Лекција: Како да се конструира парабола или квадратна функција?
ТЕОРЕТСКИ ДЕЛ
Парабола е график на функција опишана со формулата ax 2 +bx+c=0.
За да изградите парабола, треба да следите едноставен алгоритам:
1) Формула за парабола y=ax 2 +bx+c,
Ако a>0тогаш се насочени гранките на параболата нагоре,
во спротивно гранките на параболата се насочени надолу.
Бесплатен член воваа точка ја пресекува параболата со оската OY;
2), се наоѓа со помош на формулата x=(-b)/2a, пронајденото x го заменуваме во равенката на параболата и наоѓаме y;
3)Функција нулиили, со други зборови, точките на пресек на параболата со оската OX, тие се нарекуваат и корени на равенката. За да ги најдеме корените, ја изедначуваме равенката со 0 секира 2 +bx+c=0;
Видови равенки:
а) Целосно квадратна равенкаизгледа како секира 2 +bx+c=0а се решава од дискриминаторот;
б) Нецелосна квадратна равенка на формата секира 2 +bx=0.За да го решите, треба да го извадите x од заградите, а потоа да го изедначите секој фактор со 0:
секира 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 и ax+b=0;
в) Нецелосна квадратна равенка на формата секира 2 +c=0.За да го решите, треба да ги преместите непознатите на едната, а познатите на другата страна. x =±√(c/a);
4) Најдете неколку дополнителни точки за да ја конструирате функцијата.
ПРАКТИЧЕН ДЕЛ
И така, сега, користејќи пример, ќе анализираме сè чекор по чекор:
Пример #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=3. Гранките на параболата гледаат нагоре бидејќи a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 теме е во точката (-2;-1)
Да ги најдеме корените на равенката x 2 +4x+3=0
Користејќи го дискриминантот ги наоѓаме корените
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Да земеме неколку произволни точки кои се наоѓаат во близина на темето x = -2
x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3
Заменете наместо x во равенката y=x 2 +4x+3 вредности
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата x = -2
Пример #2:
y=-x 2 +4x
c=0 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=0. Гранките на параболата гледаат надолу бидејќи a=-1 -1 Да ги најдеме корените на равенката -x 2 +4x=0
Непотполна квадратна равенка од формата ax 2 +bx=0. За да го решите, треба да го извадите x од заградите, а потоа да го изедначите секој фактор со 0.
x(-x+4)=0, x=0 и x=4.
Да земеме неколку произволни точки кои се наоѓаат во близина на темето x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Заменете наместо x во равенката y=-x 2 +4x вредности
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата линија x = 2
Пример бр. 3
y=x 2 -4
c=4 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=4. Гранките на параболата гледаат нагоре бидејќи a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 темето е во точката (0;- 4 )
Да ги најдеме корените на равенката x 2 -4=0
Непотполна квадратна равенка од формата ax 2 +c=0. За да го решите, треба да ги преместите непознатите на едната, а познатите на другата страна. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Да земеме неколку произволни точки кои се наоѓаат во близина на темето x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Заменете наместо x во равенката y= x 2 -4 вредности
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата линија x = 0
Претплатете се на каналот на YOUTUBEда бидете во тек со сите нови производи и да се подготвите кај нас за испити.
Презентацијата „Функција y=ax 2, нејзиниот график и својства“ е визуелно помагало што е создадено да го придружува објаснувањето на наставникот на оваа тема. Оваа презентација детално ја разгледува квадратната функција, нејзините својства, карактеристиките на заплетот и практичната примена на методите што се користат за решавање проблеми во физиката.
Со обезбедување висок степенјасност, овој материјал ќе му помогне на наставникот да ја зголеми ефективноста на наставата и ќе даде можност порационално да го распредели времето на часот. Со помош на анимациски ефекти, истакнување на концепти и важни точки во боја, вниманието на учениците е насочено кон предметот што се изучува, постигнувајќи подобро меморирањедефиниции и текот на расудувањето при решавање на проблеми.
Презентацијата започнува со вовед во насловот на презентацијата и концептот квадратна функција. Се нагласува важноста на оваа тема. Од учениците се бара да ја запомнат дефиницијата за квадратна функција како функционална зависност од формата y=ax 2 +bx+c, во која е независна променлива и се броеви, со a≠0. Одделно, на слајдот 4 е забележано за запомнување дека доменот на дефиниција на оваа функција е целата оска на реалните вредности. Конвенционално, оваа изјава се означува со D(x)=R.
Пример за квадратна функција е нејзината важна примена во физиката - формулата за зависност од патека за подеднакво забрзано движењеод времето. Во исто време, на часовите по физика, учениците учат формули за различни видови движења, така што ќе им треба способност да решаваат такви проблеми. На слајдот 5, учениците се потсетуваат дека кога телото се движи со забрзување и на почетокот на времето се брои поминатото растојание и брзината на движење, тогаш функционалната зависност што го претставува таквото движење ќе биде изразена со формулата S = (на 2)/2+v 0 t+S 0. Подолу е пример за претворање на оваа формула во дадена квадратна функција ако вредностите на забрзување = 8, почетна брзина = 3 и почетна патека = 18. Во овој случај, функцијата ќе има форма S=4t 2 +3t+18.
Слајдот 6 ја испитува формата на квадратната функција y=ax 2, во која таа е претставена на. Ако =1, тогаш квадратната функција има форма y=x 2. Забележано е дека графикот на оваа функција ќе биде парабола.
Следниот дел од презентацијата е посветен на исцртување на квадратна функција. Се предлага да се разгледа исцртување на функцијата y=3x 2 . Прво, табелата ја означува кореспонденцијата помеѓу вредностите на функцијата и вредностите на аргументите. Забележано е дека разликата помеѓу конструираниот график на функцијата y=3x 2 и графикот на функцијата y=x 2 е дека секоја вредност ќе биде три пати поголема од соодветната. Оваа разлика е добро следена во приказот на табелата. Во близина, во графичкиот приказ, јасно се гледа и разликата во стеснувањето на параболата.
Следниот слајд го разгледува исцртувањето на квадратната функција y=1/3 x 2. За да изградите график, треба да ги наведете во табелата вредностите на функцијата во голем број нејзини точки. Забележано е дека секоја вредност на функцијата y=1/3 x 2 е 3 пати помала од соодветната вредност на функцијата y=x 2. Оваа разлика, покрај табелата, е јасно видлива и на графиконот. Неговата парабола е попроширена во однос на оската на ординатите отколку параболата на функцијата y=x 2.
Примерите ви помагаат да разберете општо правило, според кој потоа можете поедноставно и побрзо да ги конструирате соодветните графикони. На слајдот 9 е истакнато посебно правило дека графикот на квадратната функција y=ax 2 може да се конструира во зависност од вредноста на коефициентот со истегнување или стеснување на графикот. Ако a>1, тогаш графикот се протега од x-оската за фактор. Ако 0 Заклучокот за симетријата на графиконите на функциите y=ax 2 и y=-ax2 (на ≠0) во однос на оската на апсцисата е посебно означен на слајдот 12 за меморирање и јасно е прикажан на соодветниот график. Следно, концептот на графикот на квадратна функција y=x 2 е проширен на поопшт случај на функцијата y=ax 2, наведувајќи дека таквиот график ќе се нарекува и парабола. Слајдот 14 ги разгледува својствата на квадратната функција y=ax 2 кога е позитивна. Забележано е дека неговиот график минува низ потеклото и сите точки освен лежат во горната полурамнина. Забележана е симетријата на графикот во однос на оската на ординатите, наведувајќи дека спротивните вредности на аргументот одговараат на истите вредности на функцијата. Се означува дека интервалот на намалување на оваа функција е (-∞;0], а зголемувањето на функцијата се врши на интервалот. Вредностите на оваа функција го покриваат целиот позитивен дел од реалната оска, тоа е еднаква на нула во точката и нема најголема вредност. Слајдот 15 ги опишува својствата на функцијата y=ax 2 ако е негативна. Забележано е дека неговиот график исто така поминува низ потеклото, но сите негови точки, освен, лежат во долната полурамнина. Графикот е симетричен во однос на оската, а спротивните вредности на аргументот одговараат на еднакви вредности на функцијата. Функцијата се зголемува на интервалот и се намалува. Вредностите на оваа функција лежат во интервалот, тој е еднаков на нула во точка и нема минимална вредност. Сумирајќи ги разгледаните карактеристики, на слајдот 16 се заклучува дека гранките на параболата се насочени надолу кон и нагоре кон. Параболата е симетрична во однос на оската, а темето на параболата се наоѓа на местото на нејзиното вкрстување со оската. Темето на параболата y=ax 2 е почеток. Исто така, важен заклучок за трансформациите на параболи е прикажан на слајдот 17. Презентира опции за трансформација на графикот на квадратна функција. Забележано е дека графикот на функцијата y=ax 2 се трансформира со симетрично прикажување на графикот во однос на оската. Исто така, можно е да се компресира или истегне графикот во однос на оската. Последниот слајд извлекува општи заклучоци за трансформациите на графикот на функцијата. Презентирани се заклучоците дека графикот на функцијата се добива со симетрична трансформација околу оската. А графикот на функцијата се добива со компресирање или истегнување на оригиналниот график од оската. Во овој случај, затегнувачко продолжување од оската се забележува во случај кога. Со компресирање на оската за 1/a пати, графикот се формира во куќиштето. Презентацијата „Функција y=ax 2, нејзиниот график и својства“ наставникот може да ја користи како визуелно помагало на час по алгебра. Исто така, овој прирачник добро ја покрива темата, давајќи длабинско разбирање на темата, за да може да биде понуден за независно проучување од страна на студентите. Овој материјал исто така ќе му помогне на наставникот да дава објаснувања за време на учењето на далечина. Размислете за израз од формата ax 2 + bx + c, каде што a, b, c се реални броеви, а a се разликува од нула. Овој математички израз е познат како квадратен трином. Потсетиме дека секирата 2 е водечки член на овој квадратен трином, а a е неговиот водечки коефициент. Но, квадратниот трином не ги има секогаш сите три члена. Да го земеме на пример изразот 3x 2 + 2x, каде што a=3, b=2, c=0. Да преминеме на квадратната функција y=ax 2 +in+c, каде што a, b, c се произволни броеви. Оваа функција е квадратна бидејќи содржи член од втор степен, односно x квадрат. Сосема е лесно да се конструира график на квадратна функција; на пример, можете да го користите методот за изолирање на совршен квадрат. Да разгледаме пример за конструирање график на функцијата y еднакво на -3x 2 - 6x + 1. За да го направите ова, првото нешто што го паметиме е шемата за изолирање на целосен квадрат во триномот -3x 2 - 6x + 1. Ајде да земеме -3 од загради за првите два мандата. Имаме -3 пати од збирот x на квадрат плус 2x и додаваме 1. Со собирање и одземање на една во заграда, ја добиваме формулата за збир на квадрат, која може да се склопи. Добиваме -3 помножено со збирот (x+1) на квадрат минус 1 додаваме 1. Отворајќи ги заградите и собирајќи слични членови, го добиваме изразот: -3 помножен со квадратот на збирот (x+1) додадете 4. Ајде да изградиме график на добиената функција со преместување во помошен координатен систем со почеток во точката со координати (-1; 4). На сликата од видеото, овој систем е означен со точки со точки. Да ја поврземе функцијата y еднаква -3x2 со конструираниот координатен систем. За погодност, да ги преземеме контролните точки. На пример, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Во исто време ќе ги оставиме на страна во конструираниот координатен систем. Параболата добиена за време на изградбата е графикот што ни треба. На сликата е црвена парабола. Користејќи го методот на изолирање на целосен квадрат, имаме квадратна функција од формата: y = a*(x+1) 2 + m. Графикот на параболата y = ax 2 + bx + c може лесно да се добие од параболата y = ax 2 со паралелно преведување. Ова е потврдено со теорема што може да се докаже со изолирање на совршениот квадрат на биномот. Изразот ax 2 + bx + c по последователни трансформации се претвора во израз од формата: a*(x+l) 2 + m. Ајде да нацртаме графикон. Да извршиме паралелно движење на параболата y = ax 2, порамнувајќи го темето со точката со координати (-l; m). Важно е x = -l, што значи -b/2a. Ова значи дека оваа права линија е оската на параболата секира 2 + bx + c, нејзиното теме е во точката со апсциса x нула е еднаква на минус b поделена со 2a, а ординатата се пресметува со помош на незгодната формула 4ac - b 2 /. Но, не мора да се сеќавате на оваа формула. Бидејќи, со замена на вредноста на апсцисата во функцијата, ја добиваме ординатата. За да ја одредите равенката на оската, насоката на нејзините гранки и координатите на темето на параболата, разгледајте го следниот пример. Да ја земеме функцијата y = -3x 2 - 6x + 1. Откако ја составивме равенката за оската на параболата, имаме дека x = -1. И оваа вредност е x координатата на темето на параболата. Останува само да се најде ординатата. Заменувајќи ја вредноста -1 во функцијата, добиваме 4. Темето на параболата е во точката (-1; 4). Графикот на функцијата y = -3x 2 - 6x + 1 е добиен со паралелно пренесување на графикот на функцијата y = -3x 2, што значи дека се однесува слично. Водечкиот коефициент е негативен, па гранките се насочени надолу. Гледаме дека за која било функција од формата y = ax 2 + bx + c, најлесното прашање е последното прашање, односно насоката на гранките на параболата. Ако коефициентот a е позитивен, тогаш гранките се нагоре, а ако се негативни, тогаш гранките се надолу. Следното најтешко прашање е првото прашање, бидејќи бара дополнителни пресметки. А второто е најтешко, бидејќи покрај пресметките ви треба и познавање на формулите според кои x е нула, а y е нула. Ајде да изградиме график на функцијата y = 2x 2 - x + 1. Веднаш одредуваме дека графикот е парабола, гранките се насочени нагоре, бидејќи водечкиот коефициент е 2, а ова е позитивен број. Користејќи ја формулата, наоѓаме дека апсцисата x е нула, таа е еднаква на 1,5. За да ја пронајдете ординатата, запомнете дека y нулата е еднаква на функција од 1,5, кога пресметуваме, добиваме -3,5. Врв - (1,5;-3,5). Оска - x=1,5. Да ги земеме точките x=0 и x=3. y=1. Да ги означиме овие точки. Врз основа на три познати точки, го конструираме саканиот график. За да нацртате график на функцијата ax 2 + bx + c ви треба: Најдете ги координатите на темето на параболата и означете ги на сликата, а потоа нацртајте ја оската на параболата; На оската о, земете две точки кои се симетрични во однос на оската на параболата, најдете ја вредноста на функцијата во овие точки и означете ги на координатната рамнина; Конструирајте парабола низ три точки; доколку е потребно, можете да земете уште неколку точки и да изградите график врз основа на нив. Во следниот пример ќе научиме како да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на функцијата -2x 2 + 8x - 5 на сегментот. Според алгоритмот: a=-2, b=8, што значи x нула е 2, а y нула е 3, (2;3) е темето на параболата, а x=2 е оската. Да ги земеме вредностите x=0 и x=4 и да ги најдеме ординатите на овие точки. Ова е -5. Градиме парабола и одредуваме дека најмалата вредност на функцијата е -5 при x=0, а најголемата е 3 на x=2. Дополнителни материјали Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 8 одделение
Момци, во последните часови изградивме голем број графикони, вклучувајќи и многу параболи. Денес ќе го сумираме знаењето што го стекнавме и ќе научиме како да ја нацртаме оваа функција во нејзината најопшта форма. Да ја погледнеме функцијата $y=a*x^2+b*x+c$. Оваа функција се нарекува „квадратна“ затоа што најголемата моќност е втора, односно квадрат. Коефициентите се исти како што е дефинирано погоре. Во последната лекција, во последниот пример, погледнавме како нацртавме график на слична функција. Графикот на таква функција е конструиран со помош на дополнителен координатен систем. Во големата математика, бројките се доста ретки. Речиси секој проблем треба да се докаже во најопшт случај. Денес ќе разгледаме еден таков доказ. Момци, можете да ја видите целата моќ на математичкиот апарат, но и неговата сложеност. Да го изолираме совршениот квадрат од квадратниот трином: За да го нацртате графикот $y=a(x+l)^2+m$, треба да ја нацртате функцијата $y=ax^2$. Покрај тоа, темето на параболата ќе се наоѓа во точката со координати $(-l;m)$. Пример 1. Решение. Решение. Постојат многу начини да се поедностави конструкцијата на графикони со параболи. Пример 3. Решение. 
Презентација и лекција на тема:
„График на функцијата $y=ax^2+bx+c$. Својства“
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Прирачник за учебникот од Дорофеев Г.В. Прирачник за учебникот од Николски С.М.
Да го погледнеме квадратниот трином $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ се нарекуваат коефициенти. Тие можат да бидат какви било броеви, но $a≠0$. $a*x^2$ се нарекува водечки член, $a$ е водечки коефициент. Вреди да се напомене дека коефициентите $b$ и $c$ можат да бидат еднакви на нула, односно триномот ќе се состои од два члена, а третиот е еднаков на нула.
Да докажеме дека секоја таква квадратна функција може да се сведе на формата: $y=a(x+l)^2+m$.
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2а))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Го добивме тоа што го сакавме.
Секоја квадратна функција може да се претстави како:
$y=a(x+l)^2+m$, каде што $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Значи, нашата функција $y=a*x^2+b*x+c$ е парабола.
Оската на параболата ќе биде права линија $x=-\frac(b)(2a)$, а координатите на темето на параболата долж оската на апсцисата, како што можеме да видиме, се пресметуваат со формулата: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
За да ја пресметате координатата на y-оската на темето на параболата, можете:
Како да се пресмета ординатата на теме? Повторно, изборот е ваш, но обично вториот метод ќе биде полесен за пресметување.
Ако треба да опишете некои својства или да одговорите на некои конкретни прашања, не треба секогаш да изградите график на функцијата. Ќе ги разгледаме главните прашања на кои може да се одговори без конструкција во следниот пример.
Без графика на функцијата $y=4x^2-6x-3$, одговорете на следниве прашања:
а) Оската на параболата е права линија $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 ) (4) $.
б) Ја најдовме апсцисата на темето над $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Ја наоѓаме ординатата на темето со директна замена во оригиналната функција:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
в) Графикот на потребната функција ќе се добие со паралелно пренесување на графикот $y=4x^2$. Неговите гранки гледаат нагоре, што значи дека гранките на параболата на оригиналната функција исто така ќе гледаат нагоре.
Во принцип, ако коефициентот $a>0$, тогаш гранките гледаат нагоре, ако коефициентот $a
Пример 2.
Графиконирајте ја функцијата: $y=2x^2+4x-6$.
Да ги најдеме координатите на темето на параболата:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Да ја означиме координатата на темето на координатната оска. Во овој момент, како во нов координатен систем, ќе конструираме парабола $y=2x^2$.
Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата: $y=-x^2+6x+4$ на отсечката $[-1;6]$.
Ајде да изградиме график на оваа функција, да го избереме потребниот интервал и да ги најдеме најниските и највисоките точки на нашиот график.
Да ги најдеме координатите на темето на параболата:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
Во точката со координати $(3;13)$ конструираме парабола $y=-x^2$. 
Ајде да го избереме потребниот интервал. 
Најниската точка има координата -3, највисоката точка има координата 13.
$y_(име)=-3$; $y_(максимум)=13$.Проблеми кои треба да се решаваат самостојно
1. Без графика на функцијата $y=-3x^2+12x-4$, одговорете на следниве прашања:
а) Идентификувајте ја правата линија што служи како оска на параболата.
б) Најдете ги координатите на темето.
в) На која страна покажува параболата (нагоре или надолу)?
2. Конструирај график на функцијата: $y=2x^2-6x+2$.
3. Графиконирајте ја функцијата: $y=-x^2+8x-4$.
4. Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата: $y=x^2+4x-3$ на отсечката $[-5;2]$.
