При трансформација на дробен алгебарски израз чиј именител е запишан ирационално изразување, обично се обидуваат да претстават дропка така што нејзиниот именител е рационален. Ако A,B,C,D,... се некои алгебарски изрази, тогаш можете да наведете правила со чија помош можете да се ослободите од радикалните знаци во именителот на изразите на формата

Во сите овие случаи, ослободувањето од ирационалноста се постигнува со множење на броителот и именителот на дропката со фактор избран така што неговиот производ со именителот на дропката е рационален.

1) Да се ​​ослободиме од ирационалноста во именителот на дропка од формата . Во множете ги броителот и именителот со

Пример 1. .

2) Во случај на дропки од формата . Помножете ги броителот и именителот со ирационален фактор

соодветно, односно на конјугираниот ирационален израз.

Значењето на последното дејство е дека во именителот производот од збирот и разликата се трансформира во разлика од квадрати, што веќе ќе биде рационален израз.

Пример 2. Ослободете се од ирационалноста во именителот на изразот:

Решение, а) Помножете ги броителите и именителот на дропката со изразот . Добиваме (под услов)

3) Во случај на изрази како

именителот се смета како збир (разлика) и се множи со делумно квадратразлики (збирови) за да се добие збирот (разликата) на коцки ((20.11), (20.12)). Броителот исто така се множи со истиот фактор.

Пример 3. Ослободете се од ирационалноста во именителот на изразите:

Решение, а) Сметајќи го именителот на оваа дропка како збир на броевите и 1, помножете ги броителот и именителот со делумниот квадрат на разликата на овие броеви:

или конечно:

Во некои случаи, неопходно е да се изврши трансформација од спротивна природа: да се ослободи дропот од ирационалност во броителот. Се изведува на ист начин.

Пример 4. Ослободете се од ирационалноста во броителот на дропка.

Во оваа тема ќе ги разгледаме сите три групи на граници со ирационалност наведени погоре. Да почнеме со граници кои содржат несигурност на формата $\frac(0)(0)$.

Обелоденување на несигурност $\frac(0)(0)$.

Решението на стандардните примери од овој тип обично се состои од два чекори:

• Се ослободуваме од ирационалноста што предизвика несигурност множејќи се со таканаречениот „конјугат“ израз;
• Доколку е потребно, факторирајте го изразот во броителот или именителот (или и двете);
• Ги намалуваме факторите што доведуваат до неизвесност и ја пресметуваме саканата вредност на лимитот.

Терминот „конјугатен израз“ употребен погоре ќе биде детално објаснет во примерите. Засега нема причина да се задржуваме на тоа детално. Во принцип, можете да одите на друг начин, без да го користите конјугираниот израз. Понекогаш добро избраната замена може да ја елиминира ирационалноста. Вакви примери се ретки во стандардните тестови, затоа, за употреба на замена, ќе разгледаме само еден пример бр. 6 (видете го вториот дел од оваа тема).

Ќе ни требаат неколку формули, кои ќе ги запишам подолу:

\почеток(равенка) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(равенка) \почеток(равенка) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(равенка) \почеток(равенка) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \крај (равенка) \почеток (равенка) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end (равенка)

Дополнително, претпоставуваме дека читателот ги знае формулите за решавање на квадратни равенки. Ако $x_1$ и $x_2$ се корени квадратен трином$ax^2+bx+c$, тогаш може да се факторизира со помош на следнава формула:

\почеток(равенка) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(равенка)

Формулите (1)-(5) се сосема доволни за решавање на стандардни проблеми, на кои сега ќе продолжиме.

Пример бр. 1

Најдете $\lim_(x\до 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Бидејќи $\lim_(x\до 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ и $\lim_(x\ до 3) (x-3)=3-3=0$, тогаш во дадената граница имаме несигурност од формата $\frac(0)(0)$. Разликата $\sqrt(7-x)-2$ не спречува да ја откриеме оваа несигурност. За да се ослободат од таквите ирационалности, се користи множење со таканаречениот „конјугатен израз“. Сега ќе погледнеме како функционира таквото множење. Помножете $\sqrt(7-x)-2$ со $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

За да ги отворите заградите, применете го , заменувајќи ги $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ во десната страна од споменатата формула:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Како што можете да видите, ако го помножите броителот со $\sqrt(7-x)+2$, тогаш коренот (т.е. ирационалноста) во броителот ќе исчезне. Овој израз $\sqrt(7-x)+2$ ќе биде конјугираатна изразот $\sqrt(7-x)-2$. Сепак, не можеме едноставно да го помножиме броителот со $\sqrt(7-x)+2$, бидејќи ова ќе ја смени дропот $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ под лимитот . Треба да ги помножите и броителот и именителот во исто време:

$$ \lim_(x\до 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \лево|\frac(0)(0)\десно|=\lim_(x\до 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Сега запомнете дека $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ и отворете ги заградите. И по отворањето на заградите и малата трансформација $3-x=-(x-3)$, ја намалуваме дропот за $x-3$:

$$ \lim_(x\до 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\до 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\до 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\до 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Неизвесноста $\frac(0)(0)$ исчезна. Сега можете лесно да го добиете одговорот овој пример:

$$ \lim_(x\до 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Забележувам дека конјугираниот израз може да ја промени својата структура, во зависност од тоа каква ирационалност треба да отстрани. Во примерите бр. 4 и бр. 5 (видете го вториот дел од оваа тема) ќе се користи различен тип на конјугирани изрази.

Одговори: $\lim_(x\до 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Пример бр. 2

Најдете $\lim_(x\до 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Бидејќи $\lim_(x\до 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ и $\lim_(x\до 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, тогаш ние се занимаваат со несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Да се ​​ослободиме од ирационалноста во именителот на оваа дропка. За да го направите ова, ги додаваме и броителот и именителот на дропката $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ на изразот $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ конјугира со именителот:

$$ \lim_(x\до 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\лево|\frac(0 )(0)\десно|= \lim_(x\до 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Повторно, како во примерот бр. 1, треба да користите загради за да се проширите. Заменувајќи ги $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ во десната страна од споменатата формула, го добиваме следниот израз за именителот:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\десно)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ десно)=\\ =\лево(\sqrt(x^2+5)\десно)^2-\лево(\sqrt(7x^2-19)\десно)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Да се ​​вратиме на нашата граница:

$$ \lim_(x\до 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\до 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\до 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) ) (x^2-4) $$

Во примерот бр. 1, речиси веднаш по множењето со конјугираниот израз, дропот беше намален. Овде, пред намалувањето, ќе треба да ги факторизирате изразите $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$ и дури потоа да продолжите со намалувањето. За да го факторизирате изразот $3x^2-5x-2$ треба да користите . Прво да одлучиме квадратна равенка$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \почеток(порамнет) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end (порамнет) $$

Заменувајќи ги $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ во , ќе имаме:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\лево(x-\лево(-\frac(1)(3)\десно)\десно)(x-2)=3\cdot\лево(x+\ frac(1)(3)\десно)(x-2)=\лево(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\десно)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Сега е време да се факторизира изразот $x^2-4$. Ајде да користиме , заменувајќи ги $a=x$, $b=2$ во него:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Да ги искористиме добиените резултати. Бидејќи $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, тогаш:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\до 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\до 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Намалувајќи $x-2$ по заграда добиваме:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\до 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\до 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Сите! Неизвесноста исчезна. Уште еден чекор и доаѓаме до одговорот:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\до 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Одговори: $\lim_(x\до 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Во следниот пример, разгледајте го случајот кога ирационалностите ќе бидат присутни и во броителот и во именителот на дропката.

Пример бр. 3

Најдете $\lim_(x\до 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) $.

Бидејќи $\lim_(x\до 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ и $\lim_( x \до 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, тогаш имаме несигурност на формата $ \frac (0)(0)$. Бидејќи во овој случај корените се присутни и во именителот и во броителот, за да се ослободите од неизвесноста ќе треба да се помножите со две загради одеднаш. Прво, на изразот $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ се конјугира со броителот. И второ, на изразот $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ се конјугира со именителот.

$$ \lim_(x\до 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\лево|\frac(0)(0)\десно|=\\ =\lim_(x\до 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \почеток(порамнет) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(порамнет) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

За изразот $x^2-8x+15$ добиваме:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \почеток(порамнет) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(порамнет)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Замена на добиените проширувања $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ во лимитот на разгледување ќе имаме:

$$ \lim_(x\до 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\до 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\до 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cточка 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Одговори: $\lim_(x\до 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Во следниот (втор) дел ќе разгледаме уште неколку примери во кои конјугираниот израз ќе има различна форма од претходните проблеми. Главната работа што треба да се запамети е дека целта на користењето на конјугираниот израз е да се ослободиме од ирационалноста што предизвикува несигурност.

Изрази, конверзија на изрази

Како да се ослободите од ирационалноста во именителот? Методи, примери, решенија

Во 8 одделение, на часовите по алгебра, во рамките на темата трансформација на ирационални изрази, се врти разговор на ослободување од ирационалност во именител на дропка. Во оваа статија ќе анализираме за каква трансформација станува збор, ќе разгледаме кои дејства ви дозволуваат да се ослободите од ирационалноста во именителот на дропка и ќе дадеме решенија за типични примери со детални објаснувања.

Навигација на страница.

Што значи да се ослободиш од ирационалноста во именителот на дропка?

Прво треба да разберете што е ирационалноста во именителот и што значи да се ослободите од ирационалноста во именителот на дропка. За тоа ќе ни помогнат информациите од училишните учебници. Следниве точки заслужуваат внимание.

Кога ознаката на дропка содржи коренски знак (радикал) во именителот, тогаш се вели дека именителот содржи ирационалност. Ова веројатно се должи на фактот дека броевите напишани со коренски знаци често се . Како пример, ги даваме дропките , , , очигледно, именителот на секој од нив го содржи знакот на коренот, а со тоа и ирационалноста. Во средно училиште, неизбежно е да се сретнеме со дропки, чиишто ирационалност во именителот не се воведува само со знаци квадратни корени, но и знаци на коцкасти корени, четврти корени итн. Еве примери на такви дропки: .

Имајќи ги предвид дадените информации и значењето на зборот „бесплатно“, следнава дефиниција е многу природна:

Дефиниција.

Ослободување од ирационалност во именител на дропкае трансформација во која дропка со ирационалност во именителот се заменува со идентично еднаква дропка која не содржи коренски знаци во именителот.

Често може да се слушне како луѓето велат да не се ослободуваат, туку да се ослободат од ирационалноста во именителот на дропот. Значењето не се менува.

На пример, ако преминеме од дропка во дропка чија вредност е еднаква на вредноста на првобитната дропка и чиј именител не го содржи коренскиот знак, тогаш можеме да констатираме дека сме се ослободиле од ирационалноста во именителот на дропот. Друг пример: замена на дропка со идентична дропка има ослободување од ирационалноста во именителот на дропката.

Значи, првичните информации се добиени. Останува да откриеме што треба да се направи за да се ослободиме од ирационалноста во именителот на дропот.

Начини да се ослободите од ирационалноста, примери

Обично, за да се ослободиме од ирационалноста, се користат два во именителот на дропка. конверзии на фракции: Множење на броителот и именителот со ненулта број или израз и трансформирање на изразот во именителот. Подолу ќе погледнеме како овие конверзии на дропки се користат на основни начини за отстранување на ирационалноста од именителот на дропка. Да ги допреме следните случаи.

Во наједноставните случаи, доволно е да се трансформира изразот во именителот. Пример е дропка чиј именител е корен од девет. Во овој случај, заменувањето со вредноста 3 го ослободува именителот од ирационалност.

Во повеќе тешки случаипрво треба да ги помножите броителот и именителот на дропката со некој ненулти број или израз, што последователно ви овозможува да го претворите именителот на дропката во форма што не содржи радикални знаци. На пример, по множење на броителот и именителот на дропка со , дропот добива форма , а потоа изразот во именителот може да се замени со израз без знаци на корените x+1. Така, откако ќе се ослободи од ирационалноста во именителот, дропката добива форма .

Ако зборуваме за општиот случај, тогаш за да се ослободиме од ирационалноста во именителот на дропка, треба да се прибегне кон разни дозволени трансформации, понекогаш сосема специфични.

И сега во детали.

Претворање на израз во именителот на дропка

Како што веќе беше забележано, еден начин да се ослободите од ирационалноста во именителот на дропка е да го трансформирате именителот. Да ги погледнеме решенијата на примерите.

Пример.

Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропка .

Решение.

Отворајќи ги заградите во именителот, доаѓаме до изразот . Потоа тие ви дозволуваат да преминете на дропки . Откако ги пресметавме вредностите под знаците на корените, имаме . Очигледно, во добиениот израз е можно, што дава дропка која е еднаква на 1/16. Вака се ослободивме од ирационалноста во именител.

Обично решението е напишано накратко без објаснување, бидејќи извршените дејства се прилично едноставни:

Одговор:

.

Пример.

Решение.

Кога зборувавме за трансформација на ирационални изрази со користење на својствата на корените, забележавме дека за секој израз A со парен n (во нашиот случај n=2) изразот може да се замени со изразот |A| на целиот ODZ на променливи за оригиналниот израз. Затоа, можете да ја извршите следната трансформација на дадена дропка:

Одговор:

.

, што не ослободува од ирационалноста во именителот.

Множење на броителот и именителот со коренот Кога изразот во именителот на дропка има форма , каде што изразот А не содржи знаци на корените, тогаш множењето на броителот и именителот со ви овозможува да се ослободите од ирационалноста во именителот. Ова дејство е можно затоа што не исчезнува на променливите променливи за оригиналниот израз. Во овој случај, именителот произведува израз кој лесно може да се претвори во форма без знаци на корени:

Пример.

Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропката: а) , б) .

Решение.

а) Множење на броителот и именителот на дропката со квадратен коренод три добиваме .

б) За да се ослободите од знакот за квадратен корен во именителот, помножете ги броителот и именителот на дропката со , а потоа извршете трансформации во именителот:

Одговор:

а), б) .

Во случај кога именителот содржи множители или , каде m и n се некои природни броеви, броителот и именителот мора да се помножат со таков фактор, така што после ова изразот во именителот може да се претвори во форма или , каде што k е некој природен број, соодветно. Тогаш лесно е да се премине на дропка без ирационалност во именителот. Дозволете ни да ја демонстрираме примената на опишаниот метод за ослободување од ирационалноста во именителот користејќи примери.

Пример.

Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропката: а) , б) .

Решение.

а) Најблискиот природен број поголем од 3 и делив со 5 е 5. За да може експонентот од шест да стане еднаков на пет, изразот во именителот мора да се помножи со. Следствено, ослободувањето од ирационалноста во именителот на дропка ќе биде олеснето со изразот со кој броителот и именителот мора да се множат:

б) Очигледно, најблискиот природен број што надминува 15 и е делив со 4 без остаток е 16. За да го добиете експонентот во именителот да стане еднаков на 16, треба да го помножите изразот таму со. Така, множењето на броителот и именителот на првобитната дропка со (забележете, вредноста на овој израз не е еднаква на нула за кој било реален x) ќе се ослободи од ирационалноста во именителот:

Одговор:

А) , б) .

Множење со неговиот конјугат

Следниот метод за ослободување од ирационалноста во именителот на дропка опфаќа случаи кога именителот содржи изрази од формата , , , , или . Во овие случаи, за да се ослободите од ирационалноста во именителот на дропката, треба да ги помножите броителот и именителот на дропката со т.н. конјугиран израз.

Останува да откриеме кои изрази се конјугирани со горенаведеното. За израз, конјугираниот израз е , а за изразот, конјугираниот израз е . Слично на тоа, за израз конјугатот е , а за израз конјугатот е . И за израз конјугат е , а за израз конјугат е . Значи, изразот конјугат на овој израз се разликува од него по знакот пред вториот член.

Ајде да видиме што резултира со множење на израз со неговиот конјугат. На пример, размислете за работата . Може да се замени со разликата на квадратите, односно , од каде потоа можеме да преминеме на изразот a−b, кој не содржи знаци на корените.

Сега станува јасно како множењето на броителот и именителот на дропка со изразот конјугат со именителот ви овозможува да се ослободите од ирационалноста во именителот на дропот. Ајде да погледнеме во решенија за типични примери.

Пример.

Замислете го изразот како дропка чиј именител не содржи радикал: а) , б) .

Решение.

а) Изразот сврзан со именителот е . Ајде да ги помножиме броителот и именителот со него, што ќе ни овозможи да се ослободиме од ирационалноста во именителот на дропката:

б) Конјугатот на изразот е . Помножувајќи ги броителот и именителот со него, добиваме

Беше можно прво да се отстрани знакот минус од именителот, а само после тоа да се помножат броителот и именителот со изразот конјугиран со именителот:

Одговор:

А) , б) .

Забележете: при множење на броителот и именителот на дропка со израз со променливи конјугирани со именителот, мора да се внимава тој да не исчезне за ниту еден сет на вредности на променливите од ODZ за оригиналниот израз.

Пример.

Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропка.

Решение.

Прво, да го најдеме опсегот на дозволени вредности (APV) на променливата x. Се определува со условите x≥0 и , од кои заклучуваме дека ODZ е множеството x≥0.

Изразот конјугиран со именителот е . Можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него, под услов , што на ODZ е еквивалентно на условот x≠16. Во овој случај имаме

И на x=16 имаме .

Така, за сите вредности на променливата x од ODZ, освен x=16, , а за x=16 имаме .

Одговор:

Користење на формули за збир на коцки и разлика на коцки

Од претходниот пасус дознавме дека множењето на броителот и именителот на дропка со изразот конјугат со именителот се врши со цел последователно да се примени формулата за разлика од квадрати и со тоа да се ослободиме од ирационалноста во именителот. Во некои случаи, други скратени формули за множење се корисни за да се ослободиме од ирационалноста во именителот. На пример, формулата за разлика на коцки a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2)ви овозможува да се ослободите од ирационалноста кога именителот на дропка содржи изрази со кубни корени на формата или , каде A и B се некои броеви или изрази. За да го направите ова, броителот и именителот на дропката се множат со делумниот квадрат од збирот или со разликата, соодветно. Формулата за збир на коцки се користи на ист начин. a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2).

Пример.

Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропката: а) , б) .

Решение.

а) Лесно е да се погоди дека во овој случај, множењето на броителот и именителот со нецелосниот квадрат од збирот на броевите и ви овозможува да се ослободите од ирационалноста во именителот, бидејќи во иднина ова ќе ви овозможи да го трансформирате изразот во именителот користејќи ја формулата за разлика од коцки:

б) Изразување во именителот на дропката може да се претстави во форма , од каде јасно се гледа дека ова е нецелосен квадрат од разликата помеѓу броевите 2 и . Така, ако броителот и именителот на дропката се помножат со збирот, тогаш именителот може да се конвертира со формулата за збир на коцки, што ќе нè ослободи од ирационалноста во именителот на дропката. Ова може да се направи под услов што е еквивалентен на условот понатаму x≠−8:

И при замена на x=−8 во првобитната дропка имаме .

Така, за сите x од ODZ за првичната дропка (во овој случај ова е множеството R), освен x=−8, имаме , а за x=8 имаме .

Одговор:

Користење на различни методи

Во посложени примери, обично не е возможно да се ослободите од ирационалноста во именителот во една акција, но треба постојано да применувате метод по метод, вклучувајќи ги и оние што се дискутирани погоре. Понекогаш може да бидат потребни некои нестандардни решенија. Доста интересни задачина темата што се дискутира може да се најде во учебникот чиј автор е Ју. Референци.

1. Алгебра:учебник за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; уредено од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А.Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Алгебраи започна математичка анализа. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профил. нивоа / [Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; уредено од А.Б. Жижченко. - 3-то издание. - М.: Образование, 2010.- 368 стр. : лошо - ISBN 978-5-09-022771-1.

Дени Периќ Кампана

Уште еден интересна книгаза ученици заинтересирани за, за жал, непреведена на руски, ова е книгата „Математичките авантури на Даниел“ (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) од чилеанскиот наставник по математика Дени Перих Кампана, многу извонредна и интересна личност. Тој не само што ги учи децата, туку и пишува песни и објавува разни едукативни материјали за математика на Интернет. Може да се најдат на YouTube и на веб-страницата http://www.sectormatematica.cl/ (се разбира, сите материјали се на шпански).

Еве јас објавувам едно поглавје од книгата на Дани Периќ. Ми се чинеше доста интересно и корисно за учениците од училиштата. За да биде јасно за што зборуваме, ќе кажам дека Даниел и Камила работат во училиштето, тие се учители.

Тајната за ослободување од ирационалноста

„Камила, сега имам многу проблеми кога се обидувам да објаснам зошто се користи она што го поминуваме на часовите“, рече Даниел.

- Навистина не разбирам за што зборуваш.

– Зборувам за она што е во секого училишни учебниципа дури и книги на универзитетско ниво. Сè уште се сомневам: зошто треба да се ослободите од ирационалноста во именителот? И мразам да им кажувам на луѓето она што не сум го разбрал толку долго“, се пожали Даниел.

„И јас не знам од каде доаѓа ова и зошто е потребно, но мора да има некое логично објаснување за ова.

- Еднаш прочитав во едно научно списание дека ослободувањето од ирационалноста во именителот ви овозможува да го добиете резултатот со поголема точност, но никогаш повеќе не сум го видел ова и не сум сигурен дека тоа е вистина.

- Зошто не го провериме? - праша Камила.

„Во право си“, се согласи Даниел. — Наместо да се жалите, треба да се обидете да извлечете свои заклучоци. Тогаш помогни ми...

- Се разбира, сега и јас сум заинтересиран за ова.

„Мораме да земеме некои изрази и да се ослободиме од ирационалноста во именителот, потоа да го замениме коренот со неговата вредност и да го најдеме резултатот од изразот пред и откако ќе се ослободиме од ирационалноста во именителот и да видиме дали нешто ќе се промени“.

„Се разбира“, се согласи Камила. - Ајде да го направиме тоа.

„Земи го, на пример, изразот“, рече Даниел и зеде парче хартија за да запише што се случува. - Помножете ги броителот и именителот со и добијте .

„Ќе биде точно и може да ни помогне да извлечеме заклучоци ако сметаме дека други ирационални изрази се еднакви на овој“, предложи Камила.

„Се согласувам“, рече Даниел, „ќе ги поделам броителот и именителот со , а вие помножете ги со .

- Го направив тоа. А ти?

„Имам“, одговори Даниел. - Сега да го пресметаме оригиналниот израз и добиените, заменувајќи го со неговата вредност со сите децимални места што ги дава калкулаторот. Добиваме:

„Не гледам ништо посебно“, рече Камила. „Очекував некаква разлика што ќе го оправда ослободувањето од ирационалноста“.

„Како што веќе ви кажав, еднаш прочитав за ова во врска со пристапот. Што велите ако го замениме со помалку прецизен број, како на пр.

- Да се ​​обидеме да видиме што ќе се случи.

Токарев Кирил

Работата ви помага да научите како да го извлечете квадратниот корен од кој било број без да користите калкулатор и табела со квадрати и да го ослободите именителот на дропка од ирационалност.

Ослободување од ирационалноста на именителот на дропка

Суштината на методот е да се множи и дели дропка со израз кој ќе ја елиминира ирационалноста (квадратни и коцки корени) од именителот и ќе ја направи поедноставна. По ова, полесно е да се сведат дропките на заеднички именител и конечно да се поедностави оригиналниот израз.

Извлекување на квадратен корен со приближување до дадена цифра.

Да претпоставиме дека треба да го земеме квадратниот корен од природен број 17358122, а се знае дека коренот е извлечен. За да го најдете резултатот, понекогаш е погодно да се користи правилото опишано во делото.

Преземи:

Преглед:

За да го користите прегледот, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com

Преглед:

За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com

Наслов на слајдови:

Радикална. Ослободување од ирационалноста на именителот на дропка. Извлечете го квадратниот корен со одреден степен на точност. Ученик од класа 9Б на Општинска образовна установа СОУ бр.7, Салск Кирил Токарев

ОСНОВНО ПРАШАЊЕ: Дали е можно да се извлече квадратен корен од кој било број со даден степен на точност, без да се има калкулатор и табела со квадрати?

ЦЕЛИ И ЦЕЛИ: Размислете за случаи на решавање изрази со радикали кои не се изучуваат во училишен курсматематика, но неопходна за обединет државен испит.

ИСТОРИЈА НА КОРЕНОТ Знакот на коренот доаѓа од малата латинска буква r (почетна во латинскиот збор radix - корен), споена со надпис. Во старо време, подвлекувањето на израз се користело наместо сегашната заграда, така што тоа е само изменет антички начин на пишување нешто слично. Оваа нотација првпат ја користел германскиот математичар Томас Рудолф во 1525 година.

СЛОБОДА ОД ИРАЦИОНАЛНОСТ НА ИМЕНИтелот НА ДРОПКА Суштината на методот е да се множи и дели дропка со израз кој ќе ја елиминира ирационалноста (квадратни и коцки корени) од именителот и ќе ја направи поедноставна. По ова, полесно е да се намалат дропките на заеднички именител и конечно да се поедностави оригиналниот израз. АЛГОРИТАМ ЗА ОСЛОБОДУВАЊЕ ОД ИРАЦИОНАЛНОСТ ВО ИМЕНИтелот НА ДРОПКА: 1. Подели го именителот на дропката на множители. 2. Ако именителот има форма или содржи фактор, тогаш броителот и именителот треба да се помножат со. Ако именителот е од формата или содржи фактор од овој тип, тогаш броителот и именителот на дропката треба да се помножат со или со, соодветно. Броевите се нарекуваат конјугати. 3. Конвертирај ги броителот и именителот на дропката, ако е можно, а потоа намали ја добиената дропка.

а) б) в) г) = - Ослободување од ирационалноста во именителот на дропката.

ИЗВЕДУВАЊЕ КВАДРАТЕН КОРЕН СО ПРИСТАП КОН СПЕЦИЦИРАНА цифра. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 бабнил 82) метод. За да се реши проблемот даден бројсе разложува на збир од два члена: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, од ​​кои првиот е совршен квадрат. Потоа ја применуваме формулата. Алгебарски начин:

ИЗВЕДУВАЊЕ КВАДРАТЕН КОРЕН СО ПРИСТАП КОН СПЕЦИЦИРАНА цифра. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6, 6 0 3

Користена литература 1. Збирка задачи по математика за оние кои влегуваат на универзитетите, уредена од М.И. В. К. Егерев, Б. А. Кордемски, В. В. Заицев, „ОНИКС 21 век“, 2003 г. 2. Алгебра и елементарни функции. Р.А. Калнин, „Наука“, 1973 година 3. Математика. Референтни материјали. В. А. Гушев, А. Г. Мордкович, издавачка куќа „Просвешчение“, 1990 година. 4. Учениците за математика и математичари. Составен од М.М. Лиман, Просветителство, 1981 година.