Знаци на деливост на броевите- ова се правила кои ви дозволуваат релативно брзо да дознаете, без делење, дали овој број е делив со даден број без остаток.
Некои од знаци на деливостприлично едноставно, некои покомплицирано. На оваа страница ќе ги најдете двата знаци на деливост примарни броеви, како што се, на пример, 2, 3, 5, 7, 11 и знаци за деливост на композитни броеви, како што се 6 или 12.
Се надевам дека оваа информација ќе ви биде корисна.
Среќно учење!
Тест за деливост со 2
Ова е еден од наједноставните знаци на деливост. Звучи вака: ако природен број завршува на парен број, тогаш тој е парен (делив со 2 без остаток), а ако бројот завршува со непарна цифра, тогаш овој број е непарен.
Со други зборови, ако последната цифра од некој број е 2
, 4
, 6
, 8
или 0
- бројот се дели со 2, ако не, тогаш не се дели
На пример, броеви: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
се делат со 2 бидејќи се парни.
Броеви: 23 5
, 137
, 2303
Тие не се делат со 2 бидејќи се непарни.
Тест за деливост со 3
Овој знак на деливост има сосема различни правила: ако збирот на цифрите на некој број е делив со 3, тогаш бројот се дели со 3; Ако збирот на цифрите на некој број не се дели со 3, тогаш тој број не се дели со 3.
Ова значи дека за да разберете дали некој број е делив со 3, само треба да ги соберете броевите што го сочинуваат.
Изгледа вака: 3987 и 141 се делат со 3, бидејќи во првиот случај 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - делив со 3), а во вториот 1+4+1= 6
(6:3=2 - исто така делив со 3).
Но, броевите: 235 и 566 не се делат со 3, бидејќи 2+3+5= 10
и 5+6+6= 17
(и знаеме дека ниту 10 ниту 17 не се делат со 3 без остаток).
Тест за деливост со 4
Овој знак на деливост ќе биде покомплициран. Ако последните 2 цифри од некој број формираат број делив со 4 или тој е 00, тогаш бројот се дели со 4, во спротивно даден бројне се дели со 4 без остаток.
На пример: 1 00
и 3 64
се делат со 4 бидејќи во првиот случај бројот завршува на 00
, а во вториот на 64
, кој пак е делив со 4 без остаток (64:4=16)
Броеви 3 57
и 8 86
не се делат со 4 бидејќи ниту 57
ниту едно 86
не се деливи со 4, што значи дека не одговараат на овој критериум на деливост.
Тест за деливост со 5
И повторно имаме прилично едноставен знак за деливост: ако ознаката на природен број завршува со бројот 0 или 5, тогаш овој број се дели со 5 без остаток. Ако ознаката на бројот завршува со друга цифра, тогаш бројот не се дели со 5 без остаток.
Ова значи дека сите броеви што завршуваат со цифри 0
И 5
, на пример 1235 година 5
и 43 0
, спаѓаат под правило и се деливи со 5.
И, на пример, 1549 година 3
и 56 4
не завршуваат со бројот 5 или 0, што значи дека не можат да се поделат со 5 без остаток.
Тест за деливост со 6
Пред нас го имаме сложениот број 6, кој е производ на броевите 2 и 3. Според тоа, композитен е и знакот за деливост со 6: за да може некој број да се дели со 6, тој мора да одговара на два знака на деливост во исто време: знак за деливост со 2 и знак за деливост со 3. Забележете дека композитниот број како 4 има индивидуален знак за деливост, бидејќи тој е производ на бројот 2 сам по себе. Но, да се вратиме на тестот за деливост со 6.
Броевите 138 и 474 се парни и ги исполнуваат критериумите за деливост со 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), што значи дека се деливи со 6. Но 123 и 447, иако се деливи со 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но тие се непарни, што значи дека не одговараат на критериумот за деливост со 2 и затоа не одговараат на критериумот за деливост со 6.
Тест за деливост со 7
Овој тест за деливост е покомплексен: бројот се дели со 7 ако резултатот од одземањето на двапати на последната цифра од бројот на десетици од овој број е делив со 7 или еднаков на 0.
Звучи прилично збунувачки, но во пракса е едноставно. Погледнете сами: бројот 95
9 се дели со 7 затоа што 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 се дели со 7 без остаток). Покрај тоа, ако се појават потешкотии со бројот добиен за време на трансформацијата (поради неговата големина тешко е да се разбере дали е делив со 7 или не, тогаш оваа постапка може да се продолжи онолку пати колку што сметате дека е потребно).
На пример, 45
5 и 4580
1 ги има својствата на деливост со 7. Во првиот случај, сè е прилично едноставно: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Во вториот случај ќе го направиме ова: 4580
-2*1=4580-2=4578. Тешко ни е да разбереме дали 457
8 на 7, па да го повториме процесот: 457
-2*8=457-16=441. И повторно ќе го користиме знакот на деливост, бидејќи сè уште имаме пред нас трицифрен број 44
1. Значи, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 е делив со 7 без остаток, што значи дека 45801 се дели со 7.
Еве ги бројките 11
1 и 34
5 не се дели со 7 затоа што 11
-2*1=11-2=9 (9 не се дели со 7) и 34
-2*5=34-10=24 (24 не се дели со 7 без остаток).
Тест за деливост со 8
Тестот за деливост со 8 звучи вака: ако последните 3 цифри формираат број делив со 8, или тој е 000, тогаш дадениот број се дели со 8.
Броеви 1 000
или 1 088
делив со 8: првиот завршува на 000
, вториот 88
:8=11 (делив со 8 без остаток).
И еве ги бројките 1 100
или 4 757
не се делат со 8 бидејќи броевите 100
И 757
не се делат со 8 без остаток.
Тест за деливост со 9
Овој знак за деливост е сличен на знакот за деливост со 3: ако збирот на цифрите на некој број е делив со 9, тогаш бројот се дели со 9; Ако збирот на цифрите на некој број не се дели со 9, тогаш тој број не се дели со 9.
На пример: 3987 и 144 се делат со 9, бидејќи во првиот случај 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - делив со 9 без остаток), а во вториот 1+4+4= 9
(9:9=1 - исто така се дели со 9).
Но, броевите: 235 и 141 не се делат со 9, бидејќи 2+3+5= 10
и 1+4+1= 6
(и знаеме дека ниту 10 ниту 6 не се делат со 9 без остаток).
Знаци на деливост со 10, 100, 1000 и други цифри
Ги комбинирав овие знаци на деливост бидејќи може да се опишат на ист начин: бројот се дели со цифрена единица ако бројот на нули на крајот од бројот е поголем или еднаков на бројот на нули во дадена цифрена единица .
Со други зборови, на пример, ги имаме следните броеви: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. од кои сите се деливи со 1 0
; 46400
и 867 000
се делат и со 1 00
; а само еден од нив е 867 000
делив со 1 000
.
Сите броеви кои имаат помалку задоцнети нули од цифрената единица не се деливи со таа цифрена единица, на пример 600 30
и 7 93
не е делив 1 00
.
Тест за деливост со 11
За да откриете дали некој број е делив со 11, треба да ја добиете разликата помеѓу збировите на парните и непарните цифри на овој број. Ако дадена разликае еднакво на 0 или е делив со 11 без остаток, тогаш самиот број се дели со 11 без остаток.
За да биде појасно, предлагам да погледнете примери: 2
35
4 се дели со 11 бидејќи ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 е исто така делив со 11, бидејќи ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Еве 1 1
1 или 4
35
4 не се дели со 11, бидејќи во првиот случај добиваме (1+1)- 1
=1, а во втората ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Тест за деливост со 12
Бројот 12 е композитен. Нејзиниот знак на деливост е усогласеност со знаците на деливост со 3 и 4 во исто време.
На пример, 300 и 636 одговараат и на знаците на деливост со 4 (последните 2 цифри се нули или се деливи со 4) и на знаците на деливост со 3 (збирот на цифрите и на првиот и на третиот број се деливи со 3), но конечно, тие се деливи со 12 без остаток.
Но, 200 или 630 не се деливи со 12, бидејќи во првиот случај бројот го исполнува само критериумот за деливост со 4, а во вториот - само критериумот за деливост со 3. но не и двата критериуми истовремено.
Тест за деливост со 13
Знак за деливост со 13 е дека ако бројот на десетици од број додадени на единиците на овој број помножен со 4 е множител на 13 или еднаков на 0, тогаш самиот број е делив со 13.
Да земеме на пример 70
2. Значи, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 е делив со 13 без остаток), што значи 70
2 се дели со 13 без остаток. Друг пример е број 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Бројот 130 се дели со 13 без остаток, што значи дека дадениот број одговара на критериумот за деливост со 13.
Ако ги земеме бројките 12
5 или 21
2, тогаш добиваме 12
+4*5=32 и 21
+4*2=29, соодветно, и ниту 32 ниту 29 не се делат со 13 без остаток, што значи дадените броеви не се деливи со 13 без остаток.
Деливост на броевите
Како што може да се види од горенаведеното, може да се претпостави дека на било кој од природни броевиможете да изберете свој индивидуален знак за деливост или знак „составен“ ако бројот е множител на неколку различни броеви. Но, како што покажува практиката, главно од поголем број, толку е покомплексен неговиот знак. Можно е времето поминато за проверка на критериумот за деливост да биде еднакво или поголемо од самата поделба. Затоа обично ги користиме наједноставните знаци на деливост.
Во оваа статија ќе разгледаме делење на цели броеви со остаток. Да почнеме со општ принципделење на цели броеви со остаток, ќе ја формулираме и докажеме теоремата за деливост на цели броеви со остаток, ќе ги следиме врските помеѓу дивидендата, делителот, нецелосниот количник и остатокот. Следно, ќе ги претставиме правилата со кои се делат цели броеви со остаток и ќе ја разгледаме примената на овие правила при решавање на примери. После ова, ќе научиме како да го провериме резултатот од делење цели броеви со остаток.
Навигација на страницата.
Општо разбирање за делење цели броеви со остаток
Поделбата на цели броеви со остаток ќе ја разгледаме како генерализација на делење со остаток од природни броеви. Ова се должи на фактот дека природните броеви се составен делцели броеви.
Да почнеме со термините и ознаките што се користат во описот.
По аналогија со делењето на природните броеви со остаток, ќе претпоставиме дека резултатот од делењето со остаток од два цели броеви a и b (b не е еднаков на нула) е два цели броја c и d. Се повикуваат броевите a и b деливИ делителсоодветно, бројот d - остатокотод делење a со b, и се нарекува цел број c нецелосно приватно(или едноставно приватен, ако остатокот е нула).
Да се согласиме да претпоставиме дека остатокот е ненегативен цел број, а неговата вредност не надминува b, односно, (наидовме на слични синџири на неравенки кога зборувавме за споредба на три или повеќе цели броеви).
Ако бројот c е нецелосен количник, а бројот d е остатокот од делењето на цел број a со цел број b, тогаш овој факт накратко ќе го запишеме како еднаквост од формата a:b=c (остаток d).
Забележете дека кога се дели цел број a со цел број b, остатокот може да биде нула. Во овој случај велиме дека a се дели со b без трага(или целосно). Така, поделбата на цели броеви без остаток е посебен случај на делење на цели броеви со остаток.
Исто така, вреди да се каже дека кога делиме нула со некој цел број, секогаш се занимаваме со делење без остаток, бидејќи во овој случај количникот ќе биде еднаков на нула (видете го делот теорија за делење нула со цел број), а остатокот исто така ќе биде еднаква на нула.
Се одлучивме за терминологијата и ознаката, сега да го разбереме значењето на делењето цели броеви со остаток.
Поделбата на негативен цел број a со позитивен цел број b може да добие и значење. За да го направите ова, земете негативен цел број како долг. Ајде да ја замислиме оваа ситуација. Долгот што ги сочинува предметите мора да го отплатат б лица со подеднаков придонес. Абсолутна вредностнецелосниот количник в во овој случај ќе го одреди износот на долгот на секое од овие лица, а остатокот d ќе покаже колку артикли ќе останат по исплатата на долгот. Да дадеме пример. Да речеме дека 2 лица должат 7 јаболка. Ако претпоставиме дека секој од нив должи по 4 јаболка, тогаш по плаќањето на долгот ќе им остане 1 јаболко. Оваа ситуација одговара на еднаквоста (−7):2=−4 (преостанати 1).
Поделба со остаток од произволен цел број a со цел број негативен бројнема да придаваме никакво значење, но ќе го резервираме правото да постоиме.
Теорема за деливост на цели броеви со остаток
Кога зборувавме за делење на природните броеви со остаток, дознавме дека дивидендата a, делителот b, парцијалниот количник c и остатокот d се поврзани со еднаквоста a=b·c+d. Целите броеви a, b, c и d имаат ист однос. Оваа врска е потврдена на следниов начин теорема за деливост со остаток.
Теорема.
Може да се претстави кој било цел број a единствениот начинпреку цел број и ненулти број b во форма a=b·q+r, каде q и r се некои цели броеви и .
Доказ.
Прво, ја докажуваме можноста за претставување a=b·q+r.
Ако цели броеви a и b се такви што a е делив со b, тогаш по дефиниција постои цел број q таков што a=b·q. Во овој случај важи еднаквоста a=b·q+r при r=0.
Сега ќе претпоставиме дека b е позитивен цел број. Да избереме цел број q така што производот b·q не го надминува бројот a, а производот b·(q+1) е веќе поголем од a. Односно, го земаме q така што неравенките b q Останува да се докаже можноста за претставување a=b·q+r за негативно b . Бидејќи модулот на бројот b во овој случај е позитивен број, тогаш за постои претстава каде што q 1 е некој цел број, а r е цел број што ги задоволува условите. Потоа, земајќи q=−q 1, ја добиваме претставата што ни е потребна a=b·q+r за негативна b. Да продолжиме со доказот за уникатност. Да претпоставиме дека покрај претставата a=b·q+r, q и r се цели броеви и , постои уште една претстава a=b·q 1 +r 1, каде што q 1 и r 1 се некои цели броеви, а q 1 ≠ q и . Откако ќе ја одземеме левата и десната страна на втората равенка од левата и десната страна на првата равенка, соодветно, добиваме 0=b·(q−q 1)+r−r 1, што е еквивалентно на еднаквоста r− r 1 =b·(q 1 −q) . Потоа еднаквост на формата Од условите можеме да заклучиме дека. Бидејќи q и q 1 се цели броеви и q≠q 1, тогаш заклучуваме дека Равенството a=b·c+d ви овозможува да ја пронајдете непознатата дивиденда a ако се познати делителот b, парцијалниот количник c и остатокот d. Ајде да погледнеме на пример. Пример. Која е вредноста на дивидендата ако, кога се дели со цел број −21, резултатот е нецелосен количник од 5 и остаток од 12? Решение. Треба да ја пресметаме дивидендата a кога се познати делителот b=−21, парцијалниот количник c=5 и остатокот d=12. Осврнувајќи се на еднаквоста a=b·c+d, добиваме a=(−21)·5+12. Набљудувајќи, прво ги множиме цели броеви −21 и 5 според правилото за множење цели броеви со различни знаци, по што вршиме собирање на цели броеви со различни знаци: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Одговор: −93
.
Врските меѓу дивиденда, делител, парцијален количник и остаток се изразуваат и со еднаквости од формата b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. Овие еднаквости ви дозволуваат да го пресметате делителот, парцијалниот количник и остатокот, соодветно. Честопати ќе треба да го најдеме остатокот кога делиме цел број a со цел број b кога дивидендата, делителот и делумниот количник се познати, користејќи ја формулата d=a−b·c. За да избегнете дополнителни прашања, ајде да погледнеме пример за пресметување на остатокот. Пример. Најдете го остатокот при делење на цел број −19 со цел број 3, ако знаете дека парцијалниот количник е еднаков на −7. Решение. За да го пресметаме остатокот од делењето, користиме формула од формата d=a−b·c. Од условот ги имаме сите потребни податоци a=−19, b=3, c=−7. Добиваме d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (разликата −19−(−21) ја пресметавме користејќи го правилото на одземање негативен цел број ). Одговор: Како што забележавме повеќе од еднаш, позитивните цели броеви се природни броеви. Според тоа, делењето со остаток од позитивни цели броеви се врши според сите правила за делење со остаток од природни броеви. Многу е важно да може лесно да се изврши делење со остаток од природни броеви, бидејќи токму тоа лежи во основата на делењето не само на позитивни цели броеви, туку и на основата на сите правила за делење со остаток од произволни цели броеви. Од наша гледна точка, најзгодно е да се изврши поделба на колоните; овој метод ви овозможува да добиете и нецелосен количник (или едноставно количник) и остаток. Ајде да погледнеме пример за делење со остаток од позитивни цели броеви. Пример. Подели со остатокот 14.671 со 54. Решение. Ајде да ги поделиме овие позитивни цели броеви со колона: Делумниот количник се покажа дека е еднаков на 271, а остатокот е еднаков на 37. Одговор: 14 671:54=271 (одмор. 37) . Да формулираме правило кое ни овозможува да извршиме делење со остаток од позитивен цел број со негативен цел број. Делумниот количник на делење позитивен цел број a со негативен цел број b е спротивен на парцијалниот количник на делење a со модулот b, а остатокот од делењето a со b е еднаков на остатокот од делењето со. Од ова правило произлегува дека парцијалниот количник на делење позитивен цел број со негативен цел број е непозитивен цел број. Да го трансформираме наведеното правило во алгоритам за делење со остаток позитивен цел број со негативен цел број: Да дадеме пример за користење на алгоритам за делење позитивен цел број со негативен цел број. Пример. Подели со остаток од позитивниот цел број 17 со негативниот цел број -5. Решение. Да го искористиме алгоритмот за делење со остаток позитивен цел број со негативен цел број. Со делење Спротивниот број од 3 е −3. Така, потребниот делумен количник за делење 17 со −5 е −3, а остатокот е 2. Одговор: 17 :(−5)=−3 (преостанати 2). Пример. Подели 45 на −15. Решение. Модулите на дивиденда и делител се 45 и 15, соодветно. Бројот 45 се дели со 15 без остаток, а количникот е 3. Затоа, позитивниот цел број 45 се дели со негативниот цел број −15 без остаток, а количникот е еднаков на бројот спротивен 3, односно −3. Навистина, според правилото за делење цели броеви со различни знаци, имаме . Одговор: 45:(−15)=−3
.
Да ја дадеме формулацијата на правилото за делење со остаток негативен цел број со позитивен цел број. За да добиете нецелосен количник c од делење негативен цел број a со позитивен цел број b, треба да го земете бројот спротивен на нецелосниот количник од делењето на модулите на оригиналните броеви и да одземете еден од него, по што се пресметува остатокот d. користејќи ја формулата d=a−b·c. Од ова правило за делење со остаток произлегува дека парцијалниот количник на делење негативен цел број со позитивен цел број е негативен цел број. Од наведеното правило следи алгоритам за делење со остаток негативен цел број a со позитивен цел број b: Да го анализираме решението на примерот, во кој го користиме писмениот алгоритам за делење со остаток. Пример. Најдете го делумниот количник и остаток при делење на негативниот цел број −17 со позитивниот цел број 5. Решение. Модулот на дивидендата −17 е еднаков на 17, а модулот на делителот 5 е еднаков на 5. Со делење 17 на 5, го добиваме делумниот количник 3, а остатокот 2. Спротивното на 3 е −3. Одземете еден од −3: −3−1=−4. Значи, потребниот парцијален количник е еднаков на -4. Останува само да се пресмета остатокот. Во нашиот пример a=−17, b=5, c=−4, потоа d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Така, делумниот количник на делење на негативниот цел број −17 со позитивниот цел број 5 е −4, а остатокот е 3. Одговор: (−17):5=−4 (преостанати 3) . Пример. Поделете го негативниот цел број −1.404 со позитивниот цел број 26. Решение. Модулот на дивиденда е 1404, модулот на делителот е 26. Поделете 1.404 со 26 користејќи колона: Бидејќи модулот на дивидендата е поделен со модулот на делителот без остаток, првобитните цели броеви се делат без остаток, а саканиот количник е еднаков на бројот спротивен 54, односно -54. Одговор: (−1 404):26=−54
.
Да го формулираме правилото за делење со остаток од негативни цели броеви. За да добиете нецелосен количник c од делење негативен цел број a со негативен цел број b, треба да го пресметате нецелосниот количник од делењето на модулите на оригиналните броеви и да додадете еден на него, по што остатокот d се пресметува со формулата d =a−b·c. Од ова правило произлегува дека парцијалниот количник на делење на негативни цели броеви е позитивен цел број. Ајде да го преработиме наведеното правило во форма на алгоритам за делење негативни цели броеви: Да ја разгледаме употребата на алгоритмот за делење на негативни цели броеви при решавање на пример. Пример. Најдете го делумниот количник и остаток при делење негативен цел број −17 со негативен цел број −5. Решение. Да го користиме соодветниот алгоритам за делење со остаток. Модулот на дивиденда е 17, модулот на делител е 5. Поделба 17 над 5 дава делумен количник 3, а остатокот 2. На нецелосниот количник 3 додаваме еден: 3+1=4. Според тоа, потребниот делумен количник за делење −17 со −5 е еднаков на 4. Останува само да се пресмета остатокот. Во овој пример a=−17, b=−5, c=4, потоа d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Значи, делумниот количник на делење на негативен цел број −17 со негативен цел број −5 е 4, а остатокот е 3. Одговор: (−17):(−5)=4 (преостанати 3) . По делењето на цели броеви со остаток, корисно е да се провери резултатот. Проверката се врши во две фази. Во првата фаза се проверува дали остатокот d е ненегативен број, а се проверува и дали условот е задоволен. Ако се исполнети сите услови од првата фаза на верификација, тогаш можете да продолжите до втората фаза на верификација, во спротивно може да се тврди дека некаде е направена грешка при делењето со остаток. Во втората фаза се проверува валидноста на еднаквоста a=b·c+d. Ако оваа еднаквост е точно, тогаш поделбата со остаток е извршена правилно, инаку некаде е направена грешка. Ајде да погледнеме решенија на примери во кои се проверува резултатот од делење цели броеви со остаток. Пример. При делење на бројот −521 со −12, делумниот количник беше 44, а остатокот беше 7, проверете го резултатот. Решение. −2 за b=−3, c=7, d=1. Ние имаме b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Така, еднаквоста a=b·c+d е неточна (во нашиот пример a=−19). Затоа, поделбата со остаток е извршена погрешно. Ајде да погледнеме едноставен пример: Понекогаш природен број не може целосно да се подели. На пример, разгледајте го проблемот: Решение: Знаеме дека 16 не може да се подели со 5. Најблискиот помал број што се дели со 5 е 15 со остаток од 1. Бројот 15 можеме да го запишеме како 5⋅3. Како резултат (16 – дивиденда, 5 – делител, 3 – нецелосен количник, 1 – остаток). Добив формула делење со остатокшто може да се направи проверка на решението. а=
б⋅
в+
г Одговор: секое дете ќе земе 3 играчки и ќе остане една играчка. Остатокот секогаш мора да биде помал од делителот. Ако за време на делењето остатокот е нула, тогаш тоа значи дека дивидендата е поделена целосноили без остаток на делителот. Ако за време на делењето остатокот е поголем од делителот, тоа значи дека пронајдениот број не е најголем. Има поголем број што ќе ја подели дивидендата, а остатокот ќе биде помал од делителот. Прашања на тема „Поделба со остаток“:
Може ли остатокот да биде еднаков на делителот? Како да се најде дивидендата користејќи го нецелосниот количник, делител и остаток? Пример #1:
Решение: 258 - дивиденда, б) Поделете по колона: 1873 – делив, Ајде да го замениме во формулата и да провериме дали правилно го решивме примерот: Пример #2:
Одговор: Пример #3:
Одговор: Пример #4:
Решение: б) Решете со формулата: Задача:
Жица 4м. треба да се исече на парчиња од 13 см. Колку такви парчиња ќе има? Решение: Одговор: Ќе добиете 30 парчиња и ќе останат 10 cm жица. Статијата го испитува концептот на делење цели броеви со остаток. Да ја докажеме теоремата за деливост на цели броеви со остаток и да ги погледнеме врските меѓу дивиденди и делители, нецелосни количници и остатоци. Ајде да ги разгледаме правилата при делење цели броеви со остатоци, разгледувајќи ги детално користејќи примери. На крајот на решението ќе извршиме проверка. Поделбата на цели броеви со остаток се смета како генерализирана поделба со остаток од природни броеви. Ова е направено затоа што природните броеви се компонента на цели броеви. Поделбата со остаток од произволен број вели дека цел број a се дели со број b различен од нула. Ако b = 0, тогаш не делете со остаток. Исто како делењето на природните броеви со остаток, цели броеви a и b се делат, со b не нула, со c и d. Во овој случај, a и b се нарекуваат дивиденда и делител, а d е остатокот од делењето, c е цел број или нецелосен количник. Ако претпоставиме дека остатокот е ненегативен цел број, тогаш неговата вредност не е поголема од модулот на бројот b. Да го напишеме вака: 0 ≤ d ≤ b. Овој синџир на неравенки се користи кога се споредуваат 3 или повеќе броеви. Ако c е нецелосен количник, тогаш d е остатокот од делењето на цел број a со b, што накратко може да се каже: a: b = c (остаток d). Остатокот при делење на броевите a со b може да биде нула, тогаш велат дека a се дели со b целосно, односно без остаток. Поделбата без остаток се смета за посебен случај на делење. Ако ја поделиме нулата со некој број, резултатот е нула. Остатокот од поделбата исто така ќе биде нула. Ова може да се следи од теоријата за делење на нула со цел број. Сега да го погледнеме значењето на делењето цели броеви со остаток. Познато е дека позитивните цели броеви се природни броеви, тогаш при делење со остаток ќе се добие исто значење како при делење на природни броеви со остаток. Има смисла да се дели негативен цел број a со позитивен цел број b. Ајде да погледнеме на пример. Замислете ситуација кога имаме долг на артикли во износ од а кој треба да го врати б лице. За да се постигне ова, секој треба подеднакво да придонесе. За да го одредите износот на долгот за секој, треба да обрнете внимание на вредноста на приватните с. Остатокот d покажува дека е познат бројот на артикли по исплатата на долговите. Да го погледнеме примерот на јаболката. Ако 2 лица должат 7 јаболка. Ако пресметаме дека секој мора да врати 4 јаболка, по целосната пресметка ќе му остане 1 јаболко. Да го напишеме ова како еднаквост: (− 7) : 2 = − 4 (од т. 1) . Делењето на кој било број a со цел број нема смисла, но тоа е можно како опција. Утврдивме дека a е дивиденда, потоа b е делител, c е делумен количник и d е остатокот. Тие се поврзани едни со други. Оваа врска ќе ја прикажеме користејќи ја еднаквоста a = b · c + d. Врската меѓу нив се карактеризира со теоремата за деливост со остаток. Теорема Секој цел број може да се претстави само преку цел број и ненулти број b на овој начин: a = b · q + r, каде што q и r се некои цели броеви. Овде имаме 0 ≤ r ≤ b. Да ја докажеме можноста за постоење на a = b · q + r. Доказ Ако има два броја a и b, а a е делив со b без остаток, тогаш од дефиницијата произлегува дека има број q, а еднаквоста a = b · q ќе биде точно. Тогаш еднаквоста може да се смета за вистинита: a = b · q + r за r = 0. Тогаш е потребно да се земе q такво што е дадено со неравенката b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Имаме дека вредноста на изразот a − b · q е поголема од нула и не е поголема од вредноста на бројот b, следува дека r = a − b · q. Откриваме дека бројот a може да се претстави во форма a = b · q + r. Сега треба да размислиме да претставуваме a = b · q + r за негативните вредности на b. Модулот на бројот излегува позитивен, тогаш добиваме a = b · q 1 + r, каде што вредноста q 1 е некој цел број, r е цел број што го исполнува условот 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Доказ за уникатност Да претпоставиме дека a = b q + r, q и r се цели броеви со условот 0 ≤ r точно< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1И r 1се некои бројки каде q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b . Кога неравенството ќе се одземе од левата и десната страна, тогаш добиваме 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, што е еквивалентно на r - r 1 = b · q 1 - q. Бидејќи се користи модулот, ја добиваме еднаквоста r - r 1 = b · q 1 - q. Дадениот услов вели дека 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qИ q 1- целина и q ≠ q 1, потоа q 1 - q ≥ 1. Од тука имаме дека b · q 1 - q ≥ b. Добиените неравенки r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. Следи дека бројот a не може да се претстави на друг начин освен со пишување a = b · q + r. Користејќи ја еднаквоста a = b · c + d, можете да ја пронајдете непознатата дивиденда a кога е познат делителот b со нецелосниот количник c и остатокот d. Пример 1 Одреди ја дивидендата ако при делењето добиеме - 21, делумниот количник е 5, а остатокот е 12. Решение
Потребно е да се пресмета дивидендата a со познат делител b = − 21, нецелосен количник c = 5 и остаток d = 12. Треба да се свртиме кон еднаквоста a = b · c + d, од тука добиваме a = (− 21) · 5 + 12. Ако го следиме редоследот на дејствата, множиме - 21 со 5, по што добиваме (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93. Одговор: - 93 . Врската помеѓу делителот и парцијалниот количник и остаток може да се изрази со помош на равенствата: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b и d = a − b · c . Со нивна помош можеме да го пресметаме делител, парцијален количник и остаток. Ова се сведува на постојано наоѓање на остатокот при делење на цел број од цели броеви a со b со позната дивиденда, делител и делумен количник. Се применува формулата d = a − b · c. Ајде да го разгледаме решението подетално. Пример 2 Најдете го остатокот кога го делите цел број - 19 со цел број 3 со познат нецелосен количник еднаков на - 7. Решение
За да го пресметаме остатокот од делењето, применуваме формула од формата d = a − b · c. По услов, сите податоци се достапни: a = − 19, b = 3, c = − 7. Од тука добиваме d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (разлика − 19 − (− 21) Овој пример е пресметан користејќи го правилото за одземање негативен цел број. Одговор: 2 . Сите позитивни цели броеви се природни броеви. Следи дека делењето се врши според сите правила на делење со остаток од природни броеви. Брзината на делење со остатокот од природните броеви е важна, бидејќи на неа се засноваат не само делењето на позитивните броеви, туку и правилата за делење произволни цели броеви. Најпогоден метод за поделба е колона, бидејќи е полесно и побрзо да се добие нецелосен или едноставно количник со остаток. Ајде да го разгледаме решението подетално. Пример 3 Поделете 14671 со 54. Решение
Оваа поделба мора да се направи во колона: Односно, делумниот количник е еднаков на 271, а остатокот е 37. Одговор: 14.671: 54 = 271. (одмор 37) За да се изврши делење со остаток од позитивен број со негативен цел број, потребно е да се формулира правило. Дефиниција 1 Од нецелосниот количник на делење на позитивниот цел број a со негативниот цел број b се добива број кој е спротивен на нецелосниот количник на делење на модулите на броевите a со b. Тогаш остатокот е еднаков на остатокот кога a се дели со b. Оттука имаме дека нецелосниот количник на делење позитивен цел број со негативен цел број се смета за непозитивен цел број. Го добиваме алгоритмот: Да го погледнеме примерот на алгоритмот за делење позитивен цел број со негативен цел број. Пример 4 Поделете го остатокот 17 на - 5. Решение
Да го примениме алгоритмот за делење со остаток позитивен цел број со негативен цел број. Неопходно е да се подели 17 со - 5 модули. Од тука добиваме дека делумниот количник е еднаков на 3, а остатокот е еднаков на 2. Добиваме дека потребниот број од делење 17 со - 5 = - 3 со остаток еднаков на 2. Одговор: 17: (− 5) = − 3 (преостанати 2). Пример 5 Треба да поделите 45 со - 15. Решение
Неопходно е да се подели модуло на броеви. Поделете го бројот 45 со 15, добиваме количник 3 без остаток. Тоа значи дека бројот 45 е делив со 15 без остаток. Одговорот е - 3, бидејќи поделбата беше извршена модуло. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Одговор: 45: (− 15) = − 3 . Формулацијата на правилото за делење со остаток е следна. Дефиниција 2 За да се добие нецелосен количник c при делење негативен цел број a со позитивен b, треба да се примени спротивното од дадениот број и да се одземе 1 од него, а потоа остатокот d ќе се пресмета со формулата: d = a − б · в. Врз основа на правилото, можеме да заклучиме дека при делење добиваме ненегативен цел број. За да се обезбеди точност на решението, користете го алгоритмот за делење a со b со остаток: Ајде да погледнеме пример за решение каде се користи овој алгоритам. Пример 6 Најдете го делумниот количник и остатокот од делењето - 17 на 5. Решение
Ги делиме дадените броеви модуло. Откриваме дека при делењето, количникот е 3, а остатокот е 2. Бидејќи добивме 3, спротивното е 3. Треба да одземе 1. − 3 − 1 = − 4 . Посакуваната вредност е еднаква на - 4. За да го пресметате остатокот, потребен ви е a = − 17, b = 5, c = − 4, потоа d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Тоа значи дека нецелосниот количник на делење е бројот - 4 со остаток еднаков на 3. Одговор:(− 17) : 5 = − 4 (преостанати 3). Пример 7 Поделете го негативниот цел број - 1404 со позитивниот 26. Решение
Неопходно е да се подели по колона и модул. Добивме поделба на модулите на броеви без остаток. Тоа значи дека делењето се врши без остаток, а саканиот количник = - 54. Одговор: (− 1 404) : 26 = − 54 . Потребно е да се формулира правило за делење со остаток од негативни цели броеви. Дефиниција 3 За да се добие нецелосен количник c од делење на негативен цел број a со негативен цел број b, потребно е да се извршат пресметки на модуло, потоа да се додаде 1, а потоа можеме да извршиме пресметки користејќи ја формулата d = a − b · c. Следи дека нецелосниот количник на делење на негативни цели броеви ќе биде позитивен број. Дозволете ни да го формулираме ова правило во форма на алгоритам: Ајде да го разгледаме овој алгоритам користејќи пример. Пример 8 Најдете го парцијалниот количник и остаток при делење - 17 со - 5. Решение
За точноста на решението го применуваме алгоритмот за делење со остаток. Прво, поделете го модуло за броеви. Од ова добиваме дека парцијалниот количник = 3, а остатокот е 2. Според правилото, треба да го додадете нецелосниот количник и 1. Добиваме дека 3 + 1 = 4. Од тука добиваме дека парцијалниот количник на делење на дадените броеви е еднаков на 4. За да го пресметаме остатокот ќе ја користиме формулата. По услов имаме дека a = − 17, b = − 5, c = 4, а потоа, користејќи ја формулата, добиваме d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Потребниот одговор, односно остатокот, е еднаков на 3, а делумниот количник е еднаков на 4. Одговор:(− 17) : (− 5) = 4 (преостанати 3). Откако ќе ги поделите броевите со остаток, мора да извршите проверка. Оваа проверка вклучува 2 фази. Прво, остатокот d се проверува за ненегативност, условот 0 ≤ d е задоволен< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Ајде да погледнеме примери. Пример 9 Поделбата е направена - 521 на - 12. Количникот е 44, остатокот е 7. Направете проверка. Решение
Бидејќи остатокот е позитивен број, неговата вредност е помала од модулот на делителот. Делителот е - 12, што значи дека неговиот модул е 12. Можете да преминете на следната контролна точка. По услов, имаме дека a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Од тука пресметуваме b · c + d, каде што b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Следи дека еднаквоста е вистинита. Потврдата помина. Пример 10 Направете проверка на делењето (− 17): 5 = − 3 (преостанати − 2). Дали е вистина еднаквоста? Решение
Поентата на првата фаза е дека е неопходно да се провери поделбата на цели броеви со остаток. Од ова е јасно дека дејството е извршено погрешно, бидејќи е даден остаток еднаков на - 2. Остатокот не е негативен број. Имаме дека вториот услов е исполнет, но не доволен за овој случај. Одговор:Бр. Пример 11 Бројот - 19 беше поделен со - 3. Делумниот количник е 7, а остатокот е 1. Проверете дали оваа пресметка е извршена правилно. Решение
Даден е остаток еднаков на 1. Тој е позитивен. Вредноста е помала од модулот за делител, што значи дека првата фаза е завршена. Да преминеме на втората фаза. Да ја пресметаме вредноста на изразот b · c + d. По услов, имаме b = − 3, c = 7, d = 1, што значи, заменувајќи ги нумеричките вредности, добиваме b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Следи дека a = b · c + d еднаквоста не важи, бидејќи условот дава a = - 19. Од ова произлегува дека поделбата е направена со грешка. Одговор:Бр. Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
, а поради својствата на модулот на броеви и еднаквоста 
.
. Од добиените неравенки и произлегува дека еднаквост на формата невозможно според нашата претпоставка. Според тоа, не постои друга претстава за бројот a освен a=b·q+r.Врски помеѓу дивиденда, делител, парцијален количник и остаток
Поделба со остаток од позитивни цели броеви, примери
Правило за делење со остаток позитивен цел број со негативен цел број, примери
Делење со остаток од негативен цел број со позитивен цел број, примери
Правило за делење со остаток за негативни цели броеви, примери
Проверка на резултатот од делење цели броеви со остаток
15:5=3
Во овој пример го поделивме природниот број 15 целосноза 3, без остаток.
Во плакарот имаше 16 играчки. Во групата имаше пет деца. Секое дете зеде ист број играчки. Колку играчки има секое дете?
Поделете го бројот 16 со 5 со помош на колона и добиваме:
а - делив,
б - делител,
в – нецелосен количник,
г - остаток.Остаток од поделбата
Може ли остатокот да биде поголем од делителот?
Одговор: не.
Одговор: не.
Одговор: Вредностите на парцијалниот количник, делител и остаток ги заменуваме во формулата и ја наоѓаме дивидендата. Формула:
a=b⋅c+d
Изведете делење со остаток и проверете: а) 258:7 б) 1873:8
а) Поделете по колона: 
7 - делител,
36 – нецелосен количник,
6 - остаток. Остатокот е помал од делителот 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - делител,
234 – нецелосен количник,
1 - остаток. Остатокот е помал од делител 1<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
Кои остатоци се добиваат при делење на природни броеви: а) 3 б)8?
а) Остатокот е помал од делителот, значи помал од 3. Во нашиот случај, остатокот може да биде 0, 1 или 2.
б) Остатокот е помал од делителот, значи помал од 8. Во нашиот случај, остатокот може да биде 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Кој е најголемиот остаток што може да се добие при делење на природни броеви: а) 9 б) 15?
а) Остатокот е помал од делителот, значи помал од 9. Но, треба да го означиме најголемиот остаток. Тоа е, бројот најблиску до делителот. Ова е бројот 8.
б) Остатокот е помал од делителот, значи помал од 15. Но, треба да го означиме најголемиот остаток. Тоа е, бројот најблиску до делителот. Овој број е 14.
Најдете ја дивидендата: а) a:6=3(одмор.4) б) c:24=4(одмор.11)
а) Решете со формулата:
a=b⋅c+d
(а – дивиденда, б – делител, в – делумен количник, г – остаток.)
a:6=3 (одмор.4)
(а – дивиденда, 6 – делител, 3 – делумен количник, 4 – остаток.) Да ги замениме броевите во формулата:
a=6⋅3+4=22
Одговор: a=22
a=b⋅c+d
(а – дивиденда, б – делител, в – делумен количник, г – остаток.)
s:24=4 (одмор.11)
(в – дивиденда, 24 – делител, 4 – делумен количник, 11 – остаток.) Да ги замениме броевите во формулата:
с=24⋅4+11=107
Одговор: c=107
Прво треба да ги претворите метри во сантиметри.
4м.=400см.
Можеме да поделиме со колона или во нашиот ум да добиеме:
400:13=30 (преостанати 10)
Ајде да провериме:
13⋅30+10=390+10=400Општо разбирање на поделбата на цели броеви со остатоци
Теорема за деливост на цели броеви со остаток
Врска помеѓу дивиденда, делител, парцијален количник и остаток
Правило за делење со остаток позитивен цел број со негативен цел број, примери
Правило за делење со остаток за негативни цели броеви, примери
Проверка на резултатот од делење цели броеви со остаток
