4.3.1 Дефиниција на линеарен простор

Нека ā , , - елементи на некое множество ā , , Л и λ , μ - реални бројки, λ , μ Р..

Множеството L се нарекувалинеарна иливекторски простор, ако се дефинираат две операции:

1 0 . Додаток. Секој пар на елементи од ова множество е поврзан со елемент од истото множество, наречен нивен збир

ā + =

2°.Множење со број. Било кој реален број λ и елемент ā Лодговара на елемент од истото множество λ ā Ли следните својства се задоволни:

1. à+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. постои нула елемент
, така што ā +=ā ;

4. постои спротивен елемент -
такви што ā +(-ā )=.

Ако λ , μ - реални броеви, тогаш:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Елементи на линеарен простор à, , ... се нарекуваат вектори.

Вежбајте.Покажете си дека овие множества формираат линеарни простори:

1) Множество од геометриски вектори на рамнина;

2) Многу геометриски вектори во тродимензионален простор;

3) Множество полиноми од одреден степен;

4) Збир на матрици со иста димензија.

4.3.2 Линеарно зависни и независни вектори. Димензии и основа на просторот

Линеарна комбинација вектори ā 1 , ā 2 , …, ā n Лсе нарекува вектор од истиот простор на формата:

,

Каде λ Јас сум вистински бројки.

Вектори ā 1 , .. , ā n се нарекуваатлинеарно независна, ако нивната линеарна комбинација е нулта вектор ако и само ако сите λјас се еднакви на нула,тоа е

λ i =0

Ако линеарната комбинација е нула вектор и барем еден од λ јасе различна од нула, тогаш овие вектори се нарекуваат линеарно зависни. Последново значи дека барем еден од векторите може да се претстави како линеарна комбинација на други вектори. Навистина, дури и ако, на пример,
. Потоа,
, Каде

.

Се нарекува максимално линеарно независен подреден систем на вектори основа простор Л. Се нарекува бројот на основни вектори димензија простор.

Да претпоставиме дека има nлинеарно независни вектори, тогаш се нарекува просторот n-димензионални. Другите просторни вектори може да се претстават како линеарна комбинација nосновни вектори. По основа n- може да се земе димензионален простор било кој nлинеарно независни вектори на овој простор.

Пример 17.Најдете ја основата и димензијата на овие линеарни простори:

а) множество вектори што лежат на права (колинеарна на некоја права)

б) збир на вектори кои припаѓаат на рамнината

в) збир на вектори на тродимензионален простор

г) збир на полиноми со степен не поголем од два.

Решение.

А)Сите два вектори кои лежат на права линија ќе бидат линеарно зависни, бидејќи векторите се колинеарни
, Тоа
, λ - скаларен. Следствено, основата на даден простор е само еден (било кој) вектор различен од нула.

Обично овој простор е назначен Р, неговата димензија е 1.

б)кои било два неколинеарни вектори
ќе бидат линеарно независни, а сите три вектори на рамнината ќе бидат линеарно независни. За кој било вектор , има бројки И такви што
. Просторот се нарекува дводимензионален, означен со Р 2 .

Основата на дводимензионалниот простор е формирана од кои било два неколинеарни вектори.

V)Сите три некомпланарни вектори ќе бидат линеарно независни, тие ја формираат основата на тродимензионалниот простор Р 3 .

G)Како основа за просторот на полиноми со степен не поголем од два, можеме да ги избереме следните три вектори: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 е полином идентично еднаков на еден). Овој простор ќе биде тридимензионален.

Линеарна (векторска)Простор е множество V од произволни елементи наречени вектори, во кои се дефинираат операциите на собирање вектори и множење на вектор со број, т.е. на кои било два вектори \mathbf(u) и (\mathbf(v)) им е доделен вектор \mathbf(u)+\mathbf(v), наречен збир на вектори \mathbf(u) и (\mathbf(v)), кој било вектор (\mathbf(v)) и кој било број \lambda од полето на реални броеви \mathbb(R) е поврзан со вектор \lambda\mathbf(v), наречен производ на векторот \mathbf(v) со бројот \lambda ; па се исполнети следните услови:


1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\во V(комутативност на собирање);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\за сите \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\во V(асоцијативност на додавање);
3. постои елемент \mathbf(o)\ во V , наречен вектор нула, така што \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\во V;
4. за секој вектор (\mathbf(v)) постои вектор наречен спротивно на векторот \mathbf(v) така што \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\во V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ во\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( Р);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\во V.


Се нарекуваат условите 1-8 аксиоми на линеарен простор. Знакот за еднаквост поставен помеѓу векторите значи дека левата и десната страна на еднаквоста го претставуваат истиот елемент од множеството V; таквите вектори се нарекуваат еднакви.


Во дефиницијата за линеарен простор, операцијата на множење на вектор со број е воведена за реални броеви. Таков простор се нарекува линеарен простор над полето на реални броеви, или накратко, вистински линеарен простор. Ако во дефиницијата, наместо полето \mathbb(R) од реални броеви, го земеме полето сложени броеви \mathbb(C) , тогаш добиваме линеарен простор над полето сложени броеви, или накратко, комплексен линеарен простор. Како бројно поле, можеме да го избереме и полето \mathbb(Q) од рационални броеви и во овој случај добиваме линеарен простор над полето рационални броеви. Во продолжение, освен ако не е поинаку наведено, ќе се земат предвид реалните линеарни простори. Во некои случаи, за краткост, ќе зборуваме за простор, испуштајќи го зборот линеарно, бидејќи сите простори дискутирани подолу се линеарни.

Белешки 8.1


1. Аксиомите 1-4 покажуваат дека линеарен простор е комутативна група во однос на операцијата собирање.


2. Аксиомите 5 и 6 ја одредуваат дистрибутивноста на операцијата за множење вектор со број во однос на операцијата на собирање вектори (аксиома 5) или на операцијата на собирање броеви (аксиома 6). Аксиомата 7, понекогаш наречена закон за асоцијативно множење со број, ја изразува врската помеѓу две различни операции: множење вектор со број и множење броеви. Својството дефинирано со Аксиома 8 се нарекува унитарност на операцијата на множење на вектор со број.


3. Линеарниот простор е непразно множество, бидејќи нужно содржи нула вектор.


4. Операциите на собирање вектори и множење на вектор со број се нарекуваат линеарни операции на вектори.


5. Разликата помеѓу векторите \mathbf(u) и \mathbf(v) е збирот на векторот \mathbf(u) со спротивниот вектор (-\mathbf(v)) и се означува: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).


6. Два не-нула вектори \mathbf(u) и \mathbf(v) се нарекуваат колинеарни (пропорционални) ако има број \ламбда таков што \mathbf(v)=\ламбда \mathbf(u). Концептот на колинеарност се протега на кој било конечен број вектори. Нултиот вектор \mathbf(o) се смета за колинеарен со кој било вектор.

Последици на аксиомите на линеарниот простор

1. Во линеарниот простор има само еден нула вектор.


2. Во линеарен простор, за кој било вектор \mathbf(v)\во V постои единствен спротивен вектор (-\mathbf(v))\во V.


3. Производот на произволен простор вектор и бројот нула е еднаков на нултиот вектор, т.е. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\во V.


4. Производот на нулта вектор по кој било број е еднаков на нула вектор, односно за кој било број \ламбда.


5. Векторот спротивен на даден вектор е еднаков на производот на овој вектор со бројот (-1), т.е. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\во V.


6. Во изразите на формата \mathbf(a+b+\ldots+z)(збир на конечен број вектори) или \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(производ на вектор и конечен број фактори) можете да ги поставите заградите по кој било редослед или воопшто да не ги наведете.


Да ги докажеме, на пример, првите две својства. Уникатност на векторот нула. Ако \mathbf(o) и \mathbf(o)" се два вектори нула, тогаш со аксиома 3 добиваме две еднаквости: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"или \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), чии леви страни се еднакви според аксиома 1. Следствено, и десните страни се еднакви, т.е. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Уникатност на спротивниот вектор. Ако векторот \mathbf(v)\ во V има два спротивни вектори (-\mathbf(v)) и (-\mathbf(v))", тогаш со аксиоми 2, 3,4 ја добиваме нивната еднаквост:


(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).


Останатите својства се докажуваат на сличен начин.

Примери на линеарни простори

1. Да означиме \(\mathbf(o)\) - множество кое содржи еден нула вектор, со операциите \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)И \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). За посочените операции, аксиомите 1-8 се задоволени. Следствено, множеството \(\mathbf(o)\) е линеарен простор над кое било бројно поле. Овој линеарен простор се нарекува нула.


2. Да означиме V_1,\,V_2,\,V_3 - множества вектори (насочени отсечки) на права линија, на рамнина, во простор, соодветно, со вообичаените операции на собирање вектори и множење вектори со број. Исполнувањето на аксиомите 1-8 на линеарниот простор следи од текот на елементарната геометрија. Следствено, множествата V_1,\,V_2,\,V_3 се вистински линеарни простори. Наместо слободни вектори, можеме да ги разгледаме соодветните множества на вектори на радиус. На пример, множество вектори на рамнина кои имаат заедничко потекло, т.е. исцртано од една фиксна точка на рамнината е вистински линеарен простор. Множеството радиусни вектори со единечна должина не формира линеарен простор, бидејќи за кој било од овие вектори збирот \mathbf(v)+\mathbf(v)не припаѓа на множеството што се разгледува.


3. Да означиме \mathbb(R)^n - множество матрици-колони со големини n\times1 со операции за собирање матрици и множење на матрици со број. Аксиомите 1-8 од линеарниот простор се задоволени за овој сет. Нултиот вектор во ова множество е нултата колона o=\почеток(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Следствено, множеството \mathbb(R)^n е вистински линеарен простор. Слично на тоа, множество од \mathbb(C)^n колони со големина n\times1 со сложени елементи е сложен линеарен простор. Множеството матрици на колони со ненегативни реални елементи, напротив, не е линеарен простор, бидејќи не содржи спротивни вектори.


4. Да означиме \(Ax=o\) - множество решенија на хомоген систем Ax=o линеарни алгебарски равенки со и непознати (каде A е вистинската матрица на системот), сметано како множество од колони од големини n\times1 со операции на собирање матрици и множење на матрици со број . Забележете дека овие операции се навистина дефинирани во множеството \(Ax=o\) . Од Својството 1 на растворите до хомоген систем (види Дел 5.5) следува дека збирот на два раствори на хомоген систем и производот од неговиот раствор по број се исто така раствори на хомоген систем, т.е. припаѓаат на множеството \(Ax=o\) . Аксиомите на линеарен простор за колони се задоволени (види точка 3 во примери на линеарни простори). Според тоа, множеството решенија на хомоген систем е вистински линеарен простор.


Множеството \(Ax=b\) решенија на нехомогениот систем Ax=b,~b\ne o, напротив, не е линеарен простор, само затоа што не содржи нула елемент (x=o е не е решение за нехомогениот систем).


5. Да означиме M_(m\times n) - множество матрици со големина m\time n со операции на собирање матрици и множење на матрици со број. Аксиомите 1-8 од линеарниот простор се задоволени за овој сет. Нултиот вектор е нулта матрица O со соодветни големини. Според тоа, множеството M_(m\times n) е линеарен простор.


6. Да означиме P(\mathbb(C)) - множество полиноми на една променлива со сложени коефициенти. Операциите на собирање многу членови и множење на полином со број што се смета за полином со степен нула се дефинирани и ги задоволуваат аксиомите 1-8 (особено, нула вектор е полином кој е идентично еднаков на нула). Според тоа, множеството P(\mathbb(C)) е линеарен простор над полето сложени броеви. Множеството P(\mathbb(R)) на полиноми со реални коефициенти е исто така линеарен простор (но, се разбира, над полето на реални броеви). Множеството P_n(\mathbb(R)) од полиноми со степен најмногу n со реални коефициенти е исто така реален линеарен простор. Забележете дека операцијата на собирање на многу членови е дефинирана на ова множество, бидејќи степенот на збирот на полиномите не ги надминува степените на членовите.


Множеството полиноми од степен n не е линеарен простор, бидејќи збирот на таквите полиноми може да испадне дека е полином со понизок степен што не припаѓа на множеството што се разгледува. Множеството од сите полиноми со степен не поголем од n со позитивни коефициенти исто така не е линеарен простор, бидејќи множењето на таков полином со негативен број ќе резултира во полином што не припаѓа на ова множество.


7. Да означиме C(\mathbb(R)) - множеството реални функции дефинирани и континуирани на \mathbb(R) . Збирот (f+g) на функциите f,g и производот \lambda f од функцијата f и реалниот број \lambda се дефинирани со еднаквостите:


(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)за сите x\in \mathbb(R)


Овие операции се навистина дефинирани на C(\mathbb(R)) бидејќи збирот на континуирани функции и производот на континуирана функција и број се континуирани функции, т.е. елементи на C(\mathbb(R)) . Да го провериме исполнувањето на аксиомите на линеарниот простор. Бидејќи собирањето на реалните броеви е комутативно, произлегува дека еднаквоста f(x)+g(x)=g(x)+f(x)за кој било x\in \mathbb(R) . Затоа f+g=g+f, т.е. аксиома 1 е задоволена. Аксиома 2 следи слично од асоцијативноста на собирањето. Нулта вектор е функцијата o(x), идентично еднаква на нула, која, се разбира, е континуирана. За која било функција f важи еднаквоста f(x)+o(x)=f(x), т.е. Вистина е аксиомата 3. Спротивниот вектор за векторот f ќе биде функцијата (-f)(x)=-f(x) . Тогаш f+(-f)=o (аксиома 4 е точно). Аксиомите 5, 6 следуваат од дистрибутивноста на операциите собирање и множење на реални броеви, а аксиомата 7 - од асоцијативноста на множење на броеви. Последната аксиома е задоволена, бидејќи множењето со еден не ја менува функцијата: 1\cdot f(x)=f(x) за било кој x\in \mathbb(R), т.е. 1\cточка f=f. Така, разгледаното множество C(\mathbb(R)) со воведените операции е реален линеарен простор. Слично, се докажува дека C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- множества на функции кои имаат континуирани изводи на првата, втората итн. нарачките, соодветно, се исто така линеарни простори.


Да го означиме множеството тригонометриски биноми (често \omega\ne0 ) со реални коефициенти, т.е. многу функции на формата f(t)=a\sin\омега t+b\cos\омега t, Каде a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Збирот на таквите биноми и производот на бином со реален број се тригонометриски биноми. Линеарните просторни аксиоми за множеството што се разгледува се задоволени (бидејќи T_(\омега)(\mathbb(R))\подмножество C(\mathbb(R))). Затоа, многу T_(\омега)(\mathbb(R))со вообичаените операции собирање и множење со број за функции, тоа е реален линеарен простор. Нултиот елемент е биномот o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, идентично еднакво на нула.


Множеството на реални функции дефинирани и монотони на \mathbb(R) не е линеарен простор, бидејќи разликата од две монотони функции може да испадне дека е немонотона функција.


8. Да означиме \mathbb(R)^X - множеството реални функции дефинирани на множеството X со операциите:


(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X


Тоа е вистински линеарен простор (доказот е ист како во претходниот пример). Во овој случај, множеството X може да се избере произволно. Конкретно, ако X=\(1,2,\лточки, n\), тогаш f(X) е подредено множество од броеви f_1,f_2,\ldots,f_n, Каде f_i=f(i),~i=1,\ldots,nТаквото множество може да се смета за матрица-колона со димензии n\times1 , т.е. еден куп \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))се совпаѓа со множеството \mathbb(R)^n (види точка 3 за примери на линеарни простори). Ако X=\mathbb(N) (се потсетиме дека \mathbb(N) е множество од природни броеви), тогаш добиваме линеарен простор \mathbb(R)^(\mathbb(N))- многу низи од броеви \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Конкретно, множеството конвергентни низи на броеви, исто така, формира линеарен простор, бидејќи збирот на две конвергентни низи се конвергира, и кога сите членови на конвергентна низа се помножат со број, добиваме конвергентна низа. Спротивно на тоа, множеството дивергентни низи не е линеарен простор, бидејќи, на пример, збирот на дивергентни низи може да има граница.


9. Да означиме \mathbb(R)^(+) - множество позитивни реални броеви во кои збирот a\plus b и производот \lambda\ast a (нотациите во овој пример се разликуваат од вообичаените) се дефинирани со еднаквостите: a\plus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), со други зборови, збирот на елементи се подразбира како производ од броеви, а множењето на елемент со број се подразбира како подигање до моќ. Двете операции се навистина дефинирани на множеството \mathbb(R)^(+) бидејќи производот од позитивните броеви е позитивен број, а секоја реална моќност на позитивен број е позитивен број. Ајде да ја провериме валидноста на аксиомите. Еднаквости


a\plus b=ab=ba=b\plus a,\quad a\plus(b\plus c)=a(bc)=(ab)c=(a\plus b)\plus c


покажуваат дека аксиомите 1 и 2 се задоволни. Нултиот вектор на ова множество е еден, бидејќи a\oplus1=a\cdot1=a, т.е. o=1. Спротивниот вектор за a е векторот \frac(1)(a) , кој е дефиниран бидејќи a\ne o . Навистина, a\plus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Да го провериме исполнувањето на аксиомите 5, 6,7,8:


\begin(собрано) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\plus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(собрано)


Сите аксиоми се задоволени. Следствено, множеството што се разгледува е вистински линеарен простор.

10. Нека V е вистински линеарен простор. Да го разгледаме множеството линеарни скаларни функции дефинирани на V, т.е. функции f\запирка V\до \mathbb(R), земајќи реални вредности и исполнувајќи ги условите:


f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \за сите u,v\во V(адитивност);


f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(хомогеност).


Линеарните операции на линеарни функции се наведени на ист начин како во став 8 од примери на линеарни простори. Збирот f+g и производот \lambda\cdot f се дефинирани со еднаквостите:


(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\in V\ во V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).


Исполнувањето на аксиомите на линеарниот простор се потврдува на ист начин како во став 8. Според тоа, множеството линеарни функции дефинирани на линеарниот простор V е линеарен простор. Овој простор се нарекува конјугиран со просторот V и се означува со V^(\ast) . Неговите елементи се нарекуваат ковектори.


На пример, множеството линеарни форми на n променливи, сметано како множество скаларни функции на векторскиот аргумент, е линеарниот простор конјугат со просторот \mathbb(R)^n.

Доколку забележите грешка, печатна грешка или имате какви било предлози, пишете во коментар.

Предавање 6. Векторски простор.

Главни прашања.

1. Векторски линеарен простор.

2. Основа и димензија на просторот.

3. Ориентација на просторот.

4. Разложување на вектор по основа.

5. Векторски координати.

1. Векторски линеарен простор.

Множество составено од елементи од која било природа во кое се дефинираат линеарни операции: собирање на два елементи и множење на елемент со број се нарекуваат простори, а нивните елементи се векториовој простор и се означуваат на ист начин како векторските величини во геометријата: . ВекториВаквите апстрактни простори, по правило, немаат ништо заедничко со обичните геометриски вектори. Елементи на апстрактни простори можат да бидат функции, систем од броеви, матрици итн., а во одреден случај, обични вектори. Затоа, таквите простори обично се нарекуваат векторски простори .

Векторските простори се, На пример, збир на колинеарни вектори, означени В1 , множество од компланарни вектори В2 , збир на вектори на обичен (реален простор) В3 .

За овој конкретен случај, можеме да ја дадеме следната дефиниција за векторски простор.

Дефиниција 1.Множеството вектори се нарекува векторски простор, ако линеарна комбинација од кои било вектори на множество е исто така вектор на ова множество. Самите вектори се нарекуваат елементивекторски простор.

Поважен, и теоретски и применет, е општиот (апстрактниот) концепт на векторскиот простор.


Дефиниција 2.Еден куп Релементи, во кои збирот се одредува за кои било два елементи и за кој било елемент https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> т.н. вектор(или линеарно) простор, а неговите елементи се вектори, ако операциите на собирање вектори и множење вектор со број ги задоволуваат следните услови ( аксиоми) :

1) собирањето е комутативно, т.е.gif" width="184" height="25">;

3) постои таков елемент (нулта вектор) што за кој било https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) за кои било вектори и за кој било број λ важи еднаквоста;

6) за кои било вектори и кои било броеви λ И µ еднаквоста е вистина: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и сите броеви λ И µ фер ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Следат наједноставните аксиоми кои дефинираат векторски простор: последиците :

1. Во векторскиот простор има само една нула - елементот - нултиот вектор.

2. Во векторскиот простор, секој вектор има единствен спротивен вектор.

3. За секој елемент е задоволена еднаквоста.

4. За кој било реален број λ и нула вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> е вектор што ја задоволува еднаквоста https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Значи, навистина, множеството од сите геометриски вектори е линеарен (векторски) простор, бидејќи за елементите на ова множество се дефинирани дејствата на собирање и множење со број што ги задоволуваат формулираните аксиоми.

2. Основа и димензија на просторот.

Суштинските концепти на векторски простор се концептите на основа и димензија.

Дефиниција.Збир од линеарно независни вектори, земени по одреден редослед, преку кои може линеарно да се изрази кој било вектор на просторот, се вика основаовој простор. Вектори. Се нарекуваат компонентите на основата на просторот основни .

Основата на збир на вектори лоцирани на произволна линија може да се смета за еден колинеарен вектор на оваа линија.

Основа на авионотајде да повикаме два неколинеарни вектори на оваа рамнина, земени по одреден редослед https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Ако основните вектори се парно нормални (ортогонални), тогаш основата се нарекува ортогонални, и ако овие вектори имаат должина еднаква на еден, тогаш се нарекува основата ортонормални .

Се нарекува најголемиот број линеарно независни вектори во просторот димензијана овој простор, односно димензијата на просторот се совпаѓа со бројот на основни вектори на овој простор.

Значи, според овие дефиниции:

1. Еднодимензионален простор В1 е права линија, а основата се состои од еден колинеаренвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src=">.

3. Обичниот простор е тродимензионален простор В3 , чија основа се состои од три некомпланарнивектори

Од тука гледаме дека бројот на основни вектори на права, на рамнина, во реалниот простор се совпаѓа со она што во геометријата обично се нарекува број на димензии (димензија) на права, рамнина, простор. Затоа, природно е да се воведе поопшта дефиниција.


Дефиниција.Векторски простор Рповикани n– димензионални ако нема повеќе од nлинеарно независни вектори и се означува Р n. Број nповикани димензијапростор.

Во согласност со димензијата на просторот се делат на конечни-димензионалниИ бесконечно-димензионални. Димензијата на нултиот простор се смета за еднаква на нула по дефиниција.

Забелешка 1.Во секој простор можете да наведете онолку основи колку што сакате, но сите основи на дадениот простор се состојат од ист број вектори.

Забелешка 2.ВО n– во димензионален векторски простор, основа е секоја нарачана колекција nлинеарно независни вектори.

3. Ориентација на просторот.

Нека основните вектори во просторот В3 имаат општ почетокИ нареди, односно се означува кој вектор се смета за прв, кој за втор и кој за трет. На пример, во основата векторите се подредени според индексирање.

За тоа за да се ориентира просторот, неопходно е да се постави одредена основа и да се прогласи за позитивен .

Може да се покаже дека множеството од сите основи на просторот спаѓа во две класи, односно во две разединети подмножества.

а) сите основи кои припаѓаат на едно подмножество (класа) имаат истоориентација (основи со исто име);

б) кои било две основи кои припаѓаат на различниподмножества (класи), имаат спротивнатаориентација, ( различни имињаоснови).

Ако една од двете класи на основи на просторот се прогласи за позитивна, а другата негативна, тогаш се вели дека овој простор ориентирана .

Често, кога се ориентира просторот, се нарекуваат некои основи право, и други - лево .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> се нарекуваат право, ако, при набљудување од крајот на третиот вектор, најкратката ротација на првиот вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > се спроведува спротивно од стрелките на часовникот(Сл. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ориз. 1.8. Десна основа (а) и лева основа (б)

Обично правилната основа на просторот се прогласува за позитивна основа

Десната (лева) основа на просторот, исто така, може да се одреди со користење на правилото на „десна“ („лева“) завртка или завртка.

По аналогија со ова, се воведува концептот на десно и лево тројкинекомпланарни вектори кои мора да се подредат (сл. 1.8).

Така, во општиот случај, две подредени тројки од некомпланарни вектори имаат иста ориентација (исто име) во просторот В3 ако и двајцата се десни или и двете леви, и - спротивна ориентација (спротивна) ако едниот е десен, а другиот лев.

Истото се прави и во случај на простор В2 (рамнина).

4. Разложување на вектор по основа.

За едноставност на расудувањето, да го разгледаме ова прашање користејќи го примерот на тродимензионален векторски простор Р3 .

Нека https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> биде произволен вектор на овој простор.

Векторски (линеарен) простор е збир на вектори (елементи) со реални компоненти, во кои се дефинираат операциите на собирање вектори и множење на вектор со број што задоволува одредени аксиоми (својства)

1) x+на=на+X(заменливост на додавање);

2)(X+на)+z=x+(y+z) (асоцијативност на додавање);

3) постои нула вектор 0 (или нула вектор) што го задоволува условот x+ 0 =x:за кој било вектор x;

4) за кој било вектор Xима спротивен вектор натакви што X+на = 0 ,

5) 1 x=X,

6) а(bx)=(ab)X(асоцијативност на множење);

7) (а+б)X=ах+bx(дистрибутивно својство во однос на нумеричкиот фактор);

8) а(X+на)=ах+ај(дистрибутивно својство во однос на векторскиот множител).

Линеарен (векторски) простор V(P) над полето P е непразно множество V. Елементите од множеството V се нарекуваат вектори, а елементите од полето P се нарекуваат скалари.

Наједноставните својства.

1. Векторски простор е абелова група (група во која групната операција е комутативна. Групната операција во абелиските групи обично се нарекува „додавање“ и се означува со знакот +)

2. Неутралниот елемент е единствениот што следи од својствата на групата за која било .

3. За било кој, спротивниот елемент е единствениот што следи од групните својства.

4.(–1) x = – x за било кој x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) за било кои α є P и x є V.

Изразување а 1 и 1+а 2 и 2+ … +a n e n(1) се нарекува линеарна комбинација на вектори e 1 , e 2 ,..., e nсо коефициенти а 1, а 2,..., а н.Линеарната комбинација (1) се нарекува нетривијална ако барем еден од коефициентите a 1, a 2,..., a nразличен од нула. Вектори e 1 , e 2 ,..., e nсе нарекуваат линеарно зависни ако постои нетривијална комбинација (1), која е нула вектор. Во спротивно (односно, ако е само тривијална комбинација на вектори e 1 , e 2 ,..., e nеднаква на нултиот вектор) вектори e 1 , e 2 ,..., e nсе нарекуваат линеарно независни.

Димензијата на просторот е максималниот број на LZ вектори содржани во него.

Векторски просторсе нарекува n-димензионална (или има „димензија n"), доколку постои nлинеарно независни елементи e 1 , e 2 ,..., e n ,и било кој n+ 1 елементите се линеарно зависни (генерализирана состојба Б). Векторски просторсе нарекуваат бесконечно-димензионални ако во него за било кој природен nпостои nлинеарно независни вектори. Било кој nлинеарно независни n-димензионални вектори Векторски просторја формираат основата на овој простор. Ако e 1 , e 2 ,..., e n- основа Векторски простор, потоа било кој вектор Xовој простор може да се претстави уникатно како линеарна комбинација на основни вектори: x=а 1 и 1+а 2 и 2+... +a n e n.
Во исто време, бројките a 1, a 2, ..., a nсе нарекуваат векторски координати Xво оваа основа.