Познавајќи една од катетите во правоаголен триаголник, можете да ја пронајдете втората катета и хипотенузата користејќи тригонометриски соодноси - синус и тангента на познат агол. Бидејќи односот на ногата спроти аголот до хипотенузата е еднаков на синусот на овој агол, затоа, за да ја пронајдете хипотенузата, треба да ја поделите ногата со синусот на аголот. a/c=sinα c=a/sinα
Вториот крак може да се најде од тангента на познат агол, како однос на познатата катета кон тангентата. a/b=tanα b=a/tanα
За да го пресметате непознатиот агол во правоаголен триаголник, треба да ја одземете вредноста на аголот α од 90 степени. β=90°-α
Периметар и површина правоаголен триаголникпреку кракот и аголот спроти него може да се изрази со замена на претходно добиените изрази за вториот крак и хипотенузата во формулите. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 танα)
Висината можете да ја пресметате и преку тригонометриски соодноси, но во внатрешниот правоаголен триаголник со страна a, која ја формира. За да го направите ова, треба да ја помножите страната a, како хипотенуза на таков триаголник, со синусот на аголот β или косинус α, бидејќи според тригонометриските идентитети тие се еквивалентни. (Сл. 79.2) h=a cosα
Средината на хипотенузата е еднаква на половина од хипотенузата или познатата нога a поделена со два синуса α. За да ги пронајдеме средните страни на нозете, ги намалуваме формулите на соодветната форма за познатите страни и агли. (Сл.79.3) m_с=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2 α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2α +a^2/sin ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 sin^2α+tan^2α))/(2 tanα sinα)
Од симетралата прав аголво триаголник е производ на две страни и корен од две, поделен со збирот на овие страни, а потоа заменувајќи една од катетите со односот на познатата катета кон тангентата, го добиваме следниот израз. Слично на тоа, со замена на односот во втората и третата формула, можете да ги пресметате симетралите на аглите α и β. (Сл.79.4) l_с=(a/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sinα)))/(a+a/sinα)=(a sinα √(2c(a+a/sinα)))/(a sinα+a)
Средната линија оди паралелно со една од страните на триаголникот, додека формира друг сличен правоаголен триаголник со исти агли, во кој сите страни се половина од големината на првобитната. Врз основа на ова, средните линии може да се најдат со помош на следните формули, знаејќи ја само ногата и аголот спроти него. (Сл.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
Радиусот на впишаниот круг е еднаков на разликата помеѓу катетите и хипотенузата поделена со два, а за да го најдете радиусот на впишаниот круг, треба да ја поделите хипотенузата со два. Ние ги заменуваме вториот крак и хипотенузата со односот на кракот a до синус и тангента, соодветно. (Сл. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tanα -a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα
Што е синус, косинус, тангента, котангента на агол ќе ви помогне да разберете правоаголен триаголник.
Како се викаат страните на правоаголен триаголник? Така е, хипотенузата и нозете: хипотенузата е страната што лежи спроти прав агол (во нашиот пример ова е страната \(AC\)); краците се двете преостанати страни \(AB\) и \(BC\) (оние кои се во непосредна близина на правиот агол), и ако ги земеме предвид катетите во однос на аголот \(BC\), тогаш кракот \(AB\) е соседниот крак, а кракот \(BC\) е спротивен. Значи, сега да одговориме на прашањето: што се синус, косинус, тангента и котангента на агол?
Синус на агол– ова е односот на спротивната (оддалечена) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Косинусот на аголот– ова е односот на соседната (блиска) нога до хипотенузата.
Во нашиот триаголник:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Тангента на аголот– ова е односот на спротивната (оддалечена) страна со соседната (блиска).
Во нашиот триаголник:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Котангенс на аголот– ова е односот на соседната (блиска) нога со спротивната (далеку).
Во нашиот триаголник:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Овие дефиниции се неопходни запомнете! За полесно да запомните која нога да ја поделите на што, треба јасно да го разберете тоа тангентаИ котангентасамо нозете седат, а хипотенузата се појавува само во синусИ косинус. И тогаш можете да излезете со синџир на асоцијации. На пример, овој:
Косинус→допир→допир→соседен;
Котангента → допир → допир → соседно.
Пред сè, треба да запомните дека синус, косинус, тангента и котангента, бидејќи односот на страните на триаголникот не зависат од должината на овие страни (по ист агол). Не верувам? Потоа уверете се гледајќи ја сликата:
Размислете, на пример, косинус на аголот \(\beta \) . По дефиниција, од триаголник \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), но можеме да го пресметаме косинусот на аголот \(\beta \) од триаголникот \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Гледате, должините на страните се различни, но вредноста на косинус од еден агол е иста. Така, вредностите на синус, косинус, тангента и котангента зависат исклучиво од големината на аголот.
Ако ги разбирате дефинициите, тогаш продолжи и консолидирај ги!
За триаголникот \(ABC \) прикажан на сликата подолу, наоѓаме \(\sin \\алфа,\ \cos \\алфа,\ tg\ \алфа,\ ctg\ \алфа \).
\(\begin(низа)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \алфа =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \алфа =\dfrac(3)(4)=0,75\крај (низа) \)
Па, дали го добивте? Потоа обидете се сами: пресметајте го истото за аголот \(\beta \) .
Одговори: \(\sin \ \бета =0,6;\ \cos \ \бета =0,8;\ tg\ \бета =0,75;\ ctg\ \бета =\dfrac(4)(3) \).
Единица (тригонометриски) круг
Разбирање на концептите на степени и радијани, разгледавме круг со радиус еднаков на \(1\) . Таков круг се нарекува сингл. Тоа ќе биде многу корисно при изучување на тригонометрија. Затоа, да го разгледаме малку подетално.
Како што можете да видите, овој круг е конструиран во Декартовиот координатен систем. Радиусот на кругот е еднаков на еден, додека центарот на кругот лежи на почетокот на координатите, почетната позиција на векторот на радиусот е фиксирана долж позитивната насока на оската \(x\) (во нашиот пример, ова е радиусот \(AB\)).
Секоја точка на кругот одговара на два броја: координатата долж оската \(x\) и координатата по оската \(y\). Кои се овие координатни броеви? И воопшто, каква врска имаат тие со темата што се работи? За да го направите ова, треба да запомниме за разгледуваниот правоаголен триаголник. На сликата погоре, можете да видите два цели правоаголни триаголници. Размислете за триаголникот \(ACG\) . Тој е правоаголен бидејќи \(CG\) е нормално на оската \(x\).
Што е \(\cos \ \alpha \) од триаголникот \(ACG \)? Тоа е точно \(\cos \\алфа =\dfrac(AG)(AC) \). Дополнително, знаеме дека \(AC\) е радиусот единица круг, што значи \(AC=1\) . Ајде да ја замениме оваа вредност во нашата формула за косинус. Еве што се случува:
\(\cos \\алфа =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
На што е еднакво \(\sin \ \alpha \) од триаголникот \(ACG \)? Па, се разбира, \(\sin \алфа =\dfrac(CG)(AC)\)! Заменете ја вредноста на радиусот \(AC\) во оваа формула и добијте:
\(\sin \алфа =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Значи, можете ли да кажете какви координати има точката \(C\) што припаѓа на кругот? Па, нема шанси? Што ако сфатите дека \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) се само бројки? На која координата одговара \(\cos \alpha \)? Па, се разбира, координатата \(x\)! И на која координата одговара \(\sin \alpha \)? Така е, координирајте \(y\)! Значи поентата \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
На што тогаш се \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) еднакви? Така е, ајде да ги користиме соодветните дефиниции за тангента и котангента и да го добиеме тоа \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), А \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
Што ако аголот е поголем? На пример, како на оваа слика:
Што се смени во во овој пример? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, ајде повторно да се свртиме кон правоаголен триаголник. Размислете за правоаголен триаголник \(((A)_(1))(C)_(1))G \) : агол (во непосредна близина на аголот \(\beta \) ). Која е вредноста на синус, косинус, тангента и котангента за агол \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Така е, ние се придржуваме до соодветните дефиниции за тригонометриските функции:
\(\почеток(низа)(l)\sin \агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\агол ((C )_(1) ((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\крај (низа) \)
Па, како што можете да видите, вредноста на синусот на аголот сè уште одговара на координатата \(y\) ; вредноста на косинус на аголот - координата \(x\) ; и вредностите на тангента и котангента на соодветните соодноси. Така, овие односи се однесуваат на секоја ротација на векторот на радиусот.
Веќе беше споменато дека почетната позиција на векторот на радиусот е долж позитивната насока на оската \(x\). Досега го ротиравме овој вектор спротивно од стрелките на часовникот, но што ќе се случи ако го ротираме во насока на стрелките на часовникот? Ништо извонредно, ќе добиете и агол со одредена вредност, но само тој ќе биде негативен. Така, при ротирање на векторот на радиус спротивно од стрелките на часовникот, добиваме позитивни агли, и кога се ротира во насока на стрелките на часовникот - негативен.
Значи, знаеме дека целата револуција на векторот на радиусот околу кругот е \(360()^\circ \) или \(2\pi \) . Дали е можно да се ротира векторот на радиусот за \(390()^\circ \) или со \(-1140()^\circ \)? Па, секако дека можеш! Во првиот случај, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), така, векторот на радиусот ќе направи една целосна револуција и ќе застане на позицијата \(30()^\circ \) или \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Во вториот случај, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), односно векторот на радиусот ќе направи три целосни вртежи и ќе застане на позицијата \(-60()^\circ \) или \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Така, од горенаведените примери можеме да заклучиме дека аглите што се разликуваат за \(360()^\circ \cdot m\) или \(2\pi \cdot m\) (каде \(m \) е кој било цел број ), одговараат на истата положба на векторот на радиусот.
Сликата подолу го прикажува аголот \(\beta =-60()^\circ \) . Истата слика одговара на аголот \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)итн. Оваа листа може да се продолжи на неодредено време. Сите овие агли може да се напишат со општата формула \(\бета +360()^\circ \cdot m\)или \(\beta +2\pi \cdot m \) (каде што \(m\) е кој било цел број)
\(\begin(низа)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end (низа) \)
Сега, знаејќи ги дефинициите на основните тригонометриски функции и користејќи го единечниот круг, обидете се да одговорите кои се вредностите:
\(\begin(низа)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\текст(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\текст (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(низа) \)
Еве еден круг единица за да ви помогне:
Имате потешкотии? Тогаш ајде да го сфатиме. Значи знаеме дека:
\(\begin(низа)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\крај(низа)\)
Оттука, ги одредуваме координатите на точките што одговараат на одредени мерки на агол. Па, да почнеме по ред: аголот внатре \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)одговара на точка со координати \(\left(0;1 \десно) \) , затоа:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 90()^\circ \)- не постои;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Понатаму, придржувајќи се до истата логика, дознаваме дека аглите во \(180()^\circ,\ 270()^\circ,\ 360()^\circ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )одговараат на точки со координати \(\лево(-1;0 \десно),\текст()\лево(0;-1 \десно),\текст( )\лево(1;0 \десно),\текст( )\лево(0 ;1 \десно) \), соодветно. Знаејќи го ова, лесно е да се одредат вредностите на тригонометриските функции во соодветните точки. Прво пробајте сами, а потоа проверете ги одговорите.
Одговори:
\(\приказ стил \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Десна стрелка \text(ctg)\ \pi \)- не постои
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 270()^\circ \)- не постои
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Десна стрелка \text(ctg)\ 2\pi \)- не постои
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 450()^\circ \)- не постои
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Така, можеме да ја направиме следната табела:
Нема потреба да се сеќавате на сите овие вредности. Доволно е да се запамети кореспонденцијата помеѓу координатите на точките на единечниот круг и вредностите на тригонометриските функции:
\(\лево. \почеток(низа)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(низа) \right\)\ \text(Мора да го запомните или да можете да го прикажете!! \) !}
Но, вредностите на тригонометриските функции на аглите во и \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)дадени во табелата подолу, мора да запомните:
Не плашете се, сега ќе ви покажеме еден пример за прилично едноставно меморирање на соодветните вредности:
За да се користи овој метод, од витално значење е да се запаметат синусните вредности за сите три мерки на агол ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), како и вредноста на тангентата на аголот во \(30()^\circ \) . Знаејќи ги овие \(4\) вредности, прилично е едноставно да се врати целата табела - косинусните вредности се пренесуваат во согласност со стрелките, односно:
\(\begin(низа)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \крај (низа) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), знаејќи го ова, можете да ги вратите вредностите за \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Броителот „\(1 \)“ ќе одговара на \(\text(tg)\ 45()^\circ \\), а именителот „\(\sqrt(\text(3)) \)“ ќе одговара на \(\текст (tg)\ 60()^\circ \ \) . Вредностите на котангентите се пренесуваат во согласност со стрелките наведени на сликата. Ако го разбирате ова и се сеќавате на дијаграмот со стрелките, тогаш ќе биде доволно да запомните само \(4\) вредности од табелата.
Координати на точка на круг
Дали е можно да се најде точка (неговите координати) на круг, знаејќи ги координатите на центарот на кругот, неговиот радиус и аголот на ротација? Па, секако дека можеш! Да изведеме општа формула за наоѓање на координатите на точка. На пример, еве еден круг пред нас:
Ни е дадена таа точка \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- центарот на кругот. Радиусот на кругот е \(1,5\) . Потребно е да се најдат координатите на точката \(P\) добиени со ротирање на точката \(O\) за \(\делта \) степени.
Како што може да се види од сликата, координатата \(x\) на точката \(P\) одговара на должината на отсечката \(TP=UQ=UK+KQ\) . Должината на отсечката \(Велика Британија\) одговара на координатата \(x\) на центарот на кругот, односно е еднаква на \(3\) . Должината на сегментот \(KQ\) може да се изрази користејќи ја дефиницијата за косинус:
\(\cos \ \делта =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Десна стрелка KQ=r\cdot \cos \ \делта \).
Тогаш имаме дека за точката \(P\) координатата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта =3+1,5\cdot \cos \ \делта \).
Користејќи ја истата логика, ја наоѓаме вредноста на координатата y за точката \(P\) . Така,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта =2+1,5\cdot \sin \делта \).
Значи, генерално, координатите на точките се одредуваат со формулите:
\(\почеток(низа)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта \крај (низа) \), Каде
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати на центарот на кругот,
\(r\) - радиус на кругот,
\(\делта \) - агол на ротација на векторскиот радиус.
Како што можете да видите, за единечниот круг што го разгледуваме, овие формули се значително намалени, бидејќи координатите на центарот се еднакви на нула, а радиусот е еднаков на еден:
\(\почеток(низа)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта =0+1\cdot \cos \ \делта =\cos \ \делта \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\делта =0+1\cdot \sin \ \делта =\sin \ \делта \крај (низа) \)
Javascript е оневозможен во вашиот прелистувач.За да извршите пресметки, мора да овозможите ActiveX контроли!
Ќе ја започнеме нашата студија за тригонометријата со правоаголен триаголник. Ајде да дефинираме што се синус и косинус, како и тангента и котангента остар агол. Ова се основите на тригонометријата.
Да ве потсетиме дека прав аголе агол еднаков на . Со други зборови, половина свртен агол.
Остар агол- помали.
Тап агол - поголем. Во однос на таков агол, „тап“ не е навреда, туку математички термин :-)
Ајде да нацртаме правоаголен триаголник. Правиот агол обично се означува со . Ве молиме имајте предвид дека страната спроти аголот е означена со истата буква, само мала. Значи, назначена е страната што лежи спроти аголот.
Аголот се означува со соодветната грчка буква.
Хипотенузана правоаголен триаголник е страната спротивна на правиот агол.
Нозете- страни што лежат спроти акутни агли.
Ногата што лежи спроти аголот се нарекува спротивно(во однос на аголот). Другата нога, која лежи на една од страните на аголот, се нарекува соседните.
СинусОстриот агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
Косинусотостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната нога до хипотенузата:
Тангентаостар агол во правоаголен триаголник - односот на спротивната страна со соседната:
Друга (еквивалентна) дефиниција: тангентата на остар агол е односот на синусот на аголот и неговиот косинус:
Котангенсостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната страна кон спротивната (или, што е исто, односот на косинус и синус):
Забележете ги основните односи за синус, косинус, тангента и котангента подолу. Тие ќе ни бидат корисни при решавање на проблеми.
Ајде да докажеме некои од нив.
1. Збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на . Средства, збирот на два остри агли на правоаголен триаголник е еднаков на .
2. Од една страна, како однос на спротивната страна со хипотенузата. Од друга страна, бидејќи за аголот ногата ќе биде соседна.
Го добиваме тоа. Со други зборови, .
3. Да ја земеме Питагоровата теорема: . Ајде да ги поделиме двата дела со:
Добивме основен тригонометриски идентитет:
Така, знаејќи го синусот на аголот, можеме да го најдеме неговиот косинус и обратно.
4. Поделба на двата дела на главната тригонометриски идентитетна , добиваме:
Ова значи дека ако ни се даде тангента на остар агол, тогаш можеме веднаш да го најдеме неговиот косинус.
Исто така,
Добро, дадовме дефиниции и запишавме формули. Но, зошто сè уште ни се потребни синус, косинус, тангента и котангента?
Ние го знаеме тоа збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на.
Ја знаеме врската помеѓу забавиправоаголен триаголник. Ова е Питагоровата теорема: .
Излегува дека знаејќи два агли во триаголник, можете да го најдете третиот. Знаејќи ги двете страни на правоаголен триаголник, можете да ја најдете третата. Тоа значи дека аглите имаат свој сооднос, а страните имаат свој. Но, што треба да направите ако во правоаголен триаголник знаете еден агол (освен правиот агол) и едната страна, но треба да ги најдете другите страни?
Ова е она што луѓето во минатото го сретнале кога правеле мапи на областа и ѕвезденото небо. На крајот на краиштата, не е секогаш можно директно да се измерат сите страни на триаголникот.
Синус, косинус и тангента - тие се нарекуваат и функции на тригонометриски агол- даде односи меѓу забавиИ аглитетријаголник. Знаејќи го аголот, можете да ги најдете сите негови тригонометриски функции користејќи специјални табели. И знаејќи ги синусите, косинусите и тангентите на аглите на триаголникот и една од неговите страни, можете да ги најдете останатите.
Ќе нацртаме и табела со вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за „добри“ агли од до.
Забележете ги двете црвени цртички во табелата. При соодветни аголни вредности, тангента и котангента не постојат.
Ајде да погледнеме неколку тригонометриски проблеми од FIPI Task Bank.
1. Во триаголник, аголот е , . Најдете .
Проблемот е решен за четири секунди.
Од , имаме: .
2. Во триаголник аголот е , , . Најдете . , е еднаков половина од хипотенузата.
Триаголник со агли и е рамнокрак. Во него, хипотенузата е пати поголема од ногата.
Во животот често ќе треба да се справуваме математички проблеми: на училиште, на универзитет, а потоа му помагате на вашето дете да заврши домашна работа. Луѓето од одредени професии секојдневно ќе се среќаваат со математиката. Затоа, корисно е да се запаметат или да се потсетат математичките правила. Во оваа статија ќе разгледаме еден од нив: наоѓање на страната на правоаголен триаголник.
Што е правоаголен триаголник
Прво, да се потсетиме што е правоаголен триаголник. Правоаголен триаголник е геометриска фигураод три отсечки кои поврзуваат точки кои не лежат на иста права линија, а еден од аглите на оваа бројка е 90 степени. Страните што формираат прав агол се нарекуваат краци, а страната што лежи спроти правиот агол се нарекува хипотенуза.
Наоѓање на кракот на правоаголен триаголник
Постојат неколку начини да ја дознаете должината на ногата. Би сакал да ги разгледам подетално.
Питагорова теорема за наоѓање на страната на правоаголен триаголник
Ако ги знаеме хипотенузата и кракот, тогаш можеме да ја најдеме должината на непознатиот крак користејќи ја Питагоровата теорема. Звучи вака: „Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на нозете“. Формула: c²=a²+b², каде што c е хипотенузата, a и b се краките. Ја трансформираме формулата и добиваме: a²=c²-b².
Пример. Хипотенузата е 5 cm, а кракот е 3 cm Ја трансформираме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². Следно решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Тригонометриски соодноси за да се најде кракот на правоаголен триаголник
Може да најдете и непозната катета ако се познати која било друга страна и кој било остар агол на правоаголен триаголник. Постојат четири опции за наоѓање нога користејќи тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, котангента. Табелата подолу ќе ни помогне да ги решиме проблемите. Ајде да ги разгледаме овие опции.
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на синус
Синус на агол (грев) е односот на спротивната страна со хипотенузата. Формула: sin=a/c, каде што a е кракот спроти дадениот агол, а c е хипотенузата. Следно, ја трансформираме формулата и добиваме: a=sin*c.
Пример. Хипотенузата е 10 см, аголот А е 30 степени. Користејќи ја табелата, го пресметуваме синусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Потоа, користејќи ја трансформираната формула решаваме: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на косинус
Косинусот на аголот (cos) е односот на соседната катета со хипотенузата. Формула: cos=b/c, каде што b е кракот во непосредна близина на даден агол, а c е хипотенузата. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: b=cos*c.
Пример. Аголот А е еднаков на 60 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см Користејќи ја табелата, го пресметуваме косинусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Следно решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник користејќи тангента
Тангента на аголот (tg) е односот на спротивната страна со соседната страна. Формула: tg=a/b, каде што a е страната спротивна на аголот, а b е соседната страна. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: a=tg*b.
Пример. Аголот А е еднаков на 45 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см.. Со помош на табелата ја пресметуваме тангентата на аголот А, таа е еднаква на Решете: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на котангенс
Аголниот котангенс (ctg) е односот на соседната страна со спротивната страна. Формула: ctg=b/a, каде што b е кракот во непосредна близина на аголот и е спротивната катета. Со други зборови, котангентата е „превртена тангента“. Добиваме: b=ctg*a.
Пример. Аголот А е 30 степени, спротивниот крак е 5 см.Според табелата, тангентата на аголот А е √3. Пресметуваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Значи, сега знаете како да најдете крак во правоаголен триаголник. Како што можете да видите, не е толку тешко, главната работа е да ги запомните формулите.
Односот на спротивната страна со хипотенузата се нарекува синус со остар аголправоаголен триаголник.
\sin \алфа = \frac(a)(c)
Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник
Односот на соседната нога со хипотенузата се нарекува косинус со остар аголправоаголен триаголник.
\cos \алфа = \frac(b)(c)
Тангента на остар агол на правоаголен триаголник
Односот на спротивната страна со соседната страна се нарекува тангента на остар аголправоаголен триаголник.
tg \алфа = \frac(a)(b)
Котангенс на остар агол на правоаголен триаголник
Односот на соседната страна со спротивната страна се нарекува котангенс со остар аголправоаголен триаголник.
ctg \алфа = \frac(b)(a)
Синус на произволен агол
Се вика ординатата на точка на единечната кружница на која одговара аголот \алфа синус на произволен аголротација \алфа .
\sin \alpha=y
Косинусот на произволен агол
Се вика апсцисата на точката на единечната кружница на која одговара аголот \алфа косинус на произволен аголротација \алфа .
\cos \alpha=x
Тангента на произволен агол
Се нарекува односот на синусот на произволен агол на ротација \алфа со неговиот косинус тангента на произволен аголротација \алфа .
tan \алфа = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Котангенс на произволен агол
Се нарекува односот на косинус на произволен агол на ротација \алфа со неговиот синус котангенс со произволен аголротација \алфа .
ctg\алфа =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Пример за наоѓање произволен агол
Ако \alpha е некој агол AOM, каде што M е точка на единечната кружница, тогаш
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \алфа=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \алфа=\frac(x_(M))(y_(M)).
На пример, ако \агол AOM = -\frac(\pi)(4), тогаш: ординатата на точката М е еднаква на -\frac(\sqrt(2))(2), апсцисата е еднаква на \frac(\sqrt(2))(2)и затоа
\sin \лево (-\frac(\pi)(4) \десно)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \лево (\frac(\pi)(4) \десно)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \лево (-\frac(\pi)(4) \десно)=-1.
Табела со вредности на синусите на косинусите на тангентите на котангентите
Вредностите на главните агли кои често се појавуваат се дадени во табелата:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\лево(\frac(\pi)(6)\десно) | 45^(\circ)\лево(\frac(\pi)(4)\десно) | 60^(\circ)\лево(\frac(\pi)(3)\десно) | 90^(\circ)\лево(\frac(\pi)(2)\десно) | 180^(\circ)\лево(\pi\десно) | 270^(\circ)\лево(\frac(3\pi)(2)\десно) | 360^(\circ)\лево(2\pi\десно) | |
| \sin\алфа | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\алфа | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\алфа | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\алфа | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
