Излез од колекција:

ПО ВТОР РЕД ДИФЕРЕНЦИЈАЛ

Ловков Иван Јуриевич

студент на Москва државен универзитет информатичката технологија, радио инженерство и електроника, Руска Федерација, Серпухов

Е- пошта: алкасардансер@ тркач. ru

Таперечкина Вера Алексеевна

д-р. физика и математика науки, вонреден професор, Московски државен универзитет за информатички технологии, радио инженерство и електроника, Руска Федерација, Серпухов

ЗА ДИФЕРЕНЦИЈАЛ ОД ВТОР РЕД

Ловков Иван

студент на Московскиот државен универзитет за информатички технологии, радио инженерство и електроника, Русија, Серпухов

Вера Таперечкина

кандидат за физичко-математички науки, вонреден професор на Московскиот државен универзитет за информатички технологии, радио инженерство и електроника, Русија, Серпухов

АНОТАЦИЈА

Во трудот се разгледуваат методите за пронаоѓање на деривати и диференцијали од првиот и вториот ред за сложени функции на две променливи.

АПСТРАКТ

Методи за пресметување на изводни и први и втори диференцијали за композитни функции на две променливи.

Клучни зборови:парцијални деривати; диференцијал.

Клучни зборови: парцијални деривати; диференцијал.

1. Вовед.

Дозволете ни да формулираме некои факти од теоријата на функции на многу променливи кои ќе ни требаат понатаму.

Дефиниција: функцијата z=f(u, v) се нарекува диференцијабилна во точка (u, v) ако нејзиниот прираст Δz може да се претстави како:

Линеарниот дел од инкрементот се нарекува вкупен диференцијал и се означува dz.

Теорема (доволен услов за диференцијабилност) види

Ако во некое соседство на точката (u, v) има континуирани парцијални изводи и , тогаш функцијата f(u, v) е диференцијабилна во оваа точка и

(du=Δu, dv=Δv). (1)

Дефиниција: Вториот диференцијал на функцијата z=f(u, v) во дадена точка (u, v) е првиот диференцијал од првиот диференцијал на функцијата f(u, v), т.е.

Од дефиницијата на втората диференцијална z=f(u, v), каде u и v се независни променливи, следува

Така, формулата е валидна:

При изведување на формулата, користена е теоремата на Шварц за еднаквоста на мешаните деривати. Оваа еднаквост важи под услов се дефинирани во соседството на m.(u, v) и се континуирани во m.(u, v). см.

Формулата за наоѓање на 2-та диференцијал може симболично да се запише во следнава форма: – формалното квадратирање на заградата проследено со формално множење од десно со f(x y) ја дава претходно добиената формула. Формулата за третиот диференцијал е слично валидна:

И воопшто:

Каде што формалното подигање до n-тата моќност се врши според Њутновата биномна формула:

;

Забележете дека првиот диференцијал на функција од две променливи има својство на непроменливост на формата. Односно, ако u и v се независни променливи, тогаш за функцијата z=f(u, v), според (1)

Нека сега u=u(x y), v=v(x y), тогаш z=f(u(x y), v(x y)), x и y се независни променливи, тогаш

Користење на познати формули за дериватот комплексна функција:

Потоа од (3) и (4) добиваме:

Така,

(5)

Каде - првиот диференцијал на функцијата u, - првиот диференцијал на функцијата v.

Споредувајќи ги (1) и (5), гледаме дека формалното претставување на формулата за dz е зачувано, но ако во (1) du=Δu, dv=Δv се зголемувања на независните променливи, тогаш во (5) du и dv се диференцијали на функциите u и v.

2. Втор диференцијал на комплексна функција од две променливи.

Како прво, покажуваме дека вториот диференцијал нема својство на непроменливост на обликот.

Нека z=z(u, v) во случај на независни променливи u и v, ја наоѓаме втората диференцијална со помош на формулата (2)

Нека сега u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), каде што независните променливи се x и y. Потоа

Така, конечно добивме:

Формулите (2) и (6) не се совпаѓаат во форма, затоа, вториот диференцијал нема својство на непроменливост.

Претходно, формули за парцијални изводи од прв ред беа изведени за сложената функција z=f(u, v), каде u=u(x y), v=v(x y), каде x и y се независни променливи, види.

Да изведеме формули за пресметување на парцијални изводи и диференцијали од втор ред за функцијата z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), каде x и y се независни променливи.

За функциите u(x y), v(x y) на независните променливи x, y ги имаме формулите:

Да ги замениме формулите (8) во (6).

Така, добивме формула за диференцијал од втор ред на комплексна функција од две променливи.

Споредувајќи ги коефициентите за парцијалните изводи од втор ред на сложена функција од две променливи во (2) и (9), ги добиваме формулите:

Пример 1 см

Нека z=f(u, v), u=xy, v=. Најдете го вториот диференцијал.

Решение: пресметај парцијални деривати:

, , , ,

, ,

Како што можете да видите, за да го пронајдете диференцијалот треба да го помножите изводот со dx. Ова ви овозможува веднаш да ја запишете соодветната табела за диференцијали од табелата со формули за деривати.

Вкупен диференцијал за функција од две променливи:

Вкупниот диференцијал за функција од три променливи е еднаков на збирот на парцијалните диференцијали: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,з)џ

Дефиниција . Функцијата y=f(x) се нарекува диференцијабилна во точка x 0 ако нејзиниот пораст во оваа точка може да се претстави како ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, каде A е константа и α(∆ x) – бесконечно мало како ∆x → 0.
Барањето функцијата да биде диференцијабилна во точка е еквивалентно на постоењето на извод во оваа точка, и A=f’(x 0).

Нека f(x) е диференцијабилна во точката x 0 и f "(x 0)≠0, тогаш ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, каде што α= α(∆x) →0 на ∆x →0 Големината ∆y и секој член од десната страна се бесконечно мали величини за ∆x→0. , односно α(∆x)∆x е бесконечно мало од повисок ред од f’(x 0)∆x.
, односно ∆y~f’(x 0)∆x. Следствено, f’(x 0)∆x го претставува главниот и во исто време линеарен во однос на ∆x дел од инкрементот ∆y (линеарно - што значи дека содржи ∆x до првата моќност). Овој член се нарекува диференцијал на функцијата y=f(x) во точката x 0 и се означува dy(x 0) или df(x 0). Значи, за произволни вредности на x
dy=f′(x)∆x. (1)
Поставете dx=∆x, тогаш
dy=f′(x)dx. (2)

Пример. Најдете изводи и диференцијали на овие функции.
а) y=4 tan2 x
Решение:

диференцијал:
б)
Решение:

диференцијал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

диференцијал:
G)
Решение:
=
диференцијал:

Пример. За функцијата y=x 3 најдете израз за ∆y и dy за некои вредности на x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (го зедовме главниот линеарен дел ∆y во однос на ∆x). Во овој случај, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3.

Делумни изводи на функција од две променливи.
Поим и примери на решенија

Во оваа лекција ќе продолжиме со нашето запознавање со функцијата на две променливи и ќе ја разгледаме можеби најчестата тематска задача - наоѓање парцијални изводи од прв и втор ред, како и вкупниот диференцијал на функцијата. Вонредните студенти по правило наидуваат на парцијални деривати во 1 година во 2 семестар. Згора на тоа, според моите согледувања, задачата за наоѓање парцијални деривати скоро секогаш се појавува на испитот.

За ефективно учењеследниот материјал за вас неопходнода може повеќе или помалку самоуверено да најде „обични“ изводи на функции на една променлива. Можете да научите како правилно да ракувате со дериватите на лекциите Како да се најде дериватот?И Извод на сложена функција. Ќе ни треба и табела со деривати на елементарни функции и правила за диференцијација, најзгодно е ако е при рака во печатена форма. Добијте го референтен материјалможно на страницата Математички формули и табели.

Ајде брзо да го повториме концептот на функција од две променливи, ќе се обидам да се ограничам на минимум. Функцијата од две променливи обично се пишува како , при што променливите се повикуваат независни променливиили аргументи.

Пример: – функција на две променливи.

Понекогаш се користи ознаката. Има и задачи каде што наместо буква се користи буквата.

Од геометриска гледна точка, функцијата од две променливи најчесто претставува површина во тродимензионален простор (рамнина, цилиндар, сфера, параболоид, хиперболоид итн.). Но, всушност, ова е повеќе аналитичка геометрија, и на нашата агенда математичка анализа, кој никогаш не ме пушта да изневерувам, мојот универзитетски професор е мојата силна страна.

Да преминеме на прашањето за наоѓање парцијални деривати од прв и втор ред. Мора да се пријави добри вестиЗа оние кои испиле неколку шолји кафе и се навикнуваат на незамисливо тежок материјал: парцијалните изводи се речиси исти како „обичните“ изводи на функција од една променлива.

За парцијалните изводи важат сите правила за диференцијација и табелата со изводи на елементарни функции. Има само неколку мали разлики, кои ќе ги дознаеме токму сега:

...да, патем, за оваа тема ја креирав мала pdf книга, што ќе ви овозможи да „влезете во забите“ за само неколку часа. Но, со користење на страницата, сигурно ќе го добиете истиот резултат - само можеби малку побавно:

Пример 1

Најдете ги парцијалните изводи од прв и втор ред на функцијата

Прво, да ги најдеме парцијалните деривати од прв ред. Има два од нив.

Ознаки:
или - делумен извод во однос на „x“
или - делумен дериват во однос на „y“

Да почнеме со. Кога ќе го најдеме парцијалниот извод во однос на „x“, променливата се смета за константа (константен број).

Коментари за извршените дејства:

(1) Првото нешто што го правиме при наоѓањето на парцијалниот извод е да заклучиме ситефункција во загради под основниот столб со претплата.

Внимание, важно!НИЕ НЕ ГУБИМЕ претплати за време на процесот на решавање. Во овој случај, ако нацртате „удар“ некаде без , тогаш наставникот, минимум, може да го стави до задачата (веднаш одгризете дел од точката поради невнимание).

(2) Ги користиме правилата за диференцијација , . За едноставен примеркако ова, и двете правила многу добро може да се применат во еден чекор. Обрнете внимание на првиот термин: бидејќи се смета за константа, а секоја константа може да се извади од дериватниот знак, потоа го ставаме надвор од загради. Тоа е, во оваа ситуација не е ништо подобро од обичен број. Сега да го погледнеме третиот термин: овде, напротив, нема што да се извади. Бидејќи е константа, тоа е и константа, и во оваа смисла не е ништо подобар од последниот член - „седум“.

(3) Користиме табеларни деривати и .

(4) Ајде да го поедноставиме, или, како што сакам да кажам, да го „уредиме“ одговорот.

Сега . Кога ќе го најдеме парцијалниот извод во однос на „y“, тогаш променливатасе смета за константа (константен број).

(1) Ги користиме истите правила за диференцијација , . Во првиот член ја вадиме константата од знакот на изводот, во вториот член не можеме да извадиме ништо бидејќи таа е веќе константа.

(2) Ја користиме табелата со изводи на елементарни функции. Ајде ментално да ги промениме сите „Х“ во табелата во „Јас“. Тоа е, оваа табела е подеднакво валидна за (и навистина за речиси секоја буква). Конкретно, формулите што ги користиме изгледаат вака: и .

Кое е значењето на парцијалните деривати?

Во суштина, парцијалните деривати од 1-ви ред личат „обичен“ дериват:

- Ова функции, кои се карактеризираат стапка на променафункционира во насока на и оските, соодветно. Така, на пример, функцијата ја карактеризира стрмнината на „подигнувања“ и „падини“ површиниво насока на оската на апсцисата, а функцијата ни кажува за „релјефот“ на истата површина во насока на оската на ординатите.

! Забелешка : Ова се однесува на насоки кои паралелнокоординатни оски.

За подобро разбирање, да разгледаме одредена точка на рамнината и да ја пресметаме вредноста на функцијата („висина“) на неа:
– и сега замислете дека сте овде (НА ПОВРШИНАТА).

Да го пресметаме парцијалниот извод во однос на „x“ во дадена точка:

Негативниот знак на дериватот „Х“ ни кажува за се намалувафункционира во точка во насока на оската на апсцисата. Со други зборови, ако направиме мала, мала (бесконечно мало)чекор кон врвот на оската (паралелно со оваа оска), тогаш ќе се спуштиме по наклонот на површината.

Сега ја дознаваме природата на „теренот“ во насока на оската на ординатите:

Изводот во однос на „y“ е позитивен, затоа, во точка во насока на оската функцијата се зголемува. Едноставно кажано, тука не чека угорнина.

Покрај тоа, парцијалниот дериват во точка карактеризира стапка на променафункционира во соодветната насока. Колку е поголема добиената вредност модуло– колку е површината поострана, и обратно, колку е поблиску до нула, толку е порамна површината. Така, во нашиот пример, „наклонот“ во насока на оската на апсцисата е поостри од „планината“ во насока на оската на ординатите.

Но, тоа беа две приватни патеки. Сосема е јасно дека од точката во која се наоѓаме, (и воопшто од која било точка на дадена површина)можеме да се движиме во некоја друга насока. Така, постои интерес за креирање на општа „навигациска карта“ која би не информирала за „пејсажот“ на површината ако е можново секоја точка домен на дефиниција на оваа функцијапо сите достапни патеки. Ќе зборувам за ова и за други интересни работи во една од следните лекции, но засега да се вратиме на техничка странапрашање.

Да ги систематизираме елементарните применети правила:

1) Кога диференцираме во однос на , променливата се смета за константа.

2) Кога се врши диференцијација според, тогаш се смета за константа.

3) Правилата и табелата на изводи на елементарните функции се валидни и применливи за која било променлива (или која било друга) со која се врши диференцијација.

Чекор два. Наоѓаме парцијални деривати од втор ред. Ги има четири.

Ознаки:
или – втор извод во однос на „x“
или – втор извод во однос на „y“
или - измешанидериват на „x од igr“
или - измешанидериват на „Y“

Нема проблеми со вториот дериват. Говорејќи на едноставен јазик, вториот дериват е изводот на првиот извод.

За погодност, ќе ги препишам веќе пронајдените парцијални деривати од прв ред:

Прво, ајде да најдеме мешани деривати:

Како што можете да видите, сè е едноставно: го земаме делумниот дериват и повторно го диференцираме, но во овој случај - овој пат според „Y“.

Исто така:

ВО практични примериможе да се потпре на следната еднаквост:

Така, преку мешаните деривати од втор ред многу е погодно да се провери дали правилно сме ги нашле парцијалните деривати од прв ред.

Најдете го вториот извод во однос на „x“.
Нема пронајдоци, ајде да го земеме и повторно диференцирајте го со „x“:

Исто така:

Треба да се напомене дека при наоѓање, треба да покажете зголемено внимание, бидејќи не постојат чудесни еднаквости за да се потврдат.

Вторите деривати исто така наоѓаат широк практична примена, особено тие се користат во задачата за пронаоѓање екстреми на функција од две променливи. Но, сè има свое време:

Пример 2

Пресметај ги парцијалните изводи од прв ред на функцијата во точката. Најдете деривати од втор ред.

Ова е пример за независна одлука(одговори на крајот од часот). Ако имате потешкотии да ги разликувате корените, вратете се на лекцијата Како да се најде дериватот?Во принцип, наскоро ќе научите да наоѓате такви деривати „во лет“.

Ајде да фатиме повеќе сложени примери:

Пример 3

Проверете го тоа. Запишете целосен диференцијалпрв ред.

Решение: Најдете парцијални деривати од прв ред:

Обрнете внимание на знакот: , до „Х“ не е забрането да се пишува во загради дека е константа. Оваа белешка може да биде многу корисна за почетниците за полесно да се движите низ решението.

Дополнителни коментари:

(1) Ги поместуваме сите константи надвор од знакот на изводот. Во овој случај, и , и, според тоа, нивниот производ се смета за константен број.

(2) Не заборавајте како правилно да ги разликувате корените.

(1) Ги вадиме сите константи од знакот на изводот во овој случај, константата е .

(2) Под програмот ни останува производ на две функции, затоа треба да го користиме правилото за разликување на производот .

(3) Не заборавајте дека ова е сложена функција (иако наједноставна од сложените). Го користиме соодветното правило: .

Сега наоѓаме мешани деривати од втор ред:

Ова значи дека сите пресметки се извршени правилно.

Ајде да го запишеме вкупниот диференцијал. Во контекст на задачата што се разгледува, нема смисла да се каже колкав е вкупниот диференцијал на функција од две променливи. Важно е дека оваа диференцијална многу често треба да се запише во практични проблеми.

Вкупен диференцијал од прв редфункцијата на две променливи има форма:

Во овој случај:

Тоа е, само треба глупаво да ги замените веќе пронајдените парцијални деривати од прв ред во формулата. Во оваа и слични ситуации, најдобро е да се пишуваат диференцијални знаци во броителите:

И според постојаните барања од читателите, вкупен диференцијал од втор ред.

Изгледа вака:

Ајде ВНИМАТЕЛНО да ги најдеме дериватите со „една буква“ од втор ред:

и запишете го „чудовиштето“, внимателно „прикачувајќи ги“ квадратите, производот и не заборавајќи да го удвоите измешаниот дериват:

Во ред е ако нешто ви изгледа тешко, секогаш можете да се вратите на дериватите подоцна, откако ќе ја совладате техниката на диференцијација:

Пример 4

Најдете парцијални изводи од прв ред на функција . Проверете го тоа. Запишете го вкупниот диференцијал од прв ред.

Ајде да погледнеме низа примери со сложени функции:

Пример 5

Најдете ги парцијалните изводи од прв ред на функцијата.

Решение:

Пример 6

Најдете парцијални изводи од прв ред на функција .
Запишете го вкупниот диференцијал.

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата). Нема да ви дадам целосно решение бидејќи е прилично едноставно.

Доста често, сите горенаведени правила се применуваат во комбинација.

Пример 7

Најдете парцијални изводи од прв ред на функција .

(1) Го користиме правилото за диференцирање на збирот

(2) Првиот член во овој случај се смета за константа, бидејќи нема ништо во изразот што зависи од „x“ - само „y“. Знаете, секогаш е убаво кога дропка може да се претвори во нула). За вториот мандат го применуваме правилото за диференцијација на производот. Патем, во оваа смисла, ништо немаше да се смени ако наместо тоа беше дадена функција - важно е дека овде производ на две функции, Од кои СЕКОЈА зависи од "Х", и затоа, треба да го користите правилото за диференцијација на производот. За третиот член го применуваме правилото за диференцијација на сложена функција.

(1) Првиот член и во броителот и во именителот содржи „y“, затоа, треба да го користите правилото за разликување количници: . Вториот член зависи САМО од „x“, што значи дека се смета за константа и се претвора во нула. За третиот член го користиме правилото за диференцијација на сложена функција.

За оние читатели кои храбро стигнаа речиси до крајот на лекцијата, ќе ви кажам една стара шега на Мехматов за олеснување:

Еден ден, во просторот на функциите се појави злобен дериват и почна да ги разликува сите. Сите функции се расфрлани во сите правци, никој не сака да се трансформира! И само една функција не бега. Дериватот и приоѓа и ја прашува:

- Зошто не бегаш од мене?

- Ха. Но, не ми е гајле, бидејќи јас сум „е до моќта на Х“, а вие ништо нема да ми направите!

На што злобниот дериват со подмолна насмевка одговара:

-Тука грешиш, ќе те разликувам по „Y“, значи треба да бидеш нула.

Кој ја разбрал шегата ги совладал дериватите, барем до нивото „Ц“).

Пример 8

Најдете парцијални изводи од прв ред на функција .

Ова е пример за да го решите сами. Целосното решение и примерот на проблемот се на крајот од лекцијата.

Па, тоа е речиси сè. Конечно, не можам а да не ги молам љубителите на математиката со уште еден пример. Не се работи ни за аматери, секој има различно ниво на математичка подготовка - има луѓе (и не толку ретки) кои сакаат да се натпреваруваат со потешки задачи. Иако, последниот пример во оваа лекција не е толку сложен колку што е тежок од пресметковна гледна точка.

Дефиниција:Целосна диференцијална функцијанеколку променливи е збирот на сите негови парцијални диференцијали:

Пример 1: .

Решение:

Бидејќи парцијалните деривати на оваа функција се еднакви на:

Потоа можеме веднаш да ги запишеме парцијалните диференцијали на овие функции:

, ,

Тогаш целосниот диференцијал на функцијата ќе изгледа вака:

Пример 2Најдете го целосниот диференцијал на функцијата

Решение:

Оваа функција е сложена, т.е. може да се претстави како

Наоѓање парцијални деривати:

Целосен диференцијал:

Аналитичкото значење на вкупниот диференцијал е дека вкупниот диференцијал на функција од неколку променливи е главен делцелосно зголемување на оваа функција,односно има приближна еднаквост: ∆z≈dz.

Меѓутоа, потребно е да се запамети дека овие приближни еднаквости важат само за малите диференцијали dx и dy од аргументите на функцијата z=f(x,y).

Употребата на вкупниот диференцијал во приближните пресметки се заснова на употребата на формулата ∆z≈dz.

Навистина, ако во оваа формула инкрементот ∆z на функцијата е претставен во форма, а вкупниот диференцијал во форма , тогаш добиваме:

≈ ,

Резултирачката формула може да се користи за приближно да се најде „новата“ вредност на функцијата од две променливи, што е потребно за доволно мали зголемувања на двата нејзини аргументи.

Пример.Најдете ја приближната вредност на функцијата , со следните вредности на неговите аргументи: 1.01, .

Решение.

Заменувајќи ги парцијалните деривати на функцијата пронајдени претходно во формулата, добиваме:

При замена на вредностите x=1, ∆х=0,01, y=2, ∆у=0,02 добиваме:

Скаларно поле.

Ако во секоја точка од одреден регион од просторот D е наведена функцијата U(p)=U(x,y,z), тогаш велат дека во областа D е наведено скаларно поле.

Ако, на пример, U(x,y,z) ја означува температурата во точката M(x,y,z), тогаш велат дека е одредено скаларно температурно поле. Ако регионот D е исполнет со течност или гас, а U(x,y,z) означува притисок, тогаш постои скаларно поле на притисок. Ако е дадена локацијата на полнежите или масивните тела во вселената, тогаш зборуваме за потенцијално поле.

Скаларното поле се нарекува стационарна,ако функцијата U(x,y,z) не се менува со текот на времето: U(x,y,z) ≠ ѓ(т).

Секое неподвижно поле се карактеризира со:

1) рамна површина на скаларното поле

2) стапката на промена на полето во дадена насока.

Израмнета површинасе нарекува скаларно поле локусточки во кои функцијата U(x,y,z) зема константна вредност, односно U(x,y,z) = const. Собирањето на овие точки формира одредена површина. Ако земеме друга константа, добиваме друга површина.

Пример:Нека биде дадено скаларно поле. Пример за такво поле е полето на електричниот потенцијал на точка електричен полнеж(+ q). Овде рамните површини ќе бидат еквипотенцијални површини , односно сфери во чиј центар има полнеж што создава поле.

Насоката на најголемото зголемување на скаларната функција е дадена со вектор наречен градиенти се означува со симболот (или ).

Градиентот на функцијата се наоѓа преку парцијалните изводи на оваа функција и секогаш е нормален на површината на скаларното поле во дадена точка:

, Каде

Единечни вектори долж оските OX, OY, OZ, соодветно

Изводот на функцијата U(x,y,z) во која било друга насока (λ) се одредува со формулата:

, Каде

α, β, γ се аглите помеѓу координатните оски OX, OY, OZ, соодветно, и насоката.

Размислете за функција од две променливи z=f(x, y)и неговиот вкупен пораст во точката M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0).

Дефиниција. Ако постојат бројки ПИ Птака што вкупниот прираст може да се претстави како

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

каде и ε→ 0 на Δρ→ 0 , потоа изразот PΔ x + QΔ yсе нарекува вкупен диференцијал на функцијата z=f(x,y)во точката M 0 (x 0 , y 0).

Во овој случај, целосното зголемување на функцијата се состои од два дела: првиот дел PΔ x + QΔ yе линеарна во однос на Δ xИ Δy, вториот е бесконечно мал повисок редво споредба со .

Целосна диференцијална функција z=f(x,y)означено со џт.е

dz = PΔ x+QΔ y.

Функцијата која има вкупен диференцијал во дадена точка се вели дека е диференцијабилна во таа точка.

Теорема. Ако u=f(M)диференцијабилна во точката М0, тогаш во него е континуирано.

Коментар. Континуитетот на функција од две променливи не подразбира нејзина диференцијабилност.

Пример. континуирано во (0,0) , но нема парцијален извод - не постои. Слично на тоа, не постои делумен дериват во однос на y. Затоа, функцијата не може да се разликува.

Теорема [неопходен услов за диференцијабилност]. Ако z=f(x,y)диференцијабилна во точката М0, тогаш во овој момент има делумни деривати во однос на xИ y, и

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Коментар. Различноста не произлегува од постоењето на парцијални деривати. Пример:

имаме , но функцијата не е континуирана, затоа не е диференцијабилна.

Теорема [доволен услов за диференцијабилност]. Ако првите парцијални изводи на функцијата z=f(x,y)дефинирани во некое соседство на точката M 0 (x 0 , y 0)и се континуирани во самата точка М0, тогаш оваа функција има вкупен диференцијал во овој момент.

Коментар. имаме

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ,

Каде ε→ 0 на Δρ→ 0 . Оттука,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f' x (x 0 ,y 0)Δ x + f' y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Оваа формула се користи при приближни пресметки.

На фиксна Δ xИ Δyвкупниот диференцијал е функција на променливите xИ y:

Да ставиме dx=Δ x, dy=Δyи да ги наречеме овие количини диференцијали на независни променливи.

Потоа ја добиваме формулата

односно вкупниот диференцијал на функцијата е еднаков на збирот на производите на првите парцијални изводи и соодветните диференцијали на аргументите.

Вкупниот диференцијал на функција од три променливи се дефинира и изразува слично. Ако u=f(x, y, z)и има бројки П, П, Ртакви што

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0на δρ→ 0 ,

тогаш вкупниот диференцијал е изразот

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z.

Ако првите парцијални изводи на оваа функција се континуирани, тогаш

Каде dx=Δ x, dz=Δ z, dz=Δ z.

Дефиниција. Вкупниот диференцијал од втор ред на функцијата е вкупниот диференцијал на неговиот вкупен диференцијал.

Ако z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, Тоа

Тангентна рамнина и површина нормални

Размислете за површината С, дадена со равенката

z=f(x, y).

Нека f(x, y)има делумни деривати во некој регион. Ајде да размислиме M 0 (x 0 , y 0).

- наклонтангента во точка М0на дел од површината со рамнина y=y 0, односно до линијата z=f(x,y 0). Тангентата на оваа права има форма:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0.

Слично на тоа, авион дел x=x 0ја дава равенката

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0) (y-y 0), x=x 0.

Рамнината што ги содржи двете од овие линии ја има равенката

z-z 0 =f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

и се нарекува тангента рамнина на површината Сво точката P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Забележете дека равенката на тангентата рамнина може да се препише како

z-z 0 =df.

Така, геометриско значењевкупен диференцијал: диференцијал во точка М0за зголемување (x-x 0 , y-y 0)е зголемувањето на апликативната точка на тангентата рамнина на површината z=f(x,y)во точката (x 0 , y 0)за истите зголемувања.

Тангентата рамнина има нормален вектор во точката (x 0 , y 0 , z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Линија што минува низ точка P0и има вектор на насока \vec(n), се нарекува површината нормална z=f(x,y)во овој момент. Нејзините равенки се: