Теорема 3.1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G k , где k Î N - открытые множества.

3Выберем любую точку х о ÎG . По определению объединения множеств точка х о принадлежит одному из множеств G k . Поскольку G k – открытое множество, то существует e - окрестность точки х о , которая целиком лежит в множестве G k: U ( x o , e ) Ì G k Þ U ( x o ,e ) Ì G.

Получили, что любаю точка х о ÎG – внутренняя, а это значит, что G – открытое множество. 4

Теорема 3.2. Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое.

Пусть G k ( k = 1,2, …,n ) – открытые множества.

Докажем, что - открытое множество.

3Выберем любую точку х о ÎG . По определению пересечения множеств х о принадлежит каждому из множеств G k . Поскольку каждое множество G k открытое, то в любом множестве G k существует e k - окрестность точки х о : U ( x o , e k ) Ì G k . Множество чисел{e 1 , e 2 ,…, e n } конечное, поэтому существует число e = min {e 1 ,e 2 ,…,e n }. Тогда e - окрестность точки х о находится в каждой e k - окрестности точки х о :U ( x o , e ) Ì U e ( x o , e k ) Þ U ( x o , e ) Ì G.

Получили, что х о – внутренняя точка множества G , а это значит, что G – открытое множество. 4

Замечание 3.1. Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример 3.1 . Пусть в пространстве R G k = (2 – 1/k; 4+ 1/k) , где k= 1,2,…,n, …. G 1 = (1;5), G 2 (1,5;4,5), Отрезок Ì G k и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними.

Теорема 3.3. Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество.

Пусть F k - замкнутые множества.

Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

3Пусть х F. Из определения пересечения множеств следует, что в любой e - окрестности точки х о находится бесконечно много точек каждого из множеств F k , а это значит, что х о – предельная точка каждого множества F k . В силу замкнутости множеств F k точка

х о Î F k "k Þ х о Î F. Поскольку точка х F , а это значит множесто F замкнутое. 4

Теорема 3.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.

Пусть каждое множество F k замкнутое.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если х о – предельная точка множества F , то х о Î F .

3Пусть х о – любая предельная точка множества F , тогда в любой e - окрестности точки х о существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств F k конечное, то х о принадлежит хотя бы одному из множеств F k , т.е. х о – предельная точка для этого множества.



В силу замкнутости F k точка х о принадлежит F k , а поэтому и множеству . Поскольку точка х о выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F , а это значит множество F замкнутое. 4

Замечание 3.2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 3.2. В пространстве R : F k =

F 1 = ; F 2 = ; …. Интервал (2;5) – открытое множество.

Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е до множества Х: С х Е=СЕ .

Теорема 3.5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение СЕ открытое множество.

Пример 3.3. Е= , C R E = (- ¥, 2)È (5,+¥ ).

Теорема 3.6. Если множество Е открытое, то его дополнение СЕ замкнутое множество.

Пример 3.4. Е= (2,5), C R E = (-¥, 2]È[ 5, +¥ ).

Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств .

Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал (a, b) - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты , а несобственные интервалы и открыты . Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек.

Множество, состоящее из точек:

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку x=0, которая принадлежит множеству.

Основная задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

  • 1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
  • 2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.
  • 3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть E - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества E и обозначим через CE множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству E. Ясно, что если x есть внешняя точка для E, то она является внутренней точкой для множества CE и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал (a, b), обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству F, а точки a и b принадлежат F, называется смежным интервалом множества F.

К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или, если точка a или точка b принадлежит множеству F, а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка x не принадлежит замкнутому множеству F, то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества F, расположенную правее точки x. Так как сама точка x не принадлежит множеству F, то можно представить в форме пересечения:

Каждое из множеств F и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству F. Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале, то оно ограничено снизу. Обозначим через b его нижнюю грань. Согласно предложению 3, а значит. Далее, так как b есть нижняя грань множества, то полуинтервал (x, b), лежащий левее точки b, не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества F. Итак, мы построили полуинтервал (x, b), не содержащий точек множества F, причем либо, либо точка b принадлежит множеству F. Аналогично строится полуинтервал (a, x), не содержащий точек множества F, причем либо, либо. Теперь ясно, что интервал (a, b) содержит точку x и является смежным интервалом множества F. Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества F, то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества F. Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Открытые и замкнутые множества

Приложение 1 . Открытые и замкнутые множества

Множество M на прямой называется открытым , если каждая его точка сожержится в этом множестве вместе с некоторым интервалом. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки (т. е. такие, что любой интервал, содержащий эту точку, пересекается со множеством еще хотя бы по одной точке). Например, отрезок является замкнутым множеством, но не является открытым, а интервал, наоборот, является открытым множеством, но не является замкнутым. Бывают множества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми (например, полуинтервал). Существуют два множества, которые одновременно и замкнутые, и открытые – это пустое и все Z (докажите, что других нет). Легко видеть, что если M открыто, то [` M ] (или Z \ M – дополнение к множеству M до Z ) замкнуто. Действительно, если [` M ] не замкнуто, то оно не содержит какую-то свою предельную точку m . Но тогда m О M , причем каждый интервал, содержащий m , пересекается с множеством [` M ], т. е. имеет точку, не лежащую в M , а это противоречит тому, что M – открытое. Аналогично, тоже прямо из определения, доказывается, что если M замкнуто, то [` M ] открыто (проверьте!).

Теперь докажем следующую важную теорему.

Теорема. Любое открытое множество M можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (т. е. с концами в рациональных точках).

Доказательство . Рассмотрим объединение U всех интервалов с рациональными концами, являющихся подмножествами нашего множества. Докажем, что это объединение совпадает со всем множеством. Действительно, если m – какая-то точка из M , то существует интервал (m 1 , m 2) М M , содержащий m (это следует из того, что M – открытое). На любом интервале можно найти рациональную точку. Пусть на (m 1 , m ) – это m 3 , на (m , m 2) – это m 4 . Тогда точка m покрыта объединением U , а именно, интервалом (m 3 , m 4). Таким образом, мы доказали, что каждая точка m из M покрыта объединением U . Кроме того, как очевидно следует из построения U , никакая точка, не содержащаяся в M , не покрыта U . Значит, U и M совпадают.

Важным следствием из этой теоремы является тот факт, что любое открытое множество есть счетное объединение интервалов.

Нигде не~плотные множества и~множества меры~ноль. Канторово множество>

Приложение 2 . Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество

Множество A называется нигде не плотным , если для любых различных точек a и b найдется отрезок [c , d ] М [a , b ], не пересекающийся с A . Например, множество точек последовательности a n = [ 1/(n )] является нигде не плотным, а множество рациональных чисел – нет.

Теорема Бэра. Отрезок нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство . Предположим, что существует последовательность A k нигде не плотных множеств, таких что И i A i = [a , b ]. Построим следующую последовательность отрезков. Пусть I 1 – какой-нибудь отрезок, вложенный в [a , b ] и не пересекающийся с A 1 . По определению нигде не плотного множества на отрезке I 1 найдется отрезок, не пересекающийся с множеством A 2 . Назовем его I 2 . Далее, на отрезке I 2 возьмем аналогичным образом отрезок I 3 , не пересекающийся с A 3 , и т. д. У последовательности I k вложенных отрезков есть общая точка (это одно из основных свойств действительных чисел). Эта точка по построению не лежит ни в одном из множеств A k , значит, эти множества не покрывают весь отрезок [a , b ].

Назовем множество M имеющим меру ноль , если для любого положительного e найдется последовательность I k интервалов с суммарной длиной меньше e , покрывающая M . Очевидно, что любое счетное множество имеет меру ноль. Однако бывают и несчетные множества, имеющие меру ноль. Построим одно такое, очень известное, называемое канторовым.
Рис. 11

Возьмем отрезок . Поделим его на три равные части. Средний отрезок выкинем (рис. 11, а ). Останется два отрезка суммарной длины [ 2/3]. С каждым из них проделаем точно такую же операцию (рис. 11, б ). Останется четыре отрезка суммарной длины [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Продолжая так далее (рис. 11, в –е ) до бесконечности, получаем множество, которое имеет меру меньше любой наперед заданной положительной, т. е. меру ноль. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этого множества и бесконечными последовательностями нулей и единиц. Если при первом "выкидывании" наша точка попала в правый отрезок, поставим в начале последовательности 1, если в левый – 0 (рис. 11, а ). Далее, после первого "выкидывания", получаем маленькую копию большого отрезка, с которой поступаем точно так же: если наша точка после выкидывания попала в правый отрезок, поставим 1, если в левый – 0, и т. д. (проверьте взаимную однозначность), рис. 11, б , в . Поскольку множество последовательностей нулей и единиц имеет мощность континуум, канторово множество также имеет мощность континуум. Кроме того, несложно доказать, что оно нигде не плотно. Однако неверно, что оно имеет строгую меру ноль (см. определение строгой меры). Идея доказательства этого факта в следующем: возьмем последовательность a n , очень быстро стремящуюся к нулю. Для этого подойдет, например, последовательность a n = [ 1/(2 2 n )]. После чего докажем, что этой последовательностью нельзя покрыть канторово множество (проделайте это!).

Приложение 3 . Задачи

Операции над множествами

Множества A и B называются равными , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B , и наоборот. Обозначение: A = B .

Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B . Обозначение: A М B .

1. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли одно из них подмножеством другого:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Докажите, что множество A тогда и только тогда является подмножеством множества B , когда каждый элемент, не принадлежащий B , не принадлежит A .

3. Докажите, что для произвольных множеств A , B и C

а) A М A ; б) если A М B и B М C , то A М C ;

в) A = B , если и только если A М B и B М A .

Множество называется пустым , если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение: Ж .

4. Сколько элементов у каждого из следующих множеств:

Ж , {1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {Ж }, {{2,1}}?

5. Сколько подмножеств у множества из трех элементов?

6. Может ли у множества быть ровно а) 0; б*) 7; в) 16 подмножеств?

Объединением множеств A и B x , что x О A или x О B . Обозначение: A И B .

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x О B . Обозначение: A З B .

Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x П B . Обозначение: A \ B .

7. Даны множества A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D = {0,7,23,1998}. Найдите множества:

а) A И B ; б) A З B ; в) (A З B )И D ;
г) C З (D З B ); д) (A И B )З (C И D ); е) (A И (B З C ))З D ;
ж) (C З A )И ((A И (C З D ))З B ); з) (A И B ) \ (C З D ); и) A \ (B \ (C \ D ));
к) ((A \ (B И D )) \ C )И B .

8. Пусть A – множество четных чисел, а B – множество чисел, делящихся на 3. Найдите A З B .

9. Докажите, что для любых множеств A , B , C

а) A И B = B И A , A З B = B З A ;

б) A И (B И C ) = (A И B )И C , A З (B З C ) = (A З B )З C ;

в) A З (B И C ) = (A З B )И (A З C ), A И (B З C ) = (A И B )З (A И C );

г) A \ (B И C ) = (A \ B )З (A \ C ), A \ (B З C ) = (A \ B )И (A \ C ).

10. Верно ли, что для любых множеств A , B , C

а) A З Ж = Ж , A И Ж = A ; б) A И A = A , A З A = A ; в) A З B = A Ы A М B ;
г) (A \ B )И B = A ; 7 д) A \ (A \ B ) = A З B ; е) A \ (B \ C ) = (A \ B )И (A З C );
ж) (A \ B )И (B \ A ) = A И B ?

Отображения множеств

Если каждому элементу x множества X поставлен в соотвествие ровно один элемент f (x ) множества Y , то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y . При этом, если f (x ) = y , то элемент y называется образом элемента x при отображении f , а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f . Обозначение: f : X ® Y .

11. Нарисуйте всевозможные отображения из множества {7,8,9} в множество {0,1}.

Пусть f : X ® Y , y О Y , A М X , B М Y . Полным прообразом элемента y при отображении f называется множество {x О X | f (x ) = y }. Обозначение: f - 1 (y ). Образом множества A М X при отображении f называется множество {f (x ) | x О A }. Обозначение: f (A ). Прообразом множества B М Y называется множество {x О X | f (x ) О B }. Обозначение: f - 1 (B ).

12. Для отображения f : {0,1,3,4} ® {2,5,7,18}, заданного картинкой, найдите f ({0,3}), f ({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

а) б) в)

13. Пусть f : X ® Y , A 1 , A 2 М X , B 1 , B 2 М Y . Всегда ли верно, что

а) f (X ) = Y ;

б) f - 1 (Y ) = X ;

в) f (A 1 И A 2) = f (A 1)И f (A 2);

г) f (A 1 З A 2) = f (A 1)З f (A 2);

д) f - 1 (B 1 И B 2) = f - 1 (B 1)И f - 1 (B 2);

е) f - 1 (B 1 З B 2) = f - 1 (B 1)З f - 1 (B 2);

ж) если f (A 1) М f (A 2), то A 1 М A 2 ;

з) если f - 1 (B 1) М f - 1 (B 2), то B 1 М B 2 ?

Композицией отображений f : X ® Y и g : Y ® Z называется отображение, сопоставляющее элементу x множества X элемент g (f (x )) множества Z . Обозначение: g ° f .

14. Докажите, что для произвольных отображений f : X ® Y , g : Y ® Z и h : Z ® W выполняется следующее: h ° (g ° f ) = (h ° g )° f .

15. Пусть f : {1,2,3,5} ® {0,1,2}, g : {0,1,2} ® {3,7,37,137}, h : {3,7,37,137} ® {1,2,3,5}– отображения, показанные на рисунке:

f : g : h :

Нарисуйте картинки для следующих отображений:

а) g ° f ; б) h ° g ; в) f ° h ° g ; г) g ° h ° f .

Отображение f : X ® Y называется биективным , если для каждого y О Y найдется ровно один x О X такой, что f (x ) = y .

16. Пусть f : X ® Y , g : Y ® Z . Верно ли, что если f и g биективны, то и g ° f биективно?

17. Пусть f : {1,2,3} ® {1,2,3}, g : {1,2,3} ® {1,2,3}, – отображения, изображенные на рисунке:

18. Про каждые два из следующих множеств выясните, существует ли биекция из первого во второе (надлежит считать, что ноль – натуральное число):

а) множество натуральных чисел;

б) множество четных натуральных чисел;

в) множество натуральных чисел без числа 3.

Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z

1) " x ,y О X r (x ,y ) і 0, причем r (x ,y ) = 0, если и только если x = y (неотрицательность ); 2) " x ,y О X r (x ,y ) = r (y ,x ) (симметричность ); 3) " x ,y ,z О X r (x ,y ) + r (y ,z ) і r (x ,z ) (неравенство треугольника ). 19 19. X

а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;

б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C [a ,b a ,b ] функций,

где D

Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество U r (x ) = {y О x : r (x ,y ) < r } (соответственно, B r (x ) = {y О X : r (x ,y ) Ј r }).

Внутренней точкой множества U М X U

открытым окрестностью этой точки.

Предельной точкой множества F М X F .

замкнутым

20. Докажите, что

21. Докажите, что

б) объединение множества A замыкание A

Отображение f : X ® Y называется непрерывным

22.

23. Докажите, что

F (x ) = inf y О F r (x ,y

F .

24. Пусть f : X ® Y – . Верно ли, что обратное к нему непрерывно?

Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y гомеоморфизмом . Пространства X , Y гомеоморфными .

25.

26. Для каких пар X , Y f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y вложениями )?

27*. локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).

Метрические пространства и непрерывные отображения

Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) " x ,y О X r (x ,y ) і 0, причем r (x ,y ) = 0, если и только если x = y (неотрицательность ); 2) " x ,y О X r (x ,y ) = r (y ,x ) (симметричность ); 3) " x ,y ,z О X r (x ,y ) + r (y ,z ) і r (x ,z ) (неравенство треугольника ). 28. Докажите, что следующие пары (X ,r ) являются метрическими пространствами:

а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;

б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C [a ,b ] – множество непрерывных на [a ,b ] функций,

где D – круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество U r (x ) = {y О x : r (x ,y ) < r } (соответственно, B r (x ) = {y О X : r (x ,y ) Ј r }).

Внутренней точкой множества U М X называется такая точка, которая содержится в U вместе с некоторым шаром ненулевого радиуса.

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым . Открытое множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки.

Предельной точкой множества F М X называется такая точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много точек множества F .

Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым (сравните это определение с тем, которое было дано в приложении 1).

29. Докажите, что

а) множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто;

б) конечное объединение и счетное пересечение замкнутых множеств замкнуто;

в) счетное объединение и конечное пересечение открытых множеств открыто.

30. Докажите, что

а) множество предельных точек любого множества является замкнутым множеством;

б) объединение множества A и множества его предельных точек ( замыкание A ) является замкнутым множеством.

Отображение f : X ® Y называется непрерывным , если прообраз каждого открытого множества открыт.

31. Докажите, что это определение согласуется с определением непрерывности функций на прямой.

32. Докажите, что

а) расстояние до множества r F (x ) = inf y О F r (x ,y ) является непрерывной функцией;

б) множество нулей функции пункта а) совпадает с замыканием F .

33. Пусть f : X ® Y

Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y , обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом . Пространства X , Y , для которых такое отображение существует, называются гомеоморфными .

34. Для каждой пары из следующих множеств установите, гомеоморфны ли они:

35. Для каких пар X , Y пространств из предыдущей задачи существует непрерывное отображение f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y – такие отображения называют вложениями )?

36*. Придумайте непрерывное отображение плоскости на тор, которое было бы локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).

Полнота. Теорема Бэра

Пусть X – метрическое пространство. Последовательность x n его элементов называется фундаментальной , если

" e > 0 $ n " k ,m > n r (x k ,x m ) < e .

37. Докажите, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Верно ли обратное утверждение?

Метрическое пространство называется полным , если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится.

38. Верно ли, что пространство, гомеоморфное полному, полно?

39. Докажите, что замкнутое подпространство полного пространства само полно; полное подпространство произвольного пространства замкнуто в нем.

40. Докажите, что в полном метрическом пространстве последовательность вложенных замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю, имеет общий элемент.

41. Можно ли в предыдущей задаче убрать условие полноты пространства или стремления к нулю радиусов шаров?

Отображение f метрического пространства X в себя называется сжимающим , если

$ c (0 Ј c < 1): " x ,y О X r (f (x ),f (y )) < c r (x ,y ).

42. Докажите, что сжимающее отображение непрерывно.

43. а) Докажите, что сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет ровно одну неподвижную точку.

б) На карту России масштаба 1:5 000 000 положили карту России масштаба 1:20 000 000. Докажите, что найдется точка, изображения которой на обеих картах совпадут.

44*. Существует ли неполное метрическое пространство, в котором верно утверждение задачи , а?

Подмножество метрического пространства называется всюду плотным , если его замыкание совпадает со всем пространством; нигде не плотным – если его замыкание не имеет непустых открытых подмножеств (сравните это определение с тем, которое было дано в приложениие 2).

45. а) Пусть a , b , a , b О Z и a < a < b < b . Докажите, что множество непрерывных функций на [a ,b ], монотонных на , нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a ,b ] c равномерной метрикой.

б) Пусть a , b , c , e О Z и a < b , c > 0, e > 0. Тогда множество непрерывных функций на [a ,b ], таких что

$ x О [a ,b ]: " y (0 < | x - y | < e ) Ю | f (x ) - f (y )| | x - y |
Ј c ,
нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a ,b ] c равномерной метрикой.

46. (Обобщенная теорема Бэра .) Докажите, что полное метрическое пространство нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

47. Докажите, что множество непрерывных, не монотонных ни на каком непустом интервале и нигде не дифференцируемых функций, определенных на отрезке , всюду плотно в пространстве всех непрерывных функций на с равномерной метрикой.

48*. Пусть f – дифференцируемая функция на отрезке . Докажите, что ее производная непрерывна на всюду плотном множестве точек. Это определение лебеговой меры ноль. Если счетное число интервалов заменить на конечное, то получится определение жордановой меры ноль.

Докажем теперь некоторые специальные свойства замкнутых и открытых множеств.

Теорема 1. Сумма конечного или счетного числа открытых множеств есть открытое множество. Произведение конечного числа открытых множеств есть открытое множество,

Рассмотрим сумму конечного или счетного числа открытых множеств:

Если , то Р принадлежит по крайней мере одному из Пусть Так как - открытое множество, то некоторая -окрестность Р также принадлежит Эта же -окрестность Р принадлежит и сумме g, откуда и следует, что g есть открытое множество. Рассмотрим теперь конечное произведение

и пусть Р принадлежит g. Докажем, как и выше, что и некоторая -окрестность Р принадлежит g. Раз Р принадлежит g, то Р принадлежит всем . Так как - открытые множества, то для любого существует некоторая -окрестность точки принадлежащая . Если число взять равным наименьшему из число которых конечно, то -окрестность точки Р будет принадлежать всем а следовательно, и g. Отметим, что нельзя утверждать, что произведение счетного числа открытых множеств есть открытое множество.

Теорема 2. Множество CF - открытое и множество СО - замкнутое.

Докажем первое утверждение. Пусть Р принадлежит CF. Надо доказать, что некоторая - окрестность Р принадлежит CF. Это следует из того, что, если бы в любой -окрестности Р находились точки F, точка Р, не принадлежащая по условию была бы предельной для F точкой и, в силу замкнутости должна была бы принадлежать что приводит к противоречию.

Теорема 3. Произведение конечного или счетного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Докажем, например, что множество

замкнуто. Переходя к дополнительным множествам, можем написать

По теореме открытые множества, и, согласно теореме 1, множество тоже открытое, и тем самым дополнительное множество g замкнуто. Отметим, что сумма счетного числа замкнутых множеств может оказаться и незамкнутым множеством.

Теорема 4. Множество есть открытое множество и множество замкнутое.

Легко проверить следующие равенства:

Из них, в силу предыдущих теорем, следует теорема 4.

Мы будем говорить, что множество g покрыто системой М некоторых множеств, если всякая точка g входит по крайней мере в одно из множеств системы М.

Теорема 5 (Бореля). Если замкнутое ограниченное множество F покрыто бесконечной системой а открытых множеств О, то из этой бесконечной системы можно извлечь конечное число открытых множеств, которые также покрывают F.

Доказываем эту теорему от обратного. Положим, что никакое конечное число открытых множеств из системы а не покрывает и приведем это к противоречию. Раз F - ограниченное множество, то все точки F принадлежат некоторому конечному двумерному промежутку . Разобьем этот замкнутый промежуток на четыре равные части, деля промежутки пополам. Каждый из полученных четырех промежутков будем брать замкнутым. Те точки F, которые попадут на один из этих четырех замкнутых промежутков, будут, в силу теоремы 2, представлять собой замкнутое множество, и по крайней мере одно из этих замкнутых множеств не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. Берем тот из указанных выше четырех замкнутых промежутков, где это обстоятельство имеет место. Этот промежуток опять делим на четыре равные части и рассуждаем так же, как и выше. Таким образом, получим систему вложенных промежутков из которых каждый следующий представляет собой четвертую часть предыдущего, и имеет место следующее обстоятельство: множество точек F, принадлежащих при любом k не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. При беспредельном возрастании k промежутки будут беспредельно сжиматься к некоторой точке Р, которая принадлежит всем промежуткам . Поскольку при любом k содержат бесчисленное множество точек точка Р является предельной точкой для а потому и принадлежит F, ибо F - замкнутое множество. Тем самым точка Р покрывается некоторым открытым множеством принадлежащим к системе а. Некоторая -окрестность точки Р будет также принадлежать открытому множеству О. При достаточно больших значениях k промежутки Д попадут внутрь указанной выше -окрестности точки Р. Тем самым эти будут целиком покрыты только одним открытым множеством O системы а, а это противоречит тому, что точки принадлежащие при любом k не могут быть покрыты конечным числом открытых множеств, принадлежащих а. Тем самым теорема доказана.

Теорема 6. Открытое множество может быть представлено как сумма счетного числа полуоткрытых промежутков попарно без общих точек.

Напомним, что полуоткрытым промежутком на плоскости мы называем конечный промежуток, определяемый неравенствами вида .

Нанесем на плоскости сетку квадратов со сторонами, параллельными осям, и с длиной стороны, равной единице. Множество этих квадратов есть счетное множество. Выберем из этих квадратов те квадраты, все точки которых принадлежат заданному открытому множеству О. Число таких квадратов может быть конечным или счетным, а может быть таких квадратов вовсе не будет. Каждый из оставшихся квадратов сетки разделим на четыре одинаковых квадрата и из вновь полученных квадратов выберем опять те, все точки которых принадлежат О. Каждый из оставшихся квадратов опять делим на четыре равные части и отбираем те квадраты, все точки которых принадлежат О, и т. д. Покажем, что всякая точка Р множества О попадет в один из выбранных квадратов, все точки которого принадлежат О. Действительно, пусть d - положительное расстояние от Р до границы О. Когда мы дойдем до квадратов, диагональ которых меньше , то можно, очевидно, утверждать, что точка Р уже попала в квадрат, все томки которого принадлежат О. Если выбранные квадраты считать полуоткрытыми, то они не будут попарно иметь общих точек, и теорема доказана. Число отобранных квадратов будет обязательно счетным, так как конечная сумма полуоткрытых промежутков не есть, очевидно, открытое множество. Обозначая через ДЛ те полуоткрытые квадраты, которые мы получили в результате указанного выше построения, можем написать

Доказательство .

1) Действительно, если точка а принадлежит объединению открытых множеств, то она принадлежит по крайней мере, одному из этих множеств, которое по условию теоремы является открытым. Значит, ему принадлежит некоторая окрестность О(а) точки а , но тогда эта окрестность принадлежит и объединению всех открытых множеств. Следовательно, точка а является внутренней точкой объединения. Так как а – произвольная точка объединения, то оно состоит лишь из внутренних точек, и, значит, по определению является открытым множеством.

2) Пусть теперь Х – пересечение конечного числа открытых множеств . Если а есть точка множества Х , то она принадлежит каждому из открытых множеств , и, следовательно, является внутренней точкой каждого из открытых множеств. Другими словами, существуют интервалы , которые целиком содержатся соответственно в множествах . Обозначим через наименьшее из чисел . Тогда интервал будет содержаться одновременно во всех интервалах , т.е. будет целиком содержаться и в , и в ,..., и в , т.е. . Отсюд а заключаем, что любая точка является внутренней точкой множества Х , т.е. множество Х является открытым.

Из этой теоремы следует, что пересечение конечного числа окрестностей точки а есть опять окрестность этой точки. Заметим, что пересечение бесконечного числа открытых множеств не всегда является открытым множеством. Например, пересечением интервалов ,… является множеством, состоящее из одной точки а, которое, не является открытым множеством (почему?).

Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой проколотой окрестности этой точки имеется, по крайней мере, одна точка множества Х.

Так, точка является предельной точкой отрезка , так как в любом проколотом интервале точки есть точка, принадлежащая этому отрезку. Например, точка , удовлетворяющая неравенству . И таких точек, очевидно, много.

Легко доказать, что каждая точка отрезка [0, 1] является предельной точкой данного отрезка. Другими словами, отрезок сплошь состоит из своих предельных точек. Аналогичное утверждение справедливо для любого отрезка. Заметим здесь, что все предельные точки множества принадлежат этому отрезку. Очевидно также, что все точки отрезка , будут предельными точками для интервала (0, 1 ) (докажите!). Однако, здесь уже две предельные точки 0 и 1 не принадлежат интервалу (0, 1). На данных примерах мы видим, что

предельные точки множества могут принадлежать ему и могут не принадлежать. Можно доказать, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х имеется бесконечно много точек множества Х.

Множество Х называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Так,всякий отрезок есть замкнутое множество . Интервал (0, 1) не является замкнутым множеством, так как ему не принадлежат две его предельные точки 0 и 1 . Множество всех рациональных чисел Q не является замкнутым, так как не содержит некоторые свои предельные точки. В частности, число является предельной точкой множества Q (докажите!), но Q .

Так как каждая точка множества R является предельной точкой этого множества и принадлежит ему, то R – замкнутое множество .

Всякое конечное множество является замкнутым, так как множество его предельных точек является пустым множеством Æ , которое принадлежит самому множеству.

Замкнутые множества могут быть ограниченными, например, отрезок , и неограниченными, например, множество действительных чисел R.Верна