Најдете го растојанието со праволиниско сонце. Одредување на растојанието од точка до права линија. Решавање задачи за наоѓање растојание од дадена точка до дадена права во просторот

Нека правоаголен координатен систем е фиксиран во тридимензионален простор Оксиз, дадена точка , права линија аи треба да ја пронајдете растојанието од точката Адо права линија а.

Ќе покажеме два методи кои ви дозволуваат да го пресметате растојанието од точка до линија во просторот. Во првиот случај, наоѓање на растојание од точка М 1 до права линија асе сведува на пронаоѓање на растојанието од точката М 1 до точка Х 1 , Каде Х 1 - основата на перпендикулар падна од точка М 1 директно а. Во вториот случај, ќе го најдеме растојанието од точката до рамнината како висина на паралелограмот.

Па ајде да започнеме.

Првиот начин да се најде растојанието од точка до права a во просторот.

Бидејќи по дефиниција растојанието од точка М 1 до права линија ае должината на нормалната М 1 Х 1 , потоа, откако ги определивме координатите на точката Х 1 , можеме да го пресметаме потребното растојание како растојание помеѓу точките И според формулата.

Така, проблемот се сведува на наоѓање на координатите на основата на нормалната конструирана од точката М 1 до права линија а. Ова е прилично едноставно да се направи: точка Х 1 е точката на пресек на правата асо рамнина што минува низ точка М 1 нормално на правата а.

Оттука, алгоритам кој ви овозможува да го одредите растојанието од точка до права линијаа во вселената, е:

Вториот метод ви овозможува да го пронајдете растојанието од точка до права a во просторот.

Бидејќи во изјавата за проблемот ни е дадена права линија а, тогаш можеме да го одредиме неговиот вектор на насока и координатите на некоја точка М 3 , лежејќи на права линија а. Потоа, според координатите на точките и можеме да ги пресметаме координатите на векторот: (доколку е потребно, погледнете ги написот координати на вектор преку координатите на неговите почетни и крајни точки).

Да ги оставиме векторите на страна и од точката М 3 и на нив конструирај паралелограм. Во овој паралелограм ја цртаме висината М 1 Х 1 .

Очигледно висината М 1 Х 1 на конструираниот паралелограм е еднаков на потребното растојание од точката М 1 до права линија а. Ајде да го најдеме.

Од едната страна, областа на паралелограмот (да ја означиме С) може да се најде преку векторскиот производ на вектори и според формулата . Од друга страна, плоштината на паралелограм е еднаква на производот од должината на неговата страна и неговата висина, т.е. , Каде - векторска должина , еднаква на должината на страната на предметниот паралелограм. Затоа, растојанието од дадена точка М 1 до дадена права линија аможе да се најде од еднаквоста Како .

Значи, да се најде растојание од точка до права линијаа во потребниот простор

Решавање задачи за наоѓање растојание од дадена точка до дадена права во просторот.

Да го погледнеме примерот на решението.

Пример.

Најдете го растојанието од точката до права линија .

Решение.

Првиот начин.

Да ја напишеме равенката на рамнината што минува низ точката М 1 нормално на дадена права:

Најдете ги координатите на точката Х 1 - точки на пресек на рамнината и дадена права линија. За да го направите ова, ајде да ја направиме транзицијата од канонски равенкиправа линија на равенките на две рамнини што се сечат

по што го решаваме системот линеарни равенки Метод на Крамер:

Така,.

Останува да се пресмета потребното растојание од точка до линија како растојание помеѓу точките И:.

Втор начин.

Броевите во именителот на дропките во канонските равенки на правата ги претставуваат соодветните координати на векторот на насоката на оваа права, т.е. - директен вектор . Да ја пресметаме неговата должина: .

Очигледно исправен поминува низ точка , потоа вектор со потекло во точката и завршуваат на една точка Ете го . Да го најдеме векторскиот производ на вектори И :
тогаш должината на овој векторски производ е .

Сега ги имаме сите податоци за да ја користиме формулата за да го пресметаме растојанието од дадена точка до дадена рамнина: .

Одговор:

Релативната положба на линиите во просторот

Треба да го одредите растојанието од точка до линија. Генерален план за решавање на проблемот:

- низ дадена точка цртаме рамнина нормална на дадена права линија;

- најдете ја точката на средба на линијата

со авион;

- определи ја природната вредност на растојанието.

Низ дадена точка цртаме рамнина нормална на правата AB. Рамнината ја дефинираме како пресечни хоризонтални и фронтални линии, чиишто проекции се конструирани според алгоритмот на перпендикуларност (инверзен проблем).

Најдете ја точката каде правата линија AB се среќава со рамнината. Ова е типичен проблем за пресекот на права со рамнина (види дел „Пресек на права со рамнина“).

Перпендикуларност на рамнините

Рамнините се меѓусебно нормални ако едната од нив содржи права нормална на другата рамнина. Затоа, за да нацртате рамнина нормална на друга рамнина, прво мора да нацртате нормална на рамнината, а потоа да ја нацртате саканата рамнина низ неа. На дијаграмот, рамнината е дефинирана со две линии кои се пресекуваат, од кои едната е нормална на рамнината ABC.

Ако рамнините се дефинирани со траги, тогаш можни се следниве случаи:

- ако се испакнати две нормални рамнини, тогаш нивните колективни траги се меѓусебно нормални;

- општата рамнина и проектираната рамнина се нормални, ако колективната трага на проектираната рамнина е нормална на истата трага од генеричката рамнина;

- ако трагите со исто име на две рамнини во општа положба се нормални, тогаш рамнините не се нормални една на друга.

Метод за замена на проектна рамнина

Просторниот распоред го трансформираме во рамномерен со ротирање на рамнините по стрелките. Добиваме три проекциски рамнини комбинирани во една рамнина.

Првиот типичен проблем на методот на замена на проекциската рамнина

Првата типична задача на методот за замена на проекциската рамнина е да се трансформира општата права прво во линија, а потоа во проектирана права линија. Овој проблем е еден од главните, бидејќи се користи при решавање на други проблеми, на пример, при определување на растојанието помеѓу паралелните и вкрстувачките линии, при одредување на диедрален агол итн.

Ја правиме замената H → H 1. Ја цртаме новата оска нормално на фронталната проекција на правата линија. Конструираме нова хоризонтална проекција на правата, за која ги исцртуваме ординатите на правата земени од претходниот систем на проекциони рамнини од новата оска. Правата линија станува хоризонтално испакната права линија и „дегенерира“ во точка.

Растојанието од точка до права е должината на нормалната нацртана од точката до правата. Во описната геометрија, таа се одредува графички користејќи го алгоритмот даден подолу.

Алгоритам

1. Правата линија се поместува во положба во која ќе биде паралелна со која било проекција рамнина. За таа цел се користат методи на трансформација на ортогонални проекции.
2. Од точка нормална е нацртана на права. Оваа конструкција се заснова на теоремата на проекцијата прав агол.
3. Должината на нормалната се одредува со трансформирање на неговите проекции или со користење на методот на правоаголен триаголник.

Следната слика покажува комплексен цртежточка М и правата b, дадена со сегментЦД. Треба да ја пронајдете растојанието меѓу нив.

Според нашиот алгоритам, првото нешто што треба да направите е да ја преместите линијата во позиција паралелна со проекциската рамнина. Важно е да се разбере дека откако ќе се извршат трансформациите, вистинското растојание помеѓу точката и линијата не треба да се менува. Затоа е погодно овде да се користи методот за замена на авион, кој не вклучува подвижни фигури во просторот.

Резултатите од првата фаза од изградбата се прикажани подолу. Сликата покажува како дополнителна фронтална рамнина P 4 се воведува паралелно со b. Во новиот систем (P 1, P 4), точките C"" 1, D"" 1, M"" 1 се на исто растојание од оската X 1 како C"", D"", M"" од оската X.

Изведувајќи го вториот дел од алгоритмот, од M"" 1 ја спуштаме нормалната M"" 1 N"" 1 на правата линија b"" 1, бидејќи правиот агол MND помеѓу b и MN е проектиран на рамнината P 4 во целосна големина. Користејќи ја комуникациската линија, ја одредуваме позицијата на точката N" и ја извршуваме проекцијата M"N" на сегментот MN.

Во последната фаза, треба да ја одредите големината на сегментот MN од неговите проекции M"N" и M"" 1 N"" 1. За ова градиме правоаголен триаголник M"" 1 N"" 1 N 0, чија крак N"" 1 N 0 е еднаква на разликата (Y M 1 – Y N 1) од растојанието на точките M" и N" од оската X 1. Должината на хипотенузата M"" 1 N 0 на триаголникот M"" 1 N"" 1 N 0 одговара на саканото растојание од M до b.

Второ решение

• Паралелно со ЦД, воведуваме нова фронтална рамнина P 4. Ја сече P 1 долж оската X 1 и X 1 ∥C"D". Во согласност со методот на замена на рамнините, ги одредуваме проекциите на точките C"" 1, D"" 1 и M"" 1, како што е прикажано на сликата.
• Нормално на C"" 1 D"" 1 градиме дополнителна хоризонтална рамнина P 5, на која права линија b е проектирана до точката C" 2 = b" 2.
• Растојанието помеѓу точката M и правата b се определува со должината на сегментот M" 2 C" 2, означен со црвено.

Слични задачи:

Државниот морски технички универзитет во Санкт Петербург

Катедра за компјутерска графика и информативна поддршка

ЛЕКЦИЈА 3

ПРАКТИЧНА ЗАДАЧА бр.3

Одредување на растојанието од точка до права линија.

Можете да го одредите растојанието помеѓу точка и права линија со изведување на следните конструкции (види слика 1):

· од точка СОспуштете ја нормалната на права линија А;

· означи точка ДОпресек на нормална со права линија;

измерете ја должината на сегментот КС, чиј почеток е дадена точка, а крајот е означената пресечна точка.

Сл.1. Растојание од точка до права.

Основата за решавање проблеми од овој тип е правилото за проекција на прав агол: прав агол се проектира без изобличување ако барем една од неговите страни е паралелна со проекциската рамнина(т.е. зазема приватна позиција). Да почнеме токму со таков случај и да разгледаме конструкции за одредување на растојанието од точка СОдо права линија АБ.

Нема тест примери во оваа задача, а опциите за завршување на поединечни задачи се дадени табела1 и табела2. Решението на проблемот е опишано подолу, а соодветните конструкции се прикажани на сл. 2.

1. Одредување на растојанието од точка до одредена права.

Прво, се конструираат проекции на точка и сегмент. Проекција A1B1паралелно со оската X. Тоа значи дека сегментот АБпаралелно со авионот P2. Ако од точка СОнацртајте нормално на АБ, тогаш правиот агол се проектира без изобличување на рамнината P2. Ова ви овозможува да нацртате нормална од точка C2до проекција A2B2.

Паѓачко мени Цртеж-сегмент (Нацртај- Линија) . Поставете го курсорот во точката C2и поправете го како прва точка од сегментот. Поместете го курсорот во насока на нормалата до сегментот A2B2и поправете ја втората точка на неа во моментот кога се појавува навестувањето Нормално (Нормално) . Означете ја конструираната точка К2. Овозможи режим ОРТО(ОРТО) , и од точка К2нацртајте вертикална линија за поврзување додека не се пресече со проекцијата А1 Б1. Означете ја пресечната точка со К1. Точка ДО, лежејќи на сегментот АБ, е пресечната точка на нормалната извлечена од точката СО, со сегмент АБ. Така, сегментот КСе потребното растојание од точката до правата.

Од конструкциите јасно се гледа дека сегментот КСзазема општа позиција и, според тоа, неговите проекции се искривени. Кога зборуваме за растојание, секогаш мислиме вистинската вредност на сегментот, изразувајќи ја растојанието. Затоа, треба да ја најдеме вистинската вредност на сегментот КС,со ротирање на одредена позиција, на пример, КС|| P1. Резултатот од конструкциите е прикажан на слика 2.

Од конструкциите прикажани на сл. 2, можеме да заклучиме: конкретната положба на правата (отсечката е паралелна P1или P2) ви овозможува брзо да изградите проекции на растојанието од точка до линија, но тие се искривени.

Сл.2. Одредување на растојанието од точка до одредена права.

2. Одредување на растојанието од точка до општа права.

Сегментот не секогаш зазема одредена позиција во почетната состојба. Со општа почетна позиција, следните конструкции се изведуваат за да се одреди растојанието од точка до права:

а) користејќи го методот на трансформација на цртање, претворете сегмент од општа позиција во одредена - ова ќе овозможи конструирање на проекции на растојание (искривени);

б) повторно користејќи го методот, претворете го сегментот што одговара на потребното растојание во одредена позиција - добиваме проекција на растојанието во големина еднаква на реалната.

Разгледајте ја низата конструкции за да го одредите растојанието од точка Ана сегмент во општа положба Сонцето(сл. 3).

На првото вртење потребно е да се добие одредената положба на сегментот ВОВ. За да го направите ова во слојот TMRтреба да ги поврзете точките НА 2, C2И А2. Користење на командата Промени-Ротирај (Измени – Ротирај) тријаголник В2С2А2ротираат околу точка C2до позицијата каде што новата проекција B2*C2ќе се наоѓа строго хоризонтално (точка СОе неподвижна и затоа нејзината нова проекција се поклопува со оригиналната и ознаката C2*И C1*може да не се прикаже на цртежот). Како резултат на тоа, ќе се добијат нови проекции на сегментот B2*C2и поени: А2*.Следно од поени A2*И НА 2*се изведуваат вертикални, а од точките ВО 1И А1хоризонтални комуникациски линии. Пресекот на соодветните линии ќе ја одреди положбата на точките на новата хоризонтална проекција: отсечката B1*C1и точки А1*.

Во добиената одредена позиција, можеме да конструираме проекции за растојание за ова: од точката А1*нормалното да B1*C1.Посочете ги меѓусебна вкрстување – К1*.Од оваа точка се повлекува вертикална линија за поврзување додека не се вкрсти со проекцијата B2*C2.Се означува точка К2*.Како резултат на тоа, беа добиени проекциите на сегментот АК, што е потребното растојание од точката Адо права линија Сонцето.

Следно, неопходно е да се конструираат проекции за растојание во почетната состојба. За да го направите ова од точка К1*погодно е да се повлече хоризонтална линија додека не се пресече со проекцијата V1S1и означете ја пресечната точка К1.Потоа се гради точка К2на фронталната проекција на сегментот и се вршат проекции А1К1И А2К2.Како резултат на конструкциите, добиени се проекции на растојанието, но и во почетната и во новата делумна положба на сегментот сонце,линиски сегмент АКзазема општа позиција, а тоа води до фактот дека сите негови проекции се искривени.

На втората ротација потребно е да се ротира сегментот АКдо одредена позиција, што ќе ни овозможи да ја одредиме вистинската вредност на растојанието - проекција А2*К2**.Резултатот од сите конструкции е прикажан на слика 3.

ЗАДАЧА бр.3-1. СОдо правата линија на одредена положба одредена од сегментот АБ. Одговорот дајте го во мм (Табела 1).Отстранете ги проекционите леќи

Табела 1

ЗАДАЧА бр.3-2.Најдете го вистинското растојание од точка Мдо права линија во општа положба дадена од отсечката ЕД. Одговорот дајте го во мм (табела 2).

табела 2

Проверка и полагање завршена ЗАДАЧА бр.3.

155*. Одредете ја природната големина на отсечка AB од права линија во општа положба (сл. 153, а).

Решение. Како што е познато, проекцијата на права линија на која било рамнина е еднаква на самиот сегмент (земајќи ја предвид скалата на цртежот), ако е паралелна со оваа рамнина

(Сл. 153, б). Оттука произлегува дека со трансформација на цртежот е потребно да се постигне паралелизам на квадратот на овој сегмент. V или квадрат H или дополнете го системот V, H со друга рамнина нормална на квадратот. V или да pl. H и во исто време паралелно со овој сегмент.

На сл. 153, c покажува воведување на дополнителна рамнина S, нормална на квадратот. H и паралелно со дадена отсечка AB.

Проекцијата a s b s е еднаква на природната вредност на отсечката AB.

На сл. 153, d покажува друга техника: сегментот AB се ротира околу права линија што минува низ точката B и е нормална на квадрат. H, до позиција паралелна

pl. V. Во овој случај, точката Б останува на место, а точката А зазема нова позиција А 1. Хоризонтот е во нова позиција. проекција a 1 b || x оска Проекцијата a" 1 b" е еднаква на природната големина на отсечката AB.

156. Со оглед на пирамидата SABCD (сл. 154). Определете ја вистинската големина на рабовите на пирамидата AS и CS, користејќи го методот на промена на проекционите рамнини, и рабовите BS и DS, користејќи го методот на ротација и земете ја оската на ротација нормална на квадратот. Х.

157*. Определете го растојанието од точката А до права линија BC (Слика 155, а).

Решение. Растојанието од точка до права се мери со нормална отсечка нацртана од точката до правата.

Ако правата линија е нормална на која било рамнина (сл. 155.6), тогаш растојанието од точката до правата линија се мери со растојанието помеѓу проекцијата на точката и точката-проекцијата на правата линија на оваа рамнина. Ако права линија зазема општа позиција во системот V, H, тогаш за да се одреди растојанието од точка до права линија со промена на проекционите рамнини, неопходно е да се воведат две дополнителни рамнини во системот V, H.

Прво (слика 155, в) влегуваме во квадрат. S, паралелно со отсечката BC (новата оска S/H е паралелна со проекцијата bc), и конструирајте ги проекциите b s c s и a s. Потоа (слика 155, г) воведуваме уште еден квадрат. T, нормална на права линија BC (новата оска T/S е нормална на b s со s). Конструираме проекции на права линија и точка - со t (b t) и a t. Растојанието помеѓу точките a t и c t (b t) е еднакво на растојанието l од точката A до права линија BC.

На сл. 155, г, истата задача се постигнува со користење на методот на ротација во неговата форма, кој се нарекува метод на паралелно движење. Прво, правата линија BC и точката А, задржувајќи ја нивната релативна положба непроменета, се ротираат околу некоја (не наведена на цртежот) права линија нормална на квадратот. H, така што правата линија BC е паралелна со квадратот. V. Ова е еквивалентно на поместување на точките A, B, C во рамнини паралелни на квадратот. H. Во исто време, хоризонтот. проекцијата на даден систем (BC + A) не се менува ниту во големина ниту во конфигурација, се менува само неговата позиција во однос на оската x. Го поставуваме хоризонтот. проекција на правата линија BC паралелна со оската x (позиција b 1 c 1) и определи ја проекцијата a 1, оставајќи настрана c 1 1 1 = c-1 и a 1 1 1 = a-1, и a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Цртајќи прави линии b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 паралелно со оската x, го наоѓаме предниот дел на нив. проекции b" 1, a" 1, c" 1. Следно, ги поместуваме точките B 1, C 1 и A 1 во рамнини паралелни со областа V (исто така без да ги менуваме релативна положба), за да се добие B 2 C 2 ⊥ pl. H. Во овој случај, проекцијата на правата линија ќе биде нормална на предната страна x,b оски 2 c" 2 = b" 1 c" 1, а за да се конструира проекцијата a" 2 треба да земете b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, нацртајте 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 и тргнете настрана a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Сега, откако поминав со 1 со 2 и 1 на 2 || x 1 добиваме проекции b 2 од 2 и a 2 и саканото растојание l од точката A до права линија BC. Растојанието од A до BC може да се определи со ротирање на рамнината дефинирана со точката A и права линија BC околу хоризонталата на оваа рамнина до положбата T || pl. H (Слика 155, ѓ).

Во рамнината дефинирана со точката A и права линија BC, нацртајте хоризонтална линија A-1 (сл. 155, g) и завртете ја точката B околу неа. Точката B се поместува на квадрат. R (наведено во цртежот до R h), нормално на A-1; во точката O се наоѓа центарот на ротација на точката B. Сега ја одредуваме природната вредност на радиусот на ротација VO (Слика 155, в). Во бараната положба, односно кога пл. Т, определен со точката А и права линија BC, ќе стане || pl. H, точката B ќе биде на Rh на растојание Ob 1 од точката O (може да има друга позиција на истата трага Rh, но од другата страна на O). Точката b 1 е хоризонтот. проекција на точката B откако ќе се премести во позиција B 1 во просторот, кога рамнината дефинирана со точката A и права линија BC ја зазеде позицијата T.

Цртеж (слика 155, з) права линија b 1 1, го добиваме хоризонтот. проекција на права линија BC, веќе лоцирана || pl. H е во иста рамнина како A. Во оваа позиција, растојанието од a до b 1 1 е еднакво на саканото растојание l. Рамнината P, во која лежат дадените елементи, може да се комбинира со квадратот. H (слика 155, j), вртење квадрат. R околу неа е хоризонтот. трага. Поместувајќи се од одредување на рамнината по точка A и права линија BC до одредување на прави линии BC и A-1 (сл. 155, l), наоѓаме траги од овие прави линии и цртаме траги P ϑ и P h низ нив. Градиме (сл. 155, м) во комбинација со плоштадот. H позиција напред. трага - P ϑ0 .

Преку точката а го исцртуваме хоризонтот. фронтална проекција; комбинираниот фронтал поминува низ точката 2 на трагата P h паралелна со P ϑ0. Точка А 0 - во комбинација со квадрат. H е позицијата на точката A. Слично, ја наоѓаме точката B 0. Директно сонце во комбинација со квадрат. Положбата H минува низ точката B 0 и точката m (хоризонтална трага на права линија).

Растојанието од точката A 0 до права линија B 0 C 0 е еднакво на потребното растојание l.

Посочената конструкција можете да ја извршите со наоѓање само една трага од P h (слика 155, n и o). Целата конструкција е слична на ротација околу хоризонтала (види слика 155, g, c, i): трагата P h е една од хоризонталните pl. Р.

Од методите дадени за решавање на овој проблем, претпочитан метод за трансформирање на цртежот е методот на ротација околу хоризонталната или фронталната.

158. Дадена е пирамидата SABC (сл. 156). Одредете ги растојанија:

а) од врвот B на основата до неговата страна AC со методот на паралелно движење;

б) од врвот S на пирамидата до страните BC и AB на основата со ротирање околу хоризонталата;

в) од врвот S до страната AC на основата со менување на проекционите рамнини.

159. Дадена е призма (сл. 157). Одредете ги растојанија:

а) помеѓу ребрата AD и CF со промена на проекционите рамнини;

б) помеѓу ребрата BE и CF со ротација околу фронталот;

в) помеѓу рабовите AD и BE со паралелно движење.

160. Определи ја вистинската големина на четириаголникот ABCD (сл. 158) со порамнување со квадратот. N. Користете ја само хоризонталната трага на рамнината.

161*. Определете го растојанието помеѓу вкрстувачките прави линии AB и CD (сл. 159, а) и конструирајте проекции на заедничката нормална на нив.

Решение. Растојанието помеѓу линиите на вкрстување се мери со отсечка (MN) нормална на двете линии (сл. 159, б). Очигледно, ако една од правите линии е поставена нормално на кој било квадрат. Т, тогаш

отсечката MN нормална на двете прави ќе биде паралелна на квадратот. Неговата проекција на оваа рамнина ќе го прикаже потребното растојание. Проекција на правиот агол на менадата MN n AB на квадратот. T, исто така, излегува дека е прав агол помеѓу m t n t и a t b t, бидејќи една од страните на правиот агол е AMN, имено MN. паралелно со плоштадот Т.

На сл. 159, c и d, потребното растојание l се одредува со методот на промена на проекционите рамнини. Прво воведуваме дополнителен квадрат. проекции S, нормално на квадратот. H и паралелно со права линија ЦД (сл. 159, в). Потоа воведуваме уште еден дополнителен квадрат. Т, нормално на квадрат. S и нормално на истата права линија ЦД (Слика 159, г). Сега можете да конструирате проекција на општата нормална со цртање m t n t од точката c t (d t) нормална на проекцијата a t b t. Точките m t и n t се проекции на точките на пресек на оваа нормална со прави AB и CD. Користејќи ја точката m t (слика 159, e) наоѓаме m s на a s b s: проекцијата на m s n s треба да биде паралелна со оската T/S. Следно, од m s и n s наоѓаме m и n на ab и cd, а од нив m" и n" на a"b" и c"d".

На сл. 159, c го прикажува решението на овој проблем користејќи го методот на паралелни движења. Прво ја поставуваме правата ЦД паралелно со квадратот. V: проекција c 1 d 1 || X. Следно, ги поместуваме правите ЦД и AB од позициите C 1 D 1 и A 1 B 1 до позициите C 2 B 2 и A 2 B 2 така што C 2 D 2 е нормална на H: проекција c" 2 d" 2 ⊥ x. Отсечката на потребната нормална се наоѓа || pl. H, и затоа m 2 n 2 го изразува саканото растојание l помеѓу AB и CD. Ја наоѓаме позицијата на проекциите m" 2 и n" 2 на a" 2 b" 2 и c" 2 d" 2, потоа проекциите m 1 и m" 1, n 1 и n" 1, на крајот, проекции m" и n ", m и n.

162. Дадена е пирамидата SABC (сл. 160). Определете го растојанието помеѓу работ SB и страната AC на основата на пирамидата и конструирајте проекции на заедничка нормална на SB и AC, користејќи го методот на промена на проекционите рамнини.

163. Дадена е пирамидата SABC (сл. 161). Определете го растојанието помеѓу работ SH и страната BC на основата на пирамидата и конструирајте проекции на заедничката нормална на SX и BC користејќи го методот на паралелно поместување.

164*. Определи го растојанието од точката А до рамнината во случаи кога рамнината е специфицирана со: а) триаголник BCD (сл. 162, а); б) траги (Слика 162, б).

Решение. Како што знаете, растојанието од точка до рамнина се мери со вредноста на нормалната извлечена од точката до рамнината. Ова растојание е проектирано на која било област. проекции во целосна големина, ако оваа рамнина е нормална на квадратот. проекции (сл. 162, в). Оваа ситуација може да се постигне со трансформирање на цртежот, на пример, со промена на областа. проекции. Да воведеме pl. S (слика 16в, г), нормално на квадратот. триаголник BCD. За да го направите ова, ние трошиме на плоштадот. триаголник хоризонтален B-1 и поставете ја проекционата оска S нормално на проекцијата b-1 хоризонтално. Конструираме проекции на точка и рамнина - а и отсечка c s d s. Растојанието од a s до c s d s е еднакво на саканото растојание l од точката до рамнината.

до Рио. 162, г се користи методот на паралелно движење. Го поместуваме целиот систем додека хоризонталната рамнина B-1 не стане нормална на рамнината V: проекцијата b 1 1 1 треба да биде нормална на оската x. Во оваа позиција, рамнината на триаголникот ќе стане фронтално испакната, а растојанието l од точката А до него ќе биде pl. V без изобличување.

На сл. 162, b рамнината е дефинирана со траги. Воведуваме (слика 162, д) дополнителен квадрат. S, нормално на квадрат. P: S/H оската е нормална на P h. Останатото е јасно од цртежот. На сл. 162, g проблемот е решен со едно движење: pl. P оди во позиција P 1, т.е. станува напред-проекција. Песна. P 1h е нормално на оската x. Ние го градиме предниот дел во оваа позиција на авионот. хоризонталната трага е точката n" 1,n 1. Трагата P 1ϑ ќе помине низ P 1x и n 1. Растојанието од a" 1 до P 1ϑ е еднакво на потребното растојание l.

165. Дадена е пирамидата SABC (види Сл. 160). Одреди го растојанието од точката А до работ на пирамидата SBC користејќи го методот на паралелно движење.

166. Дадена е пирамидата SABC (види Сл. 161). Одредете ја висината на пирамидата користејќи го методот на паралелно поместување.

167*. Одредете го растојанието помеѓу линиите на вкрстување AB и CD (види слика 159,а) како растојание помеѓу паралелните рамнини повлечени низ овие линии.

Решение. На сл. 163, а рамнините P и Q се паралелни една со друга, од кои pl. Q е повлечен преку CD паралелно со AB, и pl. P - преку AB паралелно со квадрат. П. Растојанието помеѓу таквите рамнини се смета за растојание помеѓу вкрстувањето на права линии AB и CD. Сепак, можете да се ограничите на конструирање само една рамнина, на пример Q, паралелна со AB, а потоа да го одредите растојанието барем од точката А до оваа рамнина.

На сл. 163, c ја прикажува рамнината Q нацртана низ CD паралелна со AB; во проекции извршени со „е“ || a"b" и ce || ab. Користејќи го методот на промена на pl. проекции (слика 163, в), воведуваме дополнителен квадрат. S, нормално на квадрат. V и во исто време

нормално на квадратот П. За да ја нацртате S/V оската, земете го фронталниот D-1 во оваа рамнина. Сега цртаме S/V нормално на d"1" (Слика 163, в). Pl. П ќе биде прикажан на плоштадот. S како права линија со s d s. Останатото е јасно од цртежот.

168. Дадена е пирамидата SABC (види Сл. 160). Одреди го растојанието помеѓу ребрата SC и AB Примени: 1) метод за промена на површината. проекции, 2) метод на паралелно движење.

169*. Определете го растојанието помеѓу паралелните рамнини, од кои едната е дефинирана со прави линии AB и AC, а другата со прави линии DE и DF (Слика 164, а). Изведете и конструкција за случајот кога рамнините се специфицирани со траги (сл. 164, б).

Решение. Растојанието (слика 164, в) помеѓу паралелните рамнини може да се одреди со цртање на нормална од која било точка на една рамнина до друга рамнина. На сл. 164, g беше воведен дополнителен квадрат. S нормално на квадрат. H и на двете дадени рамнини. Оската S.H е нормална на хоризонталата. хоризонтална проекција нацртана во една од рамнините. Конструираме проекција на оваа рамнина и точка во друга рамнина на плоштадот. 5. Растојанието на точката d s до права линија l s a s е еднакво на потребното растојание помеѓу паралелните рамнини.

На сл. 164, г е дадена друга конструкција (според методот на паралелно движење). Со цел рамнината изразена со линиите што се пресекуваат AB и AC да биде нормална на квадратот. V, хоризонт. Ја поставуваме хоризонталната проекција на оваа рамнина нормална на оската x: 1 1 2 1 ⊥ x. Растојание помеѓу предниот дел проекција d" 1 од точка D и права линија a" 1 2" 1 (предна проекција на рамнината) е еднаква на потребното растојание помеѓу рамнините.

На сл. 164, e покажува воведување на дополнителен квадрат. S, нормално на областа H и на дадените рамнини P и Q (оската S/H е нормална на трагите P h и Q h). Градиме траги од P s и Q s. Растојанието меѓу нив (види слика 164, в) е еднакво на саканото растојание l помеѓу рамнините P и Q.

На сл. 164, g го покажува движењето на рамнините P 1 n Q 1, до положбата P 1 и Q 1, кога хоризонтот. трагите се нормални на х-оската. Растојание меѓу новите фронтови. трагите P 1ϑ и Q 1ϑ се еднакви на потребното растојание l.

170. Со оглед на паралелепипедот ABCDEFGH (сл. 165). Определи ги растојанијата: а) помеѓу основите на паралелепипедот - l 1; б) помеѓу лицата ABFE и DCGH - l 2; в) помеѓу лицата на ADHE и BCGF-l 3.