дури и ако за сите \(x\) од неговиот домен на дефиниција е точно следново: \(f(-x)=f(x)\) .

Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската \(y\):

Пример: функцијата \(f(x)=x^2+\cos x\) е парна, бидејќи \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\црн триаголник\) Функцијата \(f(x)\) се нарекува непарна ако за сите \(x\) од нејзиниот домен на дефиниција е точно следново: \(f(-x)=-f(x) \) .

Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото:

Пример: функцијата \(f(x)=x^3+x\) е непарна затоа што \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Функциите кои не се ниту парни ниту непарни се нарекуваат функции општ поглед. Оваа функција секогаш може да биде единствениот начинпретставуваат како збир на парна и непарна функција.

На пример, функцијата \(f(x)=x^2-x\) е збир на парната функција \(f_1=x^2\) и непарната \(f_2=-x\) .

\(\црн триаголник\) Некои својства:

1) Производот и количникот на две функции со иста паритет - дури и функција.

2) Производот и количникот на две функции со различни паритети е непарна функција.

3) Збирот и разликата на парните функции е парна функција.

4) Збир и разлика на непарни функции - непарна функција.

5) Ако \(f(x)\) е парна функција, тогаш равенката \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) има единствен корен ако и само кога \( x =0\) .

6) Ако \(f(x)\) е парна или непарна функција, а равенката \(f(x)=0\) има корен \(x=b\), тогаш оваа равенка дефинитивно ќе има секунда корен \(x =-b\) .

\(\црн триаголник\) Функцијата \(f(x)\) се нарекува периодична на \(X\) ако за некој број \(T\ne 0\) важи следново: \(f(x)=f( x+T) \) , каде што \(x, x+T\во X\) . Најмалиот \(T\) за кој се задоволува оваа еднаквост се нарекува главен (главен) период на функцијата.

У периодична функцијакој било број од формата \(nT\) , каде што \(n\in \mathbb(Z)\) исто така ќе биде точка.

Пример: било кој тригонометриска функцијапериодично е;
за функциите \(f(x)=\sin x\) и \(f(x)=\cos x\) главниот период е еднаков на \(2\pi\), за функциите \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) и \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) главниот период е еднаков на \(\pi\) .

Со цел да се конструира график на периодична функција, можете да го нацртате неговиот график на кој било сегмент со должина \(T\) (главен период); тогаш графикот на целата функција се комплетира со поместување на конструираниот дел за цел број точки надесно и лево:

\(\blacktriangleright\) Доменот \(D(f)\) на функцијата \(f(x)\) е збир што се состои од сите вредности на аргументот \(x\) за кој функцијата има смисла (е дефинирано).

Пример: функцијата \(f(x)=\sqrt x+1\) има домен на дефиниција: \(x\in

Задача 1 #6364

Ниво на задача: еднакво на обединетиот државен испит

На кои вредности на параметарот \(a\) прави равенката

има единственото решение?

Забележете дека бидејќи \(x^2\) и \(\cos x\) се парни функции, ако равенката има корен \(x_0\) , ќе има и корен \(-x_0\) .
Навистина, нека \(x_0\) е корен, односно еднаквоста \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) е точно. Замена \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Така, ако \(x_0\ne 0\) , тогаш равенката веќе ќе има најмалку два корени. Затоа, \(x_0=0\) . Потоа:

Добивме две вредности за параметарот \(a\) . Забележете дека го користевме фактот дека \(x=0\) е токму коренот на првобитната равенка. Но, никогаш не го искористивме фактот дека тој е единствениот. Затоа, треба да ги замените добиените вредности на параметарот \(a\) во оригиналната равенка и да проверите кој специфичен \(a\) коренот \(x=0\) навистина ќе биде единствен.

1) Ако \(a=0\) , тогаш равенката ќе ја има формата \(2x^2=0\) . Очигледно, оваа равенка има само еден корен \(x=0\) . Според тоа, вредноста \(a=0\) ни одговара.

2) Ако \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , тогаш равенката ќе ја има формата \ Равенката ја препишуваме во форма \ Бидејќи \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , потоа \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Следствено, вредностите на десната страна на равенката (*) припаѓаат на сегментот \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Бидејќи \(x^2\geqslant 0\) , тогаш левата страна на равенката (*) е поголема или еднаква на \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Така, еднаквоста (*) може да се задоволи само кога двете страни на равенката се еднакви на \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Ова значи дека \[\begin(scases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(scases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(scases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Затоа, вредноста \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ни одговара.

Одговор:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Задача 2 #3923

Ниво на задача: еднакво на обединетиот државен испит

Најдете ги сите вредности на параметарот \(a\), за секоја од нив графикот на функцијата \

симетрични во однос на потеклото.

Ако графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото, тогаш таквата функција е непарна, односно \(f(-x)=-f(x)\) важи за кое било \(x\) од доменот на дефинирање на функцијата. Така, потребно е да се најдат оние вредности на параметрите за кои \(f(-x)=-f(x).\)

\[\почеток(порамнет) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\десно)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\десно)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\десно) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Десна стрелка \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\десно)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end (порамнет)\]

Последната равенка мора да биде исполнета за сите \(x\) од доменот на дефиниција \(f(x)\) , затоа, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

Одговор:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Задача 3 #3069

Ниво на задача: еднакво на обединетиот државен испит

Најдете ги сите вредности на параметарот \(a\), за секоја од нив равенката \ има 4 решенија, каде што \(f\) е парна периодична функција со период \(T=\dfrac(16)3\) дефинирано на целата бројна линија , и \(f(x)=ax^2\) за \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Задача од претплатници)

Бидејќи \(f(x)\) е парна функција, нејзиниот график е симетричен во однос на оската на ординатите, затоа, за \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Така, за \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , и ова е сегмент со должина \(\dfrac(16)3\), функцијата е \(f(x)=ax^2\ ) .

1) Нека \(a>0\) . Тогаш графикот на функцијата \(f(x)\) ќе изгледа вака:


Потоа, за равенката да има 4 решенија, потребно е графикот \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) да помине низ точката \(A\) :


Затоа, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(порамнети) &9(a+2)=32a\\ &9 (а+2)=-32а\крај (порамнет)\крај (собрано)\десно. \quad\Леводесно стрела\четири \лево[\почеток(собрано)\почеток(порамнет) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(порамнет) \end( собрани)\right.\] Бидејќи \(a>0\) , тогаш \(a=\dfrac(18)(23)\) е погоден.

2) Нека \(a0\) ). Ако производот на два корени е позитивен, а нивниот збир е позитивен, тогаш самите корени ќе бидат позитивни. Затоа, потребно ви е: \[\begin(scases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end (cases)\quad\Leftrightarrow\quad a 0 on (x_(1); x_(2 ) ) \ чаша (x_(3); +\infty)

Интервали каде функцијата е негативна, односно f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Ограничена функција

Функцијата y=f(x), x \in X обично се нарекува ограничена долу кога има број A за кој важи неравенката f(x) \geq A за кој било x \во X .

Пример за функција ограничена одоздола: y=\sqrt(1+x^(2)) бидејќи y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 за кој било x .

Функцијата y=f(x), x \in X се нарекува ограничена одозгора ако има број B за кој важи неравенството f(x) \neq B за било кој x \во X .

Пример за функција ограничена одоздола: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] бидејќи y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 за било кој x \ во [-1;1] .

Функцијата y=f(x), x \во X обично се нарекува ограничена кога има број K > 0 за кој неравенството \left | f(x)\десно | \neq K за кој било x \во X.

Пример ограничена функција: y=\sin x е ограничен на целата бројна оска, бидејќи \left | \sin x \десно | \нек 1 .

Функција за зголемување и намалување

Вообичаено е да се зборува за функција која се зголемува во текот на разгледуваниот интервал како растечка функција кога поголема вредност од x одговара на поголема вредност на функцијата y=f(x) . Следи дека земајќи две произволни вредности на аргументот x_(1) и x_(2) од интервалот што се разгледува, со x_(1) > x_(2) , резултатот ќе биде y(x_(1)) > y(x_(2)).

Функцијата што се намалува на интервалот што се разгледува се нарекува опаѓачка функција кога поголема вредност од x одговара на помала вредност на функцијата y(x). Следи дека, земајќи ги од разгледуваниот интервал две произволни вредности на аргументот x_(1) и x_(2) и x_(1) > x_(2), резултатот ќе биде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Корените на функцијата обично се нарекуваат точки во кои функцијата F=y(x) ја сече оската на апсцисата (тие се добиваат со решавање на равенката y(x)=0).

а) Ако за x > 0 една парна функција се зголемува, тогаш таа се намалува за x< 0

б) Кога парна функција се намалува на x > 0, тогаш таа се зголемува на x< 0

в) Кога непарната функција се зголемува на x > 0, тогаш таа исто така се зголемува на x< 0

г) Кога непарната функција се намалува за x > 0, тогаш ќе се намали и за x< 0

Екстреми на функцијата

Минималната точка на функцијата y=f(x) обично се нарекува точка x=x_(0) чие соседство ќе има други точки (освен точката x=x_(0)), а за нив тогаш неравенството f( x ) > f(x_(0)) . y_(min) - означување на функцијата во точката min.

Максималната точка на функцијата y=f(x) обично се нарекува точка x=x_(0) чие соседство ќе има други точки (освен точката x=x_(0)), а за нив тогаш неравенството f( x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Предуслов

Според теоремата на Ферма: f"(x)=0 кога функцијата f(x) која е диференцијабилна во точката x_(0) ќе има екстрем во оваа точка.

Доволна состојба
  • Кога изводот го менува знакот од плус во минус, тогаш x_(0) ќе биде минималната точка;
  • x_(0) - ќе биде максимална точка само кога изводот ќе го промени знакот од минус во плус кога минува низ стационарната точка x_(0) .
    • Најголемата и најмалата вредност на функцијата на интервал

    Чекори за пресметка:

  • Се бара изводот f"(x);
  • Постојат стационарни и критични точкифункции и изберете ги оние што припаѓаат на сегментот;
  • Вредностите на функцијата f(x) се наоѓаат на стационарни и критични точки и краеви на сегментот. Колку е помал од добиените резултати ќе биде најмалата вредност на функцијата, а поголемата ќе биде најголемата.

    • Студија на функции.

    1) D(y) – Домен на дефиниција: множество од сите тие вредности на променливата x. за кои имаат смисла алгебарските изрази f(x) и g(x).

    Ако функцијата е дадена со формула, тогаш доменот на дефиниција се состои од сите вредности на независната променлива за која формулата има смисла.

    2) Својства на функцијата: парни/непарни, периодичност:

    Функциите чии графикони се симетрични во однос на промените во знакот на аргументот се нарекуваат непарни и парни.

      Непарна функција е функција која ја менува својата вредност во спротивна кога се менува знакот на независната променлива (симетрична во однос на центарот на координатите).

      Парна функција е функција која не ја менува својата вредност кога се менува знакот на независната променлива (симетрично во однос на ординатата).

      Ниту парна, ниту непарна функција (функција од општа форма) не е функција што нема симетрија. Оваа категорија вклучува функции што не спаѓаат во претходните 2 категории.

      Се повикуваат функциите кои не припаѓаат на ниту една од горенаведените категории ниту парни ниту непарни(или општи функции).

    Чудни функции

    Непарна моќност каде што е произволен цел број.

    Дури и функции

    Дури и моќта каде што е произволен цел број.

    Периодична функција е функција која ги повторува своите вредности по одреден редовен интервал на аргументот, односно не ја менува својата вредност кога на аргументот додава фиксен ненулти број (период на функцијата) низ целата домен на дефиниција.

    3) Нули (корени) на функцијата се точките каде таа станува нула.

    Наоѓање на пресечната точка на графикот со оската Ој. За да го направите ова, треба да ја пресметате вредноста ѓ(0). Најдете ги и точките на пресек на графикот со оската Вол, зошто да се најдат корените на равенката ѓ(x) = 0 (или проверете дали нема корени).

    Точките на кои графикот ја пресекува оската се нарекуваат нули на функцијата. За да ги пронајдете нулите на функцијата, треба да ја решите равенката, односно да ги пронајдете оние вредности на „x“ на кои функцијата станува нула.

    4) Интервали на постојаност на знаци, знаци во нив.

    Интервали каде функцијата f(x) одржува знак.

    Интервал на константен знак е интервал во секоја точка од која функцијата е позитивна или негативна.

    НАД x-оската.

    ПОД оската.

    5) Континуитет (точки на дисконтинуитет, природа на дисконтинуитет, асимптоти).

    Континуирана функција е функција без „скокови“, односно онаа во која малите промени во аргументот доведуваат до мали промени во вредноста на функцијата.

    Отстранливи точки на прекин

    Ако границата на функцијата постои, но функцијата не е дефинирана во овој момент, или границата не се совпаѓа со вредноста на функцијата во оваа точка:

    ,

    тогаш точката се нарекува отстранлива точка на прекинфункции (во сложена анализа, отстранлива еднина точка).

    Ако ја „поправиме“ функцијата на точката на отстранлив дисконтинуитет и ставиме , тогаш добиваме функција која е континуирана во дадена точка. Оваа операција на функција се нарекува проширување на функцијата на континуираноили редефинирање на функцијата по континуитет, што го оправдува името на точката како точка отстранливруптура.

    Точки на дисконтинуитет од прв и втор вид

    Ако функцијата има дисконтинуитет во дадена точка (односно, границата на функцијата во дадена точка е отсутна или не се совпаѓа со вредноста на функцијата во дадена точка), тогаш за нумерички функции постојат две можни опции поврзани со постоењето на нумерички функции еднострани граници:

      ако и двете еднострани граници постојат и се конечни, тогаш таквата точка се нарекува точка на дисконтинуитет од првиот вид.

      Отстранливите точки на дисконтинуитет се точки на дисконтинуитет од првиот вид;

    ако барем една од едностраните граници не постои или не е конечна вредност, тогаш таквата точка се нарекува точка на дисконтинуитет од вториот вид. Асимптота -директно , кој има својство дека растојанието од точка на кривата до овасе стреми кон нула додека точката се оддалечува по гранката до бесконечност.

    Вертикална

    Вертикална асимптота - гранична линија .

    Како по правило, при одредување на вертикалната асимптота, тие бараат не една граница, туку две еднострани (лево и десно). Ова е направено со цел да се одреди како функцијата се однесува додека се приближува до вертикалната асимптота од различни насоки. На пример:

    Хоризонтална

    Хоризонтална асимптота - Асимптота -видови, предмет на постоење ограничување

    .

    Наклонет

    Коси асимптота - Асимптота -видови, предмет на постоење граници

    Забелешка: функцијата може да има не повеќе од две коси (хоризонтални) асимптоти.

    Забелешка: ако барем една од двете граници споменати погоре не постои (или е еднаква на ), тогаш косата асимптота на (или ) не постои.

    ако во точка 2.), тогаш, и границата се наоѓа со помош на формулата за хоризонтална асимптота, .

    6) Наоѓање интервали на монотоност. Најдете интервали на монотоност на функцијата ѓ(x) (односно, интервали на зголемување и намалување). Ова се прави со испитување на знакот на дериватот ѓ(x). За да го направите ова, пронајдете го дериватот ѓ(x) и решете ја неравенството ѓ(x) 0. На интервали каде што важи оваа нееднаквост, функцијата ѓ(x) се зголемува. Каде што важи обратната нееднаквост ѓ(x)0, функција ѓ(x) се намалува.

    Наоѓање локален екстрем. Откако ги најдовме интервалите на монотоност, веднаш можеме да ги одредиме локалните екстремни точки каде што зголемувањето се заменува со намалување, се наоѓаат локални максимални и каде што намалувањето се заменува со зголемување, се наоѓаат локални минимуми. Пресметајте ја вредноста на функцијата во овие точки. Ако функцијата има критични точки кои не се локални екстремни точки, тогаш корисно е да се пресмета вредноста на функцијата и во овие точки.

    Наоѓање на најголемите и најниски вредностифункции y = f(x) на интервал (продолжение)

    1. Најдете го изводот на функцијата: ѓ(x).

    2. Најдете ги точките во кои изводот е нула: ѓ(x)=0x 1, x 2 ,...

    3. Определете ја припадноста на бодовите X 1 ,X 2 , … сегмент [ а; б]: нека x 1а;б, А x 2а;б .

    4. Најдете ги вредностите на функцијата во избраните точки и на краевите на сегментот: ѓ(x 1), ѓ(x 2),..., ѓ(x а),ѓ(x б),

    5. Избирање на најголемите и најмалите вредности на функцијата од пронајдените.

    Коментар.Ако на сегментот [ а; б] постојат точки на дисконтинуитет, тогаш е неопходно да се пресметаат едностраните граници на нив, а потоа да се земат предвид нивните вредности при изборот на најголемите и најмалите вредности на функцијата.

    7) Наоѓање интервали на конвексност и конкавност. Ова се прави со испитување на знакот на вториот дериват ѓ(x). Најдете точки на флексија на спојниците на конвексните и конкавните интервали. Пресметај ја вредноста на функцијата на точките на флексија. Ако функцијата има други точки на континуитет (освен точките на флексија) во кои вториот извод е 0 или не постои, тогаш исто така е корисно да се пресмета вредноста на функцијата во овие точки. Откако најдоа ѓ(x), ја решаваме неравенството ѓ(x) 0. На секој од интервалите на решението, функцијата ќе биде конвексна надолу. Решавање на инверзна неравенка ѓ(x)0, ги наоѓаме интервалите во кои функцијата е конвексна нагоре (т.е. конкавна). Ние ги дефинираме точките на флексија како оние точки во кои функцијата ја менува насоката на конвексност (и е континуирана).

    Точка на флексија на функцијата е точката во која функцијата е континуирана и кога поминува низ која функцијата го менува правецот на конвексност.

    Услови за постоење

    Неопходен услов за постоење на точка на флексија: ако функцијата е двапати диференцијабилна во некое пробиено соседство на точката, тогаш или .

    . За да го направите ова, користете милиметарска хартија или графички калкулатор. Изберете кој било број нумерички вредности за независната променлива x (\displaystyle x) и приклучете ги во функцијата за да ги пресметате вредностите за зависната променлива y (\displaystyle y). Нацртај ги пронајдените координати на точките накоординатна рамнина
    • , а потоа поврзете ги овие точки за да ја нацртате функцијата.

    Заменете ги позитивните нумерички вредности x (\displaystyle x) и соодветните негативни нумерички вредности во функцијата. На пример, дадена функција f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . Заменете ги следните вредности x (\displaystyle x) во него:

    Проверете дали графикот на функцијата е симетричен во однос на оската Y Под симетрија мислиме на огледалната слика на графикот за y-оската. Ако делот од графиконот десно од Y-оската (позитивни вредности на независната променлива) е ист како делот од графиконот лево од Y-оската (негативни вредности на независната променлива ), графикот е симетричен за Y-оската Ако функцијата е симетрична во однос на y-оската, функцијата е парна. Проверете дали графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото.Потеклото е точката со координати (0,0). Симетријата за потеклото значи дека позитивна вредност на y (\displaystyle y) (за

  • Проверете дали графикот на функцијата има некаква симетрија.

    • Ве молиме имајте предвид дека функцијата f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) може да се запише на следниов начин: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Кога е напишана во оваа форма, функцијата се појавува дури и затоа што има парен експонент. Но, овој пример докажува дека типот на функцијата не може брзо да се одреди ако независната променлива е затворена во загради. Во овој случај, треба да ги отворите заградите и да ги анализирате добиените експоненти.


    Во јули 2020 година, НАСА започнува експедиција на Марс. Леталото ќе достави на Марс електронски медиум со имињата на сите регистрирани учесници во експедицијата.

    Ако оваа објава ви го реши проблемот или едноставно ви се допадна, споделете ја врската до неа со вашите пријатели на социјалните мрежи.

    Една од овие опции за код треба да се копира и залепи во кодот на вашата веб-страница, по можност помеѓу ознаките и или веднаш по ознаката. Според првата опција, MathJax се вчитува побрзо и помалку ја успорува страницата. Но, втората опција автоматски ги следи и вчитува најновите верзии на MathJax. Ако го вметнете првиот код, тој ќе треба периодично да се ажурира. Ако го вметнете вториот код, страниците ќе се вчитуваат побавно, но нема да треба постојано да ги следите ажурирањата на MathJax.

    Уште една новогодишна ноќ... ладно време и снегулки на прозорското стакло... Сето ова ме поттикна повторно да пишувам за... фракталите и што знае Волфрам Алфа за тоа. Има интересна статија на оваа тема, која содржи примери на дводимензионални фрактални структури. Овде ќе разгледаме повеќе сложени примеритридимензионални фрактали.

    Фракталот може визуелно да се претстави (опише) како геометриска фигура или тело (што значи дека и двете се збир, во овој случај, збир на точки), чии детали имаат иста форма како и самата оригинална фигура. Тоа е, ова е само-слична структура, испитувајќи ги деталите од кои кога ќе се зголемат, ќе ја видиме истата форма како без зголемување. Додека кај обичните геометриска фигура(не фрактал), кога ќе се зумира ќе видиме детали кои имаат повеќе едноставна формаотколку самата оригинална фигура. На пример, при доволно големо зголемување, дел од елипсата изгледа како сегмент од права линија. Ова не се случува со фракталите: со секое зголемување на нив повторно ќе го видиме истото сложена форма, што ќе се повторува повторно и повторно со секое зголемување.

    Беноа Манделброт, основачот на науката за фрактали, во својата статија Фрактали и уметност во име на науката напиша: „Фракталите се геометриски форми, кој во подеднаквосложени во нивните детали како и во нивната општа форма. Односно, ако дел од фракталот се зголеми до големината на целината, тој ќе се појави како целина, или точно, или можеби со мала деформација“.