Пред вас е парче хартија со ликот на: а) триаголник, б) петокрака, в) многуаголник во форма на лебед кој плива. Во секој случај измисли, како да се свитка парче хартија така што соодветната форма потоа може да се исече во едно континуирано директно сечење со ножици.
Поим
Во сите случаи, решението речиси целосно се состои од чекори од два вида: треба да додадете или по симетралата на некои од аглите поврзани со фигурата (за да го „намалите“ бројот на отсечки кои не остануваат на иста линија) , или долж нормалната на еден од сегментите (со цел да се „вклопи » нејзината должина до саканата должина).
Решение
Сликите подолу покажуваат како да ги преклопите облиците од изјавата за проблемот со цел потоа да ја исечете секоја од нив со едно сечење.
Со триаголник, сè е повеќе или помалку јасно: додаваме по една симетрала, а потоа по другата (слика 1).
Ѕвездата е исто така доста лесна за справување. Прво треба да го преклопите на половина по оската на симетрија (сосема природно дејство - бидејќи можете да ја „преполовите“ фигурата со еден удар). Потоа - комбинирајте ги двата зраци на ѕвездата едни со други, додавајќи по симетралата на нејзиниот „надворешен“ агол. По ова, од контурата ќе останат само три сегменти, кои лесно се комбинираат (сл. 2).
Лебедот е најтешката работа. Ова е разбирливо: фигура без симетрии, со голем бројзабави; затоа ќе биде неопходно голем бројнабори Дијаграмот за преклопување е прикажан на сл. 3. Едноставните точки со точки претставуваат набори надолу, линиите со точка-цртичка претставуваат набори нагоре. Прво треба да ги означите овие набори посебно, така што листот ќе добие облик на покривот на куќата, а дури потоа преклопете го листот во рамна форма.
Серијата фотографии го прикажува целиот процес на превиткување:
Прочитајте од каде потекнува таков генијален систем на набори во продолжение.
Послеговор
Сите опции предложени во состојбата се само посебни случаи општо прашање, што звучи вака:
Со оглед на многуаголникот на рамен лист хартија, дали е можно да се свитка овој лист така што многуаголникот може да се исече со едно директно сечење?
Излегува дека, без оглед на обликот на многуаголникот, одговорот на ова прашање е секогаш позитивен: да, можеш. (Се разбира, ние сега разговараме за овој проблем од гледна точка на математиката и не ја допираме „физичката“ страна на материјата: невозможно е да се свитка лист хартија премногу пати. Се верува дека тоа е Невозможно е да се свитка дури и многу тенка хартија повеќе од 7-8 пати. Ова е речиси така: со некои со напор, можете да направите 12 свиоци, но малку е веројатно дека ќе можете да направите повеќе.)
Дополнително, ако се нацртаат неколку многуаголници, тогаш листот сè уште може да се превиткува за да може сите да се исечат со едно сечење (и ништо дополнително нема да се исече). Поентата е дека следново е точно теорема:
Нека се нацрта произволен график на парче хартија. Потоа овој лист може да се преклопи така што овој графикон може да се исече со едно сечење и ништо непотребно нема да се исече.
Оваа теорема има алгоритамски доказ. Односно, неговиот доказ дава експлицитен рецепт за тоа како да се конструира потребниот систем на набори.
Накратко, суштината е ова. Прво мора да изградиме правилен скелет. Ова е збир на линии - траектории на темињата на оригиналниот многуаголник - по кои тие се движат за време на неговата специјална компресија. Компресијата работи вака: ги поместуваме страните на многуаголникот „навнатре“ со постојана брзинатака што секоја страна се движи без да ја менува својата насока. Како што можете лесно да видите, на почетокот темињата ќе ползат по симетралите на аглите на многуаголникот. Односно, оваа чудна конструкција на прв поглед едноставно ја генерализира идејата предложена во навестувањето: дека треба да се обидете да ги додадете по симетралите на аглите на многуаголникот. Забележете дека за време на процесот на компресија, полигонот може да се „распадне“ на парчиња, како што се случи на сл. 5.
Откако ќе се добие скелетот, од секое негово теме потребно е да се извлечат зраци нормално на оние страни на првобитната фигура на кои може да се нацртаат. Ако зракот наиде на линија од скелетот, тогаш по преминувањето треба да продолжи не директно, туку по неговата огледална слика во однос на оваа линија. Системот за превиткување се состои од нацртани линии.
Повеќе информации за ова и како да се одреди правецот на преклопот („горе“ или „долу“) може да се најдат во написот E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Преклопување и сечење хартија. Кратка историјаа друг пристап за решавање на проблемот може да се најде на страницата на Ерик Демаин, еден од авторите на докажувањето на теоремата. Можете да прочитате и малку попопуларна приказна за оваа теорема (за жал, и на англиски). И, конечно, ве советувам да го гледате цртаниот филм „Математички етиди“, во кој можете јасно да видите како да преклопите триаголник и ѕвезда, а потоа да ги исечете со едно намалување.
Конечно, забележувам дека прашањата слични на оние дискутирани погоре се поставуваат подолго време. На пример, во една јапонска книга од 1721 година, како еден од проблемите, од читателите беше побарано да отсечат фигура од три обединети ромбови користејќи еден рез (сл. 6). Подоцна, познатиот илузионист Хари Худини го објасни начинот на отсекување ѕвезда во својата книга. Патем, според легендата, токму поради тоа што таква ѕвезда може брзо да се исече од хартија или ткаенина, сега гледаме петкратни ѕвезди на знамето на САД: шивачката Бетси Рос, која, според легендата, го сошила првото знаме, беше во можност да го убеди Џорџ Вашингтон дека тие се подобро искористени за знамето од оние со шест точки што Вашингтон првично сакаше да ги користи.
Photoshop нуди речиси неограничени креативни можности. Сепак, корисниците кои штотуку почнуваат да работат со програмата може да имаат потешкотии во најосновните работи, на пример, цртање геометриски форми. Најчесто, тешкотиите се јавуваат токму кога треба да нацртате триаголник. Всушност, сè е едноставно овде, и ние ќе сфатиме како да го направиме тоа.
Како да нацртате триаголник во Photoshop
Откако го проучувавте левиот панел со алатки, а особено алатките што ви дозволуваат да цртате геометриски фигури, корисникот нема да ја најде иконата за триаголник. Има квадрати, елипси, многуаголници итн., но нема триаголници. И цртањето триаголник се врши со помош на алатката Polygon.
Можете исто така да нацртате триаголник со помош на алатката Straight Line Lasso, иако оваа опција за создавање геометриски форми не е толку очигледна. Ова се прави на следниов начин:
Како што можете да видите, нема ништо тешко во создавањето на триаголник. Користејќи слични обрасци, можете да направите други геометриски форми кои содржат неколку агли. Ако оваа статија ви беше корисна, ве молиме споделете ја со други луѓе, можеби и на нив им е корисен.
Во оваа статија ќе научите како да цртате во Photoshop различни типовитриаголници: рамностран, рамнокрак, скален и правоаголник.
Како да нацртате рамностран триаголник
Рамностран триаголник ги има сите три страни еднакви.
Најлесен начин да се нацрта таков триаголник во Photoshop е да се користи Алатка за полигон.
Изберете ја оваа алатка и во панелот за поставки веднаш наведете го бројот на страни - 3.
Следниот чекор е да се одлучи каков треба да биде идниот триаголник: потребна е векторска форма, растерска форма со цврсто полнење или само преглед. Размислете за сите опции.
Векторски триаголник
Во лентата со опции, изберете ја опцијата Облик слој.
Сега можете да го нацртате самиот триаголник. За време на создавањето, ќе ги видите нејзините граници. Ова е неопходно за да се пресметаат неговите димензии. Исто така, додека не го ослободите копчето на глувчето, можете да го ротирате.
Доброто кај векторскиот триаголник е што можете брзо да ја промените неговата боја, како и безболно да ја менувате неговата големина без да го изгубите квалитетот. За да го направите ова, повикајте ја командата - Ctrl+T.
За подоцна да го претворите во растерски триаголник, користете ја командата.
Растерски триаголник со цврсто полнење
Ќе го добиете истиот триаголник како во примерот погоре, но веднаш ќе биде во растерот.
За да го направите ова, во лентата со опции треба да ја изберете поставката Пополнете пиксели.
Пред да креирате таков триаголник, прво мора.
Сега нацртајте форма и таа ќе биде како најобичниот битмап елемент.
Како да нацртате преглед на рамностран триаголник
За таква форма, изберете ја опцијата во лентата со опции Контури.
Нацртајте триаголник. Секако, ќе го добиете само неговиот преглед. Следно, со избраната иста алатка, кликнете со десното копче внатре во патеката. Ќе се појави контекстуално мени. Изберете тим Создадете област за избор.
Ќе се отвори дијалог прозорец. Оставете го радиусот на пердуви на 0. Кликнете OK.
Како резултат на тоа, го направивме од прегледот.
За да го направите ова, извршете ја командата Уредување - Мозочен удар. Ќе се појави прозорец во кој ја одредувате дебелината на линијата на удар, како и како ќе помине во однос на линијата за избор со точки: внатре, во центарот, надвор.
Фотошоп направи удар, сега отстранете ја линијата за избор со точки за да не се меша - Ctrl+D. Резултат:
Како да нацртате рамнокрак триаголник
Рамнокрак триаголник има две еднакви страни.
Ајде да погледнеме пример кога треба да цртате рамнокрак триаголникодредени големини. Да речеме дека основата е 300 пиксели, а висината е 400 пиксели.
Подготвени
Според дадените димензии се црта рамнокрак триаголник!
Во правоаголен триаголник, еден од аглите е 90 степени.
Ако ви треба правоаголен триаголник со претходно познати димензии, на пример, димензиите на краците се 200 и 300 пиксели, тогаш најлесниот начин да го направите ова е како што следува:
Чекор 1
Направете нов документ во Photoshop со висина и ширина еднаква на димензиите на краците: на пример, нека ширината е 300 пиксели, а висината 200 пиксели.
Работната површина во Photoshop е секогаш правоаголна, така што веќе ќе се обезбеди агол од 90 степени. Двете страни на правоаголникот се неговите краци. Останува само да се нацрта дијагоналата - ова ќе биде хипотенузата.
Чекор 2
Ќе продолжиме по аналогија со примерот погоре. Земете ја алатката Линијаи поставете ја опцијата Облик слој.
Сега нацртајте линија околу рабовите и поврзете две точки дијагонално:
Чекор 3
Повторно има три слоја на форми во палетата на слоеви. Тие можат да се комбинираат во еден слој (команда Спојување на слоеви).
Подготвени
Правилниот триаголник е подготвен, можете да го обоите во која било боја:
Ако забележите грешка во текстот, изберете ја и притиснете Ctrl + Enter. Ви благодарам!
Измислени се неколку невозможни фигури - скала, триаголник и икс. Овие бројки се всушност сосема реални во тридимензионална слика. Но, кога уметникот проектира волумен на хартија, предметите изгледаат невозможни. Триаголникот, кој исто така се нарекува „племеница“, стана прекрасен пример за тоа како невозможното станува возможно кога ќе вложите труд.
Сите овие бројки се убави илузии. Достигнувањата на човечкиот гениј се користат од уметници кои сликаат во стилот на имп-арт.
Ништо не е невозможно. Ова може да се каже за триаголникот Пенроуз. Ова е геометриски невозможна фигура, чии елементи не можат да се поврзат. На крајот на краиштата, невозможниот триаголник стана возможен. Шведскиот сликар Оскар Ројтерсвард во 1934 година го запозна светот со невозможниот триаголник направен од коцки. О. Ројтерсвард се смета за откривач на оваа визуелна илузија. Во чест на овој настан, овој цртеж подоцна беше отпечатен на шведска поштенска марка.
И во 1958 година, математичарот Роџер Пенроуз објави публикација во Англиски магазинза невозможните бројки. Токму тој го создаде научниот модел на илузија. Роџер Пенроуз беше неверојатен научник. Спровел истражување во областа на теоријата на релативноста, како и фасцинантното квантна теорија. Тој беше награден со наградата Волф заедно со С. Хокинг.
Познато е дека уметникот Мауритс Ешер, под впечаток на овој напис, го насликал своето неверојатно дело - литографијата „Водопад“. Но, дали е можно да се направи триаголник на Пенроуз? Како да го направите тоа, ако е можно?
Племе и реалност
Иако фигурата се смета за невозможна, правењето триаголник на Пенроуз со свои раце е лесно како гранатирање круши. Може да се направи од хартија. Љубителите на оригами едноставно не можеа да го игнорираат племето и сепак најдоа начин да создадат и држат во раце нешто што претходно изгледаше надвор од имагинацијата на научникот.
Меѓутоа, ние сме измамени од сопствените очи кога ја гледаме проекцијата на тродимензионален објект од три нормални линии. Набљудувачот мисли дека гледа триаголник, иако всушност не гледа.
Геометриски занаети
Племенскиот триаголник, како што е наведено, всушност не е триаголник. Триаголникот Пенроуз е илузија. Само од одреден агол изгледа некој предмет рамностран триаголник. Меѓутоа, објектот во својата природна форма е 3 лица на коцка. Во таква изометриска проекција, на рамнината се совпаѓаат 2 агли: најблискиот до гледачот и најоддалечениот.
Оптичката илузија, се разбира, брзо се открива веднаш штом ќе го земете овој објект. Сенката исто така ја открива илузијата, бидејќи сенката на племето јасно покажува дека аглите не се совпаѓаат во реалноста.
Племено од хартија. Шема
Како да направите триаголник Penrose со свои раце од хартија? Дали има некои шеми за овој модел? Денес се измислени 2 распореди со цел да се преклопи таков невозможен триаголник. Основната геометрија ви кажува точно како да преклопите објект.
За да преклопите триаголник Пенроуз со свои раце, ќе треба да одвоите само 10-20 минути. Треба да подготвите лепак, ножици за неколку исеченици и хартија на која е испечатен дијаграмот.
Од такво празно се добива најпопуларниот невозможен триаголник. Занаетот за оригами не е премногу тежок за правење. Затоа, дефинитивно ќе успее првиот пат, дури и за ученик кој штотуку започнал да учи геометрија.
Како што можете да видите, излегува дека е многу убав занает. Второто парче изгледа различно и се превиткува поинаку, но самиот триаголник Penrose завршува исто.
Чекори за создавање триаголник на Пенроуз од хартија.
Изберете едно од 2 празни места погодни за вас, копирајте ја датотеката и отпечатете. Овде даваме пример за вториот модел на распоред, кој е малку поедноставен.
Самото празно оригами „Трибар“ веќе ги содржи сите потребни совети. Всушност, инструкциите за колото не се потребни. Доволно е само да го преземете на дебел медиум за хартија, инаку ќе биде незгодно да работи и фигурата нема да функционира. Ако не можете веднаш да печатите на картон, тогаш треба да ја прикачите скицата на новиот материјал и да го отсечете цртежот по контурата. За погодност, можете да прицврстите со клипови за хартија.
Што да се прави следно? Како чекор по чекор да свиткате триаголник на Пенроуз со свои раце? Треба да го следите овој акционен план:
- Да насочиме задната странаножици оние линии каде што треба да се наведнуваат, според упатствата. Свиткајте ги сите линии
- Ние правиме исечоци каде што е потребно.
- Користејќи PVA, ги лепиме заедно оние белешки што се наменети да го држат делот заедно во една целина.
Готовиот модел може да се обои во која било боја или однапред да земете картон во боја за работа. Но, дури и ако предметот е направен од бела хартија, сепак, секој кој прв пат ќе влезе во вашата дневна соба сигурно ќе биде обесхрабрен од таков занает.
Цртеж на триаголник
Како да нацртате триаголник на Пенроуз? Не секој сака да прави оригами, но многу луѓе сакаат да цртаат.
За почеток, нацртајте обичен квадрат од која било големина. Потоа внатре е нацртан триаголник, чија основа е долната страна на квадратот. Во секој агол е поставен мал правоаголник, чиишто страни се бришат; Остануваат само оние страни што се во непосредна близина на триаголникот. Ова е неопходно за да се осигура дека линиите се прави. Резултатот е триаголник со скратени агли.
Следната фаза е сликата на втората димензија. Од левата страна на горниот долен агол се повлекува строго права линија. Истата линија е повлечена почнувајќи од долниот лев агол и малку не е доведена до првата линија од втората димензија. Друга линија е повлечена од десниот агол паралелно со долната страна на главната фигура.
Последната фаза е да се нацрта третата внатре во втората димензија користејќи уште три мали линии. Малите линии започнуваат од линиите на втората димензија и ја комплетираат сликата на тридимензионален волумен.
Други фигури на Пенроуз
Користејќи ја истата аналогија, можете да нацртате други форми - квадрат или шестоаголник. Илузијата ќе се одржи. Но, сепак, овие бројки веќе не се толку неверојатни. Таквите многуаголници едноставно се чини дека се многу извиткани. Модерната графика овозможува создавање поинтересни верзии на познатиот триаголник.
Покрај триаголникот, светски познати се и скалите Пенроуз. Идејата е да се измами окото, правејќи да изгледа дека лицето постојано се крева нагоре кога се движи во насока на стрелките на часовникот и надолу кога се движи спротивно од стрелките на часовникот.
Континуираното скалило е најдобро познато по поврзаноста со сликата на М. Ешер „Искачување и спуштање“. Интересно е што кога човек ќе ги помине сите 4 лета на ова илузорно скалило, тој секогаш завршува таму каде што почнал.
Исто така, познати се и други предмети кои го доведуваат во заблуда човечкиот ум, како што е невозможниот блок. Или кутија направена според истите закони на илузија со пресечни рабови. Но, сите овие предмети се веќе измислени врз основа на статија од извонреден научник - Роџер Пенроуз.
Невозможен триаголник во Перт
Фигурата именувана по математичарот е почестена. Нејзе и е подигнат споменик. Во 1999 година, во еден од градовите на Австралија (Перт) беше инсталиран голем триаголник Penrose изработена од алуминиум, која е висока 13 метри. Туристите уживаат да се фотографираат покрај алуминиумскиот гигант. Но, ако изберете поинаков агол за фотографирање, измамата станува очигледна.
Кога бев „чајник“, се соочив со потребата да нацртам триаголник во Photoshop. Тогаш не можев да се справам со оваа задача без надворешна помош.
Се испостави дека сè не е толку комплицирано како што може да изгледа на прв поглед. Во оваа лекција ќе го споделам со вас моето искуство во цртање триаголници.
Има два (мене познати) начини.
Првиот метод ви овозможува да нацртате рамностран триаголник. За да го направите ова, ни треба алатка наречена „Полигон“. Се наоѓа во делот форми на десната лента со алатки.
Оваа алатка ви овозможува да цртате правилни полигони со одреден број страни. Во нашиот случај ќе има три од нив (страни).
По поставувањето на бојата за полнење
Ставете го курсорот на платното, држете го левото копче на глувчето и нацртајте ја нашата фигура. За време на процесот на креирање, триаголникот може да се ротира без отпуштање на копчето на глувчето.
Резултат:
Покрај тоа, можете да нацртате форма без полнење, но со преглед. Контурните линии се конфигурирани во горната лента со алатки. Таму може да се прилагоди и полнењето, поточно недостатокот.
Ги добив следните триаголници:
Можете да експериментирате со поставките за да го постигнете посакуваниот резултат.
Следната алатка за цртање триаголници е „Ласо со права линија“.
Оваа алатка ви овозможува да цртате триаголници со какви било пропорции. Ајде да се обидеме да нацртаме правоаголна форма.
За правоаголен триаголникќе треба точно да нацртаме правилен (кој би помислил...) агол.
Ајде да ги користиме водичите. Како да работите со линии на водич во Photoshop, прочитајте ја оваа статија.
Значи, ја прочитавме статијата, ајде да ги повлечеме водичите. Едниот вертикален, другиот хоризонтален.
За да го направите изборот „привлечен“ кон водичите, вклучете ја функцијата за прилепување.
Потоа кликнете со десното копче внатре во изборот и изберете, во зависност од вашите потреби, ставки од контекстното мени „Изврши пополнување“или "Мозочен удар".
Бојата за полнење е конфигурирана на следниов начин:
Ширината и положбата на ударот исто така може да се прилагодат.
Ги добиваме следните резултати:
Полнење.
За добивање остри аглимозочниот удар треба да се направи "Внатре".
По укинувањето на ( CTRL+D) добиваме завршен правоаголен триаголник.
Ова се двата наједноставни начини за цртање триаголници во Photoshop.
