Во случаите кога дијаграмот Мz 1 (или Мz) е ограничена на прави линии. Во суштина, ова е техника за графичко аналитичко пресметување на дефинитивен интеграл од производот на две функции ѓ(x) И φ (x), од кои еден, на пример φ (x), линеарна, односно има форма
Да разгледаме дел од зрак во кој дијаграмот на моментите на свиткување од единица оптоварување е ограничен на една права линија Мz 1 = kx+ б, а моментот на свиткување од дадено оптоварување се менува според некој произволен закон Мz. Потоа во оваа област
Вториот интеграл ја претставува областа ω дијаграми Мzво областа што се разгледува, а првиот е статичкиот момент на оваа област во однос на оската yи затоа еднаков на производот од плоштина ω до координатата на неговиот центар на гравитација xв. Така,
.
Еве kxв+ б- ординати yвдијаграми Мz 1 под центарот на гравитација на областа ω . Оттука,
|
|
.Работа ω yвќе биде позитивно кога ω И yвлоцирани на едната страна од оската на дијаграмот, а негативни ако се на спротивните страни на оваа оска.
Значи, според Методот на Верешчагиноперацијата за интеграција се заменува со множење на површина ω една парцела по ордината yввтор (нужно линеарен) дијаграм земен под центарот на гравитација на областа ω .
Важно е секогаш да се запамети дека таквото „множење“ на дијаграмите е можно само во областа ограничена со една права линија на дијаграмот од која е земена ординатата. yв. Затоа, при пресметување на поместувањата на пресеците на гредата со помош на методот Верешчагин, интегралот Мор по целата должина на гредата мора да се замени со збирот на интегралите на деловите во кои дијаграмот на моменти од единица оптоварување нема превиткувања. Потоа
|
|
.За успешно да се примени методот на Верешчагин, неопходно е да се имаат формули со кои може да се пресметаат областите ω и координати xвнивните центри на гравитација. Дадени во табелата. Податоците 8.1 одговараат само на наједноставните случаи на оптоварување со сноп. Сепак, посложените дијаграми на моменти на свиткување може да се поделат на едноставни фигури, области ω јаси координати yцикои се познати, а потоа пронајдете ја работата ω yвза таков сложен дијаграм со собирање на производите на области ω јаснеговите делови до нивните соодветни координати yци. Ова се објаснува со фактот дека разложувањето на дијаграмот што може да се множи на делови е еквивалентно на претставувањето на функцијата Мz(x) во интегралот (8.46) како збир на интеграли. Во некои случаи, изградбата на слоевити дијаграми, т.е., од секоја од надворешните сили и парови одделно, ги поедноставува пресметките.
Ако двата дијаграми МzИ Мz 1 линеарно, конечниот резултат од нивното множење не зависи од тоа дали областа на првиот дијаграм се множи со ординатата на втората или, обратно, површината на втората со ординатата на првата.
За практично да ги пресметате поместувањата користејќи го методот на Верешчагин, треба:
1) конструира дијаграм на моменти на свиткување од дадено оптоварување (главен дијаграм);
3) конструира дијаграм на моменти на свиткување од единица оптоварување (единичен дијаграм);
4) поделете ги дијаграмите на дадените оптоварувања во посебни области ω јаси пресметај ги ординатите yCiединствен дијаграм под центрите на гравитација на овие области;
5) состави дело ω јасyCiи сумирајте ги.
Табела 8.1.
| Тип на дијаграм Мz | Плоштад ω | Координати на центарот на гравитација xв |
 |
||
 |
||
 |
||
 |
||
 |
||
(*) - Овие формули не се валидни за овој случај на вчитување  |
||
ЕЕ „БСУИР“
Катедра за инженерска графика
АПСТРАКТ
на тема:
„ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ПОМЕСТУВАЊА СО МЕТОДОТ НА МОР. ПРАВИЛО НА ВЕРЕШЧАГИН“
МИНСК, 2008 година
Сега да разгледаме општ метод за одредување поместувања, погоден за секој линеарно деформабилен систем под какво било оптоварување. Овој метод беше предложен од извонредниот германски научник О. Мор.
Нека, на пример, сакате да го одредите вертикалното поместување на точката А на зракот прикажан на сл. 7.13, а. Дадената (оптоварување) состојба ја означуваме со буквата к Да избереме помошна состојба на истиот сноп со единица
сила која дејствува во точката А и во насока на саканото поместување. Помошната состојба ја означуваме со буквата i (сл. 7.13,6).
Да ја пресметаме работата на надворешните и внатрешните сили на помошната состојба на поместувањата предизвикани од дејството на силите на состојбата на оптоварување.
Работата на надворешните сили ќе биде еднаква на производот на единица сила и посакуваното поместување ya
а работата на внатрешните сили во апсолутна вредност е еднаква на интегралот
(1)
Формулата (7.33) е формулата на Мор (Моров интеграл), која овозможува да се одреди поместувањето во која било точка на линеарно деформабилен систем.
Во оваа формула, интеграндот на MiMk е позитивен ако двата моменти на свиткување имаат ист знак, а негативен ако Mi и Mk имаат различни знаци.
Ако го одредиме аголното поместување во точката А, тогаш во состојба i ќе треба да примениме момент еднаков на еден (без димензија) во точката А.
Означувајќи го со буквата Δ секое движење (линеарно или аголно), ја пишуваме формулата на Мор (интегрална) во форма
(2)
Во општиот случај, аналитичкиот израз Mi и Mk може да се разликуваат во различни делови на гредата или на еластичниот систем воопшто. Затоа, наместо формулата (2), треба да се користи поопштата формула
(3)
Ако прачките на системот не работат во свиткување, туку во напнатост (компресија), како, на пример, во фармите, тогаш формулата на Мор ја има формата
(4)
Во оваа формула, производот NiNK е позитивен ако двете сили се затегнувачки или и двете се компресивни. Ако шипките истовремено работат во свиткување и напнатост (компресија), тогаш во обични случаи, како што покажуваат компаративните пресметки, поместувањата може да се одредат земајќи ги предвид само моментите на свиткување, бидејќи влијанието на надолжните сили е многу мало.
Од истите причини, како што беше забележано претходно, во обични случаи влијанието на силите на смолкнување може да се игнорира.
Наместо директно да го пресметувате интегралот Мор, можете да ја користите графоаналитичката техника „метод на множење дијаграми“ или правилото на Верешчагин.
Да разгледаме два дијаграми на моменти на свиткување, од кои едниот Mk има произволен преглед, а другиот Mi е праволиниски (Слика 7.14, а и б).
(5)
Вредноста MKdz е елементарната површина dωk на дијаграмот Mk (засенчена на сликата). Така,
(6)
оттука,
(8)
Но, го претставува статичкиот момент на површината на дијаграмот Mk во однос на некоја оска y што минува низ точката O, еднаква на ωkzc, каде што ωk е плоштината на дијаграмот на моментот; zc е растојанието од y-оската до центарот на гравитација на дијаграмот Mk. Од цртежот е јасно дека
каде Msi е ординатата на дијаграмот Mi, сместен под тежиштето на дијаграмот Mk (под точката C). Оттука,
(10)
т.е., потребниот интеграл е еднаков на производот на плоштината на дијаграмот Mk (која било форма) според ординатата на праволинискиот дијаграм Msi кој се наоѓа под неговиот центар на гравитација. Вредноста на ωкМсi се смета за позитивна ако двата дијаграми се наоѓаат на иста страна на шипката, а негативна ако се наоѓаат на различни страни. Позитивен резултат од множење на дијаграмите значи дека насоката на движење се совпаѓа со насоката на единицата сила (или момент).
Мора да се запомни дека ординатата Msi мора да се земе во праволиниски дијаграм. Во конкретниот случај кога двата дијаграми се праволиниски, можете да ја помножите површината на која било од нив со соодветната ордината на другата.
За шипки со променлив пресек, правилото на Верешчагин за множење дијаграми не е применливо, бидејќи во овој случај повеќе не е можно да се отстрани вредноста EJ од под интегралниот знак. Во овој случај, EJ треба да се изрази како функција на апсцисата на пресекот и потоа да се пресмета Mohr интегралот (1).
При промена на цврстината на шипката постепено, се врши интеграција (или множење на дијаграмите) за секој дел посебно (со сопствена EJ вредност) и потоа се сумираат резултатите.
Во табелата 1 ги прикажува областите на некои едноставни дијаграми и координатите на нивниот центар на гравитација.
Табела 1
| Тип на дијаграм | Областа на дијаграмот | Растојание до центарот на гравитација |
|
||
|
||
|
||
|
За да ги забрзате пресметките, можете да користите готови табели за множење дијаграми (Табела 2).
Во оваа табела, во ќелиите на пресекот на соодветните елементарни дијаграми, се дадени резултатите од множењето на овие дијаграми.
При разложување на комплексен дијаграм на елементарни, прикажани во табела. 1 и 7.2, треба да се има предвид дека параболичните дијаграми се добиени од дејството на само еден распределен товар.
Во случаи кога во сложен дијаграм, заоблените пресеци се добиваат од истовремено дејство на концентрирани моменти, сили и рамномерно распределено оптоварување, за да се избегнат грешки, сложениот дијаграм прво треба да се „слое“, т.е. независни дијаграми: од дејство на концентрирани моменти, сили и од дејство на рамномерно распореден товар.
Може да користите и друга техника која не бара стратификација на дијаграмите, туку бара само избор на криволинеарниот дел од дијаграмот долж акордот што ги поврзува неговите екстремни точки.
Ќе ги демонстрираме двата методи со конкретен пример.
Нека, на пример, сакате да го одредите вертикалното поместување на левиот крај на зракот (сл. 7.15).
Вкупниот дијаграм на оптоварувањето е претставен на сл. 7.15, а.
Табела 7.2
|
|
|
|
||||||
 |
 |
||||||||
 |
 |
 |
|||||||
 |
 |
 |
|||||||
 |
 |
 |
 |
 |
|||||
|
 |
 |
 |
||||||
|
|
 |
 |
||||||
 |
 |
 |
|||||||
|
 |
 |
|||||||
Дијаграмот на дејството на единица сила во точката А е прикажан на сл. 7.15 часот, град
За да се одреди вертикалното поместување во точката А, потребно е да се помножи дијаграмот на оптоварување со дијаграмот на единечната сила. Сепак, забележуваме дека во делот BC од вкупниот дијаграм, кривилинеарниот дијаграм се добива не само од дејството на рамномерно распределено оптоварување, туку и од дејството на концентрирана сила P. Како резултат на тоа, во делот BC постои повеќе нема да биде елементарен параболичен дијаграм даден во табелите 7.1 и 7.2, туку според суштински комплексен дијаграм за кој податоците во овие табели се невалидни.
Затоа, неопходно е да се раслојува сложениот дијаграм според Сл. 7.15, и на елементарните дијаграми прикажани на сл. 7.15, б и 7.15, в.
Дијаграм според сл. 7.15, b е добиен само од концентрирана сила, дијаграм според сл. 7.15, в - само од дејството на рамномерно распоредено оптоварување.
Сега можете да ги множите дијаграмите користејќи ја табелата. 1 или 2.
За да го направите ова, треба да го помножите триаголниот дијаграм според Сл. 7.15, b на триаголниот дијаграм според сл. 7.15, d и на ова додадете го резултатот од множење на параболичниот дијаграм на сл. 7.15, во трапезоидниот дијаграм на пресекот BC според Сл. 7.15, d, бидејќи во делот AB се поставени ординатите на дијаграмот според сл. 7.15, во се еднакви на нула.
Сега да го прикажеме вториот метод на множење дијаграми. Ајде повторно да го погледнеме дијаграмот на сл. 7.15, а. Да го земеме потеклото на референцата во делот Б. Покажуваме дека во границите на кривата LMN, моментите на свиткување можат да се добијат како алгебарска сума на моментите на свиткување што одговараат на правата линија LN и моментите на свиткување на параболичниот дијаграм LNML, исто како и за едноставен сноп со должина a, натоварен со рамномерно распределено оптоварување q:
Најголемата ордината во средината ќе биде еднаква на .
За да го докажеме ова, да го напишеме вистинскиот израз за моментот на свиткување во делот на растојание z од точката B
(А)
Сега да го напишеме изразот за моментот на свиткување во истиот дел, добиен како алгебарски збир на ординатите на правата линија LN и параболата LNML.
Равенка на правата LN
каде k е тангента на аголот на наклонетост на оваа права
Следствено, равенката на моменти на свиткување добиена како алгебарски збир на равенката на права линија LN и параболата LNMN има форма
што се совпаѓа со изразот (А).
Кога множите дијаграми според правилото на Верешчагин, треба да го помножите трапезот BLNC со трапезот од единечниот дијаграм во делот BC (види слика 7.15, г) и да го одземете резултатот од множењето на параболичниот дијаграм LNML (област ) со истиот трапез од единечниот дијаграм. Овој метод на раслојување дијаграми е особено корисен кога закривениот дел од дијаграмот се наоѓа во еден од средните делови на зракот.
Пример 7.7. Определете ги вертикалните и аголните поместувања на конзолниот зрак на местото каде што се нанесува товарот (сл. 7.16).
Решение. Конструираме дијаграм на моменти на свиткување за состојбата на оптоварување (сл. 7.16, а).
За да го одредиме вертикалното поместување, ја избираме помошната состојба на гредата со единица сила на местото на примена на товарот.
Од оваа сила конструираме дијаграм на моменти на свиткување (сл. 7.16, б). Одредување вертикално поместување со методот на Мор
Вредност на моментот на свиткување поради оптоварување
Вредноста на моментот на свиткување од единица сила
Ги заменуваме овие вредности на МР и Mi под интегрален знак и интегрираме
Истиот резултат беше претходно добиен со различен метод.
Позитивната вредност на отклон покажува дека точката на примена на оптоварувањето P се движи надолу (во насока на единицата сила). Ако насочиме единица сила од дното кон врвот, ќе имаме Mi = 1z и како резултат на интеграцијата ќе добиеме отклон со знак минус. Знакот минус би означувал дека движењето не е нагоре, туку надолу, како што е во реалноста.
Сега да го пресметаме интегралот Мор со множење на дијаграмите според правилото на Верешчагин.
Бидејќи и двата дијаграми се праволиниски, не е важно од кој дијаграм да се земе плоштината и од која да се земе ординатата.
Областа на дијаграмот на оптоварување е еднаква на
Тежиштето на овој дијаграм се наоѓа на растојание од 1/3l од вградувањето. Ја одредуваме ординатата на дијаграмот на моменти од единица сила, сместена под
центар на гравитација на дијаграмот на оптоварување. Лесно е да се потврди дека е еднаква на 1/3l.
Оттука.
Истиот резултат се добива од табелата со интеграли. Резултатот од множењето на дијаграмите е позитивен, бидејќи и двата дијаграми се наоѓаат на дното на шипката. Следствено, точката на примена на оптоварувањето се поместува надолу, т.е. по прифатената насока на единицата сила.
За да го одредиме аголното поместување (агол на вртење), избираме помошна состојба на зракот во која на крајот на зракот дејствува концентриран момент еднаков на единство.
Конструираме дијаграм на моменти на свиткување за овој случај (сл. 7.16, в). Аголното поместување го одредуваме со множење на дијаграмите. Областа на дијаграмот за оптоварување
Ординатите на дијаграмот од еден момент се насекаде еднакви на единство Затоа, саканиот агол на ротација на пресекот е еднаков на
Бидејќи двата дијаграми се наоѓаат подолу, резултатот од множењето на дијаграмите е позитивен. Така, крајниот дел на зракот се ротира во насока на стрелките на часовникот (во насока на единечниот момент).
Пример: Користејќи го методот Мор-Верешчагин, определете го отклонот во точката D за зракот прикажан на сл. 7.17..
Решение. Градиме слоевит дијаграм на моменти од товарот, односно градиме посебни дијаграми од дејството на секое оптоварување. Во овој случај, за погодност за множење на дијаграми, препорачливо е да се конструираат стратифицирани (елементарни) дијаграми во однос на делот, чие отклонување се одредува во овој случај во однос на делот Д.
На сл. 7.17, a покажува дијаграм на моменти на свиткување од реакцијата А (дел AD) и од оптоварувањето P = 4 T (дел DC). Дијаграмите се изградени на компресирани влакна.
На сл. 7.17, b прикажува дијаграми на моменти од реакцијата B (дел BD), од левата рамномерно распоредена оптоварување (дел AD) и од рамномерно распореденото оптоварување што дејствува на делот BC. Овој дијаграм е прикажан на сл. 7.17, b во областа DC подолу.
Следно, ја избираме помошната состојба на зракот, за која применуваме единица сила во точката D, каде што се одредува отклонот (сл. 7.17, в). Дијаграмот на моменти од единица сила е прикажан на сл. 7.17, г Сега да ги помножиме дијаграмите од 1 до 7 со дијаграмите 8 и 9, користејќи табели за множење на дијаграмите, земајќи ги предвид знаците.
Во овој случај, дијаграмите лоцирани на едната страна од зракот се множат со знакот плус, а дијаграмите лоцирани на спротивните страни на зракот се множат со знакот минус.
При множење на дијаграмот 1 и дијаграмот 8 добиваме
Со множење на парцелата 5 со парцела 8, добиваме
Со множење на дијаграмите 2 и 9 се добиваат
Помножете ги дијаграмите 4 и 9
Помножете ги графиконите 6 и 9
Сумирајќи ги резултатите од множењето дијаграми, добиваме
Знакот минус покажува дека точката D не се движи надолу, бидејќи единицата сила е насочена, туку нагоре.
Истиот резултат беше добиен порано користејќи ја универзалната равенка.
Се разбира, во овој пример, беше можно да се стратифицира дијаграмот само во делот AD, бидејќи во делот DB вкупниот дијаграм е праволиниски и нема потреба да се стратифицира. Во делот BC, раслојување не е потребно, бидејќи од единица сила во овој дел дијаграмот е еднаков на нула. Стратификацијата на дијаграмот во делот BC е неопходна за да се одреди отклонот во точката В.
Пример. Определете ги вертикалните, хоризонталните и аголните поместувања на делот А од скршената прачка прикажана на сл. 7.18, а. Вкочанетоста на напречниот пресек на вертикалниот пресек на шипката е EJ1, цврстината на напречниот пресек на хоризонталниот пресек е EJ2;
Решение. Конструираме дијаграм на моменти на свиткување поради оптоварување. Тоа е прикажано на сл. 7.18, б (види пример 6.9). За да го одредиме вертикалното поместување на делот А, ја избираме помошната состојба на системот прикажана на сл. 7.18, в. Во точката А, се применува единица вертикална сила, насочена надолу.
Дијаграмот на моментите на свиткување за оваа состојба е прикажан на сл. 7.18, в.
Вертикалното поместување го одредуваме со методот на Мор, користејќи го методот на множење дијаграми. Бидејќи нема дијаграм М1 на вертикалната прачка во помошна состојба, ние множиме само дијаграми поврзани со хоризонталната прачка. Ја земаме областа на дијаграмот од состојбата на оптоварување, а ординатата од помошната состојба. Вертикалното поместување е
Бидејќи двата дијаграми се наоѓаат подолу, резултатот од множењето го земаме со знак плус. Следствено, точката А се движи надолу, т.е. во насока на единицата вертикална сила.
За да го одредиме хоризонталното движење на точката А, избираме помошна состојба со хоризонтална единица сила насочена налево (сл. 7.18, г). Таму е претставен моменталниот дијаграм за овој случај.
Ги множиме MP и M2 дијаграмите и добиваме
Резултатот од множењето на дијаграмите е позитивен, бидејќи множените дијаграми се наоѓаат на истата страна на шипките.
За да го одредиме аголното поместување, ја избираме помошната состојба на системот според сл. 7.18.5 и конструирај дијаграм на моменти на свиткување за оваа состојба (на истата слика). Ги множиме дијаграмите MP и M3:
Резултатот од множењето е позитивен, бидејќи помножените дијаграми се наоѓаат на едната страна.
Следствено, делот А се ротира во насока на стрелките на часовникот
Истите резултати ќе се добијат со користење на табели
множење дијаграми.
Погледот на деформираната прачка е прикажан на сл. 7.18, e, додека поместувањата се значително зголемени.
ЛИТЕРАТУРА
Феодосиев В.И. Јачина на материјалите. 1986 година
Бељаев Н.М. Јачина на материјалите. 1976 година
Красковски Е.Ја., Дружинин Ју.А., Филатова Е.М. Пресметка и дизајн на механизми на инструменти и компјутерски системи. 1991 година
Работнов Ју.Н. Механика на деформабилни цврсти материи. 1988 година
Степин П.А. Јачина на материјалите. 1990 година
Предавање 13 (продолжение). Примери на решенија за пресметување поместувања со помош на методот Мор-Верешчагин и проблеми за независно решение
Дефинирање на поместувања во греди
Пример 1.
Определи го движењето на точка ДОгреди (види слика) користејќи го интегралот Мор.
Решение.
1) Составуваме равенка за моментот на свиткување од надворешна сила М Ф .
2) Аплицирајте во точката ДОединица сила Ф = 1.
3) Ја запишуваме равенката на моментот на свиткување од единица сила.
4) Определете движења
Пример 2.
Определи го движењето на точка ДОгреди според методот на Верешчагин.
Решение.
1) Градиме карго дијаграм.
2) Применуваме единица сила во точката К.
3) Градиме единствен дијаграм.
4) Определете го отклонувањето
Пример 3.
Определете ги аглите на вртење на потпорите АИ ВО
Решение.
Ние конструираме дијаграми од дадено оптоварување и од поединечни моменти применети во делови АИ ВО(види слика). Потребните поместувања ги одредуваме со помош на Mohr интеграли
,
, што го пресметуваме користејќи го правилото на Верешчагин.
Наоѓање на параметрите на заплетот
В 1 = 2/3, В 2 = 1/3,
а потоа аглите на ротација на потпорите АИ ВО
Пример 4.
Одреди го аголот на вртење на пресекот СОза даден зрак (види слика).
Решение.
Одредување реакции на поддршка Р А =Р Б ,
, , Р А = Р Б = ка.
Ние конструираме дијаграми на моментот на свиткување од дадено оптоварување и од еден момент применет во делот СО, каде што се бара аголот на ротација. Го пресметуваме интегралот Мор користејќи го правилото на Верешчагин. Наоѓање на параметрите на заплетот 
В 2 =
-В 1 =
-1/4,
а по нив посакуваното движење
Пример 5.
Определете го отклонувањето во делот СОза даден зрак (види слика).
Решение.
Дијаграм М Ф(сл. б)
Реакции за поддршка:
БИДИ: , ,
, Р Б + Р Е = Ф, Р Е = 0;
АБ: , Р А = Р ВО = Ф; , .
Ние пресметуваме моменти во карактеристични точки, М Б = 0, М В = Фаи да се изгради дијаграм на моментот на свиткување од дадено оптоварување.
Дијаграм(сл. в).
Во пресек СО, каде што се бара отклон, применуваме единица сила и од неа конструираме дијаграм на момент на свиткување, прво пресметувајќи ги реакциите на потпора БИДИ - , , = 2/3; , , = 1/3, а потоа моменти во карактеристични точки , , .
2. Определување на саканото отклонување. Ајде да го користиме правилото на Верешчагин и прво да ги пресметаме параметрите на дијаграмите и:
,
Отклонување на пресекот СО
Пример 6.
Определете го отклонувањето во делот СОза даден зрак (види слика).
Решение.
СО.Користејќи го правилото на Верешчагин, ги пресметуваме параметрите на дијаграмите 
,
и пронајдете го саканото отклонување
Пример 7.
Определете го отклонувањето во делот СОза даден зрак (види слика).
Решение.
1. Конструирање дијаграми на моменти на свиткување.
Реакции за поддршка:
, , Р А = 2ка,
, Р А + Р Д = 3ка, Р Д = ка.
Конструираме дијаграми на моменти на свиткување од дадено оптоварување и од единица сила применета во точка СО.
2. Одредување на движења. За да го пресметаме интегралот Мор, ја користиме формулата на Симпсон, секвенцијално применувајќи ја на секој од трите делови на кои е поделен зракот.
ЗаплетАБ :
ЗаплетСонцето :
ЗаплетСО Д :
Потребно движење
Пример 8.
Определете го отклонувањето на пресекот Аи агол на ротација на делот Еза даден зрак (Сл. А).
Решение.
1. Конструирање дијаграми на моменти на свиткување.
Дијаграм М Ф(ориз. В). Откако ги утврдија реакциите за поддршка
, , Р Б = 19ка/8,
, Р Д = 13ка/8, градиме дијаграми на попречна сила Пи момент на свиткување М Фод дадено оптоварување.
Дијаграм(сл. г). Во пресек А, каде што се бара отклон, применуваме единица сила и од неа конструираме дијаграм на момент на свиткување.
Дијаграм(сл. д). Овој дијаграм е конструиран од еден момент применет во делот Е, каде што се бара аголот на ротација.
2. Одредување на движења. Отклонување на пресекот Анаоѓаме користење на правилото на Верешчагин. Епур М Фна локациите СонцетоИ ЦДГо разложуваме на едноставни делови (сл. г). Ви ги претставуваме потребните пресметки во форма на табела.
|
-ка 3 /6 |
2ка 3 /3 |
-ка 3 /2 |
-ка 3 /2 |
|||||
|
В јас |
||||||||
|
-ка 4 /2 |
5ка 4 /12 |
-ка 4 /6 |
-ка 4 /12 |
-ка 4 /24 |
Добиваме.
Знакот минус во резултатот значи дека точката Ане се движи надолу, како што била насочена единицата сила, туку нагоре.
Агол на ротација на делот Енаоѓаме на два начина: со правилото на Верешчагин и со формулата на Симпсон.
Според правилото на Верешчагин, множење на дијаграмите М Фи по аналогија со претходната добиваме
,
За да го пронајдеме аголот на ротација користејќи ја формулата на Симпсон, ги пресметуваме прелиминарните моменти на свиткување во средината на пресеците:
Потребното поместување, зголемено за ЕИ xеднаш,
Пример 9.
Определи на која вредност на коефициентот котклонување на пресекот СОќе биде еднаква на нула. Кога ќе се најде вредноста кконструирајте дијаграм на моментот на свиткување и прикажете приближен поглед на еластичната линија на зракот (види слика).
Решение.
Ние конструираме дијаграми на моменти на свиткување од дадено оптоварување и од единица сила применета во пресекот СО, каде што се бара отклонувањето.
Според условите на проблемот В В= 0. Од друга страна, . Интегрален на заплетот АБпресметуваме користејќи ја формулата на Симпсон и во делот Сонцето- според правилото на Верешчагин.
Ние наоѓаме однапред
Преместување на дел СО 
,
Од тука 
, .
Кога ќе се најде вредноста кда се определи вредноста на реакцијата на поддршка во точката А: , , , од каде ја наоѓаме положбата на екстремната точка на дијаграмот Мспоред состојбата 
.
Врз основа на моменталните вредности на карактеристичните точки
Изградуваме дијаграм на моментот на свиткување (сл. г).
Пример 10.
ВОконзолен зрак прикажан на сликата.
Решение.
Мод дејство на надворешна концентрирана сила Ф: М ВО = 0, М А = –Ф 2л(линеарна парцела).
Според условите на проблемот, потребно е да се одреди вертикалното поместување на ВОпоени ВОконзолен сноп, затоа градиме единичен дијаграм од дејство на вертикална единица сила Ф јас = 1 се применува во точката ВО.
Имајќи предвид дека конзолниот сноп се состои од два дела со различни ригидности на свиткување, дијаграми и МНие се множиме користејќи го правилото на Верешчагин по делови одделно. Дијаграми Ми помножете го првиот дел користејќи ја формулата 
, и дијаграмите од вториот дел - како област на дијаграмот Мвториот дел Fl 2
/
2 до ординација 2 л/3 дијаграми на вториот дел под тежиштето на триаголниот дијаграм Мистата област.
Во овој случај формулата 
дава:
Пример 11.
Определи го вертикалното движење на точка ВОгреда со еден распон прикажан на сликата. Зракот има постојана ригидност на свиткување по целата должина. ЕИ.
Решение.
Ние градиме дијаграм на моменти на свиткување Мод дејството на надворешно дистрибуирано оптоварување: М А = 0; М Д = 0;
Аплицирајте во точката ВОединица вертикална сила Ф јас = 1 и изгради дијаграм (види слика):
каде Р а = 2/3;
Каде Р г = 1/3, значи М а = 0; М г = 0; .
Ајде да го поделиме предметниот зрак на 3 дела. Множењето на дијаграмите од првиот и третиот дел не предизвикува тешкотии, бидејќи множиме триаголни дијаграми. За да го примениме правилото на Верешчагин во вториот дел, да го поделиме дијаграмот МВториот дел во две компоненти на дијаграмот: правоаголен и параболичен со површина (види табела).
|
|
|
Тежиште на параболичниот дел од дијаграмот Млежи во средината на вториот дел.
Значи формулата 
користењето на правилото на Верешчагин дава:
Пример 12.
Определете го максималното отклонување во зрак со два потпора натоварен со рамномерно распределено оптоварување на интензитет q(види слика).
Решение.
Наоѓање моменти на свиткување:
Од дадено оптоварување
Од единица сила применета во точка СОкаде што се бара отклонувањето.
Го пресметуваме потребното максимално отклонување што се јавува во средниот дел на зракот
Пример 13.
Определете го отклонувањето во точка ВОзрак прикажан на сликата.
Решение.
Конструираме дијаграми на моменти на свиткување од дадено оптоварување и единица сила применета во точка ВО.За да се умножат овие дијаграми, зракот мора да се подели на три дела, бидејќи еден дијаграм е ограничен на три различни прави линии.
Операцијата на множење дијаграми во вториот и третиот дел се врши едноставно. Потешкотии се јавуваат при пресметување на областа и координатите на центарот на гравитација на главниот дијаграм во првиот дел. Во такви случаи, конструирањето на слоевити дијаграми во голема мера го поедноставува решението на проблемот. Во овој случај, погодно е да се земе еден од деловите условно како неподвижен и да се конструираат дијаграми за секој од товарите, приближувајќи се кон овој дел од десно и лево. Препорачливо е да се земе делот на местото на фрактурата како стационарен во дијаграмот на единечни оптоварувања.
Слоевит дијаграм во кој делот се зема како стационарен ВО, е прикажано на сликата. Откако ги пресметавме површините на составните делови на слоевитиот дијаграм и соодветните ординати на единечниот дијаграм, добиваме
Пример 14.
Определете ги поместувањата во точките 1 и 2 од гредата (сл. а).
Решение.
Еве ги дијаграмите МИ Пза греди кај А=2 m; q=10 kN/m; СО=1,5А; М=0,5ка 2 ; Р=0,8ка; М 0 =М; = 200 MPa (Сл. бИ В).
Дозволете ни да го одредиме вертикалното поместување на центарот на делот каде што се применува концентрираниот момент. За да го направите ова, земете го предвид зракот во состојба под влијание само на концентрирана сила применета во точката 1 нормално на оската на зракот (во насока на саканото поместување) (сл. г).
Да ги пресметаме потпорните реакции со составување на три рамнотежни равенки
Испитување
Реакциите беа пронајдени правилно.
За да изградите дијаграм, разгледајте три дела (сл. г).
1 парцела
2-ри дел
Дел 3
Користејќи ги овие податоци, конструираме дијаграм (сл. д) од страната на истегнатите влакна.
Дозволете ни да одредиме со формулата на Мор користејќи го правилото на Верешчагин. Во овој случај, заоблен дијаграм во областа помеѓу потпорите може да се претстави како додавање на три дијаграми. Стрела
Знакот минус значи дека точката 1 се движи нагоре (во спротивна насока).
Дозволете ни да го одредиме вертикалното поместување на точката 2, каде што се применува концентрираната сила. За да го направите ова, земете го предвид зракот во состојба под влијание само на концентрирана сила применета во точката 2 нормално на оската на зракот (во насока на саканото поместување) (сл. д).
Дијаграмот е конструиран слично на претходниот.
Точката 2 се движи нагоре.
Дозволете ни да го одредиме аголот на ротација на делот каде што се применува концентрираниот момент.
Покрај аналитичкиот метод што беше дискутиран погоре за одредување на поместувањето на зракот, постојат и други аналитички и графичко-аналитички методи применливи за посложени системи, на пример, структури со скршена оска и статички неопределени системи.
Еден таков метод се заснова на Мор интеграл И Правилото на Верешчагин. Суштината на методот е да се примени единечно оптоварување (сила или вртежен момент) во насока на движење од интерес за нас и да се пресмета интегралот Мор. Изразот за интегралот Мор е изведен врз основа на теоремата на Кастиљано, која е наведена овде без доказ.
Теорема на Кастиљано. Извод на потенцијалната енергија на напрегање во однос на генерализирана сила и генерализирано поместување.
Потенцијалната енергија на напрегање на заоблен зрак се изразува со формулата
Врз основа на теоремата на Кастиљано, генерализираното (линеарно или аголно) поместување D е дефинирано како 
Ако генерализираната сила П 06 еднакво на единство, тогаш парцијалниот извод бројно ќе биде еднаков на моментот М° единица оптоварување
во делот r од зракот (делумните деривати на моментите на другите сили се еднакви на нула, бидејќи овие моменти не зависат од единечното оптоварување). Резултатот е формула наречена Мор интеграл.
За посебен дел од структурата, Mohr интегралот е запишан во форма
каде што D е генерализирано (линеарно или аголно) движење; / - должина на делот; М - равенка на моменти на надворешни сили; М° - равенка на моменти на единечни оптоварувања; ?7 е ригидноста на делот на структурата.
За одредување на линеарното поместување, на пресек се применува единечна бездимензионална сила, а за одредување на аголното поместување се применува единечен бездимензионален момент. За структура со постојана вкочанетост може да се извади од интегрален знак, тогаш
Како пример, да го пресметаме интегралот Мор за зракот прикажан на сл. 6.27 
Ориз. 6.27
Бидејќи функциите на моментите на свиткување се графички изразени со моментални дијаграми, се чини дека е можно да се изрази Mohr интегралот во однос на областите и ординатите на дијаграмите долж Правилото на Верешчагин , инаку наречен со множење на дијаграми. Ова правило е формулирано на следниов начин: бараниот интеграл е еднаков на производот од областа на дијаграмот на оптоварување М и ординатата на единечниот дијаграм лоциран под неговиот центар на гравитација.Карго именуван е дијаграмот на моменти на свиткување на надворешни сили.
Областите и ординатите на дијаграмите се земаат со знаци плус или минус, а позитивен резултат значи дека насоката на саканото поместување се совпаѓа со насоката на оптоварувањето на единицата. Ако структурата што се разгледува има неколку делови, тогаш пресметките се вршат за секој дел посебно, а резултатот се сумира.
Како пример, да го одредиме, користејќи го правилото на Верешчагин, линеарното поместување и аголот на ротација на крајниот дел на зракот прикажан на сл. 6.24.
За да го одредиме линеарното поместување на слободниот крај на зракот, применуваме вертикална единица сила на неговиот крај и ги разгледуваме дијаграмот на оптоварување и дијаграмот на моментите на единечната сила. Потоа
што се совпаѓа со изразот за y V, добиени во Пример 6.8.
За да го одредиме аголот на вртење на крајниот дел на зракот, применуваме единечен момент на неговиот крај и конструираме дијаграм. Потоа
Позитивните одговори значат дека насоките на единечните оптоварувања и поместувања се совпаѓаат. Истиот резултат го добиваме ако ја помножиме површината на единечниот дијаграм со ординатата на дијаграмот на оптоварување лоциран над центарот на гравитација на областа на дијаграмот на единицата.
За да се открие статичката неодреденост на системот, треба да се отфрли една од потпорите, да се замени со реакции, да се примени единечно оптоварување, а потоа да се изградат дијаграмите на оптоварување и единица. Со множење на дијаграмите според правилото на Верешчагин и изедначување на добиеното поместување на нула, добиваме дополнителна равенка неопходна за да се открие статичката неодреденост на системот.
Пример 6.11
Проширете го статичкото неопределување на квадратна рамка со две потпори со страна / прикажана на сл. 6.28, А.
Решение. Да ги отфрлиме потпорите, заменувајќи ги со реакции Хь Y u Х 2, Y 2. Откако ја составивме равенката на моменти за потпорите и решавајќи ги, добиваме Y2-P , Y x = -P . Равенка на проекција на хоризонталната оска P-X x + X 2 = 0 има две непознати. Дозволете ни да примениме единица сила на десниот крај на рамката, како што е прикажано на сл. 6.28, г и конструирај дијаграм на поединечни моменти. На сл. 6.28, виг Беа конструирани дијаграми на оптоварување на моментите на свиткување. Множење според правилото
Ориз. 6.28
дијаграми на оптоварување и единици на Верешчагин, добиваме дополнителна равенка неопходна за откривање на статичката неопределување на рамката.
Знакот минус во третиот член се јавува поради дијаграмите на активната сила Р а единицата сила се наоѓа на спротивните страни на оската на шипката.
Откако ги извршивме пресметките, добиваме 
, каде. Минус во одговорот значи дека реакцијата X 2
насочени во спротивна насока. Следно наоѓаме 
Во општиот случај (прачка со променлив пресек, сложен систем на оптоварувања), интегралот Мор се одредува со нумеричка интеграција. Во многу практично важни случаи, кога вкочанетоста на пресекот е константна по должината на шипката, интегралот Мор може да се пресмета со користење на правилото на Верешчагин. Да ја разгледаме дефиницијата за интегралот Мор во делот од a до 6 (сл. 9.18).
Ориз. 9.18. Правило на Верешчагин за пресметување на интегралот Мор
Дијаграмите на моментот од еден фактор на сила се состојат од прави сегменти. Без губење на општоста, претпоставуваме дека во областа
каде што A и B се параметрите на линијата:
Мор интегралот на пресекот на константен пресек што се разгледува има форма
каде што F е областа под кривата (површината на дијаграмот на моменти на свиткување од надворешни сили во делот z).
каде е апсцисата на центарот на гравитација на областа.
Еднаквоста (109) важи кога знакот не се менува во областа и може да се смета како елемент од областа на дијаграмот. Сега од релациите (107) -(109) добиваме
Момент од единица оптоварување во дел
Помошна табела за користење на правилото на Верешчагин е дадена на сл. 9.19.
Белешки. 1. Ако дијаграмот од дејството на надворешните сили на делот е линеарен (на пример, под дејство на концентрирани сили и моменти), тогаш правилото може да се примени во обратна форма: множете ја површината на дијаграмот од единечен фактор на сила според ординатата на дијаграмот што одговара на центарот на гравитација на областа. Ова произлегува од горенаведениот доказ.
2. Правилото на Верешчагин може да се прошири на интегралот Мор во општа форма (равенка (103)).
Ориз. 9.19. Површини и позиции на центрите на гравитација на дијаграми на моменти
Ориз. 9.20. Примери за одредување на аглите на отклонување и ротација користејќи го правилото на Верешчагин
Главното барање е следново: во рамките на делот, факторите на внатрешна сила од единица оптоварување мора да бидат линеарни функции долж оската на шипката (линеарни дијаграми!).
Примери. 1. Определете го отклонувањето во точката А на конзолната прачка под дејство на концентриран момент М (сл. 9.20, а).
Отклонувањето во точката А се одредува со формулата (за краткост, индексот е испуштен)
Знакот минус се должи на фактот дека тие имаат различни знаци.
2. Определете го отклонот во точката А во конзолната прачка под дејство на распределен товар.
Девијацијата се одредува со формулата
На сл. 9.20, б, подолу на оваа слика се дијаграми под дејство на единица сила. Следно наоѓаме
3. Определете го отклонувањето во точката А и аголот на вртење во точката B за зрак со два потпора натоварен со концентриран момент (сл. 9.20.).
Девијацијата се одредува со формулата (ја занемаруваме деформацијата на смолкнување)
Бидејќи дијаграмот на моментот од единица сила не е прикажан со една линија; потоа го делиме интегралот на два дела:
Аголот на ротација во точката Б е еднаков на
Коментар. Од горенаведените примери е јасно дека методот на Верешчагин во едноставни случаи ви овозможува брзо да ги одредите отклонувањата и аглите на ротација. Важно е само да се примени едно правило на знаци за Ако се согласувате, при свиткување прачка, да се изградат дијаграми на моменти на свиткување на „испружено влакно“ (види Сл. 9.20), тогаш лесно е веднаш да се види позитивното и негативни вредности на моментите.
Посебна предност на правилото на Верешчагин е тоа што може да се користи не само за прачки, туку и за рамки (Дел 17).
Ограничувања за примена на правилото на Верешчагин.
Овие ограничувања произлегуваат од изведувањето на формулата (110), но повторно да обрнеме внимание на нив.
1. Дијаграмот на моментот на свиткување од единица оптоварување треба да биде во форма на една права линија. На сл. 9.21, и го прикажува случајот кога овој услов не е исполнет. Мор интегралот мора да се пресмета посебно за деловите I и II.
2. Моментот на свиткување од надворешно оптоварување во делот мора да го има истиот знак. На сл. 9.21, б го покажува случајот кога правилото на Верешчагин треба да се применува за секој дел посебно. Ова ограничување не се однесува на моментот од едно оптоварување.
Ориз. 9.21. Ограничувања при користење на правилото на Верешчагин: а - дијаграмот има пауза; б - дијаграмот има различни знаци; в - шипката има различни делови
3. Вкочанетоста на шипката во делот мора да биде константна, инаку интеграцијата треба да се прошири посебно на делови со постојана вкочанетост. Ограничувањата на постојаната вкочанетост може да се избегнат со исцртување на дијаграми.
