Ајде да продолжиме да ги разгледуваме апликациите на интегралното пресметување. Во оваа лекција ќе ја анализираме типичната и најчеста задача пресметување на плоштината на рамна фигура со помош на дефинитивен интеграл. Конечно сè потрага по значењепо виша математика - нека го најдат. Никогаш не знаеш. Во реалниот живот, ќе мора приближно да ја приближите парцелата за дача користејќи елементарни функции и да ја пронајдете нејзината област користејќи дефинитивен интеграл.
За успешно да го совладате материјалот, мора:
1) Разберете го неопределениот интеграл барем на средно ниво. Така, куклите прво треба да ја прочитаат лекцијата Не.
2) Да може да ја примени формулата Њутн-Лајбниц и да го пресмета дефинитивниот интеграл. Можете да воспоставите топли пријателски односи со одредени интеграли на страницата Дефинитивен интеграл. Примери на решенија. Задачата „пресметајте ја плоштината користејќи дефинитивен интеграл“ секогаш вклучува конструирање цртеж, така што вашето знаење и вештини за цртање исто така ќе бидат релевантно прашање. Во најмала рака, треба да бидете способни да конструирате права линија, парабола и хипербола.
Да почнеме со закривен трапез. Заоблен трапез е рамна фигура ограничена со графикот на некоја функција y = ѓ(x), оска Воли линии x = а; x = б.
Областа на криволинеарен трапез нумерички е еднаква на дефинитивен интеграл
Секој дефинитивен интеграл (што постои) има многу добро геометриско значење. На лекцијата Дефинитивен интеграл. Примери на решенијарековме дека определен интеграл е број. И сега е време да се наведе уште еден корисен факт. Од гледна точка на геометријата, определениот интеграл е ПЛОШТИНА. Тоа е, дефинитивниот интеграл (ако постои) геометриски одговара на плоштината на одредена фигура. Размислете за определениот интеграл
Интегранд
дефинира крива на рамнината (по желба може да се нацрта), а самиот дефинитивен интеграл е нумерички еднаква на површинасоодветниот заоблен трапез.
Пример 1
, , , .
Ова е типична изјава за задача. Најважната точка во одлуката е изградбата на цртежот. Покрај тоа, цртежот мора да биде конструиран ТОЧНО.
Кога изработувате цртеж, го препорачувам следниов редослед: првоподобро е да се конструираат сите прави линии (ако постојат) и само Потоа– параболи, хиперболи, графикони на други функции. Техниката на градба точка-по-точка може да се најде во референтниот материјал Графикони и својства на елементарните функции. Таму можете да најдете и многу корисен материјал за нашата лекција - како брзо да изградите парабола.
Во овој проблем, решението може да изгледа вака.
Ајде да го направиме цртежот (забележете дека равенката y= 0 ја одредува оската Вол):
Ние нема да го засенчиме заоблениот трапез, овде е очигледно за која област зборуваме. Решението продолжува вака:
На сегментот [-2; 1] графикон на функција y = x 2 + 2 се наоѓа над оскатаВол, Затоа:
Одговор: .
Кој има потешкотии со пресметување на определениот интеграл и примена на формулата Њутн-Лајбниц
,
упатете се на предавање Дефинитивен интеграл. Примери на решенија. Откако ќе заврши задачата, секогаш е корисно да го погледнете цртежот и да откриете дали одговорот е реален. Во овој случај, го броиме бројот на ќелии во цртежот „со око“ - добро, ќе има околу 9, се чини дека е точно. Сосема е јасно дека ако го добиеме, да речеме, одговорот: 20 квадратни единици, тогаш очигледно е дека некаде е направена грешка - 20 ќелии очигледно не се вклопуваат во дотичната фигура, најмногу десетина. Ако одговорот е негативен, тогаш и задачата е погрешно решена.
Пример 2
Пресметајте ја плоштината на сликата, ограничен со линии xy = 4, x = 2, x= 4 и оска Вол.
Ова е пример за независна одлука. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.
Што да направите ако се наоѓа закривениот трапез под оскатаВол?
Пример 3
Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии y = е-х, x= 1 и координатни оски.
Решение: Ајде да направиме цртеж:
Ако закривен трапез целосно лоциран под оската Вол , тогаш неговата површина може да се најде со помош на формулата:
Во овој случај:
.
Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:
1) Ако од вас се бара да решите едноставно одреден интеграл без никаков геометриско значење, тогаш може да биде негативен.
2) Ако од вас е побарано да ја пронајдете плоштината на фигурата користејќи дефинитивен интеграл, тогаш областа е секогаш позитивна! Затоа минусот се појавува во формулата која штотуку беше дискутирана.
Во пракса, најчесто фигурата се наоѓа и во горната и во долната полурамнина и затоа, од наједноставните училишни проблеми преминуваме на позначајни примери.
Пример 4
Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии y = 2x – x 2 , y = -x.
Решение: Прво треба да направите цртеж. Кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата y = 2x – x 2 и директно y = -x. Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички. Ја решаваме равенката:
Ова значи дека долната граница на интеграција а= 0, горна граница на интеграција б= 3. Често е попрофитабилно и побрзо да се конструираат линии точка по точка, а границите на интеграцијата стануваат јасни „сами“. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални). Да се вратиме на нашата задача: порационално е прво да се конструира права линија, а дури потоа парабола. Ајде да го направиме цртежот:
Да повториме дека кога се конструира точка, границите на интеграцијата најчесто се одредуваат „автоматски“.
И сега работна формула:
Ако на сегментот [ а; б] некоја континуирана функција ѓ(x) поголема или еднаква нанекои континуирана функција е(x), тогаш областа на соодветната фигура може да се најде со помош на формулата:
Тука веќе не треба да размислувате каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, туку важно е кој графикон е ПОВИСОК(во однос на друг график), а кој е ПОДОЛ.
Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, па затоа од 2 x – x 2 мора да се одземе - x.
Завршеното решение може да изгледа вака:
Посакуваната бројка е ограничена со парабола y = 2x – x 2 одозгора и директно y = -xподолу.
На сегментот 2 x – x 2 ≥ -x. Според соодветната формула:
Одговор: .
Всушност, училишната формула за плоштината на криволинеарен трапез во долната полурамнина (види пример бр. 3) е посебен случајформули
.
Бидејќи оската Волдадена со равенката y= 0, и графикот на функцијата е(x) се наоѓа под оската Вол, Тоа
.
И сега неколку примери за ваше решение
Пример 5
Пример 6
Најдете ја плоштината на фигурата ограничена со линии
Кога решавате проблеми кои вклучуваат пресметување на плоштина со помош на одреден интеграл, понекогаш се случува смешен инцидент. Цртежот е правилно направен, пресметките биле точни, но поради невнимание... Пронајдена е областа на погрешната фигура.
Пример 7
Прво да направиме цртеж:
Фигурата чија површина треба да ја најдеме е сино засенчена(внимателно погледнете ја состојбата - како бројката е ограничена!). Но, во пракса, поради невнимание, тие често одлучуваат дека треба да ја најдат областа на фигурата што е засенчена зелена!
Овој пример е исто така корисен затоа што ја пресметува плоштината на фигурата користејќи два дефинитивни интеграли. Навистина:
1) На сегментот [-1; 1] над оската Волграфикот се наоѓа директно y = x+1;
2) На сегмент над оската Волсе наоѓа графикот на хипербола y = (2/x).
Сосема е очигледно дека областите може (и треба) да се додадат, затоа:
Одговор:
Пример 8
Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии
Да ги претставиме равенките во „училишна“ форма
и направи цртање точка по точка:
Од цртежот е јасно дека нашата горна граница е „добра“: б = 1.
Но која е долната граница?! Јасно е дека ова не е цел број, но што е тоа?
Можеби, а=(-1/3)? Но, каде е гаранцијата дека цртежот е направен со совршена точност, може и да испадне тоа а= (-1/4). Што ако погрешно го изградивме графикот?
Во такви случаи, треба да потрошите дополнително време и аналитички да ги разјасните границите на интеграцијата.
Ајде да ги најдеме пресечните точки на графиконите
За да го направите ова, ја решаваме равенката:
.
Оттука, а=(-1/3).
Понатамошното решение е тривијално. Главната работа е да не се мешате во замените и знаците. Пресметките овде не се наједноставни. На сегментот
, 
,
според соодветната формула:
Одговор: 
За да ја завршиме лекцијата, да погледнеме уште две тешки задачи.
Пример 9
Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии
Решение: Ајде да ја прикажеме оваа фигура на цртежот.
За да нацртате цртеж точка-по-точка треба да знаете изгледсинусоиди. Општо земено, корисно е да се знаат графиконите на сите елементарни функции, како и некои синусни вредности. Тие можат да се најдат во табелата со вредности тригонометриски функции . Во некои случаи (на пример, во овој случај), можно е да се изгради шематски цртеж, на кој графиците и границите на интеграцијата треба да бидат фундаментално правилно прикажани.
Овде нема проблеми со границите на интеграцијата, тие директно произлегуваат од условот:
– „x“ се менува од нула во „пи“. Ајде да донесеме дополнителна одлука:
На сегмент, графикот на функцијата y= грев 3 xсе наоѓа над оската Вол, Затоа:
(1) Можете да видите како синусите и косинусите се интегрирани во непарни сили во лекцијата Интеграли на тригонометриски функции. Ние штипкаме еден синус.
(2) Во формата го користиме главниот тригонометриски идентитет
(3) Да ја смениме променливата т=кос x, тогаш: се наоѓа над оската, затоа:
.
.
Забелешка:забележете како е земен интегралот на тангентата во коцка; тука се користи заклучок од главната тригонометриски идентитет
.
Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии.
Решение.
Ги наоѓаме пресечните точки на дадените прави. За да го направите ова, го решаваме системот на равенки:
За да ја најдеме апсцисата на пресечните точки на дадените прави, ја решаваме равенката:
Ние најдовме: x 1 = -2, x 2 = 4.
Значи, овие прави, кои се парабола и права линија, се сечат во точки А(-2; 0), Б(4; 6).
Овие линии формираат затворена фигура, чија површина се пресметува со горната формула:
Користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, наоѓаме:
Најдете ја областа на областа ограничена со елипсата.
Решение.
Од равенката на елипсата за првиот квадрант имаме. Од тука, користејќи ја формулата, добиваме
Ајде да примениме замена x = агрев т, dx = а cos т dt. Нови граници на интеграција т = α И т = β се одредуваат од равенките 0 = агрев т, а = агрев т. Може да се стави α = 0 и β = π /2.
Најдете една четвртина од потребната површина
Од тука С = πb.
Најдете ја плоштината на фигурата ограничена со линииy = - x 2 + x + 4 иy = - x + 1.
Решение.
Ајде да ги најдеме точките на пресек на правите y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, изедначувајќи ги ординатите на линиите: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 или x 2 - 2x- 3 = 0. Наоѓање на корените x 1 = -1, x 2 = 3 и нивните соодветни ординати y 1 = 2, y 2 = -2.
Користејќи ја формулата за плоштината на фигурата, добиваме
Определи ја областа опфатена со параболаy = x 2 + 1 и директноx + y = 3.
Решение.
Решавање на систем од равенки
најдете ја апсцисата на пресечните точки x 1 = -2 и x 2 = 1.
Верувајќи y 2 = 3 - xИ y 1 = x 2 + 1, врз основа на формулата што ја добиваме
Пресметајте ја областа содржана во лемнискатот на Бернулир 2 = а 2 cos 2 φ .
Решение.
Во поларниот координатен систем, областа на фигурата ограничена со лакот на кривата р = ѓ(φ ) и два поларни радиуси φ 1 = ʅ И φ 2 = ʆ , ќе се изрази со интегралот
Поради симетријата на кривата, прво одредуваме една четвртина од потребната површина
Според тоа, целата површина е еднаква на С = а 2 .
Пресметајте ја должината на лакот на астроидотx 2/3 + y 2/3 = а 2/3 .
Решение.
Да ја напишеме равенката на астроидот во форма
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .
Да ставиме x 1/3 = а 1/3 кос т, y 1/3 = а 1/3 грев т.
Од тука ги добиваме параметарските равенки на астроидот
x = а cos 3 т, y = агрев 3 т, (*)
каде 0 ≤ т ≤ 2π .
Поради симетријата на кривата (*), доволно е да се најде една четвртина од должината на лакот Л, што одговара на промената на параметарот тод 0 до π /2.
Добиваме
dx = -3а cos 2 тгрев т дт, ди = 3агрев 2 т cos т дт.
Од тука наоѓаме
Интегрирање на добиениот израз од 0 до π /2, добиваме
Од тука Л = 6а.
Најдете ја областа заградена со спиралата Архимедр = aφ и два вектори на радиус кои одговараат на поларните аглиφ 1 Иφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Решение.
Површина оградена со крива р = ѓ(φ ) се пресметува со формулата, каде α И β - граници на промена на поларниот агол.
Така, добиваме
(*)
Од (*) следува дека областа ограничена со поларната оска и првиот свиок на спиралата Архимед ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Слично на тоа, ја наоѓаме областа ограничена со поларната оска и вториот свиок на спиралата Архимед ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Потребната површина е еднаква на разликата на овие области
Пресметај го волуменот на телото добиен со ротирање околу оскатаВол фигури ограничени со параболиy = x 2 Иx = y 2 .
Решение.
Да го решиме системот на равенки
и добиваме x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, од каде што се пресечните точки на кривите О(0; 0), Б(единаесет). Како што може да се види на сликата, потребниот волумен на телото на вртење е еднаков на разликата помеѓу два волумени формирани со ротација околу оската Волкриволиниски трапезоиди O.C.B.A.И ОДБА:
Пресметајте ја плоштината заградена со оскаВол и синусоидy = гревx на отсечки: а) ; б) .
Решение.
а) На сегмент грев функција xго зачувува знакот, а со тоа и според формулата, под претпоставка y= грев x, ние најдовме
б) На отсечката функција sin xго менува знакот. За правилно решавање на проблемот, неопходно е да се подели сегментот на два и [ π , 2π ], во секоја од нив функцијата го зачувува својот знак.
Според правилото за знаци, на сегментот [ π , 2π ] површината се зема со знак минус.
Како резултат на тоа, потребната површина е еднаква на
Одреди го волуменот на телото ограничено со површина добиена од ротација на елипсаоколу главната оскаа .
Решение.
Имајќи предвид дека елипсата е симетрична во однос на координатните оски, доволно е да се најде волуменот формиран со ротација околу оската Волобласт ОАБ, еднаква на една четвртина од површината на елипсата и двојно го удвои резултатот.
Да го означиме волуменот на телото на ротација со В x; тогаш врз основа на формулата што ја имаме , каде што 0 и а- апсциси на бодови БИ А. Од равенката на елипсата наоѓаме . Од тука
Така, потребниот волумен е еднаков на. (Кога елипсата ротира околу малата оска б, волуменот на телото е еднаков на )
Најдете ја областа ограничена со параболиy 2 = 2 px Иx 2 = 2 py .
Решение.
Прво, ги наоѓаме координатите на точките на пресек на параболите за да го одредиме сегментот на интеграција. Трансформирајќи ги оригиналните равенки, добиваме и . Изедначувајќи ги овие вредности, добиваме или x 4 - 8стр 3 x = 0.
x 4 - 8стр 3 x = x(x 3 - 8стр 3) = x(x - 2стр)(x 2 + 2px + 4стр 2) = 0.
Наоѓање на корените на равенките:
Со оглед на фактот дека поентата Апресекот на параболите е во првиот квартал, потоа границите на интеграција x= 0 и x = 2стр.
Ја наоѓаме потребната област користејќи ја формулата
А)
Решение.
Првата и најважна точка на одлуката е изградбата на цртежот.
Ајде да го направиме цртежот:
Равенката y=0 ја поставува оската „x“;
- x=-2 И x=1 - директно, паралелно со оската ОУ;
- y=x 2 +2 - парабола, чии гранки се насочени нагоре, со темето во точката (0;2).
Коментар.За да се конструира парабола, доволно е да се пронајдат точките на нејзиното вкрстување со координатните оски, т.е. ставање x=0 најдете го пресекот со оската ОУ и соодветно одлучува квадратна равенка, најдете го пресекот со оската О .
Темето на параболата може да се најде со помош на формулите:
Можете исто така да изградите линии точка по точка.
На интервалот [-2;1] графикот на функцијата y=x 2 +2 лоциран над оската Вол , Затоа:
Одговор: С =9 квадратни единици
Откако ќе заврши задачата, секогаш е корисно да го погледнете цртежот и да откриете дали одговорот е реален. Во овој случај, „со око“ го броиме бројот на ќелии на цртежот - добро, ќе има околу 9, се чини дека е точно. Апсолутно е јасно дека ако го добиеме, да речеме, одговорот: 20 квадратни единици, тогаш очигледно е дека некаде е направена грешка - 20 ќелии очигледно не се вклопуваат во дотичната фигура, најмногу десетина. Ако одговорот е негативен, тогаш и задачата е погрешно решена.
Што да направите ако се наоѓа закривениот трапез под оската О?
б)Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии y=-e x , x=1 и координатни оски.
Решение.
Ајде да направиме цртеж.
Ако закривен трапез целосно лоциран под оската О , тогаш неговата површина може да се најде со помош на формулата:
Одговор: S=(е-1) кв. единици“ 1,72 кв. единици
Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:
1) Ако од вас се бара да решите едноставно одреден интеграл без никакво геометриско значење, тогаш тој може да биде негативен.
2) Ако од вас е побарано да ја пронајдете плоштината на фигурата користејќи дефинитивен интеграл, тогаш областа е секогаш позитивна! Затоа минусот се појавува во формулата која штотуку беше дискутирана.
Во пракса, најчесто фигурата се наоѓа и во горната и во долната полурамнина.
Со)Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии y=2x-x 2, y=-x.
Решение.
Прво треба да го завршите цртежот. Општо земено, кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата и правата.Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички.
Ја решаваме равенката:
Ова значи дека долната граница на интеграција a=0 , горната граница на интеграција b=3 .
|
Ги градиме дадените прави: 1. Парабола - теме во точката (1;1); пресек на оски О -поени (0;0) и (0;2). 2. Права - симетрала на 2-ри и 4-ти координатни агли. И сега Внимание! Ако на сегментот [ а;б] некоја континуирана функција f(x)поголема или еднаква на некоја континуирана функција g(x), тогаш областа на соодветната фигура може да се најде со помош на формулата: . И не е важно каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, туку она што е важно е кој график е ПОВИСОК (во однос на друг график), а кој е ПОДОЛ. Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, и затоа е потребно да се одземе од |
Можете да конструирате линии точка по точка, а границите на интеграцијата стануваат јасни „сами“. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални).
Посакуваната бројка е ограничена со парабола горе и права линија долу.
На сегментот, според соодветната формула:
Одговор: С =4,5 квадратни единици
Назад напред
Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.
Клучни зборови:интегрален, криволинеарен трапез, област на фигури ограничена со лилјани
Опрема: табла за маркер, компјутер, мултимедијален проектор
Тип на лекција: лекција-предавање
Цели на часот:
- едукативни:да се создаде култура на ментална работа, да се создаде ситуација на успех за секој ученик и да се создаде позитивна мотивација за учење; развиваат способност за зборување и слушање на другите.
- развивање:формирање на независно размислување на ученикот при примена на знаење во различни ситуации, способност за анализа и извлекување заклучоци, развој на логиката, развој на способност за правилно поставување прашања и наоѓање одговори на нив. Подобрување на формирањето на компјутерски вештини, развивање на размислувањето на учениците во текот на завршувањето на предложените задачи, развивање на алгоритамска култура.
- едукативни: да формира концепти за криволинеарен трапез, за интеграл, да ги совлада вештините за пресметување на површините на рамни фигури
Метод на настава:објаснувачки и илустративен.
За време на часовите
На претходните часови научивме да ги пресметуваме плоштините на фигурите чии граници се скршени линии. Во математиката, постојат методи кои ви дозволуваат да ги пресметате областите на фигурите ограничени со криви. Таквите бројки се нарекуваат криволиниски трапезоиди, а нивната површина се пресметува со помош на антидеривати.
кривилинеарен трапез ( слајд 1)
Заоблен трапез е фигура ограничена со графикот на функцијата, ( ш.м.), директно x = aИ x = bи х-оската
Различни видови криви трапезоиди ( слајд 2)
Разгледуваме различни видови криволиниски трапезоиди и забележуваме: една од правата е дегенерирана до точка, улогата на ограничувачката функција ја игра правата линија.
Површина на заоблен трапез (слајд 3)
Поправете го левиот крај на интервалот А,и вистинскиот Xќе се промениме, т.е., го поместуваме десниот ѕид на криволинеарниот трапез и добиваме променлива фигура. Областа на променлив криволинеарен трапез ограничен со графикот на функцијата е антидериват Фза функција ѓ
И на сегментот [ а; б] површина на заоблен трапез, формирана од функцијата ѓ,е еднаков на зголемувањето на антидериватот на оваа функција:
Вежба 1:
Најдете ја плоштината на криволинеарен трапез ограничен со графикот на функцијата: f(x) = x 2и директно y = 0, x = 1, x = 2.
Решение: ( според слајдот 3 на алгоритмот)
Да нацртаме график на функцијата и линиите
Ајде да најдеме еден од антидериватите на функцијата f(x) = x 2 :
Самотестирање на слајд
Интегрален
Размислете за криволиниски трапез дефиниран со функцијата ѓна сегментот [ а; б]. Да го разделиме овој сегмент на неколку делови. Површината на целиот трапез ќе биде поделена на збирот на површините на помалите закривени трапезоиди. ( слајд 5). Секој таков трапез може приближно да се смета за правоаголник. Збирот на површините на овие правоаголници дава приближна идеја за целата површина на закривениот трапез. Колку е помал сегментот [ а; б], толку попрецизно ја пресметуваме површината.
Дозволете ни да ги напишеме овие аргументи во форма на формули.
Поделете го сегментот [ а; б] на n делови по точки x 0 =a, x1,...,xn = b.Должина k-ти означува со xk = xk – xk-1. Ајде да направиме сума
Геометриски, оваа сума ја претставува површината на фигурата засенчена на сликата ( ш.м.)
Збировите на формата се нарекуваат интегрални збирови за функцијата ѓ. (ш.м.)
Интегралните збирови даваат приближна вредност на површината. Точната вредност се добива со преминување на границата. Да замислиме дека ја рафинираме партицијата на сегментот [ а; б] така што должините на сите мали отсечки имаат тенденција на нула. Тогаш областа на составената фигура ќе се приближи до областа на закривениот трапез. Можеме да кажеме дека плоштината на заоблен трапез е еднаква на границата на интегралните збирови, Sc.t. (ш.м.)или интегрален, т.е.
Дефиниција:
Интеграл на функција f(x)од апред бнаречена граница на интегрални збирови
= (ш.м.)
Формула Њутн-Лајбниц.
Се сеќаваме дека границата на интегралните збирови е еднаква на плоштината на криволинеарен трапез, што значи дека можеме да напишеме:
Sc.t. = (ш.м.)
Од друга страна, површината на заоблен трапез се пресметува со помош на формулата
С к.т. (ш.м.)
Споредувајќи ги овие формули, добиваме:
= (ш.м.)Оваа еднаквост се нарекува формула Њутн-Лајбниц.
За полесно пресметување, формулата е напишана како:
= = (ш.м.)Задачи: (ш.м.)
1. Пресметај го интегралот користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц: ( проверете на слајдот 5)
2. Составете интеграли според цртежот ( проверете на слајдот 6)
3. Најдете ја плоштината на фигурата ограничена со линиите: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Слајд 7)
Наоѓање на плоштините на рамни фигури ( слајд 8)
Како да се најде областа на фигури кои не се закривени трапезоиди?
Нека се дадени две функции, чии графикони ги гледате на слајдот . (ш.м.)Најдете ја областа на засенчената фигура . (ш.м.). Дали фигурата за која станува збор е заоблен трапез? Како можете да ја пронајдете неговата површина користејќи го својството на адитивност на површината? Размислете за два закривени трапезоиди и одземете ја површината на другиот од плоштината на едната од нив ( ш.м.)
Ајде да создадеме алгоритам за наоѓање на областа користејќи анимација на слајд:
- Графички функции
- Проектирај ги пресечните точки на графиконите на оската x
- Засенчете ја фигурата добиена кога графиконите се сечат
- Најдете криволиниски трапезоиди чиј пресек или спој е дадената фигура.
- Пресметајте ја плоштината на секоја од нив
- Најдете ја разликата или збирот на области
Усна задача: Како да се добие плоштината на засенчена фигура (кажете со помош на анимација, слајд 8 и 9)
Домашна работа:Работете низ белешките, бр. 353 (а), бр. 364 (а).
Библиографија
- Алгебра и почетоците на анализата: учебник за 9-11 одделение од вечерното (смена) училиште / ед. Г.Д. Глејзер. - М: Просветителство, 1983 година.
- Башмаков М.И. Алгебра и почетоците на анализата: учебник за 10-11 одделение од средно училиште / Башмаков М.И. - М: Просветителство, 1991 година.
- Башмаков М.И. Математика: учебник за институции почеток. и среда проф. образование / М.И. Башмаков. - М: Академија, 2010 година.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и почетоци на анализа: учебник за 10-11 одделение. образовни институции / А.Н. Колмогоров. - М: Образование, 2010 г.
- Островски С.Л. Како да се направи презентација за лекција?/ С.Л. Островски. – М.: 1 септември 2010 година.
Почнуваме да го разгледуваме вистинскиот процес на пресметување на двојниот интеграл и да се запознаеме со неговото геометриско значење.
Двојниот интеграл е нумерички еднаков на плоштината на рамнината (регионот на интеграција). Ова наједноставна формадвоен интеграл, кога функцијата на две променливи е еднаква на една: .
Прво, да го разгледаме проблемот во општа форма. Сега ќе бидете прилично изненадени колку е навистина сè едноставно! Да ја пресметаме плоштината на рамна фигура ограничена со линии. За определеност, претпоставуваме дека на сегментот . Областа на оваа бројка е нумерички еднаква на:
Ајде да ја прикажеме областа на цртежот:
Ајде да го избереме првиот начин да ја поминеме областа:
Така:
И веднаш важна техничка техника: повторените интеграли може да се пресметуваат одделно. Прво внатрешниот интеграл, потоа надворешниот интеграл. Овој методТопло го препорачувам на почетници во темата.
1) Да го пресметаме внатрешниот интеграл, а интеграцијата се врши преку променливата „y“:
Неопределен интегралеве ја наједноставната, а потоа се користи баналната формула Њутн-Лајбниц, со единствена разлика што границите на интеграцијата не се бројки, туку функции. Прво го ставија во „Y“ ( антидеривативна функција) горната граница, потоа долната граница
2) Резултатот добиен во првиот став мора да се замени во надворешниот интеграл:
Покомпактен приказ на целото решение изгледа вака:
Резултирачката формула е точно работната формула за пресметување на површината на рамна фигура користејќи ја „обичната“ определен интеграл! Гледајте ја лекцијата Пресметување плоштина со помош на дефинитивен интеграл, тука е на секој чекор!
Тоа е, проблем на пресметување на плоштина со користење на двоен интеграл не многу различниод проблемот за наоѓање на плоштината со користење на определен интеграл!Всушност, тоа е иста работа!
Според тоа, не треба да се појават никакви тешкотии! Нема да разгледам многу примери, бидејќи вие, всушност, постојано сте се сретнале со оваа задача.
Пример 9
Решение:Ајде да ја прикажеме областа на цртежот:
Дозволете ни да го избереме следниов редослед на поминување на областа:
Овде и понатаму нема да се задржувам на тоа како да се помине областа, бидејќи во првиот пасус беа дадени многу детални објаснувања.
Така:
Како што веќе забележав, за почетниците е подобро да ги пресметуваат повторените интеграли одделно, и јас ќе се задржам на истиот метод:
1) Прво, користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, се занимаваме со внатрешниот интеграл:
2) Резултатот добиен во првиот чекор се заменува во надворешниот интеграл:
Точка 2 всушност е наоѓање на плоштината на рамнината со помош на дефинитивен интеграл.
Одговор:
Ова е толку глупава и наивна задача.
Интересен пример за независно решение:
Пример 10
Користејќи двоен интеграл, пресметајте ја плоштината на рамна фигура ограничена со линиите,
Приближен пример за конечно решение на крајот од часот.
Во Примерите 9-10, многу е попрофитабилно да се користи првиот метод на минување низ областа; љубопитните читатели, патем, можат да го променат редоследот на преминувањето и да ги пресметаат областите користејќи го вториот метод. Ако не направите грешка, тогаш, природно, ќе ги добиете истите вредности на областа.
Но, во некои случаи, вториот метод за минување низ областа е поефективен, а на крајот од курсот на младиот нерд, да погледнеме уште неколку примери на оваа тема:
Пример 11
Користејќи двоен интеграл, пресметајте ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии,
Решение:Со нетрпение очекуваме две параболи со чудење што лежат на нивните страни. Нема потреба од насмевка, слични работи се случуваат доста често во повеќе интеграли.
Кој е најлесниот начин да се направи цртеж?
Ајде да замислиме парабола во форма на две функции:
– горната гранка и – долната гранка.
Слично, замислете парабола во форма на горните и долните гранки.
Ја пресметуваме плоштината на фигурата користејќи го двојниот интеграл според формулата:
Што ќе се случи ако го избереме првиот метод на минување низ областа? Прво, оваа област ќе треба да се подели на два дела. И второ, ќе ја набљудуваме оваа тажна слика: . Интегралите, се разбира, не се на суперкомплицирано ниво, но... има една стара математичка изрека: на оние кои се блиску до корените не им треба тест.
Затоа, од недоразбирањето дадено во условот, ги изразуваме инверзните функции:
Инверзни функцииВ во овој примеримаат предност што ја специфицираат целата парабола одеднаш без никакви лисја, желади, гранки и корени.
Според вториот метод, преминувањето на областа ќе биде како што следува:
Така:
Како што велат, почувствувајте ја разликата.
1) Се занимаваме со внатрешниот интеграл:
Резултатот го заменуваме во надворешниот интеграл:
Интеграцијата преку променливата „y“ не треба да биде збунувачка; ако има буква „zy“, би било одлично да се интегрира над неа. Иако кој го прочита вториот пасус од лекцијата Како да се пресмета волуменот на телото на револуција, тој повеќе не доживува ни најмала непријатност со интеграцијата според методот „Y“.
Обрнете внимание и на првиот чекор: интеграндот е парен, а интервалот на интеграција е симетричен околу нула. Затоа, сегментот може да се преполови, а резултатот да се удвои. Оваа техника е детално коментирана во лекцијата. Ефективни методипресметка на определен интеграл.
Што да се додаде…. Сите!
Одговор:
За да ја тестирате вашата техника за интеграција, можете да се обидете да пресметате. Одговорот треба да биде сосема ист.
Пример 12
Користејќи двоен интеграл, пресметајте ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии
Ова е пример за да го решите сами. Интересно е да се забележи дека ако се обидете да го користите првиот метод на минување низ областа, фигурата повеќе нема да мора да се дели на два, туку на три дела! И, соодветно, добиваме три пара повторени интеграли. Понекогаш тоа се случува.
Мастер класата заврши, и време е да се премине на велемајсторско ниво - Како да се пресмета двоен интеграл? Примери на решенија. Ќе се обидам да не бидам толку манијакален во втората статија =)
Ти посакувам успех!
Решенија и одговори:
Пример 2:Решение:
Ајде да ја отсликаме областа на цртежот:
Дозволете ни да го избереме следниов редослед на поминување на областа:
Така:
Ајде да продолжиме со инверзните функции:
Така:
Одговор:
Пример 4:Решение:
Ајде да продолжиме со директните функции:
Ајде да го направиме цртежот:
Ајде да го промениме редоследот на минување низ областа:
Одговор:
Редоследот на шетање низ областа:
Така:
1)
2)
Одговор:
