Manual pendidikan dan metodologi
untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dalam matematika

TRIGONOMETRI DALAM PENGGUNAAN DALAM MATEMATIKA

Tujuan dari tutorial ini adalah untuk bantuan kepada anak sekolah dalam persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika pada bagian “Trigonometri”.

DI DALAM buku pelajaran analisis dilakukan dan solusi diberikan untuk masalah khas dalam trigonometri yang ditawarkan oleh Institut Moskow pendidikan terbuka dalam berbagai kontrol, diagnostik, pelatihan, demonstrasi dan kertas ujian dalam matematika untuk anak sekolah di kelas 10 dan 11.

Setelah menganalisis setiap masalah yang khas, masalah serupa diberikan untuk solusi independen.

Dengan yang diperlukan informasi teoritis, yang digunakan dalam memecahkan masalah, dapat ditemukan di bagian “Trigonometri” dari “Buku Pegangan Matematika untuk Anak Sekolah”.

Dengan yang utama metode solusi persamaan trigonometri Anda dapat menemui kami di kami panduan pendidikan"Memecahkan persamaan trigonometri".

Bagi anak sekolah kelas 10 dan 11 yang ingin mempersiapkan diri dengan baik dan lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika atau bahasa Rusia pada skor tinggi, Pusat pendidikan"Resolventa" mengadakan kursus persiapan untuk Ujian Negara Bersatu.

Kami juga menyelenggarakan untuk anak sekolah

Dengan demo Opsi Ujian Negara Bersatu , diterbitkan secara resmi portal informasi Satu Ujian Negara, dapat ditemukan di

\(\blacktriangleright\) Perhatikan sistem koordinat persegi panjang dan di dalamnya terdapat lingkaran dengan jari-jari satuan dan pusat di titik asal.

Sudut dalam \(1^\circ\)- itu seperti itu sudut tengah, yang bertumpu pada busur yang panjangnya sama dengan \(\dfrac1(360)\) panjang seluruh lingkaran.

\(\blacktriangleright\) Kita akan mempertimbangkan sudut-sudut pada lingkaran yang titik sudutnya berada di tengah lingkaran, dan salah satu sisinya selalu berimpit dengan arah positif sumbu \(Ox\) (disorot dengan warna merah pada gambar) .
Sudut-sudutnya ditandai dengan cara ini \(45^\lingkaran,\ 180^\lingkaran,\ 240^\lingkaran\):

Perhatikan bahwa sudut \(0^\circ\) adalah sudut yang kedua sisinya berimpit dengan arah positif sumbu \(Ox\) .

Titik di mana sisi kedua dari sudut tersebut \(\alpha\) memotong lingkaran disebut \(P_(\alpha)\) .
Posisi titik \(P_(0)\) disebut posisi awal.

Jadi, kita dapat mengatakan bahwa kita memutar lingkaran dari posisi awal \(P_0\) ke posisi \(P_(\alpha)\) dengan sudut \(\alpha\) .

\(\blacktriangleright\) Rotasi berlawanan arah jarum jam pada suatu lingkaran adalah rotasi positif. Rotasi searah jarum jam adalah rotasi negatif.

Misalnya, pada gambar, sudut-sudutnya ditandai \(-45^\lingkaran, -90^\lingkaran, -160^\lingkaran\):

\(\blacktriangleright\) Perhatikan titik \(P_(30^\circ)\) pada sebuah lingkaran. Untuk memutar lingkaran dari posisi awal ke titik \(P_(30^\circ)\), Anda perlu memutar melalui sudut \(30^\circ\) (oranye). Jika kita melakukan satu putaran penuh (yaitu, sebesar \(360^\circ\) ) dan satu putaran lagi sebesar \(30^\circ\) , maka kita akan kembali sampai ke titik ini, meskipun kita telah melakukan satu putaran lagi sebuah sudut \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(biru). Kita juga dapat mencapai titik ini dengan berbelok ke \(-330^\circ\) (hijau), ke \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) dll.

Jadi, setiap titik pada lingkaran mempunyai jumlah sudut yang tak terhingga, dan sudut-sudut ini berbeda satu sama lain sebesar bilangan bulat putaran penuh ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
Misalnya, sudut \(30^\circ\) adalah \(360^\circ\) lebih besar dari sudut \(-330^\circ\) dan \(2\cdot 360^\circ\) lebih kecil dari sudut \(750^\circ\) .

Semua sudut yang terletak di titik \(P_(30^\circ)\) dapat ditulis dalam bentuk: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \n\in\mathbb(Z)\).

\(\hitamsegitigakanan\) Sudut dalam \(1\) radian- ini adalah sudut pusat yang bertumpu pada busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran:

Karena panjang seluruh lingkaran dengan jari-jari \(R\) sama dengan \(2\pi R\), dan dalam ukuran derajat - \(360^\circ\), maka kita punya \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf(rad)\), Di mana \ Ini adalah rumus dasar yang dapat digunakan untuk mengubah derajat menjadi radian dan sebaliknya.

Contoh 1. Tentukan besar radian sudut \(60^\circ\) .

Karena \(180^\circ = \pi \Panah Kanan 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Panah Kanan 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)

Contoh 2. Menemukan ukuran derajat sudut \(\dfrac34 \pi\) .

Karena \(\pi=180^\circ \Panah Kanan \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).

Biasanya mereka menulis, misalnya tidak \(\dfrac(\pi)4 \teks( rad)\), tetapi hanya \(\dfrac(\pi)4\) (yaitu satuan pengukuran “rad” dihilangkan). Harap dicatat bahwa penunjukan derajat saat menulis sudut jangan turunkan. Jadi, dengan menulis “sudutnya sama dengan \(1\)” yang kami maksud adalah “sudutnya sama dengan \(1\) radian”, dan bukan “sudutnya sama dengan \(1\) derajat”.

Karena \(\pi \tebalkira-kira 3,14 \Panah Kanan 180^\circ \tebalkira-kira 3,14 \textbf(rad) \Panah Kanan 1 \textbf(rad) \tebalkira-kira 57^\circ\).
Perkiraan substitusi seperti itu tidak dapat dilakukan dalam soal, tetapi mengetahui nilai \(1\) radian dalam derajat sering kali membantu dalam memecahkan beberapa soal. Misalnya, dengan cara ini lebih mudah untuk mencari sudut \(5\) radian pada sebuah lingkaran: kira-kira sama dengan \(285^\circ\) .

\(\blacktriangleright\) Dari pelajaran planimetri (geometri pada bidang datar) kita mengetahui bahwa untuk sudut \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
jika diberi segitiga siku-siku dengan sisi \(a, b, c\) dan sudut \(\alpha\), maka:

Karena setiap sudut ditentukan pada lingkaran satuan \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\), maka Anda perlu menentukan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut mana pun.
Misalkan sebuah lingkaran satuan dan di atasnya terdapat sudut \(\alpha\) dan titik yang bersesuaian \(P_(\alpha)\) :

Mari kita turunkan garis tegak lurus \(P_(\alpha)K\) dari titik \(P_(\alpha)\) ke sumbu \(Ox\) . Kita mendapatkan segitiga siku-siku \(\triangle OP_(\alpha)K\) yang darinya kita mendapatkan: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\] Perhatikan bahwa segmen \(OK\) tidak lebih dari absis \(x_(\alpha)\) dari titik \(P_(\alpha)\) , dan segmen \(P_(\alpha)K\) adalah ordinatnya \(y_(\alpha)\) . Perhatikan juga bahwa sejak itu kita ambil lingkaran satuannya, lalu \(P_(\alpha)O=1\) adalah jari-jarinya.
Dengan demikian, \[\sin\alpha=y_(\alpha), \qquad \cos \alpha=x_(\alpha)\]

Jadi, jika titik \(P_(\alpha)\) memiliki koordinat \((x_(\alpha)\,;y_(\alpha))\), maka melalui sudut yang bersesuaian, koordinatnya dapat ditulis ulang menjadi \(( \ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Definisi: 1. Sinus sudut \(\alpha\) adalah ordinat titik \(P_(\alpha)\) yang bersesuaian dengan sudut ini pada lingkaran satuan.

2. Kosinus sudut \(\alpha\) adalah absis titik \(P_(\alpha)\) yang bersesuaian dengan sudut tersebut pada lingkaran satuan.

Oleh karena itu, sumbu \(Oy\) disebut sumbu sinus, sumbu \(Ox\) disebut sumbu cosinus.

\(\blacktriangleright\) Lingkaran dapat dibagi menjadi \(4\) empat bagian, seperti ditunjukkan pada gambar.

Karena pada kuarter \(I\) absis dan ordinat semua titik bernilai positif, maka cosinus dan sinus semua sudut pada kuarter tersebut juga positif.
Karena pada kuarter \(II\), ordinat semua titik adalah positif dan absisnya negatif, maka kosinus semua sudut pada kuarter ini adalah negatif, dan sinusnya positif.
Demikian pula, Anda dapat menentukan tanda sinus dan cosinus untuk sisa kuarter.

Contoh 3. Karena, misalnya, titik \(P_(\frac(\pi)(6))\) dan \(P_(-\frac(11\pi)6)\) berimpit, maka koordinat keduanya sama, yakni \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \kiri(-\dfrac(11\pi)6\kanan),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \kiri(-\dfrac( 11\pi)6\kanan)\).

Contoh 4. Pertimbangkan poin \(P_(\alpha)\) dan \(P_(\pi-\alpha)\) . Misalkan untuk memudahkan misalkan \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .

Mari kita menggambar garis tegak lurus terhadap sumbu \(Ox\) : \(OK\) dan \(OK_1\) . Segitiga \(OKP_(\alpha)\) dan \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) sama besar sisi miring dan sudutnya ( \(\sudut P_(\alpha)OK=\sudut P_(\pi-\alpha)OK_1=\alpha\)). Karena itu, \(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\). Karena koordinat titik \(P_(\alpha)=(OK;KP_(\alpha))=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\), dan poinnya \(P_(\pi-\alpha)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\alpha))=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\), karena itu, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

Dengan cara ini rumus lain disebut rumus reduksi: \[(\large(\begin(array)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end(array)))\]

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat mencari sinus atau kosinus sudut mana pun dengan mengurangi nilainya menjadi sinus atau kosinus sudut dari seperempat \(I\).

Tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen sudut triwulan pertama:
\[(\large(\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \hline \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \hline \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(array)))\]

Perhatikan bahwa nilai-nilai ini ditampilkan di bagian “Geometri pada bidang (planimetri). Bagian II” dengan topik “Informasi awal tentang sinus, cosinus, tangen dan kotangen”.

Contoh 5. Temukan \(\sin(\dfrac(3\pi)4)\) .

Mari kita ubah sudutnya: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)

Dengan demikian, \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\kiri(\pi-\dfrac(\pi)4\kanan)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).

\(\blacktriangleright\) Agar lebih mudah mengingat dan menggunakan rumus reduksi, Anda bisa mengikuti aturan berikut.

Kasus 1.\(n\cdot \pi\pm \alpha\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigdot \cos\alpha\]

Tanda suatu sudut dapat diketahui dengan menentukan di kuadran mana sudut tersebut berada. Dengan menggunakan aturan ini, kita asumsikan bahwa sudut \(\alpha\) berada di kuadran \(I\).

Kasus 2. Jika sudut dapat direpresentasikan dalam bentuk , di mana \(n\in\mathbb(N)\) , maka \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigdot \cos\alpha\] dimana \(\bigodot\) adalah tanda sinus sudut \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigdot \sin\alpha\] dimana \(\bigdot\) adalah tanda kosinus sudut \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Tandanya ditentukan dengan cara yang sama seperti dalam kasus \(1\) .

Perhatikan bahwa dalam kasus pertama fungsinya tetap tidak berubah, dan dalam kasus kedua berubah (mereka mengatakan bahwa fungsi tersebut berubah menjadi kofungsi).

Contoh 6. Temukan \(\sin \dfrac(13\pi)(3)\) .

Mari kita ubah sudutnya: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), karena itu, \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \kiri(4\pi+\dfrac(\pi)3\kanan)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)

Contoh 7. Temukan \(\cos \dfrac(17\pi)(6)\) .

Mari kita ubah sudutnya: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-\pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), karena itu, \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \kiri(3\pi-\dfrac(\pi)6\kanan)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)

\(\hitamsegitigakanan\) Rentang nilai sinus dan cosinus.
Karena koordinat \(x_(\alpha)\) dan \(y_(\alpha)\) dari setiap titik \(P_(\alpha)\) pada lingkaran satuan berada dalam kisaran dari \(-1\) hingga \ (1\) , dan \(\cos\alpha\) dan \(\sin\alpha\) masing-masing adalah absis dan ordinat dari titik ini, maka \[(\besar(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))\]

Dari segitiga siku-siku menurut teorema Pythagoras kita peroleh: \(x^2_(\alfa)+y^2_(\alfa)=1^2\)
Karena \(x_(\alpha)=\cos\alpha,\ y_(\alpha)=\sin\alpha \Panah Kanan\) \[(\large(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(identitas trigonometri dasar (GTT))\]

\(\hitamsegitigakanan\) Tangen dan kotangen.

Karena \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)

\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), Itu:

1) \((\large(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)

2) garis singgung dan kotangen bernilai positif pada kuarter \(I\) dan \(III\) dan negatif pada kuarter \(II\) dan \(IV\).

3) rentang nilai tangen dan kotangen - semua bilangan real, mis. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \ \mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)

4) rumus reduksi juga ditentukan untuk tangen dan kotangen.

Kasus 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] dimana \(\bigodot\) adalah tanda garis singgung sudut \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] dimana \(\bigdot\) adalah tanda kotangen sudut \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ).

Kasus 2. Jika sudut dapat direpresentasikan sebagai \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\alpha\), di mana \(n\in\mathbb(N)\) , lalu \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] dimana pada tempat \(\bigodot\) terdapat tanda garis singgung sudut \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] dimana \(\bigdot\) adalah tanda kotangen sudut \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ).

5) sumbu singgung melalui titik \((1;0)\) sejajar sumbu sinus, dan arah positif sumbu singgung berimpit dengan arah positif sumbu sinus;
sumbu kotangen melalui titik \((0;1)\) sejajar sumbu kosinus, dan arah positif sumbu kotangen berimpit dengan arah positif sumbu kosinus.

Kami akan memberikan bukti fakta ini dengan menggunakan contoh sumbu singgung.

\(\segitiga OP_(\alpha)K \sim \segitiga AOB \Panah Kanan \dfrac(P_(\alpha)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Panah Kanan \dfrac(\sin\alpha)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Panah Kanan BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).

Jadi, jika titik \(P_(\alpha)\) dihubungkan dengan garis lurus ke pusat lingkaran, maka garis lurus tersebut akan memotong garis singgung di titik yang nilainya \(\mathrm(tg)\ ,\alfa\) .

6) rumus berikut mengikuti identitas trigonometri utama: \ Rumus pertama diperoleh dengan membagi sisi kanan dan kiri OTT dengan \(\cos^2\alpha\), rumus kedua dengan membagi \(\sin^2\alpha\) .

Harap dicatat bahwa garis singgung tidak ditentukan pada sudut di mana kosinusnya nol (inilah \(\alpha=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
kotangen tidak terdefinisi pada sudut yang sinusnya nol (inilah \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb(Z)\)).

\(\hitamsegitigakanan\) Kemerataan kosinus dan keanehan sinus, tangen, kotangen.

Ingatlah bahwa suatu fungsi \(f(x)\) dipanggil meskipun \(f(-x)=f(x)\) .

Suatu fungsi disebut ganjil jika \(f(-x)=-f(x)\) .

Terlihat dari lingkaran bahwa kosinus sudut \(\alpha\) sama dengan kosinus sudut \(-\alpha\) untuk sembarang nilai \(\alpha\) :

Jadi, cosinus adalah fungsi genap, artinya rumus \[(\Besar(\cos(-x)=\cos x))\] benar

Dari lingkaran terlihat jelas bahwa sinus sudut \(\alpha\) berlawanan dengan sinus sudut \(-\alpha\) untuk sembarang nilai \(\alpha\) :

Jadi sinus merupakan fungsi ganjil yang artinya rumusnya benar \[(\Besar(\sin(-x)=-\sin x))\]

Garis singgung dan kotangen juga merupakan fungsi ganjil: \[(\Besar(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Besar(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]

Karena \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin (-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))

Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, salah satu bagian matematika tersulit yang dihadapi anak sekolah dalam Ujian Negara Bersatu adalah trigonometri. Ilmu perbandingan aspek pada segitiga mulai dipelajari pada kelas 8 SD. Persamaan jenis ini memuat variabel di bawah tanda fungsi trigonometri. Terlepas dari kenyataan bahwa yang paling sederhana di antaranya: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - akrab bagi hampir semua orang anak sekolah, implementasinya seringkali sulit.

Dalam Ujian Negara Bersatu dalam matematika di tingkat profil, tugas trigonometri yang diselesaikan dengan benar mendapat nilai sangat tinggi. Seorang siswa dapat menerima hingga 4 poin utama untuk menyelesaikan tugas dengan benar dari bagian ini. Untuk melakukan ini, mencari lembar contekan trigonometri untuk Ujian Negara Terpadu hampir tidak ada gunanya. Solusi paling masuk akal adalah mempersiapkan ujian dengan baik.

Bagaimana cara melakukannya?

Agar trigonometri dalam Unified State Examination dalam matematika tidak membuat Anda takut, gunakan portal kami saat mempersiapkannya. Ini nyaman, sederhana dan efektif. Di bagian portal pendidikan kami ini, terbuka untuk siswa di Moskow dan kota-kota lain, materi teoretis dan rumus trigonometri untuk Ujian Negara Bersatu disajikan dengan cara yang mudah diakses. Selain itu, untuk semua definisi matematika, kami telah memilih contoh dengan penjelasan rinci tentang proses penyelesaiannya.

Setelah mempelajari teori pada bagian “Trigonometri” sebagai persiapan Ujian Negara Terpadu, kami sarankan untuk membuka “Katalog” agar ilmu yang diperoleh dapat diasimilasi dengan lebih baik. Di sini Anda dapat memilih masalah pada topik yang diminati dan melihat solusinya. Dengan demikian, pengulangan teori trigonometri dalam UN Unified State akan seefektif mungkin.

Apa yang perlu Anda ketahui?

Pertama-tama, Anda perlu mempelajari nilai \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) sudut lancip dari \(0°\) hingga \(90° \) . Selain itu, ketika mempersiapkan Ujian Negara Bersatu di Moskow, perlu diingat metode dasar penyelesaian masalah trigonometri. Perlu dicatat bahwa saat menyelesaikan tugas, Anda harus mereduksi persamaan ke bentuk yang paling sederhana. Anda dapat melakukannya sebagai berikut:

memfaktorkan persamaan;
penggantian variabel (reduksi menjadi persamaan aljabar);
mengarah ke persamaan homogen;
pindah ke setengah sudut;
mengubah produk menjadi jumlah;
dengan memasukkan sudut bantu;
menggunakan metode substitusi universal.

Dalam hal ini, paling sering siswa harus menggunakan beberapa metode yang tercantum selama penyelesaian.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

"Katakan padaku dan aku akan lupa,
Tunjukkan padaku dan aku akan mengingatnya
Libatkan saya dan saya akan belajar."
(Pepatah Cina)

Matematika telah lama menjadi bahasa ilmu pengetahuan dan teknologi, dan kini semakin merambah ke dalam kehidupan sehari-hari dan bahasa sehari-hari, dan semakin banyak diperkenalkan ke bidang-bidang yang secara tradisional tampaknya jauh dari itu. Matematisasi intensif di berbagai bidang aktivitas manusia semakin intensif seiring dengan pesatnya perkembangan komputer. Komputerisasi masyarakat dan pengenalan teknologi informasi modern memerlukan literasi matematika seseorang di setiap tempat kerja. Hal ini mengandaikan pengetahuan matematika yang spesifik dan gaya berpikir tertentu. Secara khusus, pembelajaran trigonometri merupakan aspek penting. Studi tentang fungsi trigonometri banyak digunakan dalam praktik, dalam studi banyak proses fisik, dalam industri, dan bahkan dalam kedokteran. Siswa yang nantinya akan menggunakan matematika dalam kegiatan profesionalnya harus dibekali dengan persiapan matematika yang tinggi.

Trigonometri merupakan bagian integral dari kursus matematika sekolah. Pengetahuan yang baik dan keterampilan yang kuat dalam trigonometri merupakan bukti tingkat budaya matematika yang memadai dan syarat yang sangat diperlukan untuk keberhasilan mempelajari matematika, fisika, dan sejumlah disiplin ilmu teknik di suatu universitas. Namun, sebagian besar lulusan sekolah mengungkapkan persiapan yang sangat buruk dari tahun ke tahun di bagian penting matematika ini, sebagaimana dibuktikan oleh hasil tahun-tahun terakhir, karena analisis ujian negara terpadu menunjukkan bahwa siswa melakukan banyak kesalahan saat menyelesaikan tugas di bagian khusus ini atau jangan gunakan mereka sama sekali untuk tugas tersebut.

Tetapi bahkan orang Yunani, pada awal mula umat manusia, menganggap trigonometri sebagai ilmu yang paling penting, karena geometri adalah ratunya matematika, dan trigonometri adalah ratunya geometri. Oleh karena itu, kami, tanpa membantah orang Yunani kuno, akan menganggap trigonometri sebagai salah satu bagian terpenting dalam pelajaran sekolah, dan semua ilmu matematika secara umum.

Fisika dan geometri tidak dapat berjalan tanpa trigonometri. Ujian Negara Bersatu tidak dapat dilakukan tanpa trigonometri. Pada Bagian B saja, soal-soal trigonometri ditemukan pada hampir sepertiga jenis tugas. Ini termasuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana di tugas B5, dan mengerjakan ekspresi trigonometri di tugas B7, dan mempelajari fungsi trigonometri di tugas B14, serta tugas B12, yang berisi rumus-rumus yang mendeskripsikan fenomena fisika dan memuat fungsi trigonometri. Mustahil untuk tidak memperhatikan tugas-tugas geometri, yang penyelesaiannya menggunakan definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut lancip segitiga siku-siku, dan identitas trigonometri dasar. Dan ini hanya bagian B! Namun ada juga persamaan trigonometri favorit dengan pemilihan akar C1, dan soal geometri C2 dan C4 yang “tidak begitu favorit”.

Bagaimana siswa dapat dilatih mengenai topik ini? Banyak sekali cara yang dapat ditawarkan, namun yang terpenting adalah anak tidak mengalami rasa takut dan cemas yang tidak perlu, karena banyaknya variasi tugas dan rumus yang berbeda. Dan untuk itu perlu diciptakan suasana hati yang positif ketika menyelesaikan tugas-tugas tersebut. Presentasi ini dapat digunakan untuk memimpin kelas dengan siswa dan untuk berbicara di seminar bagi ahli matematika dalam persiapan Ujian Negara Bersatu. Ini menawarkan beberapa jenis tugas dan mendiskusikan solusinya.

Pelatihan yang baik tidak hanya bisa menjadi solusi sederhana untuk tugas-tugas ini, tetapi juga kompilasi siswa sendiri terhadap tugas-tugas tersebut. Tergantung pada persiapannya, ini dapat berupa tes untuk mengatasi keterbatasan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri C1, dan bahkan persamaan itu sendiri.

Metode aktif lainnya adalah dengan mengadakan kelas dalam bentuk permainan intelektual. Salah satu opsi yang paling nyaman, menurut saya, adalah format “Game Kustom”. Bentuk permainan ini, apalagi sekarang dengan penggunaan presentasi komputer, dapat digunakan pada saat pelajaran ujian, setelah mempelajari topik, dan dalam persiapan Ujian Negara Bersatu. Karya yang diusulkan berisi “Permainan Anda sendiri. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.”

Hasil dari pekerjaan yang diusulkan harus menjadi solusi sukses dari tugas-tugas Unified State Examination pada topik “Trigonometri”.

Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.

A) Selesaikan persamaan 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

B) \kiri[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \kanan].

Tunjukkan solusi

Larutan

A) Membuka tanda kurung dan memindahkan semua suku ke ruas kiri, kita mendapatkan persamaan 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Mengingat \cos x \neq 0, suku 2 \sin x dapat digantikan dengan 2 tan x \cos x, maka diperoleh persamaannya 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, yang dengan pengelompokannya dapat direduksi menjadi bentuk (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tgx=0, tan x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \dalam \mathbb Z;

2) 1-2 \karena x=0, \karena x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \dalam \mathbb Z.

B) Dengan menggunakan lingkaran bilangan, pilih akar-akar yang termasuk dalam interval \kiri[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \kanan].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Menjawab

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \dalam \mathbb Z;

B) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Kondisi

A) Selesaikan persamaannya (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

B) Tunjukkan akar-akar persamaan ini yang termasuk dalam interval \kiri(0;\,\frac(3\pi )2\kanan] ;

Tunjukkan solusi

Larutan

A) ODZ: \begin(kasus) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(kasus)

Persamaan asli pada ODZ ekuivalen dengan himpunan persamaan

\kiri[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(array)\kanan.

Mari kita selesaikan persamaan pertama. Untuk melakukan ini kami akan melakukan penggantian \karena 4x=t, t \dalam [-1; 1]. Maka \sin^24x=1-t^2. Kita mendapatkan:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \dalam \mathbb Z.

Mari kita selesaikan persamaan kedua.

tg x=0,\, x=\pi k, k \dalam \mathbb Z.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, kita mencari solusi yang memenuhi ODZ.

Tanda “+” menandai kuarter ke-1 dan ke-3, dimana tg x>0.

Kita peroleh: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \dalam \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \dalam \mathbb Z.

B) Mari kita cari akar-akar yang termasuk dalam interval tersebut \kiri(0;\,\frac(3\pi )2\kanan].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Menjawab

A) \pi k, k \dalam \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \dalam \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \dalam \mathbb Z.

B) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

A) Selesaikan persamaan: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

B) Daftar semua akar yang termasuk dalam interval \kiri(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\kanan].

Tunjukkan solusi

Larutan

A) Karena \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Itu \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Artinya persamaan yang diberikan ekuivalen dengan persamaan \cos^2x=\cos ^22x, yang selanjutnya ekuivalen dengan persamaan \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Tetapi \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) Dan

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, sehingga persamaannya menjadi

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Maka 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, atau 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Menyelesaikan persamaan pertama sebagai persamaan kuadrat untuk \cos x, kita mendapatkan:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Oleh karena itu \cos x=1 atau \karena x=-\frac12. Jika \cos x=1, maka x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Jika \karena x=-\frac12, Itu x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \dalam \mathbb Z.

Demikian pula, menyelesaikan persamaan kedua, kita mendapatkan \cos x=-1 atau \karena x=\frac12. Jika \cos x=-1, maka akar-akarnya x=\pi +2m\pi , m \dalam \mathbb Z. Jika \karena x=\frac12, Itu x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \dalam \mathbb Z.

Mari kita gabungkan solusi yang diperoleh:

x=m\pi , m \dalam \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \dalam \mathbb Z.

B) Mari kita pilih akar-akar yang berada dalam interval tertentu menggunakan lingkaran bilangan.

Kita mendapatkan: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Menjawab

A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \dalam \mathbb Z;

B) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

A) Selesaikan persamaannya 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\kiri(\dfrac(3\pi )2-x\kanan) )(1+tgx).

B) Tunjukkan akar-akar persamaan ini yang termasuk dalam interval \kiri(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\kanan).

Tunjukkan solusi

Larutan

A) 1. Menurut rumus reduksi, ctg\kiri(\frac(3\pi )2-x\kanan) =tgx. Domain definisi persamaannya adalah nilai x sedemikian rupa sehingga \cos x \neq 0 dan tan x \neq -1. Mari kita ubah persamaannya menggunakan rumus kosinus sudut ganda 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Kami mendapatkan persamaan: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

perhatikan itu \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), sehingga persamaannya menjadi: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Dari sini \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Transformasikan \sin x+\cos x menggunakan rumus reduksi dan rumus jumlah cosinus: \sin x=\cos \kiri(\frac\pi 2-x\kanan), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \kiri(\frac\pi 2-x\kanan)= 2\cos \frac\pi 4\cos \kiri(x-\frac\pi 4\kanan)= \sqrt 2\cos \kiri(x-\frac\pi 4\kanan) = \frac65.

Dari sini \cos \kiri(x-\frac\pi 4\kanan) =\frac(3\sqrt 2)5. Cara, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

atau x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \dalam \mathbb Z.

Itu sebabnya x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

atau x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Nilai x yang ditemukan termasuk dalam domain definisi.

B) Mari kita cari tahu dulu letak akar-akar persamaannya pada k=0 dan t=0. Ini akan menjadi angka yang sesuai a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Dan b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Mari kita buktikan pertidaksamaan bantu:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Benar-benar, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Perhatikan juga itu \kiri(\frac(3\sqrt 2)5\kanan) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Cara \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Dari kesenjangan (1) Dengan properti arc cosinus kita mendapatkan:

arccos 1

Dari sini \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

Juga, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

Untuk k=-1 dan t=-1 kita memperoleh akar-akar persamaan a-2\pi dan b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Besar). Di mana -2\pi

2\pi Ini berarti bahwa akar-akar ini termasuk dalam interval tertentu \kiri(-2\pi , -\frac(3\pi )2\kanan).

Untuk nilai k dan t lainnya, akar-akar persamaan tidak termasuk dalam interval yang diberikan.

Memang benar, jika k\geqslant 1 dan t\geqslant 1, maka akar-akarnya lebih besar dari 2\pi. Jika k\leqslant -2 dan t\leqslant -2, maka akar-akarnya lebih kecil -\frac(7\pi )2.

Menjawab

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

B) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

A) Selesaikan persamaannya \sin \kiri(\frac\pi 2+x\kanan) =\sin (-2x).

B) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam interval ;

Tunjukkan solusi

Larutan

A) Mari kita ubah persamaannya:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\karena x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \dosa x=0,

\dosa x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

B) Kita mencari akar-akar yang termasuk dalam ruas tersebut menggunakan lingkaran satuan.

Interval yang ditunjukkan berisi satu angka \frac\pi 2.

Menjawab

A) \frac\pi 2+\pi n, n \dalam \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \dalam \mathbb Z;

B) \frac\pi 2.

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

tidak termasuk dalam DZ.

Cara, \dosa x \neq 1.

Bagilah kedua ruas persamaan dengan faktor (\dosa x-1), berbeda dari nol. Kami mendapatkan persamaannya \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), atau persamaan 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Menerapkan rumus reduksi di sebelah kiri dan rumus reduksi di sebelah kanan, kita memperoleh persamaannya 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Persamaan ini dengan substitusi \karena x=t, Di mana -1 \leqslant t \leqslant 1 kurangi menjadi persegi: 2t^2+t-1=0, akar siapa t_1=-1 Dan t_2=\frac12. Kembali ke variabel x, kita dapatkan \karena x = \frac12 atau \karena x=-1, Di mana x=\frac \pi 3+2\pi m, m \dalam \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \dalam \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \dalam \mathbb Z.

B) Mari kita selesaikan kesenjangan

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , M, N, k \dalam \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\kiri [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\kanan].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Tidak ada bilangan bulat dalam rentang tersebut \kiri[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\kanan].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Pertidaksamaan ini dipenuhi oleh k=-1, lalu x=-\pi.