y = -2x^2$ | $y = - \dfrac(x^2)(2)$ |
|
|
|
Grafik fungsi kuadrat.
Untuk memplot fungsi $y = ax^2 + bx + c$, Anda perlu mengisolasi persegi lengkap dari trinomial kuadrat $ax^2 + bx + c$, yaitu merepresentasikannya dalam bentuk $a(x - x_0)^2 + y_0$ . Grafik fungsi $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ diperoleh dari grafik $y = ax^2$ yang bersesuaian dengan menggeser sebesar $x_0$ sepanjang sumbu $x$, dan sebesar $y_0$ sepanjang sumbu $y$. Akibatnya, titik $(0;0)$ akan berpindah ke titik $(x_0;y_0)$.
Definisi
Atas parabola $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ adalah titik dengan koordinat $(x_0;y_0)$.
Mari kita buat parabola $y = 2x^2 - 4x - 6$. Memilih persegi lengkap, kita mendapatkan $y = 2(x - 1)^2 - 8$.
| Mari kita plot $y = 2x^2$ | Mari kita pindahkan ke kanan sebanyak 1 | Dan turun jam 8 |
|
|
|
Hasilnya adalah parabola dengan titik puncaknya di titik $(1;-8)$.
Grafik fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu $y$ di titik $(0; c)$ dan sumbu $x$ di titik $(x_(1,2) ;0)$, dengan $x_(1,2)$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ (dan jika persamaan tersebut tidak mempunyai akar, maka parabola yang bersesuaian tidak memotong $ x$ sumbu).
Misalnya, parabola $y = 2x^2 - 4x - 6$ memotong sumbu di titik $(0; -6)$, $(-1; 0)$ dan $(3; 0)$.
Grafik trinomial kuadrat
2019-04-19
Trinomial persegi
Kami menyebut trinomial persegi sebagai fungsi rasional derajat kedua:
$y = kapak^2 + bx + c$, (1)
di mana $a \neq 0$. Mari kita buktikan bahwa grafik trinomial kuadrat adalah parabola yang diperoleh dengan pergeseran sejajar (searah sumbu koordinat) dari parabola $y = ax^2$. Untuk melakukan ini, kami menyajikan ekspresi (1) menggunakan sederhana transformasi identitas dalam pikiran
$y = a(x + \alfa)^2 + \beta$. (2)
Transformasi terkait, yang ditulis di bawah, dikenal sebagai "ekstraksi kuadrat tepat":
$y = x^2 + bx + c = a \kiri (x^2 + \frac(b)(a) x \kanan) + c = a \kiri (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \kanan) - \frac (b^2)(4a) + c = a \kiri (x + \frac(b)(2a) \kanan)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")
Kami telah mengurangi trinomial kuadrat menjadi bentuk (2); di mana
$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$
(ekspresi ini tidak boleh dihafal; akan lebih mudah untuk mengubah trinomial (1) ke bentuk (2) secara langsung setiap kali).
Sekarang jelas bahwa grafik trinomial (1) adalah parabola yang sama dengan parabola $y = ax^2$ dan diperoleh dengan menggeser parabola $y = ax^2$ searah sumbu koordinat sebesar $\ alpha$ dan $\beta$ (dengan memperhitungkan tanda $\alpha$ dan $\beta$) masing-masing. Titik puncak parabola ini terletak di titik $(- \alpha, \beta)$, sumbunya adalah garis lurus $x = - \alpha$. Untuk $a > 0$, titik puncaknya adalah titik terendah parabola, untuk $a
Sekarang mari kita mempelajari trinomial kuadrat, yaitu kita akan mengetahui sifat-sifatnya bergantung pada nilai numerik koefisien $a, b, c$ dalam ekspresinya (1).
Dalam persamaan (2") kami menyatakan nilai $b^2- 4ac$ dengan $d$:
$y = a \kiri (x + \frac(b)(2a) \kanan)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)
$d = b^2 - 4ac$ disebut diskriminan trinomial kuadrat. Sifat-sifat trinomial (1) (dan letak grafiknya) ditentukan oleh tanda diskriminan $d$ dan koefisien utama $a$.
1) $a > 0, hari 0$; karena $a > 0$, maka graf tersebut terletak di atas titik sudut $O^( \prime)$; itu terletak di setengah bidang atas ($y > 0$ - Gambar. a.).
2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Titik sudut $O^( \prime)$ terletak di bawah sumbu $Ox$, parabola memotong sumbu $Ox$ di dua titik $x_1, x_2$ (Gbr. c.).
4) $a 0$. Titik sudut $O^( \prime)$ terletak di atas sumbu $Ox$, parabola kembali memotong sumbu $Ox$ di dua titik $x_1, x_2$ (Gbr. d).
5) $a > 0, d = 0$. Titik sudutnya terletak pada sumbu $Ox$ itu sendiri, parabola terletak di setengah bidang atas (Gbr. e).
6) $a
Kesimpulan. Jika $d 0$), atau lebih rendah (jika $a
Jika $d > 0$, maka fungsinya bergantian (grafik sebagian terletak di bawah dan sebagian lagi di atas sumbu $Ox$). Trinomial persegi dengan $d > 0$ mempunyai dua akar (nol) $x_1, x_2$. Untuk $a > 0$ bernilai negatif pada interval antara akar-akar (Gbr. c) dan positif di luar interval ini. Pada $a
Pelajaran: Bagaimana cara membuat fungsi parabola atau kuadrat?
BAGIAN TEORITIS
Parabola adalah grafik fungsi yang dijelaskan dengan rumus ax 2 +bx+c=0.
Untuk membuat parabola, Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1) Rumus parabola y=ax 2 +bx+c,
Jika sebuah>0 kemudian cabang-cabang parabola diarahkan ke atas,
jika tidak, cabang-cabang parabola diarahkan turun.
Anggota gratis C titik ini memotong parabola dengan sumbu OY;
2), ditemukan dengan menggunakan rumus x=(-b)/2a, kita substitusikan x yang ditemukan ke dalam persamaan parabola dan temukan kamu;
3)Fungsi nol atau dengan kata lain titik potong parabola dengan sumbu OX disebut juga akar persamaan. Untuk mencari akar-akarnya kita samakan persamaannya dengan 0 kapak 2 +bx+c=0;
Jenis persamaan:
a) Lengkap persamaan kuadrat seperti kapak 2 +bx+c=0 dan diselesaikan oleh pihak yang diskriminan;
b) Bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap kapak 2 +bx=0. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengeluarkan x dari tanda kurung, lalu menyamakan setiap faktor dengan 0:
kapak 2 +bx=0,
x(kapak+b)=0,
x=0 dan kapak+b=0;
c) Bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap kapak 2 +c=0. Untuk mengatasinya, Anda perlu memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, dan yang diketahui ke sisi lain. x =±√(c/a);
4) Temukan beberapa titik tambahan untuk membangun fungsi tersebut.
BAGIAN PRAKTIS
Jadi sekarang, dengan menggunakan sebuah contoh, kami akan menganalisis semuanya selangkah demi selangkah:
Contoh 1:
kamu=x 2 +4x+3
c=3 berarti parabola memotong OY di titik x=0 y=3. Cabang-cabang parabola menghadap ke atas karena a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 titik sudut berada di titik (-2;-1)
Mari kita cari akar-akar persamaan x 2 +4x+3=0
Dengan menggunakan diskriminan kita menemukan akarnya
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Mari kita ambil beberapa titik sembarang yang terletak di dekat titik sudut x = -2
x -4 -3 -1 0
kamu 3 0 0 3
Substitusikan x ke dalam persamaan nilai y=x 2 +4x+3
kamu=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
kamu=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
kamu=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
kamu=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Dari nilai fungsinya terlihat parabola simetris terhadap garis lurus x = -2
Contoh #2:
kamu=-x 2 +4x
c=0 artinya parabola memotong OY di titik x=0 y=0. Cabang-cabang parabola melihat ke bawah karena a=-1 -1 Cari akar persamaan -x 2 +4x=0
Persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengeluarkan x dari tanda kurung, lalu menyamakan setiap faktor dengan 0.
x(-x+4)=0, x=0 dan x=4.
Mari kita ambil beberapa titik sembarang yang terletak di dekat titik sudut x=2
x 0 1 3 4
kamu 0 3 3 0
Substitusikan x ke dalam persamaan nilai y=-x 2 +4x
kamu=0 2 +4*0=0
kamu=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
kamu=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
kamu=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Dari nilai fungsinya terlihat parabola simetris terhadap garis lurus x = 2
Contoh No.3
kamu=x 2 -4
c=4 artinya parabola memotong OY di titik x=0 y=4. Cabang-cabang parabola menghadap ke atas karena a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 titik puncaknya berada di titik (0;- 4)
Mari kita cari akar persamaan x 2 -4=0
Persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0. Untuk mengatasinya, Anda perlu memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, dan yang diketahui ke sisi lain. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Mari kita ambil beberapa titik sembarang yang terletak di dekat titik sudut x=0
x -2 -1 1 2
kamu 0 -3 -3 0
Substitusikan x ke dalam persamaan y= x 2 -4 nilai
kamu=(-2) 2 -4=4-4=0
kamu=(-1) 2 -4=1-4=-3
kamu=1 2 -4=1-4=-3
kamu=2 2 -4=4-4=0
Dari nilai fungsinya terlihat parabola simetris terhadap garis lurus x = 0
Langganan ke saluran di YOUTUBE untuk mengikuti semua produk baru dan bersiap bersama kami untuk ujian.
Didefinisikan dengan rumus $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Bilangan $a, b$ dan $c$ merupakan koefisien trinomial kuadrat, yaitu biasanya disebut: a - yang terdepan, b - koefisien kedua atau rata-rata, c - anggota bebas. Fungsi yang berbentuk y = ax 2 + bx + c disebut fungsi kuadrat.
Semua parabola ini mempunyai puncak di titik asal; untuk a > 0 ini adalah titik terendah dari grafik (nilai fungsi terkecil), dan untuk a< 0, наоборот, titik tertinggi(nilai fungsi tertinggi). Sumbu Oy merupakan sumbu simetri masing-masing parabola tersebut.
Seperti terlihat, untuk a > 0 parabola mengarah ke atas, untuk a< 0 - вниз.
Ada metode grafis sederhana dan mudah digunakan yang memungkinkan Anda membuat sejumlah titik parabola y = ax 2 tanpa perhitungan, jika titik parabola selain titik sudut diketahui. Biarkan intinya M(x 0 , y 0) terletak pada parabola y = ax 2 (Gbr. 2). Jika kita ingin membuat n titik tambahan antara titik O dan M, maka kita membagi ruas ON sumbu absis dengan n + 1 bagian yang sama dan pada titik pembagian kita menggambar garis tegak lurus terhadap sumbu Sapi. Kami membagi segmen NM menjadi jumlah bagian yang sama dan menghubungkan titik-titik pembagian dengan sinar ke titik asal koordinat. Titik-titik parabola yang diperlukan terletak pada perpotongan garis tegak lurus dan sinar-sinar yang mempunyai bilangan yang sama (pada Gambar 2 jumlah titik pembagiannya adalah 9).
Grafik fungsi y = ax 2 + bx + c berbeda dengan grafik y = ax 2 hanya pada posisinya dan dapat diperoleh hanya dengan menggerakkan kurva pada gambar. Ini mengikuti representasi trinomial kuadrat dalam bentuk
sehingga mudah untuk menyimpulkan bahwa grafik fungsi y = ax 2 + bx + c adalah parabola y = ax 2 yang titik sudutnya dipindahkan ke titik
dan sumbu simetrinya tetap sejajar dengan sumbu Oy (Gbr. 3). Dari ekspresi yang dihasilkan untuk trinomial kuadrat, semua sifat dasarnya dapat diikuti dengan mudah. Ekspresi D = b 2 − 4ac disebut diskriminan dari trinomial kuadrat ax 2 + bx + c dan diskriminan dari persamaan kuadrat terkait ax 2 + bx + c = 0. Tanda diskriminan menentukan apakah grafik dari trinomial kuadrat tersebut trinomial kuadrat memotong sumbu x atau terletak pada sisi yang sama darinya. Yaitu jika D< 0, то парабола не имеет poin umum dengan sumbu Ox, dalam hal ini: jika a > 0, maka parabola terletak di atas sumbu Ox, dan jika a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 grafik trinomial kuadrat memotong sumbu x di dua titik x 1 dan x 2 yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dan masing-masing sama besar
Pada D = 0 parabola menyentuh sumbu Ox di titik tersebut
Sifat-sifat trinomial kuadrat menjadi dasar penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Mari kita jelaskan ini dengan sebuah contoh. Misalkan kita perlu mencari semua solusi pertidaksamaan 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, maka persamaan kuadrat yang bersesuaian 3x 2 − 2x − 1 = 0 mempunyai dua akar yang berbeda, keduanya ditentukan oleh rumus yang diberikan sebelumnya:
x 1 = −1/3 dan x 2 = 1.
Pada trinomial kuadrat yang ditinjau, a = 3 > 0, artinya cabang-cabang grafiknya mengarah ke atas dan nilai trinomial kuadratnya negatif hanya pada interval antara akar-akarnya. Jadi, semua solusi pertidaksamaan memenuhi kondisi tersebut
−1/3 < x < 1.
KE pertidaksamaan kuadrat berbagai pertidaksamaan dapat dikurangi dengan substitusi yang sama yang dengannya berbagai persamaan direduksi menjadi persamaan kuadrat.
