ЕЕ „БСУИР“
Катедра за инженерска графика
„ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ПОМЕСТУВАЊА СО МЕТОДОТ НА МОР. ПРАВИЛО НА ВЕРЕШЧАГИН“
МИНСК, 2008 година
Ајде сега да размислиме општ методОпределување на поместување, погодно за секој линеарно деформабилен систем под секое оптоварување. Овој метод беше предложен од извонредниот германски научник О. Мор.
Нека, на пример, сакате да го одредите вертикалното поместување на точката А на зракот прикажан на сл. 7.13, а. Дадената (оптоварување) состојба ја означуваме со буквата к Да избереме помошна состојба на истиот сноп со единица
сила која дејствува во точката А и во насока на саканото поместување. Помошната состојба ја означуваме со буквата i (сл. 7.13,6).
Дозволете ни да ја пресметаме работата на надворешните и внатрешните силипомошна состојба на движења предизвикани од дејството на силите на состојбата на оптоварување.
Работа надворешни силиќе биде еднаков на производот од единицата сила и саканото поместување ya
и работата на внатрешните сили на апсолутна вредностеднаков на интегралот
(1)
Формулата (7.33) е формулата на Мор (Моров интеграл), која овозможува да се одреди поместувањето во која било точка на линеарно деформабилен систем.
Во оваа формула, интеграндот на MiMk е позитивен ако двата моменти на свиткување имаат ист знак, а негативен ако Mi и Mk имаат различни знаци.
Ако го одредиме аголното поместување во точката А, тогаш во состојба i треба да примениме момент еднаков на еден (без димензија) во точката А.
Означувајќи го со буквата Δ секое движење (линеарно или аголно), ја пишуваме формулата на Мор (интегрална) во форма
(2)
Во општ случај, аналитичкиот израз Mi и Mk може да се разликуваат во различни делови на гредата или на еластичниот систем воопшто. Затоа, наместо формулата (2), треба да се користи поопштата формула
(3)
Ако прачките на системот не работат во свиткување, туку во напнатост (компресија), како, на пример, во фармите, тогаш формулата на Мор ја има формата
(4)
Во оваа формула, производот NiNK е позитивен ако двете сили се затегнувачки или и двете се компресивни. Ако шипките истовремено работат во свиткување и напнатост (компресија), тогаш во обични случаи, како што покажуваат компаративните пресметки, поместувањата може да се одредат земајќи ги предвид само моментите на свиткување, бидејќи влијанието на надолжните сили е многу мало.
Од истите причини, како што беше забележано претходно, во обични случаи влијанието на силите на смолкнување може да се игнорира.
Наместо директно да го пресметувате интегралот Мор, можете да ја користите графоаналитичката техника „метод на множење дијаграми“ или правилото на Верешчагин.
Да разгледаме два дијаграми на моменти на свиткување, од кои едниот Mk има произволен преглед, а другиот Mi е праволиниски (сл. 7.14, a и b).
(5)
Вредноста MKdz ја претставува елементарната површина dωk на дијаграмот Mk (засенчена на сликата). Така,
(6)
оттука,
(8)
Но, го претставува статичкиот момент на површината на дијаграмот Mk во однос на некоја оска y што минува низ точката O, еднаква на ωkzc, каде што ωk е плоштината на дијаграмот на моментот; zc е растојанието од y-оската до центарот на гравитација на дијаграмот Mk. Од цртежот е јасно дека
каде Msi е ординатата на дијаграмот Mi, сместен под тежиштето на дијаграмот Mk (под точката C). Оттука,
(10)
т.е., потребниот интеграл е еднаков на производот на плоштината на дијаграмот Mk (која било форма) според ординатата на праволинискиот дијаграм Msi кој се наоѓа под неговиот центар на гравитација. Вредноста на ωкМсi се смета за позитивна ако двата дијаграми се наоѓаат на иста страна од шипката, а негативна ако се наоѓаат долж различни страни. Позитивен резултат од множење на дијаграмите значи дека насоката на движење се совпаѓа со насоката на единицата сила (или момент).
Мора да се запомни дека ординатата Msi мора да се земе во праволиниски дијаграм. Во конкретниот случај кога двата дијаграми се праволиниски, можете да ја помножите површината на која било од нив со соодветната ордината на другата.
За шипки со променлив пресек, правилото на Верешчагин за множење дијаграми не е применливо, бидејќи во овој случај повеќе не е можно да се отстрани вредноста EJ од под интегралниот знак. Во овој случај, EJ треба да се изрази како функција на апсцисата на пресекот и потоа да се пресмета Mohr интегралот (1).
При промена на цврстината на шипката постепено, се врши интеграција (или множење на дијаграмите) за секој дел посебно (со сопствена EJ вредност) и потоа се сумираат резултатите.
Во табелата 1 ги прикажува областите на некои едноставни дијаграми и координатите на нивниот центар на гравитација.
Табела 1
| Тип на дијаграм | Областа на дијаграмот | Растојание до центарот на гравитација |
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
|
За да ги забрзате пресметките, можете да користите готови табели за множење дијаграми (Табела 2).
Во оваа табела, во ќелиите на пресекот на соодветните елементарни дијаграми, се дадени резултатите од множењето на овие дијаграми.
При разложување на комплексен дијаграм на елементарни, прикажани во табела. 1 и 7.2, треба да се има предвид дека параболичните дијаграми се добиваат од дејството на само еден дистрибуиран товар.
Во случаи кога во сложен дијаграм, заоблените пресеци се добиваат од истовремено дејство на концентрирани моменти, сили и рамномерно распределено оптоварување, за да се избегнат грешки, сложениот дијаграм прво треба да се „слое“, т.е. независни дијаграми: од дејство на концентрирани моменти, сили и од дејство на рамномерно распореден товар.
Може да користите и друга техника која не бара стратификација на дијаграмите, туку бара само избор на криволинеарниот дел од дијаграмот долж акордот што ги поврзува неговите екстремни точки.
Ќе ги демонстрираме двата методи со конкретен пример.
Нека, на пример, сакате да го одредите вертикалното поместување на левиот крај на зракот (сл. 7.15).
Вкупниот дијаграм на оптоварувањето е претставен на сл. 7.15, а.
Табела 7.2
|
|
|
|
| ||||||
|
|
| ||||||||
|
|
|
| |||||||
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
Дијаграмот на дејството на единица сила во точката А е прикажан на сл. 7.15 часот, град
За да се одреди вертикалното поместување во точката А, потребно е да се помножи дијаграмот на оптоварување со дијаграмот на единечната сила. Сепак, забележуваме дека во делот BC од вкупниот дијаграм, кривилинеарниот дијаграм се добива не само од дејството на рамномерно распределено оптоварување, туку и од дејството на концентрирана сила P. Како резултат на тоа, во делот BC постои повеќе нема да биде елементарен параболичен дијаграм даден во табелите 7.1 и 7.2, туку според суштински комплексен дијаграм за кој податоците во овие табели се невалидни.
Затоа, неопходно е да се раслојува сложениот дијаграм според Сл. 7.15, и на елементарните дијаграми прикажани на сл. 7.15, б и 7.15, в.
Дијаграм според сл. 7.15, b е добиен само од концентрирана сила, дијаграм според сл. 7.15, в - само од дејството на рамномерно распоредено оптоварување.
Сега можете да ги множите дијаграмите користејќи ја табелата. 1 или 2.
За да го направите ова, треба да го помножите триаголниот дијаграм според сл. 7.15, b на триаголниот дијаграм според сл. 7.15, d и на ова додадете го резултатот од множење на параболичниот дијаграм на сл. 7.15, во трапезоидниот дијаграм на пресекот BC според Сл. 7.15, d, бидејќи во делот AB се поставени ординатите на дијаграмот според сл. 7.15, во се еднакви на нула.
Сега да го прикажеме вториот метод на множење дијаграми. Ајде повторно да го погледнеме дијаграмот на сл. 7.15, а. Да го земеме потеклото на референцата во делот Б. Покажуваме дека во границите на кривата LMN, моментите на свиткување може да се добијат како алгебарски збир на моментите на свиткување што одговараат на правата линија LN и моментите на свиткување на параболичниот дијаграм LNML, исто како и за едноставен сноп со должина a, натоварен со рамномерно распределено оптоварување q:
Најголемата ордината во средината ќе биде еднаква на .
За да го докажеме ова, да го напишеме вистинскиот израз за моментот на свиткување во делот на растојание z од точката B
(А)
Сега да го напишеме изразот за моментот на свиткување во истиот дел, добиен како алгебарски збир на ординатите на правата линија LN и параболата LNML.
Равенка на правата LN
каде k е тангента на аголот на наклонот на оваа права
Следствено, равенката на моменти на свиткување добиена како алгебарски збир на равенката на права линија LN и параболата LNMN има форма
што се совпаѓа со изразот (А).
Кога множите дијаграми според правилото на Верешчагин, треба да го помножите трапезот BLNC со трапезот од единечниот дијаграм во делот BC (види слика 7.15, г) и да го одземете резултатот од множењето на параболичниот дијаграм LNML (област ) со истиот трапез од единечниот дијаграм. Овој метод на раслојување дијаграми е особено корисен кога закривениот дел од дијаграмот се наоѓа во еден од средните делови на зракот.
Пример 7.7. Определете ги вертикалните и аголните поместувања на конзолниот зрак на местото каде што се нанесува товарот (сл. 7.16).
Решение. Конструираме дијаграм на моменти на свиткување за состојбата на оптоварување (сл. 7.16, а).
За да го одредиме вертикалното поместување, ја избираме помошната состојба на гредата со единица сила на местото на примена на товарот.
Од оваа сила конструираме дијаграм на моменти на свиткување (сл. 7.16, б). Одредување вертикално поместување со методот на Мор
Вредност на моментот на свиткување поради оптоварување
Вредноста на моментот на свиткување од единица сила
Ги заменуваме овие вредности на МР и Mi под интегрален знак и интегрираме
Истиот резултат беше претходно добиен со различен метод.
Позитивна вредностдевијацијата покажува дека точката на примена на оптоварувањето P се движи надолу (во насока на единицата сила). Ако насочиме единица сила од дното кон врвот, ќе имаме Mi = 1z и, како резултат на интеграцијата, ќе добиеме отклон со знак минус. Знакот минус би означувал дека движењето не е нагоре, туку надолу, како што е во реалноста.
Сега да го пресметаме интегралот Мор со множење на дијаграмите според правилото на Верешчагин.
Бидејќи и двата дијаграми се праволиниски, не е важно од кој дијаграм да се земе плоштината и од која да се земе ординатата.
Областа на дијаграмот на оптоварување е еднаква на
Центарот на гравитација на овој дијаграм се наоѓа на растојание од 1/3l од вградувањето. Ја одредуваме ординатата на дијаграмот на моменти од единица сила, сместена под
центар на гравитација на дијаграмот на оптоварување. Лесно е да се потврди дека е еднаква на 1/3l.
Оттука.
Истиот резултат се добива од табелата со интеграли. Резултатот од множењето на дијаграмите е позитивен, бидејќи и двата дијаграми се наоѓаат под шипката. Следствено, точката на примена на товарот се поместува надолу, т.е. долж прифатената насока на единицата сила.
За да го одредиме аголното поместување (агол на вртење), избираме помошна состојба на зракот во која на крајот на зракот дејствува концентриран момент еднаков на единство.
Конструираме дијаграм на моменти на свиткување за овој случај (сл. 7.16, в). Аголното поместување го одредуваме со множење на дијаграмите. Област на дијаграм за вчитување
Ординатите на дијаграмот од еден момент се насекаде еднакви на единство Затоа, саканиот агол на ротација на пресекот е еднаков на
Бидејќи двата дијаграми се наоѓаат подолу, резултатот од множењето на дијаграмите е позитивен. Така, крајниот дел на зракот се ротира во насока на стрелките на часовникот (во насока на единечниот момент).
Пример: Користејќи го методот Мор-Верешчагин, определете го отклонот во точката D за зракот прикажан на сл. 7.17..
Решение. Градиме слоевит дијаграм на моменти од товарот, односно градиме посебни дијаграми од дејството на секое оптоварување. Во овој случај, за погодност за множење на дијаграми, препорачливо е да се конструираат стратифицирани (елементарни) дијаграми во однос на делот, чие отклонување се одредува во овој случај во однос на делот Д.
На сл. 7.17, a покажува дијаграм на моменти на свиткување од реакцијата А (дел AD) и од оптоварувањето P = 4 T (дел DC). Дијаграмите се изградени на компресирани влакна.
На сл. 7.17, b прикажува дијаграми на моменти од реакцијата B (дел BD), од левата рамномерно распоредена оптоварување (дел AD) и од рамномерно распореденото оптоварување што дејствува на делот BC. Овој дијаграм е прикажан на сл. 7.17, б на делот DC одоздола.
Следно, ја избираме помошната состојба на зракот, за која применуваме единица сила во точката D, каде што се одредува отклонот (сл. 7.17, в). Дијаграмот на моменти од единица сила е прикажан на сл. 7.17, г Сега да ги помножиме дијаграмите од 1 до 7 со дијаграмите 8 и 9, користејќи табели за множење на дијаграмите, земајќи ги предвид знаците.
Во овој случај, дијаграмите лоцирани на едната страна од зракот се множат со знакот плус, а дијаграмите лоцирани на спротивните страни на зракот се множат со знакот минус.
При множење на дијаграмот 1 и дијаграмот 8 добиваме
Со множење на парцелата 5 со парцела 8, добиваме
Со множење на парцелите 2 и 9 се добиваат
Помножете ги дијаграмите 4 и 9
Помножете ги дијаграмите 6 и 9
Сумирајќи ги резултатите од множењето дијаграми, добиваме
Знакот минус покажува дека точката D не се движи надолу, бидејќи единицата сила е насочена, туку нагоре.
Истиот резултат беше добиен порано со користење на универзалната равенка.
Се разбира, во во овој примербеше можно да се раслојува дијаграмот само во делот АД, бидејќи во делот ДБ вкупниот дијаграм е праволиниски и нема потреба да се стратифицира. Во делот BC, раслојување не е потребно, бидејќи од единица сила во овој дел дијаграмот е еднаков на нула. Стратификацијата на дијаграмот во делот BC е неопходна за да се одреди отклонот во точката В.
Пример. Определете ги вертикалните, хоризонталните и аголните поместувања на делот А од скршената прачка прикажана на сл. 7.18, а. Вкочанетоста на напречниот пресек на вертикалниот пресек на шипката е EJ1, цврстината на напречниот пресек на хоризонталниот пресек е EJ2;
Решение. Конструираме дијаграм на моменти на свиткување поради оптоварување. Тоа е прикажано на сл. 7.18, б (види пример 6.9). За да го одредиме вертикалното поместување на делот А, ја избираме помошната состојба на системот прикажана на сл. 7.18, в. Во точката А, се применува единица вертикална сила, насочена надолу.
Дијаграмот на моментите на свиткување за оваа состојба е прикажан на сл. 7.18, в.
Вертикалното поместување го одредуваме со методот на Мор, користејќи го методот на множење дијаграми. Бидејќи нема дијаграм М1 на вертикалната прачка во помошна состојба, ние множиме само дијаграми поврзани со хоризонталната прачка. Ја земаме областа на дијаграмот од состојбата на оптоварување, а ординатата од помошната состојба. Вертикалното поместување е
Бидејќи двата дијаграми се наоѓаат подолу, резултатот од множењето го земаме со знак плус. Следствено, точката А се движи надолу, т.е. во насока на единицата вертикална сила.
За да го одредиме хоризонталното движење на точката А, избираме помошна состојба со хоризонтална единица сила насочена налево (сл. 7.18, г). Таму е претставен моменталниот дијаграм за овој случај.
Ги множиме дијаграмите MP и M2 и добиваме
Резултатот од множењето на дијаграмите е позитивен, бидејќи множените дијаграми се наоѓаат на истата страна на прачките.
За да го одредиме аголното поместување, ја избираме помошната состојба на системот според сл. 7.18.5 и конструирај дијаграм на моменти на свиткување за оваа состојба (на истата слика). Ги множиме дијаграмите MP и M3:
Резултатот од множењето е позитивен, бидејќи помножените дијаграми се наоѓаат на едната страна.
Затоа, делот А се ротира во насока на стрелките на часовникот
Истите резултати ќе се добијат со користење на табели
множење дијаграми.
Погледот на деформираната прачка е прикажан на сл. 7.18, e, додека поместувањата се значително зголемени.
ЛИТЕРАТУРА
Феодосиев В.И. Јачина на материјалите. 1986 година
Бељаев Н.М. Јачина на материјалите. 1976 година
Красковски Е.Ја., Дружинин Ју.А., Филатова Е.М. Пресметка и дизајн на механизми на инструменти и компјутерски системи. 1991 година
Работнов Ју.Н. Механика на деформирачки солидна. 1988
Степин П.А. Јачина на материјалите. 1990 година
А неговите рачно напишани белешки завршија во рацете на службеничката Амбасадорска наредба, од кого биле примени. Други биографски информации се извлечени само од самиот текст на „Прошетка“. Зошто Афанаси Никитин го нарече своето дело „Одење низ три мориња“? Самиот автор ни го дава одговорот на ова прашање: „Ете, ја напишав мојата гревовна „Одење низ трите мориња“, 1. Дербенско (Касписко) Море, Дорија...
Забележува дека неопходен услов за спроведување на кој било комуникативен чин мора да биде „заемното познавање на реалноста на говорникот и слушателот, што е основа на лингвистичката комуникација“, тие се нарекуваат „позадинско знаење“ во лингвистиката. Според нејзината правилна забелешка, „значењето на зборот што се користи во даден мајчин јазик за означување на такви сосема различни од гледна точка на централноевропската култура...
Во општиот случај (прачка со променлив пресек, комплексен системоптоварувања) интегралот Mohr се одредува со нумеричка интеграција. Во многу практично важни случаи, кога вкочанетоста на пресекот е константна по должината на шипката, интегралот Мор може да се пресмета со користење на правилото на Верешчагин. Да ја разгледаме дефиницијата за интегралот Мор во делот од a до 6 (сл. 9.18).
Ориз. 9.18. Правило на Верешчагин за пресметување на интегралот Мор
Дијаграмите на моментот од еден фактор на сила се состојат од прави сегменти. Без губење на општоста, претпоставуваме дека во областа
каде што A и B се параметрите на линијата:
Мор интегралот на пресекот на константен пресек што се разгледува има форма
каде што F е областа под кривата (површината на дијаграмот на моменти на свиткување од надворешни сили во делот z).
каде е апсцисата на центарот на гравитација на областа.
Еднаквоста (109) важи кога знакот не се менува во областа и може да се смета како елемент од областа на дијаграмот. Сега од релациите (107) -(109) добиваме
Момент од единица оптоварување во дел
Помошна табела за користење на правилото на Верешчагин е дадена на сл. 9.19.
Белешки. 1. Ако дијаграмот од дејството на надворешните сили на делот е линеарен (на пример, под дејство на концентрирани сили и моменти), тогаш правилото може да се примени во обратна форма: множете ја површината на дијаграмот од единечен фактор на сила според ординатата на дијаграмот што одговара на центарот на гравитација на областа. Ова произлегува од горенаведениот доказ.
2. Правилото на Верешчагин може да се прошири на интегралот Мор во општ поглед(Равенка (103)).
Ориз. 9.19. Површини и позиции на центрите на гравитација на дијаграми на моменти
Ориз. 9.20. Примери за одредување на аглите на отклонување и ротација користејќи го правилото на Верешчагин
Главниот услов е следново: во рамките на локацијата, факторите на внатрешна сила од единица оптоварување мора да бидат линеарни функциипо оската на шипката (линеарни дијаграми!).
Примери. 1. Определете го отклонувањето во точката А на конзолната прачка под дејство на концентриран момент М (сл. 9.20, а).
Отклонувањето во точката А се одредува со формулата (за краткост, индексот е испуштен)
Знакот минус се должи на фактот дека тие имаат различни знаци.
2. Определете го отклонот во точката А во конзолната прачка под дејство на распределен товар.
Девијацијата се одредува со формулата
На сл. 9.20, b, подолу на оваа слика се дијаграми под дејство на единица сила. Следно наоѓаме
3. Определете го отклонувањето во точката А и аголот на вртење во точката B за зрак со два потпора натоварен со концентриран момент (сл. 9.20.).
Девијацијата се одредува со формулата (ја занемаруваме деформацијата на смолкнување)
Бидејќи дијаграмот на моментот од единица сила не е прикажан со една линија; потоа го делиме интегралот на два дела:
Аголот на ротација во точката Б е еднаков на
Коментар. Од горенаведените примери е јасно дека методот на Верешчагин во едноставни случаи ви овозможува брзо да ги одредите отклонувањата и аглите на ротација. Важно е само да се примени едно правило на знаци за Ако се согласувате, при свиткување прачка, да се изградат дијаграми на моменти на свиткување на „испруженото влакно“ (види Сл. 9.20), тогаш веднаш е лесно да се види позитивното и негативни вредностимоменти.
Посебна предност на правилото на Верешчагин е тоа што може да се користи не само за прачки, туку и за рамки (Дел 17).
Ограничувања за примена на правилото на Верешчагин.
Овие ограничувања произлегуваат од изведувањето на формулата (110), но повторно да обрнеме внимание на нив.
1. Дијаграмот на моментот на свиткување од единица оптоварување треба да биде во форма на една права линија. На сл. 9.21, и го прикажува случајот кога овој услов не е исполнет. Мор интегралот мора да се пресмета посебно за деловите I и II.
2. Моментот на свиткување од надворешно оптоварување во делот мора да го има истиот знак. На сл. 9.21, б го покажува случајот кога правилото на Верешчагин треба да се применува за секој дел посебно. Ова ограничување не се однесува на моментот од едно оптоварување.
Ориз. 9.21. Ограничувања при користење на правилото на Верешчагин: а - дијаграмот има пауза; б - дијаграмот има различни знаци; в - шипката има различни делови
3. Вкочанетоста на шипката во делот мора да биде константна, инаку интеграцијата треба да се прошири посебно на делови со постојана вкочанетост. Ограничувањата на постојаната вкочанетост може да се избегнат со исцртување на дијаграми.
Одредувањето на поместувањата во системи што се состојат од праволиниски елементи со постојана ригидност може значително да се поедностави со користење на специјална техника за пресметување на интеграл на формата. Поради фактот што интеграндот вклучува производ на напори кои се ординати на дијаграми конструирани за една и реална состојба, оваа техника се нарекува метод на множење дијаграми.
Може да се користи во случај кога еден од помножените дијаграми е, на пример, праволиниски; во овој случај (сл. Вториот дијаграм може да има каква било форма (права, скршена или криволинеарна).
Ајде да ја замениме вредноста во изразот
каде е диференцијалната област на дијаграмот (сл. 17.11).
Интегралот го претставува статичкиот момент на површината на дијаграмот во однос на оската (сл. 17.11).
Овој статичен момент може да се изрази поинаку:
каде е апсцисата на тежиштето на областа на дијаграмот
Но бидејќи (види Сл. 17.11)
(26.11)
Така, резултатот од множење на два дијаграми е еднаков на производот на површината на еден од нив со ординатата на другиот (праволиниски) дијаграм, земен под тежиштето на областа на првиот дијаграм.
Метод за множење дијаграми беше предложен во 1925 година од студент на Московскиот институт за инженери железнички транспортА. Н. Верешчагин, и затоа се нарекува правило (или метод) на Верешчагин.
Забележете дека левата страна на изразот (26.11) се разликува од интегралот Mohr во отсуство на ригидност на пресекот во него. Следствено, резултатот од множењето на дијаграмите извршени според правилото на Верешчагин за да се одреди саканото поместување мора да се подели со вредноста на вкочанетоста.
Многу е важно да се забележи дека ординатата мора да се земе од праволиниски дијаграм. Ако двата дијаграма се прави, тогаш ординатата може да се земе од кој било дијаграм. Значи, ако треба да множите праволиниски дијаграми и (слика 18.11, а), тогаш не е важно што да земете: производот од областа на дијаграмот според ординатата под неговиот центар на гравитација од дијаграмот или производ Qkyt од областа Q на дијаграмот според ординатата под (или над) нејзината централна гравитација од дијаграмот
Кога се множат два дијаграми во форма на трапез, нема потреба да се најде позицијата на центарот на гравитација на областа на еден од нив. Треба да поделите еден од дијаграмите на два триаголници и да ја помножите плоштината на секој од нив со ординатата под нејзиниот центар на гравитација од другиот дијаграм. На пример, во случајот прикажан на сл. 11.18.б, добиваме
(27.11)
Во загради од оваа формула, производот од левите ординати на двата дијаграми и производот од десните ординати се земаат со коефициент еднаков на два, а производите на ординатите лоцирани на различни страни - со коефициент еднаков на еден.
Користејќи ја формулата (27.11), можете да множите дијаграми што изгледаат како „извртени“ трапезоиди; во овој случај, производите од ординати кои имаат исти знаци се земаат со знак плус, а оние што имаат различни знаци се земаат со знак минус. Во случајот, на пример, прикажан на сл. 18.11, б, резултатот од множење дијаграми во форма на „извиткан“ и обичен трапез е еднаков на , а во случајот прикажан на сл. 18.11, g, еднакво
Формулата (27.11) е исто така применлива кога еден или двата дијаграми што се множат се во форма на триаголник. Во овие случаи, триаголникот се третира како трапез со една крајна ордината еднаква на нула. Резултатот, на пример, од множење на дијаграмите прикажани на сл. 18.11, г, еднакво
Множењето на дијаграм во форма на „извиткан“ трапез со кој било друг дијаграм може да се направи со делење на „извитканиот трапез на два триаголници, како што е прикажано на сл. 18.11, е.
Кога еден од дијаграмите (сл. 19.11) е исцртан според квадратна парабола(од рамномерно распределено оптоварување q), тогаш за множење со друг дијаграм се смета како збир (во случајот прикажан на сл. 19.11, а) или разлика (во случајот прикажан на сл. 19.11, б) трапезоиден и параболични дијаграми
Резултатот од множење на дијаграмите прикажани на сл. 19.11, а, е еднаков по замена во него добиваме
Резултатот од множење на дијаграмите прикажани на сл. 19.11, б, е еднаков по замена во него - и добиваме
Во двата добиени изрази, збировите во загради се збирови на производите на екстремните ординати на двата дијаграми со четирикратниот производ на средните ординати.
Има случаи кога ниту еден од помножените дијаграми не е исправен, туку еден од нив (или и двата) е ограничен со скршени прави линии. Во овие случаи, за да се множат дијаграмите, тие најпрво се делат на делови во рамките на секоја од кои барем еден дијаграм е правилен. Така, на пример, при множење на дијаграмите прикажани на сл. 20.11, a, b, можете да ги поделите на два дела и да го прикажете резултатот од множењето како збир. 20.11, в, г; во овој случај, резултатот од множење на дијаграмите е еднаков на
Кога се користи правилото на Верешчагин, треба да се пресметаат областите на различни геометриски формии да ги определи позициите на нивните тежишта. Во овој поглед, во Табела. Слика 1.11 ги прикажува вредностите на областа и координатите на центрите на гравитација на најчестите геометриски фигури.
Како пример, разгледајте ја употребата на методот на Верешчагин за одредување на отклонувањето на точката C (под сила ) на зракот прикажан на сл. 16.11, а; Во исто време, го земаме предвид дејството на моментите на свиткување и попречните сили.
Единечната состојба на зракот, како и дијаграмите на внатрешните сили во него предизвикани од оптоварувањето и единицата сила се прикажани на сл. 16.11, б, б, г, е, ѓ.
Според формулата (24.11), користејќи го методот на Верешчагин при множење дијаграми, наоѓаме
Овој резултат се совпаѓа со резултатот добиен со интеграција.
Сега да го одредиме хоризонталното поместување на точката C на рамката прикажана на сл. 21.11, а. Моменти на инерција пресецистолбовите на рамката и попречните шипки се прикажани на сликата; .
Вистинската состојба на рамката е прикажана на сл. 21.11, а. Дијаграмот на моменти на свиткување за оваа состојба (дијаграм на оптоварување) е прикажан на сл. 21.11, б.
Во една состојба, сила еднаква на една се применува на точката C на рамката во насока на саканото поместување (т.е. хоризонтално).
Табела 1.11
(види скенирање)
Дијаграмот на моментите на свиткување M за оваа состојба (единичен дијаграм) е прикажан на сл. 21.11, во.
Знаците на моменти на свиткување на дијаграмите може да не се назначени, бидејќи е познато дека ординатите на дијаграмите се нацртани на страната на компресираните влакна на секој елемент.
Со множење на дијаграмот на оптоварување со единечниот дијаграм според методот на Верешчагин (слика 21.11, б, в) и земајќи ги предвид различните вредности на моментите на инерција на пресеците на решетките и напречната лента на рамката, наоѓаме потребното поместување на точката C:
Знакот минус при множење дијаграми се зема затоа што дијаграмите и М се наоѓаат на различни страни на елементите на рамката, и затоа моментите на свиткување и М имаат различни знаци.
Негативната вредност на добиеното поместување на точката C значи дека оваа точка не се поместува во насока на единечната сила (сл. 21.11, в), туку во спротивна насока, односно надесно.
Сега да дадеме неколку практични инструкции за примената на Mohr интегралот во различни случаи на пресметување поместувања.
Препорачливо е да се одредат поместувањата во греди чија крутост на пресекот е константна по целата должина или во рамките на поединечни делови со пресметување на интегралот Мор користејќи го правилото на Верешчагин. Истото важи и за рамки направени од прави прачки со постојана или чекор-променлива вкочанетост.
Кога вкочанетоста на пресеците на конструктивниот елемент непрекинато се менува по неговата должина, поместувањата мора да се одредат со директно (аналитичко) пресметување на интегралот Мор. Таквата структура може да се пресмета приближно со замена со систем со елементи на вкочанетост со променлива чекор, по што методот на Верешчагин може да се користи за одредување на поместувањата.
Методот на Верешчагин може да се користи не само за одредување на поместувањата, туку и за одредување на потенцијалната енергија.
Одредување на движења. Методот на О. Мор во комбинација со методот на Симпсон (формула)
За да се одреди секое движење (линеарно или аголно) во методот на Морсе размислува за зрак во две состојби: реална и помошна. Помошна состојбаизлегува на следниов начин: прво, целото наведено оптоварување мора да се отстрани, потоа да се примени „единичен фактор на сила“ на местото каде што се бара да се одреди поместувањето и во насока на ова посакувано поместување. Згора на тоа, кога ќе утврдиме линеарно движење (отклонување на зракот),тогаш како „фактор на една сила“ се зема концентрирана сила, и ако треба да најдете агол на ротација, тогаш треба да прикачите концентрирана двојка.
Следно, во истиот произволен дел од двете состојби (односно, и реални и помошни), се составуваат аналитички изрази за моментот на свиткување, кои се заменуваат во формулата наречена „Mohr интеграл“:
каде: знак Σ се однесува на сите областигреди,
А ЕИ – виткање ригидностна страницата.
Во многу случаи Морската интеграција може да се избегнеИ примени го методот дијаграми за „множење“.. Еден таков начин е Симпсоновиот начиннад кој вредноста на интегралот Мор на дел од должината ℓ пресметано со следнава формула:
Овде е наведено: а, бИ Со – соодветно, екстремните и просечните ординати на дијаграмот на моменти на свиткување на фактичката состојба М,
– екстремни и средни ординати на дијаграмот моменти на свиткување, но само помошна состојба.
Правило за потпишување:ако се наоѓаат и двете „множи“ ординати во два дијаграма на едната страна од оската на дијаграмот (односно, тие се со ист знак), тогаш пред нивниот производ мора да ставиме знак „плус: што ако тие на спротивните страниод оската на дијаграмот, потоа пред производот ставаме знак „минус“.
Треба да се има на ум дека методите на „множење“ на дијаграми (покрај методот Симпсон се познати и Методот на Верешчагин) се применува само доколку е достапно два услови:
- Ригидноста на свиткување на зракот во областа што се разгледува мора да биде константна (ЕИ= Конст),
- Еден од двата дијаграми на моменти во овој дел треба да биде нужно линеарна. Во овој случај, двата дијаграми не треба да имаат фрактура
Ако има неколку областина зрак што ги задоволува наведените два услови, формулата за одредување на поместувањата ја има формата:
Доколку резултатотпресметки излегува позитивно, тогаш, затоа, насоката на саканото движење се совпаѓа со насоката на „единичен фактор на сила“(), и ако резултатот е негативен, тогаш саканото движење се случува во насока спротивна на овој фактор.
Формулата на Симпсон, напишана во моменти, изгледа вака: поместувањата (агол на отклон или ротација) се еднакви
Каде ли – должина на делот;
EIi – вкочанетост на зракотна страницата;
М Ф – вредности на моментите на свиткување од дијаграмот на оптоварување, соодветно, локацијата;
– вредности на моменти на свиткување од еден дијаграм,соодветно на почетокот, на средината и на крајотзаговор.
При множење дијаграми ќе биде корисно да се одреди ординатни дијаграми на моменти на свиткување:
, Каде 
Задача
Одреди го аголот на вртење на пресекот на левата потпора φ А
1) Најдете реалните реакции на државната поддршка .
2) Градиме дијаграм на моментите на фактичката состојбаМ.
3) Избор на помошна состојбада се определи аголот на ротација φ А.
4) Наоѓање на потпорните реакции на помошната состојба
Ние „реагираме“ на знакот минус.
5) Конструираме дијаграм на моментите на помошната состојба:
6) „Множење“ на дијаграмите
Бидејќи еден од нив (имено) е линеарен низ целиот распон и нема скршеница, а дијаграмот Мисто така без фрактура, тогаш во формулата Симпсон ќе има само еден дел, а потоа
Знакот плус покажува дека делот Асе свртува кон „единствениот момент“
prosopromat.ru
Симпсонова формула за одредување поместувања
За да го одредите поместувањето користејќи ја формулата на Симпсон, треба:
- Изградба дијаграм на оптоварувањемоменти (дијаграм на моменти од дејството на сите надворешни оптоварувања).
- Изградба единечна парцеламоменти. За да го направите ова, во делот каде што е потребно да се одреди линеарното поместување (отклонување), се применува единица сила, а за одредување на аголното поместување се применува единичен момент и од овој единичен фактор, се конструира дијаграм на моменти на свиткување.
- Помножете ги дијаграмите (оптоварување и единица) користејќи формула наречена Симпсонова формула:
Каде јас јас– должина на делот;
ЕИ и– вкочанетост на гредата во областа;
товаротдијаграми, соодветно
– вредности на моменти на свиткување со синглдијаграми, соодветно
Ако се наоѓаат ординатите на дијаграмите на едната страна од оската на зракот, тогаш при множење се зема предвид знакот „+“ ако е на различни страни, тогаш се зема предвид знакот „-“.
prosopromat.ru
2.8 Основни опции за множење дијаграми
Очигледно е дека разновидноста на применети
оптоварувања и геометриски обрасци
дизајни води кон различни, со
гледна точка на геометрија, може да се множи
дијаграми Да се спроведе правилото на Верешчагин
треба да ги знаат областите на геометриските
фигури и координати на нивните центри на гравитација.
Слика 29 покажува некои основни
опции кои произлегуваат практично
пресметки.
Да се множат дијаграми сложена форма
тие треба да се разложат на поедноставни.
На пример, за множење на два дијаграми,
имајќи облик на трапез, потребен ви е еден од нив
поделена на триаголник и правоаголник,
помножете ја плоштината на секоја од нив со
ордината на вториот дијаграм лоциран
под соодветен центар на гравитација,
и соберете ги резултатите. Исто така
се користат и за множење на криволинеарно
трапезоиди на кој било линеарен дијаграм.
Ако ги направите горенаведените чекори
во општа форма, добиваме за такви
сложени случаиформули погодни за
употреба во практични пресметки
(Сл. 30). Значи, резултатот од множењето
два трапезоиди (слика 30, а):
Ориз. 29
Користејќи ја формулата (2.21), можете да множите и
дијаграми кои изгледаат како „извртени“
трапез (слика 30, б), но во исто време и производот
ординати лоцирани на различни страни
од оските на дијаграмите, земени во предвид со знакот
минус.
Ако е наведена една од парцелите што се множат
долж квадратна парабола (што одговара на
рамномерно распределен товар
оптоварување), потоа да се множи со
втор (нужно линеарен) дијаграм
се смета како збир (сл. 30, в) или
разлика (сл. 30,г) трапезоидна и
параболични дијаграми. Резултат
се одредува множење во двата случаи
формула:
но се одредува вредноста на f
на различни начини (сл. 30, в, г).
Ориз. 30
Може да има случаи кога ниту еден од
дијаграмите не се множат
јасна, но барем една од нив
ограничен со скршени прави линии.
Да се множат таквите дијаграми со нив
претходно поделени на делови,
во рамките на секоја од кои најмалку
Најмалку еден дијаграм е правилен.
Размислете за користење на правилото
Верешчагин користејќи конкретни примери.
Пример 15.Определете го отклонувањето во
средината на распонот и аголот на ротација лево
потпорен дел на зрак натоварен
рамномерно распределен товар
(Сл. 31, а), со методот на Верешчагин.
Редоследот на методот на пресметка
Верешчагина - исто како и во методот
Мора, па да разгледаме три држави
греди: товар – во акција
дистрибуирано оптоварување q; на него
одговара на дијаграмот M q (слика 31, б),
и две единечни состојби - за време на дејството
силата 
применета во точка C (дијаграм 
,
Сл. 31, в) и момент 
,
применета во точка Б (дијаграм 
,
Сл. 31, г).
Отклонување на зракот во средината на распонот:
Добиен е сличен резултат
претходно со методот на Мор (види пример 13). Треба да
обрнете внимание на фактот дека
извршено е множење на дијаграми за
половина од зракот, а потоа, поради симетријата,
резултатот се удвои. Доколку областа
на целиот дијаграм M q помножен со
лоциран под неговиот центар на гравитација
ордината на дијаграмот 
(
на
Сл. 31, в), тогаш количината на движење ќе биде
сосема различни и неточни бидејќи
дијаграм 
ограничен со прекината линија. Вклучено
недозволивоста на таквиот пристап е веќе
наведено погоре.
И при пресметување на аголот на ротација на делот
во точката Б можете да ја помножите областа на дијаграмот M q со онаа што се наоѓа под неговиот центар
гравитациски ординатен дијаграм 
(
,
Сл. 31, г), бидејќи дијаграмот 
ограничен со права линија:
Овој резултат исто така се совпаѓа со
резултатот добиен со претходниот метод
Мора (види пример 13).
Ориз. 31
Пример 16.Дефинирајте хоризонтална
и вертикално движење на точката А во
рамка (слика 32, а).
Како и во претходниот пример, да се реши
треба да се разгледаат три проблеми
рамка држави: товар и две единечни.
Дијаграм на моменти M F што одговара
прва држава, претставена на
Сл. 32, б. Да се пресмета хоризонтална
се применуваат движења во точката А по должината
насока на саканото движење (т.е.
хоризонтална) сила 
,
и да се пресмета вертикалата
подвижна сила 
нанесете вертикално (слика 32, в, г).
Соодветни дијаграми 
И 
се прикажани на сл. 32, г, ѓ.
Хоризонтално движење на точката А:
При пресметување 
во делот AB има трапез (дијаграм М F)
поделени на триаголник и правоаголник,
по што триаголникот од дијаграмот 
„помножено“
за секоја од овие бројки. На локацијата на авионот
закривен трапезподелени на
криволиниски триаголник и правоаголник,
и за множење дијаграми во делот SD
беше искористена формулата (2.21).
Знакот „–“ добиен при пресметката 
,
значи дека точката А се движи по должината
хоризонтално не лево (во оваа насока
применета сила 
),
и десно.
Овде знакот „-“ значи дека точката
И се движи надолу, не нагоре.
Забележете дека единечните дијаграми на моменти,
изградена од сила 
,
имаат димензија на должина и единица
дијаграми на моменти изградени од моментот 
,
се бездимензионални.
Пример 17.Дефинирајте вертикална
подвижна точка А рамно-просторна
системи (сл. 33, а).
Сл.23
Како што е познато (види Поглавје 1), во попречно
пресеци од рамнинско-просторни прачки
системи произлегуваат три внатрешни
фактори на сила: сила на смолкнување Q y,
момент на свиткување M x и вртежен момент
момент М кр. Од влијанието
сила на смолкнување по поместување
незначително (види пример 14,
Сл.27), потоа при пресметување на поместувањето
Методот на Мор и Верешчагин од шест
остануваат само два мандати.
За да го решиме проблемот, ќе изградиме дијаграми
моменти на свиткување M x,q и вртежен момент
моменти M cr,q од надворешно оптоварување
(сл. 33, б), а потоа во точката А применуваме сила 
во насока на саканото движење,
тие. вертикална (сл. 33, в) и изгради
единечни дијаграми на моменти на свиткување 
и вртежи 
(Сл. 33, г).
Стрелки на дијаграмите на вртежниот момент
прикажани насоките на вртење
релевантни области
рамно-просторен систем.
Вертикално движење на точката А:
При множење на дијаграмите на вртежниот момент
работата се зема со знак „+“,
ако стрелките што ја покажуваат насоката
торзија, конасочна и со знакот "
– ” – инаку.
studfiles.net
Множење дијаграми користејќи го методот Верешчагин
За да пресметате, треба да ги извршите следните операции:
1. Конструирајте дијаграми на моменти на свиткување ГИ Мкво зависност од дадените и единечните оптоварувања на гредата, соодветно. Со сложено оптоварување на зракот (сл. 19, А)следува: или дијаграм Гсе распаѓа на едноставни делови за кои е позната областа и положбата на центарот на гравитација (сл. 19, б), или (по можност) конструирај дијаграм Гво стратификувана форма (сл. 19, в).
Ако зракот има чекор-променлив дел, дијаграмот Гмора, дополнително, да се подели на делови во кои ригидноста на делот е константна.
2. На секој дел, помножете ја областа ω на еден од дијаграмите (на пример, дијаграм г.)по ординати Г-ѓадруг дијаграм (на пример, дијаграм Мк)под центарот на гравитација на првиот дијаграм и поделете го добиениот производ со коефициентот на чекорот j.
Во овој случај, ординатата Г-ѓатреба да се земе на дијаграм, кој во областа што се разгледува се менува според линеарен закон (без прекин). Ако дијаграмот е скршен, треба да се подели на делови во кои ќе биде линеарен.
3. Пресметајте го збирот на поимите наведени во став 2.
Формула за одредување на движење со користење на методот што се разгледува
каде што сумирањето се врши на сите делови на гредата
Областите и координатите на центрите на гравитација на некои дијаграми се дадени во Табела. 11. Резултатите од множењето на дијаграмите на оптоварување и единици кои често се појавуваат се дадени во табела. 12.
Пример.Одреди го аголот на ротација вредности ВОскалесто зрак (види Сл. 19, а).
Откако ги утврдивме реакциите за поддршка А и Б , ајде да изградиме дијаграм Гна сл. 19, бИ Вприкажани се нестратификувани и стратификувани дијаграми Г.Применувајќи единечен момент на точката Б на гредата ослободена од оптоварување, конструираме единичен дијаграм М1(сл. 19. е).
Користење на слоевитиот дијаграм Mp, според формулата 36 и табела. 12 го одредуваме саканиот агол на вртење на делот Б:
Сл. 20
Пример.Определете го отклонувањето во точката K на зрак со постојан пресек (сл. 20, а).
Со примена на единица сила на точката К, ослободена од даденото оптоварување на гредата, ќе конструираме единечен дијаграм на моменти на свиткување Mk (сл. 20, б).
Откако ги определивме потпорните реакции од дадено оптоварување
Ајде да ја отсечеме конзолата и да ја замениме со сила ка и момент (слика 20, в).
Ајде да конструираме стратификуван дијаграм М (за секој тип на оптоварување посебно), приближувајќи се до точката на прекин на еден дијаграм Мкод двете страни (сл. 20, јас ).
Според формулата (36) со користење на табела. 12 определување на потребното поместување
Нарачајте решение Начин на плаќање
funnystudy.ru
Определување на поместувања во зрак со помош на формулата на Симпсон
За зракот, определете ги линеарните и аголните поместувања во точките A, B, C, откако претходно го избравте делот I-зраци од условите на јачината.
Со оглед на:а= 2 m,б=4 m, s = 3 m,Ф=20 kN, M=18 kNm,q=6 kN/m, σадм=160 MPa, E=210 5 MPa
1) Нацртајте дијаграм на зракот и определете ги потпорните реакции.Во тврд печат се јавува 3 реакции - вертикална и хоризонтална, како и потпорен момент.Бидејќи нема хоризонтални оптоварувања, соодветната реакција е нула. За да ги најдеме реакциите во точката Е составуваме рамнотежни равенки.
∑F y = 0 q7-F+R E =0
R E =-q7+F=-67+20=-22kN(знакот го покажува тоа
Ќе најдеме потпорен момент во круто вградување, за што ја решаваме равенката на моменти во однос на која било избрана точка.
∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0
M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(знакот го покажува тоа реакцијата е насочена кон задната страна, ова го прикажуваме на дијаграмот)
2) Градиме дијаграм на оптоварување M F - дијаграм на моменти од дадено оптоварување.
За да конструираме дијаграми на моменти, наоѓаме моменти на карактеристични точки. ВО точка Бги одредуваме моментите и од десната и од левата сила, бидејќи во овој момент се применува момент.
Да се конструира моментален дијаграм на линијата на дејство на дистрибуирано оптоварување (делови AB и BC) ни треба дополнителни поенида нацрта крива. Ајде да ги дефинираме моментите во срединатаовие области. Ова се моментите во средината на делниците АБ и БЦ 15,34 kNm и 23,25 kNm. Ние градиме карго дијаграм.
3) За да се одредат линеарни и аголни поместувања во точка, неопходно е да се примени во оваа точка, во првиот случај, единица сила (F=1)и изгради дијаграм на моментите, во вториот случај, единечен момент (М=1) и конструирај моментален дијаграм. Ние градиме дијаграми на единечни оптоварувања за секоја точка - A, B и C.
4) За да најдеме поместувања ја користиме формулата на Симпсон.
Каде l i – должина на делот;
ЕИ и– вкочанетост на гредата во областа;
М Ф– вредности на моментите на свиткување од дијаграмот на оптоварување, соодветно на почетокот, во средината и на крајот на делот;
– вредности на моменти на свиткување од еден дијаграм, соодветно на почетокот, во средината и на крајот на делот.
Ако ординатите на дијаграмите се наоѓаат на едната страна од оската на зракот, тогаш при множење се зема предвид знакот „+“ ако тие се на различни страни, тогаш се зема предвид знакот „-“.
Ако резултатот е со знак „-“, тогаш саканото поместување во насока не се совпаѓа со насоката на соодветниот единичен фактор на сила.
Ајде да размислиме примена на Симпсоновата формула користејќи го примерот за одредување поместувања во точката А.
Ајде да дефинираме отклонување,множење на дијаграмот на оптоварување со дијаграмот на единечна сила.
Девијацијата се покажа со знак „-“.значи посакуваното поместување насоката не се совпаѓа со насоката на единицата сила (насочена нагоре).
Ајде да дефинираме агол на ротација, множејќи го дијаграмот на оптоварување со дијаграмот од еден момент.
Аголот на ротација се покажа дека е со знак „-“.Ова значи дека саканото поместување во насока не се совпаѓа со насоката на соодветниот момент на единицата (насочено спротивно од стрелките на часовникот).
5) За да се одредат специфичните вредности на поместување, неопходно е да се избере дел. Ајде да го избереме пресекот на I-beam
Каде Mmax- Ова максимален момент на дијаграмот на моментот на оптоварување
Избираме по асортиман I-зрак бр. 30 со Ш x = 472 cm 3 и I x = 7080 cm 4
6) Определете ги поместувањата на точкитеоткривајќи вкочанетост на пресекот: Е – модул на надолжната еластичност на материјалот или Јанг-модул (2 10 5 MPa),J x – аксијален момент на инерција на пресекот
Дефлексија во точката А (горе)
Агол на ротација (спротивно од стрелките на часовникот)
Ако треба да изградите закривена оска на зракот, тогаш зракот се влече без оптоварување, а отклонувањата во соодветните насоки се поставуваат на точките - се конструира мазна крива - заоблената оска на зракот.
prosopromat.ru
Множење на дијаграми според правилото, методот или методот Мор-Верешчагин
Здраво! Во оваа статија ќе научиме да го одредуваме поместувањето на пресеците за време на свиткување: отклонувања и агли на вртење, според методот на Верешчагин (метод, правило). Покрај тоа, ова правило е широко користено не само за одредување на поместувањата, туку и за откривање на статичко неопределување на системите користејќи го методот на сили. Ќе ви кажам за суштината на овој метод, како се множат дијаграмите со различна сложеност и кога е корисно да се користи овој метод.
Што треба да знаете за успешно да ги совладате материјалите од оваа лекција?
Дефинитивно треба да знаете како е конструиран дијаграмот на моментите на свиткување, бидејќи Во оваа статија ќе работиме со овој дијаграм.
Верешчагин и неговиот метод, правило или метод
А.К. Верешчагин во 1925 година предложи поедноставен метод за решавање (формули) на Моровиот интеграл. Тој предложи, наместо да се интегрираат две функции, да се множат дијаграмите: да се помножи површината на еден дијаграм со ординатата на вториот дијаграм под тежиштето на првиот. Овој метод може да се користи кога еден од дијаграмите е исправен, вториот може да биде кој било. Покрај тоа, ординатата е земена од праволиниски дијаграм. Кога и двата дијаграми се праволиниски, тогаш воопшто не е важно чија област да се земе и чија ордината. Така, дијаграмите според Верешчагин се множат според следнава формула:
\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M) =( \omega)_(C)\cdot ( \overline (M))_(C) \)
Множењето на дијаграмите според Верешчагин е илустрирано: C е тежиштето на првиот дијаграм, ωс е областа на првиот дијаграм, Mc е ординатата на вториот дијаграм под тежиштето на првиот.
Површина и центар на гравитација на дијаграмите
Кога се користи методот Верешчагин, целата област на дијаграмот не се зема одеднаш, туку во делови, во делови. Дијаграмот на моментите на свиткување е стратификуван во едноставни фигури.
Секој дијаграм може да се подели на само три фигури: правоаголник, правоаголен триаголники параболичен сегмент.
Множење на дијаграми според Верешчагин
Во овој блок од статијата ќе покажам посебни случаи на множење дијаграми според Верешчагин.
Правоаголник до правоаголник
(( V=( M )_( F ) )\cdot \преку линија (M) =( b\cdot h\cdot c) \)
Од правоаголник до триаголник
(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M) =( b\cdot h\cdot \frac (1)(2) \cdot c) \)
Триаголник до правоаголник
(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M) =( \frac (1)(2) \cdot b\cdot h\cdot c) \)
Сегмент во правоаголник
(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline (M) =( \frac (q\cdot (l)^(3))(12) \cdot c) \)
Сегмент по триаголник
(( V=( M )_( F ) )\cdot \преку линија (M) =( \frac (q\cdot (l)^(3))(12) \cdot \frac (1)(2) \cdot c) \)
Посебни случаи на стратификација на дијаграми во едноставни фигури
Во овој блок од статијата ќе покажам посебни случаи на стратификација на дијаграми во едноставни фигури, за да можам да ги помножам според Верешчагин.
Правоаголник и триаголник
Два триаголници
Два триаголници и отсечка
Триаголник, правоаголник и отсечка
Пример за одредување поместувања: отклонувања и агли на ротација според Верешчагин
Сега предлагам да разгледам конкретен пример со пресметување на движењата на пресеците: нивните отклонувања и агли на ротација. Да земеме челична греда која е оптоварена со сите видови оптоварувања и да го одредиме отклонувањето на делот В, како и аголот на ротација на делот А.
Конструирање на дијаграм на моменти на свиткување
Пред сè, ние пресметуваме и конструираме дијаграм на моменти на свиткување:
Конструкција на дијаграми со еден момент
Сега, за секое посакувано поместување, потребно е да се примени единечно оптоварување (бездимензионална вредност еднаква на еден) и да се конструираат единични дијаграми:
- За отклонувања, се применуваат единечни сили.
- За агли на вртење, се применуваат единечни моменти.
Покрај тоа, насоката на овие товари не е важна! Пресметката ќе ја покаже правилната насока на движење.
На пример, по пресметката, вредноста на отклонување се покажа како позитивна, што значи дека насоката на движење на делот се совпаѓа со насоката на претходно применетата сила. Истото важи и за аглите на вртење.
Множење на делови од дијаграм според Верешчагин
На крајот на краиштата подготвителна работа: конструирајќи дијаграм на моменти на свиткување, делејќи го на елементарни фигури и конструирајќи единечни дијаграми од оптоварувањата применети во местата и насоката на саканите поместувања, можете да продолжите директно со множење на соодветните дијаграми.
Како што веќе беше напишано погоре, линеарни дијаграмиМожете да множите по кој било редослед, односно да ја земете плоштината на кој било дијаграм: главен или единица и да се множите со ординатата на друга. Но, обично, за да не се мешаат во пресметките, се земаат областите главен дијаграм на моменти на свиткување, во оваа лекција ќе се придржуваме до истото правило.
Определување на отклонување на пресекот В
Ние ги множиме соодветните дијаграми од лево кон десно и го пресметуваме отклонувањето на делот C користејќи го методот Мор-Верешчагин:
\[ (V)_( C)=\frac (1)( E(I)_( x)) (\frac (1)(2) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac (2)(3) \cdot 2+\frac (1)(2) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac (2)(3) \cdot 2)=\frac (20kN(m)^(3))(E(I) _( x) ) \]
Да замислиме дека зракот што се пресметува има пресек во форма на I-зрак бр. 24 според ГОСТ 8239-89, тогаш отклонот на зракот ќе биде еднаков на:
\[ (V)_(C)=\frac (20kN(m)^(3))(E(I)_(x)) =\frac (20\cdot (10)^(9)N\cdot ( cm )^(3)
Одредување на аголот на ротација на делот В
Ние ги множиме соодветните дијаграми од лево кон десно и го пресметуваме аголот на ротација на делот C користејќи го правилото Мор-Верешчагин:
\[ ( \theta )_( C )=\frac (1)( E(I)_( x)) (-\frac (1)(2) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac (1)( 3 ) \cточка 1)=-\frac (3kN(m)^(2))(E(I)_(x)) \]
\[ ( ( \theta ) )_( C)=-\frac (3kN(m)^(2))(E(I)_(x)) =-\frac (3\cdot (10)^(7 )Н\cdot (cm)^(3))(2\cdot (10)^(7)\frac (Н)((cm)^(2)) \cdot 3460(cm)^(4)) =- 0,0004 rad\]
sopromats.ru
Трапезоид и Симпсон формули
Ајде да ги искористиме
Правило на Верешчагин за множење
два праволиниски дијаграми кои имаат форма
трапезоид. Да ги поделиме двата трапезоиди на
триаголници чии плоштини и
позициите на центрите на гравитација се лесни
се одредуваат.
Дијаграм
М Ф
ω 1
В 1 В 2
ω 2
Дијаграм
Ние
примени формула
трапез,
според
кои производите на соодветните
Неопходни се леви и десни ординати на дијаграмите
двојно, и производите на крстот
земете ги ординатите како единечни, а добиените
помножете ја количината со една шестина од должината
дијаграм.
Ајде да размислиме
случајот кога е претставен дијаграмот на оптоварување
квадратна парабола и единичен дијаграм
– трапез.
ω П.С.
Заедно со
со крајните ординати ги посочуваме и просечните.
Ајде да го скршиме
заоблен дијаграм на трапез и
параболичен сегмент.
Ние ќе произведуваме
множење на соодветните бројки.
Изразување
Јас Т
имаме. Ќе најдеме
.
Плоштад
параболичен сегмент:
Ординација
единечна парцела под центарот на гравитација
параболичен сегмент:
По
замени добиваме формула
Симпсон:
Работа
два дијаграми се еднакви на збирот на производите
екстремни ординати и четворка
производ на просечни ординати множи
за една шестина од должината на дијаграмите.
§7. Пресметка на сили на статички неопределени системи со прачки (SNS).
Статички
неопределени системи (ИНС) имаат
споредени предности и недостатоци
со статички дефинирани системи
(СОС).
Предности:
СНА
имаат поголема опстанок
работа под оптоварување од SOS. ВО
SOS скоро сите елементи
се подеднакво напнати и затоа имаат
резерви на сила само во границите
безбедносен фактор к
=1,5
– 2. Ако оди барем еден елемент
до граничната состојба, целата структура
ќе добие неприфатливо од гледна точка
стандарди за пресметување на деформација или колапс.
СНС е нееднакво нагласена структура
а при транзицијата на најинтензивните
елемент до неговата гранична состојба,
има прераспределба на напорите
од зголеменото оптоварување на помалку стресни
елементи.
СНС,
поради присуство на непотребни врски и вишок
ригидност на поединечни елементи, помалку
подеформативно од СОС, т.е. имаат помалку
линеарни аголни движења.
Недостатоци:
СНА
се посложени за пресметување од СОС, кои
се објаснува со присуството на вишок
(дополнителни) врски. Комплексност на пресметката
СНА е пропорционална на третата сила
број на дополнителни врски, т.е.
.
На пример, ако за два системи n 1
=1,
n 2
=4
,
Тоа
т 1
=
α
,
т 2
=64α,
тие. времето на пресметување се зголемува за 64 пати.
ВО
СНА распределба на силите во елементи
зависи од нивните геометриски димензии,
чија дефиниција, пак,
е главната задача на отпорот
материјали. Така, се јавува
неопходност од априори задача
крути на свиткување и попречно
делови од поединечни прачки: (EY)
к =α
к (EY),
што доведува до двосмисленост
конструктивни решенија.
Повеќе
успешно доделување на вкочанетост, во зависност
од разбирањето на суштината на задачите на отпорот
материјалите ќе доведат до создавање на повеќе
оптимални дизајни.
ВО
СНС може да изгледа тешко
предвидливи по големина
состојба на стрес-напрегање,
предизвикани од температурни промени
и самостојно порамнување на потпорите. Промена
температурата на еден од елементите предизвикува
појава на температурни стресови
во сите SNA прачки. Исто како неточност
производство на една од прачките или
поместувањето на една врска предизвикува појава
напрегања на инсталацијата во сите прачки.
Во СОС такви тензии не се појавуваат.
Ајде да размислиме
основни методи за пресметување на SNA кога
статичко влијание на оптоварувањата.
Недостаток на методот на Мор е потребата да се добијат вредностите на факторите на внатрешна сила вклучени во интеграндските изрази на формулите (2.18) и (2.19), во општа форма, како функции на z, што станува доста трудоинтензивно дури и со два или три преградни пресеци во греди и особено во рамки
Излегува дека овој недостаток може да се избегне ако директната интеграција во формулите на Мор се замени со т.н. множење дијаграми. Таквата замена е можна во случаи кога барем еден од помножените дијаграми е праволиниски. Сите системи кои се состојат од прави прачки го исполнуваат овој услов. Навистина, во такви системи, дијаграмот конструиран од генерализирана единица сила секогаш ќе биде праволиниски.
Начинот на пресметување на интегралот Мор со замена на директната интеграција со множење на соодветните дијаграми се нарекува Метод (или правило) на Верешчагин и е како што следува: за да помножите два дијаграма, од кои барем еден е праволиниски, треба да ја помножите плоштината на еден дијаграм (ако има заоблен дијаграм, тогаш неговата површина мора да биде) со ординатата на друг дијаграм, кој се наоѓа под центарот на гравитација на првиот.
Дозволете ни да ја докажеме валидноста на ова правило. Ајде да погледнеме два дијаграми (сл. 28). Нека еден од нив (Mn) е оптоварен и има заоблен преглед, а вториот одговара на единечно оптоварување и е линеарен.
Од Сл. 28 следува дека Да ги замениме вредностите во изразот
каде е диференцијалната област на дијаграмот Mn.
Ориз. 28
Интегралот го претставува статичкиот момент на површината во однос на оската O – O1, додека: 
каде што zc е апсциса на центарот на гравитација на областа, тогаш: 
Имајќи предвид дека добиваме: 
(2.20)
Изразот (2.20) го одредува резултатот од множење на два дијаграми, а не поместување. За да се добие поместувањето, овој резултат мора да се подели со вкочанетоста што одговара на факторите на внатрешната сила под интегралниот знак.
Основни опции за множење дијаграми
Очигледно е дека разновидноста на применетите оптоварувања и геометриските дизајни на конструкциите доведуваат до различни, од гледна точка на геометријата, мултиплицирани дијаграми. За имплементација Правилата на Верешчагинтреба да ги знаете областите на геометриските фигури и координатите на нивните центри на гравитација. На слика 29 се прикажани некои од главните опции кои се јавуваат при практичните пресметки.
За множење дијаграмисложени форми, тие мора да се поделат на едноставни. На пример, за да помножите два дијаграма што личат на трапез, треба да поделите еден од нив на триаголник и правоаголник, да ја помножите површината на секој од нив со ординатата на вториот дијаграм, кој се наоѓа под соодветниот центар на гравитација и додадете ги резултатите. Истото важи и за множење на заоблен трапез со кој било линеарен дијаграм.
Ако горенаведените чекори се извршат во општа форма, ќе добиеме формули за такви сложени случаи кои се погодни за употреба во практични пресметки (сл. 30). Така, резултатот од множење на два трапезоиди (слика 30, а):
(2.21)
Ориз. 29
Користејќи ја формулата (2.21), можете исто така да множите дијаграми кои имаат форма на „извртени“ трапезоиди (слика 30, б), но во овој случај производот на ординатите лоцирани на спротивните страни на оските на дијаграмот се зема предвид со знакот минус.
Доколку еден од помножливи дијаграмие исцртано по квадратна парабола (што одговара на оптоварување со рамномерно распоредено оптоварување), потоа за множење со вториот (нужно линеарен) дијаграм се смета како збир (сл. 30, в) или разлика (сл. 30, г) на трапезоидни и параболични дијаграми. Резултатот од множењето во двата случаи се одредува со формулата: 
(2.22)
но вредноста на f се одредува поинаку (сл. 30, в, г).
Ориз. 30
Може да има случаи кога ниту еден од помножените дијаграми не е праволиниски, но барем еден од нив е ограничен со скршени прави линии. За да се множат таквите дијаграми, тие прво се делат на делови, во рамките на секоја од кои барем еден дијаграм е праволиниски.
Размислете за користење Правилата на Верешчагинна конкретни примери.
Пример 15.Определете го отклонот во средината на распонот и аголот на вртење на левиот потпорен дел на зракот оптоварен со рамномерно распореден товар (сл. 31а), Методот на Верешчагин.
Редоследот на пресметување Методот на Верешчагин– исто како и во методот на Мор, затоа ќе разгледаме три состојби на гредата: оптоварување – под дејство на дистрибуиран товар q; тоа одговара на дијаграмот Mq (слика 31, б), и две единечни состојби - под дејство на сила применета во точката C (дијаграм, Сл. 31, в) и момент применет во точка B (дијаграм, Сл. 31, г).
Отклонување на зракот во средината на распонот:
Сличен резултат беше добиен претходно со методот на Мор (види пример 13). Треба да се обрне внимание на фактот дека множењето на дијаграмите беше извршено за половина од зракот, а потоа, поради симетрија, резултатот беше двојно зголемен. Ако површината на целиот дијаграм Mq се помножи со ординатата на дијаграмот сместен под неговиот центар на гравитација (на слика 31, в), тогаш количината на поместување ќе биде сосема различна и неточна бидејќи дијаграмот е ограничен со прекината линија. Неприфатливоста на таквиот пристап е веќе наведена погоре.
И при пресметување на аголот на ротација на делот во точката Б, можете да ја помножите површината на дијаграмот Mq со ординатата на дијаграмот лоциран под неговиот центар на гравитација (слика 31, г), бидејќи дијаграмот е ограничен по права линија:
Овој резултат исто така се совпаѓа со резултатот добиен претходно со методот на Мор (види пример 13).
Ориз. 31
Пример 16.Определете ги хоризонталните и вертикалните движења на точката А во рамката (сл. 32, а).
Како и во претходниот пример, за да се реши проблемот потребно е да се земат предвид три состојби на рамката: товар и две единечни состојби. Дијаграмот на моментите MF што одговара на првата состојба е претставен на Сл. 32, б. За да го пресметаме хоризонталното движење, применуваме сила во точката А во насока на саканото движење (т.е. хоризонтално), а за да го пресметаме вертикалното движење, силата ја применуваме вертикално (сл. 32, в, д). Соодветните дијаграми се прикажани на сл. 32, г, ѓ.
Хоризонтално движење на точката А:
При пресметување во делот AB, трапезот (дијаграмот MF) се дели на триаголник и правоаголник, по што триаголникот од дијаграмот се „множи“ со секоја од овие бројки. Во делот BC, криволинеарниот трапез е поделен на криволинеарен триаголник и правоаголник, а формулата (2.21) се користи за множење дијаграми во делот SD.
Знакот „-“ добиен при пресметувањето значи дека точката А се движи хоризонтално не налево (силата се применува во оваа насока), туку надесно.
