Основни нумерички карактеристики на дискретни и континуирани случајни променливи: математичко очекување, варијанса и стандардна девијација. Нивните својства и примери.

Законот за распределба (функција на дистрибуција и серии на дистрибуција или густина на веројатност) целосно го опишува однесувањето случајна променлива. Но, во голем број проблеми, доволно е да се знаат некои нумерички карактеристики на вредноста што се проучува (на пример, нејзината просечна вредност и можното отстапување од неа) за да се одговори на поставеното прашање. Да ги разгледаме главните нумерички карактеристики на дискретните случајни променливи.

Дефиниција 7.1.Математичко очекувањеДискретна случајна променлива е збирот на производите на нејзините можни вредности и нивните соодветни веројатности:

М(X) = X 1 р 1 + X 2 р 2 + … + x p p стр.(7.1)

Ако бројот на можни вредности на случајна променлива е бесконечен, тогаш ако добиената серија апсолутно се конвергира.

Забелешка 1.Математичкото очекување понекогаш се нарекува пондериран просек, бидејќи е приближно еднаква на аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива на голем бројексперименти.

Забелешка 2.Од дефиницијата за математичко очекување произлегува дека неговата вредност не е помала од најмалата можна вредност на случајна променлива и не е поголема од најголемата.

Забелешка 3.Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е неслучајно(константно. Подоцна ќе видиме дека истото важи и за континуираните случајни променливи.

Пример 1. Најдете го математичкото очекување на случајна променлива X- бројот на стандардни делови меѓу три избрани од серија од 10 делови, вклучително и 2 неисправни. Ајде да создадеме серија на дистрибуција за X. Од проблематичните услови произлегува дека Xможе да земе вредности 1, 2, 3. Потоа

Пример 2. Да се ​​определи математичкото очекување на случајна променлива X- бројот на фрлања на монети пред првото појавување на грбот. Оваа количина може да земе бесконечен број вредности (множеството можни вредности е множеството природни броеви). Неговата дистрибутивна серија има форма:

X … n …
р 0,5 (0,5) 2 … (0,5)n …

+ (при пресметување, формулата за збир на бесконечно опаѓање геометриска прогресија: , каде ).

Својства на математичкото очекување.

1) Математичкото очекување на константата е еднакво на самата константа:

М(СО) = СО.(7.2)

Доказ. Ако земеме предвид СОкако дискретна случајна променлива зема само една вредност СОсо веројатност р= 1, тогаш М(СО) = СО?1 = СО.

2) Константниот фактор може да се извади од знакот на математичкото очекување:

М(CX) = CM(X). (7.3)

Доказ. Ако случајната променлива Xдадени по дистрибутивни серии


Потоа М(CX) = Cx 1 р 1 + Cx 2 р 2 + … + Cx p p стр = СО(X 1 р 1 + X 2 р 2 + … + x p r p) = CM(X).

Дефиниција 7.2.Се повикуваат две случајни променливи независна, ако законот за распределба на еден од нив не зависи од тоа кои вредности ги земал другиот. Инаку случајните променливи зависни.

Дефиниција 7.3.Ајде да се јавиме производ на независни случајни променливи XИ Y случајна променлива XY, чиишто можни вредности се еднакви на производите од сите можни вредности Xза сите можни вредности Y, а соодветните веројатности се еднакви на производите на веројатностите на факторите.

3) Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:

М(XY) = М(X)М(Y). (7.4)

Доказ. За да ги поедноставиме пресметките, се ограничуваме на случајот кога XИ Yземете само две можни вредности:

Оттука, М(XY) = x 1 y 1 ?стр 1 е 1 + x 2 y 1 ?стр 2 е 1 + x 1 y 2 ?стр 1 е 2 + x 2 y 2 ?стр 2 е 2 = y 1 е 1 (x 1 стр 1 + x 2 стр 2) + + y 2 е 2 (x 1 стр 1 + x 2 стр 2) = (y 1 е 1 + y 2 е 2) (x 1 стр 1 + x 2 стр 2) = М(X)?М(Y).

Забелешка 1.Слично може да го докажете ова својство за поголем број можни вредности на факторите.

Забелешка 2.Својството 3 е точно за производот на кој било број независни случајни променливи, што се докажува со математичка индукција.

Дефиниција 7.4.Ајде да дефинираме збир на случајни променливи XИ Y како случајна променлива X+Y, чии можни вредности се еднакви на збировите на секоја можна вредност Xсо секоја можна вредност Y; веројатностите на таквите суми се еднакви на производите на веројатностите на поимите (за зависни случајни променливи - производите на веројатноста на еден член со условната веројатност на вториот).

4) Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи (зависни или независни) е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите:

М (X+Y) = М (X) + М (Y). (7.5)

Доказ.

Повторно да ги разгледаме случајните променливи дефинирани со серијата на дистрибуција дадена во доказот за својството 3. Потоа можните вредности X+Yсе X 1 + на 1 , X 1 + на 2 , X 2 + на 1 , X 2 + на 2. Нивните веројатности да ги означиме соодветно како р 11 , р 12 , р 21 и р 22. Ќе најдеме М(X+Y) = (x 1 + y 1)стр 11 + (x 1 + y 2)стр 12 + (x 2 + y 1)стр 21 + (x 2 + y 2)стр 22 =

= x 1 (стр 11 + стр 12) + x 2 (стр 21 + стр 22) + y 1 (стр 11 + стр 21) + y 2 (стр 12 + стр 22).

Да го докажеме тоа р 11 + р 22 = р 1. Навистина, настанот што X+Yќе земе вредности X 1 + на 1 или X 1 + на 2 и чија веројатност е р 11 + р 22 се совпаѓа со настанот што X = X 1 (неговата веројатност е р 1). На сличен начин се докажува дека стр 21 + стр 22 = р 2 , стр 11 + стр 21 = е 1 , стр 12 + стр 22 = е 2. Средства,

М(X+Y) = x 1 стр 1 + x 2 стр 2 + y 1 е 1 + y 2 е 2 = М (X) + М (Y).

Коментар. Од својството 4 следува дека збирот на кој било број на случајни променливи е еднаков на збирот на математичките очекувања од поимите.

Пример. Најдете го математичкото очекување од збирот на бројот на поени добиени при фрлање пет коцки.

Да го најдеме математичкото очекување за бројот на фрлени поени при фрлање една коцка:

М(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Истиот број е еднаков на математичкото очекување за бројот на фрлани точки на која било коцка. Според тоа, по имот 4 М(X)=

Дисперзија.

За да се има идеја за однесувањето на случајната променлива, не е доволно да се знае само нејзиното математичко очекување. Размислете за две случајни променливи: XИ Y, специфицирани со дистрибутивни серии на формуларот

X
р 0,1 0,8 0,1
Y
стр 0,5 0,5

Ќе најдеме М(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Како што можете да видите, математичките очекувања на двете величини се еднакви, но ако за HM(X) добро го опишува однесувањето на случајната променлива, како нејзина најверојатна можна вредност (а останатите вредности не се разликуваат многу од 50), потоа вредностите Yзначително отстранети од М(Y). Затоа, заедно со математичкото очекување, пожелно е да се знае колку вредностите на случајната променлива отстапуваат од неа. За да се карактеризира овој индикатор, се користи дисперзија.

Дефиниција 7.5.Дисперзија (расфрлање)на случајна променлива е математичкото очекување на квадратот на неговото отстапување од неговото математичко очекување:

Д(X) = М (X-M(X))². (7.6)

Да ја најдеме варијансата на случајната променлива X(број на стандардни делови меѓу избраните) во пример 1 од ова предавање. Да го пресметаме квадратното отстапување на секоја можна вредност од математичкото очекување:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Оттука,

Забелешка 1.При одредувањето на дисперзијата, не се оценува отстапувањето од самата средина, туку нејзиниот квадрат. Ова е направено така што отстапувањата на различни знаци не се откажуваат едни со други.

Забелешка 2.Од дефиницијата за дисперзија произлегува дека оваа големина зема само ненегативни вредности.

Забелешка 3.Постои формула за пресметување на варијансата која е попогодна за пресметки, чија валидност се докажува во следната теорема:

Теорема 7.1.Д(X) = М(X²) - М²( X). (7.7)

Доказ.

Користејќи што М(X) е константна вредност, а својствата на математичкото очекување ја трансформираме формулата (7.6) во форма:

Д(X) = М(X-M(X))² = М(X² - 2 X?M(X) + М²( X)) = М(X²) - 2 М(X)?М(X) + М²( X) =

= М(X²) - 2 М²( X) + М²( X) = М(X²) - М²( X), што требаше да се докаже.

Пример. Да ги пресметаме варијансите на случајните променливи XИ Yдискутирано на почетокот на овој дел. М(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

М(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Значи, варијансата на втората случајна променлива е неколку илјади пати поголема од варијансата на првата. Така, дури и без да ги знаеме законите за распределба на овие количини, врз основа на познатите вредности на дисперзија можеме да констатираме дека Xмалку отстапува од своето математичко очекување, додека за Yова отстапување е доста значајно.

Својства на дисперзија.

1) Варијанса на константна вредност СОеднакво на нула:

Д (В) = 0. (7.8)

Доказ. Д(В) = М((C-M(В))²) = М((C-C)²) = М(0) = 0.

2) Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање:

Д(CX) = В² Д(X). (7.9)

Доказ. Д(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(X))²) = М(В²( X-M(X))²) =

= В² Д(X).

3) Варијансата на збирот на две независни случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси:

Д(X+Y) = Д(X) + Д(Y). (7.10)

Доказ. Д(X+Y) = М(X² + 2 XY + Y²) - ( М(X) + М(Y))² = М(X²) + 2 М(X)М(Y) +

+ М(Y²) - М²( X) - 2М(X)М(Y) - М²( Y) = (М(X²) - М²( X)) + (М(Y²) - М²( Y)) = Д(X) + Д(Y).

Заклучок 1.Варијансата на збирот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси.

Заклучок 2.Варијансата на збирот на константа и случајна променлива е еднаква на варијансата на случајната променлива.

4) Варијансата на разликата помеѓу две независни случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси:

Д(X-Y) = Д(X) + Д(Y). (7.11)

Доказ. Д(X-Y) = Д(X) + Д(-Y) = Д(X) + (-1)² Д(Y) = Д(X) + Д(X).

Варијансата ја дава просечната вредност на квадратното отстапување на случајна променлива од средната вредност; За да се оцени самото отстапување, се користи вредност наречена стандардна девијација.

Дефиниција 7.6.Стандардна девијацијаσ случајна променлива Xповикани квадратен коренод дисперзија:

Пример. Во претходниот пример, стандардните отстапувања XИ Yсе еднакви соодветно

Како што е веќе познато, законот за распределба целосно карактеризира случајна променлива. Меѓутоа, честопати законот за дистрибуција е непознат и човек мора да се ограничи на помалку информации. Понекогаш е уште попрофитабилно да се користат броеви кои ја опишуваат случајната променлива вкупно; се нарекуваат такви броеви нумерички карактеристики на случајна променлива.

Една од важните нумерички карактеристики е математичкото очекување.

Математичкото очекување е приближно еднакво на просечната вредност на случајната променлива.

Математичко очекување на дискретна случајна променливае збир на производите на сите негови можни вредности и нивните веројатности.

Ако случајната променлива се карактеризира со конечна дистрибутивна серија:

X x 1 x 2 x 3 … x n
Р стр 1 стр 2 стр 3 … r стр

потоа математичкото очекување М(Х)определено со формулата:

Математичкото очекување на континуирана случајна променлива се определува со еднаквоста:

каде е густината на веројатноста на случајната променлива X.

Пример 4.7.Најдете го математичкото очекување за бројот на поени што се појавуваат при фрлање коцка.

Решение:

Случајна променлива Xги зема вредностите 1, 2, 3, 4, 5, 6. Да го создадеме законот за неговата дистрибуција:

X
Р

Тогаш математичкото очекување е:

Својства на математичкото очекување:

1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа:

M (S) = S.

2. Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување:

M (CX) = CM (X).

3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:

M(XY) = M(X)M(Y).

Пример 4.8. Независни случајни променливи XИ Yсе дадени со следните закони за дистрибуција:

X Y
Р 0,6 0,1 0,3 Р 0,8 0,2

Најдете го математичкото очекување на случајната променлива XY.

Решение.

Ајде да ги најдеме математичките очекувања за секоја од овие величини:

Случајни променливи XИ Yнезависно, затоа бараното математичко очекување е:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Последица.Математичкото очекување од производот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.

4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Последица.Математичкото очекување од збирот на неколку случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите.

Пример 4.9.Се испукани 3 истрели со веројатност за погодување на целта еднаква на стр 1 = 0,4; стр2= 0,3 и стр 3= 0,6. Најдете го математичкото очекување од вкупниот број на погодоци.

Решение.

Бројот на удари на првиот истрел е случајна променлива X 1, што може да земе само две вредности: 1 (хит) со веројатност стр 1= 0,4 и 0 (промашување) со веројатност q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Математичкото очекување на бројот на удари при првиот удар е еднакво на веројатноста за удар:

Слично, ги наоѓаме математичките очекувања за бројот на удари за вториот и третиот удар:

М(X 2)= 0,3 и M(X 3)= 0,6.

Вкупниот број на погодоци е исто така случајна променлива која се состои од збир на погодоци во секоја од трите снимки:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Потребното математичко очекување XГо наоѓаме користејќи ја теоремата за математичкото очекување на збирот.

Математичко очекување- просечната вредност на случајна променлива (распределба на веројатност на стационарна случајна променлива) кога бројот на примероци или бројот на мерења (понекогаш се нарекува и број на тестови) се стреми кон бесконечност.

Аритметичка средина на еднодимензионална случајна променлива конечен бројобично се нарекуваат тестови математичка проценка на очекувањата. Како што бројот на испитувања на стационарен случаен процес се стреми кон бесконечност, проценката на математичкото очекување се стреми кон математичкото очекување.

Математичкото очекување е еден од основните концепти во теоријата на веројатност).

Енциклопедиски YouTube

    1 / 5

    ✪ Очекување и варијанса - bezbotvy

    ✪ Теорија на веројатност 15: Очекување

    ✪ Математичко очекување

    ✪ Очекување и варијанса. Теорија

    ✪ Математичко очекување во тргувањето

    Преводи

Дефиниција

Нека биде даден простор за веројатност (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))и на неа дефинирана случајна променлива X (\displaystyle X). Тоа е, по дефиниција, X: Ω → R (\дисплеј стил X\запирка \Омега \до \mathbb (R) )- мерлива функција. Ако постои Лебег интеграл на X (\displaystyle X)по простор Ω (\displaystyle \Omega), тогаш се нарекува математичко очекување, или просечна (очекувана) вредност и се означува M [ X ] (\displaystyle M[X])или E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) .

(\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)

Основни формули за математичко очекување.

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ;

x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ),

Математичко очекување на дискретна распределба

P (X = x i) = p i, ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1).

тогаш директно од дефиницијата на Лебешкиот интеграл произлегува дека

M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty)x_(i)\,p_(i))

Очекување на цел број вредност P (X = j) = p j, j = 0, 1,.

.

. ;∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1) X (\displaystyle X)тогаш неговото математичко очекување може да се изрази преку генерирачката функција на низата ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\)) P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty)\;p_(k)s^(k)) како вредност на првиот извод во единство:

M [ X ] = P ′ (1) (\приказ на стил M[X]=P"(1)) . Доколку математичкото очекувањетогаш бесконечно lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\до 1)P"(s)=\infty)

и ќе пишуваме

P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty) Сега да ја земеме функцијата за генерирањеП (и) (\приказ на стил П(и)) секвенци на дистрибутивни опашки( q k ) (\приказ на стил \(q_(k)\)) q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ;< 1 {\displaystyle |s|<1} Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k .

(\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty)(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty)\;q_(k)s^(k).)

Оваа генерирана функција е поврзана со претходно дефинираната функција

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty)^(\infty)\!xf_(X)(x)\,dx ).

Математичко очекување на случаен вектор

Нека X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R)^(n))- случаен вектор. Потоа по дефиниција

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\приказ на стил M[X]=(M,\точки,М)^(\горе)),

односно математичкото очекување на вектор се одредува компонента по компонента.

Очекување на трансформација на случајна променлива

Нека g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \до \mathbb (R) )е Бореловата функција таква што случајната променлива Y = g (X) (\приказ Y=g(X))има ограничено математичко очекување. Тогаш формулата важи за тоа

M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i , (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty)g(x_(i))p_( јас))

Ако X (\displaystyle X)има дискретна дистрибуција;

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x , (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)

Ако X (\displaystyle X)има апсолутно континуирана дистрибуција.

Доколку дистрибуцијата P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))случајна променлива X (\displaystyle X)општ поглед, тогаш

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) .

(\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).) Во посебниот случај кога g (X) = X k (\стил на приказ g(X)=X^(k)) , математичко очекувањеповикани M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M) k (\displaystyle k)

-m момент на случајната променлива.

  • Наједноставните својства на математичкото очекување
Математичкото очекување на бројот е самиот број. M [a ] = a (\displaystyle M[a]=a) a ∈ R (\displaystyle a\in \mathbb (R) )
  • - константна;
Математичкото очекување е линеарно, т.е M [ a X + b Y ] = a M [ X ] + b M [ Y ] (\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]) , Каде X , Y (\displaystyle X,Y) се случајни променливи со конечно математичко очекување, и a , b ∈ R (\displaystyle a,b\in \mathbb (R)) - произволни константи;; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] (\приказ 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]). M [ X ] = M [ Y ] (\displaystyle M[X]=M[Y]).

Во претходната, презентиравме голем број формули кои ни овозможуваат да ги најдеме нумеричките карактеристики на функциите кога се познати законите за распределба на аргументите. Меѓутоа, во многу случаи, за да се пронајдат нумеричките карактеристики на функциите, не е неопходно ни да се знаат законите за распределба на аргументите, туку доволно е да се знаат само некои од нивните нумерички карактеристики; во исто време, ние генерално правиме без никакви закони за дистрибуција. Одредувањето на нумеричките карактеристики на функциите од дадени нумерички карактеристики на аргументите е широко користено во теоријата на веројатност и може значително да го поедностави решавањето на голем број проблеми. Повеќето од овие поедноставени методи се однесуваат на линеарни функции; сепак, некои елементарни нелинеарни функции исто така дозволуваат сличен пристап.

Во моментов ќе претставиме голем број теореми за нумеричките карактеристики на функциите, кои заедно претставуваат многу едноставен апарат за пресметување на овие карактеристики, применлив во широк опсег на услови.

1. Математичко очекување на неслучајна вредност

Формулираното својство е сосема очигледно; може да се докаже со разгледување на неслучајна променлива како посебен тип на случајна, со една можна вредност со веројатност една; тогаш според општата формула за математичкото очекување:

.

2. Варијанса на неслучајна величина

Ако е неслучајна вредност, тогаш

3. Замена на неслучајна вредност за знакот на математичко очекување

, (10.2.1)

односно може да се извади неслучајна вредност како знак на математичкото очекување.

Доказ.

а) За дисконтинуирани количини

б) За континуирани количини

.

4. Замена со неслучајна вредност за знакот на дисперзија и стандардна девијација

Ако е неслучајна количина и е случајна, тогаш

, (10.2.2)

односно неслучајна вредност може да се извади од знакот на дисперзијата со нејзино квадратирање.

Доказ. По дефиниција за варијанса

Последица

,

односно неслучајна вредност може да се извади од знакот на стандардното отстапување по неговата апсолутна вредност. Доказот го добиваме со земање на квадратниот корен од формулата (10.2.2) и земајќи предвид дека р.с.о. - значително позитивна вредност.

5. Математичко очекување на збирот на случајни променливи

Да докажеме дека за било кои две случајни променливи и

односно математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања.

Ова својство е познато како теорема за собирање на математички очекувања.

Доказ.

а) Нека е систем од дисконтинуирани случајни променливи. Да ја примениме општата формула (10.1.6) на збирот на случајни променливи за математичкото очекување на функција од два аргументи:

.

Ho не претставува ништо повеќе од вкупната веројатност дека количината ќе ја земе вредноста:

;

оттука,

.

Слично ќе го докажеме тоа

,

а теоремата е докажана.

б) Нека е систем од континуирани случајни променливи. Според формулата (10.1.7)

. (10.2.4)

Да го трансформираме првиот од интегралите (10.2.4):

;

слично

,

а теоремата е докажана.

Посебно треба да се забележи дека теоремата за собирање математички очекувања важи за сите случајни променливи - и зависни и независни.

Теоремата за додавање математички очекувања е генерализирана на произволен број поими:

, (10.2.5)

односно математичкото очекување од збирот на неколку случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања.

За да се докаже, доволно е да се користи методот на целосна индукција.

6. Математичко очекување на линеарна функција

Размислете за линеарна функција од неколку случајни аргументи:

каде се неслучајни коефициенти. Да го докажеме тоа

, (10.2.6)

т.е. математичкото очекување на линеарна функција е еднакво на истата линеарна функција на математичките очекувања на аргументите.

Доказ. Користејќи ја теоремата за собирање на m.o. и правилото за поставување на неслучајна величина надвор од знакот на m.o., добиваме:

.

7. Диспеповој збир на случајни променливи

Варијансата на збирот на две случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси плус двојно поголем момент на корелација:

Доказ. Да означиме

Според теоремата за собирање на математички очекувања

Да преминеме од случајни променливи на соодветните центрирани променливи. Одземајќи ја еднаквоста (10.2.9) член по член од еднаквоста (10.2.8), имаме:

По дефиниција за варијанса

Q.E.D.

Формулата (10.2.7) за варијансата на збирот може да се генерализира на кој било број поими:

, (10.2.10)

каде е моментот на корелација на количините, знакот под збирот значи дека сумирањето се протега на сите можни парни комбинации на случајни променливи .

Доказот е сличен на претходниот и произлегува од формулата за квадрат на полином.

Формулата (10.2.10) може да се напише во друга форма:

, (10.2.11)

каде двојната сума се протега на сите елементи од корелациската матрица на системот на величини , кој содржи и корелација моменти и варијанси.

Ако сите случајни променливи , вклучени во системот, се неповрзани (т.е. кога ), формулата (10.2.10) ја има формата:

, (10.2.12)

односно варијансата на збирот на неповрзани случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на поимите.

Оваа позиција е позната како теорема на собирање на варијанси.

8. Варијанса на линеарна функција

Да разгледаме линеарна функција од неколку случајни променливи.

каде има неслучајни количини.

Да докажеме дека дисперзијата на оваа линеарна функција се изразува со формулата

, (10.2.13)

каде е корелациониот момент на величините , .

Доказ. Да ја воведеме ознаката:

. (10.2.14)

Применувајќи ја формулата (10.2.10) за дисперзија на збирот на десната страна на изразот (10.2.14) и земајќи го предвид тоа, добиваме:

каде е моментот на корелација на количините:

.

Ајде да го пресметаме овој момент. Имаме:

;

слично

Заменувајќи го овој израз во (10.2.15), доаѓаме до формулата (10.2.13).

Во посебниот случај кога сите количини се неповрзани, формулата (10.2.13) ја има формата:

, (10.2.16)

односно варијансата на линеарна функција на неповрзани случајни променливи е еднаква на збирот на производите на квадратите на коефициентите и варијансите на соодветните аргументи.

9. Математичко очекување на производ од случајни променливи

Математичкото очекување од производот на две случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања плус моментот на корелација:

Доказ. Ќе продолжиме од дефиницијата на моментот на корелација:

Ајде да го трансформираме овој израз користејќи ги својствата на математичкото очекување:

што очигледно е еквивалентно на формулата (10.2.17).

Ако случајните променливи се неповрзани, тогаш формулата (10.2.17) ја има формата:

односно математичкото очекување од производот на две неповрзани случајни променливи е еднакво на производот на нивните математички очекувања.

Оваа позиција е позната како теорема за множење на математичките очекувања.

Формулата (10.2.17) не е ништо повеќе од израз на вториот мешан централен момент на системот преку вториот мешан почетен момент и математичките очекувања:

. (10.2.19)

Овој израз често се користи во практиката при пресметување на корелациониот момент на ист начин како што за една случајна променлива варијансата често се пресметува преку вториот почетен момент и математичкото очекување.

Теоремата за множење на математичките очекувања е генерализирана на произволен број фактори, само во овој случај, за нејзина примена не е доволно количините да се неповрзани, туку се бара некои повисоки мешани моменти, чиј број зависи на бројот на термини во производот, исчезнуваат. Овие услови се секако задоволени доколку случајните променливи вклучени во производот се независни. Во овој случај

, (10.2.20)

односно математичкото очекување од производот на независните случајни променливи е еднакво на производот на нивните математички очекувања.

Овој предлог може лесно да се докаже со целосна индукција.

10. Варијанса на производот на независни случајни променливи

Да го докажеме тоа за независни количини

Доказ. Да означиме. По дефиниција за варијанса

Бидејќи количините се независни, и

Кога се независни, количините се исто така независни; оттука,

,

Но, нема ништо повеќе од вториот почетен момент на големина и, според тоа, се изразува преку дисперзија:

;

слично

.

Заменувајќи ги овие изрази во формулата (10.2.22) и донесувајќи слични поими, доаѓаме до формулата (10.2.21).

Во случај кога центрирани случајни променливи (променливи со математички очекувања еднакви на нула) се множат, формулата (10.2.21) ја добива формата:

, (10.2.23)

односно варијансата на производот на независните центрирани случајни променливи е еднаква на производот на нивните варијанси.

11. Повисоки моменти од збирот на случајни променливи

Во некои случаи потребно е да се пресметаат највисоките моменти од збирот на независни случајни променливи. Дозволете ни да докажеме некои односи поврзани овде.

1) Ако количините се независни, тогаш

Доказ.

од каде, според теоремата за множење на математичките очекувања

Но, првиот централен момент за која било количина е нула; двата средни члена исчезнуваат и формулата (10.2.24) е докажана.

Релацијата (10.2.24) лесно се генерализира со индукција на произволен број независни поими:

. (10.2.25)

2) Четвртиот централен момент од збирот на две независни случајни променливи се изразува со формулата

каде се варијансите на количините и .

Доказот е целосно сличен на претходниот.

Користејќи го методот на целосна индукција, лесно е да се докаже генерализацијата на формулата (10.2.26) на произволен број независни поими.

– бројот на машки деца меѓу 10 новороденчиња.

Апсолутно е јасно дека оваа бројка не е однапред позната, а следните десет родени деца може да вклучуваат:

Или момчиња - еден и единственод наведените опции.

И, за да се одржите во форма, малку физичко образование:

– скок во далечина (во некои единици).

Дури ни мајстор на спорт не може да го предвиди :)

Сепак, вашите хипотези?

2) Континуирана случајна променлива – прифаќа Ситенумерички вредности од некој конечен или бесконечен интервал.

Забелешка : кратенките DSV и NSV се популарни во образовната литература

Прво, да ја анализираме дискретната случајна променлива, потоа - континуирано.

Закон за распределба на дискретна случајна променлива

- Ова кореспонденцијапомеѓу можните вредности на оваа количина и нивните веројатности. Најчесто, законот е напишан во табела:

Терминот се користи доста често ред дистрибуција, но во некои ситуации звучи двосмислено и затоа ќе се задржам на „законот“.

И сега многу важна точка: бидејќи случајната променлива Задолжителноќе прифати една од вредностите, потоа се формираат соодветните настани целосна групаа збирот на веројатностите за нивно појавување е еднаков на еден:

или, ако е напишано кондензирано:

Така, на пример, законот за распределба на веројатност на точките валани на матрица ја има следната форма:

Нема коментари.

Можеби имате впечаток дека дискретна случајна променлива може да земе само „добри“ цели броеви. Ајде да ја отфрлиме илузијата - тие можат да бидат што било:

Пример 1

Некои игри го имаат следниов закон за победничка дистрибуција:

...веројатно долго време сонувавте за вакви задачи :) Ќе ви кажам една тајна - и јас. Особено откако завршив со работа теорија на терен.

Решение: бидејќи случајната променлива може да земе само една од трите вредности, се формираат соодветните настани целосна група, што значи дека збирот на нивните веројатности е еднаков на еден:

Разобличување на „партизанот“:

– така, веројатноста за освојување на конвенционалните единици е 0,4.

Контрола: тоа е она во што требаше да се увериме.

Одговори:

Не е невообичаено кога треба сами да изготвите закон за распределба. За ова користат класична дефиниција на веројатност, Теореми за множење/собирање за веројатности на настании други чипови тервера:

Пример 2

Кутијата содржи 50 лозови, меѓу кои 12 се добитни, а 2 од нив добиваат по 1000 рубли, а останатите - по 100 рубли. Подгответе закон за распределба на случајна променлива - големината на добивката, ако еден тикет е извлечен по случаен избор од кутијата.

Решение: како што забележавте, вредностите на случајна променлива обично се ставаат во во растечки редослед. Затоа, започнуваме со најмалите добивки, а тоа се рубли.

Вакви билети има вкупно 50 - 12 = 38, а според класична дефиниција:
– веројатноста дека случајно извлечениот тикет ќе биде губитник.

Во други случаи, сè е едноставно. Веројатноста за освојување рубли е:

Проверете: – и ова е особено пријатен момент на такви задачи!

Одговори: саканиот закон за распределба на добивките:

Следната задача треба да ја решите сами:

Пример 3

Веројатноста дека стрелецот ќе ја погоди целта е . Направете закон за дистрибуција за случајна променлива - број на удари по 2 снимки.

...Знаев дека ти недостига :) Да се ​​потсетиме теореми за множење и собирање. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Законот за распределба целосно опишува случајна променлива, но во пракса може да биде корисно (а понекогаш и покорисно) да се знае само дел од неа нумерички карактеристики .

Очекување на дискретна случајна променлива

Во едноставни термини, ова е просечната очекувана вредносткога тестирањето се повторува многу пати. Нека случајната променлива зема вредности со веројатности соодветно. Тогаш математичкото очекување на оваа случајна променлива е еднакво на збир на производисите негови вредности до соодветните веројатности:

или пропадна:

Дозволете ни да го пресметаме, на пример, математичкото очекување на случајна променлива - бројот на точки завртени на матрицата:

Сега да се потсетиме на нашата хипотетичка игра:

Се поставува прашањето: дали е воопшто профитабилно да се игра оваа игра? ...кој има некакви впечатоци? Значи, не можете да го кажете тоа „ненамерно“! Но, ова прашање може лесно да се одговори со пресметување на математичкото очекување, во суштина - пондериран просекспоред веројатноста за победа:

Така, математичкото очекување на оваа игра губење.

Не верувајте во вашите впечатоци - верувајте им на бројките!

Да, овде може да се победи 10, па и 20-30 пати по ред, но на долг рок ќе се соочиме со неизбежна пропаст. И не би те советувал да играш такви игри :) Па, можеби само за забава.

Од сето горенаведено произлегува дека математичкото очекување повеќе не е СЛУЧАЈНА вредност.

Креативна задача за независно истражување:

Пример 4

Г-дин Х игра европски рулет користејќи го следниот систем: постојано се обложува 100 рубли на „црвено“. Направете закон за распределба на случајна променлива - нејзините добивки. Пресметајте го математичкото очекување на добивката и заокружете го до најблискиот копек. Колку многу во просекДали играчот губи на секои стотина што ги обложил?

Референца : Европскиот рулет содржи 18 црвени, 18 црн и 1 зелен сектор („нула“). Ако се појави „црвено“, на играчот му се плаќа двојно повеќе од облогот, во спротивно тоа оди на приходот на казиното

Постојат многу други системи за рулет за кои можете да креирате сопствени табели за веројатност. Но, ова е случај кога не ни требаат никакви закони за дистрибуција или табели, бидејќи со сигурност е утврдено дека математичкото очекување на играчот ќе биде сосема исто. Единственото нешто што се менува од систем до систем е