Плоская система произвольно расположенных сил.

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку,не лежащую на линии действия силы.

Возьмем силу F, приложенную в точке С. Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О. Приложимв точке О две силы F" и F", противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе F, т. е. F" = F" = F. От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы F", приложенной в точке О, и пары сил FF" с моментом М = Fa. Эту пару сил называют присоединенной , а ее плечо а равно плечу силы F относительно точки О.

Таким образом, при приведении силы F к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила F, и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения:

В качестве примера приведения силы рассмотрим действие силы F на конец С защемленного стержня (рис.28,б). После приведения силы F в точку О защемленного сечения обнаруживаем в нем силу F1 равную и параллельную заданной, и присоединенный момент М, равный моменту заданной силы F относительно точки приведения О,

1.4.2 Приведение плоской системы сил к данной точке

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F1,F2,F3,F4.

Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу F1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы F1" и F1"", параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы F1 получим силу F1" , приложенную в точке О, и пару сил F1" F1"" с плечом a1. Поступив таким же образом с силой F2 , приложенной в точке В, получим силу F2", приложенную в точке О, и пару сил с плечом a2 т. д.

Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами F1,F2,F3,F4 , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:



Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой F"гл, равной геометрической сумме составляющих,

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают F"гл.

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения

Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента).

Необходимо усвоить, что главный вектор F"гл является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе F"гл. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента Mгл зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:
1. - общий случай; система приводится главному вектору и к главному моменту.
2. ; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.
3. ; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.
4. ; система находится в равновесии, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Можно доказать, что в общем случае, когда, всегда есть точка, относительно которой главный момент сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т. е. заменена главным вектором , приложенным в точке О, и главным моментом . Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т. е. . Изобразим этот главный момент парой сил FF", модуль которых выберем равным модулю главного вектора, т. е. . Одну из сил, составляющих пару, приложим в центре приведения О, другую силу в точке С, положение которой определится из условия: . Следовательно .

Расположим пару сил так, чтобы сила F"" была направлена в сторону, противоположную главному вектору F"гл. В точке О имеем две равные взаимнопротивоположные силы F"гл и F"", направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .

Приведение системы сил к центру

Вопросы

Лекция 6

3. Условия равновесия произвольной системы сил

1. Рассмотрим произвольную систему сил . Выберем произвольную точку О за центр приведения и, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы системы в данную точку, не забывая при переносе каждой силы добавлять присоединенную пару сил.

Полученную таким образом систему сходящихся сил заменим одной силой , равной главному вектору исходной системы сил. Образовавшуюся при переносе систему пар сил заменим одной парой с моментом , равным геометрической сумме моментов всех пар сил (т.е. геометрической суммой моментов исходной системы сил относительно центра О ).

Такой момент называется главным моментом системы сил относительно центра О (рис. 1.30).

Рис. 1.30. Приведение системы сил к центру

Итак, любую систему сил всегда можно заменить всего двумя силовыми факторами - главным вектором и главным моментом относительно произвольно выбранного центра приведения . Очевидно, что главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения (говорят, что главный вектор инвариантен по отношению к выбору центра приведения). Очевидно также, что главный момент таким свойством не обладает, поэтому необходимо всегда указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

2. Приведение системы сил к простейшему виду

Возможность дальнейшего упрощения произвольных систем сил зависит от значения их главного вектора и главного момента, а также от удачного выбор центра приведения. При этом возможны следующие случаи:

a) , . В данном случае система приводится к паре сил с моментом , значение которого не зависит от выбора центра приведения.

б) , . Система приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О .

в) , и взаимно перпендикулярны. Система приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О (рис. 1.31).

Рис. 1.31. Приведение системы сил к равнодействующей

Заменим главный момент парой сил , как показано на рис. 1.31. Определим R из условия, что M 0 = R h . Затем отбросим на основании второй аксиомы статики уравновешенную систему двух сил , приложенных в точке О .

г) и параллельны. Система приводится к динамическому винту, с осью, проходящей через центр О (рис. 1.32).

Рис. 1.32. Динамический винт

д) и не равны нулю и при этом главный вектор и главный момент не параллельны и не перпендикулярны друг другу. Система приводится к динамическому винту, но ось не проходит через центр О (рис. 1.33).


Рис. 1.33. Самый общий случай приведения системы сил

Предположим, что произвольная плоская система сил приводится к одной силе, равной главному вектору и приложенной к центру приведения, и к одной паре с моментом, равным главному моменту
(рисунок 57, а ). Докажем, что рассматриваемая произвольная плоская система сил приводится в этом общем случае к равнодействующей силе
, линия действия которой проходит через точку А , отстоящую от выбранного центра приведения О на расстоянии
. Для этого преобразуем пару с моментом
так, чтобы силы и
, составляющие эту пару, оказались равными по модулю главному вектору R". При этом нужно подобрать плечо пары так, чтобы ее момент т
оставался равным М 0 .Для этого плечо пары
нужно, очевидно, находить из равенства

. (1)

Пользуясь тем, что пару всегда можно перемещать в ее плоскости действия как угодно, переместим пару
так, чтобы ее сила
оказалась приложенной в центре приведения О и противоположно направленной главному вектору
(рисунок 57, б ).

Рассматриваемая произвольная плоская система сил эквивалентна, таким образом, силе
и паре
. Отбрасывая силы
и
как уравновешенные, получим, что вся рассматриваемая система сил заменяется одной силой
, являющейся, следовательно, равнодействующей. При этом линия действия равнодействующей будет проходить через точку А , положение которой относительно выбранного центра приведения определяется формулой (1).

Если же в результате приведения произвольной плоской системы сил окажется, что
, а
, то в этом частном случае эта система сил сразу заменяется одной силой, т. е. равнодействующей
, линия действия которой проходит через выбранный центр приведения.

Задача 7 . К точкам В и С тела соответственно приложены равные по модулю и взаимно перпендикулярные силы и
, отстоящие от точки О тела на равных расстояниях
. Привести эту систему сил к точке О (рисунок 58).

Решение. Перенесем силы ипараллельно самим себе в точкуО . В результате такого переноса получим (рисунок 58) силы
и
, приложенные в точке О , и присоединенные пары
и
, лежащие в одной плоскости с моментами
и
(силы, образующие эти пары отмечены на рисунке 58 черточками). От геометрического сложения сили, приложенных в точкеО , получим главный вектор данной системы сил

модуль которого, очевидно, равен

От сложения присоединенных пар получим равнодействующую пару, момент которой равен главному моменту
данной системы сил относительно точкиО :

Следовательно, данная система двух сил иимеет равнодействующую

,

приложенную в точке А , которая отстоит от точки О на расстоянии

.

;
,

т. е. равнодействующая образует с обеими данными силами иравные углы по 45 0 .

Задача 8. На мостовую ферму (рисунок 59) действуют вертикальные силы
т и
т соответственно на расстоянии 10м и 40 м от левого конца фермы и горизонтальная сила
т на уровне верхнего пояса фермы, высота фермы равна 6м . Привести систему сил ,ипростейшему виду.

Решение. Проводим оси координат так, как показано на рисунке 59, взяв начало координат в точке А. Найдем проекции главного вектора заданной системы сил на оси выбранной системы координат:

откуда находим модуль главного вектора
:

т
.

Найдем теперь главный момент заданной системы сил относительно начала координат А:

т·м
.

Следовательно, данная система сил имеет равнодействующую
, модуль которой
т.

Теперь найдем линию действия равнодействующей. Момент равнодействующей относительно начала координат А определится но формуле

,

где х и y - координаты точки, лежащей на линии действия равнодействующей. Так как
т и
т, то

.

С другой стороны, по теореме Вариньона о моменте равнодействующей (5, § 11) имеем

Следовательно,

.

Это и есть уравнение линии действия равнодействующей.

Полагая в этом уравнении
, находим, что точка пересечения линии действия равнодействующейс верхним поясом фермы находится на расстоянии
м от левого конца фермы. Полагая же
м , находим, что точка пересечения линии действия равнодействующей с нижнем поясом фермы находится на расстоянии
м от левого конца фермы. Соединения определенные таким образом точки пересечения линий действия равнодействующей с верхним и нижнем поясом фермы прямой линией, находим линию действия равнодействующей.

Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С, Д мы заменим:

1) силами F 1 ’ , F 2 ’ , F 3 ’ , F 4 ’ , приложенными в точке О;

2) парами сил: ­

F 1 F 1 ’ : М 1 =М о (F 1)= F 1 а 1

F 2 F 2 ’ : М 2 =М о (F 2)= F 2 а 2

F 3 F 3 ’ : М 3 =М о (F 3)= F 3 а 3

F 4 F 4 ’ : М 4 =М о (F 4)= F 4 а 4

Сходящиеся в точке О силы F 1 ’ , F 2 ’ , F 3 ’ , F 4 ’ можно заменит одной силой(равнодействующей) F гл:

F гл = F 1 ’ + F 2 ’ + F 3 ’ + F 4 ’ = F 1 + F 2 + F 3 + F 4

F гл – главный вектор системы сил.

Полученные пары сил можно заменить результирующей парой, момент которой М гл :

М гл =М 1 +М 2 +М 3 +М 4 = Σ М і = Σ М о (F і)

М гл - главный момент относительно точки приведения.

Плоская система сил в данной точке О заменяется эквивалентной системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента).

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

М о (F Σ)= Σ М о (F і)

Уравнения равновесия плоской системы сил

F ГЛ = 0;

М гл = ΣM o (F i) = 0.

Модуль главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы.

F ГЛ = (ΣF іх) 2 +(ΣF іу) 2 =0 из этого следуют уравнения равновесия:

Σ F іх =0

Σ F іу =0

Σ М о (F і)=0

Другие формы уравнений равновесия:

Σ М А (F і)=0

Σ М В (F і)=0 (АВС не лежат на одной

Σ М С (F і)=0 прямой)

Σ М А (F і)=0 (ось х не перпендикулярна

Σ М В (F і)=0 прямой АВ)

Σ F іх =0

Для системы параллельных сил выбрав одну из осей проекций, параллельной этим силам (ось у), а другую перпендикулярной к ним (ось х), получим два уравнения равновесия:

Σ F іу =0

Σ М о (F і)=0

Σ М А (F і)=0

Σ М В (F і)=0

Алгоритм решения задач

1.Выделяем обьект равновесия(тело или точку): будем рассматривать равновесие относительно...

Показываем на рисунке все действующие силы, включая реакции связей.

3. Выбираем систему координат – оси координат желательно направлять пралельно или перпендикулярно к искомым силам.

Составляем уравнения равновесия объекта исследования.

Σ F іх =0

Σ F іу =0

Σ М о (F і)=0

Из полученных уравнений определяем неизвесные величины (определяем реакции).



Проверяем правильность решения уравнений.

Σ М р (F і)=0

Σ М е (F і)=0

5. Опорные устройства балочных систем

Шарнирно-подвижная опора

Шарнирно-неподвижная форма и жесткая заделка (защемление )

Тема:

«Центр тяжести.

Геометрические характеристики плоских сечений»

План

1. Центр параллельных сил и его координаты.
2. Центр тяжести площадей. Статистические моменты площадей.
3. Решение задач на определение координат центра тяжести плоской составной фигуры.
4. Полярные и осевые моменты инерции.
5. Осевые моменты инерции относительно параллельных осей.
6. Определение моментов инерции составных сечений с помощью таблиц нормального сортамента.

1. Центр параллельных сил и его координаты


Пусть задана система параллельных сил F 1, F 2 , F 3, ..., Fn ; координаты точек C 1 , С2, С3, ..., Сп приложения этих сил известны (рис. 42, б). Обозначим точку приложения равнодействующей буквой С, ее координаты обозначим x с, y с.
FΣ = F 1 + F 2 + F 3+…. + Fn = ΣF і . (1)



FΣ хс = F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 +… + Fnxn = Σ F і x і ,

х c = F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 +… + Fnxn / FΣ = Σ F і x і / FΣ

FΣ = F 1+ F 2+ F 3+…+ Fn = Σ F іх c =
= F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 +… + Fnxn / F 1+ F 2+ F 3+…+ Fn = Σ F і x і / F і (2)

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела A,B,C и D (рис. 19) приложены силы 1 , 2 , 3 и 4 . Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу 1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы ’ 1 и ’’ 1 , равные порознь по модулю заданной силе 1 , параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы 1 получим силу ’ 1 , приложенную в точке О , и пару сил 1 ’’ 1 (силы, образующие пару, отмечены черточками) с плечом а 1 . Поступив таким же образом с силой 2 ,приложенной в точке В , получим силу 2 , приложенную в точке О , и пару сил 2 ’’ 2 с плечом а 2 и т.д.

Плоскую систему сил, приложенных в точках А , В , С и D , мы заменили сходящимися силами ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 и ’ 4 , приложенными в точке О , и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О :

М 1 = Р 1 а 1 =М о ( 1); М 2 = ­ Р 2 а 2 = М о ( 2);

М 3 = – Р 3 а 3 = М о ( 3); М 4 = – Р 4 а 4 = М о ( 4).

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой " , равной геометрической сумме составляющих,

" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i . (16)

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил.

На основании правила сложения пар сил из можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О :

М о = М 1 + М 2 + М 3 + М 4 = i = o ( i). (17)

По аналогии с главным вектором момент М 0 пары, равный алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения О , называют главным моментом системы относительно данного центра приведения О. Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы – главного вектора – и одной пары, момент которой называют главным моментом заданной системы сил относительно центра приведения.

Необходимо усвоить, что главный вектор ’ не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе ’. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил данной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Величина и знак главного момента М 0 зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:



1. " ≠ 0; М о ≠ 0 - общий случай; система приводится к главному вектору и к главному моменту.

2. " ≠ 0; М о = 0; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.

3. " = 0; М о ≠ 0; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.

4. " = 0; М о = 0; система находится в равновесии.

Можно доказать, что в общем случае, когда " ≠ 0 и М о ≠ 0, всегда есть точка, относительно которой главный момент системы сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О , т.е. заменена главным вектором " ≠ 0 , приложенным в точке О , и главным моментом М о ≠ 0 (рис. 20).

Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т.е. М о < 0. Изобразим этот главный момент парой сил "" , модуль которых выберем равным модулю главного вектора " , т.е. R = R ’’ = R ’ . Одну из сил, составляющих пару, – силу "" – приложим в центре приведения О , другую силу –– в некоторой точке С , положение которой определится из условия: М о = ОС*R. Следовательно,

ОС = . (18)

Расположим пару сил "" так, чтобы сила "" была направлена в сторону, противоположную главному вектору " . В точке О (рис. 20) имеем две равные взаимно противоположные силы " и "" , направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .

§ 18. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

В общем случае (см. § 17) произвольная плоская система сил приводится к главному вектору " и главному моменту М 0 относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О

М о = o ( i). (а)

Было показано, что можно выбрать центр приведения (на рис. 20 точка С ), относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей , равной по модулю главному вектору (R = R’ ). Определим момент равнодействующей относительно точки О . Учитывая, что плечо ОС силы равно , получаем

М о () = R*OC =R = М о. (б)

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из уравнений (а) и (б) находим

М о () = o ( i). (19)

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.