Tujuan pelajaran:
1. Pendidikan:
Memperkenalkan konsep parallelepiped dan jenis-jenisnya;
- merumuskan (menggunakan analogi jajar genjang dan persegi panjang) dan membuktikan sifat-sifat jajar genjang dan balok;
- ulangi pertanyaan terkait paralelisme dan tegak lurus dalam ruang.
2. Perkembangan:
Terus kembangkan keterampilan tersebut pada siswa proses kognitif seperti persepsi, pemahaman, pemikiran, perhatian, ingatan;
- mempromosikan pengembangan elemen pada siswa aktivitas kreatif sebagai kualitas berpikir (intuisi, pemikiran spasial);
- untuk mengembangkan kemampuan siswa untuk menarik kesimpulan, termasuk dengan analogi, yang membantu untuk memahami hubungan intra-mata pelajaran dalam geometri.
3. Pendidikan:
Berkontribusi pada pengembangan organisasi dan kebiasaan kerja yang sistematis;
- berkontribusi pada pembentukan keterampilan estetika saat membuat catatan dan membuat gambar.
Jenis pembelajaran: pembelajaran materi baru (2 jam).
Struktur pelajaran:
1. Momen organisasi.
2. Memperbarui pengetahuan.
3. Mempelajari materi baru.
4. Menyimpulkan dan menetapkan pekerjaan rumah.
Perlengkapan: poster (slide) dengan bukti, model berbagai benda geometris, termasuk semua jenis paralelepiped, proyektor grafis.
Selama kelas.
1. Momen organisasi.
2. Memperbarui pengetahuan.
Mengkomunikasikan topik pelajaran, merumuskan maksud dan tujuan bersama siswa, menunjukkan makna praktis mempelajari topik tersebut, mengulangi permasalahan yang telah dipelajari sebelumnya terkait topik tersebut.
3. Mempelajari materi baru.
3.1. Paralelepiped dan jenisnya.
Model paralelepiped didemonstrasikan, mengidentifikasi fitur-fiturnya, yang membantu merumuskan definisi paralelepiped menggunakan konsep prisma.
Definisi:
paralelipiped disebut prisma yang alasnya adalah jajar genjang.
Gambar paralelepiped dibuat (Gambar 1), elemen-elemen paralelepiped sebagai kasus khusus prisma dicantumkan. Slide 1 ditampilkan.
Notasi skema definisi:
Kesimpulan dari definisi tersebut dirumuskan:
1) Jika ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 adalah prisma dan ABCD adalah jajar genjang, maka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelipiped.
2) Jika ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelipiped, maka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 adalah prisma dan ABCD adalah jajar genjang.
3) Jika ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bukan prisma atau ABCD bukan jajar genjang, maka
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – tidak paralelipiped.
4) . Jika ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – tidak paralelipiped, maka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bukan prisma atau ABCD bukan jajar genjang.
Selanjutnya, kasus-kasus khusus dari parallelepiped dipertimbangkan dengan konstruksi skema klasifikasi (lihat Gambar 3), model didemonstrasikan, sifat-sifat karakteristik dari parallelepiped lurus dan persegi panjang disorot, dan definisinya dirumuskan.
Definisi:
Paralelepiped disebut lurus jika sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya.
Definisi:
Paralelepiped disebut persegi panjang, jika sisi-sisinya tegak lurus alasnya, dan alasnya berbentuk persegi panjang (lihat Gambar 2).
Setelah definisi-definisi tersebut dicatat dalam bentuk skema, dirumuskan kesimpulannya.
3.2. Sifat-sifat paralelepiped.
Cari bangun datar yang analog spasialnya berupa jajar genjang dan balok (jajar genjang dan persegi panjang). Dalam hal ini, kita berurusan dengan kesamaan visual dari gambar-gambar tersebut. Menggunakan aturan inferensi dengan analogi, tabel diisi.
Aturan inferensi dengan analogi:
1. Pilih dari yang telah dipelajari sebelumnya angka angka, mirip dengan yang ini.
2. Merumuskan properti dari gambar yang dipilih.
3. Merumuskan sifat serupa dari bangun datar aslinya.
4. Membuktikan atau menyangkal pernyataan yang dirumuskan.
Setelah sifat-sifat dirumuskan, pembuktian masing-masing sifat dilakukan dengan skema sebagai berikut:
- pembahasan rencana pembuktian;
- demonstrasi slide dengan bukti (slide 2 – 6);
- Siswa melengkapi bukti di buku catatannya.
3.3 Kubus dan sifat-sifatnya.
Definisi: Kubus adalah suatu bangun datar berbentuk persegi panjang yang ketiga dimensinya sama besar.
Dengan analogi dengan paralelepiped, siswa secara mandiri membuat notasi skema dari definisi tersebut, memperoleh konsekuensi darinya dan merumuskan sifat-sifat kubus.
4. Menyimpulkan dan menetapkan pekerjaan rumah.
Pekerjaan rumah:
- Menggunakan catatan pelajaran dari buku teks geometri untuk kelas 10-11, L.S. Atanasyan dan lain-lain, pelajari Bab 1, §4, paragraf 13, Bab 2, §3, paragraf 24.
- Buktikan atau bantah sifat-sifat paralelepiped, butir 2 tabel.
- Jawab pertanyaan keamanan.
Pertanyaan kontrol.
1. Diketahui bahwa hanya dua sisi sisi paralelepiped yang tegak lurus terhadap alasnya. Jenis paralelepiped apa?
2. Berapa banyak sisi sisi persegi panjang yang dapat dimiliki oleh sebuah parallelepiped?
3. Apakah mungkin untuk memiliki paralelepiped yang hanya memiliki satu sisi muka:
1) tegak lurus dengan alas;
2) berbentuk persegi panjang.
4. Pada jajar genjang siku-siku, semua diagonalnya sama besar. Apakah itu persegi panjang?
5. Benarkah pada suatu jajar genjang siku-siku, bagian diagonalnya tegak lurus terhadap bidang alasnya?
6. Nyatakan teorema, kebalikan dari teorema tentang kuadrat diagonal suatu parallelepiped persegi panjang.
7. Fitur tambahan apa yang membedakan kubus dari paralelepiped persegi panjang?
8. Apakah suatu parallelepiped adalah kubus yang semua rusuk pada salah satu titik sudutnya sama besar?
9. Nyatakan teorema kuadrat diagonal balok untuk kasus kubus.
Paralelepiped persegi panjang
Parallelepiped persegi panjang adalah parallelepiped siku-siku yang semua mukanya berbentuk persegi panjang.
Cukup dengan melihat sekeliling kita, dan kita akan melihat bahwa benda-benda di sekitar kita mempunyai bentuk yang mirip dengan parallelepiped. Mereka dapat dibedakan berdasarkan warna, memiliki banyak detail tambahan, tetapi jika kehalusan ini diabaikan, maka kita dapat mengatakan bahwa, misalnya, lemari, kotak, dll., memiliki bentuk yang kurang lebih sama.
Kami menemukan konsep parallelepiped persegi panjang hampir setiap hari! Lihatlah sekeliling dan beri tahu saya di mana Anda melihat paralelepiped persegi panjang? Lihat bukunya, bentuknya persis sama! Sebuah batu bata, kotak korek api, balok kayu memiliki bentuk yang sama, dan bahkan saat ini Anda berada di dalam sebuah persegi panjang yang sejajar, karena ruang kelas adalah interpretasi paling cemerlang dari sosok geometris ini.
Latihan: Contoh parallelepiped apa yang dapat Anda sebutkan?
Mari kita lihat lebih dekat pada balok tersebut. Dan apa yang kita lihat?
Pertama, kita melihat bahwa gambar ini terbentuk dari enam persegi panjang, yang merupakan sisi-sisi sebuah balok;
Kedua, sebuah balok memiliki delapan titik sudut dan dua belas rusuk. Tepi-tepi suatu balok adalah sisi-sisi mukanya, dan simpul-simpul balok adalah simpul-simpul mukanya.
Latihan:
1. Apa nama masing-masing muka suatu bangun datar segi empat? 2. Berkat parameter apa jajar genjang dapat diukur? 3. Tentukan wajah yang berlawanan.
Jenis paralelepiped
Tetapi paralelepiped tidak hanya berbentuk persegi panjang, tetapi juga bisa lurus dan miring, dan garis lurus dibagi menjadi persegi panjang, non-persegi panjang, dan kubus.
Tugas: Perhatikan gambar dan sebutkan paralelepiped apa yang ditunjukkan pada gambar tersebut. Apa bedanya parallelepiped persegi panjang dengan kubus?
Sifat-sifat parallelepiped persegi panjang
Paralelepiped persegi panjang memiliki sejumlah properti penting:
Pertama, kuadrat diagonal bangun geometri ini sama dengan jumlah kuadrat tiga parameter utamanya: tinggi, lebar, dan panjang.
Kedua, keempat diagonalnya benar-benar identik.
Ketiga, jika ketiga parameter suatu parallelepiped adalah sama, yaitu panjang, lebar dan tinggi sama, maka parallelepiped tersebut disebut kubus, dan semua mukanya akan sama dengan persegi yang sama.
Latihan
1. Apakah suatu persegi panjang sejajar mempunyai sisi-sisi yang sama besar? Jika ada, tunjukkan pada gambar. 2. Yang mana? bentuk geometris Berapakah sisi-sisi suatu persegi panjang parallelepiped? 3. Bagaimana susunan sisi-sisi yang sama panjang terhadap satu sama lain? 4. Sebutkan banyaknya pasangan muka sejajar pada gambar tersebut. 5. Tentukan rusuk-rusuk suatu persegi panjang yang menunjukkan panjang, lebar, dan tinggi. Berapa banyak yang kamu hitung?
Tugas
Untuk mendekorasi kado ulang tahun ibunya dengan indah, Tanya mengambil sebuah kotak berbentuk paralelepiped persegi panjang. Ukuran kotak ini adalah 25cm*35cm*45cm. Untuk mempercantik kemasan ini, Tanya memutuskan untuk menutupinya dengan kertas cantik yang harganya 3 hryvnia per 1 dm2. Berapa banyak uang yang harus Anda keluarkan untuk kertas kado?
Tahukah Anda bahwa ilusionis terkenal David Blaine menghabiskan 44 hari di dalam kaca paralel yang digantung di Sungai Thames sebagai bagian dari percobaan. Selama 44 hari ini dia tidak makan, hanya minum air putih. Di penjara sukarelanya, David hanya membawa alat tulis, bantal dan kasur, serta sapu tangan.
TRANSKRIP TEKS PELAJARAN:
Pertimbangkan item ini:
Membangun batu bata, dadu, oven microwave. Benda-benda tersebut disatukan berdasarkan bentuknya.
Permukaan yang terdiri dari dua jajar genjang ABCD dan A1B1C1D1 yang sama besar
dan empat jajaran genjang AA1B1B dan BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D disebut paralelepiped.
Jajar genjang yang membentuk jajar genjang disebut wajah. Wajah А1В1С1D1. Tepi ВВ1С1С. Tepi ABCD.
Dalam hal ini, permukaan ABCD dan A1B1C1D1 lebih sering disebut alas, dan permukaan lainnya disebut lateral.
Sisi-sisi jajar genjang disebut tepi jajar genjang. Tulang rusuk A1B1. Tulang rusuk CC1. Tulang rusuk IKLAN.
Tepi CC1 bukan milik pangkalan; itu disebut tepi samping.
Titik-titik jajar genjang disebut simpul-simpul jajar genjang.
Puncak D1. Vershina B.Sejarah pertemuanVershina S.
Simpul D1 dan B
tidak termasuk dalam wajah yang sama dan disebut berlawanan.
Paralelepiped dapat digambarkan dengan berbagai cara
Sebuah paralelepiped yang alasnya terdapat belah ketupat, dan gambar wajahnya adalah jajaran genjang.
Sebuah paralelepiped yang pada dasarnya terdapat sebuah persegi. Tepi tak terlihat AA1, AB, AD digambarkan dengan garis putus-putus.
Sebuah paralelepiped yang pada dasarnya terdapat sebuah persegi
Paralelepiped yang alasnya terdapat persegi panjang atau jajar genjang
Sebuah paralelepiped dengan semua sisi berbentuk persegi. Lebih sering disebut kubus.
Semua paralelepiped yang dianggap memiliki properti. Mari kita rumuskan dan buktikan.
Sifat 1. Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu parallelepiped adalah sejajar dan sama besar.
Mari kita perhatikan ABCDA1B1C1D1 yang paralel dan buktikan, misalnya, paralelisme dan persamaan permukaan BB1C1C dan AA1D1D.
Menurut pengertian jajar genjang, muka ABCD adalah jajar genjang, artinya menurut sifat jajar genjang, sisi BC sejajar dengan sisi AD.
Muka ABB1A1 juga merupakan jajar genjang, artinya rusuk BB1 dan AA1 sejajar.
Artinya dua garis lurus BC dan BB1 yang berpotongan berturut-turut pada satu bidang, sejajar dengan dua garis lurus AD dan AA1 pada bidang lain, artinya bidang ABB1A1 dan BCC1D1 sejajar.
Semua muka jajar genjang adalah jajar genjang, artinya BC = AD, BB1 = AA1.
Dalam hal ini, sisi-sisi sudut B1BC dan A1AD berturut-turut berarah sama, artinya keduanya sama besar.
Jadi, dua sisi yang berdekatan dan sudut antara keduanya jajar genjang ABB1A1 masing-masing sama dengan dua sisi yang berdekatan dan sudut antara keduanya jajar genjang BCC1D1, yang berarti jajar genjang tersebut sama besar.
Paralelepiped juga memiliki sifat diagonal. Diagonal suatu parallelepiped adalah ruas penghubung puncak tetangga. Garis putus-putus pada gambar menunjukkan diagonal B1D, BD1, A1C.
Jadi, sifat 2. Diagonal-diagonal suatu paralelepiped berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik potong tersebut.
Untuk membuktikan sifat tersebut, perhatikan segiempat BB1D1D. Diagonalnya B1D, BD1 adalah diagonal dari ABCDA1B1C1D1 yang sejajar.
Pada sifat pertama kita telah mengetahui bahwa tepi BB1 sejajar dan sama dengan tepi AA1, tetapi tepi AA1 sejajar dan sama dengan tepi DD1. Oleh karena itu, sisi-sisi BB1 dan DD1 adalah sejajar dan sama panjang, yang membuktikan bahwa segi empat BB1D1D merupakan jajar genjang. Dan pada jajar genjang, menurut sifatnya, diagonal B1D, BD1 berpotongan di suatu titik O dan dibagi dua oleh titik tersebut.
Segi empat BC1D1A juga merupakan jajar genjang dan diagonal-diagonalnya C1A berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik tersebut. Diagonal jajar genjang C1A, ВD1 merupakan diagonal jajar genjang yang berarti sifat yang dirumuskan telah terbukti.
Untuk mengkonsolidasikan pengetahuan teoritis tentang parallelepiped, pertimbangkan masalah pembuktian.
Ditandai di tepi paralelepiped poin L,M,N,P sehingga BL=CM=A1N=D1P. Buktikan bahwa ALMDNB1C1P adalah suatu parallelepiped.
Muka BB1A1A merupakan jajar genjang yang artinya rusuk BB1 sama panjang dan sejajar dengan rusuk AA1, namun sesuai syarat ruas BL dan A1N yang artinya ruas LB1 dan NA sejajar dan sejajar.
3) Oleh karena itu, segiempat LB1NA merupakan jajar genjang.
4) Karena CC1D1D merupakan jajar genjang, berarti sisi CC1 sama dan sejajar dengan sisi D1D, dan CM sama dengan D1P dengan syarat, artinya ruas MC1 dan DP sama panjang dan sejajar.
Oleh karena itu, MC1PD segi empat juga merupakan jajar genjang.
5) Sudut LB1N dan MC1P sama besar sebagai sudut yang masing-masing sisinya sejajar dan berarah sama.
6) Diketahui bahwa jajar genjang dan MC1PD mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama besar dan sudut-sudut di antara keduanya sama besar, artinya jajar genjang-jajaran genjang tersebut sama besar.
7) Ruas-ruasnya sama besar sesuai syarat, artinya BLMC merupakan jajar genjang dan sisi BC sejajar dengan sisi LM sejajar dengan sisi B1C1.
8) Demikian pula dari jajar genjang NA1D1P maka sisi A1D1 sejajar dengan sisi NP dan sejajar dengan sisi AD.
9) Sisi-sisi berhadapan ABB1A1 dan DCC1D1 pada paralelepiped mempunyai sifat sejajar, dan ruas-ruas garis lurus sejajar yang terletak di antara bidang-bidang sejajar adalah sama besar, artinya ruas-ruas B1C1, LM, AD, NP adalah sama besar.
Diketahui bahwa pada segiempat ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD, dua sisinya sejajar dan sama panjang, artinya merupakan jajar genjang. Kemudian permukaan kita ALMDNB1C1P terdiri dari enam jajar genjang, dua di antaranya sama besar, dan menurut definisi, ini adalah jajar genjang.
Ada beberapa jenis paralelepiped:
· Paralelepiped persegi panjang- adalah sebuah parallelepiped, semua wajahnya adalah - persegi panjang;
· Paralelepiped kanan adalah paralelepiped yang memiliki 4 sisi sisi - jajaran genjang;
· Paralelepiped miring adalah paralelepiped yang sisi-sisinya tidak tegak lurus terhadap alasnya.
Elemen penting
Dua sisi suatu paralelepiped yang tidak mempunyai rusuk yang sama disebut berhadapan, dan yang mempunyai rusuk yang sama disebut bertetangga. Dua titik sudut suatu parallelepiped yang tidak mempunyai sisi yang sama disebut berhadapan. Segmen garis, menghubungkan simpul-simpul yang berhadapan disebut secara diagonal paralelipiped. Panjang tiga sisi suatu persegi panjang yang mempunyai titik sudut yang sama disebut pengukuran.
Properti
· Paralelepiped simetris terhadap titik tengah diagonalnya.
· Setiap segmen yang ujung-ujungnya termasuk dalam permukaan paralelepiped dan melewati titik tengah diagonalnya, dibagi dua olehnya; khususnya, semua diagonal paralelepiped berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik tersebut.
· Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu parallelepiped adalah sejajar dan sama besar.
· Kuadrat panjang diagonal suatu persegi panjang sejajar sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya
Rumus dasar
Paralelepiped kanan
· Luas permukaan lateral S b =P o *h, dengan P o adalah keliling alas, h adalah tingginya
· Persegi permukaan penuh S p =S b +2S o, dimana S o adalah luas alasnya
· Volume V=S o *h
Paralelepiped persegi panjang
· Luas permukaan lateral S b =2c(a+b), dengan a, b adalah sisi alasnya, c adalah rusuk sisi sejajar persegi panjang
· Luas permukaan total S p =2(ab+bc+ac)
· Volume V=abc, dengan a, b, c adalah dimensi sebuah persegi panjang sejajar.
· Luas permukaan lateral S=6*h 2, dengan h adalah tinggi rusuk kubus
34. Segi empat- polihedron biasa, memiliki 4 tepi itu segitiga beraturan. Simpul dari tetrahedron 4 , konvergen ke setiap titik 3 tulang rusuk, dan tulang rusuk total 6 . Juga, tetrahedron adalah piramida.
Segitiga yang menyusun tetrahedron disebut wajah (AOS, OSV, ACB, AOB), pihak mereka --- tulang rusuk (AO, OC, OB), dan simpul --- simpul (A, B, C, O) segi empat. Dua sisi suatu tetrahedron yang tidak memiliki titik sudut yang sama disebut di depan... Terkadang salah satu permukaan tetrahedron diisolasi dan dipanggil dasar, dan tiga lainnya --- wajah samping.
Tetrahedron disebut benar, jika semua wajahnya seperti itu segitiga sama sisi. Selain itu, tetrahedron beraturan dan limas segitiga beraturan bukanlah hal yang sama.
kamu tetrahedron biasa semua sudut dihedral pada tepinya dan semua sudut trihedral pada titik sudut adalah sama besar.
35. Prisma yang benar
Prisma adalah polihedron yang kedua mukanya (alasnya) terletak pada bidang sejajar, dan semua sisi di luar muka tersebut sejajar satu sama lain. Muka-muka selain alasnya disebut muka samping, dan ujung-ujungnya disebut muka samping. Semua sisi sisinya sama besar satu sama lain sebagai segmen sejajar yang dibatasi oleh dua bidang sejajar. Semua sisi sisi prisma adalah jajaran genjang. Sisi-sisi alas prisma yang bersesuaian sama panjang dan sejajar. Prisma yang rusuk sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya disebut prisma lurus, sedangkan prisma lainnya disebut prisma miring. Di pangkalan prisma yang benar terletak poligon beraturan. Semua permukaan prisma tersebut berbentuk persegi panjang yang sama besar.
Permukaan prisma terdiri dari dua alas dan satu permukaan samping. Tinggi prisma adalah ruas garis yang tegak lurus terhadap bidang-bidang di mana alas prisma berada. Ketinggian prisma adalah jarak H antara bidang pangkalan.
Luas permukaan lateral S b suatu prisma adalah jumlah luas sisi-sisinya. Luas permukaan total S n prisma adalah jumlah luas seluruh permukaannya. S n = S b + 2 S,Di mana S– luas alas prisma, S b – luas permukaan lateral.
36. Sebuah polihedron yang mempunyai satu muka, disebut dasar, – poligon,
dan sisi-sisi lainnya adalah segitiga yang mempunyai titik sudut yang sama, disebut piramida
.
Wajah selain alas disebut samping.
Titik sudut persekutuan dari sisi-sisi lateral disebut bagian atas piramida.
Sisi-sisi yang menghubungkan puncak limas dengan simpul-simpul alasnya disebut samping.
Tinggi piramida
disebut garis tegak lurus yang ditarik dari puncak limas ke alasnya.
Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan dan tingginya melewati pusat alasnya.
Apotema sisi sisi limas beraturan adalah tinggi sisi yang diambil dari puncak limas.
Sebuah bidang yang sejajar dengan dasar piramida memotongnya menjadi piramida serupa dan piramida terpotong.
Sifat-sifat piramida biasa
- Tepi lateral piramida beraturan adalah sama.
- Sisi-sisi piramida beraturan adalah segitiga sama kaki yang sama kaki.
Jika semua rusuk sisinya sama, maka
·tinggi diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi;
Tulang rusuk sampingnya membentuk sudut yang sama besar dengan bidang alasnya.
Jika sisi-sisinya miring terhadap bidang alas dengan sudut yang sama, maka
·tinggi diproyeksikan ke pusat lingkaran tertulis;
· tinggi sisi-sisinya sama;
·luas permukaan samping sama dengan setengah hasil kali keliling alas dan tinggi permukaan samping
37. Fungsi y=f(x), dimana x termasuk dalam himpunan bilangan asli, disebut fungsi argumen natural atau urutan numerik. Dilambangkan dengan y=f(n), atau (y n)
Barisan dapat ditentukan dengan berbagai cara, secara lisan, beginilah cara menentukan barisan bilangan prima:
2, 3, 5, 7, 11, dst.
Suatu barisan dianggap diberikan secara analitis jika rumus suku ke-nnya diberikan:
1, 4, 9, 16, …, n 2, …
2) yn = C. Barisan seperti itu disebut konstan atau stasioner. Misalnya:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) kamu n =2 n . Misalnya,
2, 2 2, 2 3, 2 4, …, 2 n, …
Suatu barisan dikatakan berbatas di atas apabila semua sukunya tidak lebih besar dari suatu bilangan tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan disebut terbatas jika terdapat bilangan M sehingga pertidaksamaan y n lebih kecil atau sama dengan M. Bilangan M disebut batas atas barisan tersebut. Misalnya barisan: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; terbatas dari atas.
Demikian pula, suatu barisan dapat disebut berbatas di bawah jika semua sukunya lebih besar dari suatu bilangan tertentu. Jika suatu barisan dibatasi baik di atas maupun di bawahnya, maka disebut berbatas.
Suatu barisan dikatakan bertambah jika tiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Suatu barisan disebut menurun jika setiap suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya. Barisan naik dan turun didefinisikan oleh satu suku - barisan monotonik.
Pertimbangkan dua urutan:
1) kamu n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) xn: 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …
Jika kita menggambarkan suku-suku barisan ini pada garis bilangan, kita akan melihat bahwa, dalam kasus kedua, suku-suku barisan tersebut dipadatkan di sekitar satu titik, tetapi dalam kasus pertama hal ini tidak terjadi. Dalam kasus seperti ini, barisan y n dikatakan divergen dan barisan x n dikatakan konvergen.
Bilangan b disebut limit barisan y n jika setiap lingkungan titik b yang telah dipilih sebelumnya memuat semua anggota barisan tersebut, dimulai dari suatu bilangan tertentu.
Dalam hal ini kita dapat menulis:
Jika hasil bagi suatu barisan kurang dari satu dalam modulus, maka limit barisan ini, karena x cenderung tak terhingga, sama dengan nol.
Jika barisan tersebut konvergen, maka hanya sampai pada satu limit
Jika barisan tersebut konvergen maka barisan tersebut berbatas.
Teorema Weierstrass: Jika suatu barisan konvergen secara monoton, maka barisan tersebut dibatasi.
Limit suatu barisan stasioner sama dengan sembarang suku barisan tersebut.
Properti:
1) Batas jumlah sama dengan jumlah batasnya
2) Limit suatu hasil kali sama dengan hasil kali limitnya
3) Limit hasil bagi sama dengan hasil bagi limit
4) Faktor konstanta dapat diambil melampaui tanda limit
Pertanyaan 38
jumlah perkembangan geometri tak terhingga
Kemajuan geometris- barisan bilangan b 1, b 2, b 3,.. (anggota barisan), yang setiap bilangan berikutnya, mulai dari bilangan kedua, diperoleh dari bilangan sebelumnya dengan mengalikannya dengan bilangan tertentu q (penyebut perkembangannya), di mana b 1 ≠0, q ≠0.
Jumlah barisan geometri tak hingga adalah bilangan pembatas yang konvergen dengan barisan perkembangan tersebut.
Dengan kata lain, tidak peduli berapa lama perkembangan geometri, jumlah anggotanya tidak lebih dari suatu bilangan tertentu dan praktis sama dengan bilangan tersebut. Ini disebut jumlah barisan geometri.
Tidak semua barisan geometri mempunyai jumlah yang terbatas. Itu hanya bisa ada dalam perkembangan yang penyebutnya adalah bilangan pecahan kurang dari 1.
Prisma disebut paralelipiped, jika alasnya berupa jajar genjang. Cm. Gambar.1.
Sifat-sifat paralelepiped:
Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu parallelepiped adalah sejajar (yaitu terletak pada bidang sejajar) dan sama besar.
Diagonal-diagonal suatu parallelepiped berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik tersebut.
Wajah yang berdekatan dari paralelepiped– dua sisi yang mempunyai sisi yang sama.
Sisi berlawanan dari paralelepiped– wajah yang tidak memiliki tepi yang sama.
Berlawanan dengan simpul dari paralelepiped– dua simpul yang tidak berada pada sisi yang sama.
Diagonal dari paralelepiped– segmen yang menghubungkan simpul-simpul yang berlawanan.
Jika sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka disebut paralelepiped langsung.
Paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut persegi panjang. Sebuah prisma yang seluruh permukaannya berbentuk persegi disebut prisma kubus.
Paralelipiped- prisma yang alasnya berupa jajar genjang.
Paralelepiped kanan- sebuah parallelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alasnya.
Paralelepiped persegi panjang adalah jajar genjang siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang.
kubus– paralelepiped persegi panjang dengan tepi yang sama.
paralelipiped disebut prisma yang alasnya berupa jajar genjang; Jadi, sebuah jajar genjang memiliki enam sisi dan semuanya merupakan jajar genjang.
Wajah-wajah yang berhadapan berpasangan sama besar dan sejajar. Paralelepiped memiliki empat diagonal; mereka semua berpotongan di satu titik dan terbagi dua di titik itu. Wajah apa pun dapat dijadikan dasar; volumenya sama dengan hasil kali luas alas dan tinggi: V = Sh.
Paralelepiped yang keempat sisi sisinya berbentuk persegi panjang disebut paralelepiped lurus.
Paralelepiped siku-siku yang keenam sisinya berbentuk persegi panjang disebut persegi panjang. Cm. Gambar.2.
Volume (V) sebuah parallelepiped siku-siku sama dengan hasil kali luas alas (S) dan tinggi (h): V = Sh .
Selain itu, untuk parallelepiped persegi panjang, rumusnya berlaku V=abc, dengan a,b,c adalah sisinya.
Diagonal (d) suatu parallelepiped persegi panjang berhubungan dengan rusuk-rusuknya melalui relasi d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .
Paralelepiped persegi panjang- sebuah parallelepiped yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya, dan alasnya berbentuk persegi panjang.
Sifat-sifat parallelepiped persegi panjang:
Dalam sebuah parallelepiped persegi panjang, keenam sisinya adalah persegi panjang.
Semua sudut dihedral pada parallelepiped persegi panjang adalah siku-siku.
Kuadrat diagonal suatu persegi panjang sejajar sama dengan jumlah kuadrat tiga dimensinya (panjang tiga sisi yang memiliki titik sudut yang sama).
Diagonal-diagonal suatu parallelepiped persegi panjang adalah sama.
Paralelepiped persegi panjang, yang semua wajahnya berbentuk persegi, disebut kubus. Semua sisi kubus adalah sama; volume (V) kubus dinyatakan dengan rumus V=sebuah 3, dimana a adalah rusuk kubus.
