Досега нашиот фокус беше на наједноставниот многуаголник - триаголникот. Во ова поглавје ќе проучуваме посложени многуаголници, главно различни видови четириаголници: паралелограм, правоаголник, ромб, квадрат. Покрај тоа, ова поглавје ќе ја разгледа симетријата на геометриските форми, вклучувајќи ги и наведените четириаголници. Симетријата игра важна улога не само во геометријата, туку и во уметноста, архитектурата и технологијата. Во околината гледаме многу симетрични објекти - фасади на згради, шари на теписи и ткаенини, лисја од дрвја.

Размислете за фигура составена од отсечки AB, BC, CD, ..., EF, FG така што соседните сегменти(т.е. сегментите AB и BC, BC и CD, ..., EF и FG) не лежат на иста права линија. Оваа бројка се нарекува прекината линија ABCD...FG (Слика 150, а). Отсечките кои сочинуваат скршена линија се нарекуваат нејзини врски, а краевите на овие сегменти се темиња на скршена линија. Збирот на должините на сите врски се нарекува должината на скршената линија. Краевите на скршената линија ABCD ... FG, т.е. точките A и G, може да бидат различни или може да се совпаѓаат (слика 150, б). Во вториот случај, скршената линија се нарекува затворена, а неговите врски FG и AB исто така се сметаат за соседни. Ако несоседните врски на затворена скршена линија немаат заеднички точки, тогаш оваа скршена линија се нарекува многуаголник, неговите врски се нарекуваат страни на многуаголникот, а должината на скршената линија се нарекува периметар на многуаголникот.

Ориз. 150

Многуаголник со n темиња се нарекува n-аголник; има n страни. Пример за многуаголник е триаголник. Слика 151 прикажува четириаголник ABCD и шестоаголник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6.


Ориз. 151

Сликата прикажана на Слика 152 не е многуаголник, бидејќи несоседните сегменти C 1 C 5 и C 2 C 3 (како и C 3 C 4 и C 1 C 5) имаат заедничка точка.


Ориз. 152

Се повикуваат две темиња на многуаголник што припаѓаат на иста страна соседните. Се нарекува отсечка што поврзува кои било две несоседни темиња дијагонала на многуаголник.

Секој многуаголник ја дели рамнината на два дела, од кои едниот се нарекува внатрешен, а другиот - надворешен регион на многуаголникот.

На слика 153, внатрешните области на многуаголниците се засенчени. Фигурата што се состои од страните на многуаголникот и неговата внатрешна површина се нарекува и многуаголник.


Ориз. 153

Конвексен многуаголник

Многуаголникот се нарекува конвексен ако лежи на едната страна од секоја права што минува низ нејзините две соседни темиња.

На слика 154, многуаголникот F 1 е конвексен, а многуаголникот F 2 е неконвексен.


Ориз. 154

Размислете за конвексниот n-аголник прикажан на Слика 155а. Аглите A n A 1 A 2, A 1 A 2 A 3, ..., A n-1 A n A 1 се викаат аглитеовој многуаголник. Ајде да го најдеме нивниот збир.


Ориз. 155

За да го направите ова, поврзете го темето A 1 со дијагонали со други темиња. Како резултат на тоа, добиваме n - 2 триаголници (слика 155, б), чиј збир на аглите е еднаков на збирот на аглите на n-аголникот. Збирот на аглите на секој триаголник е 180°, значи збирот на аглите на многуаголникот AxAg... An е (n - 2) 180°.

Значи, збирот на аглите на конвексен многуаголник е (n - 2) 180°.

Надворешен агол на конвексен многуаголникАголот блиску до аголот на многуаголникот се нарекува. Ако на секое теме на конвексен многуаголник A 1 A 2 ... A n земеме еден надворешен агол, тогаш збирот на овие надворешни агли ќе биде еднаков

    180° - A 1 + 180° - A 2 + ... + 180° - A n =
    = n 180° - (A 1 + A 2 +... + A n) =
    = n 180° - (n - 2) 180° = 360°.

Така, збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник е 360°.

Четириаголник

Секој четириаголник има четири темиња, четири страни и две дијагонали (сл. 156). Се викаат две несоседни страни на четириаголник спротивно. Се нарекуваат и две темиња кои не се соседни спротивно.


Ориз. 156

Четириаголниците можат да бидат конвексни или неконвексни. Слика 156, o покажува конвексен четириаголник, а Слика 156, б - неконвексен.

Секоја дијагонала на конвексен четириаголник го дели на два триаголници. Една од дијагоналите на неконвексен четириаголник исто така го дели на два триаголници (види Сл. 156, б).

Бидејќи збирот на аглите на конвексен n-аголник е (n - 2) 180°, тогаш збирот на аглите на конвексен четириаголник е 360°.

Задачи

363. Нацртај конвексен петаголник и шестоаголник. Во секој многуаголник нацртајте ги сите дијагонали од некое теме. На колку триаголници нацртаните дијагонали го делат секој многуаголник?

364. Најди го збирот на аглите на конвексното:

    а) пентагон;
    б) шестоаголник;
    в) десетаголник.

365. Колку страни има конвексен многуаголник чиј агол е еднаков на:

    а) 90°;
    б) 60°;
    в) 120°;
    г) 108°?

366. Најди ги страните на четириаголникот ако неговиот периметар е 8 cm, а едната страна е поголема од секоја од другите страни соодветно за 3 mm, 4 mm и 5 mm.

367. Најди ги страните на четириаголникот ако неговиот периметар е 66 cm, првата страна е 8 cm поголема од втората и исто толку помала од третата страна, а четвртата е три пати поголема од втората.

368. Најди ги аглите на конвексен четириаголник ако се еднакви еден со друг.

369. Најди ги аглите A, B и C на конвексен четириаголник ABCD ако ∠A = ∠B = ∠C и AD = 135°.

370. Најдете ги аглите на конвексен четириаголник ако се пропорционални со броевите 1, 2, 4, 5.

Одговори на проблеми

    364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°.

    365. а) Четири; б) три; в) шест; г) пет.

    366. 23 mm, 20 mm, 19 mm, 18 mm.

    367. 15 см, 7 см, 23 см, 21 см.

    368. 90°. 369,75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.

Цели:

  • научете како да цртате, означите и именувате агли, напишете ги имињата на аглите користејќи го знакот „? “ и букви;
  • развиваат математички говор на учениците и способност за воспоставување шеми;
  • подобрување на вештината за користење алатка за цртање - линијар, способност за мерење и цртање сегмент со дадена должина;
  • негуваат интерес за изучување математика.

Опрема:примени на геометриски форми, табели.

Напредокот на лекцијата

1. Ажурирање на знаењето. - Погледнете ги апликациите и кажете ми од какви геометриски форми се направени човечињата? (Круг, овален, квадрат, правоаголник, триаголник, четириаголник.)

Во кои групи може да се поделат овие бројки? (Облици со агли и форми без агли.)

Именувајте ги геометриските форми „без агли“, т.е. фигури ограничени со криви затворени линии. (Овал и круг.)

Именувајте ги фигурите од групата „со агли“. (Квадрат, правоаголник, триаголник, шестоаголник.)

Кое е другото име за квадрат и правоаголник? (Четириаголници.)

Како да се наречат геометриски форми „со агли“ во еден термин? (Полигони.)

Наведете ги видовите многуаголници. (Четириаголник, триаголник, петаголник, шестоаголник.)

Што го одредува името на многуаголникот? (Во зависност од бројот на агли во него.)

Значи, аголот е елемент на многуаголникот, но сепак треба да разјасните која фигура се нарекува многуаголник. Дали формите што ги претставуваат капите на луѓето се многуаголници?

2. Израмнување на знаењето.

Дано има подготвено задача, какви линии нацртал." Наречете ги по име. (Права линија a, отсечка AB, зрак OM.)

Која права се нарекува права линија, отсечка, зрак? (Права линија е права која нема почеток и крај, која мора да се повлече со линијар. Отсечка е дел од права која има почеток и крај. Зрак е дел од права која има почеток .)

Што имаат заедничко права линија, зрак, отсечка? (Зракот и отсечката се дел од линијата.)

Како се разликуваат? (Сегмент може да се измери, но права линија и зрак не можат да се измерат, тие се бесконечни.)

Која е разликата помеѓу права линија и зрак? (Правата линија може да се прошири во две насоки, но зракот може да се прошири само во една насока. На крајот на краиштата, од другата страна е ограничен со точка. Ова е почеток на зракот.)

3. Изградба на агли.

Какви форми: права линија, зрак или отсечка - треба да изберете да конструирате агол? (Треба да изберете два греди.)

Дано избра два греди.

Дали тој го изгради аголот? (Бр.)

Зошто? (Не знам не одговараше на почетокот на зраците.)

Како треба да се постават зраците? (Зраците мора да излезат од една точка.)

Како се нарекува оваа точка? (Врв на аголот.)

Како се нарекуваат зраците? (Страните на аголот.)

Значи, што треба да изберете за да изградите агол? (Треба да изберете точка и да нацртате два зраци од неа.)

Сега секој од вас ќе изгради по едно катче во својата тетратка.

Која алатка ќе ја користите? (Со владетел.)

Обележете го врвот со црвен молив, страните со сина и зелена боја.

Ајде да се обидеме да го формулираме аголот. Што е агол? (Аголот е геометриска фигура, за да ја конструирате треба да изберете точка и да нацртате два зраци од неа.)

4. Изјава за образовен проблем и негово решение.

Многу ми е драго што денес на часот се присутни сите 27 ученици од нашето одделение. Колку агли изградивте? (Ист број, 27.)

Како да разликувате таков број на агли еден од друг? (Треба да ги дадете имињата на аглите.)

Што мислите, како може да се одреди агол? (Можете да го наречете врвот.)

Именувајте го аголот (агол А)

И ако нацртам неколку агли со темето во точката А, како можам да ги разликувам? (Треба некако „поцелосно да ги означиме аглите.)

Дали некој има други опции за означување? (Зраците може да се означат: зрак AB и зрак AC.)

Значи, го означивме аголот, обидете се да го именувате, прочитајте го името. (Агол BAC, агол CAB, агол ACB, агол ABC, агол A.)

Треба да ги избереме точните имиња од податоците од вашите предлози. За да го направите ова, предлагам да отидете на таблата и да го прикажете аголот.

(Децата покажуваат агли на различни начини.)

Момци, во математиката вообичаено е да се прикаже аголот од едната страна до темето и од темето на страната. Кое од имињата на аглите што ги наведовте мислите дека ќе биде точно? (Агол BAC, агол CAB, Агол А.)

Во право. Треба да запомниме дека буквата со која го означуваме темето на аголот мора да се нарече втора.

Зборот „агол“ во математиката се означува со знакот „? "

Значи, колку букви може да има во името на аголот? (Една или три буква.)

Запишете го името на аголот што сте го нацртале во тетратката. Ќе ги запишам имињата на аглите на табла, а вие ќе ми кажете. (Агол BAC, агол CAB или едноставно агол А.)

Како да ги запишете имињата на аглите кога една точка е почеток на неколку зраци? (Прво треба да ги одредите зраците, да ги распоредите буквите M, K, S, D.)

Колку агли добивме? (Два, три, дури и повеќе.)

За да се покаже кои агли треба да се именуваат, тие се означуваат со лакови. Именувајте ги и запишете ги аглите што ги назначив. (Агол MAC, агол SAD, агол MAC.)

Дали има други агли на овој цртеж? (Да, агол MAD, агол KAD, агол CAM.)

Ако има потешкотии, наставникот го покажува аголот и децата го именуваат. Оваа задача е за „силните“ ученици, за нивниот развој. Другите учат после нив.

5. Генерализација. Продлабочување на знаењата за многуаголниците.

Што треба да запомните кога именувате и пишувате агли? (Ја нарекуваме буквата што го означува темето во средината.)

Како да се покаже агол? (Потребно е да користите покажувач за да „одете“ по зракот - од страна до врвот, а потоа од врвот до другата страна.)

6. Физички вежби.

Ќе ви покажам картички со геометриски форми. Кога ќе видите многуаголник, мора да седнете. Кога ќе видите фигура што не е многуаголник, мора да станете.

Еден, два, три, четири, пет,
Сите можеме да сметаме
Знаеме и да се опуштиме -
Ајде да ги ставиме рацете зад грб
Да ја кренеме главата погоре
И да дишеме лесно.

7. Консолидација според учебникот.

Страница 29 Бр. 68. Запиши ги имињата на аглите користејќи го овој знак „? " Оваа задача се изведува со коментари.

Колку имиња може да има едно ќоше? (Три имиња.)

8. Консолидација на нов материјал во групи. (Седум групи).

Од секоја група се бара да даде три опции за името на аголот.

По завршувањето на задачата, командантот на групата известува. На пример:

9. Подобрување на вербалните пресметковни вештини.

Игра „Дешифри го зборот“. Секоја вредност на изразот одговара на одредена буква. 4 - Г, 5 - Л, 6 - У, 7 - О.

10-8 + 4 = 6 У
2+7-5=4 Г
8-3+2=7 ЗА
1+9-5=5 Л

Прочитајте го зборот. (Катче.)

10. Барање агли во околната реалност.

Погледнете наоколу внимателно и именувајте ги предметите што имаат агли. (табла, тетратка, биро, прозорец итн.)

11. Крајна линија.

Кои нови работи научивте на лекцијата? (Научи да означува агли.)

Колку имиња може да има еден агол? (Три.)

Што значи втората буква? (Оваа буква го претставува темето на аголот.)

Дали сè беше јасно за време на лекцијата? Дали секој од вас може да го именува аголот и правилно да го прочита името на аголот? Ако да, подигнете картичка со извичник, ако не, подигнете картичка со прашалник.

Денес на лекцијата сите активно му помогнаа на Дано да ја научи новата тема „Агол“, но и го усоврши своето знаење за многуаголниците. Што научи секој од вас ново за нив? (Кој е најзгодниот начин да се нацрта која е границата на аголот? Како да се прикаже агол. За да се прикаже многуаголник, тој мора да се наслика.)

Дома нацртајте 3 агли и дајте им имиња. Исто така, изградете многуаголник и покажете ги аглите во него, дајте му име.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

  • Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

  • Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
  • Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
  • Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
  • Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

  • Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
  • Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Овие геометриски форми не опкружуваат насекаде. Конвексните полигони можат да бидат природни, како што е саќе, или вештачки (направени од човекот). Овие фигури се користат за производство на разни видови премази, сликарство, архитектура, украси итн. Конвексните многуаголници имаат својство сите нивни точки да се наоѓаат на едната страна од права линија што минува низ пар соседни темиња на оваа геометриска фигура. Постојат и други дефиниции. Конвексен многуаголник е оној кој се наоѓа во една полурамнина во однос на која било права линија што содржи една од неговите страни.

Во курсот по елементарна геометрија секогаш се разгледуваат само едноставни многуаголници. За да се разберат сите својства на таквите, неопходно е да се разбере нивната природа. Прво, треба да разберете дека секоја линија чии краеви се совпаѓаат се нарекува затворена. Покрај тоа, фигурата формирана од него може да има различни конфигурации. Многуаголник е едноставна затворена скршена линија во која соседните врски не се наоѓаат на истата права линија. Нејзините врски и темиња се, соодветно, страните и темињата на оваа геометриска фигура. Едноставната полилинија не треба да има самопресеци.

Темињата на многуаголникот се нарекуваат соседни ако ги претставуваат краевите на една од неговите страни. Геометриската фигура која има n-ти број темиња, а со тоа и n-ти број на страни, се нарекува n-аголник. Самата скршена линија се нарекува граница или контура на оваа геометриска фигура. Полигонална рамнина или рамен многуаголник е конечен дел од која било рамнина ограничена со неа. Соседните страни на оваа геометриска фигура се отсечки од скршена линија што произлегува од едно теме. Тие нема да бидат соседни ако доаѓаат од различни темиња на многуаголникот.

Други дефиниции за конвексни многуаголници

Во елементарната геометрија, има уште неколку дефиниции еквивалентни по значење, што покажува кој многуаголник се нарекува конвексен. Покрај тоа, сите овие формулации се подеднакво точни. Многуаголникот се смета за конвексен ако:

Секој сегмент што поврзува било кои две точки внатре во него лежи целосно во него;

Сите негови дијагонали лежат во него;

Секој внатрешен агол не надминува 180 °.

Многуаголникот секогаш ја дели рамнината на 2 дела. Еден од нив е ограничен (може да биде затворен во круг), а другиот е неограничен. Првиот се нарекува внатрешен регион, а вториот е надворешниот регион на оваа геометриска фигура. Овој многуаголник е пресекот (со други зборови, заедничката компонента) на неколку полурамнини. Покрај тоа, секоја отсечка која има краеви на точки кои припаѓаат на многуаголникот целосно му припаѓа.

Сорти на конвексни многуаголници

Дефиницијата за конвексен многуаголник не покажува дека има многу типови. Покрај тоа, секој од нив има одредени критериуми. Така, конвексните многуаголници кои имаат внатрешен агол еднаков на 180° се нарекуваат слабо конвексни. Конвексна геометриска фигура која има три темиња се нарекува триаголник, четири - четириаголник, пет - петаголник, итн. Секоја од конвексните n-аголници го исполнува следното најважно барање: n мора да биде еднакво или поголемо од 3. од триаголниците е конвексен. Геометриска фигура од овој тип, во која сите темиња се наоѓаат на ист круг, се нарекува впишана во круг. Конвексниот многуаголник се нарекува ограничен ако сите негови страни во близина на кругот го допираат. За два многуаголници се вели дека се складни само ако можат да се соберат заедно со суперпозиција. Рамнински многуаголник е полигонална рамнина (дел од рамнина) која е ограничена со оваа геометриска фигура.

Правилни конвексни многуаголници

Правилните многуаголници се геометриски фигури со еднакви агли и страни. Внатре во нив има точка 0, која се наоѓа на исто растојание од секое нејзино теме. Се нарекува центар на оваа геометриска фигура. Отсечките што го поврзуваат центарот со темињата на оваа геометриска фигура се нарекуваат апотеми, а оние што ја поврзуваат точката 0 со страните се радиуси.

Правилен четириаголник е квадрат. Правилниот триаголник се нарекува рамностран. За такви фигури, постои следново правило: секој агол на конвексен многуаголник е еднаков на 180° * (n-2)/ n,

каде n е бројот на темиња на оваа конвексна геометриска фигура.

Областа на кој било правилен многуаголник се одредува со формулата:

каде што p е еднаква на половина од збирот на сите страни на даден многуаголник, а h е еднаква на должината на апотемата.

Својства на конвексни многуаголници

Конвексните многуаголници имаат одредени својства. Така, сегментот што поврзува кои било 2 точки на таква геометриска фигура е нужно лоциран во него. Доказ:

Да претпоставиме дека P е даден конвексен многуаголник. Земаме 2 произволни точки, на пример, A, B, кои припаѓаат на P. Според постоечката дефиниција за конвексен многуаголник, овие точки се наоѓаат на едната страна од правата, која содржи која било страна од P. Затоа, AB исто така го има ова својство и е содржано во P. Конвексниот многуаголник секогаш е можно да се подели на неколку триаголници користејќи ги апсолутно сите дијагонали што се извлечени од едно од неговите темиња.

Агли на конвексни геометриски форми

Аглите на конвексниот многуаголник се аглите формирани од неговите страни. Внатрешните агли се наоѓаат во внатрешниот регион на дадена геометриска фигура. Аголот формиран од неговите страни кои се среќаваат на едно теме се нарекува агол на конвексен многуаголник. со внатрешни агли на дадена геометриска фигура се нарекуваат надворешни. Секој агол на конвексен многуаголник лоциран во него е еднаков на:

каде што x е големината на надворешниот агол. Оваа едноставна формула се однесува на сите геометриски форми од овој тип.

Општо земено, за надворешните агли, се применува следново правило: секој агол на конвексен многуаголник е еднаков на разликата помеѓу 180° и големината на внатрешниот агол. Може да има вредности кои се движат од -180° до 180°. Затоа, кога внатрешниот агол е 120°, надворешниот агол ќе биде 60°.

Збир на агли на конвексни многуаголници

Збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголник се одредува со формулата:

каде n е бројот на темиња на n-аголникот.

Збирот на аглите на конвексен многуаголник се пресметува прилично едноставно. Размислете за која било таква геометриска фигура. За да го одредите збирот на агли во конвексен многуаголник, треба да поврзете едно од неговите темиња со други темиња. Како резултат на ова дејство се добиваат (n-2) триаголници. Познато е дека збирот на аглите на кој било триаголник е секогаш еднаков на 180°. Бидејќи нивниот број во кој било многуаголник е (n-2), збирот на внатрешните агли на таквата бројка е еднаков на 180° x (n-2).

Збирот на аглите на конвексен многуаголник, имено кои било два внатрешни и соседни надворешни агли, за дадена конвексна геометриска фигура секогаш ќе биде еднаква на 180°. Врз основа на ова, можеме да го одредиме збирот на сите негови агли:

Збирот на внатрешните агли е 180° * (n-2). Врз основа на ова, збирот на сите надворешни агли на дадена фигура се одредува со формулата:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Збирот на надворешните агли на кој било конвексен многуаголник секогаш ќе биде 360° (без оглед на бројот на страни).

Надворешниот агол на конвексен многуаголник генерално се претставува со разликата помеѓу 180° и вредноста на внатрешниот агол.

Други својства на конвексен многуаголник

Покрај основните својства на овие геометриски форми, тие имаат и други што се појавуваат при манипулирање со нив. Така, кој било од многуаголниците може да се подели на неколку конвексни n-аголници. За да го направите ова, треба да ја продолжите секоја од неговите страни и да ја исечете оваа геометриска фигура по овие прави линии. Исто така, можно е да се подели кој било многуаголник на неколку конвексни делови на таков начин што темињата на секое парче се совпаѓаат со сите негови темиња. Од таква геометриска фигура, можете многу едноставно да направите триаголници со цртање на сите дијагонали од едно теме. Така, секој многуаголник на крајот може да се подели на одреден број триаголници, што се покажува како многу корисно за решавање на разни проблеми поврзани со такви геометриски фигури.

Периметар на конвексен многуаголник

Отсечките на скршената линија, наречени страни на многуаголникот, најчесто се означуваат со следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Тоа се страни на геометриска фигура со темиња a, b, c, d, e. Збирот на должините на сите страни на овој конвексен многуаголник се нарекува негов периметар.

Круг на многуаголник

Конвексните многуаголници можат да бидат впишани или ограничени. Кругот што ги допира сите страни на оваа геометриска фигура се нарекува впишан во него. Таквиот многуаголник се нарекува ограничен. Центарот на кругот кој е впишан во многуаголник е точката на пресек на симетралите на сите агли во дадена геометриска фигура. Областа на таков многуаголник е еднаква на:

каде што r е радиусот на впишаната кружница, а p е полупериметарот на дадениот многуаголник.

Кругот што ги содржи темињата на многуаголникот се нарекува ограничен околу него. Во овој случај, оваа конвексна геометриска фигура се нарекува впишана. Центарот на кругот, кој е опишан околу таков многуаголник, е пресечната точка на таканаречените нормални симетрали на сите страни.

Дијагонали на конвексни геометриски форми

Дијагоналите на конвексниот многуаголник се отсечки кои поврзуваат несоседни темиња. Секој од нив лежи во оваа геометриска фигура. Бројот на дијагонали на таков n-аголник се одредува со формулата:

N = n (n - 3)/ 2.

Бројот на дијагонали на конвексен многуаголник игра важна улога во елементарната геометрија. Бројот на триаголници (К) на кои може да се подели секој конвексен многуаголник се пресметува со следнава формула:

Бројот на дијагонали на конвексен многуаголник секогаш зависи од бројот на неговите темиња.

Поделба на конвексен многуаголник

Во некои случаи, за да се решат геометриски проблеми, неопходно е да се подели конвексен многуаголник на неколку триаголници со дијагонали што не се сечат. Овој проблем може да се реши со изведување одредена формула.

Дефиниција на проблемот: да ја наречеме точна одредена поделба на конвексен n-аголник во неколку триаголници со дијагонали кои се сечат само на темињата на оваа геометриска фигура.

Решение: Да претпоставиме дека P1, P2, P3..., Pn се темињата на овој n-аголник. Бројот Xn е бројот на неговите партиции. Дозволете ни внимателно да ја разгледаме добиената дијагонала на геометриската фигура Pi Pn. Во која било од правилните партиции P1 Pn припаѓа на одреден триаголник P1 Pi Pn, кој има 1

Нека i = 2 е една група на правилни партиции, која секогаш ја содржи дијагоналата P2 Pn. Бројот на партиции кои се вклучени во него се совпаѓа со бројот на партиции на (n-1)-гонот P2 P3 P4... Pn. Со други зборови, тоа е еднакво на Xn-1.

Ако i = 3, тогаш оваа друга група на партиции секогаш ќе ги содржи дијагоналите P3 P1 и P3 Pn. Во овој случај, бројот на редовни партиции содржани во оваа група ќе се совпадне со бројот на партиции на (n-2)-аголникот P3 P4... Pn. Со други зборови, тоа ќе биде еднакво на Xn-2.

Нека i = 4, тогаш меѓу триаголниците точната партиција сигурно ќе го содржи триаголникот P1 P4 Pn, кој ќе биде во непосредна близина на четириаголникот P1 P2 P3 P4, (n-3)-аголникот P4 P5... Pn. Бројот на правилни партиции на таков четириаголник е X4, а бројот на партиции на (n-3)-аголник е Xn-3. Врз основа на сето погоре, можеме да кажеме дека вкупниот број на редовни партиции содржани во оваа група е еднаков на Xn-3 X4. Другите групи со i = 4, 5, 6, 7... ќе содржат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... редовни партиции.

Нека i = n-2, тогаш бројот на точни партиции во оваа група ќе се совпадне со бројот на партиции во групата за кои i=2 (со други зборови, еднаков на Xn-1).

Бидејќи X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., тогаш бројот на сите партиции на конвексен многуаголник е еднаков на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Број на правилни прегради кои се вкрстуваат една дијагонала внатре

При проверка на посебни случаи, може да се дојде до претпоставка дека бројот на дијагонали на конвексни n-аголници е еднаков на производот на сите партиции на оваа бројка во (n-3).

Доказ за оваа претпоставка: замислете дека P1n = Xn * (n-3), тогаш секој n-аголник може да се подели на (n-2)-триаголници. Покрај тоа, од нив може да се формира (n-3)-четириаголник. Заедно со ова, секој четириаголник ќе има дијагонала. Бидејќи на оваа конвексна геометриска фигура може да се нацртаат две дијагонали, тоа значи дека дополнителни (n-3) дијагонали може да се нацртаат во кои било (n-3)-четириаголници. Врз основа на ова, можеме да заклучиме дека во секоја правилна партиција е можно да се нацртаат (n-3)-дијагонали кои ги исполнуваат условите на овој проблем.

Површина на конвексни многуаголници

Честопати, при решавање на различни проблеми од елементарната геометрија, станува неопходно да се одреди областа на конвексен многуаголник. Да претпоставиме дека (Xi. Yi), i = 1,2,3... n е низа од координати на сите соседни темиња на многуаголник што нема самопресеци. Во овој случај, неговата површина се пресметува со следнава формула:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

каде што (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Полигон – Математика 1 одделение (Моро)

Краток опис:

Веќе знаете многу за геометријата, но веројатно сакате да знаете уште повеќе. Затоа, нашето патување до неверојатната земја на Геометријата продолжува. Вие сте многу запознаени со таква фигура како сегмент. Што се случува ако три сегменти се поврзани еден со друг? Така е, ќе испадне пробиена линија. Вие, се разбира, запомнете дека скршените линии можат да бидат затворени или отворени. Ако поврзете три сегменти во затворена полилинија, ќе добиете... Дали погодивте? Ќе добиете триаголник. Дали е можно да се добијат други форми од скршена линија? Секако дека можеш! Сè зависи од бројот на врски на скршената линија. Така, на пример, ако има четири врски, добивате четириаголник, пет врски - петаголник итн. Сега размислете како можеме со еден збор да ги наречеме фигурите формирани од затворена прекината линија? Навестете: сите овие фигури имаат врски што формираат различен број на агли. Таквите фигури ги нарекуваме многуаголници. Полигоните ве среќаваат на секој чекор. Значи, капакот на масата е четириаголник, некои патни знаци се триаголници, цветните леи може да бидат петаголници или шестоаголници. Темата „Полигони“ е неисцрпна. Ќе ја сретнете не само во прво одделение, туку постојано ќе се среќавате со неа во текот на вашето време на училиште. Дружете се со многуаголници!