Површината на триаголникот е еднаква на половина од производот на неговите страни и синусот на аголот меѓу нив.
Доказ:
Размислете за произволен триаголник ABC. Нека страната BC = a, страната CA = b и S е плоштината на овој триаголник. Тоа е неопходно да се докаже S = (1/2)*a*b*sin(C).
За почеток, да воведеме правоаголен координатен систем и да го поставиме потеклото на координатите во точката C. Да го поставиме нашиот координатен систем така што точката B лежи на позитивната насока на оската Cx, а точката A има позитивна ордината.
Ако сè е направено правилно, треба да го добиете следниот цртеж.
Површината на даден триаголник може да се пресмета со следнава формула: S = (1/2)*а*ч, каде што h е висината на триаголникот. Во нашиот случај, висината на триаголникот h е еднаква на ординатата на точката А, односно h = b*sin(C).
Земајќи ги предвид добиените резултати, формулата за плоштина на триаголник може да се преработи на следниов начин: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.
Решавање на проблем
Задача 1. Најдете ја областа триаголник ABC, ако а) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, агол A = 60 степени б) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, агол B = 45 степени в) AC = 14 cm, CB = 7 cm, агол C = 48 степени.
Според теоремата докажана погоре, плоштината S на триаголникот ABC е еднаква на:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Ајде да ги направиме пресметките:
а) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.
б) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.
в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.
Ја пресметуваме вредноста на синусот на аголот на калкулатор или ги користиме вредностите од табелата со вредности тригонометриски агли. Одговор:
а) 12*√6 cm^2.
в) приближно 36,41 cm^2.
Задача 2. Плоштината на триаголникот ABC е 60 cm^2. Најдете страна AB ако AC = 15 cm, агол A = 30˚.
Нека S е плоштината на триаголникот ABC. Според теоремата за плоштина на триаголник имаме:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Ајде да ги замениме вредностите што ги имаме во него:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
Од тука ја изразуваме должината на страната AB: AB = (60*4)/15 = 16.
Ако проблемот ги дава должините на двете страни на триаголникот и аголот меѓу нив, тогаш можете да ја примените формулата за плоштината на триаголникот низ синусот.
Пример за пресметување на плоштината на триаголник со помош на синус. Дадените страни се a = 3, b = 4 и аголот γ = 30°. Синус на агол од 30° е 0,5 
Областа на триаголникот ќе биде 3 квадратни метри. цм.
Може да има и други услови. Ако се дадени должината на едната страна и аглите, тогаш прво треба да го пресметате аголот што недостасува. Бидејќи збирот на сите агли на триаголник е 180°, тогаш:
Плоштината ќе биде еднаква на половина од квадратот на страната помножена со дропот. Неговиот броител е производ на синусите на соседните агли, а неговиот именител е синусот од спротивниот агол. Сега ја пресметуваме областа користејќи ги следните формули:
На пример, даден е триаголник со страна a=3 и агли γ=60°, β=60°. Пресметај го третиот агол: 
Замена на податоците во формулата
Откривме дека плоштината на триаголникот е 3,87 квадратни метри. цм.
II. Плоштина на триаголник низ косинус
За да ја пронајдете плоштината на триаголникот, треба да ги знаете должините на сите страни. Користејќи ја теоремата на косинус, можете да најдете непознати страни и дури потоа да ги користите.
Според косинусната теорема, квадратот на непознатата страна на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на преостанатите страни минус двапати од производот на овие страни и косинусот на аголот меѓу нив.
Од теоремата извлекуваме формули за пронаоѓање на должината на непознатата страна:
Знаејќи како да ја пронајдете страната што недостасува, имајќи две страни и аголот меѓу нив, можете лесно да ја пресметате областа. Формулата за плоштина на триаголник низ косинус помага брзо и лесно да се најде решението различни задачи.
Пример за пресметување на формулата за плоштина на триаголник со помош на косинус
Даден е триаголник со познати страни a = 3, b = 4 и агол γ = 45°. Прво, да ја најдеме страната што недостасува Со. Косинус 45°=0,7. За да го направите ова, ние ги заменуваме податоците во равенката изведена од косинусовата теорема.
Сега користејќи ја формулата, наоѓаме
Во животот често ќе треба да се справуваме математички проблеми: на училиште, на универзитет, а потоа му помагате на вашето дете да заврши домашна работа. Луѓето од одредени професии секојдневно ќе се среќаваат со математиката. Затоа, корисно е да се запаметат или да се потсетат математичките правила. Во оваа статија ќе анализираме еден од нив: наоѓање на ногата правоаголен триаголник.
Што е правоаголен триаголник
Прво, да се потсетиме што е правоаголен триаголник. Правоаголен триаголник е геометриска фигураод три отсечки кои поврзуваат точки кои не лежат на иста права линија, а еден од аглите на оваа бројка е 90 степени. Страните што формираат прав агол се нарекуваат нозе, а страната што лежи спротивна прав агол- хипотенуза.
Наоѓање на кракот на правоаголен триаголник
Постојат неколку начини да ја дознаете должината на ногата. Би сакал да ги разгледам подетално.
Питагорова теорема за наоѓање на страната на правоаголен триаголник
Ако ги знаеме хипотенузата и кракот, тогаш можеме да ја најдеме должината на непознатиот крак користејќи ја Питагоровата теорема. Звучи вака: „Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на нозете“. Формула: c²=a²+b², каде што c е хипотенузата, a и b се краките. Ја трансформираме формулата и добиваме: a²=c²-b².
Пример. Хипотенузата е 5 cm, а кракот е 3 cm Ја трансформираме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². Следно решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Тригонометриски соодноси за да се најде кракот на правоаголен триаголник
Може да најдете и непозната катета ако се познати која било друга страна и кој било остар агол на правоаголен триаголник. Постојат четири опции за наоѓање на ногата користејќи тригонометриски функции: по синус, косинус, тангента, котангента. Табелата подолу ќе ни помогне да ги решиме проблемите. Ајде да ги разгледаме овие опции.
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на синус
Синус на агол (грев) е односот на спротивната страна со хипотенузата. Формула: sin=a/c, каде што a е кракот спроти дадениот агол, а c е хипотенузата. Следно, ја трансформираме формулата и добиваме: a=sin*c.
Пример. Хипотенузата е 10 см, аголот А е 30 степени. Користејќи ја табелата, го пресметуваме синусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Потоа, користејќи ја трансформираната формула решаваме: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на косинус
Косинусот на аголот (cos) е односот на соседната катета со хипотенузата. Формула: cos=b/c, каде што b е кракот во непосредна близина на даден агол, а c е хипотенузата. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: b=cos*c.
Пример. Аголот А е еднаков на 60 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см Користејќи ја табелата, го пресметуваме косинусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Следно решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник користејќи тангента
Тангента на аголот (tg) е односот на спротивната страна со соседната страна. Формула: tg=a/b, каде што a е страната спротивна на аголот, а b е соседната страна. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: a=tg*b.
Пример. Аголот А е еднаков на 45 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см.. Со помош на табелата ја пресметуваме тангентата на аголот А, таа е еднаква на Решете: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на котангенс
Аголниот котангенс (ctg) е односот на соседната страна со спротивната страна. Формула: ctg=b/a, каде што b е кракот во непосредна близина на аголот и е спротивната катета. Со други зборови, котангентата е „превртена тангента“. Добиваме: b=ctg*a.
Пример. Аголот А е 30 степени, спротивниот крак е 5 см.Според табелата, тангентата на аголот А е √3. Пресметуваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Значи, сега знаете како да најдете крак во правоаголен триаголник. Како што можете да видите, не е толку тешко, главната работа е да ги запомните формулите.
Синус е една од основните тригонометриски функции, чија употреба не е ограничена само на геометријата. Табелите за пресметување на тригонометриските функции, како инженерските калкулатори, не се секогаш при рака, а пресметувањето на синусот понекогаш е потребно за да се решат различни проблеми. Општо земено, пресметувањето на синусот ќе помогне да се консолидираат вештините за цртање и знаењето за тригонометриските идентитети.
Игри со линијар и молив
Едноставна задача: како да се најде синус на агол нацртан на хартија? За да го решите, ќе ви треба редовен владетел, триаголник (или компас) и молив. Наједноставниот начин да се пресмета синусот на аголот е со делење на далечната катета на триаголникот со прав агол со долгата страна - хипотенузата. Така, прво треба да го комплетирате акутниот агол до обликот на правоаголен триаголник со цртање права нормална на еден од зраците на произволно растојание од темето на аголот. Ќе треба да одржиме агол од точно 90°, за што ни треба свештенички триаголник.
Користењето на компас е малку попрецизно, но ќе потрае повеќе време. На еден од зраците треба да означите 2 точки на одредено растојание, прилагодете го радиусот на компасот, приближно еднакво на растојаниепомеѓу точките и нацртајте полукругови со центри во овие точки додека не се добијат пресеците на овие прави. Со поврзување на пресечните точки на нашите кругови едни со други, добиваме строга нормална на зракот на нашиот агол; останува само да ја продолжиме линијата додека не се вкрсти со друг зрак.
Во добиениот триаголник, треба да користите линијар за да ја измерите страната спроти аголот и долгата страна на еден од зраците. Односот на првата димензија до втората ќе биде саканата вредност на синусот на акутниот агол.
Најдете го синусот за агол поголем од 90°
За тап аголзадачата не е многу потешка. Треба да нацртаме зрак од темето во спротивна насока со помош на линијар за да формираме права линија со еден од зраците на аголот што нè интересира. Добиениот остар агол треба да се третира како што е опишано погоре; синусите на соседните агли кои заедно формираат обратен агол од 180° се еднакви.
Пресметување синус користејќи други тригонометриски функции
Исто така, пресметувањето на синусот е можно ако се познати вредностите на другите тригонометриски функции на аголот или барем должините на страните на триаголникот. Во тоа ќе ни помогнат тригонометриските идентитети. Ајде да погледнеме во вообичаени примери.
Како да се најде синус со познат косинус на агол? Првиот тригонометриски идентитет, заснован на Питагоровата теорема, вели дека збирот на квадратите на синусот и косинусот од истиот агол е еднаков на еден.
Како да се најде синус со позната тангента на агол? Тангентата се добива со делење на далечната страна со блиската или со делење на синусот со косинус. Така, синусот ќе биде производ на косинусот и тангентата, а квадратот на синусот ќе биде квадратот на овој производ. Квадратниот косинус го заменуваме со разликата помеѓу еден и квадратниот синус според првиот тригонометриски идентитети преку едноставни манипулации ја намалуваме равенката на пресметување на квадратниот синус низ тангентата; соодветно, за да го пресметате синусот, ќе треба да го извлечете коренот на добиениот резултат.
Како да се најде синус со познат котангенс на агол? Вредноста на котангенсот може да се пресмета со делење на должината на кракот најблиску до аголот со должината на далечниот, како и делење на косинус со синусот, односно котангенсот е функција инверзна на тангентата релативна до бројот 1. За да го пресметате синусот, можете да ја пресметате тангентата користејќи ја формулата tg α = 1 / ctg α и да ја користите формулата во втората опција. Можете исто така да изведете директна формула по аналогија со тангента, која ќе изгледа вака.
Како да се најде синус на три страни на триаголник
Постои формула за наоѓање на должината на непознатата страна на кој било триаголник, а не само правоаголен триаголник, од две познати страни користејќи ја тригонометриската функција на косинус од спротивниот агол. Таа изгледа вака.
странатриаголник може да се открие не само долж периметарот и областа, туку и по дадена страна и агли. За ова се користат тригонометриски функции - синуси ко синус. Проблемите поврзани со нивната употреба се наоѓаат во училишен курсгеометрија, како и на универзитетскиот курс по аналитичка геометрија и линеарна алгебра.
Инструкции
1. Ако знаете една од страните на триаголникот и аголот помеѓу него и неговата друга страна, користете тригонометриски функции - синусом и ко синусом Замислете правоаголен триаголник, NBC, чиј агол е? еднаква на 60 степени. Триаголникот NBC е прикажан на сликата. Поради синус, како што е познато, е односот на спротивната страна со хипотенузата и синус– односот на соседната катета со хипотенузата; за да го решите проблемот, користете ја следнава врска помеѓу овие параметри: sin ? = НB/BC Според тоа, ако сакате да ја дознаете катетата на правоаголен триаголник, изразете ја преку хипотенузата на следниот начин: НB = BC*sin?
2. Ако во исказот на проблемот, напротив, е дадена катета на триаголникот, пронајдете ја неговата хипотенуза, водејќи се од понатамошната врска помеѓу дадените величини: BC = НB/sin?По аналогија, најдете ги страните на триаголникот и користејќи ко синуси, менувајќи го претходниот израз на следниов начин: cos ? = HC/BC
3. Во елементарната математика постои претстава на теоремата синусов. Водени од фактите што ги опишува оваа теорема, можно е да се откријат и страните на триаголникот. Покрај тоа, ви овозможува да ги откриете страните на триаголникот впишан во круг ако го знаете радиусот на вториот. За да го направите ова, користете ја врската дадена подолу:a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RОваа теорема е применлива кога се познати две страни и агол на триаголник, или еден од аглите на триаголникот и даден е радиусот на кругот опкружен околу него. .
4. Покрај теоремата синус ov, постои и една теорема која во суштина е слична на неа синус ov, кој, како и претходниот, е применлив и за триаголници од сите 3 сорти: правоаголни, остри и тапи. Водени од фактите кои ја докажуваат оваа теорема, можно е да се пронајдат непознати величини користејќи ги следните врски меѓу нив: c^2=a^2+b^2-2ab*cos?
Геометриска фигура која се состои од три бода, кои не припаѓаат на една права, наречена темиња, и три парови отсечки што ги поврзуваат, наречени страни, се нарекува триаголник. Има многу проблеми за наоѓање на страните и аглите на триаголникот со ограничен број првични податоци, еден од овие проблеми е наоѓање на страната на триаголникот со една од неговите страни и две аглите .
Инструкции
1. Нека се конструира триаголник?ABC и познатата страна BC и аглите?? и??.Се знае дека збирот на аглите на кој било триаголник е 180?, значи во триаголникот?АБЦ агол?? ќе бидат еднакви?? = 180? – (?? + ??). Страните AC и AB може да се најдат со помош на синусната теорема, која вели AB/sin?? = п.н.е/грев?? = AC/грев?? = 2 * R, каде што R е радиусот на кругот опишан околу триаголникот?ABC, тогаш добиваме R = BC/sin??, AB = 2 * R * sin??, AC = 2 * R * sin?? Синусната теорема може да се користи кога има секакви податоци на 2 агли и страни.
2. Страните на даден триаголник може да се најдат со пресметување на неговата површина со помош на формулата S = 2 * R? *грев?? *грев?? * sin??, каде што R се пресметува со формулата R = BC/sin??, R е радиусот на опишаниот триаголник? ABC од тука Потоа страна AB може да се открие со пресметување на висината спуштена на ith = BC * sin??, потоа со помош на формулата S = 1/2 * h * AB имамеAB = 2 * S/hНа сличен начин, можно е да се пресмета страна AC.
3. Ако надворешните агли на триаголник се дадени како агли?? и??, тогаш е можно да се детектираат внатрешните агли со поддршка на соодветните релации?? = 180? – ???,??? = 180? – ???,??? = 180? – (?? + ??) Потоа продолжуваме слично на првите две точки.
Разбирањето на триаголниците го спроведуваат математичарите неколку илјади години. Науката за триаголниците - тригонометрија - користи посебни количини: синус и косинус.
Правоаголен триаголник
Првично, синусот и косинусот произлегоа од потребата да се пресметаат количините во правоаголни триаголници. Беше забележано дека ако степенот на мерката на аглите во правоаголен триаголник не се промени, тогаш односот на страните, без разлика колку овие страни се менуваат во должина, останува непроменливо идентичен.Така се воведени претставите на синус и косинус. Синус на остар агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата, а косинус е односот на страната соседна на хипотенузата.
Теореми на косинусите и синусите
Но, косинусите и синусите може да се користат за повеќе од правоаголни триаголници. За да се открие вредноста на тап или остар агол, страната на кој било триаголник, доволно е да се примени теоремата на косинусите и синусите.Теоремата на косинусите е прилично примитивна: „Квадратот на страната на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите 2 страни минус двојниот производ на овие страни со косинус на аголот меѓу нив. Постојат две толкувања на синусната теорема: мала и проширена. Според малолетникот: „Во триаголник, аглите се пропорционални на спротивните страни“. Оваа теоремачесто се проширува поради својството на ограничениот круг на триаголник: „Во триаголник, аглите се пропорционални на спротивните страни, а нивниот однос е еднаков на дијаметарот на ограничениот круг“.
Деривати
Изводот е математичка алатка која покажува колку брзо функцијата се менува во однос на метаморфозата на нејзиниот аргумент. Дериватите се користат во алгебрата, геометријата, економијата и физиката и голем број технички дисциплини. Кога решавате проблеми, треба да ги знаете табеларните вредности на дериватите на тригонометриските функции: синус и косинус. Дериватот на синус е косинус, а косинус е синус, но со знак минус.
Примена во математика
Синусите и косинусите особено често се користат при решавање правоаголни триаголници и проблеми поврзани со нив. Практичноста на синусите и косинусите се рефлектира и во технологијата. Беше примитивно да се проценат аглите и страните користејќи ги теоремите на косинусите и синусите, разложувајќи тешки форми и предмети во „примитивни“ триаголници. Инженери и архитекти кои често се занимаваат со пресметки на односот и степен мерки, потроши многу време и напор за пресметување на косинусите и синусите на нетабеларните агли. Тогаш на помош дојдоа табелите на Брадис, кои содржат илјадници вредности на синуси, косинуси, тангенти и котангенти од различни агли. ВО советско временекои наставници ги принудуваа своите ученици да ги научат страниците од табелите Брадис напамет.
