Ketika berbicara tentang matematika, pasti ada yang mengingat pecahan. Banyak perhatian dan waktu dicurahkan untuk studi mereka. Ingat berapa banyak contoh yang harus Anda selesaikan untuk mempelajari aturan tertentu dalam menangani pecahan, bagaimana Anda menghafal dan menerapkan sifat dasar pecahan. Berapa banyak keberanian yang dihabiskan untuk menemukan penyebut yang sama, terutama jika contohnya memiliki lebih dari dua suku!

Mari kita ingat apa itu dan sedikit menyegarkan kembali informasi dasar dan aturan bekerja dengan pecahan.

Definisi pecahan

Mari kita mulai dengan hal yang paling penting - definisi. Pecahan adalah bilangan yang terdiri dari satu atau lebih bagian suatu satuan. Bilangan pecahan ditulis sebagai dua bilangan yang dipisahkan dengan garis mendatar atau garis miring. Dalam hal ini, bagian atas (atau pertama) disebut pembilang, dan bagian bawah (kedua) disebut penyebut.

Perlu dicatat bahwa penyebutnya menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi, dan pembilangnya menunjukkan jumlah bagian atau bagian yang diambil. Seringkali pecahan, jika benar, kurang dari satu.

Sekarang mari kita lihat properti dari angka-angka ini dan aturan dasar yang digunakan saat bekerja dengannya. Namun sebelum kita mengkaji konsep seperti “properti dasar pecahan rasional", mari kita bahas tentang jenis-jenis pecahan dan ciri-cirinya.

Apa itu pecahan?

Ada beberapa jenis angka tersebut. Pertama-tama, ini biasa dan desimal. Yang pertama mewakili jenis rekaman yang telah kami tunjukkan menggunakan garis horizontal atau garis miring. Jenis pecahan kedua ditunjukkan dengan menggunakan apa yang disebut notasi posisi, ketika bagian bilangan bulat dari suatu bilangan ditunjukkan terlebih dahulu, dan kemudian, setelah koma, bagian pecahan ditunjukkan.

Perlu dicatat di sini bahwa dalam matematika pecahan desimal dan pecahan biasa digunakan secara merata. Properti utama pecahan hanya berlaku untuk opsi kedua. Selain itu, pecahan biasa juga dibagi menjadi bilangan biasa dan pecahan biasa. Untuk yang pertama, pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya. Perhatikan juga bahwa pecahan tersebut kurang dari satu. Sebaliknya, pada pecahan biasa, pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, dan pecahan itu sendiri lebih besar dari satu. Dalam hal ini, bilangan bulat dapat diekstraksi darinya. Pada artikel ini kita hanya akan membahas pecahan biasa.

Sifat Pecahan

Setiap fenomena, kimia, fisika atau matematika, memiliki karakteristik dan sifat tersendiri. Bilangan pecahan tidak terkecuali. Mereka memiliki satu fitur penting yang dengannya operasi tertentu dapat dilakukan pada mereka. Apa sifat utama pecahan? Aturannya adalah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan atau dibagi sama bilangan rasional, kita akan mendapatkan pecahan baru yang nilainya akan sama dengan nilai pecahan aslinya. Artinya, dengan mengalikan dua bagian bilangan pecahan 3/6 dengan 2, kita mendapatkan pecahan baru 6/12, dan keduanya akan sama.

Berdasarkan sifat ini, Anda dapat mengurangi pecahan, serta memilih penyebut yang sama untuk pasangan angka tertentu.

Operasi

Meskipun pecahan tampak lebih rumit, pecahan juga dapat digunakan untuk melakukan operasi matematika dasar, seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian, dan pembagian. Selain itu, ada tindakan khusus seperti mereduksi pecahan. Secara alami, setiap tindakan ini dilakukan menurut aturan tertentu. Mengetahui hukum-hukum ini membuat bekerja dengan pecahan menjadi lebih mudah, mudah, dan menarik. Itulah sebabnya selanjutnya kita akan mempertimbangkan aturan dasar dan algoritme tindakan saat bekerja dengan angka-angka tersebut.

Namun sebelum kita membahas operasi matematika seperti penjumlahan dan pengurangan, mari kita lihat operasi seperti pengurangan ke penyebut yang sama. Di sinilah pengetahuan tentang sifat dasar pecahan berguna.

Faktor persekutuan

Untuk mereduksi suatu bilangan menjadi penyebut yang sama, pertama-tama Anda harus mencari kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebutnya. Artinya, bilangan terkecil yang sekaligus habis dibagi kedua penyebutnya tanpa sisa. Cara termudah untuk mencari KPK (kelipatan persekutuan terkecil) adalah dengan menuliskan satu penyebut pada satu baris, lalu penyebut kedua, dan mencari bilangan yang cocok di antara penyebut tersebut. Jika KPK tidak ditemukan, artinya bilangan-bilangan tersebut tidak mempunyai kelipatan persekutuan, maka harus dikalikan, dan nilai yang dihasilkan dianggap KPK.

Jadi, KPK sudah kita temukan, sekarang kita perlu mencari faktor tambahannya. Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi KPK secara bergantian menjadi penyebut pecahan dan menuliskan angka yang dihasilkan di masing-masing pecahan. Selanjutnya, Anda harus mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor tambahan yang dihasilkan dan menuliskan hasilnya sebagai pecahan baru. Jika Anda ragu apakah angka yang Anda terima sama dengan angka sebelumnya, ingatlah sifat dasar pecahan.

Tambahan

Sekarang mari kita langsung ke operasi matematika pada bilangan pecahan. Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ada beberapa opsi untuk menjumlahkan pecahan. Dalam kasus pertama, kedua bilangan memiliki penyebut yang sama. Dalam hal ini, yang tersisa hanyalah menjumlahkan pembilangnya. Tapi penyebutnya tidak berubah. Misalnya 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jika pecahan penyebut yang berbeda, Anda harus membawanya ke nilai yang sama dan baru kemudian melakukan penambahan. Kami membahas cara melakukan ini sedikit lebih tinggi. Dalam situasi ini, sifat dasar pecahan akan berguna. Aturan ini akan memungkinkan Anda membawa angka ke penyebut yang sama. Nilainya tidak akan berubah sama sekali.

Alternatifnya, mungkin saja pecahannya tercampur. Maka Anda harus menjumlahkan bagian bilangan bulat terlebih dahulu, lalu bagian pecahan.

Perkalian

Itu tidak memerlukan trik apa pun, dan untuk melakukan tindakan ini, tidak perlu mengetahui sifat dasar pecahan. Cukup dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu. Dalam hal ini, hasil kali pembilangnya akan menjadi pembilang baru, dan penyebutnya akan menjadi penyebut baru. Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Satu-satunya hal yang diperlukan dari Anda adalah pengetahuan tentang tabel perkalian, serta perhatian. Selain itu, setelah menerima hasilnya, Anda harus memeriksa apakah mungkin untuk menguranginya nomor yang diberikan atau tidak. Kita akan membahas cara mereduksi pecahan nanti.

Pengurangan

Saat melakukan, Anda harus dipandu oleh aturan yang sama seperti saat menambahkan. Jadi, pada bilangan-bilangan yang penyebutnya sama, pembilang pengurangnya cukup dikurangi dengan pembilang minuendnya. Jika pecahan mempunyai penyebut yang berbeda, Anda harus menguranginya menjadi penyebut yang sama dan kemudian melakukan operasi ini. Seperti halnya penjumlahan, Anda perlu menggunakan sifat-sifat dasar pecahan aljabar, serta keterampilan dalam mencari KPK dan faktor persekutuan pecahan.

Divisi

Dan operasi terakhir yang paling menarik saat bekerja dengan bilangan seperti itu adalah pembagian. Caranya cukup sederhana dan tidak menimbulkan kesulitan khusus bahkan bagi mereka yang kurang memahami cara mengerjakan pecahan, terutama penjumlahan dan pengurangan. Saat membagi, aturan yang sama berlaku seperti mengalikan dengan pecahan timbal balik. Sifat dasar pecahan, seperti halnya perkalian, tidak akan digunakan untuk operasi ini. Mari kita lihat lebih dekat.

Saat membagi angka, pembagiannya tetap tidak berubah. Pembagi pecahan berubah menjadi kebalikannya, yaitu pembilang dan penyebutnya berpindah tempat. Setelah itu, angka-angka tersebut dikalikan satu sama lain.

Pengurangan

Jadi, kita telah mengkaji pengertian dan struktur pecahan, jenis-jenisnya, aturan-aturan pengoperasian bilangan-bilangan tersebut, dan menemukan sifat-sifat utama pecahan aljabar. Sekarang mari kita bicara tentang operasi seperti pengurangan. Mengurangi pecahan adalah proses mengubahnya - membagi pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama. Jadi, pecahan direduksi tanpa mengubah sifat-sifatnya.

Biasanya, ketika melakukan operasi matematika, Anda harus hati-hati melihat hasil yang dihasilkan dan mencari tahu apakah pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi atau tidak. Ingatlah bahwa hasil akhirnya selalu mengandung bilangan pecahan yang tidak perlu dikurangi.

Operasi lainnya

Terakhir, kami mencatat bahwa kami belum mencantumkan semua operasi pada bilangan pecahan, hanya menyebutkan yang paling terkenal dan perlu. Pecahan juga dapat dibandingkan, diubah menjadi desimal dan sebaliknya. Namun dalam artikel ini kami tidak mempertimbangkan operasi ini, karena dalam matematika operasi ini lebih jarang dilakukan dibandingkan operasi yang kami sajikan di atas.

kesimpulan

Kita bicara tentang bilangan pecahan dan operasi dengan mereka. Kami juga mempertimbangkan properti utama, tetapi perhatikan bahwa semua masalah ini telah kami pertimbangkan secara sepintas. Kami hanya memberikan aturan yang paling terkenal dan digunakan serta memberikan saran yang paling penting, menurut pendapat kami.

Artikel ini dimaksudkan untuk menyegarkan kembali informasi tentang pecahan yang selama ini Anda lupa, bukan untuk diberikan informasi baru dan isi kepala Anda dengan aturan dan formula yang tak ada habisnya yang, kemungkinan besar, tidak akan pernah berguna bagi Anda.

Kami berharap materi yang disajikan dalam artikel secara sederhana dan ringkas dapat bermanfaat bagi Anda.

Saat mempelajari pecahan biasa, kita menjumpai konsep sifat dasar pecahan. Rumusan yang disederhanakan diperlukan untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan biasa. Artikel ini membahas tentang pembahasan pecahan aljabar dan penerapan sifat dasarnya, yang akan dirumuskan dengan contoh ruang lingkup penerapannya.

Perumusan dan pembenaran

Sifat dasar pecahan adalah:

Definisi 1

Jika pembilang dan penyebutnya dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama secara bersamaan, nilai pecahannya tetap tidak berubah.

Artinya, kita mendapatkan bahwa a · m b · m = a b dan a: m b: m = a b adalah setara, di mana a b = a · m b · m dan a b = a: m b: m dianggap adil. Nilai a, b, m adalah beberapa bilangan asli.

Membagi pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai a · m b · m = a b . Ini mirip dengan penyelesaian contoh 8 12 = 8:4 12:4 = 2 3. Saat membagi, digunakan persamaan bentuk a: m b: m = a b, maka 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. Dapat juga direpresentasikan dalam bentuk a · m b · m = a b, yaitu 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

Artinya, sifat utama pecahan a · m b · m = a b dan a b = a · m b · m akan dibahas secara rinci berbeda dengan a: m b: m = a b dan a b = a: m b: m.

Jika pembilang dan penyebutnya mengandung bilangan real, maka properti tersebut berlaku. Pertama, Anda perlu membuktikan validitas pertidaksamaan tertulis untuk semua bilangan. Artinya, buktikan keberadaan a · m b · m = a b untuk semua real a , b , m , dimana b dan m adalah nilai bukan nol untuk menghindari pembagian dengan nol.

Bukti 1

Misalkan pecahan berbentuk a b dianggap sebagai bagian dari catatan z, dengan kata lain a b = z, maka perlu dibuktikan bahwa a · m b · m bersesuaian dengan z, yaitu membuktikan a · m b · m = z . Maka ini akan memungkinkan kita membuktikan adanya persamaan a · m b · m = a b .

Garis pecahan melambangkan tanda pembagian. Menerapkan hubungan dengan perkalian dan pembagian, kita menemukan bahwa dari a b = z setelah transformasi kita memperoleh a = b · z. Berdasarkan properti ketidaksetaraan numerik Kedua ruas pertidaksamaan harus dikalikan dengan angka selain nol. Lalu kita kalikan dengan bilangan m, didapat a · m = (b · z) · m. Berdasarkan sifat, kita berhak menuliskan ekspresi dalam bentuk a · m = (b · m) · z. Artinya dari definisi tersebut a b = z. Itu saja bukti dari ekspresi a · m b · m = a b .

Persamaan bentuk a · m b · m = a b dan a b = a · m b · m masuk akal jika alih-alih a , b , m terdapat polinomial, dan bukannya b dan m, polinomial tersebut bukan nol.

Sifat utama pecahan aljabar: ketika kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama secara bersamaan, kita memperoleh ekspresi yang identik dengan ekspresi aslinya.

Properti tersebut dianggap valid, karena tindakan dengan polinomial sesuai dengan tindakan dengan angka.

Contoh 1

Mari kita lihat contoh pecahan 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3. Dapat diubah ke bentuk 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).

Perkalian dengan polinomial x 2 + 2 · x · y telah dilakukan. Dengan cara yang sama, sifat dasar membantu menghilangkan x 2 yang direpresentasikan dalam pecahan tertentu dari bentuk 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) menjadi 5 x + 5 x 3 + 3. Ini disebut penyederhanaan.

Sifat utama dapat ditulis sebagai ekspresi a · m b · m = a b dan a b = a · m b · m, jika a, b, m adalah polinomial atau variabel biasa, dan b dan m harus bukan nol.

Area penerapan sifat dasar pecahan aljabar

Penerapan sifat pokok relevan untuk mereduksi ke penyebut baru atau saat mereduksi suatu pecahan.

Definisi 2

Mengurangi ke penyebut yang sama berarti mengalikan pembilang dan penyebut dengan polinomial serupa untuk mendapatkan polinomial baru. Pecahan yang dihasilkan sama dengan pecahan aslinya.

Artinya, pecahan berbentuk x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 jika dikalikan dengan x 2 + 1 dan direduksi menjadi penyebut yang sama (x + 1) · (x 2 + 1 ) akan menerima bentuk x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Setelah melakukan operasi dengan polinomial, kita menemukan bahwa pecahan aljabar diubah menjadi x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Pengurangan ke penyebut yang sama juga dilakukan saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan. Jika koefisien pecahan diberikan, maka harus dilakukan penyederhanaan terlebih dahulu, yang akan menyederhanakan tampilan dan penentuan penyebut yang sama. Misalnya, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Penerapan sifat-sifat pengurangan pecahan dilakukan dalam 2 tahap: penguraian pembilang dan penyebut menjadi faktor-faktor untuk mencari persekutuan m, kemudian dilanjutkan ke jenis pecahan a b, berdasarkan persamaan bentuk a · m b · m = ab.

Jika pecahan berbentuk 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 setelah pemuaian diubah menjadi x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, maka jelas bahwa pengalinya adalah jadilah polinomial 4 x 2 − y. Maka pecahan dapat direduksi sesuai dengan sifat utamanya. Kami mengerti

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Pecahan disederhanakan, maka ketika mensubstitusi nilai-nilai itu perlu dilakukan banyak hal tindakan yang lebih sedikit daripada saat menggantinya dengan yang asli.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pecahan

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Pecahan tidak terlalu mengganggu di sekolah menengah. Untuk saat ini. Sampai Anda menemukan gelar dengan indikator rasional ya logaritma. Dan disana... Anda menekan dan menekan kalkulator, dan itu menunjukkan tampilan penuh beberapa angka. Anda harus berpikir dengan kepala seperti di kelas tiga.

Mari kita akhirnya mencari tahu pecahan! Nah, seberapa banyak Anda bisa bingung di dalamnya!? Selain itu, semuanya sederhana dan logis. Jadi, apa saja jenis-jenis pecahan?

Jenis pecahan. Transformasi.

Ada tiga jenis pecahan.

1. Pecahan biasa , Misalnya:

Terkadang, alih-alih garis horizontal, mereka memberi garis miring: 1/2, 3/4, 19/5, nah, dan seterusnya. Di sini kita akan sering menggunakan ejaan ini. Nomor teratas dipanggil pembilang, lebih rendah - penyebut. Jika Anda terus-menerus bingung dengan nama-nama ini (itu terjadi...), ucapkan pada diri Anda kalimat: " Zzzzz Ingat! Zzzzz penyebut - lihat zzzzz uh!" Lihat, semuanya akan diingat zzzz.)

Tanda hubung, baik horizontal maupun miring, artinya divisi angka teratas (pembilang) ke bawah (penyebut). Itu saja! Alih-alih tanda hubung, sangat mungkin untuk memberi tanda pembagian - dua titik.

Jika pembagian lengkap memungkinkan, hal ini harus dilakukan. Jadi, daripada pecahan “32/8”, jauh lebih menyenangkan menulis angka “4”. Itu. 32 hanya dibagi 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Saya bahkan tidak berbicara tentang pecahan "4/1". Yang juga hanya "4". Dan jika tidak habis dibagi, kita biarkan sebagai pecahan. Terkadang Anda harus melakukan operasi sebaliknya. Ubah bilangan bulat menjadi pecahan. Tapi lebih dari itu nanti.

2. Desimal , Misalnya:

Dalam formulir inilah Anda perlu menuliskan jawaban tugas “B”.

3. Nomor campuran , Misalnya:

Angka campuran praktis tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk mengerjakannya, mereka harus diubah menjadi pecahan biasa. Tapi Anda pasti harus bisa melakukan ini! Jika tidak, Anda akan menemukan nomor seperti itu dalam suatu masalah dan membeku... Entah dari mana. Tapi kami akan mengingat prosedur ini! Sedikit lebih rendah.

Paling serbaguna pecahan biasa. Mari kita mulai dengan mereka. Omong-omong, jika pecahan berisi segala macam logaritma, sinus, dan huruf lainnya, ini tidak mengubah apa pun. Dalam artian semuanya tindakan dengan ekspresi pecahan tidak berbeda dengan tindakan dengan pecahan biasa!

Sifat utama pecahan.

Jadi ayo pergi! Pertama-tama, saya akan mengejutkan Anda. Seluruh variasi transformasi pecahan disediakan oleh satu properti! Itulah sebutannya sifat utama pecahan. Ingat: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, maka pecahan tersebut tidak berubah. Itu:

Jelas bahwa Anda dapat terus menulis sampai wajah Anda membiru. Jangan biarkan sinus dan logaritma membingungkan Anda, kami akan membahasnya lebih lanjut. Hal utama adalah memahami apa itu berbagai ekspresi pecahan yang sama . 2/3.

Apakah kita membutuhkannya, semua transformasi ini? Dan bagaimana! Sekarang Anda akan melihatnya sendiri. Untuk memulainya, mari kita gunakan sifat dasar pecahan untuk mereduksi pecahan. Tampaknya ini hal yang mendasar. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama dan selesai! Tidak mungkin membuat kesalahan! Tapi... manusia adalah makhluk kreatif. Anda bisa membuat kesalahan di mana saja! Apalagi jika yang harus direduksi bukan pecahan seperti 5/10, melainkan ekspresi pecahan yang hurufnya bermacam-macam.

Cara mengecilkan pecahan dengan benar dan cepat tanpa perlu kerja ekstra dapat dibaca pada bagian khusus 555.

Siswa normal tidak akan repot-repot membagi pembilang dan penyebut dengan angka (atau ekspresi) yang sama! Dia hanya mencoret semua yang sama di atas dan di bawah! Di sinilah ia mengintai kesalahan tipikal, kesalahan besar, jika Anda mau.

Misalnya, Anda perlu menyederhanakan ekspresi:

Tidak ada yang perlu dipikirkan di sini, coret huruf “a” di atas dan dua di bawah! Kita mendapatkan:

Semuanya benar. Tapi sebenarnya kalian terpecah semua pembilang dan semua penyebutnya adalah "a". Jika Anda terbiasa mencoret saja, maka terburu-buru Anda bisa mencoret “a” pada ekspresi tersebut

dan mendapatkannya lagi

Itu sama sekali tidak benar. Karena di sini semua pembilang pada "a" sudah ada tidak dibagikan! Fraksi ini tidak dapat dikurangi. Ngomong-ngomong, pengurangan seperti itu, um... tantangan serius bagi guru. Ini tidak dimaafkan! Apakah kamu ingat? Saat mengurangi, Anda perlu membagi semua pembilang dan semua penyebut!

Mengurangi pecahan membuat hidup lebih mudah. Anda akan mendapatkan pecahan di suatu tempat, misalnya 375/1000. Bagaimana saya bisa terus bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Lipat gandakan, katakanlah, tambahkan, persegi!? Dan jika Anda tidak terlalu malas, dan dengan hati-hati memotongnya menjadi lima, dan lima lagi, dan bahkan... saat sedang dipersingkat, singkatnya. Ayo dapatkan 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Properti utama pecahan memungkinkan Anda mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya tanpa kalkulator! Ini penting untuk Ujian Negara Bersatu, bukan?

Cara mengubah pecahan dari satu jenis ke jenis lainnya.

Dengan pecahan desimal semuanya sederhana. Seperti yang didengar, demikianlah yang tertulis! Katakanlah 0,25. Ini nol koma dua puluh lima perseratus. Jadi kami menulis: 25/100. Kita kurangi (kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan 25), kita mendapatkan pecahan biasa: 1/4. Semua. Itu terjadi, dan tidak ada yang berkurang. Seperti 0,3. Ini tiga persepuluh, yaitu. 3/10.

Bagaimana jika bilangan bulatnya bukan nol? Tidak apa-apa. Kami menuliskan seluruh pecahan tanpa koma di pembilangnya, dan di penyebutnya - apa yang didengar. Misalnya: 3.17. Ini adalah tiga koma tujuh belas ratus. Kita tuliskan 317 pada pembilangnya dan 100 pada penyebutnya, sehingga diperoleh 317/100. Tidak ada yang dikurangi, itu berarti segalanya. Inilah jawabannya. SD Watson! Dari semua hal di atas, kesimpulan yang berguna: pecahan desimal apa pun dapat diubah menjadi pecahan biasa .

Namun sebagian orang tidak dapat melakukan konversi terbalik dari biasa ke desimal tanpa kalkulator. Dan itu perlu! Bagaimana cara menuliskan jawaban pada Ujian Negara Terpadu!? Bacalah dengan cermat dan kuasai proses ini.

Apa ciri-ciri pecahan desimal? Penyebutnya adalah Selalu biayanya 10, atau 100, atau 1000, atau 10.000 dan seterusnya. Jika pecahan biasamu memiliki penyebut seperti ini, tidak masalah. Misalnya, 4/10 = 0,4. Atau 7/100 = 0,07. Atau 12/10 = 1,2. Bagaimana jika jawaban tugas di bagian “B” ternyata 1/2? Apa yang akan kita tulis sebagai tanggapannya? Desimal diperlukan...

Mari kita ingat sifat utama pecahan ! Matematika memungkinkan Anda mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Ngomong-ngomong, apa saja! Kecuali nol, tentu saja. Jadi mari gunakan properti ini untuk keuntungan kita! Berapa penyebutnya yang bisa dikalikan, mis. 2 sehingga menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil tentu saja...)? Tentu saja jam 5. Jangan ragu untuk mengalikan penyebutnya (ini kita perlu) dengan 5. Tapi pembilangnya juga harus dikalikan 5. Ini sudah matematika tuntutan! Kita peroleh 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Itu saja.

Namun, ada berbagai macam penyebut. Misalnya, Anda akan menemukan pecahan 3/16. Coba dan cari tahu cara mengalikan 16 dengan menghasilkan 100, atau 1000... Tidakkah berhasil? Kemudian Anda cukup membagi 3 dengan 16. Jika tidak ada kalkulator, Anda harus membaginya dengan sudut, di selembar kertas, seperti yang mereka ajarkan di sekolah dasar. Kami mendapatkan 0,1875.

Dan ada juga penyebut yang sangat buruk. Misalnya, tidak ada cara untuk mengubah pecahan 1/3 menjadi desimal yang baik. Baik di kalkulator maupun di selembar kertas, kita mendapatkan 0,3333333... Artinya 1/3 adalah pecahan desimal eksak tidak menerjemahkan. Sama seperti 1/7, 5/6 dan seterusnya. Ada banyak sekali, tidak bisa diterjemahkan. Hal ini membawa kita pada kesimpulan lain yang bermanfaat. Tidak semua pecahan dapat diubah menjadi desimal !

Ngomong-ngomong, ini informasi bermanfaat untuk tes mandiri. Di bagian "B" Anda harus menuliskan pecahan desimal dalam jawaban Anda. Dan Anda mendapat, misalnya, 4/3. Pecahan ini tidak diubah menjadi desimal. Ini berarti Anda membuat kesalahan di suatu tempat! Kembali dan periksa solusinya.

Jadi, kami menemukan pecahan biasa dan desimal. Yang tersisa hanyalah menangani angka campuran. Untuk mengerjakannya, mereka harus diubah menjadi pecahan biasa. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menangkap siswa kelas enam dan bertanya padanya. Tapi siswa kelas enam tidak selalu siap... Anda harus melakukannya sendiri. Tidak sulit. Anda perlu mengalikan penyebut bagian pecahan dengan seluruh bagian dan menjumlahkan pembilang bagian pecahan. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebutnya akan tetap sama. Kedengarannya rumit, namun kenyataannya semuanya sederhana. Mari kita lihat sebuah contoh.

Misalkan Anda ngeri melihat nomor dalam soal:

Dengan tenang, tanpa panik, kami berpikir. Bagian keseluruhannya adalah 1. Satuan. Bagian pecahannya adalah 3/7. Jadi, penyebut bagian pecahan adalah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut pecahan biasa. Kami menghitung pembilangnya. 7 dikalikan 1 ( seluruh bagian) dan tambahkan 3 (pembilang bagian pecahan). Kita mendapat 10. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Itu saja. Ini terlihat lebih sederhana dalam notasi matematika:

Apakah sudah jelas? Kemudian amankan kesuksesan Anda! Ubah menjadi pecahan biasa. Anda harus mendapatkan 10/7, 7/2, 23/10 dan 21/4.

Operasi sebaliknya - mengubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran - jarang diperlukan di sekolah menengah. Nah, jika demikian... Dan jika Anda tidak duduk di bangku SMA, Anda dapat melihat ke dalam Bagian khusus 555. Ngomong-ngomong, tentang pecahan biasa kamu akan mengetahuinya.

Yah, itu saja. Anda ingat jenis-jenis pecahan dan memahaminya Bagaimana mentransfernya dari satu jenis ke jenis lainnya. Pertanyaannya tetap: Untuk apa lakukan? Di mana dan kapan menerapkan pengetahuan mendalam ini?

Saya menjawab. Setiap contoh itu sendiri menyarankan tindakan yang diperlukan. Jika pada contoh pecahan biasa, desimal, dan bilangan campuran genap dicampur menjadi satu, kita ubah semuanya menjadi pecahan biasa. Itu selalu bisa dilakukan. Nah, kalau tertulis seperti 0,8 + 0,3, maka kita hitung seperti itu, tanpa terjemahan apa pun. Mengapa kita perlu kerja ekstra? Kami memilih solusi yang nyaman kita !

Jika tugasnya seluruhnya desimal, tapi um... semacam yang jahat, pergilah ke yang biasa, cobalah! Lihat, semuanya akan berhasil. Misalnya, Anda harus mengkuadratkan angka 0,125. Tidak mudah jika Anda belum terbiasa menggunakan kalkulator! Anda tidak hanya harus mengalikan angka dalam satu kolom, Anda juga harus memikirkan di mana harus menyisipkan koma! Ini pasti tidak akan berhasil di kepala Anda! Bagaimana jika kita beralih ke pecahan biasa?

0,125 = 125/1000. Kami menguranginya sebanyak 5 (ini sebagai permulaan). Kami mendapatkan 25/200. Sekali lagi dengan 5. Kita mendapatkan 5/40. Oh, masih menyusut! Kembali ke 5! Kami mendapatkan 1/8. Kita dengan mudah mengkuadratkannya (dalam pikiran kita!) dan mendapatkan 1/64. Semua!

Mari kita rangkum pelajaran ini.

1. Ada tiga jenis pecahan. Bilangan biasa, desimal, dan campuran.

2. Bilangan desimal dan campuran Selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa. Pemindahan terbalik tidak selalu tersedia.

3. Pilihan jenis pecahan untuk mengerjakan suatu tugas tergantung pada tugas itu sendiri. Di hadapan jenis yang berbeda pecahan dalam satu tugas, hal yang paling dapat diandalkan adalah beralih ke pecahan biasa.

Sekarang kamu bisa berlatih. Pertama, ubah pecahan desimal berikut menjadi pecahan biasa:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Anda harus mendapatkan jawaban seperti ini (berantakan!):

Mari kita selesaikan di sini. Dalam pelajaran ini kita menyegarkan ingatan kita tentang poin-poin penting tentang pecahan. Namun kebetulan tidak ada yang istimewa untuk disegarkan...) Jika seseorang benar-benar lupa, atau belum menguasainya... Maka Anda dapat pergi ke Bagian khusus 555. Semua dasar-dasarnya dibahas secara rinci di sana. Banyak yang tiba-tiba mengerti segalanya sedang dimulai. Dan mereka memecahkan pecahan dengan cepat).

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Pecahan- suatu bentuk representasi bilangan dalam matematika. Bilah pecahan menunjukkan operasi pembagian. Pembilang pecahan disebut dividen, dan penyebut- pembagi. Misalnya pecahan mempunyai pembilang 5 dan penyebut 7.

Benar Pecahan disebut pecahan yang modulus pembilangnya lebih besar dari modulus penyebutnya. Jika suatu pecahan bernilai wajar, maka modulus nilainya selalu kurang dari 1. Semua pecahan lainnya bernilai wajar salah.

Pecahan tersebut disebut Campuran, jika ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan. Ini sama dengan jumlah dari bilangan ini dan pecahannya:

Sifat utama pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah, misalnya

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda memerlukan:

1. Kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua
2. Kalikan pembilang pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
3. Gantikan penyebut kedua pecahan dengan hasil kali keduanya

Operasi dengan pecahan

Tambahan. Untuk menambahkan dua pecahan yang Anda butuhkan

1. Tambahkan pembilang baru dari kedua pecahan dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Pengurangan. Untuk mengurangi satu pecahan dari pecahan lainnya, Anda perlu

1. Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama
2. Kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Perkalian. Untuk mengalikan satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang dan penyebutnya.

Topik ini cukup penting; semua matematika dan aljabar selanjutnya didasarkan pada sifat dasar pecahan. Sifat-sifat pecahan yang dipertimbangkan, meskipun penting, sangatlah sederhana.

Untuk mengerti sifat dasar pecahan Mari kita pertimbangkan sebuah lingkaran.

Pada lingkaran Anda dapat melihat bahwa ada 4 bagian atau diarsir dari delapan bagian yang mungkin. Mari kita tulis pecahan yang dihasilkan \(\frac(4)(8)\)

Pada lingkaran berikutnya Anda dapat melihat bahwa salah satu dari dua bagian yang mungkin diarsir. Mari kita tulis pecahan yang dihasilkan \(\frac(1)(2)\)

Jika kita perhatikan lebih dekat, kita akan melihat bahwa pada kasus pertama, pada kasus kedua kita mempunyai separuh lingkaran yang diarsir, sehingga pecahan yang dihasilkan sama dengan \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\), itu nomor yang sama.

Bagaimana membuktikannya secara matematis? Caranya sangat sederhana, ingat tabel perkalian dan tulis pecahan pertama menjadi faktor.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \warna(merah) (4))(2 \cdot \warna(merah) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \warna(merah) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \warna(merah)(1) = \frac(1)(2)\)

Apa yang telah kita lakukan? Kita memfaktorkan pembilang dan penyebut \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), lalu membagi pecahannya \(\frac(1 ) (2) \cdot \warna(merah) (\frac(4)(4))\). Empat dibagi empat adalah 1, dan satu dikalikan dengan bilangan apa pun adalah bilangan itu sendiri. Apa yang kita lakukan pada contoh di atas disebut mereduksi pecahan.

Mari kita lihat contoh lain dan kurangi pecahannya.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \warna(merah) (2))(5 \cdot \warna(merah) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \warna(merah) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \warna(merah)(1) = \frac(3)(5)\)

Kita memfaktorkan kembali pembilang dan penyebutnya dan mengurangi bilangan-bilangan yang sama menjadi pembilang dan penyebutnya. Artinya, dua dibagi dua menghasilkan satu, dan satu dikalikan dengan bilangan apa pun menghasilkan bilangan yang sama.

Sifat utama pecahan.

Ini menyiratkan sifat utama pecahan:

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan angka yang sama (kecuali nol), maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Anda juga dapat membagi pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama dalam waktu yang bersamaan.
Mari kita lihat sebuah contoh:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \warna(merah) (2))(8 \div \warna(merah) (2)) = \frac(3)(4)\)

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan angka yang sama (kecuali nol), maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Pecahan yang mempunyai faktor prima persekutuan pada pembilang dan penyebutnya disebut pecahan pecahan yang dapat direduksi.

Contoh pecahan tereduksi: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Ada juga pecahan yang tidak dapat direduksi.

Pecahan yang tidak dapat direduksi adalah pecahan yang tidak mempunyai faktor prima persekutuan pada pembilang dan penyebutnya.

Contoh pecahan tak tersederhanakan: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Bilangan apa pun dapat dinyatakan sebagai pecahan karena bilangan apa pun habis dibagi satu. Misalnya:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Pertanyaan tentang topik:
Menurutmu pecahan apa saja yang bisa dikurangi atau tidak?
Jawaban: tidak, ada pecahan yang dapat direduksi dan pecahan yang tidak dapat direduksi.

Periksa apakah persamaannya benar: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Jawaban: tuliskan pecahannya \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), ya itu adil.

Contoh 1:
a) Carilah pecahan yang penyebutnya 15 sama dengan pecahan tersebut \(\frac(2)(3)\).
b) Temukan pecahan dengan pembilang 8 yang sama dengan pecahan tersebut \(\frac(1)(5)\).

Larutan:
a) Kita membutuhkan angka 15 pada penyebutnya, sekarang penyebutnya adalah angka 3. Angka berapa yang harus kita kalikan dengan angka 3 untuk mendapatkan 15? Mari kita ingat tabel perkalian 3⋅5. Kita perlu menggunakan sifat dasar pecahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut \(\frac(2)(3)\) oleh 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) Kita memerlukan angka 8 pada pembilangnya, sekarang angka 1 ada pada pembilangnya, angka berapa yang harus kita kalikan dengan angka 1 untuk mendapatkan 8? Tentu saja, 1⋅8. Kita perlu menggunakan sifat dasar pecahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut \(\frac(1)(5)\) dengan 8. Kita mendapatkan:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Contoh #2:
Temukan pecahan tak tersederhanakan yang sama dengan pecahan: a) \(\frac(16)(36)\), B) \(\frac(10)(25)\).

Larutan:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

B) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Contoh #3:
Tuliskan bilangan tersebut sebagai pecahan: a) 13 b)123

Larutan:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)

B) \(123 = \frac(123) (1)\)