Ако проблемот бара целосно проучување на функцијата f (x) = x 2 4 x 2 - 1 со конструкција на нејзиниот график, тогаш детално ќе го разгледаме овој принцип.

За да решите проблем од овој тип, треба да ги користите својствата и графиконите на основните елементарни функции. Алгоритмот за истражување ги вклучува следните чекори:

Наоѓање на доменот на дефиниција

Бидејќи се врши истражување на доменот на дефинирање на функцијата, неопходно е да се започне со овој чекор.

Пример 1

За овој примервклучува пронаоѓање на нулите на именителот со цел да се исклучат од ОДЗ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Како резултат на тоа, можете да добиете корени, логаритми итн. Тогаш ODZ може да се бара корен од парен степен од типот g (x) 4 со неравенката g (x) ≥ 0, за логаритам дневник a g (x) од неравенката g (x) > 0.

Проучување на границите на ОДЗ и наоѓање вертикални асимптоти

Постојат вертикални асимптоти на границите на функцијата, кога едностраните граници во таквите точки се бесконечни.

Пример 2

На пример, земете ги граничните точки еднакви на x = ± 1 2.

Тогаш е неопходно да се проучи функцијата за да се најде едностраната граница. Тогаш добиваме дека: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ова покажува дека едностраните граници се бесконечни, што значи дека правите x = ± 1 2 се вертикални асимптоти на графикот.

Проучување на функција и дали е парна или непарна

Кога условот y (- x) = y (x) е исполнет, функцијата се смета за парна. Ова сугерира дека графикот се наоѓа симетрично во однос на Oy. Кога условот y (- x) = - y (x) е исполнет, функцијата се смета за непарна. Ова значи дека симетријата е релативна со потеклото на координатите. Ако барем една неравенка не е исполнета, добиваме функција од општ облик.

Равенството y (- x) = y (x) покажува дека функцијата е парна. При конструирањето потребно е да се земе предвид дека ќе има симетрија во однос на Ој.

За да се реши неравенството, се користат интервали на зголемување и намалување со условите f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0, соодветно.

Дефиниција 1

Стационарни точки- тоа се точките што го претвораат изводот на нула.

Критични точки - тоа се внатрешни точки од доменот на дефиниција каде што изводот на функцијата е еднаков на нула или не постои.

При донесување одлука, мора да се земат предвид следните забелешки:

  • за постоечки интервали на зголемување и намалување на неравенки од формата f " (x) > 0, критичните точки не се вклучени во решението;
  • точките во кои функцијата е дефинирана без конечен извод мора да бидат вклучени во интервалите на зголемување и намалување (на пример, y = x 3, каде што точката x = 0 ја прави функцијата дефинирана, изводот има вредност на бесконечност на ова точка, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 е вклучена во растечкиот интервал);
  • За да се избегнат несогласувања, се препорачува да се користи математичка литература препорачана од Министерството за образование.

Вклучување на критичните точки во интервали на зголемување и намалување доколку тие го задоволуваат доменот на дефинирање на функцијата.

Дефиниција 2

За одредувајќи ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е да се најдат:

  • дериват;
  • критични точки;
  • поделете го доменот на дефиниција во интервали користејќи критични точки;
  • определи го знакот на изводот на секој од интервалите, каде што + е зголемување, а - е намалување.

Пример 3

Најдете го изводот на доменот на дефиниција f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1" (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Решение

За да го решите потребно е:

  • најдете стационарни точки, овој пример има x = 0;
  • најдете ги нулите на именителот, примерот ја зема вредноста нула при x = ± 1 2.

Поставуваме точки на бројната оска за да го одредиме изводот на секој интервал. За да го направите ова, доволно е да земете која било точка од интервалот и да извршите пресметка. Ако резултатот е позитивен, ние го прикажуваме + на графиконот, што значи дека функцијата се зголемува и - значи дека се намалува.

На пример, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, што значи дека првиот интервал лево има знак +. Размислете за бројната права.

Одговор:

  • функцијата се зголемува на интервалот - ∞; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
  • има намалување на интервалот [0; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На дијаграмот, користејќи + и -, се прикажани позитивноста и негативноста на функцијата, а стрелките укажуваат на намалување и зголемување.

Екстремните точки на функцијата се точки каде што е дефинирана функцијата и преку кои изводот го менува знакот.

Пример 4

Ако земеме пример каде x = 0, тогаш вредноста на функцијата во неа е еднаква на f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Кога знакот на изводот се менува од + во - и поминува низ точката x = 0, тогаш точката со координати (0; 0) се смета за максимална точка. Кога знакот се менува од - во +, добиваме минимална точка.

Конвексноста и конкавноста се одредуваат со решавање на неравенки од формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0. Поретко се користи името конвексност надолу наместо конкавност и конвексност нагоре наместо конвексност.

Дефиниција 3

За одредување на интервалите на конкавност и конвексностнеопходно:

  • најдете го вториот извод;
  • најдете ги нулите на втората изводна функција;
  • поделете ја областа за дефиниција во интервали со точките што се појавуваат;
  • определи го знакот на интервалот.

Пример 5

Најдете го вториот извод од доменот на дефиниција.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Ги наоѓаме нулите на броителот и именителот, каде во нашиот пример имаме дека нулите на именителот x = ± 1 2

Сега треба да ги нацртате точките на бројната права и да го одредите знакот на вториот извод од секој интервал. Го добиваме тоа

Одговор:

  • функцијата е конвексна од интервалот - 1 2 ; 1 2 ;
  • функцијата е конкавна од интервалите - ∞ ; - 1 2 и 1 2; + ∞ .

Дефиниција 4

Точка на флексија– ова е точка од формата x 0 ; f (x 0) . Кога има тангента на графикот на функцијата, тогаш кога поминува низ x 0 функцијата го менува знакот на спротивното.

Со други зборови, ова е точка низ која поминува вториот извод и го менува знакот, а во самите точки тој е еднаков на нула или не постои. Сите точки се сметаат за домен на функцијата.

Во примерот, беше јасно дека нема точки на флексија, бидејќи вториот извод го менува знакот додека минува низ точките x = ± 1 2. Тие, пак, не се вклучени во опсегот на дефиницијата.

Наоѓање хоризонтални и коси асимптоти

Кога дефинирате функција на бесконечност, треба да барате хоризонтални и коси асимптоти.

Дефиниција 5

Коси асимптотисе прикажани со помош на прави линии, дадена со равенката y = k x + b, каде k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x.

За k = 0 и b не еднакви на бесконечност, откриваме дека косата асимптота станува хоризонтална.

Со други зборови, асимптоти се сметаат за линии до кои графикот на функцијата се приближува во бесконечност. Ова го олеснува брзото градење на графикот на функции.

Ако нема асимптоти, но функцијата е дефинирана на двете бесконечности, потребно е да се пресмета границата на функцијата на овие бесконечности за да се разбере како ќе се однесува графикот на функцијата.

Пример 6

Да го разгледаме како пример тоа

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. Откако ќе ја испитате функцијата, можете да започнете да ја конструирате.

Пресметување на вредноста на функцијата во средни точки

За да се направи графикот попрецизен, се препорачува да се најдат неколку функционални вредности на средни точки.

Пример 7

Од примерот што го разгледавме, неопходно е да се најдат вредностите на функцијата во точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Бидејќи функцијата е рамна, добиваме дека вредностите се совпаѓаат со вредностите во овие точки, односно добиваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Ајде да напишеме и да решиме:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се одредат максимумите и минимумите на функцијата, точките на флексија и средните точки, неопходно е да се конструираат асимптоти. За погодна ознакасе евидентираат интервали на зголемување, намалување, конвексност, конкавност. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

Потребно е да се исцртаат линии на графиконот низ означените точки, што ќе ви овозможи да им пристапите на асимптотите следејќи ги стрелките.

Ова го завршува целосното истражување на функцијата. Има случаи на конструирање на некои елементарни функции за кои се користат геометриски трансформации.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

При исцртување графикони на функции, корисно е да се придржувате до следниот план:

1. Најдете го доменот на дефиниција на функцијата и определете ги точките на дисконтинуитет, доколку ги има.

2. Определи дали функцијата е парна или непарна или ниту една. Ако функцијата е парна или непарна, тогаш доволно е да се разгледаат нејзините вредности на x>0, а потоа симетрично во однос на оската OY или потеклото на координатите, вратете ја за вредностите x<0 .

3. Испитај ја функцијата за периодичност. Ако функцијата е периодична, тогаш доволно е да се разгледа на еден период.

4. Најдете ги пресечните точки на функционалниот график со координатните оски (ако е можно)

5. Спроведете студија за функцијата на екстремот и пронајдете ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата.

6. Најдете ги точките на флексија на кривата и интервалите на конвексност и конкавност на функцијата.

7. Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата.

8. Користејќи ги резултатите од чекорите 1-7, конструирај график на функцијата. Понекогаш се наоѓаат неколку дополнителни точки за поголема точност; нивните координати се пресметуваат со помош на равенката на кривата.

Пример. Функција за истражување y=x 3 -3xи изградете графикон.

1) Функцијата е дефинирана на интервалот (-∞; +∞). Нема точки на прекршување.

2) Функцијата е непарна, бидејќи f(-x) = -x 3 -3 (-x) = -x 3 +3x = -f(x), затоа, тоа е симетрично во однос на потеклото.

3) Функцијата не е периодична.

4) Точки на пресек на графикот со координатните оски: x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0,тие. графикот на функцијата ги пресекува координатните оски во точките: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Најдете можни екстремни точки: y′ = 3x 2 -3; 3x 2 -3=0; x =-1; x = 1. Доменот на дефинирање на функцијата ќе се подели на интервали: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Ајде да ги најдеме знаците на дериватот во секој добиен интервал:

На интервалот (-∞; -1) у′>0 -функцијата се зголемува

На интервалот (-1; 1) ти<0 – функцијата се намалува

На интервалот (1; +∞) у′>0 -функцијата се зголемува. Точка x =-1 – максимален бод; x = 1 – минимален поен.

6) Најдете ги точките на флексија: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. Точка x = 0го дели доменот на дефиниција на интервали (-∞; 0), (0; +∞). Ајде да ги најдеме знаците на вториот дериват во секој добиен интервал:

На интервалот (-∞;0) ти"<0 – функцијата е конвексна

На интервалот (0; +∞) y′′>0 -функцијата е конкавна. x = 0– точка на флексија.

7) Графикот нема асимптоти

8) Ајде да изградиме график на функцијата:

Пример.Истражете ја функцијата и изградете го нејзиниот график.

1) Доменот на дефиниција на функцијата се интервалите (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Опсег на вредности на оваа функција е интервалот (-¥; ¥).



Точките на прекин на функцијата се точките x = 1, x = -1.

2) Функцијата е непарна, бидејќи .

3) Функцијата не е периодична.

4) Графикот ги пресекува координатните оски во точката (0; 0).

5) Најдете критични точки.

Критични точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Ги наоѓаме интервалите на функцијата за зголемување и намалување. За да го направите ова, ги одредуваме знаците на дериватот на функцијата во интервали.

-¥ < x< -, y¢> 0, функцијата се зголемува

-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢ > 0, функцијата се зголемува

Јасно е дека поентата X= -е максималната точка, и точката X= е минималната точка. Вредностите на функциите во овие точки се еднакви на 3/2 и -3/2, соодветно.

6) Најдете го вториот извод на функцијата

Коса асимптотна равенка: y = x.

8) Ајде да изградиме график на функцијата.

Оваа лекција ја опфаќа темата „Истрага на функции и поврзани проблеми“. Оваа лекција опфаќа графички функции со помош на деривати. Се проучува функцијата, се конструира нејзиниот график и се решаваат голем број поврзани проблеми.

Тема: Дериват

Лекција: Истражување на функцијаи сродни задачи

Неопходно е да се проучи оваа функција, да се конструира график, да се најдат интервали на монотоност, максимални, минимуми и кои проблеми го придружуваат знаењето за оваа функција.

Прво, ајде целосно да ги искористиме информациите обезбедени од функцијата без извод.

1. Најдете ги интервалите на константен знак на функцијата и конструирај скица на графикот на функцијата:

1) Ајде да најдеме.

2) Корени на функции: , од тука

3) Интервали на константен знак на функцијата (види слика 1):

Ориз. 1. Интервали на постојан знак на функција.

Сега знаеме дека во интервалот и графикот е над X-оската, во интервалот - под X-оската.

2. Ајде да изградиме график во близина на секој корен (види слика 2).

Ориз. 2. График на функција во близина на коренот.

3. Конструирај график на функцијата во близина на секоја дисконтинуитетна точка во доменот на дефиниција. Доменот на дефиниција се распаѓа во точката. Ако вредноста е блиску до точката, тогаш вредноста на функцијата се стреми кон (види Сл. 3).

Ориз. 3. График на функцијата во близина на точката на дисконтинуитет.

4. Да одредиме како графикот се однесува во близина на точки на бесконечност:

Ајде да го напишеме користејќи ограничувања

. Важно е дека за многу големи, функцијата речиси не се разликува од единството.

Да го најдеме изводот, интервалите на неговиот константен знак и тие ќе бидат интервали на монотоност за функцијата, да ги најдеме оние точки во кои изводот е еднаков на нула и да откриеме каде е максималната точка, а каде минималната точка.

Од тука,. Овие точки се внатрешни точки од доменот на дефиниција. Ајде да дознаеме кој знак на изводот е на интервалите, и која од овие точки е максималната точка, а која е минималната точка (види Сл. 4).

Ориз. 4. Интервали на константен знак на дериватот.

Од Сл. 4 може да се види дека точката е минимална точка, точката е максимална точка. Вредноста на функцијата во точката е . Вредноста на функцијата во точката е 4. Сега да изградиме график на функцијата (види Сл. 5).

Ориз. 5. График на функции.

Така изградивме график на функција. Ајде да го опишеме. Да ги запишеме интервалите преку кои функцијата монотоно се намалува: , - тоа се интервалите каде што изводот е негативен. Функцијата монотоно се зголемува на интервалите и . - минимален поен, - максимален поен.

Најдете го бројот на корените на равенката во зависност од вредностите на параметарот.

1. Конструирај график на функцијата. Графикот на оваа функција е нацртан погоре (види Сл. 5).

2. Расчленете го графиконот со фамилија на прави линии и запишете го одговорот (види слика 6).

Ориз. 6. Пресек на графикот на функција со прави.

1) Кога - едно решение.

2) За - две решенија.

3) Кога - три решенија.

4) Кога - две решенија.

5) Кога - три решенија.

6) Кога - две решенија.

7) Кога - едно решение.

Така, решивме еден од важните проблеми, имено, наоѓање на бројот на решенија на равенката во зависност од параметарот. Може да има различни посебни случаи, на пример, во кои ќе има едно решение, или две решенија или три решенија. Забележете дека овие посебни случаи, сите одговори на овие посебни случаи се содржани во општиот одговор.

1. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Упатство за образовните институции (ниво на профил) ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009 година.

2. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.

3. Виленкин Н.Ја., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математичка анализаза 10 одделение ( прирачник за обуказа учениците од училиштата и одделенијата со длабинска студијаматематика).-М.: Образование, 1996 г.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Продлабочено проучување на алгебрата и математичката анализа.-М.: Образование, 1997 г.

5. Збирка задачи по математика за апликанти на високообразовни институции (уреди М.И. Сканави - М.: Виша школа, 1992 година).

6. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебарски симулатор.-К.: А.С.К., 1997 г.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chikinina Algebra и почетоците на анализата. 8-11 одделение: Прирачник за училишта и паралелки со продлабочено изучување на математиката (дидактички материјали) - М.: Бастард, 2002 година.

8. Сахакјан С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми за алгебра и принципи на анализа (прирачник за ученици од 10-11 одделение на општообразовните институции - М.: Просвешчение, 2003 година).

9. Карп А.П. Збирка задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. додаток за 10-11 одделение. со длабочина студирал Математика.-М.: Образование, 2006 г.

10. Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. 9-10 одделение (прирачник за наставници).-М.: Образование, 1983 г

Дополнителни веб-ресурси

2. Портал Природни науки ().

Направете го дома

Бр. 45.7, 45.10 (Алгебра и почетоците на анализата, одделение 10 (во два дела). Проблемска книшка за општообразовни институции (ниво на профил) уредена од A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)