Да Да: аритметичка прогресија- ова не се играчки за тебе :) Па, пријатели, ако го читате овој текст, тогаш внатрешната капа-доказ ми кажува дека сè уште не знаете што е аритметичка прогресија, но навистина (не, така: ТООООО!) сакате да знаете. Затоа, нема да ве измачувам со долги воведи и ќе навлезам директно на поентата.
Прво, неколку примери. Ајде да погледнеме неколку групи на броеви:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Што имаат заедничко сите овие комплети? На прв поглед ништо. Но, всушност има нешто. Имено: секој следен елемент се разликува од претходниот по ист број.
Проценете сами. Првиот сет е едноставно последователни броеви, секој следен е еден повеќе од претходниот. Во вториот случај, разликата помеѓу соседните броеви е веќе пет, но оваа разлика е сè уште константна. Во третиот случај, има корени целосно. Сепак, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ и $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. и во овој случај, секој следен елемент едноставно се зголемува за $\sqrt(2)$ (и не плашете се дека овој број е ирационален).
Значи: сите такви низи се нарекуваат аритметички прогресии. Ајде да дадеме строга дефиниција:
Дефиниција. Редоследот на броеви во кој секој следен се разликува од претходниот за точно иста количина се нарекува аритметичка прогресија. Самиот износ по кој се разликуваат броевите се нарекува прогресивна разлика и најчесто се означува со буквата $d$.
Ознака: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресија, $d$ е нејзината разлика.
И само неколку важни забелешки. Прво, само се разгледува прогресијата нарединиза броеви: дозволено е да се читаат строго по редоследот по кој се напишани - и ништо друго. Броевите не можат да се преуредуваат или заменуваат.
Второ, самата низа може да биде или конечна или бесконечна. На пример, множеството (1; 2; 3) е очигледно конечна аритметичка прогресија. Но, ако напишете нешто во духот (1; 2; 3; 4; ...) - ова е веќе бесконечна прогресија. Елипсата по четирите се чини дека навестува дека претстојат уште неколку бројки. Бесконечно многу, на пример. :)
Исто така, би сакал да забележам дека прогресијата може да се зголемува или намалува. Веќе видовме зголемени - истиот сет (1; 2; 3; 4; ...). Еве примери за намалување на прогресијата:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt (5);\ \sqrt (5) -1;\ \sqrt (5) -2;\ \sqrt (5) -3;...$
ДОБРО ДОБРО: последен примерможе да изгледа премногу комплицирано. Но, остатокот, мислам, го разбираш. Затоа, воведуваме нови дефиниции:
Дефиниција. Аритметичката прогресија се нарекува:
- се зголемува ако секој следен елемент е поголем од претходниот;
- се намалува ако, напротив, секој следен елемент е помал од претходниот.
Покрај тоа, постојат и таканаречени „стационарни“ секвенци - тие се состојат од ист број што се повторува. На пример, (3; 3; 3; ...).
Останува само едно прашање: како да се разликува растечката прогресија од опаѓачката? За среќа, овде сè зависи само од знакот на бројот $d$, т.е. разлики во прогресијата:
- Ако $d \gt 0$, тогаш прогресијата се зголемува;
- Ако $d \lt 0$, тогаш прогресијата очигледно се намалува;
- Конечно, постои случајот $d=0$ - во овој случај целата прогресија се сведува на стационарна низа од идентични броеви: (1; 1; 1; 1; ...), итн.
Ајде да се обидеме да ја пресметаме разликата $d$ за трите опаѓачки прогресии дадени погоре. За да го направите ова, доволно е да земете кои било два соседни елементи (на пример, првиот и вториот) и да го одземете бројот лево од бројот од десната страна. Ќе изгледа вака:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Како што можеме да видиме, во сите три случаи разликата всушност се покажа негативна. И сега кога повеќе или помалку ги сфативме дефинициите, време е да откриеме како се опишани прогресиите и какви својства имаат.
Термини за прогресија и формула за повторување
Бидејќи елементите на нашите секвенци не можат да се заменат, тие можат да се нумерираат:
\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \десно\)\]
Поединечните елементи на ова множество се нарекуваат членови на прогресија. Тие се означени со број: прв член, втор член итн.
Покрај тоа, како што веќе знаеме, соседните термини на прогресијата се поврзани со формулата:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\десна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Накратко, за да го најдете $n$-тиот член на прогресијата, треба да го знаете членот $n-1$th и разликата $d$. Оваа формула се нарекува повторлива, бидејќи со нејзина помош можете да најдете кој било број само со познавање на претходниот (и всушност, сите претходни). Ова е многу незгодно, па затоа постои полукава формула која ги сведува сите пресметки на првиот член и разликата:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\лево(n-1 \десно)d\]
Веројатно веќе сте наишле на оваа формула. Тие сакаат да го даваат во секакви референтни книги и книги за решенија. И во секој разумен учебник по математика тој е еден од првите.
Сепак, предлагам да вежбате малку.
Задача бр. 1. Запишете ги првите три члена од аритметичката прогресија $\left((a)_(n)) \десно)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.
Решение. Значи, го знаеме првиот член $((a)_(1))=8$ и разликата во прогресијата $d=-5$. Ајде да ја користиме формулата штотуку дадена и да ги замениме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)d; \\ & ((a)_(1))=((а)_(1))+\лево(1-1 \десно)d=((а)_(1))=8; \\ & ((а)_(2))=(а)_(1))+\лево(2-1 \десно)d=((а)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+\лево(3-1 \десно)d=((а)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \крај (порамни)\]
Одговор: (8; 3; −2)
Тоа е се! Ве молиме имајте предвид: нашиот напредок се намалува.
Се разбира, $n=1$ не можеше да се замени - првиот термин ни е веќе познат. Меѓутоа, со замена на единството, се уверивме дека и за првиот мандат нашата формула функционира. Во други случаи, сè се сведуваше на банална аритметика.
Задача бр. 2. Запиши ги првите три члена на аритметичка прогресија ако нејзиниот седми член е еднаков на -40, а неговиот седумнаесетти член е еднаков на -50.
Решение. Ајде да ја напишеме проблемската состојба со познати термини:
\[((а)_(7))=-40;\четири ((а)_(17))=-50.\]
\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(7))=((а)_(1))+6d \\ & ((а)_(17))=(а) _(1))+16d \\ \крај (порамни) \десно.\]
\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(1))+6д=-40 \\ & ((а)_(1))+16д=-50 \\ \крај (порамни) \право.\]
Го ставив знакот систем затоа што овие барања мора да се исполнат истовремено. Сега да забележиме дека ако ја одземеме првата од втората равенка (имаме право да го направиме ова, бидејќи имаме систем), ќе го добиеме ова:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))+16d-\лево(((а)_(1))+6d \десно)=-50-\лево(-40 \десно); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \крај (порамни)\]
Така е лесно да се најде разликата во прогресијата! Останува само да се замени пронајдениот број со која било од равенките на системот. На пример, во првиот:
\[\begin(матрица) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Надолу \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \крај (матрица)\]
Сега, знаејќи го првиот член и разликата, останува да ги најдеме вториот и третиот член:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(2))=((а)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \крај (порамни)\]
Подготвени! Проблемот е решен.
Одговор: (−34; −35; −36)
Забележете го интересното својство на прогресијата што го откривме: ако ги земеме членовите $n$th и $m$th и ги одземеме еден од друг, ќе ја добиеме разликата на прогресијата помножена со бројот $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \лево(n-m \десно)\]
Едноставно, но многу корисно својство, што дефинитивно треба да го знаете - со негова помош можете значително да го забрзате решавањето на многу проблеми со прогресијата. Еве јасен пример за ова:
Задача бр.3. Петтиот член на аритметичката прогресија е 8,4, а нејзиниот десетти член е 14,4. Најдете го петнаесеттиот член од оваа прогресија.
Решение. Бидејќи $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и треба да најдеме $((a)_(15))$, го забележуваме следново:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-((а)_(10))=5д; \\ & ((а)_(10))-((а)_(5))=5г. \\ \крај (порамни)\]
Но по услов $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, значи $5d=6$, од кои имаме:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \крај (порамни)\]
Одговор: 20.4
Тоа е се! Не ни требаше да создаваме системи на равенки и да го пресметаме првиот член и разликата - сè беше решено во само неколку линии.
Сега да погледнеме друг тип на проблем - пребарување на негативни и позитивни термини на прогресија. Не е тајна дека ако прогресијата се зголеми, а нејзиниот прв термин е негативен, тогаш порано или подоцна во него ќе се појават позитивни термини. И обратно: условите за намалена прогресија порано или подоцна ќе станат негативни.
Во исто време, не е секогаш можно да се најде овој момент „главно“ со последователно поминување низ елементите. Честопати, проблемите се напишани на таков начин што без да се знаат формулите, за пресметките би биле потребни неколку листови хартија - едноставно ќе заспиеме додека го најдовме одговорот. Затоа, да се обидеме да ги решиме овие проблеми на побрз начин.
Задача бр.4. Колку негативни членови има во аритметичката прогресија −38,5; −35,8; ...?
Решение. Значи, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, од каде веднаш ја наоѓаме разликата:
Забележете дека разликата е позитивна, така што прогресијата се зголемува. Првиот член е негативен, па навистина во одреден момент ќе налетаме на позитивни бројки. Прашањето е само кога тоа ќе се случи.
Ајде да се обидеме да дознаеме: до кога (т.е. до што природен број$n$) негативноста на термините е зачувана:
\[\почеток(порамни) & ((a)_(n)) \lt 0\Десна стрелка ((a)_(1))+\лево(n-1 \десно)d \lt 0; \\ & -38,5+\лево(n-1 \десно)\cточка 2,7 \lt 0;\quad \лево| \cdot 10 \десно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \десно) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Десна стрелка ((n)_(\max))=15. \\ \крај (порамни)\]
Последната линија бара некое објаснување. Значи знаеме дека $n \lt 15\frac(7)(27)$. Од друга страна, се задоволуваме само со целобројни вредности на бројот (покрај тоа: $n\in \mathbb(N)$), така што најголемиот дозволен број е точно $n=15$, а во никој случај 16 .
Задача бр.5. Во аритметичка прогресија $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Најдете го бројот на првиот позитивен член од оваа прогресија.
Ова би било точно истиот проблем како и претходниот, но не знаеме $((a)_(1))$. Но, познати се соседните поими: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така што лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:
Дополнително, да се обидеме да го изразиме петтиот член преку првиот и разликата користејќи ја стандардната формула:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)\cточка d; \\ & ((а)_(5))=((а)_(1))+4г; \\ & -150=((а)_(1))+4\cточка 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \крај (порамни)\]
Сега продолжуваме по аналогија со претходната задача. Ајде да дознаеме во која точка од нашата низа ќе се појават позитивните броеви:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(n))=-162+\лево(n-1 \десно)\cточка 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Десна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \крај (порамни)\]
Минималното целобројно решение за оваа неравенка е бројот 56.
Забележете: во последната задача сè се сведе на строга нееднаквост, така што опцијата $n=55$ нема да ни одговара.
Сега кога научивме како да решаваме едноставни проблеми, да преминеме на посложени. Но, прво, да проучиме уште едно многу корисно својство на аритметичките прогресии, кое ќе ни заштеди многу време и нееднакви ќелии во иднина. :)
Аритметичка средина и еднакви вдлабнатини
Да разгледаме неколку последователни членови на растечката аритметичка прогресија $\left(((a)_(n)) \right)$. Ајде да се обидеме да ги означиме на нумеричката линија:
Услови на аритметичка прогресија на бројната праваЈас конкретно означив произволни термини $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не некои $((a)_(1)) ,\ ((а)_(2)),\ ((а)_(3))$, итн. Затоа што правилото за кое ќе ви кажам сега функционира исто за сите „сегменти“.
А правилото е многу едноставно. Да се потсетиме формула за повторувањеи запишете го за сите означени членови:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(n-2))=((а)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((а)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((а)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n+1))+d; \\ \крај (порамни)\]
Сепак, овие еднаквости може да се препишат поинаку:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((а)_(n-2))=((а)_(n))-2д; \\ & ((a)_(n-3))=((а)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((a)_(n+3))=((а)_(n))+3d; \\ \крај (порамни)\]
Па, што? И фактот дека термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на исто растојание од $((a)_(n)) $ . И ова растојание е еднакво на $d$. Истото може да се каже и за поимите $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - тие исто така се отстранети од $((a)_(n) )$ на исто растојание еднакво на $2d$. Можеме да продолжиме бесконечно, но значењето е добро илустрирано од сликата
Условите на прогресијата лежат на исто растојание од центарот Што значи ова за нас? Ова значи дека $((a)_(n))$ може да се најде ако се познати соседните броеви:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Добивме одлична изјава: секој член на аритметичка прогресија е еднаков на аритметичката средина на нејзините соседни членови! Покрај тоа: можеме да се повлечеме од нашите $((a)_(n))$ налево и надесно не за еден чекор, туку за $k$ чекори - и формулата сепак ќе биде точна:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Оние. лесно можеме да најдеме некои $((a)_(150))$ ако знаеме $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, бидејќи $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На прв поглед, може да изгледа дека овој факт не ни дава ништо корисно. Меѓутоа, во пракса, многу проблеми се специјално приспособени да ја користат аритметичката средина. Погледни:
Задача бр.6. Најдете ги сите вредности на $x$ за кои броевите $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ се последователни термини на аритметичка прогресија (по наведениот редослед).
Решение. Бидејќи овие броеви се членови на прогресија, условот за аритметичка средина е задоволен за нив: централниот елемент $x+1$ може да се изрази во однос на соседните елементи:
\[\begin(порамни) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \крај (порамни)\]
Испадна класично квадратна равенка. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ се одговорите.
Одговор: −3; 2.
Задача бр.7. Најдете ги вредностите на $$ за кои броевите $-1;4-3;(()^(2))+1$ формираат аритметичка прогресија (по тој редослед).
Решение. Повторно да го изразиме средниот член преку аритметичката средина на соседните поими:
\[\begin(порамни) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \лево| \cdot 2 \десно.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \крај (порамни)\]
Повторно квадратна равенка. И повторно има два корени: $x=6$ и $x=1$.
Одговор: 1; 6.
Ако во процесот на решавање на проблемот излезете со некои брутални бројки или не сте сосема сигурни во точноста на пронајдените одговори, тогаш постои прекрасна техника која ви овозможува да проверите: дали правилно го решивме проблемот?
Да речеме во задачата бр. 6 добивме одговори −3 и 2. Како можеме да провериме дали овие одговори се точни? Ајде само да ги приклучиме во првобитната состојба и да видиме што ќе се случи. Да ве потсетам дека имаме три броја ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$), кои мора да формираат аритметичка прогресија. Да го замениме $x=-3$:
\[\почеток(порамни) & x=-3\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 50. \крај (порамни)\]
Ги добивме броевите −54; −2; 50 кои се разликуваат за 52 е несомнено аритметичка прогресија. Истото се случува и за $x=2$:
\[\почеток(порамни) & x=2\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 30. \крај (порамни)\]
Повторно прогресија, но со разлика од 27. Така проблемот беше правилно решен. Оние кои сакаат можат сами да го проверат вториот проблем, но веднаш ќе кажам: и таму сè е точно.
Во принцип, додека ги решававме последните проблеми, наидовме на друг интересен факт, што исто така треба да се запомни:
Ако три броја се такви што вториот е аритметичка средина на првиот и последниот, тогаш овие броеви формираат аритметичка прогресија.
Во иднина, разбирањето на оваа изјава ќе ни овозможи буквално да ги „конструираме“ потребните прогресии врз основа на условите на проблемот. Но, пред да се вклучиме во таква „конструкција“, треба да обрнеме внимание на уште еден факт, кој директно произлегува од она што веќе беше дискутирано.
Групирање и сумирање на елементи
Ајде повторно да се вратиме на бројната оска. Да забележиме таму неколку членови на прогресијата, меѓу кои, можеби. вреди за многу други членови:
На нумеричката линија се означени 6 елементиАјде да се обидеме да ја изразиме „левата опашка“ преку $((a)_(n))$ и $d$, а „десната опашка“ преку $((a)_(k))$ и $d$. Многу е едноставно:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((а)_(к-2))=(а)_(к))-2д. \\ \крај (порамни)\]
Сега забележете дека следните износи се еднакви:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((а)_(n+1))+((a)_(k-1))=((а)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((а)_(n+2))+((а)_(k-2))=((а)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \крај (порамни)\]
Едноставно кажано, ако земеме за почеток два елементи на прогресијата, кои вкупно се еднакви на некој број $S$, а потоа почнуваат да чекорат од овие елементи во спротивни насоки (еден кон друг или обратно за да се оддалечат), тогаш збировите на елементите на кои ќе се сопнеме исто така ќе бидат еднакви$S$. Ова може најјасно да се прикаже графички:
Еднаквите вдлабнатини даваат еднакви количини Разбирање овој фактќе ни овозможи да ги решиме проблемите во фундаментално повеќе високо нивотешкотии од оние што ги разгледавме погоре. На пример, овие:
Задача бр.8. Одреди ја разликата на аритметичка прогресија во која првиот член е 66, а производот од вториот и дванаесеттиот член е најмалиот можен.
Решение. Ајде да запишеме сè што знаеме:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \крај (порамни)\]
Значи, не ја знаеме разликата во прогресијата $d$. Всушност, целото решение ќе биде изградено околу разликата, бидејќи производот $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да се преработи на следниов начин:
\[\begin(порамни) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=(а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \десно)\cdot \left(66+11d \десно)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \десно)\cdot \left(d+6 \десно). \крај (порамни)\]
За оние во резервоарот: го зедов вкупниот множител од 11 од втората заграда. Така, саканиот производ е квадратна функција во однос на променливата $d$. Затоа, разгледајте ја функцијата $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нејзиниот график ќе биде парабола со гранки нагоре, бидејќи ако ги прошириме заградите, добиваме:
\[\почеток(порамни) & f\лево(d \десно)=11\лево(((d)^(2))+66d+6d+66\cточка 6 \десно)= \\ & =11(( г)^(2))+11\cточка 72d+11\cточка 66\cточка 6 \крај (порамни)\]
Како што можете да видите, коефициентот на највисокиот член е 11 - ова е позитивен број, така што навистина се занимаваме со парабола со нагорни гранки:
распоред квадратна функција- парабола
Ве молиме имајте предвид: оваа парабола ја зема својата минимална вредност на нејзиното теме со апсцисата $((d)_(0))$. Се разбира, можеме да ја пресметаме оваа апсциса користејќи ја стандардната шема (постои формулата $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било многу поразумно да се забележи дека саканото теме лежи на симетријата на оската на параболата, затоа точката $((d)_(0))$ е еднакво оддалечена од корените на равенката $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(порамни) & f\left(d \десно)=0; \\ & 11\cdot \лево(d+66 \десно)\cdot \лево(d+6 \десно)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \крај (порамни)\]
Затоа не брзав особено да ги отворам заградите: во нивната оригинална форма, корените беа многу, многу лесно да се најдат. Затоа, апсцисата е еднаква на средната вредност аритметички броеви−66 и −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Што ни дава откриениот број? Со него бараниот производ добива најмала вредност (патем, никогаш не сме пресметале $((y)_(\min ))$ - тоа не се бара од нас). Во исто време, овој број е разликата на првобитната прогресија, т.е. го најдовме одговорот. :)
Одговор: −36
Задача бр.9. Помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ вметнете три броја така што заедно со овие броеви да формираат аритметичка прогресија.
Решение. Во суштина, треба да направиме низа од пет броеви, со првиот и последниот број веќе познати. Да ги означиме броевите што недостасуваат со променливите $x$, $y$ и $z$:
\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \десно\ ) \]
Забележете дека бројот $y$ е „средината“ на нашата низа - тој е подеднакво оддалечен од броевите $x$ и $z$ и од броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1) (6) $. И ако од бројките $x$ и $z$ сме во овој моментне можеме да добиеме $y$, тогаш ситуацијата е поинаква со краевите на прогресијата. Да се потсетиме на аритметичката средина:
Сега, знаејќи $y$, ќе ги најдеме преостанатите броеви. Забележете дека $x$ лежи помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$ што штотуку ги најдовме. Затоа
Користејќи слично размислување, го наоѓаме преостанатиот број:
Подготвени! Ги најдовме сите три броја. Да ги запишеме во одговорот по редоследот по кој треба да се вметнат меѓу оригиналните броеви.
Одговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Задача бр.10. Помеѓу броевите 2 и 42 вметнете неколку броеви кои заедно со овие броеви формираат аритметичка прогресија, ако знаете дека збирот на првиот, вториот и последниот од вметнати броеви е 56.
Решение. Уште повеќе тешка задача, која, сепак, се решава по истата шема како и претходните - преку аритметичката средина. Проблемот е што не знаеме точно колку броеви треба да се вметнат. Затоа, да претпоставиме за дефинитивно дека откако ќе се вметне сè ќе има точно $n$ броеви, а првиот од нив е 2, а последниот е 42. Во овој случај, потребната аритметичка прогресија може да се претстави во форма:
\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( а)_(n-1));42 \десно\)\]
\[((а)_(2))+((а)_(3))+(а)_(n-1))=56\]
Забележете, сепак, дека броевите $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се добиени од броевите 2 и 42 на рабовите за еден чекор еден кон друг, т.е. до центарот на низата. И ова значи дека
\[((а)_(2))+((а)_(n-1))=2+42=44\]
Но, тогаш изразот напишан погоре може да се преработи на следниов начин:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(2))+((а)_(3))+((а)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \десно)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \крај (порамни)\]
Знаејќи ги $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(3))-((а)_(1))=12-2=10; \\ & ((а)_(3))-((а)_(1))=\лево(3-1 \десно)\cточка d=2d; \\ & 2d=10\Десна стрелка d=5. \\ \крај (порамни)\]
Останува само да се најдат преостанатите термини:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=2; \\ & ((а)_(2))=2+5=7; \\ & ((а)_(3))=12; \\ & ((а)_(4))=2+3\cточка 5=17; \\ & ((а)_(5))=2+4\cточка 5=22; \\ & ((а)_(6))=2+5\cточка 5=27; \\ & ((а)_(7))=2+6\cточка 5=32; \\ & ((а)_(8))=2+7\cточка 5=37; \\ & ((а)_(9))=2+8\cточка 5=42; \\ \крај (порамни)\]
Така, веќе на 9-тиот чекор ќе стигнеме до левиот крај на низата - бројот 42. Вкупно требаше да се вметнат само 7 броеви: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Одговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Проблеми со зборови со прогресии
Како заклучок, би сакал да разгледам неколку релативно едноставни задачи. Па, толку едноставно: за повеќето ученици кои учат математика на училиште и не го прочитале она што е напишано погоре, овие проблеми може да изгледаат тешки. Сепак, ова се типови на проблеми што се појавуваат на ОГЕ и на Единствениот државен испит по математика, па затоа препорачувам да се запознаете со нив.
Задача бр.11. Тимот произведе 62 делови во јануари, а во секој следен месец произведоа 14 повеќе делови отколку во претходниот месец. Колку делови произведе тимот во ноември?
Решение. Очигледно, бројот на делови наведени по месеци ќе претставува зголемена аритметичка прогресија. Згора на тоа:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\лево(n-1 \десно)\cточка 14. \\ \крај (порамни)\]
Ноември е 11-тиот месец во годината, па затоа треба да најдеме $((a)_(11))$:
\[((а)_(11))=62+10\cточка 14=202\]
Затоа, во ноември ќе бидат произведени 202 делови.
Задача бр.12. Работилницата за сврзување во јануари врзала 216 книги, а во секој нареден месец врзала 4 книги повеќе од претходниот месец. Колку книги поврза работилницата во декември?
Решение. Се исто:
$\begin(порамни) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\лево(n-1 \десно)\cточка 4. \\ \крај (порамни)$
Декември е последниот, 12-ти месец во годината, затоа бараме $((a)_(12))$:
\[((а)_(12))=216+11\cточка 4=260\]
Ова е одговорот - во декември ќе бидат врзани 260 книги.
Па, ако сте прочитале досега, побрзам да ви честитам: успешно го завршивте „курсот на млад борец“ во аритметички прогресии. Можете безбедно да преминете на следната лекција, каде што ќе ја проучуваме формулата за збир на прогресија, како и важни и многу корисни последици од неа.
Во математиката, секоја збирка на броеви кои следат еден по друг, организирани на некој начин, се нарекува низа. Од сите постоечки низи на броеви, се разликуваат два интересни случаи: алгебарски и геометриски прогресии.
Што е аритметичка прогресија?
Веднаш треба да се каже дека алгебарската прогресија често се нарекува аритметика, бидејќи нејзините својства се изучуваат од гранката на математиката - аритметика.
Оваа прогресија е низа од броеви во кои секој следен член се разликува од претходниот со одреден константен број. Тоа се нарекува разлика на алгебарска прогресија. За определеност го означуваме со латинската буква d.
Пример за таква низа може да биде следниот: 3, 5, 7, 9, 11 ..., овде можете да видите дека бројот е 5 повеќе број 3 е 2, 7 е повеќе од 5 е исто така 2, и така натаму. Така, во прикажаниот пример, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Кои се видовите на аритметички прогресии?
Природата на овие подредени низи од броеви во голема мера е одредена од знакот на бројот d. Се разликуваат следниве видови алгебарски прогресии:
- се зголемува кога d е позитивен (d>0);
- константа кога d = 0;
- се намалува кога d е негативен (г<0).
Примерот даден во претходниот пасус покажува сè поголема прогресија. Пример за опаѓачка низа е следнава низа од броеви: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Константна прогресија, како што следува од нејзината дефиниција, е збир од идентични броеви.
n-ти рок на прогресија
Поради фактот што секој следен број во разгледуваната прогресија се разликува за константа d од претходниот, лесно може да се одреди неговиот n-ти член. За да го направите ова, треба да знаете не само d, туку и 1 - првиот член на прогресијата. Со помош на рекурзивен пристап, може да се добие алгебарска формула за прогресија за наоѓање на n-тиот член. Изгледа вака: a n = a 1 + (n-1)*d. Оваа формула е прилично едноставна и може да се разбере интуитивно.
Исто така, не е тешко да се користи. На пример, во прогресијата дадена погоре (d=2, a 1 =3), го дефинираме нејзиниот 35-ти член. Според формулата, тоа ќе биде еднакво на: a 35 = 3 + (35-1) * 2 = 71.
Формула за износ
Кога се дава аритметичка прогресија, збирот на неговите први n членови е често сретнуван проблем, заедно со одредување на вредноста на n-тиот член. Формулата за збир на алгебарска прогресија е напишана во следнава форма: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, овде иконата ∑ n 1 означува дека тие се сумирани од 1 до n-ти мандат.
Горенаведениот израз може да се добие со прибегнување кон својствата на истата рекурзија, но постои полесен начин да се докаже неговата валидност. Да ги запишеме првите 2 и последните 2 члена од оваа сума, изразувајќи ги со броевите a 1, a n и d и добиваме: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Сега забележете дека ако го додадеме првиот член на последниот, тој ќе биде точно еднаков на збирот на вториот и претпоследниот член, односно a 1 +a n. На сличен начин може да се покаже дека истиот збир може да се добие со собирање на третиот и претпоследниот член итн. Во случај на пар броеви во низата, добиваме n/2 збирови, од кои секоја е еднаква на 1 +a n. Односно, ја добиваме горната формула за алгебарска прогресија за збирот: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
За неспарен број на поими n, слична формула се добива ако го следите опишаното расудување. Само не заборавајте да го додадете преостанатиот термин, кој е во центарот на прогресијата.
Ајде да покажеме како да ја користиме горната формула користејќи го примерот на едноставна прогресија што беше воведена погоре (3, 5, 7, 9, 11 ...). На пример, неопходно е да се одреди збирот на неговите први 15 членови. Прво, да дефинираме 15. Користејќи ја формулата за n-тиот член (види го претходниот пасус), добиваме: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Сега можеме да ја примениме формулата за збир на алгебарска прогресија: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Интересно е да се наведе еден интересен историски факт. Формулата за збир на аритметичка прогресија првпат ја добил Карл Гаус (познатиот германски математичар од 18 век). Кога имал само 10 години, наставникот го замолил да го најде збирот на броевите од 1 до 100. Велат дека малиот Гаус ја решил оваа проблема за неколку секунди, забележувајќи дека со собирање на броевите од почетокот и крајот на низата во парови, секогаш можеш да добиеш 101, а бидејќи има 50 такви збирови, тој брзо го даде одговорот: 50*101 = 5050.
Пример за решение на проблемот
За да ја завршиме темата за алгебарска прогресија, ќе дадеме пример за решавање на друг интересен проблем, а со тоа ќе го зајакнеме разбирањето на темата што се разгледува. Нека е дадена одредена прогресија за која е позната разликата d = -3, како и нејзиниот 35 член a 35 = -114. Неопходно е да се најде 7-ми член од прогресијата a 7 .
Како што може да се види од условите на проблемот, вредноста на 1 е непозната, затоа нема да биде можно директно да се користи формулата за n-тиот член. Незгодно е и методот на рекурзија, кој е тешко да се имплементира рачно и постои голема веројатност да се направи грешка. Ајде да продолжиме на следниов начин: напишете ги формулите за 7 и 35, имаме: a 7 = a 1 + 6*d и a 35 = a 1 + 34*d. Од првиот израз го одземаме вториот, добиваме: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Следува: a 7 = a 35 - 28*d. Останува да се заменат познатите податоци од изјавата за проблемот и да се запише одговорот: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Геометриска прогресија
За поцелосно да ја откриеме темата на статијата, даваме краток опис на друг тип на прогресија - геометриска. Во математиката, ова име се подразбира како низа од броеви во кои секој следен член се разликува од претходниот за одреден фактор. Да го означиме овој фактор со буквата r. Се нарекува именител на видот на прогресија што се разгледува. Пример за оваа броена низа би бил: 1, 5, 25, 125, ...
Како што може да се види од горната дефиниција, алгебарските и геометриските прогресии се слични по идеја. Разликата меѓу нив е што првиот се менува побавно од вториот.
Геометриската прогресија исто така може да биде растечка, константна или опаѓачка. Неговиот тип зависи од вредноста на именителот r: ако r>1, тогаш има растечка прогресија, ако r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Формули за геометриска прогресија
Како и во случајот со алгебарската, формулите на геометриската прогресија се сведуваат на одредување на нејзиниот n-ти член и збирот од n членови. Подолу се овие изрази:
- a n = a 1 *r (n-1) - оваа формула следи од дефиницијата за геометриска прогресија.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Важно е да се забележи дека ако r = 1, тогаш горната формула дава несигурност, па затоа не може да се користи. Во овој случај, збирот од n членови ќе биде еднаков на едноставниот производ a 1 *n.
На пример, да го најдеме збирот на само 10 членови од низата 1, 5, 25, 125, ... Знаејќи дека a 1 = 1 и r = 5, добиваме: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Добиената вредност е јасен пример за тоа колку брзо расте геометриската прогресија.
Можеби првото спомнување на овој напредок во историјата е легендата за шаховската табла, кога пријател на еден султан, откако го научил да игра шах, побарал жито за неговата услуга. Згора на тоа, количината на зрното требаше да биде следна: едно зрно мора да се стави на првиот квадрат од шаховската табла, двојно повеќе на вториот од првиот, на третиот двојно повеќе од вториот итн. . Султанот доброволно се согласил да го исполни ова барање, но не знаел дека ќе мора да ги испразни сите канти на својата земја за да го одржи зборот.
Или аритметиката е тип на подредена нумеричка низа, чии својства се изучуваат во училишен курс за алгебра. Оваа статија детално го разгледува прашањето како да се најде збирот на аритметичка прогресија.
Каков вид на прогресија е ова?
Пред да преминете на прашањето (како да се најде збирот на аритметичка прогресија), вреди да се разбере за што зборуваме.
Секоја низа од реални броеви што се добива со собирање (одземање) некоја вредност од секој претходен број се нарекува алгебарска (аритметичка) прогресија. Оваа дефиниција, кога е преведена на математички јазик, ја има формата:
Еве јас - сериски бројелемент од серијата a i. Така, знаејќи само еден почетен број, можете лесно да ја вратите целата серија. Параметарот d во формулата се нарекува прогресивна разлика.
Лесно може да се покаже дека за серијата на броеви што се разгледуваат важи следнава еднаквост:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Односно, за да ја пронајдете вредноста на n-тиот елемент по редослед, треба да ја додадете разликата d на првиот елемент a 1 n-1 пати.
Колку изнесува збирот на аритметичка прогресија: формула
Пред да ја дадете формулата за наведената сума, вреди да се разгледа едноставен посебен случај. Со оглед на прогресијата на природните броеви од 1 до 10, треба да го пронајдете нивниот збир. Бидејќи има малку поими во прогресијата (10), можно е директно да се реши проблемот, односно да се сумираат сите елементи по ред.
S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.
Вреди да се разгледа една интересна работа: бидејќи секој член се разликува од следниот со иста вредност d = 1, тогаш парното собирање на првиот со десеттиот, вториот со деветтиот и така натаму ќе го даде истиот резултат. Навистина:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Како што можете да видите, има само 5 од овие збирови, односно точно два пати помалку од бројот на елементи на серијата. Потоа множејќи го бројот на збирови (5) со резултатот од секоја сума (11), ќе дојдете до резултатот добиен во првиот пример.
Ако ги генерализираме овие аргументи, можеме да го напишеме следниот израз:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Овој израз покажува дека воопшто не е потребно да се сумираат сите елементи по ред, доволно е да се знае вредноста на првиот a 1 и последниот a n, како и вкупниот број на членови n.
Се верува дека Гаус првпат размислувал за оваа еднаквост кога барал решение за проблем даден од неговиот учител во училиштето: збир на првите 100 цели броеви.
Збир на елементи од m до n: формула
Формулата дадена во претходниот пасус одговара на прашањето како да се најде збир на аритметичка прогресија (првите елементи), но често во проблемите е неопходно да се сумираат низа броеви во средината на прогресијата. Како да се направи тоа?
Најлесен начин да се одговори на ова прашање е со разгледување на следниов пример: нека биде неопходно да се најде збирот на членовите од m-тото до n-тото. За да ја решите задачата, треба да ја прикажете дадената отсечка од m до n на прогресијата во форма на нова бројна серија. Во ова претставување, m-тиот член a m ќе биде првиот, а a n ќе биде нумериран n-(m-1). Во овој случај, со примена на стандардната формула за збирот, ќе се добие следниов израз:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Пример за користење формули
Знаејќи како да се најде збирот на аритметичка прогресија, вреди да се разгледа едноставен пример за користење на горенаведените формули.
Подолу е дадено броена низа, треба да го најдете збирот на неговите поими, почнувајќи од 5-ти и завршувајќи со 12-ти:
Дадените бројки покажуваат дека разликата d е еднаква на 3. Користејќи го изразот за n-тиот елемент, можете да ги најдете вредностите на 5-тиот и 12-тиот член на прогресијата. Излегува:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Знаејќи ги вредностите на броевите на краевите на алгебарската прогресија што се разгледува, како и знаејќи кои броеви во серијата ги зафаќаат, можете да ја користите формулата за збирот добиен во претходниот пасус. Ќе испадне:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Вреди да се напомене дека оваа вредност може да се добие поинаку: прво пронајдете го збирот на првите 12 елементи користејќи ја стандардната формула, потоа пресметајте го збирот на првите 4 елементи користејќи ја истата формула, а потоа одземете го вториот од првиот збир.
На пример, низата \(2\); \(5\); \(8\); \(единаесет\); \(14\)... е аритметичка прогресија, бидејќи секој следен елемент се разликува од претходниот по три (може да се добие од претходниот со додавање три):
Во оваа прогресија, разликата \(d\) е позитивна (еднаква на \(3\)), и затоа секој следен член е поголем од претходниот. Ваквите прогресии се нарекуваат се зголемува.
Сепак, \(d\) може да биде и негативен број. На пример, во аритметичка прогресија \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... разликата во прогресијата \(d\) е еднаква на минус шест.
И во овој случај, секој следен елемент ќе биде помал од претходниот. Овие прогресии се нарекуваат се намалува.
Нотација на аритметичка прогресија
Напредокот е означен со мала латиница.
Броевите што формираат прогресија се нарекуваат членови(или елементи).
Тие се означуваат со иста буква како аритметичка прогресија, но со нумерички индекс еднаков на бројот на елементот по ред.
На пример, аритметичката прогресија \(a_n = \лево\( 2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\) се состои од елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така натаму.
Со други зборови, за прогресијата \(a_n = \лево\(2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\)
Решавање проблеми со аритметичка прогресија
Во принцип, информациите презентирани погоре се веќе доволни за да се реши речиси секој проблем со аритметичка прогресија (вклучувајќи ги и оние понудени во OGE).
Пример (OGE).
Аритметичката прогресија е специфицирана со условите \(b_1=7; d=4\). Најдете \(b_5\).
Решение:
Одговор: \(b_5=23\)
Пример (OGE).
Дадени се првите три члена на аритметичка прогресија: \(62; 49; 36…\) Најдете ја вредноста на првиот негативен член од оваа прогресија..
Решение:
|
Ни се дадени првите елементи од низата и знаеме дека тоа е аритметичка прогресија. Односно, секој елемент се разликува од својот сосед со ист број. Ајде да дознаеме кој со одземање на претходниот од следниот елемент: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Сега можеме да ја вратиме нашата прогресија до (првиот негативен) елемент што ни треба. |
|
|
Подготвени. Можете да напишете одговор. |
Одговор: \(-3\)
Пример (OGE).
Дадени се неколку последователни елементи на аритметичка прогресија: \(…5; x; 10; 12,5...\) Најдете ја вредноста на елементот означен со буквата \(x\).
Решение:
|
|
За да го пронајдеме \(x\), треба да знаеме колку следниот елемент се разликува од претходниот, со други зборови, разликата во прогресијата. Да го најдеме од два познати соседни елементи: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
И сега лесно можеме да го најдеме она што го бараме: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Подготвени. Можете да напишете одговор. |
Одговор: \(7,5\).
Пример (OGE).
Аритметичката прогресија е дефинирана со следните услови: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Најдете го збирот на првите шест членови од оваа прогресија.
Решение:
|
Треба да го најдеме збирот на првите шест члена од прогресијата. Но, не ги знаеме нивните значења, ни е даден само првиот елемент. Затоа, прво ги пресметуваме вредностите една по една, користејќи го она што ни е дадено: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Пронајдена е потребната сума. |
Одговор: \(S_6=9\).
Пример (OGE).
Во аритметичка прогресија \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Најдете ја разликата на оваа прогресија.
Решение:
Одговор: \(d=7\).
Важни формули за аритметичка прогресија
Како што можете да видите, многу проблеми за аритметичката прогресија можат да се решат едноставно со разбирање на главната работа - дека аритметичката прогресија е синџир од броеви, а секој следен елемент во овој синџир се добива со додавање на истиот број на претходниот (на разлика на прогресијата).
Сепак, понекогаш има ситуации кога одлучувањето „главно“ е многу незгодно. На пример, замислете дека во првиот пример не треба да го најдеме петтиот елемент \(b_5\), туку триста осумдесет и шестиот \(b_(386)\). Дали треба да додадеме четири \(385\) пати? Или замислете дека во претпоследниот пример треба да го најдете збирот на првите седумдесет и три елементи. Ќе ви здосади да броите...
Затоа, во такви случаи тие не ги решаваат работите „главно“, туку користат специјални формули изведени за аритметичка прогресија. А главните се формулата за n-тиот член на прогресијата и формулата за збир на \(n\) првите членови.
Формула на \(n\)тиот член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), каде што \(a_1\) е првиот член од прогресијата;
\(n\) – број на потребниот елемент;
\(a_n\) – член на прогресијата со број \(n\).
Оваа формула ни овозможува брзо да го најдеме дури тристатиот или милионитиот елемент, знаејќи го само првиот и разликата во прогресијата.
Пример.
Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Најдете \(b_(246)\).
Решение:
Одговор: \(b_(246)=1850\).
Формула за збир на првите n членови: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), каде
\(a_n\) – последниот сумиран член;
Пример (OGE).
Аритметичката прогресија е специфицирана со условите \(a_n=3,4n-0,6\). Најдете го збирот на првите \(25\) членови од оваа прогресија.
Решение:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
За да го пресметаме збирот на првите дваесет и пет члена, треба да ја знаеме вредноста на првиот и дваесет и петтиот член. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Сега да го најдеме дваесет и петтиот член со замена на дваесет и пет наместо \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Па, сега можеме лесно да ја пресметаме потребната сума. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Одговорот е подготвен. |
Одговор: \(S_(25)=1090\).
За збирот \(n\) од првите членови, можете да добиете друга формула: само треба да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) наместо \(a_n\) заменете ја формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Добиваме:
Формула за збир од првите n членови: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), каде
\(S_n\) – потребната сума од \(n\) првите елементи;
\(a_1\) – првиот сумиран член;
\(d\) – разлика во прогресијата;
\(n\) – број на елементи вкупно.
Пример.
Најдете го збирот на првите \(33\)-ex членови на аритметичката прогресија: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:
Одговор: \(S_(33)=-231\).
Покомплексни проблеми со аритметичка прогресија
Сега ги имате сите информации што ви се потребни за да го решите речиси секој проблем со аритметичката прогресија. Ајде да ја завршиме темата со разгледување на проблеми во кои не само што треба да примените формули, туку и да размислите малку (во математиката ова може да биде корисно ☺)
Пример (OGE).
Најдете го збирот на сите негативни членови на прогресијата: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Задачата е многу слична на претходната. Почнуваме да го решаваме истото: прво го наоѓаме \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Сега би сакал да го заменам \(d\) во формулата за збирот... и тука се појавува мала нијанса - не знаеме \(n\). Со други зборови, не знаеме колку термини ќе треба да се додадат. Како да дознаете? Ајде да размислиме. Ќе престанеме да додаваме елементи кога ќе го достигнеме првиот позитивен елемент. Тоа е, треба да го дознаете бројот на овој елемент. Како? Да ја запишеме формулата за пресметување на кој било елемент на аритметичка прогресија: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашиот случај. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Ни треба \(a_n\) да стане поголемо од нула. Ајде да дознаеме на што \(n\) ќе се случи ова. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|: 0,3\) |
Ние ги делиме двете страни на неравенката со \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Пренесуваме минус еден, не заборавајќи да ги смениме знаците |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Ајде да пресметаме... |
|
|
\(n>65.333…\) |
...и излегува дека првиот позитивен елемент ќе го има бројот \(66\). Според тоа, последниот негативен има \(n=65\). За секој случај, ајде да го провериме ова. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Значи, треба да ги додадеме првите \(65\) елементи. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Одговорот е подготвен. |
Одговор: \(S_(65)=-630,5\).
Пример (OGE).
Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Пронајдете го збирот од \(26\)-тиот до елементот \(42\) вклучувајќи го.
Решение:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Во овој проблем, исто така, треба да го пронајдете збирот на елементи, но почнувајќи не од првиот, туку од \(26\)-тиот. За таков случај немаме формула. Како да се одлучи? |
|
|
За нашата прогресија \(a_1=-33\), и разликата \(d=4\) (на крајот на краиштата, ги додаваме четирите на претходниот елемент за да го најдеме следниот). Знаејќи го ова, го наоѓаме збирот на првите \(42\)-y елементи. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Сега збирот на првите \(25\) елементи. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cточка 25=\) |
И, конечно, го пресметуваме одговорот. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Одговор: \(S=1683\).
За аритметичка прогресија, има уште неколку формули кои не ги разгледавме во оваа статија поради нивната мала практична корисност. Сепак, можете лесно да ги најдете.
Некои луѓе го третираат зборот „прогресија“ со претпазливост, како многу сложен термин од гранките на вишата математика. Во меѓувреме, наједноставната аритметичка прогресија е работата на таксиметарот (каде што сè уште постојат). И разбирањето на суштината (и во математиката нема ништо поважно од „разбирање на суштината“) на аритметичката низа не е толку тешко, имајќи анализирани неколку елементарни концепти.
Математичка бројна низа
Нумеричка низа обично се нарекува серија од броеви, од кои секоја има свој број.
a 1 е првиот член на низата;
и 2 е вториот член од низата;
и 7 е седмиот член од низата;
и n е n-тиот член на низата;
Сепак, ниеден произволен збир на бројки и бројки не нè интересира. Ќе го фокусираме нашето внимание на нумеричка низа во која вредноста на n-тиот член е поврзана со неговиот реден број со врска која може јасно да се формулира математички. Со други зборови: нумеричката вредност на n-тиот број е некоја функција на n.
a е вредност на член на нумеричка низа;
n е неговиот сериски број;
f(n) е функција, каде што редниот број во нумеричката низа n е аргументот.
Дефиниција
Аритметичката прогресија обично се нарекува нумеричка низа во која секој следен член е поголем (помал) од претходниот за ист број. Формулата за n-ти член на аритметичка низа е како што следува:
a n - вредноста на тековниот член на аритметичката прогресија;
a n+1 - формула на следниот број;
г - разлика (одреден број).
Лесно е да се одреди дека ако разликата е позитивна (d>0), тогаш секој следен член од серијата што се разгледува ќе биде поголем од претходниот и таквата аритметичка прогресија ќе се зголемува.
На графиконот подолу лесно може да се види зошто низата на броеви се нарекува „зголемување“.
Во случаи кога разликата е негативна (г<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Наведена вредност на членот
Понекогаш е неопходно да се одреди вредноста на кој било произволен член a n од аритметичка прогресија. Ова може да се направи со последователно пресметување на вредностите на сите членови на аритметичката прогресија, почнувајќи од првиот до саканиот. Сепак, оваа патека не е секогаш прифатлива ако, на пример, е неопходно да се најде вредноста на петилјадитиот или осуммилионитиот член. Традиционалните пресметки ќе потрае многу време. Сепак, одредена аритметичка прогресија може да се проучува со користење на одредени формули. Постои и формула за n-тиот член: вредноста на кој било член на аритметичка прогресија може да се определи како збир на првиот член на прогресијата со разликата на прогресијата, помножена со бројот на саканиот член, намалена за еден.
Формулата е универзална за зголемување и намалување на прогресијата.
Пример за пресметување на вредноста на даден член
Да го решиме следниов проблем за наоѓање на вредноста на n-тиот член на аритметичка прогресија.
Услов: постои аритметичка прогресија со параметри:
Првиот член од низата е 3;
Разликата во серијата на броеви е 1,2.
Задача: треба да ја пронајдете вредноста на 214 поими
Решение: за да ја одредиме вредноста на даден член, ја користиме формулата:
a(n) = a1 + d(n-1)
Заменувајќи ги податоците од изјавата за проблемот во изразот, имаме:
a(214) = a1 + d(n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Одговор: 214-от член од низата е еднаков на 258,6.
Предностите на овој метод на пресметка се очигледни - целото решение трае не повеќе од 2 реда.
Збир на даден број поими
Многу често, во дадена аритметичка серија, неопходно е да се одреди збирот на вредностите на некои од нејзините сегменти. За да го направите ова, исто така, нема потреба да се пресметуваат вредностите на секој член и потоа да се собираат. Овој метод е применлив ако бројот на поими чиј збир треба да се најде е мал. Во други случаи, попогодно е да се користи следнава формула.
Збирот на членовите на аритметичката прогресија од 1 до n е еднаков на збирот на првиот и n-тиот член, помножен со бројот на членот n и поделен со два. Ако во формулата вредноста на n-тиот член се замени со изразот од претходниот став на статијата, добиваме:
Пример за пресметка
На пример, да решиме проблем со следниве услови:
Првиот член од низата е нула;
Разликата е 0,5.
Проблемот бара да се одреди збирот на термините од серијата од 56 до 101.
Решение. Да ја користиме формулата за одредување на количината на прогресија:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Прво, го одредуваме збирот на вредностите на 101 член на прогресијата со замена на дадените услови на нашиот проблем во формулата:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525
Очигледно, за да се дознае збирот на условите на прогресијата од 56-та до 101-та, потребно е да се одземе S 55 од S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Така, збирот на аритметичката прогресија за овој пример е:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Пример за практична примена на аритметичка прогресија
На крајот од статијата, да се вратиме на примерот на аритметичка низа дадена во првиот пасус - таксиметар (таксиметар). Да го разгледаме овој пример.
Качувањето во такси (кое вклучува 3 километри патување) чини 50 рубли. Секој следен километар се плаќа по стапка од 22 рубли/км. Растојанието на патување е 30 км. Пресметајте ги трошоците за патувањето.
1. Да ги отфрлиме првите 3 км, чија цена е вклучена во цената на слетувањето.
30 - 3 = 27 км.
2. Понатамошното пресметување не е ништо повеќе од парсирање на аритметичка бројна серија.
Број на член - број на поминати километри (минус првите три).
Вредноста на членот е збирот.
Првиот термин во овој проблем ќе биде еднаков на 1 = 50 рубли.
Разлика во прогресијата d = 22 r.
бројот што нè интересира е вредноста на (27+1)-тиот член на аритметичката прогресија - отчитувањето на метар на крајот на 27-ми километар е 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Пресметките на податоците од календарот за произволно долг период се засноваат на формули кои опишуваат одредени нумерички секвенци. Во астрономијата, должината на орбитата е геометриски зависна од растојанието на небесното тело до ѕвездата. Покрај тоа, различни серии на броеви успешно се користат во статистиката и другите применети области од математиката.
Друг тип на низа на броеви е геометриска
Геометриската прогресија се карактеризира со поголеми стапки на промени во споредба со аритметичката прогресија. Не случајно во политиката, социологијата и медицината, за да се покаже големата брзина на ширење на одредена појава, на пример, болест за време на епидемија, велат дека процесот се развива во геометриска прогресија.
N-тиот член од серијата на геометриски броеви се разликува од претходниот по тоа што се множи со некој константен број - именителот, на пример, првиот член е 1, именителот е соодветно еднаков на 2, тогаш:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - вредноста на тековниот член на геометриската прогресија;
b n+1 - формула на следниот член на геометриската прогресија;
q е именителот на геометриската прогресија (константен број).
Ако графикот на аритметичка прогресија е права линија, тогаш геометриската прогресија дава малку поинаква слика:
Како и во случајот со аритметиката, геометриската прогресија има формула за вредноста на произволен член. Секој n-ти член од геометриска прогресија е еднаков на производот од првиот член и именителот на прогресијата до моќта на n намален за еден:
Пример. Имаме геометриска прогресија со првиот член еднаков на 3 и именителот на прогресијата еднаков на 1,5. Да го најдеме 5-тиот член на прогресијата
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Збирот на даден број членови исто така се пресметува со помош на посебна формула. Збирот на првите n членови на геометриската прогресија е еднаков на разликата помеѓу производот на n-тиот член на прогресијата и неговиот именител и првиот член од прогресијата, поделен со именителот намален за еден:
Ако b n се замени со формулата дискутирана погоре, вредноста на збирот на првите n членови од броената серија што се разгледува ќе ја има формата:
Пример. Геометриската прогресија започнува со првиот член еднаков на 1. Именителот е поставен на 3. Да го најдеме збирот на првите осум члена.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
