Читање на графикот на изводот на функцијата. Општ час на тема: „Користење на изводот и неговиот график за читање на својствата на функциите“ Цели на часот: Развијте специфични вештини за работа. Објаснување на концептот на графика, техника на читање

Назад напред

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Цели на лекцијата:

Образовни: Да се зајакнат вештините на учениците за работа со графикони на функции во подготовка за обединет државен испит.

Развојно: да се развие когнитивниот интерес на учениците за академски дисциплини, способноста да го применат своето знаење во пракса.

Образовни: негувајте внимание, точност, проширете ги хоризонтите на учениците.

Опрема и материјали: компјутер, екран, проектор, презентација „Читање графикони. Единствен државен испит“

За време на часовите

1. Фронтална анкета.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Како се нарекува график на функција, домен на дефиниција и опсег на вредности на функција? Определете го доменот на дефиниција и опсегот на вредностите на функциите.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Која функција се нарекува парни, непарни, својства на графиците на овие функции?

2. Решение на вежби

1) <Презентация. Слайд 7>.

Периодична функција. Дефиниција.

Решете ја задачата: Даден е график на периодична функција, x припаѓа на интервалот [-2;1]. Пресметај f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Решавање на неравенки со помош на графикони на функции.

а) Решете ја неравенката f(x) 0 ако на сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) дадена на интервалот [-7;6]. Опции за одговори: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

б) На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x), назначена на отсечката [-4;7]. Наведете ги сите вредности на X за кои важи неравенката f(x) -1.

[-0,5;3], 2) [-0,5;3] U, 3) [-4; 0,5] U +, 4) [-4;0,5]

в) На сликата се прикажани графикони на функциите y=f(x), и y=g(x), назначени на интервалот [-3;6]. Наведете ги сите вредности на X за кои важи неравенката f(x) g(x).

[-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U+, 4) [-3;-1] У

3) <Презентация. Слайд 11>.

Зголемување и намалување на функции

Една од сликите покажува график на функција која се зголемува на сегментот , а другата - се намалува на сегментот [-2;0]. Ве молиме наведете ги овие цртежи.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Експоненцијални и логаритамски функции

а) Наведете го условот за зголемување и намалување на експоненцијалните и логаритамските функции. Низ која точка минуваат графиците на експоненцијални и логаритамски функции, какви својства имаат графиците на овие функции?

б) На една од сликите е прикажан график на функцијата y=2 -x Наведете ја оваа слика .

Графикот на експоненцијалната функција поминува низ точката (0, 1) Бидејќи основата на степенот е помала од 1, оваа функција мора да се намалува. (бр. 3)

в) На една од сликите е прикажан график на функцијата y=log 5 (x-4). Наведете го бројот на овој распоред.

Графикот на логаритамската функција y=log 5 x поминува низ точката (1;0) , тогаш, ако x -4 = 1, тогаш y = 0, x = 1 + 4, x=5. (5;0) – точка на пресек на графикот со оската OX. Ако x -4 = 5 , тогаш y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Наоѓање на бројот на тангенти на графикот на функција од графикот на нејзиниот извод

а) Функцијата y=f(x) е дефинирана на интервалот (-6;7). Сликата покажува график на изводот на оваа функција. Сите тангенти паралелни на правата y=5-2x (или се совпаѓаат со неа) се нацртани на графикот на функцијата. Наведете го бројот на точки на графикот на функцијата на која се нацртани овие тангенти.

K = tga = f’(x o). Според условот k=-2.Затоа, f’(x o) =-2. Цртаме права y=-2. Го пресекува графикот во две точки, што значи дека тангентите на функцијата се нацртани во две точки.

б) Функцијата y=f(x) е дефинирана на интервалот [-7;3]. Сликата покажува график на неговиот дериват. Најдете го бројот на точки на графикот на функцијата y=f(x) кај кои тангентите на графикот се паралелни со оската x или се совпаѓаат со неа.

Аголниот коефициент на прави линии паралелни со оската на апсцисата или што се совпаѓаат со неа е нула. Затоа, K=tg a = f `(x o)=0. Оската OX го пресекува овој график на четири точки.

в) Функција y=f(x)дефинирана на интервалот (-6;6). Сликата покажува график на неговиот дериват. Најдете го бројот на точки на графикот на функцијата y=f(x) при кои тангентите на графикот се наклонети под агол од 135° во однос на позитивната насока на оската x.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Наоѓање на наклонот на тангента од графиконот на изводот на функцијата

а) Функцијата y=f(x) е дефинирана на интервалот [-2;6]. Сликата покажува график на изводот на оваа функција. Наведете ја апсцисата на точката во која тангентата на графикот на функцијата y=f(x) има најмал наклон.

k=tga=f’(x o). Изводот на функцијата ја зема најмалата вредност y=-3 во точката x=2. Според тоа, тангентата на графикот има најмал наклон во точката x=2

б) Функцијата y=f(x) е дефинирана на интервалот [-7;3]. Сликата покажува график на изводот на оваа функција. Наведете ја апсцисата на точката во која тангентата на графикот на функцијата y=f(x) има најголема аголен коефициент.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Наоѓање на вредноста на изводот од графикот на функцијата

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) и тангентата на неа во точката со апсциса x o. Најдете ја вредноста на изводот f `(x) во точка x o

f’(x o) =tga. Бидејќи на сликата a е тап агол, тогаш tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Наоѓање на минимумот (максимумот) на функцијата од графикот на нејзиниот извод

Во точката x=4 изводот го менува знакот од минус во плус. Ова значи дека x=4 е минималната точка на функцијата y=f(x)

Во точката x=1 изводот се менува од плус во минус . Ова значи дека x=1 е точка максимумфункција=f(x))

3. Самостојна работа

<Презентация. Слайд 22>.

1 Опција

1) Најдете го доменот на дефиниција на функцијата.

2) Решете ја неравенката f(x) 0

3) Определете ги интервалите на намалување на функцијата.

4) Најдете ги минималните точки на функцијата.

5) Наведете ја апсцисата на точката во која тангентата на графикот на функцијата y=f(x) има најголем наклон.

Опција 2

1) Најдете го опсегот на вредности на функцијата.

2) Решете ја неравенката f(x) 0

3) Определете ги интервалите на зголемување на функцијата.

График на изводот на функцијата y=f(x)

4) Најдете ги максималните точки на функцијата.

5) Наведете ја апсцисата на точката во која тангентата на графикот на функцијата y=f(x) има најмал наклон.

4. Сумирање на лекцијата

Тема: Општ преглед на предметот по математика. Подготовка за испити

Лекција: Читање график на функции. Решавање проблеми Б2

Во нашиот живот, графиконите се наоѓаат доста често, земете, на пример, временска прогноза, која е претставена во форма на график на промени во некои индикатори, на пример, температура или јачина на ветерот со текот на времето. Не размислуваме двапати кога ја читаме оваа табела, иако можеби е првпат да читаме табела во нашите животи. Можете исто така да дадете пример на графикон за промени на девизните курсеви со текот на времето и многу други примери.

Значи, првиот графикон што ќе го разгледаме.

Ориз. 1. Илустрација на графиконот 1

Како што можете да видите, графикот има 2 оски. Оската што е насочена кон десно (хоризонтална) се нарекува оска . Оската што е насочена нагоре (вертикална) се нарекува оска .

Прво, да ја погледнеме оската. Во овој графикон, бројот на вртежи во минута на одреден автомобилски мотор е прикажан по оваа оска. Може да биде еднаква и сл. Има и поделби на оваа оска, некои од нив се означени со бројки, некои од нив се средни и не се означени. Лесно е да се погоди дека првата поделба од нула е , третата е итн.

Сега да ја погледнеме оската. На овој график, по оваа оска се нацртани нумеричките вредности на Њутн на метар (), вредностите на вртежниот момент, кои се еднакви итн. Во овој случај, цената на поделбата е еднаква на .

Сега да се свртиме кон самата функција (на линијата што е претставена на графиконот). Како што можете да видите, оваа линија одразува колку Њутни на метар, односно колкав вртежен момент ќе има при одредена брзина на моторот во минута. Ако ја земеме вредноста 1000 вртежи во минута. и од оваа точка на графикот одиме налево, ќе видиме дека линијата минува низ точката 20, односно вредноста на вртежниот момент при 1000 вртежи во минута ќе биде еднаква (слика 2.2).

Ако ја земеме вредноста од 2000 вртежи во минута, тогаш линијата ќе помине веќе во точката (слика 2.2).

Ориз. 2. Определување на вртежниот момент според бројот на вртежи во минута

Сега замислете дека нашата задача е да ја најдеме најголемата вредност од овој график. Ние ја бараме највисоката точка (), соодветно, најниската вредност на вртежниот момент во овој графикон ќе се смета за 0. За да ја пронајдете највисоката вредност на функцијата на графикот, треба да ја земете предвид највисоката вредност што функцијата ја достигнува на вертикалата оска. Гледаме која вредност е најголема и гледаме по вертикалната оска колкав ќе биде најголемиот постигнат број. Ако зборуваме за најмалата вредност, тогаш ја земаме, напротив, најниската точка и ја гледаме нејзината вредност долж вертикалната оска.

Ориз. 3. Најголемата и најмалата вредност на функцијата според графикот

Најголемата вредност во овој случај е, а најмалата вредност, соодветно, е 0. Важно е да не се збунува и правилно да се означи максималната вредност, некои укажуваат на максималната вредност од 4000 вртежи во минута, ова не е максималната вредност, туку точката при што се зема максималната вредност (точка максимум), најголемата вредност е точно .

Треба да обрнете внимание и на вертикалната оска, нејзините мерни единици, односно, на пример, ако наместо Њутни на метар () беа назначени стотици Њутни на метар (), максималната вредност ќе треба да се помножи со сто , итн.

Најголемите и најмалите вредности на функцијата се многу тесно поврзани со изводот на функцијата.

Ако функцијата се зголемува на сегментот што се разгледува, тогаш изводот на функцијата на овој сегмент е позитивен или еднаков на нула на конечен број точки, најчесто е едноставно позитивен. Слично, ако функцијата се намалува на сегментот што се разгледува, тогаш изводот на функцијата на овој сегмент е негативен или еднаков на нула на конечен број точки. Обратно е точно и во двата случаи.

Следниот пример има одредени потешкотии поради ограничувањето на хоризонталната оска. Неопходно е да се најде најголемата и најмалата вредност на наведениот сегмент.

Графиконот ја прикажува промената на температурата со текот на времето. На хоризонталната оска гледаме време и денови, а на вертикалната ја гледаме температурата. Неопходно е да се одреди највисоката температура на воздухот на 22 јануари, односно треба да го земеме предвид не целиот графикон, туку делот што се однесува на 22 јануари, односно од 00:00 часот 22 јануари до 00:00 часот на 23 јануари.

Ориз. 4. График за промена на температурата

Со ограничување на графикот, ни станува очигледно дека максималната температура одговара на точката.

Даден е графикон на температурни промени во текот на три дена. На волската оска - времето од денот и денот во месецот, на оската ој - температурата на воздухот во степени Целзиусови.

Треба да го разгледаме не целиот распоред, туку делот што се однесува на 13 јули, односно од 00:00 часот 13 јули до 00:00 часот 14 јули.

Ориз. 5. Илустрација за дополнителен пример

Ако не ги внесете ограничувањата опишани погоре, може да добиете неточен одговор, но во даден интервал максималната вредност е очигледна: , и се постигнува во 12:00 часот на 13 јули.

Пример 3: одреди на кој датум паднале пет милиметри дожд за прв пат:

Графиконот покажува дневни врнежи во Казан од 3 февруари до 15 февруари 1909 година. Хоризонтално се прикажуваат деновите во месецот, а вертикално се прикажува количината на врнежи во милиметри.

Ориз. 6. Дневни врнежи

Да почнеме по ред. На 3-ти гледаме дека падна нешто повеќе од 0, но помалку од 1 мм. врнежи, 4 мм врнежи паднаа на 4-ти, итн. Бројот 5 првпат се појавува на 11-тиот ден. За погодност, можете практично да нацртате права линија спроти петте; за прв пат ќе ја премине табелата на 11 февруари, ова е точниот одговор.

Пример 4: одреди на кој датум цената на унца злато била најниска

Графиконот ја прикажува цената на златото при затворањето на берзата за секој ден од 5 март до 28 март 1996 година. Деновите во месецот се прикажуваат хоризонтално, вертикално,

соодветно, цената на унца злато во американски долари.

Линиите меѓу точките се исцртуваат само за јасност; информациите се пренесуваат исклучиво од самите точки.

Ориз. 7. Графикон на промени на цената на златото на берзата

Дополнителен пример: одреди во која точка на сегментот функцијата ја зема најголемата вредност:

На графиконот е даден изводот на одредена функција.

Ориз. 8. Илустрација за дополнителен пример

Дериватот е дефиниран на интервалот

Како што можете да видите, изводот на функцијата на даден сегмент е негативен и е еднаков на нула во левата гранична точка. Како што знаеме, ако изводот на функцијата е негативен, тогаш функцијата на интервалот што се разгледува се намалува, затоа, нашата функција се намалува на целиот интервал што се разгледува, во овој случај, ја зема најголемата вредност во најлевата граница. Одговор: период.

Значи, го разгледавме концептот на график на функција, проучувавме кои се оските на графикот, како да се најде вредноста на функцијата од графикот, како да се најде најголемата и најмалата вредност.

Мордкович А.Г. Алгебра и почеток на математичка анализа. - М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравин О.В. Алгебра и почеток на математичка анализа. - М.: Бустард.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на математичката анализа. - М.: Просветителство.

Единствен државен испит ().
Фестивал на педагошки идеи ().
Студирањето е лесно.RF ().

Дијаграмот (Слика 9) ја покажува просечната месечна температура на воздухот во Екатеринбург (Свердловск) за секој месец од 1973 година. Хоризонталната оска ги означува месеците, а вертикалната ја означува температурата во степени Целзиусови. Од дијаграмот се определи најниската просечна месечна температура во периодот од мај до декември 1973 година заклучно со. Дајте го вашиот одговор во степени Целзиусови.

Ориз. 9. Табела за температура

Користејќи го истиот графикон (слика 9), утврдете ја разликата помеѓу највисоките и најниските просечни месечни температури во 1973 година. Дајте го вашиот одговор во степени Целзиусови.
Графиконот (слика 10) го прикажува процесот на загревање на мотор со внатрешно согорување на амбиентална температура од 15 степени. Оската на апсцисата го покажува времето во минути што поминало од стартувањето на моторот, а оската y ја покажува температурата на моторот во степени Целзиусови. Товарот може да се поврзе со моторот кога температурата на моторот ќе достигне 45 степени. Колкав е минималниот број минути што треба да се чекаат пред да се поврзе товарот со моторот?

Ориз. 10. Распоред на загревање на моторот

Следно, на часот, препорачливо е да се разгледа една клучна задача: користејќи го дадениот график на изводот, учениците мора да дојдат до (се разбира, со помош на наставникот) различни прашања поврзани со својствата на самата функција. Природно, овие прашања се дискутираат, по потреба се коригираат, сумираат, се запишуваат во тетратка, по што започнува фазата на решавање на овие задачи. Овде е неопходно да се осигура дека учениците не само што го даваат точниот одговор, туку се способни да го аргументираат (докажат), користејќи ги соодветните дефиниции, својства и правила.
Да дадеме пример за таква задача: на таблата (на пример, со помош на проектор), на учениците им е претставен графикон на изводот; врз основа на тоа се формулирани 10 задачи (не се отфрлени целосно точни или дупликат прашања).
Функцијата y = f(x) е дефинирана и континуирана на интервалот [–6; 6].
Користејќи го графикот на изводот y = f"(x), определи:

1) бројот на интервали на растечка функција y = f(x);
2) должината на интервалот на опаѓачка функција y = f(x);
3) бројот на екстремни точки на функцијата y = f(x);
4) максимална точка на функцијата y = f(x);
5) критична (стационарна) точка на функцијата y = f(x), која не е екстремна точка;
6) апсцисата на графичката точка во која функцијата y = f(x) ја зема најголемата вредност на отсечката;
7) апсцисата на графичката точка во која функцијата y = f(x) ја зема најмалата вредност на отсечката [–2; 2];
8) бројот на точки во графикот на функцијата y = f(x), кај кои тангентата е нормална на оската Oy;
9) бројот на точки на графикот на функцијата y = f(x), при кој тангентата формира агол од 60° со позитивната насока на оската Ox;
10) апсцисата на графичката точка на функцијата y = f(x), при која наклонот на тангентата зема најмала вредност.
Одговори: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
За да ги зајакнат вештините за проучување на својствата на функцијата, учениците можат дома да преземат задача поврзана со читање на истиот график, но во едниот случај тоа е график на функција, а во другиот график на нејзиниот извод.

Написот е објавен со поддршка на форумот на системски администратори и програмери. На „CyberForum.ru“ ќе најдете форуми за теми како програмирање, компјутери, дискусија за софтвер, веб програмирање, наука, електроника и апарати за домаќинство, кариера и бизнис, рекреација, луѓе и општество, култура и уметност, дом и економија, автомобили , мотоцикли и многу повеќе. На форумот можете да добиете бесплатна помош. Можете да дознаете повеќе на веб-страницата, која се наоѓа на: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Функцијата y = f(x) е дефинирана и континуирана на интервалот [–6; 5]. Сликата покажува:
а) график на функцијата y = f(x);
б) график на изводот y = f"(x).
Од распоредот одреди:
1) минимални точки на функцијата y = f(x);
2) бројот на интервали на опаѓачка функција y = f(x);
3) апсцисата на графичката точка на функцијата y = f(x), при која зема најголема вредност на отсечката;
4) бројот на точки на графикот на функцијата y = f(x) кај кои тангентата е паралелна со оската Ox (или се совпаѓа со неа).
Одговори:
а) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
б) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
За да извршите контрола, можете да организирате работа во парови: секој ученик однапред подготвува изводен график на картичка за својот партнер и подолу нуди 4-5 прашања за да ги одреди својствата на функцијата. За време на часовите, тие разменуваат картички, ги завршуваат предложените задачи, по што секој ја проверува и оценува работата на партнерот.

Тема: Општ преглед на предметот по математика. Подготовка за испити

Лекција: Читање график на функции. Решавање проблеми Б2

1. Објаснување на концептот на графикон, техника на читање

Значи, првиот графикон што ќе го разгледаме.

Ориз. 1. Илустрација на графиконот 1

Ако ја земеме вредноста од 2000 вртежи во минута, тогаш линијата ќе помине веќе во точката (слика 2.2).

Ориз. 2. Определување на вртежниот момент според бројот на вртежи во минута

2. Концептот на максимални и минимални вредности, метод за наоѓање максимални и минимални вредности на функција од графикон

Ориз. 3. Најголемата и најмалата вредност на функцијата според графикот

Најголемите и најмалите вредности на функцијата се многу тесно поврзани со изводот на функцијата.

3. Дополнителни информации за дериватната функција

4. Решавање примери со ограничување по оската OX

Ориз. 4. График за промена на температурата

Со ограничување на графикот, ни станува очигледно дека максималната температура одговара на точката.

5. Дополнителен пример, задача од Единствен државен испит

Ориз. 5. Илустрација за дополнителен пример

6. Решавање на други примери за читање на графикот на функција

Пример 3: одреди на кој датум паднале пет милиметри дожд за прв пат:

Ориз. 6. Дневни врнежи

Пример 4: одреди на кој датум цената на унца злато била најниска

соодветно, цената на унца злато во американски долари.

Линиите меѓу точките се исцртуваат само за јасност; информациите се пренесуваат исклучиво од самите точки.

Ориз. 7. Графикон на промени на цената на златото на берзата

7. Решение на дополнителен пример

Дополнителен пример: одреди во која точка на сегментот функцијата ја зема најголемата вредност:

На графиконот е даден изводот на одредена функција.

Ориз. 8. Илустрација за дополнителен пример

Дериватот е дефиниран на интервалот

Мордкович А.Г. Алгебра и почетоците на математичката анализа. - М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравин О. В. Алгебра и почетоците на математичката анализа. - М.: Бустард. Колмогоров А. - М.: Просветителство.

Единствен државен испит. Фестивал на педагошки идеи. Студирањето е лесно. RF.

Дијаграмот (Слика 9) ја покажува просечната месечна температура на воздухот во Екатеринбург (Свердловск) за секој месец од 1973 година. Хоризонталната оска ги означува месеците, а вертикалната ја означува температурата во степени Целзиусови. Од дијаграмот се определи најниската просечна месечна температура во периодот од мај до декември 1973 година заклучно со. Дајте го вашиот одговор во степени Целзиусови.

Ориз. 9. Табела за температура

Користејќи го истиот графикон (слика 9), утврдете ја разликата помеѓу највисоките и најниските просечни месечни температури во 1973 година. Дајте го вашиот одговор во степени Целзиусови. Графиконот (слика 10) го прикажува процесот на загревање на мотор со внатрешно согорување на амбиентална температура од 15 степени. Оската на апсцисата го покажува времето во минути што поминало од стартувањето на моторот, а оската y ја покажува температурата на моторот во степени Целзиусови. Товарот може да се поврзе со моторот кога температурата на моторот ќе достигне 45 степени. Колкав е минималниот број минути што треба да се чекаат пред да се поврзе товарот со моторот?

Ориз. 10. Распоред на загревање на моторот

Општ час на тема: „Користење на изводот и неговиот график за читање на својствата на функциите“ Цели на часот: Развијте специфични вештини за работа со графикот на дериватна функција за нивна употреба при полагање на Единствениот државен испит; Развијте ја способноста за читање на својствата на функцијата од графиконот на нејзиниот извод Подгответе се за тестот

Ажурирање на основните знаења 3. Врска помеѓу вредностите на изводот, наклонот на тангентата, аголот помеѓу тангентата и позитивната насока на оската OX Изводот на функцијата во точката на тангенција е еднаков на наклонот на тангентата нацртана на графикот на функцијата во оваа точка, односно тангентата на аголот на наклонетост на тангентата на позитивната насока на апсцисата на оската. Ако дериватот е позитивен, тогаш аголниот коефициент е позитивен, тогаш аголот на наклонетост на тангентата на оската OX е остар. Ако дериватот е негативен, тогаш аголниот коефициент е негативен, тогаш аголот на наклонетост на тангентата на оската OX е тап. Ако изводот е нула, тогаш наклонот е нула, тогаш тангентата е паралелна со оската OX

0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f (x) 0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f(x) 7Ажурирање на основните знаења Доволни знаци на монотоност на функција. Ако f (x) > 0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f (x) 0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f (x) 0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f (x) 0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f (x) 0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f (x) title="Ажурирање на позадинското знаење Доволни знаци на монотоност на функцијата. Ако f (x) > 0 во секоја точка од интервалот (a, b), тогаш функцијата f (x) се зголемува m на овој интервал. Ако f(x)

Ажурирање на референтното знаење Внатрешните точки од доменот на дефиниција на функцијата кај кои изводот е еднаков на нула или не постои се нарекуваат критични точки на оваа функција. Само во овие точки функцијата може да има екстрем (минимум или максимум, Сл. 5а, б). Во точките x 1, x 2 (слика 5а) и x 3 (сл. 5б) дериватот е 0; во точките x 1, x 2 (сл. 5б) изводот не постои. Но, сите тие се екстремни точки. 5. Примена на изводот за одредување критични точки и екстремни точки

Ажурирање на основните знаења Неопходен услов за екстрем. Ако x 0 е екстремната точка на функцијата f(x) и изводот на f постои во оваа точка, тогаш f(x 0)=0. Оваа теорема е неопходен услов за екстрем. Ако изводот на функцијата во одредена точка е еднаков на 0, тоа не значи дека функцијата има екстрем во оваа точка. На пример, изводот на функцијата f (x) = x 3 е еднаков на 0 при x = 0, но оваа функција во оваа точка нема екстремум.Од друга страна, функцијата y = | x | има минимум на x = 0, но изводот не постои во овој момент. Доволни услови за екстрем. Ако изводот, кога минува низ точката x 0, го промени својот знак од плус во минус, тогаш x 0 е максималната точка. Ако изводот, кога минува низ точката x 0, го промени својот знак од минус во плус, тогаш x 0 е минималната точка. 6. Неопходни и доволни услови за екстрем

Ажурирање на референтното знаење Минималните и максималните вредности на континуираната функција f(x) може да се постигнат и во внатрешните точки на сегментот [a; в], и на неговите краеви. Ако овие вредности се постигнат во внатрешните точки на сегментот, тогаш овие точки се екстремни точки. Затоа, неопходно е да се најдат вредностите на функцијата во екстремните точки од сегментот [a; в], на краевите на отсечката и споредете ги. 7. Користење на изводот за наоѓање на најголемата и најмалата вредност на функцијата

1. Развој на знаења, вештини и способности за темата Користејќи ги следните податоци дадени во табелата, окарактеризирајте го однесувањето на функцијата. Измамник за практична работа x(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Карактеристики на однесувањето на функцијата 1.ОДЗ: x припаѓа на интервалот од -3 до +; 2.Се зголемува во интервали (-3;0) и (8;+); 3.Намалува во интервали (0;8); 4.Х=0 – максимален бод; 5.Х=4 – точка на флексија; 6.Х=8 – минимален бод; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

5. Развој на знаења, вештини и способности на темата Функцијата y = f(x) е дефинирана и континуирана на интервалот [–6; 6]. Формулирајте 10 прашања за да ги одредите својствата на функцијата од графикот на изводот y = f"(x). Ваша задача не е само да го дадете точниот одговор, туку вешто да го аргументирате (докажувате), користејќи соодветни дефиниции, својства , и правила.

Список на прашања (поправен) 1) број на интервали на растечка функција y = f(x); 2) должината на интервалот на опаѓачка функција y = f(x); 3) бројот на екстремни точки на функцијата y = f(x); 4) максимална точка на функцијата y = f(x); 5) критична (стационарна) точка на функцијата y = f(x), која не е екстремна точка; 6) апсцисата на графичката точка во која функцијата y = f(x) ја зема најголемата вредност на отсечката; 7) апсцисата на графичката точка во која функцијата y = f(x) ја зема најмалата вредност на отсечката [–2; 2]; 8) бројот на точки во графикот на функцијата y = f(x), кај кои тангентата е нормална на оската OU; 9) бројот на точки на графикот на функцијата y = f(x), при кој тангентата формира агол од 60° со позитивната насока на оската OX; 10) апсцисата на графичката точка на функцијата y = f(x), во која наклонот е Одговор: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) -2.

Тестирање (Б8 од Единствениот државен испит) 1. Задачите за тестирање се претставени на слајдовите. 2. Внесете ги вашите одговори во табелата. 3. По завршувањето на тестот, разменете ги листовите со одговори и проверете ја работата на вашиот сосед користејќи ги готовите резултати; оцени. 4. Разгледуваме и дискутираме за проблематичните задачи заедно.

На графикот на функцијата y =f(x) во нејзината точка се црта тангента со апсцисата x 0 =2. Определи го наклонот на тангентата ако на сликата е прикажан график на изводот на оваа функција. Функцијата y=f(x) е дефинирана на интервалот (-5;5). Сликата покажува график на изводот на оваа функција. Најдете го бројот на точки на графикот на функцијата на која тангентите се паралелни на оската x. 1

Функцијата е дефинирана на интервалот (-5;6). Сликата покажува график на неговиот дериват. Наведете го бројот на точки во кои тангентите се наклонети под агол од 135° во однос на позитивната насока на оската x. Функцијата е дефинирана на интервалот (-6;6). Сликата покажува график на неговиот дериват. Наведете го бројот на точки чии тангенти се наклонети под агол од 45° во однос на позитивната насока на оската x.

Функцијата y = f(x) е дефинирана на интервалот [-6;6]. Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Наведете го бројот на интервали на растечка функција y = f(x) на отсечката [-6;6]. Функцијата y = f(x) е дефинирана на интервалот [-5;5]. Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Наведете го бројот на максимални точки на функцијата y = f(x) на отсечката [-5;5].

На интервалот е дефинирана функцијата y = f(x). Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Наведете го бројот на минимални точки на функцијата y =f(x) на отсечката. Функцијата y = f(x) е дефинирана на интервалот [-6;6]. Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Наведете го бројот на интервали на опаѓачка функција y=f(x) на отсечката [-6;6]. ab

Функцијата y = f(x) е дефинирана на интервалот [-6;6]. Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Најдете ги интервалите на зголемување на функцијата y = f(x) на отсечката [-6;6]. Во вашиот одговор, наведете ја најкратката должина на овие интервали. Функцијата y = f(x) е дефинирана на интервалот [-5;5]. Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Најдете ги интервалите на намалување на функцијата y = f(x) на отсечката [-5;5]. Во вашиот одговор, наведете ја најголемата од должините на овие интервали.

Функцијата y = f(x) е дефинирана на интервалот [-5;4]. Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Определете ја најмалата од оние вредности на X во кои функцијата има максимум. Функцијата y = f(x) е дефинирана на интервалот [-5;5]. Графикот на неговиот дериват е прикажан на сликата. Определете ја најмалата од оние вредности на X на кои функцијата има минимум.

На интервалот (-6,6) е дефинирана функцијата y = f(x) На сликата е прикажан изводот на оваа функција. Најдете ја минималната точка на функцијата. На интервалот (-6,7) е дефинирана функцијата y = f(x) На сликата е прикажан изводот на оваа функција. Најдете ја максималната точка на функцијата.

Решение за задача 19 Користејќи го графикот на изводот на функцијата y = f(x), најдете ја вредноста на функцијата во точката x = 5 ако f(6) = 8 За x 3 f (x) =k=3, затоа на овој интервал тангентата е дадена со формулата y =3x+b. Вредноста на функцијата на допирната точка се совпаѓа со вредноста на тангентата. По услов f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Одговор: 5

Сумирање на часот Ја испитувавме врската помеѓу монотоноста на функцијата и знакот на нејзиниот извод и доволни услови за постоење на екстрем. Испитавме различни задачи за читање на графикот на изводна функција, кои се наоѓаат во текстовите на унифицираниот државен испит. Сите задачи што ги разгледавме се добри бидејќи не одземаат многу време за да се завршат. За време на обединетиот државен испит, ова е многу важно: брзо и правилно запишете го одговорот.

Домашна задача: задача што вклучува читање на истиот график, но во едниот случај тоа е графикот на функцијата, а во другиот графикот на нејзиниот извод. Функцијата y = f(x) е дефинирана и континуирана на интервалот [–6; 5]. Сликата покажува: а) график на функцијата y = f(x); б) график на изводот y = f"(x). Од графикот определи: 1) минималната точка на функцијата y = f(x); 2) бројот на интервали на опаѓачка функција y = f(x) 3) апсцисата на точката на графикот на функцијата y = f (x), во која ја зема најголемата вредност на отсечката; 4) бројот на точки на графикот на функцијата y = f(x) , на која тангентата е паралелна со оската OX (или се совпаѓа со неа).

Литература 1. Учебник Алгебра и почеток на анализа, одделение 11. ЦМ. Николски, М.К. Потапов и други.Москва. „Просветителство“ обединет државен испит математика. Типични тест задачи. 3. Водич за интензивна подготовка за испит по математика. Дипломирање, влез, Унифициран државен испит на +5. М. „ВАКО“ Интернет ресурси.