Топката и сферата се, пред сè, геометриски фигури, а ако топката е геометриско тело, тогаш сферата е површината на топката. Овие бројки биле интересни пред многу илјади години п.н.е.

Последователно, кога беше откриено дека Земјата е топка, а небото е небесна сфера, беше развиена нова фасцинантна насока во геометријата - геометрија на сфера или сферична геометрија. За да зборувате за големината и волуменот на топката, прво мора да ја дефинирате.

Топката

Топката со радиус R со центар во точката O во геометријата е тело што го создаваат сите точки во просторот кои имаат заедничко својство. Овие точки се наоѓаат на растојание што не го надминува радиусот на топката, односно го исполнуваат целиот простор помал од радиусот на топката во сите правци од нејзиниот центар. Ако ги земеме предвид само оние точки кои се подеднакво оддалечени од центарот на топката, ќе ја земеме предвид нејзината површина или лушпата на топката.

Како можам да ја добијам топката? Можеме да исечеме круг од хартија и да почнеме да го ротираме околу сопствениот дијаметар. Тоа е, дијаметарот на кругот ќе биде оската на ротација. Формираната фигура ќе биде топка. Затоа, топката се нарекува и тело на ротација. Бидејќи може да се формира со ротирање на рамна фигура - круг.

Ајде да земеме авион и да си ја пресечеме топката со него. Исто како што сечевме портокал со нож. Парчето што го отсекуваме од топката се нарекува сферичен сегмент.

Во Античка Грција знаеле не само да работат со топка и сфера како геометриски фигури, на пример, да ги користат во градежништвото, туку знаеле и како да ја пресметаат површината на топката и волуменот на топката.

Сфера е друго име за површината на топката. Сферата не е тело - тоа е површината на телото на ротација. Меѓутоа, бидејќи и Земјата и многу тела имаат сферична форма, на пример капка вода, проучувањето на геометриските односи внатре во сферата стана широко распространето.

На пример, ако поврземе две точки на сфера една со друга со права линија, тогаш оваа права линија ќе се нарече акорд, а ако оваа акорд поминува низ центарот на сферата, што се совпаѓа со центарот на топката, тогаш акордот ќе се нарече дијаметар на сферата.

Ако нацртаме права линија која ја допира сферата само во една точка, тогаш оваа права ќе се нарече тангента. Покрај тоа, оваа тангента на сферата во оваа точка ќе биде нормална на радиусот на сферата нацртана до точката на допир.

Ако акордот го прошириме на права линија во едната или другата насока од сферата, тогаш оваа акорд ќе се нарече секант. Или можеме да го кажеме поинаку - секантот кон сферата го содржи својот акорд.

Волумен на топката

Формулата за пресметување на волуменот на топката е:

каде што R е радиусот на топката.

Ако треба да го пронајдете волуменот на сферичен сегмент, користете ја формулата:

V seg =πh 2 (R-h/3), h е висината на сферичниот сегмент.

Површина на топка или сфера

За да се пресмета плоштината на сфера или површината на топката (тие се иста работа):

каде што R е радиусот на сферата.

Архимед бил многу љубител на топката и сферата, тој дури побарал да остави цртеж на неговиот гроб во кој била испишана топка во цилиндар. Архимед верувал дека волуменот на сферата и нејзината површина се еднакви на две третини од волуменот и површината на цилиндерот во кој е впишана сферата“.

Кога луѓето ќе се прашаат за разликата помеѓу топката и топката, многумина едноставно ги креваат рамениците, мислејќи дека всушност тие се иста работа (аналогија со круг и круг). Навистина, дали сите ние добро ја познаваме геометријата од училишната програма и можеме веднаш да одговориме на ова прашање? Сферата има некои разлики од топката, кои не само учениците треба да ги знаат за да добијат добра оценка за нивното покажано знаење, туку и многу други луѓе, на пример, чија работа е директно поврзана со цртежите.

Дефиниција

Топката– збир на сите точки во просторот. Сите овие точки се наоѓаат од центарот на геометриското тело на растојание кое не е повеќе од дадено. Самото ова растојание се нарекува радиус. Топката, како геометриско тело, се формира на следниов начин: полукруг ротира во близина на неговиот дијаметар. Што се однесува до сферата, ова е површината на топката (на пример, затворена топка ја вклучува, отворена не). Пресметувањето на површината или волуменот на топката вклучува цели геометриски формули кои се многу сложени, и покрај очигледната едноставност на самата геометриска фигура.

Сфера, како што е наведено погоре, е површината на топката, нејзината школка. Сите точки во просторот се подеднакво оддалечени од центарот на сферата. Што се однесува до радиусот на геометриското тело, тој се нарекува кој било сегмент, чија една точка е директно центарот на сферата, а другата може да се наоѓа во која било точка на површината. Можеме да кажеме дека сфера е обвивка од топка без никаква содржина (поконкретни примери ќе бидат дадени подолу). Исто како топката, сферата е тело на револуција. Патем, многумина се прашуваат и која е разликата помеѓу круг и круг од сфера и топка. Сè е едноставно овде: во првиот случај ова се фигури на авион, во вториот - во вселената.

Споредба

Веќе е кажано дека сферата е површина на топка, што веќе овозможува да се зборува за еден значаен знак на разлика. Разликата помеѓу двете геометриски тела е забележана во некои други аспекти:

  • Сите точки на топката се на исто растојание од центарот, додека телото е ограничено од површината (сфера која е празна внатре). Со други зборови, сферата е шуплива. Обично, за полесно разбирање, се дава едноставен пример со балон и топка за билијард. И двата од овие објекти се нарекуваат топки, но во првиот случај имаме работа со сфера, а во вториот со полноправна топка со сопствена содржина внатре.
  • Сферата има своја површина, но нема волумен. Сферата е спротивна: нејзиниот волумен може да се пресмета, додека нема површина. Некои можеби ќе речат дека ова е главниот знак на разлика, но се појавува само ако е неопходно да се направат некои пресметки (комплексни геометриски формули). Затоа, главната разлика е во тоа што сферата е шуплива, а топката е тело со содржина внатре.
  • Друга разлика лежи во радиусот. На пример, радиусот на сферата не е само растојанието на точките до центарот. Радиус може да биде кој било сегмент што поврзува точка на сфера со нејзиниот центар. Сите овие сегменти се еднакви еден на друг. Што се однесува до топката, точките што лежат во неа се отстранети од центарот за помалку од радиус (точно поради сферата што ја ограничува).

Веб-страница за заклучоци

  1. Сферата е шуплива, додека топката е тело исполнето внатре. На пример, балон е сфера, билијард топка е полноправна топка.
  2. Сферата има површина и нема волумен, но сферата го прави спротивното.
  3. Третата разлика е мерењето на радиусот на две геометриски тела.

Дефиниција.

Сфера (површина на топката) е збир на сите точки во тродимензионалниот простор кои се на исто растојание од една точка, наречени центар на сферата( ЗА).

Сферата може да се опише како тридимензионална фигура која се формира со ротирање на круг околу неговиот дијаметар за 180 ° или полукруг околу неговиот дијаметар за 360 °.

Дефиниција.

Топкатае збир на сите точки во тродимензионалниот простор, чие растојание не надминува одредено растојание до точка т.н. центарот на топката(О) (збир на сите точки на тродимензионален простор ограничен со сфера).

Топката може да се опише како тродимензионална фигура која се формира со ротирање на круг околу неговиот дијаметар за 180 ° или полукруг околу неговиот дијаметар за 360 °.

Дефиниција. Радиус на сферата (топката)(R) е растојанието од центарот на сферата (топката) Одо која било точка на сферата (површината на топката).

Дефиниција. Дијаметар на сфера (топка).(Д) е отсечка што поврзува две точки на сфера (површината на топката) и минува низ нејзиниот центар.

Формула. Волумен на сфера:

V=4 π R 3 =1 π D 3
3 6

Формула. Површина на сферапреку радиус или дијаметар:

S = 4π R 2 = π D 2

Сфера равенка

1. Равенка на сфера со радиус R и центар на почетокот на Декартовиот координатен систем:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Равенка на сфера со радиус R и центар во точка со координати (x 0, y 0, z 0) во Декартовиот координатен систем:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Дефиниција. Дијаметрално спротивни точкисе кои било две точки на површината на топката (сферата) кои се поврзани со дијаметар.

Основни својства на сфера и топка

1. Сите точки на сферата се подеднакво оддалечени од центарот.

2. Секој пресек на сфера со рамнина е круг.

3. Секој дел од топката покрај рамнина е круг.

4. Сферата има најголем волумен меѓу сите просторни фигури со иста површина.

5. Низ кои било две дијаметрално спротивни точки можете да нацртате многу големи кругови за сфера или кругови за топка.

6. Низ кои било две точки, освен дијаметрално спротивни точки, можете да нацртате само еден голем круг за сфера или голем круг за топка.

7. Било кои два големи кругови од една топка се сечат по права линија што минува низ центарот на топката, а круговите се сечат на две дијаметрално спротивни точки.

8. Ако растојанието помеѓу центрите на кои било две топки е помало од збирот на нивните радиуси и поголемо од модулот на разликата на нивните радиуси, тогаш таквите топчиња се вкрстуваат, и се формира круг во рамнината на пресекот.


Секанта, акорд, секантна рамнина на сфера и нивните својства

Дефиниција. Секант на сферае права линија која ја пресекува сферата во две точки. Пресечните точки се нарекуваат пирсинг точкиповршини или влезни и излезни точки на површината.

Дефиниција. Акорд на сфера (топка)- ова е сегмент што поврзува две точки на сфера (површината на топката).

Дефиниција. Авион за сечењее рамнината што ја пресекува сферата.

Дефиниција. Дијаметарска рамнина- ова е секантна рамнина што минува низ центарот на сфера или топка, делот се формира соодветно голем кругИ голем круг. Големиот круг и големиот круг имаат центар што се совпаѓа со центарот на сферата (топката).

Секој акорд што минува низ центарот на сферата (топката) е дијаметар.

Акорд е отсечка од секантна линија.

Растојанието d од центарот на сферата до секантата е секогаш помало од радиусот на сферата:

г< R

Растојанието m помеѓу рамнината на сечењето и центарот на сферата е секогаш помало од радиусот R:

м< R

Локацијата на делот од рамнината за сечење на сферата секогаш ќе биде мал круг, а на топката делот ќе биде мал круг. Малиот круг и малиот круг имаат свои центри кои не се совпаѓаат со центарот на сферата (топката). Радиусот r на таков круг може да се најде со формулата:

r = √R 2 - m 2,

Каде што R е радиусот на сферата (топката), m е растојанието од центарот на топката до рамнината на сечењето.

Дефиниција. Хемисфера (хемисфера)- ова е половина од сфера (топка), која се формира кога се сече со дијаметрална рамнина.

Тангента, тангента рамнина на сфера и нивните својства

Дефиниција. Тангента на сферае права линија која ја допира сферата само во една точка.

Дефиниција. Тангента рамнина на сферае рамнина која ја допира сферата само во една точка.

Тангентата линија (рамнина) е секогаш нормална на радиусот на сферата нацртана до точката на допир

Растојанието од центарот на сферата до тангентата линија (рамнина) е еднакво на радиусот на сферата.

Дефиниција. Сегмент на топка- ова е делот од топката што е отсечен од топката со рамнина за сечење. Основа на сегментотнаречен круг што се формирал на местото на пресекот. Висина на сегментот h е должината на нормалната извлечена од средината на основата на отсечката до површината на отсечката.

Формула. Надворешната површина на сегмент од сферасо висина h низ радиусот на сферата R:

S = 2πRh

Топката е тело кое се состои од сите точки во просторот кои се наоѓаат на растојание не поголемо од дадена од дадена точка. Оваа точка се нарекува центар на топката, а ова растојание се нарекува радиус на топката. Границата на топката се нарекува сферична површина или сфера. Точките на сферата се сите точки на топката кои се отстранети од центарот на растојание еднакво на радиусот. Секој сегмент што го поврзува центарот на топката со точка на сферичната површина се нарекува и радиус. Сегментот што минува низ центарот на топката и поврзува две точки на сферичната површина се нарекува дијаметар. Краевите на кој било дијаметар се нарекуваат дијаметрално спротивни точки на топката.

Топката е тело на револуција, исто како конус и цилиндар. Топката се добива со ротирање на полукруг околу неговиот дијаметар како оска.

Површината на топката може да се најде со помош на формулите:

каде што r е радиусот на топката, d е дијаметарот на топката.

Волуменот на топката се наоѓа со формулата:

V = 4 / 3 πr 3,

каде r е радиусот на топката.

Теорема. Секој дел од топката покрај рамнина е круг. Центарот на овој круг е основата на нормалната извлечена од центарот на топката на рамнината за сечење.

Врз основа на оваа теорема, ако топка со центар O и радиус R е пресечена со рамнината α, тогаш напречниот пресек резултира со круг од радиус r со центар K. Радиусот на пресекот на топката со рамнината може да се најде по формулата

Од формулата е јасно дека рамнините на еднакво растојание од центарот ја сечат топката во еднакви кругови. Радиусот на пресекот е поголем, колку е поблиску рамнината за сечење до центарот на топката, односно, толку е помало растојанието ОК. Најголемиот радиус има дел од рамнина што минува низ центарот на топката. Радиусот на овој круг е еднаков на радиусот на топката.

Рамнината што минува низ центарот на топката се нарекува централна рамнина. Пресекот на топката за дијаметралната рамнина се нарекува голема кружница, а делот на топката се нарекува голема круг, а делот на топката се нарекува голема круг.

Теорема. Секоја дијаметрална рамнина на топката е нејзината рамнина на симетрија. Центарот на топката е неговиот центар на симетрија.

Рамнината што минува низ точката А на сферичната површина и е нормална на радиусот нацртан до точката А се нарекува тангентна рамнина. Точката А се нарекува тангентна точка.

Теорема. Тангентата рамнина има само една заедничка точка со топката - точката на допир.

Правата линија што минува низ точката А на сферичната површина нормална на радиусот нацртан до оваа точка се нарекува тангента.

Теорема. Бесконечен број тангенти минуваат низ која било точка на сферичната површина и сите лежат во тангентата рамнина на топката.

Сферичен сегмент е дел од топка отсечена од неа со рамнина. Кругот ABC е основата на сферичниот сегмент. Нормалната отсечка MN извлечена од центарот N на кругот ABC до пресекот со сферичната површина е висината на сферичниот сегмент. Точката М е темето на сферичниот сегмент.

Површината на сферичен сегмент може да се пресмета со формулата:

Волуменот на сферичен сегмент може да се најде со помош на формулата:

V = πh 2 (R - 1/3h),

каде што R е радиусот на големата кружница, h е висината на сферичниот сегмент.

Сферичен сектор се добива од сферичен сегмент и конус како што следува. Ако сферичниот сегмент е помал од хемисферата, тогаш сферичниот сегмент е надополнет со конус, чие теме е во центарот на топката, а основата е основата на сегментот. Ако сегментот е поголем од хемисфера, тогаш наведениот конус се отстранува од него.

Сферичен сектор е дел од топка ограничена со заоблена површина на сферичен сегмент (во нашата слика, ова е AMCB) и конусна површина (во нашата слика, ова е OABC), чија основа е основата на сегмент (ABC), а темето е центарот на топката О.

Волуменот на сферичниот сектор се наоѓа со формулата:

V = 2/3 πR 2 H.

Сферичен слој е дел од топка затворена помеѓу две паралелни рамнини (рамнините ABC и DEF на сликата) кои ја сечат сферичната површина. Заоблената површина на сферичниот слој се нарекува сферичен појас (зона). Круговите ABC и DEF се основите на сферичниот појас. Растојанието NK помеѓу основите на сферичниот појас е неговата висина.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

ГЕОМЕТРИЈА

Дел II. СТЕРЕОМЕТРИЈА

§22. ТОПКА. СФЕРА.

1. Дефиниција за топка и сфера. Елементи на топка и сфера.

Куршум е геометриско тело формирано со ротација на круг околу оската што го содржи неговиот дијаметар (сл. 500).

Центарот на кругот што ротира се нарекува центар на топката, радиусот на кругот е радиусот на топката, а дијаметарот на кругот е дијаметарот на топката. На слика 500, точката О е центарот на топката, ОА и ОБ се радиусите на топката, а AB е дијаметарот на топката.

Површината на топката се нарекува сфера.

Центарот, радиусот и дијаметарот на сферата се исто така центар, радиус и дијаметар на сфера.

Сите точки на сферата се на исто растојание, еднакво на радиусот, од центарот на сферата. Другите точки на топката кои не припаѓаат на сферата се нарекуваат внатрешни точки за такви точки. Внатрешните точки на топката се наоѓаат од центарот на топката на растојание помало од радиусот.

Така доаѓаме до друга дефиниција за сфера и топка.

Сфера е површина која се состои од сите точки во просторот што се еднакво оддалечени од иста точка. Оваа точка се нарекува центар на сферата, а растојанието од центарот на сферата до која било од нејзините точки е радиусот на сферата.

Куршум е геометриско тело кое се состои од сите точки во просторот лоцирани на растојание не поголемо од дадена точка од дадена точка. Оваа точка се нарекува центар на топката, а ова растојание се нарекува радиус на топката.

Пример. Радиусот на сферата е 3,5 cm Точката А се наоѓа внатре или надвор од сферата ако е оддалечена од центарот на сферата: 1) cm, 2)см.