Содржината на статијата

МАТЕМАТИЧКА АНАЛИЗА,гранка на математиката која обезбедува методи за квантитативно проучување на различни процеси на промени; се занимава со проучување на брзината на промена (диференцијално сметање) и определување на должините на кривите, плоштините и волумените на фигурите ограничени со криви контури и површини (интегрално сметање). За проблемите на математичката анализа е типично нивното решение да се поврзува со концептот на граница.

Почетокот на математичката анализа беше поставен во 1665 година од И. Њутн и (околу 1675 година) независно од Г. Лајбниц, иако важна подготвителна работа беше извршена од И. Кеплер (1571-1630), Ф. Кавалиери (1598-1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) и I. Barrow (1630–1677).

За да ја направиме презентацијата поживописна, ќе прибегнеме кон јазикот на графиката. Затоа, може да биде корисно за читателот да ја разгледа статијата АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА пред да започне да ја чита оваа статија.

ДИФЕРЕНЦИЈАЛЕН КАЛКУЛУС

Тангенти.

На сл. 1 покажува фрагмент од кривата y = 2x – x 2, затворен помеѓу x= –1 и x= 3. Доволно малите сегменти од оваа крива изгледаат праволини. Со други зборови, ако Ре произволна точка на оваа крива, тогаш низ оваа точка минува одредена права линија и која е приближување на кривата во мало соседство на точката Р, и колку е помало соседството, толку е подобро приближувањето. Таквата линија се нарекува тангента на кривата во точката Р. Главната задача на диференцијалното сметање е да изгради општ метод кој овозможува да се најде насоката на тангента во која било точка на кривата во која постои тангента. Не е тешко да се замисли крива со остар прекин (сл. 2). Ако Ре врвот на таков прекин, тогаш можеме да конструираме приближна права линија П.Т. 1 – десно од точката Ри уште една приближна права линија RT 2 - лево од точката Р. Но, не постои една права линија што минува низ точка Р, кој подеднакво добро се приближуваше кон кривата во близина на точката Пи од десната и од левата страна, затоа тангентата во точката Пне постои.

На сл. 1 тангента ОДизвлечен преку потеклото ЗА= (0,0). Наклонот на оваа линија е 2, т.е. кога апсцисата се менува за 1, ординатата се зголемува за 2. Ако xИ y– координати на произволна точка на ОД, потоа, оддалечувајќи се од ЗАна далечина Xединици десно, се оддалечуваме од ЗАна 2 yединици нагоре. Оттука, y/x= 2, или y = 2x. Ова е тангентната равенка ОДдо кривата y = 2x – x 2 во точка ЗА.

Сега е неопходно да се објасни зошто, надвор од множеството линии што минуваат низ точката ЗА, се избира права линија ОД. Како права линија со наклон од 2 се разликува од другите права? Има еден едноставен одговор, и тешко е да се одолее на искушението да се даде користејќи ја аналогијата на тангента на круг: тангента ОДима само една заедничка точка со кривата, додека која било друга невертикална права што минува низ точката ЗА, двапати ја пресекува кривата. Ова може да се потврди на следниов начин.

Од изразот y = 2x – x 2 може да се добие со одземање X 2 од y = 2x(равенки на права линија ОД), потоа вредностите yима помалку знаење за графикот yза права линија во сите точки освен точката x= 0. Затоа, графикот е насекаде освен точката ЗА, кој се наоѓа подолу ОД, а оваа линија и графикот имаат само една заедничка точка. Покрај тоа, ако y = mx- равенка на некоја друга права што минува низ точка ЗА, тогаш дефинитивно ќе има две точки на пресек. Навистина, mx = 2x – x 2 не само кога x= 0, но исто така и на x = 2 – м. И само кога м= 2 двете пресечни точки се совпаѓаат. На сл. 3 го прикажува случајот кога ме помала од 2, па десно од ЗАсе појавува втора пресечна точка.

Што ОД– единствената невертикална права линија што минува низ точка ЗАи има само една заедничка точка со графикот, а не неговото најважно својство. Навистина, ако се свртиме кон други графикони, наскоро ќе стане јасно дека тангентното својство што го забележавме не е задоволено во општиот случај. На пример, од Сл. 4 јасно е дека во близина на точката (1,1) графикот на кривата y = x 3 е добро приближно со права линија RTкоја сепак има повеќе од една заедничка точка со неа. Сепак, би сакале да размислиме RTтангента на овој график во точка Р. Затоа, неопходно е да се најде некој друг начин да се истакне тангентата од оној што ни послужи толку добро во првиот пример.

Да го претпоставиме тоа преку поентата ЗАи произволна точка П = (ч,к) на графикот на кривата y = 2x – x 2 (сл. 5) се повлекува права линија (наречена секанта). Замена на вредностите во равенката на кривата x = чИ y = к, го сфаќаме тоа к = 2ч – ч 2, според тоа, аголниот коефициент на секантата е еднаков на

На многу мали чзначење мблиску до 2. Згора на тоа, изборот чдоволно блиску до 0 можеме да направиме мпроизволно блиску до 2. Можеме да кажеме дека м„се стреми кон границата“ еднаква на 2 кога чсе стреми кон нула, или без разлика на границата ме еднакво на 2 во чсо тенденција на нула. Симболично е напишано вака:

Потоа тангентата на графикот во точката ЗАсе дефинира како права линија што минува низ точка ЗА, со наклон еднаков на оваа граница. Оваа дефиниција за тангента е применлива во општиот случај.

Да ги покажеме предностите на овој пристап со уште еден пример: да го најдеме наклонот на тангентата на графикот на кривата y = 2x – x 2 во која било точка П = (x,y), не ограничувајќи се на наједноставниот случај кога П = (0,0).

Нека П = (x + ч, y + к) – втората точка на графикот, која се наоѓа на растојание чна десно од Р(сл. 6). Треба да го најдеме наклонот к/чсекант PQ. Точка Пе на далечина

над оската X.

Отворајќи ги заградите, наоѓаме:

Одземање од оваа равенка y = 2x – x 2, пронајдете го вертикалното растојание од точката Рдо точка П:

Затоа, наклонот мсекант PQеднакви

Сега тоа чима тенденција на нула, мима тенденција на 2 – 2 x; Последната вредност ќе ја земеме како аголен коефициент на тангентата П.Т.. (Истиот резултат ќе се случи ако чзема негативни вредности, што одговара на изборот на точка Плево од П.) Забележете дека кога x= 0 добиениот резултат се совпаѓа со претходниот.

Израз 2 – 2 xнаречен дериват на 2 x – x 2. Во старите денови, дериватот се нарекувал и „диференцијален однос“ и „диференцијален коефициент“. Ако со изразот 2 x – x 2 назначи ѓ(x), т.е.

тогаш може да се означи изводот

Со цел да се дознае наклонот на тангентата на графикот на функцијата y = ѓ(x) во одреден момент, неопходно е да се замени ѓў ( x) вредност што одговара на оваа точка X. Така, наклонот ѓ• (0) = 2 во X = 0, ѓ• (0) = 0 во X= 1 и ѓ• (2) = –2 во X = 2.

Се означува и дериватот наў , ди/dx, D x yИ Ду.

Фактот дека кривата y = 2x – x 2 во близина на дадена точка практично не се разликува од нејзината тангента во оваа точка, ни овозможува да зборуваме за аголниот коефициент на тангентата како „аголниот коефициент на кривата“ во точката на тангенција. Така, можеме да кажеме дека наклонот на кривата што ја разгледуваме има наклон од 2 во точката (0,0).Можеме да кажеме и дека кога x= 0 стапка на промена yрелативно xе еднаква на 2. Во точката (2,0) наклонот на тангентата (и кривата) е –2. (Знакот минус значи дека како што се зголемуваме xпроменлива yсе намалува.) Во точката (1,1) тангентата е хоризонтална. Ние велиме дека тоа е крива y = 2x – x 2 има стационарна вредност во овој момент.

Високи и падови.

Штотуку покажавме дека кривата ѓ(x) = 2x – x 2 е неподвижна во точката (1,1). Бидејќи ѓў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), јасно е дека кога x, помалку од 1, ѓў ( x) е позитивно, и затоа yсе зголемува; на x, голем 1, ѓў ( x) е негативен и затоа yсе намалува. Така, во близина на точката (1,1), наведена на сл. 6 буква М, што значи нарасте до точка М, неподвижна во точка Ма се намалува по точката М. Оваа точка се нарекува „максимум“ бидејќи вредноста наво овој момент надминува која било од неговите вредности во доволно мало соседство. Слично на тоа, „минимумот“ се дефинира како точка во чија близина се сите вредности yја надминува вредноста натокму во овој момент. Може да се случи и дека иако дериватот на ѓ(x) во одредена точка и исчезнува, неговиот знак во близина на оваа точка не се менува. Таквата точка, која не е ниту максимум, ниту минимум, се нарекува точка на флексија.

Како пример, да ја најдеме неподвижната точка на кривата

Изводот на оваа функција е еднаков на

и оди на нула во x = 0, X= 1 и X= –1; тие. на поени (0,0), (1, –2/15) и (–1, 2/15). Ако Xтогаш нешто помалку од –1 ѓў ( x) е негативен; Ако Xтогаш малку повеќе од –1 ѓў ( x) е позитивен. Затоа, точката (–1, 2/15) е максимум. Слично, може да се покаже дека точката (1, –2/15) е минимум. Но дериватот ѓў ( x) е негативен и пред точката (0,0) и по неа. Според тоа, (0,0) е точката на флексија.

Проучување на обликот на кривата, како и фактот дека кривата ја пресекува оската Xна ѓ(x) = 0 (т.е. кога X= 0 или ) ни овозможи да го прикажеме неговиот график приближно како што е прикажано на сл. 7.

Општо земено, ако ги исклучиме невообичаените случаи (криви кои содржат прави отсечки или бесконечен број на свиоци), постојат четири опции за релативната положба на кривата и тангентата во близина на тангентната точка Р. (Цм. оризот. 8, на кој тангентата има позитивен наклон.)

1) Од двете страни на точката Ркривата лежи над тангентата (сл. 8, А). Во овој случај тие велат дека кривата во точката Рконвексен надолу или конкавен.

2) Од двете страни на точката Ркривата се наоѓа под тангентата (сл. 8, б). Во овој случај, се вели дека кривата е конвексна нагоре или едноставно конвексна.

3) и 4) Кривата се наоѓа над тангентата на едната страна од точката Ра подолу - од друга. Во овој случај Р– точка на флексија.

Споредување на вредности ѓў ( x) од двете страни на Рсо неговата вредност во точката Р, може да се утврди со кој од овие четири случаи треба да се справи во одреден проблем.

Апликации.

Сето горенаведено има важна примена во различни области. На пример, ако телото е фрлено вертикално нагоре со почетна брзина од 200 стапки во секунда, тогаш висината с, на кој ќе бидат лоцирани преку тсекунди во однос на почетната точка ќе биде

Постапувајќи на ист начин како и во примерите што ги разгледавме, наоѓаме

оваа количина оди на нула при в. Дериват ѓў ( x) е позитивен до вредноста c и негативен после ова време. Оттука, ссе зголемува до , потоа станува неподвижна, а потоа се намалува. Ова е општ опис на движењето на телото фрлено нагоре. Од него знаеме кога телото ја достигнува својата највисока точка. Следно, замена т= 25/4 V ѓ(т), добиваме 625 стапки, максимална висина на подигање. Во овој проблем ѓў ( т) има физичко значење. Овој дериват ја покажува брзината со која телото се движи во миг т.

Сега да разгледаме апликација од друг тип (сл. 9). Од лист картон со површина од 75 cm2, треба да направите кутија со квадратно дно. Кои треба да бидат димензиите на оваа кутија за да има максимален волумен? Ако X– страна на основата на кутијата и че неговата висина, тогаш волуменот на кутијата е В = x 2 ч, а површината е 75 = x 2 + 4џ.х. Трансформирајќи ја равенката, добиваме:

Дериват на Визлегува дека е еднакво

и оди на нула во X= 5. Потоа

И В= 125/2. График на функција В = (75x – x 3)/4 е прикажано на сл. 10 (негативни вредности Xиспуштено бидејќи нема физичко значење во овој проблем).

Деривати.

Важна задача на диференцијалното пресметување е создавање методи кои ви овозможуваат брзо и практично да најдете деривати. На пример, лесно е да се пресмета тоа

(Дериватот на константата е, се разбира, нула.) Не е тешко да се изведе општо правило:

Каде n– кој било цел број или дропка. На пример,

(Овој пример покажува колку се корисни фракционите експоненти.)

Еве некои од најважните формули:

Постојат и следниве правила: 1) ако секоја од двете функции е(x) И ѓ(x) има изводи, тогаш изводот на нивниот збир е еднаков на збирот на изводите на овие функции, а изводот на разликата е еднаков на разликата на изводите, т.е.

2) изводот на производот од две функции се пресметува со формулата:

3) изводот на односот на две функции има форма

4) изводот на функцијата помножен со константа е еднаков на константата помножена со изводот на оваа функција, т.е.

Често се случува вредностите на функцијата да се пресметуваат чекор по чекор. На пример, да се пресмета гревот x 2, прво треба да најдеме u = x 2, а потоа пресметајте го синусот на бројот u. Го наоѓаме дериватот на такви сложени функции користејќи го таканареченото „правило на синџирот“:

Во нашиот пример ѓ(u) = грев u, ѓў ( u) = кос u, оттука,

Овие и други слични правила ви овозможуваат веднаш да запишете деривати на многу функции.

Линеарни приближувања.

Фактот дека, знаејќи го изводот, во многу случаи можеме да го замениме графикот на функцијата во близина на одредена точка со нејзината тангента во оваа точка е од големо значење, бидејќи е полесно да се работи со прави линии.

Оваа идеја наоѓа директна примена во пресметувањето на приближните вредности на функциите. На пример, доста е тешко да се пресмета вредноста кога x= 1.033. Но, можете да го искористите фактот дека бројот 1.033 е блиску до 1 и дека . Одблизу x= 1 можеме да го замениме графикот со тангента крива без да направиме сериозни грешки. Аголниот коефициент на таквата тангента е еднаков на вредноста на изводот ( x 1/3)ў = (1/3) x–2/3 на x = 1, т.е. 1/3. Бидејќи точката (1,1) лежи на кривата и аголниот коефициент на тангентата на кривата во оваа точка е еднаков на 1/3, тангентата равенка има форма

На оваа права линија X = 1,033

Добиена вредност yтреба да биде многу блиску до вистинската вредност y; и, навистина, тоа е само 0,00012 повеќе од вистинската. Во математичката анализа, развиени се методи кои овозможуваат да се зголеми точноста на овој вид линеарни приближувања. Овие методи ја обезбедуваат веродостојноста на нашите приближни пресметки.

Процедурата штотуку опишана сугерира една корисна нотација. Нека П– точка која одговара на графикот на функцијата ѓпроменлива X, и нека функцијата ѓ(x) е диференцијабилна. Да го замениме графикот на кривата во близина на точката Ртангента на неа нацртана во оваа точка. Ако Xпромена по вредност ч, тогаш ординатата на тангентата ќе се промени за износот чХ ѓ ў ( x). Ако че многу мала, тогаш последната вредност служи како добра апроксимација на вистинската промена во ординатата yграфички уметности. Ако наместо тоа чќе напишеме симбол dx(ова не е производ!), туку промена на ординатите yда означиме ди, тогаш добиваме ди = ѓ ў ( x)dx, или ди/dx = ѓ ў ( x) (цм. оризот. единаесет). Затоа, наместо Дајили ѓ ў ( x) симболот често се користи за означување на извод ди/dx. Практичноста на оваа нотација зависи главно од експлицитниот изглед на правилото на синџирот (диференцијација на сложена функција); во новата нотација оваа формула изгледа вака:

каде што се подразбира дека назависи од u, А uза возврат зависи од X.

Магнитуда динаречен диференцијал на; во реалноста зависи од двапроменливи, имено: од Xи зголемувања dx. Кога зголемувањето dxмногу мала големина дие блиску до соодветната промена на вредноста y. Но, да претпоставиме дека зголемувањето dxмалку, нема потреба.

Извод на функција y = ѓ(x) назначивме ѓ ў ( x) или ди/dx. Често е можно да се земе дериватот на дериватот. Резултатот се нарекува втор дериват на ѓ (x) и се означува ѓ ўў ( x) или г 2 y/dx 2. На пример, ако ѓ(x) = x 3 – 3x 2, тогаш ѓ ў ( x) = 3x 2 – 6xИ ѓ ўў ( x) = 6x– 6. Слична нотација се користи и за деривати од повисок ред. Меѓутоа, за да се избегнат голем број на потези (еднаков на редоследот на изводот), четвртиот извод (на пример) може да се напише како ѓ (4) (x), и дериватот n-ти ред како ѓ (n) (x).

Може да се покаже дека кривата во точка е конвексна надолу ако вториот извод е позитивен, и конвексна нагоре ако вториот извод е негативен.

Ако функцијата има втор извод, тогаш промената на вредноста y, што одговара на прираст dxпроменлива X, може приближно да се пресмета со помош на формулата

Ова приближување е обично подобро од она што го дава диференцијалот ѓў ( x)dx. Тоа одговара на замена на дел од кривата не со права линија, туку со парабола.

Доколку функцијата ѓ(x) тогаш има деривати од повисоки редови

Преостанатиот термин има форма

Каде x- некој број помеѓу xИ x + dx. Горенаведениот резултат се нарекува Тејлоровата формула со остаток член. Ако ѓ(x) има деривати од сите редови, тогаш обично Rn® 0 на n ® Ґ .

ИНТЕГРАЛЕН КАЛКУЛУС

Квадрати.

При проучување на областите на криволинеарни фигури на рамнина, се откриваат нови аспекти на математичката анализа. Старите Грци се обиделе да решат проблеми од овој вид, за кои определувањето, на пример, областа на кругот било една од најтешките задачи. Архимед постигна голем успех во решавањето на овој проблем, кој исто така успеа да ја пронајде областа на параболичен сегмент (сл. 12). Користејќи многу сложено расудување, Архимед докажал дека плоштината на параболичен сегмент е 2/3 од плоштината на ограничениот правоаголник и затоа, во овој случај е еднаква на (2/3)(16) = 32/ 3. Како што ќе видиме подоцна, овој резултат може лесно да се добие со методи на математичка анализа.

Претходниците на Њутн и Лајбниц, главно Кеплер и Кавалиери, ги решија проблемите за пресметување на областите на криволинеарни фигури користејќи метод што тешко може да се нарече логички здрав, но кој се покажа како исклучително плоден. Кога Волис во 1655 година ги комбинира методите на Кеплер и Кавалиери со методите на Декарт (аналитичка геометрија) и ја искористи предноста на новопојавената алгебра, сцената беше целосно подготвена за појавата на Њутн.

Волис ја подели фигурата, површината на која требаше да се пресмета, на многу тесни ленти, од кои секоја приближно ја сметаше за правоаголник. Потоа ги собра плоштините на приближните правоаголници и во наједноставните случаи ја доби вредноста кон која се стремеше збирот на плоштините на правоаголниците кога бројот на ленти се стреми кон бесконечност. На сл. Слика 13 покажува правоаголници што одговараат на одредена поделба на ленти од областа под кривата y = x 2 .

Главна теорема.

Големото откритие на Њутн и Лајбниц овозможило да се елиминира макотрпниот процес на одење до границата на збирот на области. Ова беше направено благодарение на новиот поглед на концептот на област. Поентата е во тоа што мораме да ја замислиме областа под кривата како генерирана од ордината која се движи од лево кон десно и да прашаме со која брзина се менува областа што ја зафаќаат ординатите. Клучот за одговор на ова прашање ќе го добиеме ако земеме предвид два посебни случаи во кои областа е однапред позната.

Да почнеме со плоштината под графиконот на линеарна функција y = 1 + x, бидејќи во овој случај површината може да се пресмета со помош на елементарна геометрија.

Нека А(x) – дел од рамнината затворен помеѓу права линија y = 1 + xи сегмент OQ(Сл. 14). При возење QPдесната област А(x) се зголемува. Со која брзина? Не е тешко да се одговори на ова прашање, бидејќи знаеме дека површината на трапезоидот е еднаква на производот на неговата висина и половина од збирот на неговите основи. Оттука,

Стапка на промена на површината А(x) се определува со неговиот дериват

Го гледаме тоа Аў ( x) се поклопува со ординатата напоени Р. Дали е ова случајност? Ајде да се обидеме да ја провериме параболата прикажана на сл. 15. Површина А (x) под параболата на = X 2 во опсег од 0 до Xеднаква на А(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Стапката на промена на оваа област се определува со изразот

што точно се поклопува со ординатата наподвижна точка Р.

Ако претпоставиме дека ова правило важи во општиот случај така што

е брзината на промена на плоштината под графикот на функцијата y = ѓ(x), тогаш ова може да се користи за пресметки и други области. Всушност, односот Аў ( x) = ѓ(x) изразува фундаментална теорема која може да се формулира на следниов начин: изводот, или стапката на промена на плоштината во функција на X, еднаква на вредноста на функцијата ѓ (x) во точка X.

На пример, да се најде областа под графиконот на функцијата y = x 3 од 0 до X(сл. 16), да ставиме

Можен одговор гласи:

бидејќи дериватот на X 4/4 е навистина еднаква X 3. Освен тоа, А(x) е еднаква на нула во X= 0, како што треба да биде ако А(x) е навистина област.

Математичката анализа докажува дека не постои друг одговор освен горенаведениот израз за А(x), не постои. Дозволете ни да покажеме дека оваа изјава е веродостојна користејќи го следното хеуристичко (неригорозно) расудување. Да претпоставиме дека има некое второ решение ВО(x). Ако А(x) И ВО(x) „почнете“ истовремено од нулта вредност на X= 0 и постојано се менуваат со иста брзина, тогаш нивните вредности не можат да бидат Xне може да стане поинаква. Тие мора да се совпаѓаат насекаде; затоа, постои единствено решение.

Како можете да ја оправдате врската? Аў ( x) = ѓ(x) генерално? Ова прашање може да се одговори само со проучување на стапката на промена на плоштината во функција на Xгенерално. Нека м– најмалата вредност на функцијата ѓ (x) во опсег од Xпред ( x + ч), А М– најголемата вредност на оваа функција во истиот интервал. Потоа зголемувањето на површината при движење од XДо ( x + ч) мора да биде затворен помеѓу плоштините на два правоаголници (сл. 17). Основите на двата правоаголници се еднакви ч. Помалиот правоаголник има висина ми површина мч, поголем, соодветно, МИ Мх. На графикот на површина наспроти X(сл. 18) јасно е дека кога апсцисата се менува во ч, ординатна вредност (т.е. површина) се зголемува за износот помеѓу мчИ Мх. Секантниот наклон на овој график е помеѓу мИ М. што се случува кога чима тенденција на нула? Ако графикот на функцијата y = ѓ(x) е континуирано (т.е. не содржи дисконтинуитети), тогаш М, И мимаат тенденција да ѓ(x). Затоа, наклонот Аў ( x) график на плоштина во функција на Xеднакви ѓ(x). Ова е токму заклучокот до кој требаше да се дојде.

Лајбниц предложил за областа под крива y = ѓ(x) од 0 до Аознака

Во ригорозен пристап, овој таканаречен дефинитивен интеграл треба да се дефинира како граница на одредени суми на начин на Волис. Со оглед на резултатот добиен погоре, јасно е дека овој интеграл се пресметува под услов да можеме да најдеме таква функција А(x), кој исчезнува кога X= 0 и има извод Аў ( x), еднаква на ѓ (x). Наоѓањето на таква функција обично се нарекува интеграција, иако би било посоодветно оваа операција да се нарече антидиференцијација, што значи дека во извесна смисла е инверзна на диференцијација. Во случај на полином, интеграцијата е едноставна. На пример, ако

што е лесно да се провери со диференцирање А(x).

Да се ​​пресмета површината А 1 под кривата y = 1 + x + x 2/2, затворен помеѓу ординатите 0 и 1, едноставно пишуваме

и, замена X= 1, добиваме А 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Плоштад А(x) од 0 до 2 е еднакво на А 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Како што може да се види од сл. 19, областа затворена помеѓу ординатите 1 и 2 е еднаква на А 2 – А 1 = 11/3. Обично се пишува како определен интеграл

Томови.

Сличното размислување го прави изненадувачки лесно да се пресметаат волумените на телата на револуцијата. Да го демонстрираме ова со примерот на пресметување на волуменот на сферата, уште еден класичен проблем кој античките Грци, користејќи ги методите кои им се познати, успеале да го решат со голема тешкотија.

Ајде да ротираме дел од рамнината содржана во четвртина круг од радиус р, под агол од 360° околу оската X. Како резултат на тоа, добиваме хемисфера (слика 20), чиј волумен го означуваме В(x). Треба да ја одредиме стапката со која се зголемува В(x) со зголемување x. Се движат од XДо X + ч, лесно е да се потврди дека зголемувањето на волуменот е помало од волуменот стр(р 2 – x 2)чкружен цилиндар со радиус и висина ч, и повеќе од волумен стр[р 2 – (x + ч) 2 ]чрадиус и висина на цилиндарот ч. Според тоа, на графикот на функцијата В(x) аголниот коефициент на секантата е помеѓу стр(р 2 – x 2) и стр[р 2 – (x + ч) 2 ]. Кога чсе стреми кон нула, наклонот се стреми кон

На x = рдобиваме

за волуменот на хемисферата и затоа 4 стр 3/3 за волуменот на целата топка.

Сличен метод овозможува да се најдат должините на кривините и областите на заоблените површини. На пример, ако а(x) – должина на лакот ПРво Сл. 21, тогаш нашата задача е да пресметаме аў( x). На хеуристичко ниво, ќе користиме техника која ни овозможува да не прибегнуваме кон вообичаеното преминување до границата, што е неопходно за ригорозно докажување на резултатот. Да претпоставиме дека стапката на промена на функцијата А(x) во точка Ристо како што би било кога кривата би се заменила со нејзината тангента П.Т.во точката П. Но, од Сл. 21 е директно видлив при стапнување чдесно или лево од точката Xзаедно RTзначење А(x) се менува во

Според тоа, стапката на промена на функцијата а(x) е

За да ја пронајдете самата функција а(x), само треба да го интегрирате изразот на десната страна на еднаквоста. Излегува дека интеграцијата е доста тешка за повеќето функции. Затоа, развојот на методите на интегрално пресметување сочинува голем дел од математичката анализа.

Антидеривати.

Секоја функција чиј извод е еднаков на дадената функција ѓ(x), се нарекува антидериватив (или примитивен) за ѓ(x). На пример, X 3/3 – антидериват за функцијата X 2 од ( x 3 /3)ў = x 2. Секако X 3/3 не е единствениот антидериват на функцијата X 2 затоа што x 3 /3 + Ве исто така дериват за X 2 за која било константа СО. Меѓутоа, во следново, се согласуваме да ги изоставиме таквите адитивни константи. Генерално

Каде nе позитивен цел број, бидејќи ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. Релацијата (1) е задоволена во уште поопшта смисла ако nзамени со кој било рационален број к, освен –1.

Произволна антидеривативна функција за дадена функција ѓ(x) обично се нарекува неопределен интеграл на ѓ(x) и означете го во форма

На пример, бидејќи (грев x)ў = cos x, формулата е валидна

Во многу случаи каде што постои формула за неопределен интеграл на дадена функција, таа може да се најде во бројни широко објавени табели на неопределени интеграли. Интегралите од елементарните функции се табеларни (вклучуваат моќи, логаритми, експоненцијални функции, тригонометриски функции, инверзни тригонометриски функции, како и нивни конечни комбинации добиени со помош на операциите собирање, одземање, множење и делење). Со помош на табеларни интеграли можете да пресметате интеграли на посложени функции. Постојат многу начини за пресметување на неопределени интеграли; Најчестиот од нив е методот на замена или супституција на променливата. Се состои во тоа што ако сакаме да замениме во неопределен интеграл (2) xна некоја диференцијабилна функција x = е(u), тогаш за интегралот да остане непроменет, потребно е xзаменет со еў ( u)ду. Со други зборови, еднаквоста

(замена 2 x = u, од каде 2 dx = ду).

Да претставиме уште еден метод на интеграција - методот на интеграција по делови. Се заснова на веќе позната формула

Со интегрирање на левата и десната страна и земајќи го предвид тоа

Оваа формула се нарекува формула за интеграција по делови.

Пример 2. Треба да најдете. Бидејќи кос x= (грев x)ў , можеме да го напишеме тоа

Од (5), под претпоставка u = xИ v= грев x, добиваме

И бидејќи (–cos x)ў = грев xго наоѓаме тоа

Треба да се нагласи дека се ограничивме само на многу краток вовед во една многу огромна тема во која се акумулирани бројни генијални техники.

Функции на две променливи.

Поради кривата y = ѓ(x) разгледавме два проблема.

1) Најдете го аголниот коефициент на тангентата на кривата во дадена точка. Овој проблем се решава со пресметување на вредноста на изводот ѓў ( x) во наведената точка.

2) Најдете ја областа под кривата над сегментот на оската X, ограничен со вертикални линии X = АИ X = б. Овој проблем се решава со пресметување на определен интеграл.

Секој од овие проблеми има аналог во случај на површина z = ѓ(x,y).

1) Најдете ја тангентата рамнина на површината во дадена точка.

2) Најдете ја волуменот под површината над делот од рамнината xy, ограничена со крива СО, а од страна – нормално на рамнината xyпоминувајќи низ точките на граничната крива СО (цм. оризот. 22).

Следниве примери покажуваат како се решаваат овие проблеми.

Пример 4. Најдете ја тангентата рамнина на површината

во точката (0,0,2).

Рамнина се дефинира ако се дадени две линии што се пресекуваат во неа. Една од овие прави линии ( л 1) влегуваме во авионот xz (на= 0), секунда ( л 2) – во авион yz (x = 0) (цм. оризот. 23).

Прво на сите, ако на= 0, тогаш z = ѓ(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Дериват во однос на X, означено ѓў x(x,0) = –2 – 6x, во X= 0 има вредност -2. Директно л 1 дадена со равенките z = 2 – 2x, на= 0 – тангента на СО 1, линии на пресек на површината со рамнината на= 0. Слично, ако X= 0, тогаш ѓ(0,y) = 2 – y – y 2 , и дериватот во однос на наизгледа како

Бидејќи ѓў y(0,0) = –1, крива СО 2 – линија на пресек на површината со рамнината yz– има тангента л 2 дадени со равенките z = 2 – y, X= 0. Посакуваната тангента рамнина ги содржи двете прави л 1 и л 2 и се запишува со равенката

Ова е равенка на авион. Покрај тоа, добиваме директно л 1 и л 2, под претпоставка, соодветно, на= 0 и X = 0.

Фактот дека равенката (7) навистина дефинира тангента рамнина може да се потврди на хеуристичко ниво со забележување дека оваа равенка содржи термини од прв ред вклучени во равенката (6), и дека членовите од втор ред може да се претстават како –. Бидејќи овој израз е негативен за сите вредности XИ на, освен X = на= 0, површината (6) лежи под рамнината (7) насекаде, освен точката Р= (0,0,0). Можеме да кажеме дека површината (6) е конвексна нагоре во точката Р.

Пример 5. Најдете ја тангентата рамнина на површината z = ѓ(x,y) = x 2 – y 2 на потекло 0.

На површината на= 0 имаме: z = ѓ(x,0) = x 2 и ѓў x(x,0) = 2x. На СО 1, пресечни линии, z = x 2. Во точката Онаклонот е еднаков на ѓў x(0,0) = 0. Во авионот X= 0 имаме: z = ѓ(0,y) = –y 2 и ѓў y(0,y) = –2y. На СО 2, пресечни линии, z = –y 2. Во точката Окрива наклон СО 2 е еднаков ѓў y(0,0) = 0. Бидејќи тангентите на СО 1 и СО 2 се секири XИ на, тангентата рамнина што ги содржи е рамнината z = 0.

Меѓутоа, во соседството на потеклото, нашата површина не е на истата страна од тангентата рамнина. Навистина, крива СО 1 насекаде, освен точката 0, лежи над тангентата рамнина и кривата СО 2 – соодветно под него. Површината се вкрстува со тангентна рамнина z= 0 во прави линии на = XИ на = –X. Се вели дека таквата површина има точка на седлото на почетокот (сл. 24).

Делумни деривати.

Во претходните примери користевме деривати на ѓ (x,y) Од страна Xи од страна на на. Сега да ги разгледаме таквите деривати во поопшта смисла. Ако имаме функција од две променливи, на пример, Ф(x,y) = x 2 – xy, тогаш можеме во секоја точка да ги одредиме неговите два „делумни изводи“, еден со диференцирање на функцијата во однос на Xи фиксирање на, другиот – диференцирање по наи фиксирање X. Првиот од овие деривати е означен како ѓў x(x,y) или ¶ ѓ/¶ x; второ - како ѓ f ў y. Ако двата измешани деривати (од XИ на, Од страна на наИ X) се континуирани, а потоа ¶ 2 ѓ/¶ xy= ¶ 2 ѓ/¶ yx; во нашиот пример ¶ 2 ѓ/¶ xy= ¶ 2 ѓ/¶ yx = –1.

Делумен дериват ѓў x(x,y) ја означува брзината на промена на функцијата ѓво точка ( x,y) во насока на зголемување X, А ѓў y(x,y) – стапка на промена на функцијата ѓво насока на зголемување на. Стапка на промена на функцијата ѓво точка ( X,на) во правец на права линија правејќи агол qсо позитивна насока на оската X, се нарекува извод на функцијата ѓкон; неговата вредност е комбинација од два парцијални изводи на функцијата f во тангентата рамнина е речиси еднаква (на мала dxИ ди) вистинска промена zна површината, но пресметувањето на диференцијалот обично е полесно.

Формулата што веќе ја разгледавме од методот на промена на променливата, позната како извод на сложена функција или правило на синџирот, во еднодимензионалниот случај кога назависи од X, А Xзависи од т, ја има формата:

За функции од две променливи, слична формула има форма:

Концептите и ознаките за делумна диференцијација лесно се генерализираат на повисоки димензии. Особено, ако површината е имплицитно одредена со равенката ѓ(x,y,z) = 0, на равенката на тангентата рамнина на површината може да и се даде посиметрична форма: равенката на тангентата рамнина во точката ( x(x 2 /4)], потоа интегрирана Xод 0 до 1. Конечниот резултат е 3/4.

Формулата (10) може да се толкува и како таканаречен двоен интеграл, т.е. како граница на збирот на волумените на елементарните „клетки“. Секоја таква клетка има база D xД yи висина еднаква на висината на површината над некоја точка од правоаголната основа ( цм. оризот. 26). Може да се покаже дека двете гледишта за формулата (10) се еквивалентни. Двојните интеграли се користат за пронаоѓање на центри на гравитација и бројни моменти кои се среќаваат во механиката.

Поригорозно оправдување на математичкиот апарат.

Досега ги презентиравме концептите и методите на математичка анализа на интуитивно ниво и не се двоумевме да прибегнеме кон геометриски фигури. Останува накратко да ги разгледаме поригорозните методи кои се појавија во 19 и 20 век.

На почетокот на 19 век, кога заврши ерата на бура и притисок во „создавањето математичка анализа“, прашањата за нејзината оправданост дојдоа на прв план. Во делата на Абел, Коши и голем број други извонредни математичари, концептите на „граница“, „континуирана функција“, „конвергентна серија“ беа прецизно дефинирани. Ова беше неопходно за да се воведе логичен редослед во основата на математичката анализа со цел да се направи сигурна алатка за истражување. Потребата за темелно оправдување стана уште поочигледна по откривањето во 1872 година од страна на Вајерштрас на функции кои насекаде беа континуирани, но никаде не може да се разликуваат (графикот на таквите функции има кривина во секоја точка). Овој резултат имаше неверојатен ефект врз математичарите, бидејќи јасно беше во спротивност со нивната геометриска интуиција. Уште повпечатлив пример за несигурноста на геометриската интуиција беше континуираната крива конструирана од D. Peano, која целосно пополнува одреден квадрат, т.е. поминувајќи низ сите негови точки. Овие и други откритија ја покренаа програмата за „аритметизација“ на математиката, т.е. што го прави посигурен со заземјување на сите математички концепти користејќи го концептот број. Речиси пуританското воздржување од јасност во делата за основите на математиката имаше свое историско оправдување.

Според современите канони на логичка строгост, неприфатливо е да се зборува за областа под кривата y = ѓ(x) и над сегментот на оската X, дури ѓ- континуирана функција, без претходно да се дефинира точното значење на поимот „област“ и без да се утврди дека вака дефинираната област навистина постои. Овој проблем беше успешно решен во 1854 година од Б. Риман, кој даде прецизна дефиниција на концептот на определен интеграл. Оттогаш, идејата за сумирање зад концептот на дефинитивен интеграл е предмет на многу длабински студии и генерализации. Како резултат на тоа, денес е можно да се даде значење на определениот интеграл, дури и ако интеграндот е насекаде дисконтинуиран. Новите концепти на интеграција, за чие создавање А. Лебег (1875–1941) и други математичари дадоа голем придонес, ја зголемија моќта и убавината на модерната математичка анализа.

Тешко дека би било соодветно да се навлегуваме во детали за сите овие и други концепти. Ќе се ограничиме само на давање строги дефиниции за границата и определениот интеграл.

Како заклучок, да кажеме дека математичката анализа, како исклучително вредна алатка во рацете на научникот и инженерот, и денес го привлекува вниманието на математичарите како извор на плодни идеи. Во исто време, современиот развој се чини дека укажува дека математичката анализа се повеќе се апсорбира од оние кои доминираат во 20 век. гранки на математиката како апстрактна алгебра и топологија.

На кој ги испитавме наједноставните деривати, а се запознавме и со правилата на диференцијација и некои технички техники за пронаоѓање на деривати. Така, ако не сте многу добри со деривати на функции или некои точки во оваа статија не се сосема јасни, тогаш прво прочитајте ја горната лекција. Ве молам сериозно да се расположите - материјалот не е едноставен, но сепак ќе се обидам да го претставам едноставно и јасно.

Во пракса, мора да се занимавате со изводот на сложена функција многу често, дури би рекол, скоро секогаш, кога ви се даваат задачи да најдете изводи.

Ја гледаме табелата на правилото (бр. 5) за диференцијација на сложена функција:

Ајде да го сфатиме. Пред сè, да обрнеме внимание на записот. Овде имаме две функции - и , а функцијата, фигуративно кажано, е вгнездена во функцијата. Функцијата од овој тип (кога една функција е вгнездена во друга) се нарекува комплексна функција.

Ќе ја повикам функцијата надворешна функција, и функцијата – внатрешна (или вгнездена) функција.

! Овие дефиниции не се теоретски и не треба да се појавуваат во конечниот дизајн на задачите. Јас користам неформални изрази „надворешна функција“, „внатрешна“ функција само за да ви олеснам да го разберете материјалот.

За да ја разјасните ситуацијата, размислете:

Пример 1

Најдете го изводот на функцијата

Под синусот ја немаме само буквата „Х“, туку цел израз, така што наоѓањето на дериватот веднаш од табелата нема да работи. Забележуваме и дека е невозможно да се применат првите четири правила овде, се чини дека има разлика, но факт е дека синусот не може да се „искине на парчиња“:

Во овој пример, веќе е интуитивно јасно од моите објаснувања дека функцијата е сложена функција, а полиномот е внатрешна функција (вградување) и надворешна функција.

Првиот чекорона што треба да го направите кога го наоѓате изводот на сложената функција е да разберете која функција е внатрешна, а која надворешна.

Во случај на едноставни примери, се чини јасно дека полином е вграден под синусот. Но, што ако сè не е очигледно? Како точно да се одреди која функција е надворешна, а која внатрешна? За да го направите ова, предлагам да ја користите следнава техника, која може да се направи ментално или во нацрт.

Да замислиме дека треба да ја пресметаме вредноста на изразот at на калкулатор (наместо еден може да има кој било број).

Што прво ќе пресметаме? Најпрвоќе треба да го извршите следново дејство: , затоа полиномот ќе биде внатрешна функција:

Второќе треба да се најде, па синус - ќе биде надворешна функција:

Откако ние ПРОДАДЕНОсо внатрешни и надворешни функции, време е да се примени правилото за диференцијација на сложените функции .

Да почнеме да одлучуваме. Од лекцијата Како да се најде дериватот?се сеќаваме дека дизајнот на решение за кој било дериват секогаш започнува вака - го ставаме изразот во загради и ставаме удар горе десно:

Првого наоѓаме изводот на надворешната функција (синус), ја гледаме табелата со изводи на елементарните функции и забележуваме дека . Сите формули за табели се исто така применливи ако „x“ се замени со сложен израз, во овој случај:

Ве молиме имајте предвид дека внатрешната функција не е променето, не го допираме.

Па, сосема е очигледно дека

Резултатот од примената на формулата во последната форма изгледа вака:

Константниот фактор обично се става на почетокот на изразот:

Доколку дојде до недоразбирање, запишете го решението на хартија и повторно прочитајте ги објаснувањата.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата

Како и секогаш, запишуваме:

Ајде да откриеме каде имаме надворешна функција, а каде внатрешна. За да го направите ова, се обидуваме (ментално или во нацрт) да ја пресметаме вредноста на изразот во . Што треба прво да направите? Пред сè, треба да пресметате на што е еднаква основата: затоа, полиномот е внатрешната функција:

И само тогаш се врши степенувањето, затоа, функцијата за моќност е надворешна функција:

Според формулата , прво треба да го пронајдете дериватот на надворешната функција, во овој случај, степенот. Ја бараме потребната формула во табелата: . Повторуваме повторно: секоја табеларна формула е валидна не само за „X“, туку и за сложен израз. Така, резултатот од примената на правилото за диференцирање на сложена функција следно:

Повторно нагласувам дека кога ќе го земеме изводот на надворешната функција, нашата внатрешна функција не се менува:

Сега останува само да се најде многу едноставен дериват на внатрешната функција и малку да се измени резултатот:

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

За да го консолидирам вашето разбирање за изводот на сложена функција, ќе дадам пример без коментари, обидете се сами да го сфатите, причина каде е надворешната, а каде внатрешната функција, зошто задачите се решаваат на овој начин?

Пример 5

а) Најдете го изводот на функцијата

б) Најдете го изводот на функцијата

Пример 6

Најдете го изводот на функцијата

Овде имаме корен, а за да се разликува коренот, тој мора да биде претставен како моќ. Така, прво ја внесуваме функцијата во форма соодветна за диференцијација:

Анализирајќи ја функцијата, доаѓаме до заклучок дека збирот на трите члена е внатрешна функција, а подигањето до моќ е надворешна функција. Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции :

Повторно го претставуваме степенот како радикал (корен), а за изводот на внатрешната функција применуваме едноставно правило за диференцирање на збирот:

Подготвени. Можете исто така да го намалите изразот на заеднички именител во загради и да запишете сè како една дропка. Убаво е, се разбира, но кога ќе добиете незгодни долги деривати, подобро е да не го правите ова (лесно е да се збуните, да направите непотребна грешка и ќе биде незгодно наставникот да провери).

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

Интересно е да се забележи дека понекогаш наместо правилото за диференцијација на сложена функција, можете да го користите правилото за диференцијација на количник , но таквото решение ќе изгледа како необична перверзија. Еве типичен пример:

Пример 8

Најдете го изводот на функцијата

Овде можете да го користите правилото за диференцијација на количникот , но многу поисплатливо е да се најде изводот преку правилото за диференцијација на сложена функција:

Ја подготвуваме функцијата за диференцијација - го поместуваме минусот од дериватниот знак и го креваме косинусот во броителот:

Косинусот е внатрешна функција, степенувањето е надворешна функција.
Да го искористиме нашето правило :

Го наоѓаме дериватот на внатрешната функција и го ресетираме косинусот надолу:

Подготвени. Во разгледаниот пример, важно е да не се мешате во знаците. Патем, обидете се да го решите користејќи го правилото , одговорите мора да се совпаѓаат.

Пример 9

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

Досега разгледавме случаи кога имавме само едно гнездење во сложена функција. Во практичните задачи, често можете да најдете деривати, каде што, како куклите за гнездење, една во друга, 3 или дури 4-5 функции се вгнездени одеднаш.

Пример 10

Најдете го изводот на функцијата

Ајде да ги разбереме прилозите на оваа функција. Ајде да се обидеме да го пресметаме изразот користејќи ја експерименталната вредност. Како би сметале на калкулатор?

Прво треба да го пронајдете, што значи дека лакот е најдлабокото вградување:

Овој лак од еден треба да се квадрира:

И, конечно, креваме седум на моќ:

Односно, во овој пример имаме три различни функции и две вградувања, додека највнатрешната функција е лакот, а најоддалечената функција е експоненцијалната функција.

Да почнеме да одлучуваме

Според правилото Прво треба да го земете дериватот на надворешната функција. Ја гледаме табелата со изводи и го наоѓаме изводот на експоненцијалната функција: Единствената разлика е во тоа што наместо „x“ имаме сложен израз, кој не ја негира валидноста на оваа формула. Значи, резултатот од примената на правилото за диференцијација на сложена функција следно.

Решавањето физички проблеми или примери во математиката е сосема невозможно без познавање на изводот и методите за негово пресметување. Дериватот е еден од најважните концепти во математичката анализа. Решивме да ја посветиме денешната статија на оваа основна тема. Што е извод, кое е неговото физичко и геометриско значење, како да се пресмета изводот на функцијата? Сите овие прашања може да се комбинираат во едно: како да се разбере дериватот?

Геометриско и физичко значење на дериватот

Нека има функција f(x) , назначен во одреден интервал (а, б) . Точките x и x0 припаѓаат на овој интервал. Кога x се менува, самата функција се менува. Промена на аргументот - разликата во неговите вредности x-x0 . Оваа разлика е напишана како делта x и се нарекува зголемување на аргументот. Промена или зголемување на функцијата е разликата помеѓу вредностите на функцијата во две точки. Дефиниција на дериват:

Изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата во дадена точка до зголемувањето на аргументот кога вториот се стреми кон нула.

Во спротивно може да се напише вака:

Која е поентата да се најде таква граница? А еве што е тоа:

изводот на функцијата во точка е еднаков на тангентата на аголот помеѓу оската OX и тангентата на графикот на функцијата во дадена точка.


Физичко значење на дериватот: дериватот на патеката во однос на времето е еднаков на брзината на праволиниското движење.

Навистина, уште од училишните денови секој знае дека брзината е одредена патека x=f(t) и времето т . Просечна брзина во одреден временски период:

За да ја дознаете брзината на движење во одреден момент во времето t0 треба да ја пресметате границата:

Правило еден: поставете константа

Константата може да се извади од дериватниот знак. Покрај тоа, ова мора да се направи. Кога решавате примери по математика, земете го по правило - Ако можете да поедноставите израз, не заборавајте да го поедноставите .

Пример. Да го пресметаме изводот:

Правило второ: извод од збир на функции

Изводот на збирот на две функции е еднаков на збирот на изводите на овие функции. Истото важи и за изводот на разликата на функциите.

Ние нема да дадеме доказ за оваа теорема, туку ќе разгледаме практичен пример.

Најдете го изводот на функцијата:

Правило трето: извод на производ на функции

Дериватот на производот на две диференцијабилни функции се пресметува со формулата:

Пример: најдете го изводот на функцијата:

Решение:

Овде е важно да се зборува за пресметување на деривати на сложени функции. Изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на оваа функција во однос на средниот аргумент и изводот на средното аргумент во однос на независната променлива.

Во горниот пример се среќаваме со изразот:

Во овој случај, средниот аргумент е 8x до петтата сила. За да го пресметаме изводот на таков израз, прво го пресметуваме изводот на надворешната функција во однос на средниот аргумент, а потоа се множиме со изводот на самиот среден аргумент во однос на независната променлива.

Правило четири: извод на количник на две функции

Формула за одредување на изводот на количникот на две функции:

Се обидовме да зборуваме за деривати за кукли од нула. Оваа тема не е толку едноставна како што изгледа, затоа бидете предупредени: често има замки во примерите, па бидете внимателни кога пресметувате деривати.

Ако имате какви било прашања за оваа или друга тема, можете да контактирате студентска служба. За кратко време, ќе ви помогнеме да го решите најтешкиот тест и да ги разберете задачите, дури и ако никогаш претходно не сте правеле пресметки со изводи.