Проширување во моќи на прости броеви. Фактор. Факторирање на број Факторизација. Факторирање на број во прости фактори

Да го факторизираме бројот 120 во прости множители

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Решение
Да го прошириме бројот 120

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - делив со простиот број 2
30: 2 = 15 - делив со простиот број 2
15: 3 = 5
Ние го комплетираме делењето бидејќи 5 е прост број

Одговор: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 5

Ајде да го факторизираме бројот 246 во прости множители

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

Решение
Ајде да го разложиме бројот 246 во прости фактори и означете ги со зелено. Почнуваме да избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот прост број 2, додека количникот не испадне дека е прост број

246: 2 = 123 - делив со простиот број 2
123: 3 = 41 - делив со простиот број 3.
Ја комплетираме поделбата бидејќи 41 е прост број

Одговор: 246 = 2 ∙ 3 ​​∙ 41

Ајде да го факторизираме бројот 1463 во прости множители

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Решение
Да го прошириме бројот 1463 во прости фактори и означете ги со зелено. Почнуваме да избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот прост број 2, додека количникот не испадне дека е прост број

1463: 7 = 209 - делив со простиот број 7
209: 11 = 19
Ја комплетираме поделбата бидејќи 19 е прост број

Одговор: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Да го факторизираме бројот 1268 во прости множители

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Решение
Да го прошириме бројот 1268 во прости фактори и означете ги со зелено. Почнуваме да избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот прост број 2, додека количникот не испадне дека е прост број

1268: 2 = 634 - делив со простиот број 2
634: 2 = 317 - делив со простиот број 2.
Ја комплетираме поделбата бидејќи 317 е прост број

Одговор: 1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Ајде да го факторизираме бројот 442464 во прости множители

442464

Решение
Да го прошириме бројот 442464 во прости фактори и означете ги со зелено. Почнуваме да избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот прост број 2, додека количникот не испадне дека е прост број

442464: 2 = 221232 - делив со простиот број 2
221232: 2 = 110616 - делив со простиот број 2
110616: 2 = 55308 - делив со простиот број 2
55308: 2 = 27654 - делив со простиот број 2
27654: 2 = 13827 - делив со простиот број 2
13827: 3 = 4609 - делив со простиот број 3
4609: 11 = 419 - се дели со простиот број 11.
Ја комплетираме поделбата бидејќи 419 е прост број

Одговор: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419

Оваа статија дава одговори на прашањето за факторингирање на број на лист. Ајде да ја разгледаме општата идеја за распаѓање со примери. Да ја анализираме канонската форма на проширувањето и неговиот алгоритам. Сите алтернативни методи ќе бидат разгледани со користење на знаци за деливост и табели за множење.

Што значи да се факторинг број во прости множители?

Да го погледнеме концептот на основни фактори. Познато е дека секој прост фактор е прост број. Во производ од формата 2 · 7 · 7 · 23 имаме дека имаме 4 прости множители во формата 2, 7, 7, 23.

Факторизацијата подразбира нејзино претставување во форма на производи од прости броеви. Ако треба да го разложиме бројот 30, тогаш добиваме 2, 3, 5. Влезот ќе биде во форма 30 = 2 · 3 · 5. Можно е множителите да се повторат. Број како 144 има 144 = 2 2 2 2 3 3.

Не сите бројки се склони кон распаѓање. Броевите кои се поголеми од 1 и се цели броеви може да се факторингираат. Простите броеви, кога се факторинг, се делат само со 1 и самите себе, така што е невозможно овие броеви да се претстават како производ.

Кога z се однесува на цели броеви, тој е претставен како производ на a и b, каде што z се дели со a и b. Композитните броеви се факторизираат користејќи ја основната теорема на аритметиката. Ако бројот е поголем од 1, тогаш неговата факторизација p 1, p 2, ..., p n добива форма a = p 1 , p 2 , ... , p n . Се претпоставува дека распаѓањето е во една варијанта.

Канонска факторизација на број во прости множители

За време на проширувањето, факторите може да се повторат. Тие се напишани компактно со помош на степени. Ако при разложување на бројот a имаме фактор p 1, кој се јавува s 1 пати и така натаму p n – s n пати. Така проширувањето ќе добие форма a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Овој запис се нарекува канонска факторизација на број во прости множители.

При проширување на бројот 609840, добиваме дека 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, неговата канонска форма ќе биде 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Користејќи канонско проширување, можете да ги најдете сите делители на број и нивниот број.

За правилно размножување, треба да ги разберете простите и композитните броеви. Поентата е да се добие секвенцијален број на делители од формата p 1, p 2, ..., p n броеви a , a 1 , a 2 , ... , a n - 1, ова овозможува да се добие a = p 1 a 1, каде што a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , каде што a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , каде a n = a n - 1: p n. По приемот a n = 1, потоа еднаквоста a = p 1 · p 2 · … · p nго добиваме потребното разложување на бројот a на прости множители. Забележете дека p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

За да најдете најмалку вообичаени фактори, треба да користите табела со прости броеви. Ова е направено користејќи го примерот за наоѓање на најмалиот прост делител на бројот z. Кога се земаат простите броеви 2, 3, 5, 11 и така натаму, и се дели бројот z со нив. Бидејќи z не е прост број, треба да се земе предвид дека најмалиот прост делител нема да биде поголем од z. Се гледа дека нема делители на z, тогаш јасно е дека z е прост број.

Пример 1

Да го погледнеме примерот на бројот 87. Кога ќе се подели со 2, го имаме тоа 87: 2 = 43 со остаток од 1. Следи дека 2 не може да биде делител мора да се направи целосно. Кога се делиме со 3, добиваме дека 87: 3 = 29. Оттука заклучокот е дека 3 е најмалиот прост делител на бројот 87.

Кога факторингирате во прости множители, мора да користите табела со прости броеви, каде што a. При факторинг 95, треба да користите околу 10 прости броеви, а при факторинг 846653, околу 1000.

Да го разгледаме алгоритмот за распаѓање на прости фактори:

• наоѓање на најмалиот фактор на делител p 1 на некој број асо формулата a 1 = a: p 1, кога a 1 = 1, тогаш a е прост број и е вклучен во разложувањето, кога не е еднаков на 1, тогаш a = p 1 · a 1 и следете до точката подолу;
• наоѓање на прост делител p 2 на бројот a 1 со секвенцијално набројување на прости броеви користејќи 2 = a 1: p 2 , кога a 2 = 1 , тогаш проширувањето ќе добие форма a = p 1 p 2 , кога a 2 = 1, тогаш a = p 1 p 2 a 2 , и продолжуваме на следниот чекор;
• пребарување низ прости броеви и наоѓање прост делител стр 3броеви а 2според формулата a 3 = a 2: p 3 кога a 3 = 1 , тогаш добиваме дека a = p 1 p 2 p 3 , кога не е еднакво на 1, тогаш a = p 1 p 2 p 3 a 3 и преминете на следниот чекор;
• се наоѓа простиот делител p nброеви а n - 1со набројување на прости броеви со pn - 1, а исто така a n = a n - 1: p n, каде a n = 1, чекорот е конечен, како резултат добиваме дека a = p 1 · p 2 · … · p n .

Резултатот од алгоритмот е запишан во форма на табела со распаднати фактори со вертикална лента секвенцијално во колона. Размислете за сликата подолу.

Добиениот алгоритам може да се примени со разложување на броеви во прости фактори.

При факторинг во прости фактори, треба да се следи основниот алгоритам.

Пример 2

Факторирајте го бројот 78 во прости множители.

Решение

За да го пронајдете најмалиот прост делител, треба да ги поминете сите прости броеви во 78. Тоа е 78: 2 = 39. Поделбата без остаток значи дека ова е првиот едноставен делител, кој го означуваме како p 1. Добиваме дека a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Стигнавме до еднаквост од формата a = p 1 · a 1 , каде 78 = 2 39. Потоа 1 = 39, односно, треба да преминеме на следниот чекор.

Да се ​​фокусираме на наоѓање на простиот делител стр2броеви а 1 = 39. Треба да поминете низ простите броеви, односно 39: 2 = 19 (останатите 1). Бидејќи делењето со остаток, 2 не е делител. При изборот на бројот 3, добиваме дека 39: 3 = 13. Ова значи дека p 2 = 3 е најмалиот прост делител на 39 со 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Добиваме еднаквост на формата a = p 1 p 2 a 2во форма 78 = 2 3 13. Имаме дека 2 = 13 не е еднакво на 1, тогаш треба да продолжиме понатаму.

Најмалиот прост делител на бројот a 2 = 13 се наоѓа со пребарување низ броевите, почнувајќи од 3. Добиваме дека 13: 3 = 4 (преостанати 1). Од ова можеме да видиме дека 13 не е делив со 5, 7, 11, бидејќи 13: 5 = 2 (одмор. 3), 13: 7 = 1 (одмор. 6) и 13: 11 = 1 (одмор. 2) . Се гледа дека 13 е прост број. Според формулата изгледа вака: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Откривме дека a 3 = 1, што значи завршување на алгоритмот. Сега факторите се напишани како 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Одговор: 78 = 2 3 13.

Пример 3

Факторирајте го бројот 83.006 во прости фактори.

Решение

Првиот чекор вклучува факторинг стр 1 = 2И a 1 = a: p 1 = 83.006: 2 = 41.503, каде што 83.006 = 2 · 41.503.

Вториот чекор претпоставува дека 2, 3 и 5 не се прости делители за бројот a 1 = 41.503, туку 7 е прост делител, бидејќи 41.503: 7 = 5.929. Добиваме дека p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41.503: 7 = 5.929. Очигледно, 83.006 = 2 7 5 929.

Наоѓањето на најмалиот прост делител на p 4 на бројот a 3 = 847 е 7. Може да се види дека a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, значи 83 006 = 2 7 7 7 121.

За да го најдеме простиот делител на бројот a 4 = 121, го користиме бројот 11, односно p 5 = 11. Потоа добиваме израз на формата a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, и 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

За број а 5 = 11број стр 6 = 11е најмалиот прост делител. Оттука a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Потоа 6 = 1. Ова укажува на завршување на алгоритмот. Факторите ќе бидат напишани како 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Канонската нотација на одговорот ќе биде во форма 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Одговор: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Пример 4

Факторирајте го бројот 897.924.289.

Решение

За да го пронајдете првиот прост фактор, пребарувајте низ простите броеви, почнувајќи со 2. Крајот на пребарувањето се јавува на бројот 937. Тогаш p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 и 897 924 289 = 937 958 297.

Вториот чекор од алгоритмот е повторување на помали прости броеви. Односно, започнуваме со бројот 937. Бројот 967 може да се смета за прост бидејќи е прост делител на бројот a 1 = 958.297. Од тука добиваме дека p 2 = 967, потоа a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 и 897 924 289 = 937 967 991.

Третиот чекор вели дека 991 е прост број, бидејќи нема ниту еден прост фактор што не надминува 991. Приближната вредност на радикалниот израз е 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Ова покажува дека p 3 = 991 и a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Откриваме дека разложувањето на бројот 897 924 289 на прости множители се добива како 897 924 289 = 937 967 991.

Одговор: 897 924 289 = 937 967 991.

Користење на тестови за деливост за проста факторизација

За да пресметате број во прости фактори, треба да следите алгоритам. Кога има мали броеви, дозволено е да се користат таблиците за множење и знаците за деливост. Ајде да го разгледаме ова со примери.

Пример 5

Ако е неопходно да се факторизира 10, тогаш табелата покажува: 2 · 5 = 10. Добиените броеви 2 и 5 се прости броеви, така што тие се прости множители за бројот 10.

Пример 6

Ако е потребно да се разложи бројот 48, тогаш табелата покажува: 48 = 6 8. Но, 6 и 8 не се прости фактори, бидејќи тие исто така може да се прошират како 6 = 2 3 и 8 = 2 4. Тогаш целосното проширување од тука се добива како 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Канонската нотација ќе има форма 48 = 2 4 · 3.

Пример 7

Кога го разложувате бројот 3400, можете да ги користите знаците на деливост. Во овој случај, релевантни се знаците на деливост со 10 и 100. Од тука добиваме дека 3.400 = 34 · 100, каде што 100 може да се подели со 10, односно да се запише како 100 = 10 · 10, што значи дека 3.400 = 34 · 10 · 10. Врз основа на тестот за деливост, откриваме дека 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Сите фактори се примарни. Канонската експанзија има форма 3 400 = 2 3 5 2 17.

Кога ќе најдеме прости фактори, треба да користиме тестови за деливост и табели за множење. Ако го замислите бројот 75 како производ на фактори, тогаш треба да го земете предвид правилото за деливост со 5. Добиваме дека 75 = 5 15 и 15 = 3 5. Односно, саканото проширување е пример за формата на производот 75 = 5 · 3 · 5.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

(освен 0 и 1) имаат најмалку два делители: 1 и самиот себе. Се повикуваат броевите кои немаат други делители едноставноброеви. Се повикуваат броевите кои имаат други делители композитни(или комплекс) броеви. Има бесконечен број на прости броеви. Следниве се прости броеви кои не надминуваат 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Множење- една од четирите основни аритметички операции, бинарна математичка операција во која еден аргумент се додава онолку пати колку и другиот. Во аритметиката, множењето е кратка форма на додавање на одреден број идентични членови.

На пример, ознаката 5*3 значи „додадете три петки“, односно 5+5+5. Резултатот од множењето се нарекува работа, а броевите што треба да се множат се множителиили фактори. Првиот фактор понекогаш се нарекува „ мултипликант».

Секој композитен број може да се факторизира во прости множители. Со кој било метод, истото проширување се добива, ако не се земе предвид редоследот по кој се запишуваат факторите.

Факторирање на број (Факторизација).

Факторизација (факторизација)- набројување на делители - алгоритам за факторизација или тестирање на примарност на број со целосно набројување на сите можни потенцијални делители.

Односно, во едноставни термини, факторизација е името на процесот на факторингирање на броеви, изразен на научен јазик.

Редоследот на дејства кога се факторинг во прости фактори:

1. Проверете дали предложениот број е прост.

2. Ако не, тогаш, водени од знаците на делење, избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот (2, 3, 5 ...).

3. Ова дејство го повторуваме додека количникот не испадне прост број.

Што значи факторинг? Како да го направите ова? Што можете да научите од факторингирање на број во прости множители? Одговорите на овие прашања се илустрирани со конкретни примери.

Дефиниции:

Бројот што има точно два различни делители се нарекува прост.

Бројот што има повеќе од два делители се нарекува композитен.

Да се ​​факторизира природен број значи да се претстави како производ на природни броеви.

Да се ​​факторизира природен број во прости множители значи да се претстави како производ на прости броеви.

Забелешки:

• При разложување на прост број, еден од факторите е еднаков на еден, а другиот е еднаков на самиот број.
• Нема смисла да се зборува за факторинг единство.
• Композитен број може да се вброи во фактори, од кои секој е различен од 1.

Кога факторингирате големи броеви во прости фактори, користете ознака на колона:

	Најмалиот прост број што е делив со 216 е 2. Поделете 216 со 2. Добиваме 108.
	Добиениот број 108 е поделен со 2. Ајде да ја направиме поделбата. Како резултат добиваме 54.
	Според тестот за деливост со 2, бројот 54 се дели со 2. По делењето добиваме 27.
	Бројот 27 завршува со непарната цифра 7. Тоа Не се дели со 2. Следниот прост број е 3. Поделете 27 со 3. Добиваме 9. Најмалку прост Бројот со кој се дели 9 е 3. Самиот три е прост број, тој е делив со себе и еден. Ајде да поделиме 3 со себе. На крајот добивме 1.

• Бројот е делив само со оние прости броеви кои се дел од неговото разложување.
• Бројот е делив само на оние композитни броеви чие разложување на прости множители е целосно содржано во него.

Ајде да погледнеме примери:

Најдете го количникот на делење на бројот a со бројот b, ако овие броеви се разложат на прости множители на следниов начин: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Референци

1. Виленкин Н.Ја., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012 г.
2. Мерзљак А.Г., Полонски В.В., Јакир М.С. Математика 6-то одделение. - Гимназија. 2006 година.
3. Депман И.Ја., Виленкин Н.Ја. Зад страниците на учебник по математика. - М.: Образование, 1989 година.
4. Рурукин А.Н., Чајковски И.В. Задачи за предметот математика за 5-6 одделение. - М.: ЗШ МЕФИ, 2011 година.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чајковски К.Г. Математика 5-6. Прирачник за ученици од 6-то одделение во училиштето за кореспонденција MEPhI. - М.: ЗШ МЕФИ, 2011 година.
6. Шеврин Л.Н., Геин А.Г., Корјаков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-соговорник за 5-6 одделение од средното образование. - М.: Образование, библиотека за наставници по математика, 1989 година.

1. Интернет портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет портал Math-portal.ru ().

Домашна задача

1. Виленкин Н.Ја., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. бр.127, бр.129, бр.141.
2. Други задачи: бр.133, бр.144.