Да, да: аритметичката прогресија не е играчка за вас :) Па, пријатели, ако го читате овој текст, тогаш внатрешната капа-доказ ми кажува дека сè уште не знаете што е аритметичка прогресија, но навистина (не, така: ТООООО!) сакате да знаете. Затоа, нема да ве измачувам со долги воведи и ќе навлезам директно на поентата.
Прво, неколку примери. Ајде да погледнеме неколку групи на броеви:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Што имаат заедничко сите овие комплети? На прв поглед ништо. Но, всушност има нешто. Имено: секој следен елемент се разликува од претходниот по ист број.
Проценете сами. Првиот сет е едноставно последователни броеви, секој следен е еден повеќе од претходниот. Во вториот случај, разликата помеѓу соседните броеви е веќе пет, но оваа разлика е сè уште константна. Во третиот случај, има корени целосно. Сепак, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ и $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. и во овој случај, секој следен елемент едноставно се зголемува за $\sqrt(2)$ (и не плашете се дека овој број е ирационален).
Значи: сите такви низи се нарекуваат аритметички прогресии. Ајде да дадеме строга дефиниција:
Дефиниција. Редоследот на броеви во кој секој следен се разликува од претходниот за точно иста количина се нарекува аритметичка прогресија. Самиот износ по кој се разликуваат броевите се нарекува прогресивна разлика и најчесто се означува со буквата $d$.
Ознака: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресија, $d$ е нејзината разлика.
И само неколку важни забелешки. Прво, само се разгледува прогресијата нарединиза броеви: дозволено е да се читаат строго по редоследот по кој се напишани - и ништо друго. Броевите не можат да се преуредуваат или заменуваат.
Второ, самата низа може да биде или конечна или бесконечна. На пример, множеството (1; 2; 3) е очигледно конечна аритметичка прогресија. Но, ако напишете нешто во духот (1; 2; 3; 4; ...) - ова е веќе бесконечна прогресија. Елипсата по четирите се чини дека навестува дека претстојат уште неколку бројки. Бесконечно многу, на пример. :)
Исто така, би сакал да забележам дека прогресијата може да се зголемува или намалува. Веќе видовме зголемени - истиот сет (1; 2; 3; 4; ...). Еве примери за намалување на прогресијата:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt (5);\ \sqrt (5) -1;\ \sqrt (5) -2;\ \sqrt (5) -3;...$
ДОБРО ДОБРО: последен примерможе да изгледа премногу комплицирано. Но, остатокот, мислам, го разбираш. Затоа, воведуваме нови дефиниции:
Дефиниција. Аритметичка прогресијанаречен:
- се зголемува ако секој следен елемент е поголем од претходниот;
- се намалува ако, напротив, секој следен елемент е помал од претходниот.
Покрај тоа, постојат и таканаречени „стационарни“ секвенци - тие се состојат од ист број што се повторува. На пример, (3; 3; 3; ...).
Останува само едно прашање: како да се разликува растечката прогресија од опаѓачката? За среќа, овде сè зависи само од знакот на бројот $d$, т.е. разлики во прогресијата:
- Ако $d \gt 0$, тогаш прогресијата се зголемува;
- Ако $d \lt 0$, тогаш прогресијата очигледно се намалува;
- Конечно, постои случајот $d=0$ - во овој случај целата прогресија се сведува на стационарна низа од идентични броеви: (1; 1; 1; 1; ...), итн.
Ајде да се обидеме да ја пресметаме разликата $d$ за трите опаѓачки прогресии дадени погоре. За да го направите ова, доволно е да земете кои било два соседни елементи (на пример, првиот и вториот) и да го одземете бројот лево од бројот од десната страна. Ќе изгледа вака:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Како што можеме да видиме, во сите три случаи разликата всушност се покажа негативна. И сега кога повеќе или помалку ги сфативме дефинициите, време е да откриеме како се опишани прогресиите и какви својства имаат.
Термини за прогресија и формула за повторување
Бидејќи елементите на нашите секвенци не можат да се заменат, тие можат да се нумерираат:
\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \десно\)\]
Поединечните елементи на ова множество се нарекуваат членови на прогресија. Тие се означени со број: прв член, втор член итн.
Покрај тоа, како што веќе знаеме, соседните термини на прогресијата се поврзани со формулата:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\десна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Накратко, за да го најдете $n$-тиот член на прогресијата, треба да го знаете членот $n-1$th и разликата $d$. Оваа формула се нарекува повторлива, бидејќи со нејзина помош можете да најдете кој било број само со познавање на претходниот (и всушност, сите претходни). Ова е многу незгодно, па затоа постои полукава формула која ги сведува сите пресметки на првиот член и разликата:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\лево(n-1 \десно)d\]
Веројатно веќе сте наишле на оваа формула. Тие сакаат да го даваат во секакви референтни книги и книги за решенија. И во секој разумен учебник по математика тој е еден од првите.
Сепак, предлагам да вежбате малку.
Задача бр. 1. Запишете ги првите три члена од аритметичката прогресија $\left((a)_(n)) \десно)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.
Решение. Значи, го знаеме првиот член $((a)_(1))=8$ и разликата во прогресијата $d=-5$. Ајде да ја користиме формулата штотуку дадена и да ги замениме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)d; \\ & ((a)_(1))=((а)_(1))+\лево(1-1 \десно)d=((а)_(1))=8; \\ & ((а)_(2))=(а)_(1))+\лево(2-1 \десно)d=((а)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+\лево(3-1 \десно)d=((а)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \крај (порамни)\]
Одговор: (8; 3; −2)
Тоа е се! Ве молиме имајте предвид: нашиот напредок се намалува.
Се разбира, $n=1$ не можеше да се замени - првиот термин ни е веќе познат. Меѓутоа, со замена на единството, се уверивме дека и за првиот мандат нашата формула функционира. Во други случаи, сè се сведуваше на банална аритметика.
Задача бр. 2. Запиши ги првите три члена на аритметичка прогресија ако нејзиниот седми член е еднаков на -40, а неговиот седумнаесетти член е еднаков на -50.
Решение. Ајде да ја напишеме проблемската состојба со познати термини:
\[((а)_(7))=-40;\четири ((а)_(17))=-50.\]
\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(7))=((а)_(1))+6d \\ & ((а)_(17))=(а) _(1))+16d \\ \крај (порамни) \десно.\]
\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(1))+6д=-40 \\ & ((а)_(1))+16д=-50 \\ \крај (порамни) \право.\]
Го ставив знакот систем затоа што овие барања мора да се исполнат истовремено. Сега да забележиме дека ако ја одземеме првата од втората равенка (имаме право да го направиме ова, бидејќи имаме систем), ќе го добиеме ова:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))+16d-\лево(((а)_(1))+6d \десно)=-50-\лево(-40 \десно); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \крај (порамни)\]
Така е лесно да се најде разликата во прогресијата! Останува само да се замени пронајдениот број со која било од равенките на системот. На пример, во првиот:
\[\begin(матрица) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Надолу \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \крај (матрица)\]
Сега, знаејќи го првиот член и разликата, останува да ги најдеме вториот и третиот член:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(2))=((а)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \крај (порамни)\]
Подготвени! Проблемот е решен.
Одговор: (−34; −35; −36)
Забележете го интересното својство на прогресијата што го откривме: ако ги земеме членовите $n$th и $m$th и ги одземеме еден од друг, ќе ја добиеме разликата на прогресијата помножена со бројот $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \лево(n-m \десно)\]
Едноставно, но многу корисно својство, што дефинитивно треба да го знаете - со негова помош можете значително да го забрзате решавањето на многу проблеми со прогресијата. Еве јасен пример за ова:
Задача бр.3. Петтиот член на аритметичката прогресија е 8,4, а нејзиниот десетти член е 14,4. Најдете го петнаесеттиот член од оваа прогресија.
Решение. Бидејќи $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и треба да најдеме $((a)_(15))$, го забележуваме следново:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-((а)_(10))=5д; \\ & ((а)_(10))-((а)_(5))=5г. \\ \крај (порамни)\]
Но по услов $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, значи $5d=6$, од кои имаме:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \крај (порамни)\]
Одговор: 20.4
Тоа е се! Не ни требаше да создаваме системи на равенки и да го пресметаме првиот член и разликата - сè беше решено во само неколку линии.
Сега да погледнеме друг тип на проблем - пребарување на негативни и позитивни термини на прогресија. Не е тајна дека ако прогресијата се зголеми, а нејзиниот прв термин е негативен, тогаш порано или подоцна во него ќе се појават позитивни термини. И обратно: условите за намалена прогресија порано или подоцна ќе станат негативни.
Во исто време, не е секогаш можно да се најде овој момент „главно“ со последователно поминување низ елементите. Честопати, проблемите се напишани на таков начин што без да се знаат формулите, за пресметките би биле потребни неколку листови хартија - едноставно ќе заспиеме додека го најдовме одговорот. Затоа, да се обидеме да ги решиме овие проблеми на побрз начин.
Задача бр.4. Колку негативни членови има во аритметичката прогресија −38,5; −35,8; ...?
Решение. Значи, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, од каде веднаш ја наоѓаме разликата:
Забележете дека разликата е позитивна, така што прогресијата се зголемува. Првиот член е негативен, па навистина во одреден момент ќе налетаме на позитивни бројки. Прашањето е само кога тоа ќе се случи.
Ајде да се обидеме да откриеме колку долго (т.е. до кој природен број $n$) останува негативноста на поимите:
\[\почеток(порамни) & ((a)_(n)) \lt 0\Десна стрелка ((a)_(1))+\лево(n-1 \десно)d \lt 0; \\ & -38,5+\лево(n-1 \десно)\cточка 2,7 \lt 0;\quad \лево| \cdot 10 \десно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \десно) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Десна стрелка ((n)_(\max))=15. \\ \крај (порамни)\]
Последната линија бара некое објаснување. Значи знаеме дека $n \lt 15\frac(7)(27)$. Од друга страна, се задоволуваме само со целобројни вредности на бројот (покрај тоа: $n\in \mathbb(N)$), така што најголемиот дозволен број е точно $n=15$, а во никој случај 16 .
Задача бр.5. Во аритметичка прогресија $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Најдете го бројот на првиот позитивен член од оваа прогресија.
Ова би било точно истиот проблем како и претходниот, но не знаеме $((a)_(1))$. Но, познати се соседните поими: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така што лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:
Дополнително, да се обидеме да го изразиме петтиот член преку првиот и разликата користејќи ја стандардната формула:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)\cточка d; \\ & ((а)_(5))=((а)_(1))+4г; \\ & -150=((а)_(1))+4\cточка 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \крај (порамни)\]
Сега продолжуваме по аналогија со претходната задача. Ајде да дознаеме во која точка од нашата низа ќе се појават позитивните броеви:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(n))=-162+\лево(n-1 \десно)\cточка 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Десна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \крај (порамни)\]
Минималното целобројно решение за оваа неравенка е бројот 56.
Забележете: во последната задача сè се сведе на строга нееднаквост, така што опцијата $n=55$ нема да ни одговара.
Сега кога научивме како да решаваме едноставни проблеми, да преминеме на посложени. Но, прво, да проучиме уште едно многу корисно својство на аритметичките прогресии, кое ќе ни заштеди многу време и нееднакви ќелии во иднина. :)
Аритметичка средина и еднакви вдлабнатини
Да разгледаме неколку последователни членови на растечката аритметичка прогресија $\left(((a)_(n)) \right)$. Ајде да се обидеме да ги означиме на нумеричката линија:
Услови на аритметичка прогресија на бројната праваЈас конкретно означив произволни термини $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не некои $((a)_(1)) ,\ ((а)_(2)),\ ((а)_(3))$, итн. Затоа што правилото за кое ќе ви кажам сега функционира исто за сите „сегменти“.
А правилото е многу едноставно. Да се потсетиме на рекурентната формула и да ја запишеме за сите означени поими:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(n-2))=((а)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((а)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((а)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n+1))+d; \\ \крај (порамни)\]
Сепак, овие еднаквости може да се препишат поинаку:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((а)_(n-2))=((а)_(n))-2д; \\ & ((a)_(n-3))=((а)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((a)_(n+3))=((а)_(n))+3d; \\ \крај (порамни)\]
Па, што? И фактот дека термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на исто растојание од $((a)_(n)) $ . И ова растојание е еднакво на $d$. Истото може да се каже и за поимите $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - тие исто така се отстранети од $((a)_(n) )$ на исто растојание еднакво на $2d$. Можеме да продолжиме бесконечно, но значењето е добро илустрирано од сликата
Условите на прогресијата лежат на исто растојание од центарот Што значи ова за нас? Ова значи дека $((a)_(n))$ може да се најде ако се познати соседните броеви:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Добивме одлична изјава: секој член на аритметичка прогресија е еднаков на аритметичката средина на нејзините соседни членови! Покрај тоа: можеме да се повлечеме од нашите $((a)_(n))$ налево и надесно не за еден чекор, туку за $k$ чекори - и формулата сепак ќе биде точна:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Оние. лесно можеме да најдеме некои $((a)_(150))$ ако знаеме $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, бидејќи $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На прв поглед, може да изгледа дека овој факт не ни дава ништо корисно. Меѓутоа, во пракса, многу проблеми се специјално приспособени да ја користат аритметичката средина. Погледни:
Задача бр.6. Најдете ги сите вредности на $x$ за кои броевите $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ се последователни термини на аритметичка прогресија (по наведениот редослед).
Решение. Бидејќи овие броеви се членови на прогресија, условот за аритметичка средина е задоволен за нив: централниот елемент $x+1$ може да се изрази во однос на соседните елементи:
\[\begin(порамни) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \крај (порамни)\]
Резултатот е класична квадратна равенка. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ се одговорите.
Одговор: −3; 2.
Задача бр.7. Најдете ги вредностите на $$ за кои броевите $-1;4-3;(()^(2))+1$ формираат аритметичка прогресија (по тој редослед).
Решение. Повторно да го изразиме средниот член преку аритметичката средина на соседните поими:
\[\begin(порамни) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \лево| \cdot 2 \десно.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \крај (порамни)\]
Повторно квадратна равенка. И повторно има два корени: $x=6$ и $x=1$.
Одговор: 1; 6.
Ако во процесот на решавање на проблемот излезете со некои брутални бројки или не сте сосема сигурни во точноста на пронајдените одговори, тогаш постои прекрасна техника која ви овозможува да проверите: дали правилно го решивме проблемот?
Да речеме во задачата бр. 6 добивме одговори −3 и 2. Како можеме да провериме дали овие одговори се точни? Ајде само да ги приклучиме во првобитната состојба и да видиме што ќе се случи. Да ве потсетам дека имаме три броја ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$), кои мора да формираат аритметичка прогресија. Да го замениме $x=-3$:
\[\почеток(порамни) & x=-3\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 50. \крај (порамни)\]
Ги добивме броевите −54; −2; 50 кои се разликуваат за 52 е несомнено аритметичка прогресија. Истото се случува и за $x=2$:
\[\почеток(порамни) & x=2\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 30. \крај (порамни)\]
Повторно прогресија, но со разлика од 27. Така проблемот беше правилно решен. Оние кои сакаат можат сами да го проверат вториот проблем, но веднаш ќе кажам: и таму сè е точно.
Во принцип, додека ги решававме последните проблеми, наидовме на друг интересен факт, што исто така треба да се запомни:
Ако три броја се такви што вториот е аритметичка средина на првиот и последниот, тогаш овие броеви формираат аритметичка прогресија.
Во иднина, разбирањето на оваа изјава ќе ни овозможи буквално да ги „конструираме“ потребните прогресии врз основа на условите на проблемот. Но, пред да се вклучиме во таква „конструкција“, треба да обрнеме внимание на уште еден факт, кој директно произлегува од она што веќе беше дискутирано.
Групирање и сумирање на елементи
Ајде повторно да се вратиме на бројната оска. Да забележиме таму неколку членови на прогресијата, меѓу кои, можеби. вреди за многу други членови:
На нумеричката линија се означени 6 елементиАјде да се обидеме да ја изразиме „левата опашка“ преку $((a)_(n))$ и $d$, а „десната опашка“ преку $((a)_(k))$ и $d$. Многу е едноставно:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((а)_(к-2))=(а)_(к))-2д. \\ \крај (порамни)\]
Сега забележете дека следните износи се еднакви:
\[\begin(порамни) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((а)_(n+1))+((a)_(k-1))=((а)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((а)_(n+2))+((а)_(k-2))=((а)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \крај (порамни)\]
Едноставно кажано, ако земеме за почеток два елементи на прогресијата, кои вкупно се еднакви на некој број $S$, а потоа почнуваат да чекорат од овие елементи во спротивни насоки (еден кон друг или обратно за да се оддалечат), тогаш збировите на елементите на кои ќе се сопнеме исто така ќе бидат еднакви$S$. Ова може најјасно да се прикаже графички:
Еднаквите вдлабнатини даваат еднакви количини Разбирање овој фактќе ни овозможи да ги решиме проблемите во фундаментално повеќе високо нивотешкотии од оние што ги разгледавме погоре. На пример, овие:
Задача бр.8. Одреди ја разликата на аритметичка прогресија во која првиот член е 66, а производот од вториот и дванаесеттиот член е најмалиот можен.
Решение. Ајде да запишеме сè што знаеме:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \крај (порамни)\]
Значи, не ја знаеме разликата во прогресијата $d$. Всушност, целото решение ќе биде изградено околу разликата, бидејќи производот $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да се преработи на следниов начин:
\[\begin(порамни) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=(а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \десно)\cdot \left(66+11d \десно)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \десно)\cdot \left(d+6 \десно). \крај (порамни)\]
За оние во резервоарот: го зедов вкупниот множител од 11 од втората заграда. Така, саканиот производ е квадратна функција во однос на променливата $d$. Затоа, разгледајте ја функцијата $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нејзиниот график ќе биде парабола со гранки нагоре, бидејќи ако ги прошириме заградите, добиваме:
\[\почеток(порамни) & f\лево(d \десно)=11\лево(((d)^(2))+66d+6d+66\cточка 6 \десно)= \\ & =11(( г)^(2))+11\cточка 72d+11\cточка 66\cточка 6 \крај (порамни)\]
Како што можете да видите, коефициентот на највисокиот член е 11 - ова е позитивен број, така што навистина се занимаваме со парабола со нагорни гранки:
распоред квадратна функција- парабола
Ве молиме имајте предвид: оваа парабола ја зема својата минимална вредност на нејзиното теме со апсцисата $((d)_(0))$. Се разбира, можеме да ја пресметаме оваа апсциса користејќи ја стандардната шема (постои формулата $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било многу поразумно да се забележи дека саканото теме лежи на симетријата на оската на параболата, затоа точката $((d)_(0))$ е еднакво оддалечена од корените на равенката $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(порамни) & f\left(d \десно)=0; \\ & 11\cdot \лево(d+66 \десно)\cdot \лево(d+6 \десно)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \крај (порамни)\]
Затоа не брзав особено да ги отворам заградите: во нивната оригинална форма, корените беа многу, многу лесно да се најдат. Затоа, апсцисата е еднаква на средната вредност аритметички броеви−66 и −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Што ни дава откриениот број? Со него, потребниот производ зема најмала вредност(патем, ние никогаш не пресметавме $((y)_(\min ))$ - ова не се бара од нас). Во исто време, овој број е разликата на првобитната прогресија, т.е. го најдовме одговорот. :)
Одговор: −36
Задача бр.9. Помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ вметнете три броја така што заедно со овие броеви да формираат аритметичка прогресија.
Решение. Во суштина, треба да направиме низа од пет броеви, со првиот и последниот број веќе познати. Да ги означиме броевите што недостасуваат со променливите $x$, $y$ и $z$:
\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \десно\ ) \]
Забележете дека бројот $y$ е „средината“ на нашата низа - тој е подеднакво оддалечен од броевите $x$ и $z$ и од броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1) (6) $. И ако од бројките $x$ и $z$ сме во овој моментне можеме да добиеме $y$, тогаш ситуацијата е поинаква со краевите на прогресијата. Да се потсетиме на аритметичката средина:
Сега, знаејќи $y$, ќе ги најдеме преостанатите броеви. Забележете дека $x$ лежи помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$ што штотуку ги најдовме. Затоа
Користејќи слично размислување, го наоѓаме преостанатиот број:
Подготвени! Ги најдовме сите три броја. Да ги запишеме во одговорот по редоследот по кој треба да се вметнат меѓу оригиналните броеви.
Одговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Задача бр.10. Помеѓу броевите 2 и 42 вметнете неколку броеви кои заедно со овие броеви формираат аритметичка прогресија, ако знаете дека збирот на првиот, вториот и последниот од вметнати броеви е 56.
Решение. Уште повеќе тешка задача, која, сепак, се решава по истата шема како и претходните - преку аритметичката средина. Проблемот е што не знаеме точно колку броеви треба да се вметнат. Затоа, да претпоставиме за дефинитивно дека откако ќе се вметне сè ќе има точно $n$ броеви, а првиот од нив е 2, а последниот е 42. Во овој случај, потребната аритметичка прогресија може да се претстави во форма:
\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( а)_(n-1));42 \десно\)\]
\[((а)_(2))+((а)_(3))+(а)_(n-1))=56\]
Забележете, сепак, дека броевите $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се добиени од броевите 2 и 42 на рабовите за еден чекор еден кон друг, т.е. до центарот на низата. И ова значи дека
\[((а)_(2))+((а)_(n-1))=2+42=44\]
Но, тогаш изразот напишан погоре може да се преработи на следниов начин:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(2))+((а)_(3))+((а)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \десно)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \крај (порамни)\]
Знаејќи ги $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(3))-((а)_(1))=12-2=10; \\ & ((а)_(3))-((а)_(1))=\лево(3-1 \десно)\cточка d=2d; \\ & 2d=10\Десна стрелка d=5. \\ \крај (порамни)\]
Останува само да се најдат преостанатите термини:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=2; \\ & ((а)_(2))=2+5=7; \\ & ((а)_(3))=12; \\ & ((а)_(4))=2+3\cточка 5=17; \\ & ((а)_(5))=2+4\cточка 5=22; \\ & ((а)_(6))=2+5\cточка 5=27; \\ & ((а)_(7))=2+6\cточка 5=32; \\ & ((а)_(8))=2+7\cточка 5=37; \\ & ((а)_(9))=2+8\cточка 5=42; \\ \крај (порамни)\]
Така, веќе на 9-тиот чекор ќе стигнеме до левиот крај на низата - бројот 42. Вкупно требаше да се вметнат само 7 броеви: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Одговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Проблеми со зборови со прогресии
Како заклучок, би сакал да разгледам неколку релативно едноставни задачи. Па, толку едноставно: за повеќето ученици кои учат математика на училиште и не го прочитале она што е напишано погоре, овие проблеми може да изгледаат тешки. Сепак, ова се типови на проблеми што се појавуваат на ОГЕ и на Единствениот државен испит по математика, па затоа препорачувам да се запознаете со нив.
Задача бр.11. Тимот произведе 62 делови во јануари, а во секој следен месец произведоа 14 повеќе делови отколку во претходниот месец. Колку делови произведе тимот во ноември?
Решение. Очигледно, бројот на делови наведени по месеци ќе претставува зголемена аритметичка прогресија. Згора на тоа:
\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\лево(n-1 \десно)\cточка 14. \\ \крај (порамни)\]
Ноември е 11-тиот месец во годината, па затоа треба да најдеме $((a)_(11))$:
\[((а)_(11))=62+10\cточка 14=202\]
Затоа, во ноември ќе бидат произведени 202 делови.
Задача бр.12. Работилницата за сврзување во јануари врзала 216 книги, а во секој нареден месец врзала 4 книги повеќе од претходниот месец. Колку книги поврза работилницата во декември?
Решение. Се исто:
$\begin(порамни) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\лево(n-1 \десно)\cточка 4. \\ \крај (порамни)$
Декември е последниот, 12-ти месец во годината, затоа бараме $((a)_(12))$:
\[((а)_(12))=216+11\cточка 4=260\]
Ова е одговорот - во декември ќе бидат врзани 260 книги.
Па, ако сте прочитале досега, побрзам да ви честитам: успешно го завршивте „курсот на млад борец“ во аритметички прогресии. Можете безбедно да преминете на следната лекција, каде што ќе ја проучуваме формулата за збир на прогресија, како и важни и многу корисни последици од неа.
Што главната поентаформули?
Оваа формула ви овозможува да најдете било кој СО НЕГОВИОТ БРОЈ“ n" .
Се разбира, треба да го знаете и првиот термин а 1и разлика во прогресијата г, добро, без овие параметри не можете да запишете одредена прогресија.
Меморирањето (или кревањето) на оваа формула не е доволно. Треба да ја разберете нејзината суштина и да ја примените формулата во различни проблеми. И не заборавајте во вистински момент, но како не заборавајте- Не знам. И тука како да се запаметиДоколку е потребно, дефинитивно ќе ве советувам. За оние кои ја завршуваат лекцијата до крај.)
Значи, да ја погледнеме формулата за n-ти член на аритметичка прогресија.
Што е формула воопшто? Патем, погледнете ако не сте го прочитале. Сè е едноставно таму. Останува да дознаеме што е тоа n-ти мандат.
Прогресијата генерално може да се запише како серија од броеви:
а 1, а 2, а 3, а 4, а 5, .....
а 1- го означува првиот член на аритметичка прогресија, а 3- трет член, а 4- четвртиот и така натаму. Ако нè интересира петтиот мандат, да речеме дека работиме а 5, ако сто и дваесетти - с а 120.
Како можеме да го дефинираме во општи термини? било којчлен на аритметичка прогресија, со било којброј? Многу едноставно! Како ова:
a n
Тоа е она што е n-ти член на аритметичка прогресија.Буквата n ги крие сите членови на броеви одеднаш: 1, 2, 3, 4 и така натаму.
А што ни дава таков рекорд? Само размислете, наместо број запишаа писмо...
Оваа нотација ни дава моќна алатка за работа со аритметичка прогресија. Користење на ознаката a n, можеме брзо да најдеме било којчлен било којаритметичка прогресија. И реши еден куп други проблеми со прогресијата. Ќе видите сами понатаму.
Во формулата за n-ти член на аритметичка прогресија:
| a n = a 1 + (n-1)d |
а 1- првиот член на аритметичка прогресија;
n- членски број.
Формулата ги поврзува клучните параметри на која било прогресија: a n ; а 1; гИ n. Сите проблеми со прогресијата се вртат околу овие параметри.
Формулата за n-ти термин може да се користи и за да се напише одредена прогресија. На пример, проблемот може да каже дека прогресијата е специфицирана со условот:
a n = 5 + (n-1) 2.
Таков проблем може да биде ќорсокак... Ниту има серија ниту разлика... Но, споредувајќи ја состојбата со формулата, лесно се разбира дека во оваа прогресија a 1 =5 и d=2.
А може да биде уште полошо!) Ако ја земеме истата состојба: a n = 5 + (n-1) 2,Да, отвори ги заградите и донесе слични? Добиваме нова формула:
a n = 3 + 2n.
Ова Само не општо, туку за специфична прогресија. Ова е местото каде што демне замката. Некои луѓе мислат дека првиот мандат е три. Иако реално првиот термин е пет... Малку подолу ќе работиме со ваква изменета формула.
Во проблемите со прогресијата постои друга нотација - а n+1. Ова е, како што претпоставувате, терминот „n плус прв“ на прогресијата. Неговото значење е едноставно и безопасно.) Ова е член на прогресијата чиј број е поголем од бројот n за еден. На пример, ако во некој проблем земеме a nтогаш петти мандат а n+1ќе биде шести член. итн.
Најчесто ознаката а n+1пронајдени во формулите за повторување. Не плашете се од овој застрашувачки збор!) Ова е само начин да се изрази член на аритметичка прогресија преку претходниот.Да речеме дека ни е дадена аритметичка прогресија во оваа форма, користејќи рекурентна формула:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвртиот - преку третиот, петтиот - преку четвртиот, и така натаму. Како можеме веднаш да го изброиме, да речеме, дваесеттиот мандат? а 20? Но, нема шанси!) Додека не го дознаеме 19-тиот мандат, не можеме да го броиме 20-тиот. Ова е основната разлика помеѓу рекурентната формула и формулата на n-тиот член. Повторливи работи само преку претходночлен, а формулата на n-тиот член е преку првои дозволува веднашнајдете кој било член по неговиот број. Без да се пресмета целата серија на броеви по редослед.
Во аритметичка прогресија, лесно е да се претвори повторлива формула во редовна. Избројте пар последователни членови, пресметајте ја разликата г,најдете, доколку е потребно, првиот термин а 1, напишете ја формулата во нејзината вообичаена форма и работете со неа. Вакви задачи често се среќаваат во Државната академија на науките.
Примена на формулата за n-ти член на аритметичка прогресија.
Прво, да ја погледнеме директната примена на формулата. На крајот од претходната лекција имаше проблем:
Дадена е аритметичка прогресија (a n). Најдете 121 ако a 1 =3 и d=1/6.
Овој проблем може да се реши без никакви формули, едноставно врз основа на значењето на аритметичката прогресија. Додадете и додајте... Час или два.)
И според формулата, решението ќе трае помалку од една минута. Можете да го темпирате.) Ајде да одлучиме.
Условите ги обезбедуваат сите податоци за користење на формулата: a 1 =3, d=1/6.Останува да дознаеме што е еднакво n.Нема проблем! Треба да најдеме а 121. Така пишуваме:
Ве молиме обрнете внимание! Наместо индекс nсе појави конкретен број: 121. што е сосема логично.) Нè интересира членот на аритметичката прогресија. број сто и дваесет и еден.Ова ќе биде наше n.Ова е значењето n= 121 ќе замениме понатаму во формулата, во загради. Ги заменуваме сите броеви во формулата и пресметуваме:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Тоа е тоа. Исто толку брзо можеше да се најде петстотини десеттиот член, и илјада и третиот, кој било. Ставивме наместо nсаканиот број во индексот на буквата " а"и во загради, и броиме.
Дозволете ми да ве потсетам на поентата: оваа формула ви овозможува да најдете било којпоим за аритметичка прогресија СО НЕГОВИОТ БРОЈ“ n" .
Ајде да го решиме проблемот на полукав начин. Да наидеме на следниот проблем:
Најдете го првиот член од аритметичката прогресија (a n), ако a 17 =-2; d=-0,5.
Ако имате некакви потешкотии, ќе ви го кажам првиот чекор. Запишете ја формулата за n-ти член на аритметичка прогресија!Да Да. Запишете со рацете, право во вашата тетратка:
| a n = a 1 + (n-1)d |
И сега, гледајќи ги буквите од формулата, разбираме какви податоци имаме и што недостасува? Достапно d=-0,5,има седумнаесетти член... Дали е тоа? Ако мислите дека тоа е тоа, тогаш нема да го решите проблемот, да...
Имаме уште бројка n! Во состојба а 17 =-2скриени два параметри.Ова е и вредноста на седумнаесеттиот член (-2) и неговиот број (17). Оние. n=17.Оваа „ситница“ често се лизга покрај главата, а без неа (без „ситницата“, не главата!) проблемот не може да се реши. Иако... и без глава.)
Сега можеме едноставно глупаво да ги замениме нашите податоци во формулата:
a 17 = a 1 + (17-1)· (-0,5)
О да, а 17знаеме дека е -2. Добро, ајде да го замениме:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Тоа е во основа сè. Останува да се изрази првиот член на аритметичката прогресија од формулата и да се пресмета. Одговорот ќе биде: а 1 = 6.
Оваа техника - запишување формула и едноставно замена на познати податоци - е голема помош при едноставни задачи. Па, се разбира, мора да можете да изразите променлива од формула, но што да правите!? Без оваа вештина, математиката може воопшто да не се изучува...
Друга популарна загатка:
Најдете ја разликата на аритметичката прогресија (a n), ако a 1 =2; а 15 = 12.
Што правиме? Ќе се изненадите, ја пишуваме формулата!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ајде да размислиме што знаеме: a 1 =2; a 15 = 12; и (особено ќе истакнам!) n=15. Слободно заменете го ова во формулата:
12=2 + (15-1)г
Ние ја правиме аритметиката.)
12=2 + 14д
г=10/14 = 5/7
Ова е точниот одговор.
Значи, задачите за a n, a 1И годлучи. Останува само да научите како да го пронајдете бројот:
Бројот 99 е член на аритметичката прогресија (a n), каде a 1 =12; d=3. Најдете го бројот на овој член.
Ние ги заменуваме количините што ни се познати во формулата на n-тиот член:
a n = 12 + (n-1) 3
На прв поглед, тука има две непознати количини: а n и n.Но a n- ова е некој член на прогресијата со број n...И го знаеме овој член на прогресијата! Тоа е 99. Не го знаеме неговиот број. n,Значи овој број е она што треба да го најдете. Го заменуваме терминот на прогресијата 99 во формулата:
99 = 12 + (n-1) 3
Изразуваме од формулата n, ние мислиме. Го добиваме одговорот: n=30.
И сега проблем на истата тема, но покреативен):
Определи дали бројот 117 е член на аритметичката прогресија (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Ајде повторно да ја напишеме формулата. Што, нема параметри? Хм... Зошто ни се дадени очи?) Дали го гледаме првиот термин на прогресијата? Ние гледаме. Ова е -3,6. Можете безбедно да напишете: a 1 = -3,6.Разлика гможеш да одредиш од серија? Лесно е ако знаете која е разликата на аритметичката прогресија:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Така, ја направивме наједноставната работа. Останува да се справиме со непознатиот број nа неразбирливиот број 117. Во претходниот проблем барем се знаеше дека е даден терминот на прогресијата. Но, овде не ни знаеме... Што да правиме!? Па, што да правам, што да правам... Вклучи Креативни вештини!)
Ние да претпоставимедека 117 е, на крајот на краиштата, член на нашата прогресија. Со непознат број n. И, исто како и во претходниот проблем, да се обидеме да го најдеме овој број. Оние. ја пишуваме формулата (да, да!)) и ги заменуваме нашите броеви:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Повторно изразуваме од формулатаn, броиме и добиваме:
Упс! Бројката испадна фракционо!Сто и еден и пол. И дробни броеви во прогресии не може да биде.Каков заклучок можеме да извлечеме? Да! Број 117 не ечлен на нашата прогресија. Тоа е некаде помеѓу сто и првиот и сто и вториот мандат. Ако бројот испаднал природен, т.е. е позитивен цел број, тогаш бројот би бил член на прогресијата со пронајдениот број. И во нашиот случај, одговорот на проблемот ќе биде: бр.
Задача базирана на вистинска верзија на GIA:
Аритметичка прогресија е дадена со условот:
a n = -4 + 6,8n
Најдете ги првиот и десеттиот член на прогресијата.
Овде прогресијата е поставена на необичен начин. Некаква формула... Се случува.) Сепак, оваа формула (како што напишав погоре) - и формулата за n-ти член на аритметичка прогресија!Таа исто така дозволува најдете кој било член на прогресијата според неговиот број.
Го бараме првиот член. Оној што мисли. дека првиот член е минус четири е фатална грешка!) Бидејќи формулата во проблемот е изменета. Првиот член на аритметичката прогресија во него скриени.Во ред е, ќе го најдеме сега.)
Исто како и во претходните проблеми, заменуваме n=1во оваа формула:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Еве! Првиот член е 2,8, а не -4!
Го бараме десеттиот член на ист начин:
а 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Тоа е тоа.
И сега, за оние кои ги прочитаа овие редови, ветениот бонус.)
Да претпоставиме дека во тешка борбена ситуација, Државен испит или Единствен државен испит, сте заборавиле корисна формула n-ти член на аритметичка прогресија. Се сеќавам на нешто, но некако несигурно... Или nтаму, или n+1 или n-1...Како да се биде!?
Смирен! Оваа формула е лесно да се изведе. Не е многу строго, но дефинитивно е доволно за доверба и правилна одлука!) За да донесете заклучок, доволно е да се сетите на елементарното значење на аритметичката прогресија и да имате неколку минути време. Треба само да нацртате слика. За јасност.
Нацртајте бројна линија и означете ја првата на неа. второ, трето итн. членови. И ја забележуваме разликата гпомеѓу членовите. Како ова:
Ја гледаме сликата и размислуваме: што значи вториот член? Второ еден г:
а 2 =а 1 + 1 г
Кој е третиот мандат? Третотерминот е еднаков на првиот член плус два г.
а 3 =а 1 + 2 г
Дали го добивате? Не за џабе истакнувам некои зборови со задебелени букви. Добро, уште еден чекор).
Кој е четвртиот мандат? Четвртотерминот е еднаков на првиот член плус три г.
а 4 =а 1 + 3 г
Време е да сфатиме дека бројот на празнини, т.е. г, Секогаш еден помалку од бројот на членот што го барате n. Односно до бројката n, број на празни местаќе n-1.Затоа, формулата ќе биде (без варијации!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Општо земено, визуелните слики се многу корисни за решавање на многу проблеми во математиката. Не ги занемарувајте сликите. Но, ако е тешко да се нацрта слика, тогаш... само формула!) Покрај тоа, формулата на n-тиот член ви овозможува да го поврзете целиот моќен арсенал на математиката со решението - равенки, неравенки, системи итн. Не можете да вметнете слика во равенката...
Задачи за самостојно решение.
За загревање:
1. Во аритметичка прогресија (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Најдете 3.
Совет: според сликата, проблемот може да се реши за 20 секунди... Според формулата, излегува потешко. Но, за совладување на формулата, таа е покорисна.) Во делот 555, овој проблем е решен со помош на сликата и формулата. Почувствувајте ја разликата!)
И ова повеќе не е загревање.)
2. Во аритметичка прогресија (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Најдете 3 .
Што, не сакате да нацртате слика?) Се разбира! Подобро според формулата, да...
3. Аритметичката прогресија е дадена со условот:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Најдете го сто и дваесет и петтиот член од оваа прогресија.
Во оваа задача, прогресијата се одредува на повторлив начин. Но, сметајќи до сто и дваесет и петтиот член... Не секој е способен за таков подвиг.) Но формулата на n-тиот член е во моќ на секого!
4. Дадена е аритметичка прогресија (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Најдете го бројот на најмалиот позитивен член на прогресијата.
5. Според условите од задача 4, најди го збирот на најмалите позитивни и најголемите негативни членови на прогресијата.
6. Производот на петтиот и дванаесеттиот член на растечка аритметичка прогресија е еднаков на -2,5, а збирот на третиот и единаесеттиот член е еднаков на нула. Најдете 14.
Не е најлесната задача, да...) Методот „прст“ нема да работи овде. Ќе треба да пишувате формули и да решавате равенки.
Одговори (во неред):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Се случи? Убаво е!)
Не функционира сè? Се случува. Патем, има една суптилна точка во последната задача. Ќе биде потребно внимание при читањето на проблемот. И логика.
Решението на сите овие проблеми е детално разгледано во Дел 555. И елементот на фантазијата за четвртиот, и суптилната точка за шестиот, и општите пристапи за решавање на какви било проблеми што ја вклучуваат формулата на n-тиот член - сè е опишано. Препорачувам.
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
При изучување на алгебра во средно школо(9-то одделение) еден од важни темие проучување на низите на броеви, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија ќе разгледаме аритметичка прогресија и примери со решенија.
Што е аритметичка прогресија?
За да се разбере ова, неопходно е да се дефинира прогресијата за која станува збор, како и да се дадат основните формули кои подоцна ќе се користат при решавање на проблемите.
Аритметичка или алгебарска прогресија е збир на подредени рационални броеви, од кои секој член се разликува од претходниот по одредена константна вредност. Оваа вредност се нарекува разлика. Односно, познавајќи го кој било член на нарачана серија на броеви и разликата, можете да ја вратите целата аритметичка прогресија.
Да дадеме пример. Следната низа од броеви ќе биде аритметичка прогресија: 4, 8, 12, 16, ..., бидејќи разликата во овој случај е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но, множеството од броеви 3, 5, 8, 12, 17 повеќе не може да се припише на видот на прогресијата што се разгледува, бидејќи разликата за тоа не е константна вредност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Важни формули
Сега да ги претставиме основните формули кои ќе бидат потребни за решавање на проблеми со помош на аритметичка прогресија. Со симболот a n да го означиме n-тиот член на низата, каде што n е цел број. Разликата ја означуваме со латинската буква d. Тогаш важат следните изрази:
- За да се одреди вредноста на n-тиот член, погодна е следната формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
- За да се одреди збирот на првите n членови: S n = (a n +a 1)*n/2.
За да се разберат какви било примери на аритметичка прогресија со решенија во 9-то одделение, доволно е да се запаметат овие две формули, бидејќи сите проблеми од типот што се разгледува се засноваат на нивната употреба. Исто така, треба да запомните дека разликата во прогресијата се одредува со формулата: d = a n - a n-1.
Пример #1: наоѓање непознат поим
Да дадеме едноставен пример за аритметичка прогресија и формулите што треба да се користат за да се реши.
Нека биде дадена низата 10, 8, 6, 4, ..., во неа треба да најдете пет члена.
Од условите на проблемот веќе произлегува дека првите 4 поими се познати. Петтиот може да се дефинира на два начина:
- Ајде прво да ја пресметаме разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. Слично на тоа, можете да земете кои било други други членови кои стојат еден до друг. На пример, d = 4 - 6 = -2. Бидејќи е познато дека d = a n - a n-1, тогаш d = a 5 - a 4, од што добиваме: a 5 = a 4 + d. Ги заменуваме познатите вредности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Вториот метод исто така бара познавање на разликата во односната прогресија, така што прво треба да ја одредите како што е прикажано погоре (d = -2). Знаејќи дека првиот член a 1 = 10, ја користиме формулата за n бројот на низата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Заменувајќи го n = 5 во последниот израз, добиваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Како што можете да видите, двете решенија доведоа до истиот резултат. Забележете дека во овој пример, разликата во прогресијата d е негативна вредност. Ваквите низи се нарекуваат опаѓачки, бидејќи секој следен член е помал од претходниот.
Пример #2: разлика во прогресијата
Сега да ја комплицираме задачата малку, да дадеме пример како
Познато е дека кај некои првиот член е еднаков на 6, а седмиот член е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа низа на 7-ми член.
Да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Да ги замениме познатите податоци од условот во него, односно броевите a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. Од овој израз можете лесно да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така, го одговоривме првиот дел од задачата.
За да ја вратите низата до седмиот член, треба да ја користите дефиницијата за алгебарска прогресија, односно a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d итн. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Пример бр. 3: изготвување прогресија
Да го искомплицираме проблемот уште повеќе. Сега треба да одговориме на прашањето како да најдеме аритметичка прогресија. Може да се даде следниов пример: дадени се два броја, на пример - 4 и 5. Потребно е да се создаде алгебарска прогресија така што меѓу нив ќе се постават уште три члена.
Пред да започнете да го решавате овој проблем, треба да разберете какво место ќе заземат дадените броеви во идната прогресија. Бидејќи меѓу нив ќе има уште три члена, тогаш 1 = -4 и 5 = 5. Откако го утврдивме ова, преминуваме на проблемот, кој е сличен на претходниот. Повторно, за n-тиот член ја користиме формулата, добиваме: a 5 = a 1 + 4 * d. Од: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Она што го добивме овде не е цел бројна вредност на разликата, но тоа е рационален број, така што формулите за алгебарската прогресија остануваат исти.
Сега да ја додадеме пронајдената разлика на 1 и да ги вратиме термините што недостасуваат од прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, што се совпаѓа со условите на проблемот.
Пример бр. 4: прв рок на прогресија
Да продолжиме да даваме примери за аритметичка прогресија со решенија. Во сите претходни задачи беше познат првиот број на алгебарската прогресија. Сега да разгледаме проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што е 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде со кој број започнува оваа низа.
Досега користените формули претпоставуваат познавање на 1 и d. Во изјавата за проблемот, ништо не се знае за овие бројки. Сепак, ќе запишеме изрази за секој поим за кои информации се достапни: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Добивме две равенки во кои има 2 непознати величини (а 1 и г). Тоа значи дека проблемот се сведува на решавање на систем од линеарни равенки.
Најлесен начин да се реши овој систем е да се изрази 1 во секоја равенка и потоа да се споредат добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Изедначувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, од каде разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (дадени се само 3 децимални места).
Знаејќи го d, можете да користите кој било од 2-те изрази погоре за 1. На пример, прво: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Ако се сомневате во добиениот резултат, можете да го проверите, на пример, да го одредите 43-от термин на прогресијата, што е наведено во условот. Добиваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малата грешка се должи на фактот што во пресметките се користело заокружување на илјадити делови.
Пример бр. 5: износ
Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.
Нека е дадена нумеричка прогресија од следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како да се пресмета збирот од 100 од овие броеви?
Благодарение на развојот компјутерска технологијаможете да го решите овој проблем, односно да ги додадете сите броеви последователно, што компјутерот ќе го направи веднаш штом некое лице ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши ментално ако обрнете внимание дека претставената серија на броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е еднаква на 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Интересно е да се забележи дека овој проблем е наречен „Гаус“ бидејќи во почетокот на XVIIIвек, познатиот Германец, додека имал уште само 10 години, успеал да го реши тоа во својата глава за неколку секунди. Момчето не ја знаело формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележал дека ако ги соберете броевите на краевите на низата во парови, секогаш го добивате истиот резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а бидејќи овие збирови ќе бидат точно 50 (100 / 2), тогаш за да се добие точниот одговор доволно е да се помножи 50 со 101.
Пример бр. 6: збир на членови од n до m
Друг типичен пример за збир на аритметичка прогресија е следниов: дадени се низа броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да најдете колку ќе биде еднаков збирот на членовите од 8 до 14. .
Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа последователно собирање. Бидејќи има неколку термини, овој метод не е доста трудоинтензивен. Сепак, се предлага да се реши овој проблем со помош на втор метод, кој е поуниверзален.
Идејата е да се добие формула за збирот на алгебарската прогресија помеѓу членовите m и n, каде што n > m се цели броеви. За двата случаи, пишуваме два изрази за збирот:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Бидејќи n > m, очигледно е дека вториот збир го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата меѓу овие збирови и на неа го додадеме поимот a m (во случај да се земе разликата, таа се одзема од збирот S n), ќе го добиеме потребниот одговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Неопходно е да се заменат формулите за n и a m во овој израз. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Резултирачката формула е донекаде незгодна, сепак, збирот S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.
Како што може да се види од горенаведените решенија, сите задачи се засноваат на познавање на изразот за n-тиот член и формулата за збир на множеството од први членови. Пред да започнете да решавате некој од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што треба да најдете и дури потоа да продолжите со решението.
Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно, ако можете да одговорите на прашање без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во примерот на аритметичка прогресија со решение бр. 6, може да се застане на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и пауза заедничка задачаво посебни подзадачи (во овој случај, прво најдете ги поимите a n и a m).
Доколку се сомневате во добиениот резултат, се препорачува да го проверите, како што беше направено во некои од дадените примери. Дознавме како да најдеме аритметичка прогресија. Ако го сфатите тоа, не е толку тешко.
Математиката има своја убавина, исто како сликарството и поезијата.
Рускиот научник, механичар Н.Е. Жуковски
Многу чести задачи во приемни испитиво математиката се проблеми поврзани со поимот аритметичка прогресија. За успешно решавање на ваквите проблеми, мора да имате добро познавање на својствата на аритметичката прогресија и да имате одредени вештини во нивната примена.
Прво да се потсетиме на основните својства на аритметичката прогресија и да ги претставиме најважните формули, поврзани со овој концепт.
Дефиниција. Редоследот на броеви, во кој секој нареден член се разликува од претходниот за ист број, наречена аритметичка прогресија. Во овој случај бројотнаречена прогресивна разлика.
За аритметичка прогресија важат следните формули:
, (1)
Каде. Формулата (1) се нарекува формула на општиот член на аритметичка прогресија, а формулата (2) го претставува главното својство на аритметичката прогресија: секој член од прогресијата се совпаѓа со аритметичката средина на нејзините соседни членови и .
Имајте на ум дека токму поради ова својство прогресијата што се разгледува се нарекува „аритметичка“.
Горенаведените формули (1) и (2) се генерализирани на следниов начин:
(3)
За да се пресмета износотпрво услови на аритметичка прогресијаформулата обично се користи
(5) каде и .
Ако ја земеме предвид формулата (1), тогаш од формулата (5) следува
Ако означиме, тогаш
Каде. Бидејќи , формулите (7) и (8) се генерализација на соодветните формули (5) и (6).
Особено , од формулата (5) следува, Што
Малку познато за повеќето студенти е својството на аритметичка прогресија, формулирана преку следнава теорема.
Теорема.Ако тогаш
Доказ.Ако тогаш
Теоремата е докажана.
На пример, користејќи ја теоремата, може да се покаже дека
Ајде да продолжиме да разгледуваме типични примери за решавање проблеми на тема „Аритметичка прогресија“.
Пример 1.Нека биде. Најдете .
Решение.Применувајќи ја формулата (6), добиваме . Од и , тогаш или .
Пример 2.Нека е трипати поголем, а кога се дели со количникот, резултатот е 2, а остатокот е 8. Определи и .
Решение.Од условите на примерот следува системот на равенки
Бидејќи , , и , тогаш од системот равенки (10) добиваме
Решението на овој систем на равенки е и .
Пример 3.Најдете дали и.
Решение.Според формулата (5) имаме или . Меѓутоа, користејќи го својството (9), добиваме .
Од и , тогаш од еднаквоста следи равенкатаили .
Пример 4.Најдете дали.
Решение.Според формулата (5) имаме
Сепак, користејќи ја теоремата, можеме да напишеме
Од тука и од формулата (11) добиваме .
Пример 5. Дадени:. Најдете .
Решение.Од тогаш. Меѓутоа, затоа.
Пример 6.Нека, и. Најдете .
Решение.Користејќи ја формулата (9), добиваме . Затоа, ако , тогаш или .
Бидејќи и тогаш тука имаме систем на равенки
Решавајќи го, добиваме и .
Природен корен на равенкатае .
Пример 7.Најдете дали и.
Решение.Бидејќи според формулата (3) го имаме тоа , тогаш системот на равенки следи од проблемските услови
Ако го замениме изразотво втората равенка на системот, тогаш добиваме или .
Корени квадратна равенкасеИ .
Да разгледаме два случаи.
1. Нека , тогаш . Оттогаш и тогаш.
Во овој случај, според формулата (6), имаме
2. Ако , тогаш , и
Одговор: и.
Пример 8.Познато е дека и. Најдете .
Решение.Земајќи ја предвид формулата (5) и состојбата на примерот, пишуваме и .
Ова го подразбира системот на равенки
Ако првата равенка на системот ја помножиме со 2 и потоа ја додадеме на втората равенка, ќе добиеме
Според формулата (9) имаме. Во овој поглед, произлегува од (12)или .
Оттогаш и тогаш.
Одговор:.
Пример 9.Најдете дали и.
Решение.Бидејќи , и по услов , тогаш или .
Од формулата (5) се знае, Што . Од тогаш.
Оттука, овде имаме систем на линеарни равенки
Од тука добиваме и . Земајќи ја предвид формулата (8), пишуваме .
Пример 10.Решете ја равенката.
Решение.Од дадена равенкаследува дека . Да претпоставиме дека , , и . Во овој случај .
Според формулата (1), можеме да напишеме или .
Бидејќи , тогаш равенката (13) го има единствениот соодветен корен .
Пример 11.Најдете ја максималната вредност под услов и .
Решение.Од , тогаш аритметичката прогресија што се разгледува се намалува. Во овој поглед, изразот ја зема својата максимална вредност кога е бројот на минималниот позитивен член на прогресијата.
Да ја искористиме формулата (1) и фактот, тоа и. Потоа го добиваме тоа или .
Оттогаш или . Меѓутоа, во оваа нееднаквостнајголем природен број, Затоа .
Ако вредностите на и се заменат во формулата (6), добиваме.
Одговор:.
Пример 12.Одреди го збирот на сите двоцифрени природни броеви, кој кога ќе се подели со 6 остава остаток од 5.
Решение.Да означиме со множеството од сите двоцифрени природни броеви, т.е. . Следно, ќе конструираме подмножество кое се состои од оние елементи (броеви) од множеството кои, кога се делат со бројот 6, даваат остаток од 5.
Лесно се инсталира, Што . Очигледно, дека елементите на множествотоформираат аритметичка прогресија, во која и .
За да се утврди кардиналноста (бројот на елементи) на множеството, претпоставуваме дека . Бидејќи и , произлегува од формулата (1) или . Земајќи ја предвид формулата (5), добиваме .
Горенаведените примери за решавање проблеми во никој случај не можат да тврдат дека се исцрпни. Оваа статија е напишана врз основа на анализата современи методирешавање на типични проблеми на дадена тема. За подлабинско проучување на методите за решавање проблеми поврзани со аритметичка прогресија, препорачливо е да се повикате на списокот со препорачана литература.
1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 стр.
2. Супрун В.П. Математика за средношколци: дополнителни делови училишна наставна програма. – М.: Ленанд / УРСС, 2014. – 216 стр.
3. Медински М.М. Целосен курселементарна математика во задачи и вежби. Книга 2: Секвенци на броевии прогресија. – М.: Едитус, 2015. – 208 стр.
Сè уште имате прашања?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Збир на аритметичка прогресија.
Збирот на аритметичка прогресија е едноставна работа. И по значење и по формула. Но, има секакви задачи на оваа тема. Од основно до сосема солидно.
Прво, да го разбереме значењето и формулата на износот. И тогаш ќе одлучиме. За ваше задоволство.) Значењето на износот е едноставно како мом. За да го пронајдете збирот на аритметичка прогресија, само треба внимателно да ги додадете сите нејзини термини. Ако овие термини се малку, можете да додадете без никакви формули. Но, ако има многу, или многу... додавањето е досадно.) Во овој случај, формулата доаѓа на помош.
Формулата за износот е едноставна:
Ајде да откриеме какви букви се вклучени во формулата. Ова многу ќе ги расчисти работите.
С н - збир на аритметичка прогресија. Резултат на додавање ситечленови, со првоОд страна на последен.Тоа е важно. Тие се собираат точно Ситечленови по ред, без прескокнување или прескокнување. И, поточно, почнувајќи од прво.Во проблеми како што се наоѓање на збирот од третиот и осмиот член или збирот од петтиот до дваесеттиот член, директната примена на формулата ќе разочара.)
а 1 - првочлен на прогресијата. Овде сè е јасно, едноставно е првоброј на ред.
a n- последночлен на прогресијата. Последниот број од серијата. Не е многу познато име, но кога се применува на износот, тоа е многу погодно. Тогаш ќе се уверите сами.
n - број на последниот член. Важно е да се разбере дека во формулата овој број се совпаѓа со бројот на додадени термини.
Ајде да го дефинираме концептот последенчлен a n. Тешко прашање: кој член ќе биде последниотдоколку се дадени бескрајнааритметичка прогресија?)
За да одговорите самоуверено, треба да го разберете елементарното значење на аритметичката прогресија и... внимателно прочитајте ја задачата!)
Во задачата да се најде збир на аритметичка прогресија, секогаш се појавува последниот член (директно или индиректно), кои треба да бидат ограничени.Во спротивно, конечна, конкретна сума едноставно не постои.За решението не е важно дали прогресијата е дадена: конечна или бесконечна. Не е важно како е даден: серија броеви или формула за n-тиот член.
Најважно е да се разбере дека формулата работи од првиот член на прогресијата до членот со број n.Всушност, целото име на формулата изгледа вака: збирот на првите n членови на аритметичка прогресија.Бројот на овие први членови, т.е. n, се определува исклучиво од задачата. Во задачата, сите овие вредни информации често се шифрираат, да... Но не е важно, во примерите подолу ги откриваме овие тајни.)
Примери на задачи за збир на аритметичка прогресија.
Најпрво, корисни информации:
Главната тешкотија во задачите што вклучуваат збир на аритметичка прогресија лежи во правилното одредување на елементите на формулата.
Писателите на задачи ги шифрираат токму овие елементи со безгранична имагинација.) Главната работа овде е да не се плашите. Разбирање на суштината на елементите, доволно е едноставно да ги дешифрираме. Да разгледаме неколку примери во детали. Да почнеме со задача базирана на вистинска ГИА.
1. Аритметичката прогресија е дадена со условот: a n = 2n-3.5. Најдете го збирот на неговите први 10 членови.
Добра работа. Лесно.) За да ја одредиме количината користејќи ја формулата, што треба да знаеме? Прв член а 1, минатиот мандат a n, да бројот на последниот член n.
Каде можам да го добијам бројот на последниот член? n? Да, токму таму, под услов! Таа вели: најдете ја сумата првите 10 членови.Па, со кој број ќе биде? последно,десетти член?) Нема да верувате, неговиот број е десетти!) Затоа, наместо a nЌе замениме во формулата а 10, и наместо тоа n- десет. Повторувам, бројот на последниот член се совпаѓа со бројот на членови.
Останува да се утврди а 1И а 10. Ова лесно се пресметува со помош на формулата за n-тиот член, која е дадена во изјавата за проблемот. Не знаете како да го направите ова? Посетете ја претходната лекција, без ова нема начин.
а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
а 10=2·10 - 3,5 =16,5
С н = С 10.
Го дознавме значењето на сите елементи од формулата за збир на аритметичка прогресија. Останува само да ги замениме и изброиме:
Тоа е тоа. Одговор: 75.
Друга задача заснована на ГИА. Малку покомплицирано:
2. Дадена е аритметичка прогресија (a n), чија разлика е 3,7; а 1 = 2,3. Најдете го збирот на неговите први 15 членови.
Веднаш ја пишуваме формулата за сума:
Оваа формула ни овозможува да ја најдеме вредноста на кој било член по неговиот број. Бараме едноставна замена:
а 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Останува да се заменат сите елементи во формулата за збир на аритметичка прогресија и да се пресмета одговорот:
Одговор: 423.
Патем, ако во формулата за збир наместо a nЕдноставно ја заменуваме формулата за n-тиот член и добиваме:
Да ги претставиме сличните и да добиеме нова формула за збир на членови на аритметичка прогресија:
 |
Како што можете да видите, n-тиот термин не е потребен овде a n. Кај некои проблеми оваа формула многу помага, да... Оваа формула можете да ја запомните. Или едноставно можете да го прикажете во вистинско време, како овде. На крајот на краиштата, секогаш треба да ја запомните формулата за збирот и формулата за n-тиот член.)
Сега задачата во форма на кратка шифрирање):
3. Најдете го збирот на сите позитивни двоцифрени броеви, множители од три.
Леле! Ниту прв член, ниту последен, ниту прогресија воопшто... Како да се живее!?
Ќе треба да размислите со глава и да ги извлечете сите елементи од збирот на аритметичката прогресија од условот. Знаеме што се двоцифрени броеви. Тие се состојат од два броја.) Кој двоцифрен број ќе биде прво? 10, веројатно.) А последно нештодвоцифрен број? 99, се разбира! Троцифрените ќе го следат ...
Повеќекратни од три... Хм... Ова се броеви кои се деливи со три, еве! Десет не се дели со три, 11 не се дели... 12... се дели! Значи, нешто се појавува. Веќе можете да запишете серија според условите на проблемот:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Дали оваа серија ќе биде аритметичка прогресија? Секако! Секој термин се разликува од претходниот за строго три. Ако додадете 2 или 4 на член, да речеме, резултатот, т.е. новиот број повеќе не се дели со 3. Можете веднаш да ја одредите разликата на аритметичката прогресија: d = 3.Ќе ни се најде!)
Значи, можеме безбедно да запишеме некои параметри за прогресија:
Колкав ќе биде бројот? nпоследен член? Секој што мисли дека 99 е фатален во заблуда... Бројките секогаш одат по ред, но нашите членови прескокнуваат преку три. Тие не се совпаѓаат.
Тука има две решенија. Еден начин е за супер вредните. Можете да ја запишете прогресијата, целата серија броеви и со прстот да го изброите бројот на членови.) Вториот начин е за промислените. Треба да ја запомните формулата за n-тиот член. Ако ја примениме формулата за нашиот проблем, ќе откриеме дека 99 е триесеттиот член од прогресијата. Оние. n = 30.
Да ја погледнеме формулата за збир на аритметичка прогресија:
Гледаме и се радуваме.) Од изјавата за проблемот извадивме сè што е неопходно за да се пресмета износот:
а 1= 12.
а 30= 99.
С н = С 30.
Останува само елементарна аритметика. Броевите ги заменуваме во формулата и пресметуваме:
Одговор: 1665 година
Друг тип на популарна загатка:
4. Дадена е аритметичка прогресија:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Најдете го збирот на членовите од дваесетти до триесет и четири.
Ја гледаме формулата за износот и... се нервираме.) Формулата, да ве потсетам, ја пресметува сумата од првиотчлен. И во проблемот треба да го пресметате збирот од дваесеттиот...Формулата нема да работи.
Се разбира, можете да ја напишете целата прогресија во серија и да додадете термини од 20 до 34. Но... тоа е некако глупаво и трае долго време, нели?)
Постои поелегантно решение. Ајде да ја поделиме нашата серија на два дела. Првиот дел ќе биде од првиот мандат до деветнаесеттиот.Втор дел - од дваесет до триесет и четири.Јасно е дека ако го пресметаме збирот на членовите од првиот дел С 1-19, да го додадеме со збирот на поимите од вториот дел С 20-34, го добиваме збирот на прогресијата од првиот член до триесет и четвртиот С 1-34. Како ова:
С 1-19 + С 20-34 = С 1-34
Од ова можеме да видиме дека ја наоѓаме сумата С 20-34може да се направи со едноставно одземање
С 20-34 = С 1-34 - С 1-19
Се земаат предвид и двата износи на десната страна од првиотчлен, т.е. формулата за стандардна сума е сосема применлива за нив. Ајде да почнеме?
Ги извлекуваме параметрите за прогресија од изјавата за проблемот:
d = 1,5.
а 1= -21,5.
За да ги пресметаме збировите на првите 19 и првите 34 члена, ќе ни требаат 19-ти и 34-ти членови. Ги пресметуваме користејќи ја формулата за n-тиот член, како во задача 2:
а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Не остана ништо. Од збирот од 34 члена одземете го збирот од 19 члена:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Одговор: 262,5
Една важна забелешка! Постои еден многу корисен трик за решавање на овој проблем. Наместо директна пресметка што ви треба (S 20-34),броевме нешто што се чини дека не е потребно - С 1-19.И тогаш тие утврдија С 20-34, отфрлајќи го непотребното од целосниот резултат. Овој вид на „финирање со ушите“ често ве спасува од лоши проблеми.)
Во оваа лекција разгледавме проблеми за кои е доволно да се разбере значењето на збирот на аритметичка прогресија. Па, треба да знаете неколку формули.)
Кога решавате каков било проблем кој вклучува збир на аритметичка прогресија, препорачувам веднаш да ги напишете двете главни формули од оваа тема.
Формула за n-ти мандат:
Овие формули веднаш ќе ви кажат што да барате и во која насока да размислувате за да го решите проблемот. Помага.
И сега задачите за независно решение.
5. Најдете го збирот на сите двоцифрени броеви кои не се деливи со три.
Кул?) Навестувањето е скриено во забелешката за проблемот 4. Па, проблемот 3 ќе помогне.
6. Аритметичката прогресија е дадена со условот: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Најдете го збирот на неговите први 24 членови.
Невообичаено?) Ова формула за повторување. Можете да прочитате за тоа во претходната лекција. Не ја игнорирајте врската, вакви проблеми често се среќаваат во Државната академија на науките.
7. Васија заштеди пари за празникот. Дури 4550 рубли! И решив да и дадам на мојата омилена личност (на себе) неколку дена среќа). Живејте убаво без ништо да се одречете. Потрошете 500 рубли првиот ден, а секој нареден ден потрошете 50 рубли повеќе од претходниот! Додека парите не снемаат. Колку дена среќа имаше Васија?
Дали е тешко?) Дополнителната формула од проблем 2 ќе помогне.
Одговори (во неред): 7, 3240, 6.
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
