In questa pagina troverai tutte le formule trigonometriche di base che ti aiuteranno a risolvere molti esercizi, semplificando notevolmente l'espressione stessa.
Formule trigonometriche - uguaglianze matematiche per funzioni trigonometriche, che vengono eseguiti per tutti i valori di argomenti validi.
Le formule stabiliscono la relazione tra le principali funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente.
Il seno di un angolo è la coordinata y di un punto (ordinata) su cerchio unitario. Il coseno di un angolo è la coordinata x di un punto (ascissa).
Tangente e cotangente sono, rispettivamente, il rapporto tra seno e coseno e viceversa.
`peccato\\alfa,\cos\\alfa`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
E due che vengono usati meno spesso: secante, cosecante. Denotano rapporti di 1 con coseno e seno.
`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Dalle definizioni delle funzioni trigonometriche, puoi vedere quali segni hanno in ogni quarto. Il segno della funzione dipende solo dal quadrante in cui si trova l'argomento.
Quando si cambia il segno dell'argomento da "+" a "-", solo la funzione coseno non cambia il suo valore. Si chiama pari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.
Le restanti funzioni (seno, tangente, cotangente) sono dispari. Quando il segno dell'argomento viene cambiato da "+" a "-", anche il loro valore cambia in negativo. I loro grafici sono simmetrici rispetto all'origine.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Identità trigonometriche di base
Le identità trigonometriche di base sono formule che stabiliscono una relazione tra le funzioni trigonometriche di un angolo (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) e che consentono di trovare la valore di ciascuna di queste funzioni attraverso qualsiasi altro noto.
`peccato^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Formule per la somma e la differenza degli angoli delle funzioni trigonometriche
Le formule per sommare e sottrarre argomenti esprimono le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in termini delle funzioni trigonometriche di questi angoli.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Formule del doppio angolo
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Formule del triplo angolo
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Formule di mezzo angolo
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Le formule mezzo, doppio e triplo argomento esprimono le funzioni `sin, \cos, \tg, \ctg` di quegli argomenti (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) in termini di queste stesse funzioni argomento `\alpha`.
Il loro output può essere ottenuto dal gruppo precedente (addizione e sottrazione di argomenti). Ad esempio, le identità a doppio angolo si ottengono facilmente sostituendo `\beta` con `\alpha`.
Formule di riduzione
Le formule dei quadrati (cubi, ecc.) Delle funzioni trigonometriche consentono di passare da 2,3, ... gradi a funzioni trigonometriche di primo grado, ma angoli multipli (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` o `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Formule per la somma e differenza di funzioni trigonometriche
Le formule sono trasformazioni della somma e della differenza di funzioni trigonometriche di diversi argomenti in un prodotto.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \\alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Qui l'addizione e la sottrazione di funzioni di un argomento vengono convertite in un prodotto.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Le seguenti formule convertono la somma e la differenza di un'unità e una funzione trigonometrica in un prodotto.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Formule di conversione delle funzioni
Formule per convertire il prodotto di funzioni trigonometriche con argomenti `\alpha` e `\beta` nella somma (differenza) di questi argomenti.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`
Sostituzione trigonometrica universale
Queste formule esprimono funzioni trigonometriche in termini di tangente di un mezzo angolo.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Formule di fusione
Le formule di riduzione possono essere ottenute utilizzando tali proprietà delle funzioni trigonometriche come periodicità, simmetria, proprietà di spostamento di un dato angolo. Consentono di convertire funzioni angolari arbitrarie in funzioni il cui angolo è compreso tra 0 e 90 gradi.
Per angolo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per angolo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Per l'angolo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per angolo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Espressione di alcune funzioni trigonometriche in termini di altre
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`
La trigonometria si traduce letteralmente come "misurazione dei triangoli". Comincia a essere studiato a scuola e continua in modo più dettagliato nelle università. Pertanto, sono necessarie le formule di base per la trigonometria, a partire dal 10 ° grado, oltre che per superamento dell'esame. Denotano connessioni tra funzioni e poiché ci sono molte di queste connessioni, ci sono alcune formule stesse. Ricordarli tutti non è facile e non è necessario: se necessario, possono essere tutti dedotti.
Le formule trigonometriche sono utilizzate nel calcolo integrale, così come nelle semplificazioni, calcoli e trasformazioni trigonometriche.
Esercizio.
Trova il valore di x in .
Soluzione.
Trovare il valore dell'argomento della funzione, in cui è uguale a un valore, significa determinare per quali argomenti il valore del seno sarà esattamente lo stesso indicato nella condizione.
In questo caso, dobbiamo scoprire a quali valori il valore del seno sarà uguale a 1/2. Questo può essere fatto in diversi modi.
Ad esempio, utilizzare , con cui determinare a quali valori di x la funzione seno sarà uguale a 1/2.
Un altro modo è usare . Lascia che ti ricordi che i valori dei seni giacciono sull'asse Oy.
Il modo più comune è usare , soprattutto quando si tratta di valori standard per questa funzione come 1/2.
In tutti i casi, non bisogna dimenticare una delle proprietà più importanti del seno: il suo periodo.
Troviamo il valore 1/2 per il seno nella tabella e vediamo quali argomenti gli corrispondono. Gli argomenti che ci interessano sono Pi/6 e 5Pi/6.
Annotiamo tutte le radici che soddisfano data equazione. Per fare ciò, annotiamo l'argomento sconosciuto x di nostro interesse e uno dei valori dell'argomento ottenuto dalla tabella, ovvero Pi / 6. Annotiamolo, tenendo conto del periodo seno, tutti i valori dell'argomento:
Prendiamo il secondo valore e seguiamo gli stessi passaggi del caso precedente:
La soluzione completa dell'equazione originale sarà: 
E 
Q può assumere il valore di qualsiasi numero intero.
In trigonometria, molte formule sono più facili da dedurre che da memorizzare. Il coseno di un doppio angolo è una formula meravigliosa! Ti permette di ottenere le formule di riduzione e le formule di mezzo angolo.
Quindi, abbiamo bisogno del coseno del doppio angolo e dell'unità trigonometrica:
Sono persino simili: nella formula del coseno di un doppio angolo - la differenza tra i quadrati del coseno e del seno, e nell'unità trigonometrica - la loro somma. Se esprimiamo il coseno dall'unità trigonometrica:
e lo sostituiamo nel coseno del doppio angolo, otteniamo:
Questa è un'altra formula per il coseno di un doppio angolo:
Questa formula è la chiave per ottenere la formula di riduzione:
Quindi, la formula per abbassare il grado del seno è:
Se in esso l'angolo alfa viene sostituito da un mezzo angolo alfa a metà e il doppio angolo due alfa viene sostituito dall'angolo alfa, allora otteniamo la formula per il mezzo angolo per il seno:
Ora, dall'unità trigonometrica, esprimiamo il seno:
Sostituisci questa espressione nella formula per il coseno di un doppio angolo:
Abbiamo un'altra formula per il coseno di un doppio angolo:
Questa formula è la chiave per trovare la riduzione del coseno e la formula del semiangolo per il coseno.
Pertanto, la formula per abbassare il grado del coseno è:
Se in esso sostituiamo α con α/2 e 2α con α, otteniamo la formula per il mezzo argomento del coseno:
Poiché la tangente è il rapporto tra seno e coseno, la formula per la tangente è:
La cotangente è il rapporto tra coseno e seno. Quindi la formula per la cotangente è:
Naturalmente, nel processo di semplificazione espressioni trigonometriche non ha senso derivare formule di semiangolo o abbassare il grado ogni volta. È molto più facile mettere davanti a te un foglio di formule. E la semplificazione avanzerà più velocemente e la memoria visiva si attiverà per la memorizzazione.
Ma vale comunque la pena derivare queste formule più volte. Quindi sarai assolutamente sicuro che durante l'esame, quando non è possibile utilizzare un cheat sheet, puoi ottenerli facilmente in caso di necessità.
