Наоѓање на должина на вектор, примери и решенија. Вектори: основни дефиниции и поими Дефинирајте ја должината на векторот

Дефиниција

Скаларна количина- количина што може да се карактеризира со број. На пример, должина, површина, маса, температура итн.

Векторнаречен насочен сегмент $\overline(A B)$; точката $A$ е почеток, точката $B$ е крајот на векторот (сл. 1).

Векторот се означува или со две големи букви - неговиот почеток и крај: $\overline(A B)$ или со една мала буква: $\overline(a)$.

Дефиниција

Ако почетокот и крајот на векторот се совпаѓаат, тогаш се нарекува таков вектор нула. Најчесто, векторот нула е означен како $\overline(0)$.

Векторите се нарекуваат колинеарна, ако лежат или на иста или на паралелни прави (сл. 2).

Дефиниција

Се повикуваат два колинеарни вектори $\overline(a)$ и $\overline(b)$ корежиран, ако нивните насоки се совпаѓаат: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (сл. 3, а). Се повикуваат два колинеарни вектори $\overline(a)$ и $\overline(b)$ спротивно насочени, ако нивните насоки се спротивни: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (сл. 3, b).

Дефиниција

Векторите се нарекуваат компланарни, ако се паралелни на иста рамнина или лежат во иста рамнина (сл. 4).

Два вектори се секогаш компланарни.

Дефиниција

Должина (модул)вектор $\overline(A B)$ е растојанието помеѓу неговиот почеток и крај: $|\overline(A B)|$

Детална теорија за должината на векторот на линкот.

Должината на векторот нула е нула.

Дефиниција

Се нарекува вектор чија должина е еднаква на еден единица векторили ортом.

Векторите се нарекуваат еднакви, ако лежат на една или паралелна права; нивните насоки се совпаѓаат и нивните должини се еднакви.

Ќе има и проблеми кои ќе ги решите сами, на кои ќе можете да ги видите одговорите.

Векторски концепт

Пред да научите сè за векторите и операциите на нив, подгответе се да решите едноставен проблем. Постои вектор на вашето претприемништво и вектор на вашите иновативни способности. Векторот на претприемништво ве води до целта 1, а векторот на иновативни способности ве води до целта 2. Правилата на играта се такви што не можете да се движите по насоките на овие два вектори одеднаш и да постигнете две цели одеднаш. Векторите стапуваат во интеракција или, зборувајќи на математички јазик, одредена операција се изведува на вектори. Резултатот од оваа операција е векторот „Резултат“, кој ве води до Целта 3.

Сега кажи ми: резултатот од која операција на векторите „Претприемништво“ и „Иновативни способности“ е векторот „Резултат“? Ако не можете веднаш да кажете, не се обесхрабрувајте. Како што напредувате низ оваа лекција, ќе можете да одговорите на ова прашање.

Како што веќе видовме погоре, векторот нужно доаѓа од одредена точка Аво права линија до одреден момент Б. Следствено, секој вектор има не само нумеричка вредност - должина, туку и физичка и геометриска вредност - насока. Од ова доаѓа првата, наједноставна дефиниција за вектор. Значи, вектор е насочен сегмент што доаѓа од точка Адо точка Б. Се означува на следниов начин: .

И да почнам различни операции со вектори , треба да се запознаеме со уште една дефиниција за вектор.

Вектор е вид на претставување на точка до која треба да се дојде од некоја почетна точка. На пример, тродимензионалниот вектор обично се пишува како (x, y, z) . Во многу едноставни термини, овие бројки значат колку далеку треба да одите во три различни насоки за да стигнете до одредена точка.

Нека е даден вектор. При што x = 3 (десната рака покажува надесно), y = 1 (левата рака покажува напред) z = 5 (под точката има скали кои водат нагоре). Користејќи ги овие податоци, ќе најдете точка со одење 3 метри во насока означена со десната рака, потоа 1 метар во насока означена со левата рака, а потоа ве чека скала и, кревајќи се 5 метри, конечно ќе најдете себе си на крајната точка.

Сите други термини се појаснување на објаснувањето претставено погоре, неопходни за различни операции на вектори, односно за решавање на практични проблеми. Ајде да поминеме низ овие поригорозни дефиниции, фокусирајќи се на типични векторски проблеми.

Физички примеривекторските величини можат да бидат поместување на материјална точка што се движи во просторот, брзината и забрзувањето на оваа точка, како и силата што дејствува на неа.

Геометриски векторпретставени во дводимензионален и тродимензионален простор во форма насочен сегмент. Ова е сегмент кој има почеток и крај.

Ако А- почетокот на векторот, и Б- неговиот крај, тогаш векторот се означува со симболот или една мала буква. На сликата, крајот на векторот е означен со стрелка (сл. 1)

Должина(или модул) на геометриски вектор е должината на сегментот што го генерира

Двата вектори се нарекуваат еднакви , ако можат да се комбинираат (ако насоките се совпаѓаат) со паралелно пренесување, т.е. ако се паралелни, насочени во иста насока и имаат еднакви должини.

Во физиката често се разгледува закачени вектори, специфицирана со точката на примена, должина и насока. Ако точката на примена на векторот не е важна, тогаш тој може да се пренесе, задржувајќи ја својата должина и насока, до која било точка во просторот. Во овој случај, векторот се нарекува бесплатно. Ќе се согласиме да разгледаме само слободни вектори.

Линеарни операции на геометриски вектори

Множење на вектор со број

Производ на вектор по броје вектор кој се добива од вектор со истегнување (at ) или компресирање (at) за фактор, а насоката на векторот останува иста ако , и се менува во спротивно ако . (Сл. 2)

Од дефиницијата произлегува дека векторите и = секогаш се наоѓаат на една или паралелни прави. Таквите вектори се нарекуваат колинеарна. (Можеме исто така да кажеме дека овие вектори се паралелни, но во векторската алгебра вообичаено е да се каже „колинеарно.“) Вистина е и обратното: ако векторите се колинеарни, тогаш тие се поврзани со релацијата

Следствено, еднаквоста (1) ја изразува состојбата на колинеарност на два вектори.

Собирање и одземање на вектори

Кога додавате вектори треба да го знаете тоа износвектори и се нарекува вектор, чиј почеток се совпаѓа со почетокот на векторот, а крајот со крајот на векторот, под услов почетокот на векторот да биде прикачен на крајот на векторот. (сл. 3)

Оваа дефиниција може да се дистрибуира преку кој било конечен број вектори. Нека бидат дадени во вселената nслободни вектори. При собирање на неколку вектори, нивниот збир се зема за затворен вектор, чиј почеток се совпаѓа со почетокот на првиот вектор, а крајот со крајот на последниот вектор. Односно, ако го прикачите почетокот на векторот на крајот на векторот, а почетокот на векторот на крајот на векторот итн. и, конечно, до крајот на векторот - почетокот на векторот, тогаш збирот на овие вектори е вектор на затворање , чиј почеток се совпаѓа со почетокот на првиот вектор, а крајот - со крајот на последниот вектор. (сл. 4)

Поимите се нарекуваат компоненти на векторот, а формулираното правило е правило на многуаголник. Овој многуаголник можеби не е рамен.

Кога вектор ќе се помножи со бројот -1, се добива спротивен вектор. Векторите и имаат исти должини и спротивни насоки. Нивната сума дава нула вектор, чија должина е нула. Насоката на векторот нула не е дефинирана.

Во векторската алгебра, нема потреба да се разгледува операцијата за одземање одделно: одземање на вектор од вектор значи додавање на спротивниот вектор на векторот, т.е.

Пример 1.Поедноставете го изразот:

.

,

односно, векторите може да се собираат и множат со броеви на ист начин како и полиномите (особено, исто така, проблеми за поедноставување на изрази). Вообичаено, потребата да се поедностават линеарно слични изрази со вектори се јавува пред да се пресметаат производите на векторите.

Пример 2.Вектори и служат како дијагонали на паралелограмот ABCD (сл. 4а). Изрази преку и векторите , и , кои се страните на овој паралелограм.

Решение. Точката на пресек на дијагоналите на паралелограм ја преполовува секоја дијагонала. Ние ги наоѓаме должините на векторите потребни во изјавата за проблемот или како половина од збировите на векторите што формираат триаголник со потребните, или како половина од разликите (во зависност од насоката на векторот што служи како дијагонала), или, како и во вториот случај, половина од сумата земена со знакот минус. Резултатот се векторите потребни во изјавата за проблемот:

Постојат сите причини да се верува дека сега точно сте одговориле на прашањето за векторите „Претприемништво“ и „Иновативни способности“ на почетокот на оваа лекција. Точен одговор: се врши операција на собирање на овие вектори.

Сами решавајте векторски проблеми и потоа погледнете ги решенијата

Како да се најде должината на збирот на вектори?

Овој проблем зазема посебно место во операциите со вектори, бидејќи вклучува употреба на тригонометриски својства. Да речеме дека наидовте на задача како следнава:

Дадени се векторските должини и должината на збирот на овие вектори. Најдете ја должината на разликата помеѓу овие вектори.

Решенија за овој и други слични проблеми и објаснувања како да се решат се во лекцијата " Векторско собирање: должина на збирот на вектори и косинусова теорема ".

И можете да го проверите решението за ваквите проблеми на Онлајн калкулатор „Непозната страна на триаголник (векторско собирање и косинусова теорема)“ .

Каде се производите на вектори?

Векторско-векторските производи не се линеарни операции и се разгледуваат одделно. И имаме лекции „Скаларен производ на вектори“ и „Векторски и мешани производи на вектори“.

Проекција на вектор на оска

Проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот од должината на проектираниот вектор и косинусот на аголот помеѓу векторот и оската:

Како што е познато, проекцијата на точка Ана права линија (рамнина) е основата на нормалната спуштена од оваа точка на права линија (рамнина).

Нека е произволен вектор (сл. 5) и и се проекциите на неговото потекло (точки А) и крај (поени Б) по оска л. (Да се ​​конструира проекција на точка А) повлечете права линија низ точката Арамнина нормална на права линија. Пресекот на линијата и рамнината ќе ја одреди потребната проекција.

Векторска компонента на оската lсе нарекува таков вектор кој лежи на оваа оска, чиј почеток се совпаѓа со проекцијата на почетокот, а крајот со проекцијата на крајот на векторот.

Проекција на векторот на оската лповикан број

,

еднаква на должината на векторот на компонентата на оваа оска, земена со знак плус ако насоката на компонентите се совпаѓа со насоката на оската л, и со знак минус ако овие насоки се спротивни.

Основни својства на векторските проекции на оската:

1. Проекциите на еднакви вектори на иста оска се еднакви една со друга.

2. Кога вектор се множи со број, неговата проекција се множи со истиот број.

3. Проекцијата на збирот на вектори на која било оска е еднаква на збирот на проекциите на збировите на векторите на истата оска.

4. Проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот од должината на проектираниот вектор и косинусот на аголот помеѓу векторот и оската:

.

Решение. Ајде да проектираме вектори на оската лкако што е дефинирано во теоретската позадина погоре. Од сл. 5а е очигледно дека проекцијата на збирот на вектори е еднаква на збирот на проекциите на вектори. Ги пресметуваме овие проекции:

Ја наоѓаме конечната проекција на збирот на вектори:

Врска помеѓу вектор и правоаголен Декартов координатен систем во просторот

Запознавање правоаголен Декартов координатен систем во просторот се одржа во соодветната лекција, препорачливо е да го отворите во нов прозорец.

Во подреден систем на координатни оски 0xyzоска Волповикани x-оска, оска 0 г – y-оска, и оска 0z – оската се применуваат.

Со произволна точка Мвектор за поврзување со простор

повикани вектор на радиуспоени Ми проектирајте го на секоја од координатните оски. Да ги означиме величините на соодветните проекции:

Броеви x, y, zсе нарекуваат координати на точката М, соодветно апсциса, ординацијаИ аплицираат, и се напишани како подредена точка на броеви: M(x;y;z)(сл. 6).

Се нарекува вектор со единечна должина чија насока се совпаѓа со насоката на оската единица вектор(или ортом) секири. Да означиме со

Според тоа, единечните вектори на координатните оски Вол, Ој, Оз

Теорема.Секој вектор може да се прошири во единечни вектори на координатни оски:

(2)

Равенството (2) се нарекува проширување на векторот по координатните оски. Коефициентите на ова проширување се проекциите на векторот на координатните оски. Така, коефициентите на проширување (2) на векторот по координатните оски се координати на векторот.

По изборот на одреден координатен систем во просторот, векторот и тројката од неговите координати уникатно се определуваат еден со друг, така што векторот може да се запише во форма

Претставите на векторот во формата (2) и (3) се идентични.

Услов за колинеарност на вектори во координати

Како што веќе забележавме, векторите се нарекуваат колинеарни ако се поврзани со релацијата

Нека се дадени векторите . Овие вектори се колинеарни ако координатите на векторите се поврзани со релацијата

,

односно координатите на векторите се пропорционални.

Пример 6.Дадени се вектори . Дали овие вектори се колинеарни?

Решение. Ајде да ја дознаеме врската помеѓу координатите на овие вектори:

.

Координатите на векторите се пропорционални, затоа, векторите се колинеарни или, што е исто, паралелни.

Векторска должина и насока косинуси

Поради меѓусебната перпендикуларност на координатните оски, должината на векторот

еднаква на должината на дијагоналата на правоаголен паралелепипед изграден на вектори

а се изразува со еднаквоста

(4)

Векторот е целосно дефиниран со одредување на две точки (почеток и крај), така што координатите на векторот може да се изразат во однос на координатите на овие точки.

Нека, во даден координатен систем, потеклото на векторот е во точката

а крајот е на точката

Од еднаквост

Следи тоа

или во координатна форма

Оттука, векторските координати се еднакви на разликите помеѓу истите координати на крајот и почетокот на векторот . Формулата (4) во овој случај ќе има форма

Се одредува насоката на векторот насока косинуси . Тоа се косинусите на аглите што векторот ги прави со оските Вол, ОјИ Оз. Дозволете ни да ги означиме овие агли соодветно α , β И γ . Тогаш косинусите на овие агли може да се најдат со помош на формулите

Косинусите на насоката на векторот се исто така координати на векторот на тој вектор, а со тоа и векторот на векторот

.

Имајќи предвид дека должината на единичниот вектор е еднаква на една единица, т.е

,

ја добиваме следната еднаквост за косинусите на насоката:

Пример 7.Најдете ја должината на векторот x = (3; 0; 4).

Решение. Должината на векторот е

Пример 8.Дадени поени:

Откријте дали триаголникот конструиран на овие точки е рамнокрак.

Решение. Користејќи ја формулата за должина на векторот (6), ги наоѓаме должините на страните и одредуваме дали има две еднакви меѓу нив:

Пронајдени се две еднакви страни, затоа нема потреба да се бара должината на третата страна, а дадениот триаголник е рамнокрак.

Пример 9.Најдете ја должината на векторот и косинусите на неговата насока ако .

Решение. Дадени се векторските координати:

.

Должината на векторот е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на векторските координати:

.

Наоѓање на косинусите на насоката:

Решете го векторскиот проблем сами, а потоа погледнете го решението

Операции на вектори дадени во координатна форма

Нека се дадени два вектори, дефинирани со нивните проекции:

Дозволете ни да посочиме дејства на овие вектори.

Должината на векторот a → ќе се означи со → . Оваа нотација е слична на модулот на број, така што должината на векторот се нарекува и модул на вектор.

За да се најде должината на векторот на рамнината од неговите координати, потребно е да се разгледа правоаголен Декартов координатен систем O x y. Нека во него е наведен некој вектор a → со координати a x; ај. Да воведеме формула за наоѓање на должината (модулот) на векторот a → преку координатите a x и a y.

Да го нацртаме векторот O A → = a → од потеклото. Дозволете ни да ги дефинираме соодветните проекции на точката A на координатните оски како A x и A y. Сега разгледајте правоаголник O A x A A y со дијагонала O A .

Од Питагоровата теорема следи еднаквоста O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , од каде O A = O A x 2 + O A y 2 . Од веќе познатата дефиниција за векторски координати во правоаголен Декартов координатен систем, добиваме дека O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по конструкција, должината на O A е еднаква на должината на векторот O A → , што значи O A → = O A x 2 + O A y 2.

Од ова излегува дека формула за наоѓање должина на вектор a → = a x; a y има соодветна форма: a → = a x 2 + a y 2 .

Ако векторот a → е даден во форма на проширување во координатните вектори a → = a x i → + a y j →, тогаш неговата должина може да се пресмета со истата формула a → = a x 2 + a y 2, во овој случај коефициентите a x а a y се како координати на векторот a → во даден координатен систем.

Пример 1

Пресметај ја должината на векторот a → = 7 ; д, специфициран во правоаголен координатен систем.

Решение

За да ја пронајдеме должината на векторот, ќе ја користиме формулата за наоѓање должина на вектор од координатите a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Одговор: a → = 49 + e.

Формула за наоѓање должина на вектор a → = a x ; a y; a z од неговите координати во Декартовиот координатен систем Oxyz во просторот, е изведен слично на формулата за случајот на рамнина (види слика подолу)

Во овој случај, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (бидејќи OA е дијагонала на правоаголен паралелепипед), па оттука O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Од дефиницијата на векторски координати можеме да ги запишеме следните еднаквости O A x = a x ; O A y = a y; O A z = a z; , а должината OA е еднаква на должината на векторот што го бараме, затоа, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Следи дека должината на векторот a → = a x ; a y; a z е еднакво на a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Пресметај ја должината на векторот a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , каде што i → , j → , k → се единечните вектори на правоаголниот координатен систем.

Решение

Дадено е векторското разложување a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, неговите координати се a → = 4, - 3, 5. Користејќи ја горната формула, добиваме → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Одговор: a → = 5 2 .

Должина на векторот низ координатите на неговите почетни и крајни точки

Погоре беа изведени формули кои ви дозволуваат да ја пронајдете должината на векторот од неговите координати. Разгледавме случаи на авион и во тродимензионален простор. Да ги искористиме за да ги најдеме координатите на векторот од координатите на неговите почетни и крајни точки.

Значи, дадени се точките со дадени координати A (a x ; a y) и B (b x ; b y), па оттука векторот A B → има координати (b x - a x ; b y - a y) што значи дека неговата должина може да се определи со формулата: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

И ако точките со дадени координати A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) се дадени во тродимензионален простор, тогаш должината на векторот A B → може да се пресмета со формулата

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Пример 3

Најдете ја должината на векторот A B → ако во правоаголниот координатен систем A 1, 3, B - 3, 1.

Решение

Користејќи ја формулата за наоѓање должина на векторот од координатите на почетната и крајната точка на рамнината, добиваме A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Второто решение вклучува примена на овие формули за возврат: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Одговор: A B → = 20 - 2 3 .

Пример 4

Определете во кои вредности должината на векторот A B → е еднаква на 30 ако A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Прво, да ја запишеме должината на векторот A B → користејќи ја формулата: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Потоа го изедначуваме добиениот израз со 30, од ​​тука го наоѓаме бараниот λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 и λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Одговор: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Наоѓање на должина на вектор со помош на косинусова теорема

За жал, во проблемите координатите на векторот не се секогаш познати, така што ќе разгледаме други начини за наоѓање на должината на векторот.

Нека се дадени должините на два вектори A B → , A C → и аголот меѓу нив (или косинус на аголот), и треба да ја пронајдете должината на векторот B C → или C B → . Во овој случај, треба да ја користите теоремата на косинус во триаголникот △ A B C и да ја пресметате должината на страната B C, која е еднаква на саканата должина на векторот.

Да го разгледаме овој случај користејќи го следниов пример.

Пример 5

Должините на векторите A B → и A C → се 3 и 7, соодветно, а аголот меѓу нив е π 3. Пресметај ја должината на векторот B C → .

Решение

Должината на векторот B C → во овој случај е еднаква на должината на страната B C на триаголникот △ A B C. Должините на страните A B и A C на триаголникот се познати од условот (тие се еднакви на должините на соодветните вектори), познат е и аголот меѓу нив, така што можеме да ја искористиме косинусната теорема: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Така, B C → = 37 .

Одговор: B C → = 37 .

Значи, за да се најде должината на векторот од координати, постојат следните формули a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , од координатите на почетната и крајната точка на векторот A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 или A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, во некои случаи треба да се користи косинусната теорема .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Окси

ЗА А ОП.

, каде ОП .

Така, .

Ајде да погледнеме на пример.

Пример.

Решение.

:

Одговор:

Оксизво вселената.

А ОПќе биде дијагонала.

Во овој случај (од ОП ОП .

Така, должина на векторот .

Пример.

Пресметајте ја векторската должина

Решение.

, оттука,

Одговор:

Права линија на авион

Општа равенка

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; Б)е нормален вектор.

Во векторска форма: + C = 0, каде е векторот на радиусот на произволна точка на правата (сл. 4.11).

Посебни случаи:

1) Со + C = 0- права линија паралелна на оската Вол;

2) Ax + C = 0- права линија паралелна на оската Ој;

3) Ax + By = 0- правата линија минува низ потеклото;

4) y = 0- оска Вол;

5) x = 0- оска Ој.

Равенка на права во отсечки

Каде а, б- вредностите на сегментите отсечени со права линија на координатните оски.

Нормална равенка на права(Сл. 4.11)

каде е формираниот агол нормално на правата и на оската Вол; стр- растојанието од потеклото до правата линија.

Намалување на општата равенка на права линија во нормална форма:

Еве го нормализираниот фактор на линијата; знакот се избира спротивно на знакот В, ако и произволно, ако C=0.

Наоѓање на должина на вектор од координати.

Должината на векторот ќе ја означиме со . Поради оваа нотација, должината на векторот често се нарекува модул на векторот.

Да почнеме со наоѓање на должината на векторот на рамнина користејќи координати.

Да воведеме правоаголен Декартов координатен систем на рамнината Окси. Нека во него е наведен вектор и нека има координати. Добиваме формула која ни овозможува да ја пронајдеме должината на векторот преку координатите и .

Да го одложиме потеклото на координатите (од точка ЗА) вектор . Да ги означиме проекциите на точката Ана координатните оски како и соодветно и разгледајте правоаголник со дијагонала ОП.

Врз основа на Питагоровата теорема, еднаквоста , каде . Од дефиницијата на векторски координати во правоаголен координатен систем, можеме да констатираме дека и , и со конструкција должината ОПеднаква на должината на векторот, затоа, .

Така, формула за наоѓање должина на векторспоред своите координати на рамнината ја има формата .

Ако векторот е претставен како разложување во координатни вектори , тогаш неговата должина се пресметува со истата формула , бидејќи во овој случај коефициентите и се координати на векторот во даден координатен систем.

Ајде да погледнеме на пример.

Пример.

Најдете ја должината на векторот даден во Декартовиот координатен систем.

Решение.

Веднаш ја применуваме формулата за да ја најдеме должината на векторот од координатите :

Одговор:

Сега ја добиваме формулата за наоѓање на должината на векторот по неговите координати во правоаголен координатен систем Оксизво вселената.

Да го нацртаме векторот од потеклото и да ги означиме проекциите на точката Ана координатните оски како и . Потоа можеме да конструираме правоаголен паралелепипед на страните, во кој ОПќе биде дијагонала.

Во овој случај (од ОП– дијагонала на правоаголен паралелепипед), од каде . Одредувањето на координатите на векторот ни овозможува да напишеме еднаквости и должина ОПеднаква на саканата векторска должина, затоа, .

Така, должина на векторот во просторот е еднаков на квадратниот корен од збирот на квадратите на неговите координати, односно пронајден по формулата .

Пример.

Пресметајте ја векторската должина , каде се единечните вектори на правоаголниот координатен систем.

Решение.

Добиено ни е векторско распаѓање на координатни вектори на формата , оттука, . Потоа, користејќи ја формулата за наоѓање должина на векторот од координати, имаме .

Пред да преминеме на темата на статијата, да се потсетиме на основните концепти.

Дефиниција 1

Вектор– права отсечка која се карактеризира со нумеричка вредност и насока. Векторот се означува со мала латинска буква со стрелка на врвот. Ако има специфични гранични точки, ознаката на векторот изгледа како две големи латински букви (означувајќи ги границите на векторот), исто така со стрелка на врвот.

Дефиниција 2

Нулта вектор– која било точка на рамнината, означена како нула со стрелка на врвот.

Дефиниција 3

Векторска должина– вредност еднаква или поголема од нула која ја одредува должината на отсечката што го сочинува векторот.

Дефиниција 4

Колинеарни вектори– лежење на една или на паралелни прави. Векторите кои не го исполнуваат овој услов се нарекуваат неколинеарни.

Дефиниција 5

Влез: вектори а →И б →. За да се изврши операција за собирање на нив, потребно е да се нацрта вектор од произволна недефинирана точка A B →, еднаков на векторот а →; од добиената точка недефинирана – вектор B C →, еднаков на векторот б →. Со поврзување на точките недефинирани и C, добиваме отсечка (вектор) A C →, што ќе биде збир од оригиналните податоци. Во спротивно, се нарекува опишаната шема за собирање на вектори правило на триаголник.

Геометриски, векторското собирање изгледа вака:

За неколинеарни вектори:

За колинеарни (ко-насочни или спротивни) вектори:

Земајќи ја шемата опишана погоре како основа, добиваме можност да ја извршиме операцијата за собирање вектори во количина поголема од 2: додавање на секој следен вектор по ред.

Дефиниција 6

Влез: вектори а → , б → , в →, г → . Од произволна точка А на рамнината потребно е да се нацрта отсечка (вектор) еднаква на векторот а →; тогаш од крајот на добиениот вектор се отпушта вектор еднаков на векторот б →; потоа, следните вектори се поставени користејќи го истиот принцип. Крајната точка на последниот одложен вектор ќе биде точката B, а добиениот сегмент (вектор) A B →– збирот на сите првични податоци. Се нарекува и опишаната шема за додавање неколку вектори правило на многуаголник .

Геометриски изгледа вака:

Дефиниција 7

Посебна шема на дејствување за векторско одземањене, затоа што во суштина векторска разлика а →И б →е збир на вектори а →И - б → .

Дефиниција 8

За да се изврши дејството на множење на вектор со одреден број k, мора да се земат предвид следниве правила:
- ако k > 1, тогаш овој број ќе доведе до тоа векторот да се протега k пати;
- ако 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 к пати;
- ако к< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- ако k = 1, тогаш векторот останува ист;
- ако еден од факторите е нула вектор или број еднаков на нула, резултатот од множењето ќе биде нула вектор.

Првични податоци:
1) вектор а →и број k = 2;
2) вектор б →и број k = - 1 3 .

Геометриски, резултатот од множење во согласност со горенаведените правила ќе изгледа вака:

Операциите на вектори опишани погоре имаат својства, од кои некои се очигледни, додека други може да се оправдаат геометриски.

Влез: вектори а → , б → , в →и произволни реални броеви λ и μ.

Својствата на комутативноста и асоцијативноста овозможуваат додавање вектори по кој било редослед.

Наведените својства на операциите ви овозможуваат да ги извршите потребните трансформации на векторско-нумерички изрази на сличен начин на вообичаените нумерички. Да го погледнеме ова со пример.

Пример 1

Задача:поедностави го изразот a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Решение
- користејќи го второто својство на распределба, добиваме: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- го користиме асоцијативното својство на множење, изразот ќе ја добие следната форма: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- користејќи го својството на комутативност, ги заменуваме поимите: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- тогаш користејќи го првото својство на дистрибуција добиваме: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Кратка нотација решението ќе изгледа вака: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Одговор: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter