И теоремата за изводот на сложена функција, чија формулација е како што следува:
Нека 1) функцијата $u=\varphi (x)$ има во одреден момент $x_0$ изводот $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) функцијата $y=f(u)$ имаат во соодветната во точката $u_0=\varphi (x_0)$ изводот $y_(u)"=f"(u)$. Тогаш сложената функција $y=f\left(\varphi (x) \right)$ во споменатата точка ќе има и извод еднаков на производот од изводите на функциите $f(u)$ и $\varphi ( x) $:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \десно)\cdot \varphi"(x_0) $$
или, пократко: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Во примерите во овој дел, сите функции имаат форма $y=f(x)$ (т.е., сметаме само функции на една променлива $x$). Според тоа, во сите примери се зема изводот $y"$ во однос на променливата $x$. За да се нагласи дека изводот се зема во однос на променливата $x$, $y"_x$ често се пишува наместо $y „$.
Примерите бр. 1, бр. 2 и бр. 3 го прикажуваат деталниот процес за пронаоѓање на изводот на сложените функции. Примерот бр. 4 е наменет за поцелосно разбирање на табелата со деривати и има смисла да се запознаете со неа.
Препорачливо е, по проучувањето на материјалот во примерите бр.1-3, да се премине на самостојно решавање на примерите бр.5, бр.6 и бр.7. Примерите #5, #6 и #7 содржат кратко решение за да може читателот да ја провери точноста на неговиот резултат.
Пример бр. 1
Најдете го изводот на функцијата $y=e^(\cos x)$.
Треба да го најдеме изводот на сложена функција $y"$. Бидејќи $y=e^(\cos x)$, тогаш $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. најдете го изводот $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ја користиме формулата бр. 6 од табелата со деривати. За да ја искористиме формулата бр. 6, треба да земеме предвид дека во нашиот случај $u=\cos x$. Понатамошното решение се состои во едноставно замена на изразот $\cos x$ наместо $u$ во формула бр. 6:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ознака (1.1)$$
Сега треба да ја најдеме вредноста на изразот $(\cos x)"$. Повторно се свртуваме кон табелата со деривати, избирајќи ја формулата бр. 10 од неа. Заменувајќи ја $u=x$ во формулата бр. 10, имаме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Сега да продолжиме со еднаквоста (1.1), дополнувајќи ја со пронајдениот резултат:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ознака (1.2) $$
Бидејќи $x"=1$, продолжуваме со еднаквоста (1.2):
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ознака (1.3) $$
Значи, од еднаквоста (1.3) имаме: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Нормално, објаснувањата и средните еднаквости обично се прескокнуваат, запишувајќи го наодот на изводот во една линија. како во еднаквоста ( 1.3. Значи, изводот на сложената функција е најден, останува само да се запише одговорот).
Одговори: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Пример бр. 2
Најдете го изводот на функцијата $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Треба да го пресметаме изводот $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За почеток, забележуваме дека константата (т.е. бројот 9) може да се извади од дериватниот знак:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)" \ознака (2.1) $$
Сега да се свртиме кон изразот $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За полесно да ја изберете саканата формула од табелата со деривати, ќе го претставам изразот во прашање во оваа форма: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е јасно дека е неопходно да се користи формула бр.2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Да ги замениме $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$ во оваа формула:
Дополнувајќи ја еднаквоста (2.1) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ознака (2,2) $$
Во оваа ситуација, често се прави грешка кога решавачот на првиот чекор ја избира формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ наместо формулата $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Поентата е дека изводот на надворешната функција мора да биде на прво место. За да разберете која функција ќе биде надворешна на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, замислете дека ја пресметувате вредноста на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ по некоја вредност $x$. Прво ќе ја пресметате вредноста на $5^x$, а потоа ќе го помножите резултатот со 4, добивајќи $4\cdot 5^x$. Сега ја земаме арктангентата од овој резултат, добивајќи $\arctg(4\cdot 5^x)$. Потоа го подигаме добиениот број до дванаесеттата моќност, добивајќи $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Последната акција, т.е. подигањето на моќноста од 12 ќе биде надворешна функција. И токму од ова мора да започнеме да го наоѓаме изводот, што беше направено во еднаквост (2.2).
Сега треба да најдеме $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ја користиме формулата бр. 19 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=4\cdot \ln x$ во неа:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Ајде малку да го поедноставиме добиениот израз, земајќи го предвид $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Еднаквоста (2.2) сега ќе стане:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ознака (2,3) $$
Останува да се најде $(4\cdot \ln x)"$. Да ја извадиме константата (т.е. 4) од знакот за извод: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ For За да најдеме $(\ln x)"$ ја користиме формулата бр. 8, заменувајќи ја $u=x$ во неа: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. „$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Заменувајќи го добиениот резултат во формулата (2.3), добиваме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).
Да ве потсетам дека изводот на сложена функција најчесто се наоѓа во една линија, како што е напишано во последната еднаквост. Затоа, при подготовка на стандардни пресметки или тестовиВоопшто не е неопходно толку детално да се опише решението.
Одговори: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Пример бр. 3
Најдете $y"$ од функцијата $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Прво, малку да ја трансформираме функцијата $y$, изразувајќи го радикалот (root) како моќност: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \десно)^(\frac(3)(7))$. Сега да почнеме да го наоѓаме дериватот. Бидејќи $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, тогаш:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\десно)" \ознака (3.1) $$
Да ја користиме формулата бр. 2 од табелата со деривати, заменувајќи ги $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$ во неа:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Да продолжиме со еднаквоста (3.1) користејќи го добиениот резултат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ознака (3.2) $$
Сега треба да најдеме $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За ова ја користиме формулата бр. 9 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=5\cdot 9^x$ во неа:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Откако ја дополнивме еднаквоста (3.2) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ознака (3.3) $$
Останува да се најде $(5\cdot 9^x)"$. Прво, да ја земеме константата (бројот $5$) надвор од знакот за извод, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. За да го пронајдете дериватот $(9^x)"$, примени ја формулата бр. 5 од табелата со деривати, заменувајќи ги $a=9$ и $u=x$ во неа: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можеме да продолжиме со еднаквоста (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можеме повторно да се вратиме од моќ до радикали (т.е. корени), пишувајќи $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ во форма $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Тогаш дериватот ќе биде напишан во оваа форма:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Одговори: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
Пример бр. 4
Покажете дека формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се посебен случај на формулата бр. 2 од оваа табела.
Формулата бр. 2 од табелата со деривати го содржи изводот на функцијата $u^\alpha$. Заменувајќи го $\alpha=-1$ во формула бр. 2, добиваме:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\таг (4.1)$$
Бидејќи $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогаш еднаквоста (4.1) може да се препише на следниов начин: $ \left(\frac(1)(u) \десно)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ова е формула бр. 3 од табелата со деривати.
Да се свртиме повторно кон формулата бр. 2 од табелата со деривати. Ајде да го замениме $\alpha=\frac(1)(2)$ во него:
$$\лево(u^(\frac(1)(2))\десно)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\ознака (4.2) $$
Бидејќи $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогаш еднаквоста (4.2) може да се препише на следниов начин:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Добиената еднаквост $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ е формула бр. 4 од табелата со деривати. Како што можете да видите, формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се добиени од формулата бр. 2 со замена на соодветната вредност $\alpha$.
Ако е(x) И ѓ(u) – диференцијабилни функции на нивните аргументи, соодветно, во точките xИ u= е(x), тогаш комплексната функција е исто така диференцијабилна во точката xи се наоѓа по формулата
Типична грешка при решавање на проблеми на деривати е механички пренос на правилата за диференцијација едноставни функцииза сложени функции. Ајде да научиме да ја избегнеме оваа грешка.
Пример 2.Најдете го изводот на функцијата
Погрешно решение:пресметај природен логаритамсекој член во загради и побарајте го збирот на изводите:
Точно решение:повторно одредуваме каде е „јаболкото“, а каде „меленото месо“. Овде природниот логаритам на изразот во загради е „јаболко“, односно функција над средниот аргумент u, а изразот во загради е „мелено месо“, односно среден аргумент uпо независна променлива x.
Потоа (користејќи ја формулата 14 од табелата со деривати)
Во многу проблеми од реалниот живот, изразот со логаритам може да биде нешто покомплициран, поради што има лекција
Пример 3.Најдете го изводот на функцијата
Погрешно решение:
Правилна одлука.Уште еднаш одредуваме каде е „јаболкото“ и каде е „меленото месо“. Овде, косинусот на изразот во загради (формула 7 во табелата со деривати) е „јаболко“, тој е подготвен во режим 1, што влијае само на него, а изразот во загради (дериватот на степенот е број 3 во табелата со деривати) е „мелено месо“, се подготвува во режим 2, што влијае само на него. И како и секогаш, поврзуваме два деривати со знакот производ. Резултат:
Дериват на комплекс логаритамска функција- честа задача на тестови, затоа силно препорачуваме да ја посетите лекцијата „Дериват на логаритамска функција“.
Првите примери беа за сложени функции, во кои средниот аргумент на независната променлива беше едноставна функција. Но во практични задачиЧестопати е неопходно да се најде изводот на сложена функција, каде што посредниот аргумент е или самиот комплексна функција или содржи таква функција. Што да се прави во такви случаи? Најдете изводи на такви функции користејќи табели и правила за диференцијација. Кога ќе се најде изводот на средниот аргумент, тој едноставно се заменува во вистинското местоформули. Подолу се дадени два примери за тоа како се прави ова.
Покрај тоа, корисно е да се знае следново. Ако сложената функција може да се претстави како синџир од три функции
тогаш неговиот извод треба да се најде како производ на изводите на секоја од овие функции:
Многу од вашите домашни задачи можеби ќе бараат од вас да ги отворите вашите водичи во нови прозорци. Дејства со моќ и корениИ Операции со дропки .
Пример 4.Најдете го изводот на функцијата
Го применуваме правилото за диференцијација на сложена функција, не заборавајќи дека во добиениот производ на деривати постои среден аргумент во однос на независната променлива xне се менува:
Го подготвуваме вториот фактор на производот и го применуваме правилото за диференцирање на збирот:
Вториот термин е коренот, така
Така, откривме дека средниот аргумент, кој е збир, содржи сложена функција како еден од поимите: подигањето на моќ е сложена функција, а она што се подига на моќ е среден аргумент во однос на независното променлива x.
Затоа, повторно го применуваме правилото за диференцијација на сложена функција:
Степенот на првиот фактор го трансформираме во корен, а кога го разликуваме вториот фактор, не заборавајте дека изводот на константата е еднаков на нула:
Сега можеме да го најдеме изводот на средниот аргумент потребен за пресметување на изводот на сложена функција потребен во изјавата за проблемот y:
Пример 5.Најдете го изводот на функцијата
Прво, го користиме правилото за диференцирање на збирот:
Го добивме збирот на изводите на две сложени функции. Ајде да го најдеме првиот:
Овде, подигањето на синусот на моќност е сложена функција, а самиот синус е среден аргумент за независната променлива x. Затоа, попатно ќе го користиме правилото за диференцијација на сложена функција вадејќи го факторот од загради :
Сега го наоѓаме вториот член на изводите на функцијата y:
Овде подигањето на косинус до моќ е сложена функција ѓ, а самиот косинус е среден аргумент во независната променлива x. Ајде повторно да го искористиме правилото за диференцирање на сложена функција:
Резултатот е потребниот дериват:
Табела на деривати на некои сложени функции
За сложени функции, врз основа на правилото за диференцијација на сложена функција, формулата за изводот на едноставна функција добива различна форма.
| 1. Дериват на комплекс функција за напојување, Каде u x |  |
| 2. Извод на коренот на изразот | |
| 3. Дериват експоненцијална функција |  |
| 4. Посебен случајекспоненцијална функција | |
| 5. Извод на логаритамска функција со произволна позитивна основа А |  |
| 6. Извод на сложена логаритамска функција, каде u– диференцијабилна функција на аргументот x | |
| 7. Дериват на синус |  |
| 8. Извод на косинус |  |
| 9. Извод на тангента |  |
| 10. Дериват на котангенс |  |
| 11. Дериват на арсин |  |
| 12. Дериват на аркозин |  |
| 13. Дериват на арктангенс |  |
| 14. Дериват на лак котангенс |  |
Во „старите“ учебници се нарекува и правило „синџир“. Значи, ако y = f (u), и u = φ (x), т.е
y = f (φ (x))
сложено - композитна функција (состав на функции) тогаш
Каде 
, по пресметката се смета во u = φ (x).
Забележете дека овде земавме „различни“ композиции од истите функции, а резултатот од диференцијацијата природно се покажа дека зависи од редоследот на „мешање“.
Правилото на синџирот природно се протега на композиции од три или повеќе функции. Во овој случај, ќе има три или повеќе „врски“ во „синџирот“ што го сочинува изводот. Еве аналогија со множење: „имаме“ табела на изводи; „таму“ - табела за множење; „Кај нас“ е правилото на синџирот и „таму“ е правилото за множење со „колона“. При пресметувањето на таквите „комплексни“ деривати, се разбира, не се воведуваат помошни аргументи (u¸v, итн.), но, откако сами го забележаа бројот и низата на функции вклучени во составот, соодветните врски се „нанижани“. по наведениот редослед.
. Овде со „x“ за да се добие значењето на „y“ се вршат пет операции, односно има состав од пет функции: „надворешна“ (последната од нив) - експоненцијална - e ;потоа во обратен редослед, моќност. (♦) 2;
тригонометриски грев
();
седативно. () 3 и на крај логаритамски ln.().
Затоа
.
7. За да ја разликуваме тангентата (котангента), го користиме правилото за диференцијација на количниците:
За да ги добиеме изводите на инверзните тригонометриски функции, ја користиме релацијата што ја задоволуваат изводите на две меѓусебно инверзни функции, односно функциите φ (x) и f (x) поврзани со односите:
Ова е соодносот
Тоа е од оваа формула за меѓусебно инверзни функции
И 
,
Конечно, да ги сумираме овие и некои други деривати кои исто така лесно се добиваат во следната табела.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Комплексни деривати. Логаритамски дериват.
Извод на моќно-експоненцијална функција
Продолжуваме да ја подобруваме нашата техника на диференцијација. Во оваа лекција ќе го консолидираме материјалот што го опфативме, ќе разгледаме посложени деривати, а исто така ќе се запознаеме со нови техники и трикови за наоѓање извод, особено со логаритамскиот извод.
Оние читатели кои имаат ниско ниво на подготовка треба да се повикаат на статијата Како да се најде дериватот? Примери на решенија, што ќе ви овозможи да ги подигнете своите вештини речиси од нула. Следно, треба внимателно да ја проучите страницата Извод на сложена функција, разберете и решите Ситепримерите што ги наведов. Оваа лекција логично е трета по ред, а откако ќе ја совладате самоуверено ќе разликувате прилично сложени функции. Непожелно е да се заземе ставот „Каде на друго место? Доста е!“, бидејќи сите примери и решенија се земени од вистински тестови и често се среќаваат во пракса.
Да почнеме со повторување. На час Извод на сложена функцијаРазгледавме голем број примери со детални коментари. Во текот на изучувањето на диференцијални пресметки и други делови математичка анализа– ќе мора да се разликувате многу често, и не е секогаш погодно (и не секогаш е потребно) да се опишуваат примери детално. Затоа, ќе вежбаме усно да наоѓаме деривати. Најпогодни „кандидати“ за ова се деривати на наједноставните сложени функции, на пример:
Според правилото за диференцијација на сложените функции 
:
При проучување на други матни теми во иднина, најчесто не е потребен таков детален запис, се претпоставува дека студентот знае како да најде такви деривати на автопилот. Да замислиме дека во 3 часот наутро телефонот заѕвони и пријатен глас праша: „Која е дериватот на тангентата на две X?“ Ова треба да биде проследено со речиси моментален и љубезен одговор: 
.
Првиот пример ќе биде веднаш наменет за независна одлука.
Пример 1
Најди ги следните изводи усно, во едно дејство, на пример: . За да ја завршите задачата, треба само да ја користите табела на деривати на елементарни функции(ако сè уште не сте се сетиле). Ако имате какви било тешкотии, препорачувам повторно да ја прочитате лекцијата Извод на сложена функција.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Одговори на крајот од лекцијата
Комплексни деривати
По прелиминарната артилериска подготовка, примерите со 3-4-5 гнезда на функции ќе бидат помалку страшни. Следниве два примери можеби некому му изгледаат комплицирани, но ако ги разберете (некој ќе страда), тогаш речиси сè друго во диференцијалното пресметување ќе изгледа како детска шега.
Пример 2
Најдете го изводот на функцијата 
Како што веќе беше забележано, при наоѓање на изводот на сложена функција, пред сè, потребно е Во правоРАЗБЕРЕТЕ ги вашите инвестиции. Во случаи кога има сомнежи, ве потсетувам на корисна техника: ја земаме експерименталната вредност на „x“, на пример, и се обидуваме (ментално или во нацрт) да ја замениме дадена вредноство „страшен израз“.
1) Прво треба да го пресметаме изразот, што значи дека збирот е најдлабокото вградување.
2) Потоа треба да го пресметате логаритамот:
4) Потоа коцкај го косинусот:
5) На петтиот чекор разликата е:
6) И конечно, најоддалечената функција е квадратниот корен: 
Формула за диференцијација на сложена функција 
се применуваат во обратен редослед, од најоддалечената функција до највнатрешната. Ние одлучуваме:
Се чини дека нема грешки...
(1) Го земаме дериватот на квадратен корен.
(2) Го земаме изводот на разликата користејќи го правилото 
(3) Изводот на тројката е нула. Во вториот член го земаме изводот на степенот (коцка).
(4) Земете го изводот на косинус.
(5) Земете го изводот на логаритамот.
(6) И конечно, го земаме дериватот на најдлабокото вградување.
Можеби изгледа премногу тешко, но ова не е најбруталниот пример. Земете ја, на пример, колекцијата на Кузнецов и ќе ја цените сета убавина и едноставност на анализираниот дериват. Забележав дека сакаат да даваат слично нешто на испит за да проверат дали студентот разбира како да најде извод на сложена функција или не разбира.
Следниот пример е за вас да го решите сами.
Пример 3
Најдете го изводот на функцијата
Совет: Прво ги применуваме правилата за линеарност и правилото за диференцијација на производот
Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.
Време е да преминете на нешто помало и поубаво.
Не е невообичаено примерот да покаже производ на не две, туку три функции. Како да се најде дериватот на производот од три фактори?
Пример 4
Најдете го изводот на функцијата 
Прво, да видиме дали е можно да се претвори производот од три функции во производ на две функции? На пример, ако имаме два полиноми во производот, тогаш би можеле да ги отвориме заградите. Но, во примерот што се разгледува, сите функции се различни: степен, експонент и логаритам.
Во такви случаи тоа е неопходно последователноприменувајте го правилото за диференцијација на производите 
двапати
Финтата е што со „y“ го означуваме производот на две функции: , а со „ve“ го означуваме логаритамот: . Зошто може да се направи ова? Дали е навистина 
– ова не е производ на два фактора и правилото не функционира?! Нема ништо комплицирано:
Сега останува да се примени правилото по втор пат 
во заграда:
Можете исто така да се извртите и да ставите нешто од загради, но во овој случај подобро е да го оставите одговорот токму во оваа форма - ќе биде полесно да се провери.
Разгледаниот пример може да се реши на вториот начин: 
Двете решенија се апсолутно еквивалентни.
Пример 5
Најдете го изводот на функцијата
Ова е пример за независно решение во примерокот се решава со помош на првиот метод.
Ајде да погледнеме слични примери со дропки.
Пример 6
Најдете го изводот на функцијата 
Постојат неколку начини на кои можете да отидете овде:
Или вака:
Но, решението ќе биде напишано покомпактно ако прво го искористиме правилото за диференцијација на количникот 
, земајќи го целиот броител:
Во принцип, примерот е решен, и ако се остави како што е, нема да биде грешка. Но, ако имате време, секогаш е препорачливо да го проверите нацртот за да видите дали одговорот може да се поедностави? Да го намалиме изразот на броителот на заеднички именител и да се ослободиме од трикатната дропка:
Недостаток на дополнителните поедноставувања е што постои ризик да се направи грешка не при наоѓање на дериватот, туку при банални училишни трансформации. Од друга страна, наставниците често ја отфрлаат задачата и бараат да го „донесат на ум“ дериватот.
Поедноставен пример за решавање самостојно:
Пример 7
Најдете го изводот на функцијата
Продолжуваме да ги совладуваме методите за наоѓање на дериватот, а сега ќе разгледаме типичен случај кога се предлага „страшен“ логаритам за диференцијација
Пример 8
Најдете го изводот на функцијата
Овде можете да одите на долг пат, користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција:
Но, првиот чекор веднаш ве втурнува во очај - треба да го земете непријатниот дериват од фракциона моќ, а потоа и од дропка.
Затоа предкако да се земе дериватот на „софистицираниот“ логаритам, прво се поедноставува со користење на добро познати училишни својства:
! Ако имате при рака тетратка за вежбање, копирајте ги овие формули директно таму. Ако немате тетратка, препишете ги на парче хартија, бидејќи останатите примери од лекцијата ќе се вртат околу овие формули.
Самото решение може да се напише вака:
Ајде да ја трансформираме функцијата:
Наоѓање на дериватот: 
Пред-конвертирањето на самата функција значително го поедностави решението. Така, кога се предлага сличен логаритам за диференцијација, секогаш е препорачливо да се „разложи“.
И сега неколку едноставни примери за да ги решите сами:
Пример 9
Најдете го изводот на функцијата 
Пример 10
Најдете го изводот на функцијата
Сите трансформации и одговори се на крајот од лекцијата.
Логаритамски дериват
Ако дериватот на логаритмите е толку слатка музика, тогаш се поставува прашањето: дали е можно во некои случаи вештачки да се организира логаритмот? Може! Па дури и неопходно.
Пример 11
Најдете го изводот на функцијата 
Неодамна разгледавме слични примери. Што да се прави? Можете последователно да го примените правилото за диференцијација на количникот, а потоа правилото за диференцијација на производот. Недостаток на овој метод е тоа што на крајот ќе добиете огромна фракција од три ката, со која воопшто не сакате да се справите.
Но, во теоријата и практиката постои таква прекрасна работа како логаритамскиот извод. Логаритмите можат да се организираат вештачки со нивно „закачување“ на двете страни:
Забелешка
: затоа што функцијата може да прифати негативни вредности, тогаш, општо земено, треба да користите модули: 
, што ќе исчезне како резултат на диференцијација. Сепак, прифатлив е и сегашниот дизајн, каде стандардно се зема предвид комплексзначења. Но, ако е со сета строгост, тогаш и во двата случаи треба да се резервира тоа.
Сега треба да го „раскинете“ логаритмот на десната страна што е можно повеќе (формулите пред вашите очи?). Ќе го опишам овој процес во многу детали:
Да почнеме со диференцијација.
Двата дела ги заклучуваме под програмот:
Дериватот на десната страна е прилично едноставен, нема да го коментирам, бидејќи ако го читате овој текст, треба да можете да се справите со него самоуверено.
Што е со левата страна?
На левата страна имаме комплексна функција. Го предвидувам прашањето: „Зошто, има една буква „Y“ под логаритамот?
Факт е дека оваа „игра со една буква“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(ако не е многу јасно, погледнете ја статијата Извод на функција наведен имплицитно). Според тоа, логаритамот е надворешна функција, а „y“ е внатрешна функција. И ние го користиме правилото за диференцијација на сложена функција 
:
На левата страна, како со магија магично стапчеимаме дериват . Следно, според правилото за пропорција, го пренесуваме „y“ од именителот на левата страна на врвот на десната страна:
И сега да се потсетиме за каква функција „играч“ зборувавме за време на диференцијацијата? Да ја погледнеме состојбата: 
Конечниот одговор: 
Пример 12
Најдете го изводот на функцијата
Ова е пример за да го решите сами. Примерок за дизајн на пример од овој тип е на крајот од лекцијата.
Користејќи го логаритамскиот извод беше можно да се реши кој било од примерите бр. 4-7, друга работа е што функциите таму се поедноставни, а можеби употребата на логаритамскиот извод не е многу оправдана.
Извод на моќно-експоненцијална функција
Сè уште не сме ја разгледале оваа функција. Моќно-експоненцијална функција е функција за која и степенот и основата зависат од „x“. Класичен пример што ќе ви биде даден во кој било учебник или предавање:
Како да се најде изводот на моќно-експоненцијална функција?
Неопходно е да се користи техниката штотуку дискутирана - логаритамскиот дериват. Закачуваме логаритми на двете страни:
Како по правило, на десната страна степенот се вади од под логаритамот:
Како резултат на тоа, на десната страна го имаме производот на две функции, кои ќе се разликуваат според стандардната формула 
.
Го наоѓаме дериватот за да го направиме ова, ги ставаме двата дела под потези:
Понатамошните активности се едноставни:
Конечно: 
Ако било која конверзија не е целосно јасна, ве молиме внимателно да ги препрочитате објаснувањата од Примерот бр. 11.
Во практичните задачи, функцијата моќно-експоненцијална секогаш ќе биде покомплицирана од разгледуваниот пример на предавањето.
Пример 13
Најдете го изводот на функцијата
Го користиме логаритамскиот извод. 
На десната страна имаме константа и производ од два фактора - „x“ и „логаритам на логаритам x“ (друг логаритам е вгнезден под логаритамот). Кога се разликуваме, како што се сеќаваме, подобро е веднаш да се помести константата од дериватниот знак за да не се попречи; и, се разбира, го применуваме познатото правило 
:
Операцијата за наоѓање на изводот се нарекува диференцијација.
Како резултат на решавање на проблеми за пронаоѓање на изводи на наједноставните (и не многу едноставни) функции со дефинирање на изводот како граница на односот на зголемувањето на зголемувањето на аргументот, се појави табела на деривати и прецизно дефинирани правила на диференцијација. . Први кои работеле на полето на пронаоѓање деривати биле Исак Њутн (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646-1716).
Затоа, во нашево време, за да го пронајдете изводот на која било функција, не треба да ја пресметате горенаведената граница на односот на зголемувањето на функцијата кон зголемувањето на аргументот, туку треба да ја користите само табелата на деривати и правила на диференцијација. Следниот алгоритам е погоден за наоѓање на дериватот.
Да се најде изводот, потребен ви е израз под простиот знак разложи едноставни функции на компонентии одреди кои дејствија (производ, збир, количник)овие функции се поврзани. Следно, изводите на елементарните функции ги наоѓаме во табелата со деривати, а формулите за дериватите на производот, збирот и количникот - во правилата за диференцијација. Табелата за деривати и правилата за диференцијација се дадени по првите два примери.
Пример 1.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Од правилата на диференцијација дознаваме дека изводот на збир на функции е збир на изводи на функции, т.е.
Од табелата со деривати дознаваме дека изводот на „X“ е еднаков на еден, а изводот на синус е еднаков на косинус. Ги заменуваме овие вредности во збир на деривати и го наоѓаме изводот што го бара состојбата на проблемот:
Пример 2.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Диференцираме како извод на збир во кој вториот член има константен фактор може да се извади од дериватниот знак;
Ако сè уште се појавуваат прашања за тоа од каде доаѓа нешто, тие обично се расчистуваат по запознавање со табелата со деривати и наједноставните правила на диференцијација. Во моментов продолжуваме кон нив.
Табела на деривати на едноставни функции
| 1. Извод на константа (број). Било кој број (1, 2, 5, 200...) што е во функционалниот израз. Секогаш еднаква на нула. Ова е многу важно да се запамети, бидејќи се бара многу често | |
| 2. Извод на независната променлива. Најчесто „Х“. Секогаш еднаков на еден. Ова е исто така важно да се запамети долго време | |
| 3. Извод на степен. Кога решавате проблеми, треба да ги претворите неквадратните корени во моќи. | |
| 4. Извод на променлива со моќност -1 | |
| 5. Извод на квадратен корен | |
| 6. Дериват на синус | |
| 7. Извод на косинус |  |
| 8. Извод на тангента |  |
| 9. Дериват на котангенс |  |
| 10. Дериват на арсин |  |
| 11. Дериват на аркозин |  |
| 12. Дериват на арктангенс |  |
| 13. Дериват на лак котангенс |  |
| 14. Извод на природниот логаритам | |
| 15. Извод на логаритамска функција |  |
| 16. Извод на експонентот | |
| 17. Извод на експоненцијална функција |
Правила за диференцијација
| 1. Извод на збир или разлика |  |
| 2. Дериват на производот |  |
| 2а. Извод на израз помножен со константен фактор | |
| 3. Извод на количник |  |
| 4. Извод на сложена функција |  |
Правило 1.Доколку функциите
се диференцијабилни во одреден момент, тогаш функциите се диференцијабилни во истата точка
и
тие. изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции.
Последица. Ако две диференцијабилни функции се разликуваат за константен член, тогаш нивните изводи се еднакви, т.е.
Правило 2.Доколку функциите
се разликуваат во одреден момент, тогаш нивниот производ е диференцијабилен во истата точка
и
тие. Изводот на производот на две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции и изводот на другата.
Заклучок 1. Константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот:
Заклучок 2. Изводот на производот на неколку диференцијабилни функции е еднаков на збирот на производите на изводот на секој фактор и на сите други.
На пример, за три множители:
Правило 3.Доколку функциите
може да се разликува во одреден момент И , тогаш во овој момент нивниот количник е исто така диференцијабиленu/v и
тие. изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител.
Каде да барате работи на други страници
При наоѓање на дериват на производ и количник во реални проблеми, секогаш е неопходно да се применат неколку правила за диференцијација одеднаш, така што има повеќе примери за овие деривати во статијата„Дериват на производот и количник на функции“.
Коментар.Не треба да мешате константа (односно бројка) како член во збир и како константен фактор! Во случај на член, неговиот извод е еднаков на нула, а во случај на постојан фактор, тој се вади од знакот на изводите. Ова типична грешка, што се јавува на почетна фазапроучувајќи ги изводите, но додека решаваат неколку едноделни и дводелни примери, просечниот студент повеќе не ја прави оваа грешка.
И ако, кога разликувате производ или количник, имате термин u"v, во која u- број, на пример, 2 или 5, односно константа, тогаш изводот на овој број ќе биде еднаков на нула и, според тоа, целиот член ќе биде еднаков на нула (овој случај се дискутира во примерот 10).
Друга честа грешка е механичкото решавање на изводот на сложена функција како извод на едноставна функција. Затоа извод на сложена функцијае посветена посебна статија. Но, прво ќе научиме да наоѓаме деривати на едноставни функции.
На патот, не можете без да ги трансформирате изразите. За да го направите ова, можеби ќе треба да го отворите прирачникот во нови прозорци. Дејства со моќ и корениИ Операции со дропки .
Ако барате решенија за деривати на дропки со сили и корени, односно кога функцијата изгледа како 
, потоа следете ја лекцијата „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“.
Ако имате задача како 
, потоа ќе ја земете лекцијата „Деривати на едноставни тригонометриски функции“.
Примери чекор-по-чекор - како да се најде изводот
Пример 3.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Ги дефинираме деловите на функционалниот израз: целиот израз претставува производ, а неговите фактори се збирови, од кои во вториот еден од поимите содржи константен фактор. Го применуваме правилото за диференцијација на производот: изводот на производот од две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции со изводот на другата:
Следно, го применуваме правилото за диференцијација на збирот: изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции. Во нашиот случај, во секоја сума вториот член има знак минус. Во секој збир гледаме и независна променлива, чиј извод е еднаков на еден, и константа (број), чиј извод е еднаков на нула. Значи, „Х“ се претвора во едно, а минус 5 се претвора во нула. Во вториот израз, „x“ се множи со 2, па множиме два со иста единица како изводот на „x“. Ги добиваме следните изводни вредности:
Пронајдените деривати ги заменуваме во збир на производи и го добиваме изводот на целата функција што ја бара состојбата на проблемот:
И можете да го проверите решението на проблемот со дериватот на.
Пример 4.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Од нас се бара да го најдеме изводот на количникот. Ја применуваме формулата за диференцијација на количникот: изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител. Добиваме:
Веќе го најдовме изводот на множителите во броителот во примерот 2. Да не заборавиме и дека производот, кој е втор фактор во броителот во тековниот пример, се зема со знак минус:
Ако барате решенија за проблеми во кои треба да го пронајдете изводот на функцијата, каде што има континуиран куп корени и моќи, како на пример, 
, тогаш добредојде на час „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“ .
Ако треба да дознаете повеќе за дериватите на синусите, косинусите, тангентите и други тригонометриски функции, односно кога функцијата изгледа како , тогаш лекција за вас „Деривати на едноставни тригонометриски функции“ .
Пример 5.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Во оваа функција гледаме производ, чиј еден од факторите е квадратниот корен на независната променлива, чиј извод се запознавме во табелата со деривати. Користејќи го правилото за разликување на производот и табеларната вредност на дериватот на квадратниот корен, добиваме:
Можете да го проверите решението на проблемот со изводот на онлајн калкулатор за деривати .
Пример 6.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Во оваа функција гледаме количник чија дивиденда е квадратен корен на независната променлива. Користејќи го правилото за диференцијација на количниците, кое го повторивме и применивме во примерот 4, и табеларната вредност на изводот на квадратниот корен, добиваме:
За да се ослободите од дропка во броителот, помножете ги броителот и именителот со .
